ტექნიკური მეცნიერებების შესწავლისას გვხვდება სხვადასხვა სახის სიდიდეები,ზოგი მათგანი სავსებით განისაზღვრება რიცხვითი მნიშვნელობით, ასეთ სიდიდეებს ეწოდებათ. მაგალითად, სკალარული სიდიდეებია: ტემპარატურა, კუთხის ზომა, მოცულობა, სიგრძე, ფართობი და ა.შ. არსებობს ისეთი სიდიდეებიც, რომელთა განსაზღვრისათვის გარდა რიცხვითი მნიშვნელობისა საჭიროა აგრეთვე მისი მიმართულების ცოდნა. ასეთ სიდიდეებს ან ვექტორები ეწოდებათ. მაგალითად, ვექტორული სიდიდეებია: ძალა, სიჩქარე, აჩქარება და ა. შ.
ეწოდება მიმართულ მონაკვეთს, ესეიგი მონაკვეთს, რომლისთვისაც დასახელებულია სათავე და ბოლო წერტილი. ვექტორი, რომლის სათავეა , ხოლო ბოლო წერტილია , აღინიშნება სიმბოლოთი . ვექტორის სათავეს მისი მოდების წერტილი ეწოდება. , მისი სათავე და ბოლო ერთმანეთს ემთხვევა, მას 0 სიმბოლოთიც აღნიშნავენ. ნულოვან ვექტორს გარკვეული მიმართულება არ გააჩნია. ვექტორებს ზოგჯერ პატარა სიმბოლოთიც აღნიშნავენ.
თუ (1; 1) და (2; 2) მაშინ ვექტორის კოორდინატებია : = (2 − 1; 2 − 1) = (2 − 1) 2+(2 − 1) 2 ვექტორს, რომლის სიგრძე 1-ის ტოლია, ერთეულოვანი ვექტორი ან ორტი ეწოდება.
ორ ვექტორს ეწოდება ტოლი, თუ ისინი თანამიმართულია და მათი სიგრძეები ტოლია. Ԧ Ԧ თუ Ԧ ↑↑ და Ԧ = || მაშინ ტოლ ვექტორებს ტოლი კოორდინატები აქვთ. Ԧ = (1; 1) = (2; 2) 1 = 2 1 = 2
ორ ვექტორს ეწოდება ტოლი, თუ ისინი თანამიმართულია და მათი სიგრძეები ტოლია. Ԧ Ԧ თუ Ԧ ↑↑ და Ԧ = || მაშინ ტოლ ვექტორებს ტოლი კოორდინატები აქვთ. Ԧ = (1; 1) = (2; 2) 1 = 2 1 = 2
А a В С b a b ვექტორების შეკრება ავიღოთ რაიმე წერტილი და ამ წერტილზე ავაგოთ = Ԧ და = ვექტორები.
ვექტორთა შეკრების ამ წესს სამკუთხედის წესი ეწოდება. ვექტორთა შეკრების ეს წესი შეიძლება განვაზოგადოთ შესაკრებ ვექტორთა ნებისმიერი სასრული რაოდენობისათვის.
ვექტორების გამოკლება ავიღოთ რაიმე წერტილი და ამ წერტილზე ავაგოთ = Ԧ ; = ; = Ԧ ვექტორები.
ვექტორების შეკრება, გამოკლება Ԧ = (1; 1) = (2; 2) Ԧ + = (1 + 2; 1 + 2) Ԧ − = (1 − 2; 1 − 2) განვიხილოთ მაგალითი: Ԧ = (−2; 5) = (3; −4) Ԧ + = (1; 1) Ԧ − = (−5; 9)
ვექტორის რიცხვზე გამრავლება ვექტორის რიცხვზე ნამრავლი ეწოდება ისეთ ვექტორს , რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას: 1) 2) და ვექტორებს აქვთ ერთნაირი მიმართულება თუ , და საწინააღმდეგო მიმართულება თუ
ვექტორის რიცხვზე გამრავლება −2 Ԧ = (10; −6) რაიმერიცხვია Ԧ = (−5; 3); = −2 Ԧ = (; ) ვექტორის ნამრავლს ეწოდება ვექტორის მოპირდაპირე ვექტორი და აღინიშნება სიმბოლოთი. ცხადია
საკოორდინატო ღერძების ორტები ეწოდებათ Ԧ = 1; 0 ; და Ԧ = 0; 1 ერთეულოვან ვექტორებს, რომელთა მიმართულება ემთხვევა საკოორდინატო ღერძების მიმართულებას.
ნებისმიერი ვექტორი შეგვიძლია წარმოვადგინოთ საკოორდინატო ღერძების ორტების წრფივი კომბინაციით.
