Bahan Ajar - SPLDV

Ike Mudrika, M.Pd

KSeMlaPs/MVITII S

BAHAN Ajar

Matematika

Sistem Persamaan

Linear Dua Variabel


(SPLDV)

Kata Pengantar

Segala syukur kami panjatkan kepada Tuhan yang maha kuasa, atas limpahan
nikmat, berkah, Rahmat, dan karunia-Nya. Sehingga penyusunan bahan ajar matematika
untuk SMP/MTS kelas VIII dapat di selesaikan.

Modul ini susun sebagai salah satu bahan ajar dalam pelaksanaan kegiatan
pembelajaran matematika di sekolah. Didalam bahan ajar ini disajikan materi
pembelajaran matematika secara sederhana, efektif, dan mudah dimengerti yang di sertai
contoh dalam kehidupan. Bahan ajar ini juga dilengkapi contoh soal dan tugas-tugas di
setiap subbab dan akhir bab

Sesuai dengan tujuan dalam pembelajaran matematika, siswa di harapkan dapat
memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antara konsep dan
mengaplikasikannya untuk memecahkan masalah. Siswa di harapkan mampu
menggunakan penalaran, mengkomunikasikan gagasan dengan berbagai perangkat
matematika, serta memiliki sikap menghargai matematika dalam kehidupan.

kami telah berusaha semaksimal mungkin dalam menyusun bahan ajar ini. Apabila
terdapat kesalahan dalam penulisan maka kami mohon maaf. Kritik dan saran yang
bersifat membangun sangat kami harapkan demi kesempurnaan bahan ajar berikutnya.
Akhirnya semoga bahan ajar ini memberikan manfaat kepada semua pihak yang
membutuhkan. Aamiin....

Tangerang, September 2022
Penyusun

Ike Mudrika, M.Pd

Daftar Isi

Halaman Judul ............................................................................................................................................. i
Kata Pengantar .......................................................................................................................................... ii
Daftar Isi ...................................................................................................................................................... iii
Peta Konsep SPLDV .............................................................................................................................. iv
KI, KD dan Indikator ................................................................................................................................. v
Pertemuan 1
Pemodelan Persamaan Linear Dua Variabel ................................................................................. 1
Pertemuan 2
GrafikPersamaan Linear Dua Variabel
Pertemuan 3
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Metode Substitusi....................................................... 1
Pertemuan 4
Sistem Persamaan Linea Dua Variabel Metode Eliminasi ........................................................ 2
Pertemuan 5
Sistem Persamaan LineaDua Variabel Metode Gabungan (Subtitusi dan Eliminasi) ..... 3
Pertemuan 6
Sistem Persamaan Linea Dua Variabel Metode Grafik ............................................................. 4
Peremuan 7
Sistem Persamaan Linea Dua Variabel Khusus ............................................................................ 5
Pertemuan 8
Permasalahan yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ........... 6

Daftar Pustaka............................................................................................................................................ 5

Peta Konsep

Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel (SPLDV)

Membahas

Persamaan Linear Dua Variabel Penyelesaian Sistem Persamaan

Linear Dua Variabel

Menggunakan Metode

Metode Substitusi Metode Eliminasi Metode Grafik Metode Campuran

Dipakai Untuk

Penyelesaian Soal Cerita

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

APERSEPSI

Nisa dan Rehan membeli alat tulis di toko
Cerdas. Mereka membeli buku tulis dan
pensil. Nisa membeli 7 buku tulis dan 4
pensil. Rehan membeli 10 buku tulis dan
3 pensil. Jika Nisa harus membayar
sebesar Rp. 23.500,- dan Rehan harus
membayar sebesar Rp. 29.500,-
dapatkah kamu menentukan harga satu
buah buku tulis dan harga satu pensil?
berapa uang yang harus dibayarkan jika
kamu membeli 2 buku tulis dan 5 pensil?
untuk menyelesaikan masalah itu, kamu
memerlukan pengetahuan mengenai
sistem persamaan linear dua variabel
(SPLDV). Dalam bab ini kamu akan
mempelajari konsep SPLDV hingga
menggunakan SPLDV untuk
menyelesaikan masalah.

