คณิตศาสตร์

คณิ ตศาสตร์เพิ่มเติม

เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม

จัดทำโดย
เด็กชายศรณรงค์ นำพา

ม.1/2 เลขที่ 14

เสนอ

คุณครูรจนา พุ่มจันทร์
โรงเรียนเลิงนกทา

สำนั กงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาศรีสะเกษ ยโสธร

คำนำ

หนั งสืออิเล็กทรอนิ กส์เล่มนี้ จัดทำขึ้นเพื่อใช้ใน
การประกอบการเรียนในรายวิชา คณิตศาสตร์
เพิ่มเติม (ค21202) เสนอ คุณครูรจนา พุ่มจันทร์

จัดทำโดย

ศรณรงค์ นำพา

ก.

สารบัญ

คำนำ ก.
สารบัญ ข.
ความหมาย

1.

ประเภทของการแยกฯ 2.


การแยกตัวประกอบ โดยใช้สมบัติการแจกแจง 3.


การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 5.
ตัวแปรเดียว



การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นผลต่าง 7.
กำลังสอง

9.
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสอง
สมบูรณ์

ข.

ความหมาย

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

การแยกตัวประกอบ คือ การเขียนพหุ
นามในรูปการคูณของพหุนาม ซึ่ง
ตัวประกอบแต่ละวงเล็บต้องมีดีกรีน้ อย
กว่าพหุนามเดิม โดยที่แต่ละวงเล็บที่ได้ไม่
สามารถเขียนได้ไม่สามารถเขียนเป็น
รูปการคูณต่อไปได้

มี 8 วิธี แต่ยกมา
4 วิธีน้ า

1.

มีดังนี้

1.การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง
2.การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
3.การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นผลต่างกำลังสอง
4.การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

2.

I.การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

ถ้า a , b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว
a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca
เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดังนี้

ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a
ถ้า a , b และ c เป็นพหุนาม เราก็สามารถใช้สมบัติ
การแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และเรียก a ว่าตัวประกอบร่วม
ของ ab และ ac หรือตัวประกอบร่วมของ ba และ ca




ตัวอย่าง

3.

ตัวอย่างน้ า

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 5xy + 6x²
วิธีทำ 5xy + 6x² = (x)(5y) + (x)(6x)
= x(5y + 6x)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 12y²z + 20yz
วิธีทำ 12y²z + 20yz = (4yz)(3y) + (4yz)(5)
= 4yz(3y + 5)

4.

II. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
ตัวแปรเดียว

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสอง
และมีตัวแปรเดียว ที่แต่ละพจน์ มี
สั มประสิ ทธิ์เป็นจำนวนเต็ม



ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสอง
ตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x² + bx + c

สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้
ได้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุ

นาม
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
จากการหาผลคูณ ( x +2 )( x + 3 ) ดังกล่าว จะ
ได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ x² + 5x + 6

ตัวอย่าง

5.

ตัวอย่างน้ า

1. (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(3)
= (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]
= x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)
= x2 + (2+ 3)x + (2)(3
= x2 + 5x + 6

6.

III.การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นผล
ต่างกำลังสอง

การแยกตัวประกอบทางพีชคณิตอีกอย่างหนึ่ ง
เรียกว่า ผลต่างกำลังสอง มีสูตรดังนี้
a² - b²= (a + b)(a -b)
ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้ง สองพจน์ ไม่ว่า

จำนวนเหล่านั้ นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์
หรือไม่ ถ้าพจน์ ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทน
ด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์
ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยก
ตัวประกอบจะต้องมีจำนวนจินต
a+ b = (a + bi)(a - bi)



ตัวอย่าง

7.

ตัวอย่าง

1. x2 - 25 = x2 - 52
2. 36x2 – 49 = (x + 5)(x - 5)


= (6x)2– 72
= (6x + 7)(6x – 7)

8.

IV.การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็น
กำลังสองสมบูรณ์

ถ้าให้ A แทนพจน์ หน้ า และ
B แทนพจน์ หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี

สอง ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ตามสูตร ดังนี้
A²+2AB+B² =(A+B)²
A² -2AB+B² =(A-B)²

(พจน์ หน้ า + พจน์ หลัง )²
= (พจน์ หน้ า)² + 2(พจน์ หน้ า)(พจน์ หลัง) + (พจน์ หลัง)²

(พจน์ หน้ า - พจน์ หลัง )2
= (พจน์ หน้ า)² - 2(พจน์ หน้ า)(พจน์ หลัง) + (พจน์ หลัง)²

ตัวอย่าง

9.

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่1 จงแยกตัวประกอบของ x² + 12x +
36 วิธีทํา x² +12x+36 =(x+6)(x+6)
=x² +6x+6x+6²
= x² + 2(x)(6) + 6²
= (x + 6)²

ตัวอย่างที่2 จงแยกตัวประกอบของ x - 10x + 25
วิธีทํา x² -10x+25 =(-5)(-5)
= x² - 5x- 5x + 5²
= x² - 2(x)(5) + 5²
= (x - 5)²

10.

ขอบคุณสำหรับการรับชม
ครับผม