Bahan Ajar

A. Definisi Turunan

Misalkan kita memiliki sebuah garis lurus memotong fungsi = ( ) . Ambil absis titik
pertama yaitu maka ordinat titik tersebut yaitu f(x). Kemudian, jika jarak titik pertama
dan kedua adalah ℎ . Maka absis titik kedua yaitu ( + ℎ) sehingga ordinat titik kedua
( + ℎ) (Lihat gambar 1).

(Gambar 1)

Sebelumnya, kita sudah mengetahui bahwa gradien garis = ∆ . Sehingga, kita peroleh

∆

= ( +ℎ)−f(x)

ℎ

Seandainy, kedua titik potong tersebut bergerak saling mendekati. Maka, jarak h semakin
mendekati 0 dan Garis tersebut tidak lagi memotong fungsi = ( ), melainkan
menyinggung.

(gambar 2)

Perhatikan bahwa kedua gradien garis masih tetap sama (sejajar). Namun, gradien garis
singgungnya berupa bentuk limit karena h mendekati atau menuju 0.

Jadi kita dapat peroleh :

= ∆ lim ( + ℎ) − ( )
∆ =
ℎ→0 ℎ

Turunan pertama dari fungi dapat dinotasikan menjadi

= ′( ) = dibaca “y diturunkan terhadap x”


Sehingga kta mendapatkan definisi Turunan

′( ) = lim ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

B. Sifat- Sifat Turunan Fungsi Aljabar.

Misalkan diketahui = , = × dan fungsi- fungsi yang dinyatakan dalam
dan dengan dan adalah fungsi- fungsi dalam variabel x. Diperoleh sifat-sifat
turunan fungsi sebagai berikut.

a. Turunan = adalah ′ = 0 , dengan c merupakan konstanta.

b. Turunan = adalah ′ = .

c. Turunan = × adalah ′ = × ′ , dengan merupakan konstanta.

d. Turunan = ± adalah ′ = ′ ± ′ .

e. Turunan = adalah = ′ + ′ .

f. Turunan = adalah ′ = ′ − ′ .
2

C. Aturan Rantai

Bayangkan jika Anda harus mencari turunan dari

( ) = (5 3 − 8 + 1)50
Pertama kita harus mengalikan 50 faktor 5 3 − 8 + 1 dan kemudian mendiferensiasikan
polinomial berderajat 150 yang dihasilkan. Hal terserbut akan sangat melelahkan dan
membutuhkan banyak waktu untuk menyelesaikannnya.

Untunglah terdapat cara yang lebih baik. Setelah Kalian mempelajari Aturan Rantai ,
Kalian akan mampu menuliskan jawaban

′( ) = 50 (5 3 − 8 + 1)50 ( 15 2 − 8)

Andaikan = ( ( )) atau = ( o u )( ) dengan dan adalah fungsi-fungsi yang
mempunyai turunan. Turunan y adalah

′ = ′( ( )) × ′( ) atau

Dapat kita notasikan dalam bentuk lain

= .

Contoh
Misalkan = ( 2 − 1)3. Turunan pertama fungsi di tentukan melalui langkah- langkah
berikut :
a. misalkan = 2 − 1

Sehingga fungsi = 3

b. Fungsi diturunkan terhadap u

maka = 3 2


c. Fungsi diturunkan terhadap

maka = 2


d. ′ ℎ ditentukan dengan aturan rantai berikut.


= .

= 3 2 . (2 )

= 3( 2 − 1)2(2 )

= 6 ( 2 − 1)2

Contoh Soal

1. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut.

a. ( ) = 8 6

b. ( ) = 9 5 − 5 −3

c. ( ) = (1 + 2 − 3 2)( + 5 2)

d. ( ) = 2−2 +1

2 +3

Jawaban :

a. Diketahui ( ) = 8 6 , maka

′( ) = 6 × 8 6

= 48 6.

b. Diketahui ( ) = 9 5 − 5 −3 . Ingat sifat pengurangan,
′( ) = (5 × 9 5−1) − (−3 × 5 −3−1)
= 45 4 − (−15 −4)
= 45 4 + 15 −4

c. Diketahui ( ) = (1 + 2 − 3 2)( + 5 2). Ingat sifat perkalian,
misalkan = 1 + 2 − 3 2 = + 5 2

′ = 2 − 6
′ = 1 + 10
′( ) = ′ + ′

= (2 − 6 )( + 5 2) + (1 + 10 )(1 + 2 − 3 2)
= 2 + 10 2 − 6 2 − 30 3 + 1 + 10 + 2 + 20 2 − 3 2 − 30 3
= 1 + 14 + 21 2 − 60 3
Jadi, turunan ( ) = (1 + 2 − 3 2)( + 5 2) adalah
′( ) = 1 + 14 + 21 2 − 60 3

d. Diketahui ( ) = 2−2 +1
2 +3

Misalkan u = 2 − 2 + 1 dan v = 2 + 3

u′ = 2 − 2

v′ = 2

Penyelesaian :
′ − ′

′ = 2
(2 − 2)(2 + 3) − 2( 2 − 2 + 1)

= (2 + 3)2

4 2 + 6 − 4 − 6 − 2 2 + 4 − 2
= (2 + 3)2

2 2 + 6 − 8
= (2 + 3)2

Latihan Soal

( LKPD Pemantapan)

Dalam Soal- soal 1 − 11 Carilah dengan menggunakan sifat-sifat turunan.


1. = 7. = 2 + −4
3

2. = 2 2 8. = ( 2 + 2)( 3 + 1)

3. = −3 4 9. = ( 2 + 17)( 3 − 3 + 1)

4. = 10. = 2 −1
−1

5. = 2 + 2 11. = 2−2 +5
2+2 −3

6. = 4 + 3 − 2 − + 1

Untuk soal 12 − 20 Gunakan aturan rantai untuk mencari turunan dari :

12. = (1 + )4

13. = (3 − 2 )5

14. = ( 3 − 2 2 + 3 + 1)11

15. = 1
( +3)5

16. Sebongkah es batu berbentuk. Es batu tersebut menyusut sehingga panjang rusuknya
berkurang dengan laju 0,5 mm/detik. Tentukan laju berkurangnya volume es pada saat
panjang rusuk es 18mm.

17. Air dari dalam gelas dituangkan di atas meja secara pelan-pelan. Aliran air menyebar
membentuk lingkaran. Jari-jari lingkaran air bertambah dengan kecepatan 0,002 mm/detik.
Tentukan laju perubahan luas lingkaran air pada saat jari-jari 3 mm.