Pertemuan Aksi 1

Kompetisi Inti

KI-3 Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan

rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait

fenomena dan kejadian tampak mata

KI-4 Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan,
mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak
(menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai
dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut
pandang/teori


Kompetisi Dasar

3. 5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaian yang
Diihubungkan dengan masalah kontekstual

4.5 Menyediakan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua
variabel

Indikator

1.Mengidentifikasi persamaan linear dua varaibel
2.Mengidentifikasi penyelesaian PLDV dan grafiknya
3.Membuat persamaan linear dua variabel sebagai model matematika dari

situasi yang diberikan
4.Menentukan penyelesaian PLDV dengan grafiknya

Tujuan Pembelajaran

1. Peserta didik dapat mengidentifikasi persamaan linear dua varaibel
2.Peserta didik dapat membuat persamaan linear dua variabel sebagai model


matematika dari situasi yang diberikan
3.Pserta didik dapat mengidentifkasi penyelesaian PLDV dan grafiknya
4.Peserta didik dapat penyelesaian PLDV dan grafiknya

PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Persamaan linear dua variabel merupakan
persamaan linear yang mempunyai dua variabel
berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear
dua variiabel:

ax + by = c
Keterangan:
a dan y : variabel
c : kostanta
a : koefisien x
b : koefisien y
a dan b tidak boleh nol
Nilai a, b, c berupa bilangan real

Contoh

Beberapa contoh PLDV:
1) 4x + 2y =16

variabelnya x dan y, kostantanya 16
2) 3a - 8b = 20

varaibelnya a dan b, kostantanya 20

PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

LATIHAN

Mari kita tentukan variabel dan koefisiennya :
1. 3x + 6y = 12
variabelnya adalah x dan y
koefisien dari x adalah 3, dan koefisien dari y
adalah ...........
2. 5p – 4q + 30 = 0
variabelnya adalah p dan q
koefisien dari p adalah ......., dan koefisien dari q
adalah ...........
3. m = 2n – 8
variabelnya adalah ..... dan ......
koefisien dari ..... adalah ....., dan kefisien dari ......
adalah ...........

PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

membuat model matematika

Sekelompok siswa SMP Sukamaju merencanakan studi
lapangan. Perwakilan kelompok mereka mengamati
brosur spesial yang ditawarkan oleh sebuah agen bus.
Agen Bus Galaksi melayani tur satu hari dengan biaya
sewa bus sebesar Rp2.000.000,00 dan untuk makan
serta retribusi lainnya, tiap siswa dikenakan biaya
sebesar Rp150.000,00. Untuk memudahkan menghitung
biaya yang dikeluarkan oleh rombongan, ketua
rombongan menulis persamaan seperti berikut.

Variabel dari persamaan dimisalkan h, yakni total biaya
yang dikeluarkan, dan s, yakni banyak siswa yang
mengikuti studi lapangan. Sehingga, persamaannya
menjadi h = 2.000.000 + 150.000 × s atau h = 2.000.000
+ 150.000s.
Persamaan h = 2.000.000 + 150.000s merupakan
SersaPaan Oinear Gua variabel. Persamaan ini terdapat
dua variabel, yakni h dan s yang keduanya berpangkat
satu.

penyelesaian PERSAMAAN LINEAR DUA


VARIABEL

Bentuk PLDV mempunyai dua variabel sehingga
demikian, penyelesaian PLDV berupa pasangan
nilai benar, pasangan nilai disebut bukan
penyelesaian.
Misalkan diketahui persamaan linear x + 2y = 4.
jika disyaratkan x dan y berupa bilangan cacah
kurang dari 7, dapatkah kamu menentukan
penyelesaian persamaan tersebut? perhatikan
cara menemukannya berikut
persamaan x + 2y =4 di ubah menjadi persamaan
eksplisit dalam x.
x + 2y = 4
x = 4 - 2y
Dari proses di atas, persamaan x + 2y = 4 diubah
menjadi persamaan eksplisit x = 4 - 2y. kemudian
nilai x di tentukan dengan mensubtitusikan nilai y
yang memenuhi syarat ke dalam persamaan
x = 4 - 2y

penyelesaian PERSAMAAN LINEAR DUA

VARIABEL

Jadi, penyelesaian persamaan x = 4 - 2y antara
lain (0, 4) dan (1, 2)

Tugas

Diketahui persamaan -3x + 4y = 20. Disyaratkan nilai x

dan y berupa bilangan asli kurang dari 20. ubahlah

persamaan tersebut ke bentuk ekspisit. Kemudian

tentukan penyelesaian persamaan tersebut. tulislah

penyelesaianmu di kertas, lalu kumpulkan kepada

bapak/ibu Guru melalui telpon seluler

Untuk menambah pemahamanmu
tentang persamaan linear dua variabel,
pindailah QR code di samping

Penyelesaian pldv dan grafiknya

Mari kita ingat kembali pengertian penyelesaian

persamaan, yaitu pengganti dari variabel

sehingga kalimat terbuka menjadi kalimat yang

bernilai benar.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dan grafiknya

∈dari persamaan y + 2x – 8 = 0, jika x, y { bilangan
∈Real } atau x, y R.