ვთქვათ მოცემულია ორი არანულოვანი ვექტორი Ԧ და . სიბრტყის ნებისმიერ წერტილზე მოვდოთ = Ԧ და = ვექტორები. Ԧ და ვექტორებს შორის კუთხე ეწოდება იმ უმცირეს კუთხეს, რომლითაც უნდა მოვაბრუნოთ ერთ - ერთი ვექტორი, რომ მისი მიმართულება დაემთხვეს მეორე ვექტორის მიმართულებას.
a b a b, ; 0 =180 a b a b, ; 0 ⊥ = 90 a b, ; 0 = 0 a b a b
ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი ეწოდება მათი სიგრძეებისა და მათ შორის მდებარე კუთხის კოსინუსის ნამრავლს. Ԧ და ვექტორების სკალარული ნამრავლი აღინიშნება: ან არის კუთხე Ԧ და ვექტორებს შორის.
თუ a ⊥ b მაშინ cos90 0 0 = a b = 0 თუ а b , მაშინ cos180 1 0 = − a b = − a b თუ a b , მაშინ cos 0 1 0 = a b = a b თუ a = b , მაშინ 2 2 a b = aa = a a = a = a
➢ სკალარული ნამრავლი გადანაცვლებადია: ➢ სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია მაშინ და მხოლოდ მაშინ როცა ვექტორები ურთიერთმართობულია, ან ერთი მათგანი მაინც ნულოვანი ვექტორია. ➢ ნენისმიერი ვექტორისთვის სრულდება პირობა: ➢ Ԧ = ; ; და Ԧ = ; ერთეულოვანი ვექტორების სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია:
b → 3 600 a → 2 a → 5 b → 1 300 a → b → 5 1 cos 300 ( ) 5 3 2 a → b → 2 3 cos 600 ( ) 3 a → 7 b → 4 a → b → 7 4 cos 450 45 ( ) 14 2 0 a → 1 b → 1 1200 a → b → 1 1 cos 1200 ( ) −1 2 a → 7 b → 5 900 a → b → 7 5 cos 900 ( ) 0
= (; ) = (; ) cos = 12 + 12 1 2 + 1 2 ⋅ 2 2 + 2 2
А В С АВС - ტოლგვერდაა b a АВ = ВС = АС = 2
А В С АВС - ტოლგვერდაა b a АВ = ВС = АС =10
А В С АВС - ტოლგვერდაა a b АВ = ВС = АС = 4
Ԧ = (1; −2) = (−3; 1) ՜ ⋅ ՜ = 1 ∙ −3 + −2 ∙ 1 = −5 ՜ = 1 2 + (−2) 2= 5 ՜ = (−3) 2+1 2 = 10 −5 = 5 ∙ 10 ∙ = −5 50 = − 5 5 2 = − 1 2 = − 2 2
А В С იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი M N MN MB = MN MB cos MN, MB = ΔАВ − ში М − შუახაზია 4 2 1 2 2 cos 60 4 = 2 0 = = 2 2 MN CA = MN CA cos MN, CA = 2 4 cos 1800 = = 8 (-1) = –8 NM CB = NM CB cos NM, CB = 2 4 cos 600 = = 4 2 1 8 =
Ԧ ∙ Ԧ − 2 Ԧ ∙ = Ԧ 2 − 2 Ԧ ∙ 450 = = 3 2 −2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 2 = 9 − 6 = 3
1) − 2 ∙ −1 + 2 ∙ 2 = 0 2 + 4 = 0 = −0,5 2) Ԧ = 2; −3 ; = (; 2) 2 ∙ + (−3) ∙ 2 = 0 = 3
თუ ორი არანულოვანი ვექტორი პარალელურ წრფეზე, ან ერთ წრფეზე მდებარე მიმართული მონაკვეთებით გამოისახება, მაშინ მათ კოლინეარული ვექტორები ეწოდება. კოლინეარული ვექტორები ან თანამიმართულია ან საწინააღმდეგოდ მიმართული. თუ არსებობს k რიცხვი, რომ = Ԧ , მაშინ Ԧ და კოლინეარული ვექტორებია. პირიქით, თუ Ԧ და კოლინეარული ვექტორებია, მაშინ არსებობს k რიცხვი, რომ = Ԧ. კოლინეარული ვექტორების კოორდინატები პროპორციულია.
с L b K A B b ↑↓ KL AB ↑↓ c c↑↓ b KL ↑↓ AB М
დაადგინეთ კოლინეარულია თუ არა თუ Ԧ და ვექტორები.
՜ ⋅ ՜ = 1 ∙ −3 + 2 ∙ 4 = 5 ՜ = (−3) 2+4 2 = 25 = 5 ՜ = 1 2 + 2 2 = 5 5 = 5 ∙ 5 ∙ = 5 5 5 = 1 5 2 + 2 = 1 = 2 5
+ = = − = (3; 4) = 9 + 16 = 5 = + = (6; 8) = (−6; −8) = 36 + 64 = 10