Jawab :

Persamaan y + 2x – 8 = 0

⇔ y + 2x = 8

Untuk x = 0, maka : Untuk y = 0, maka

:

y + 2. 0 = 8 0 + 2x = 8

y=8 2x = 8

(0, 8) x=4

(4, 0)

∈Karena x, y R, maka pasangan x dan y yang

merupakan penyelesaian ada tak terhingga.

Grafik dari himpunan penyelesaiannya berupa

garis lurus yang melalui titik (4, 0) dan (0, 8)

Penyelesaian pldv dan grafiknya

Grafik

Kvpvaaeapmrmpreiaaeurgaisrbaamshsaeurbaamelfd,emmimdpkaal aiaidnhnpsnanayaedlmnaimnrmnad.elmeiupiualnnaainlmegnearhtmeagmdueQtrnbuka
dRgu
ahuea
uCantio


adi
e

Penyelesaian pldv dan grafiknya

Latihan
Tentukan himpunan penyelesaian dan grafiknya

∈dari persamaan berikut, untuk x,y { bilangan

real }
a. x + 2y = 4
b. x – y = 5
c. 4x = -3y + 6
d. y = 2x + 4

Pertemuan Aksi 2

Kompetisi Inti

KI-3 Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan

rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait

fenomena dan kejadian tampak mata

KI-4 Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan,

mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak

(menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai

dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut

pandang/teori


Kompetisi Dasar

3. 5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaian yang
Diihubungkan dengan masalah kontekstual

4.5 Menyediakan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua
variabel

Indikator

1.Mengidentifikasi penyelesaian daripersamaan linear dua varaibel dengan
metode substitusi

2.Mengidentifikasi penyelesaian dari persamaan linear dua varaibel dengan
metode eliminasi

3.Membuat model matematikadan Menentukan penyelesaian daripersamaan
linear dua varaibel dengan metode substitusi

4.Membuat model matematikadan Menentukan penyelesaian daripersamaan
linear dua varaibel dengan metode eliminasi

Tujuan Pembelajaran

1.Peserta didik dapat mengidentifikasi penyelesaian daripersamaan linear dua
varaibel dengan metode substitusi

2.Peserta didik dapat mengidentifikasi penyelesaian dari persamaan linear dua
varaibel dengan metode eliminasi

3.Peserta didik dapat membuat model matematikadan Menentukan
penyelesaian daripersamaan linear dua varaibel dengan metode substitusi

4.Peserta didik dapat membuat model matematikadan Menentukan
penyelesaian daripersamaan linear dua varaibel dengan metode eliminasi

Penyelesaian SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA

VARIABEL

Misalkan Ani membeli 4 buku tulis dan 1
pensil dengan membayar Rp. 18.000,-
sementara itu, Dika membeli 2 buku tulis
dan 3 pensil dengan membayar Rp. 14.000,-.
Untuk menyelesaikan itu simisalkan harga 1
buku tulis x dan harga 1 pensil y. Dengan
demikian model sistem persamaan dapat
dinyatakan dalam x dan y seperti berikut:
4x + y = 18.0000
2x + 3y = 14. 0000
untuk menyelesaikan sistem tersebut dapat
menggunakan beberapa cara lain metode
grafik, metode eliminasi, metode subtitusi
dan metode subtitusi dan eliminasi.

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL


METODE SUBTITUSI

Bentuk umum sistem persamaan linear dua

variabel
dituliskan sebagai berikut
1 + 1 = 1
2 + 2 = 2
Keterangan:
x, y = variabel 1 , 2 = koefisien dari y

∈ 1 , 2 = koefisien dari x 1 , 2 = konstanta

Dengan a, b, c R dan a ≠ 0; ≠ 0

Penyelesaian SPLDV mengggunakan metode
subtitusi dilakukan dengan cara menyatakan
salah satu variabel ke dalam variabel lainnya
pada salah satu persamaan, lalu
menstitubsikannya ke persamaan yang lain
dalam SPLDV tersebut

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL


METODE SUBTITUSI

CONTOH 1

Tentukan himpunan penyelesaian sistem

∈persamaan linear 3x + y = 5 dan 2x + 3y = 8,

x dan y R dengan metode substitusi
Jawab:
3x + y = 5

y = -3x + 5 (persamaan 1)
2x + 3y = 8 (persamaan 2)
Persamaan 1 disubstitusikan ke persamaan
2
2x + 3(-3x + 5) = 8
2x – 9x + 15 = 8
-7x = 8 – 15
-7x = -7

x = 1 (persamaan ke 3)
Persamaan 3 disubstitusikan ke persamaan
1 y = -3x + 5
y = -3 . 1 + 5

= -3 + 5 = 2
Himpunan penyelesaian {(1, 2)}

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL


METODE SUBTITUSI

CONTOH 2

Gunakan metode substitusi untuk
menyelesaikan himpunan penyelesaian dari

∈sistem persamaan 5x + 5y = 25 dan 3x + 6y =

24 untuk x, y R
Jawab:
5x + 5y = 25

5y = -5x + 25
y = -x + 5 (persamaan 1)

3x + 6y = 24 (persamaan 2)
Persamaan 1 disubstitusikan ke persamaan
2
3x + 6y = 24
3x + 6 (-x + 5) = 24
3x – 6x + 30 = 24
-3x = 24 – 30
-3x = -6
x = 2 (persamaan 3)
Persamaan 3 disubstitusikan kepersamaan
1 y = -x + 5 = -2 + 5 = 3 Himpunan
penyelesaian {(2, 3)}

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL


METODE SUBTITUSI

CONTOH 3

Diketahui di suatu keluarga berat badan ayah sama
dengan berat badan anak ditambah 46kg, dan
jumlah berat badan ayah dengan anak sebesar
68kg. Tentukan berat ayah dan anak tersebut.
Jawab:
Untuk menyelesaikan soal dari permasalahan
tersebut mari kita buat dalam bentuk persamaan
linear dua variabel terlebih dahulu
Misal:
Berat Badan Ayah = x dan Berat Badan Anak = y.

x = y + 50 ......(1)
x + y = 94 ......(2)
Ditanya:Umur ayah dan anak x =? dan y=?
Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat dengan
mudah menggunakan Metode Substitusi dengan
mensubstitusikan persamaan satu ke dalam
persamaan 2 untuk mencari nilai y.

x + y = 94
(y + 50) + y = 94 → substitusi persamaan 1, x = y + 50.

y + y + 50 = 94
2y = 94 - 50
y = 44/2
y = 22

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL


METODE SUBTITUSI

Setelah mengetahui berat badan anak atau y
substitusikan nilai y = 22 ke dalam persamaan 1
untuk mengetahui berat badan ayah.
x = y + 50
x = 22 + 50
x = 72
Sehingga kita memperoleh berat badan
ayah = 72kg dan berat badan anak 22kg.

Untuk menambah pemehamanmu
tentang cara menyelesaikan SPLDV
dengan metode subtitusi, pindailah
QR code di samping

LATIHAN

Sebuah toko pakaian menjual kemeja dan celana,
didalam daftar harga terdapat harga 1 buah kemeja
dan 3 celana seharga Rp. 82.000, sedangkan harga
3 buah kemeja dan 2 celana sebesar Rp. 99.000.
Berapa harga masing-masing kemeja dan celana

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL


METODE ELIMINASI

Kalian juga dapat menentukan penyelesaian
SPLDV dengan menggunakan metode eliminasi.
Metode eliminasi dilakukan dengan cara
mengeliminasi (melenyapkan) salah satu variabel
dan variabel yang akan dieliminasi harus
mempunyai koefisien yang sama. Jika koefisien
variabel tidak sama maka kalian harus mengalikan
salah satu persamaan dengan suatu konstanta
sehingga ada variabel yang mempunyai koefisien
sama. untuk memahaminya, perhatikan contoh
berikut

contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian sistem

∈persamaan linear 2x + 3y = 8 dan 3x + y = 5, x dan y
R dengan menggunakan metode eliminasi
Jawab:
2x + 3y = 8 x1 2x + 3y = 8
3x + y = 5 x3 9x + 3y = 15 -

-7x = -7
x=1

2x + 3y = 8 x3 6x + 9y = 24
3x + y = 5 x2 6x + 2y = 10 -

7y = 14
y= 2

Himpunan penyelesaian yaitu {(1, 2)}

contoh 2

Dio membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus
membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg
mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00.
Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?
Jawab:
Misalkan : harga 1 kg mangga = x

harga 1 kg apel = y
metode eliminasi
2x + y = 15.000 |×2| 4x + 2y = 30.000
x + 2y = 18.000 |×1| x + 2y = 18.000

------------------------ --
3x = 12.000

x = 12.000 / 3
x = 4.000
2x + y = 15.000 |×1| 2x + y = 15.000
x + 2y = 18.000 |×2| 2x + 4y = 36.000
------------------------ --
-3y = -21.000
y = -21.000 / -3
y = 7.000
5x + 3y = 5 (4000) + 3 (7000)
= 20.000 + 21.000
= 41.000
Jadi, harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah Rp 41.000

contoh 3

Jumlah dua bilangan adalah 10. Jika bilangan kedua
dikalikan 2 maka hasilnya 5 lebihnya dari pada
bilangan pertama. Tentukan kedua bilangan itu.
Penyelesaian :
misal dua bilangan itu berturut-turut adalah x dan
y, maka

⇔x + y = 10 ... pers I

2y = 5 + x -x + 2y = 5 .... pers II
Metode eliminasi
x + y = 10 |×2| 2x + 2y = 20
-x + 2y = 5 |×1| -x + 2y = 5

------------------ --
3x = 15

x = 15 / 3
x=5
x + y = 10
-x + 2y = 5
--------------- +
3y = 15
y = 15 / 3
y=5
jadi kedua bilangan itu adalah 5

contoh 4

Andi dan Abi membeli perlengkapan olahraga yaitu raket dan

shotelcok. Andi membeli 3 raket dan 5 shotelcok seharga Rp.

17.000,- dan abi juga membeli 4 raket dan 2 shotelcok seharga Rp.

18.000,- di Toko Mekah.di Toko Merdeka Andi juga membeli 4 raket

dan 2 shotelcok seharga Rp. 13.000,- dan begitu juga Abi membeli 3

raket dan sebuah shotelcok seharga Rp. 9.000,- Ketika perjalanan

pulang andi dan abi bertemu dengan Devi. ternyata Devi ingin

membeli raket dan shotelcok, Dimanakah toko yang harus

dikunjungi devi untuk mendapatkan harga raket dan shotelcok

termurah?

Penyelesaian :

misalkan : raket = x, shotelcok = y

toko mekah

membuat persamaan:

3x+5y=17000

4x+2y=18000

Metode Eliminasi

3x+5y=17000 x4 12x+20y=68000 3x+5y=17000 x2 6x+10y=34000

4x+2y=18000 x3 12x+6y=54000 4x+2y=18000 x5 20x+10y=90000

14y=14000 -14x =-56000

y=1000 x =4000

jadi di toko mekah harga raket adalah Rp. 4.000 dan harga

shotelcok adalah Rp. 1.000

toko merdeka

membuat persamaan:

4x+2y=24000

3x+y=17000

Metode Eliminasi

4x+2y=24000 x1 4x+2y=23000 4x+2y=24000 x3 12x+6y=72000

3x+y=17000 x2 6x+2y=34000 3x+y=17000 x4 12x+4y=68000

-2x = -10000 2y=4000

x = 5000 y=2000

toko merdeka harga raket Rp. 5.000 dan harga shotelcok adalah Rp.

2.000 maka toko yang termurah adalah toko mekah

Untuk menambah pemahamanmu
tentang cara menyelesaikan SPLDV
dengan metode eliminasi, pindailah
QR code di samping

latihan

Tiga tahun yang lalu, jumlah umur ayah dan
umur ibu adalah 58 tahun. Lima tahun yang akan
datang, umur ayah ditambah dua kali umur ibu
adalah 110 tahun. Tentukan umur ayah dan umur
ibu saat ini.

Pertemuan Aksi 3

Kompetisi Inti

KI-3 Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan

rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait

fenomena dan kejadian tampak mata

KI-4 Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan,
mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak
(menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai
dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut
pandang/teori


Kompetisi Dasar

3. 5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaian yang
Diihubungkan dengan masalah kontekstual

4.5 Menyediakan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua
variabel

Indikator

1.1Menentukan model matematika dari persamaan lineardua variabel C2
2.2Menginplementasikan masalah kontekstual pada sistem persamaan linear

dua variabel C3
3.Memecahkan penyelesaian dari persamaan linear dua varaibel dengan

metode gabungan (subtitusi dan eliminasi) C4
4.Membuat model matematika pada persamaan linear dua variabel P3
5.Menentukan penyelesaian dari persamaan linear dua varaibel dengan

metode campuran (subtitusi dan eliminasi) P5

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

METODE GABUNGAN (SUBTITUSI DAN ELIMINASI)

Jika menggunakan metode eliminasi-subtitusi,
kamu cukup melakukan satu kali eliminasi.
kemudian, nilai variael yang kamu peroleh
disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan.
Dengan dua langkah ini, penyelesaian SPLDV
dapat ditentukan

CONTOH

∈Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV: x + y =

5 dan x − y = 1 untuk x, y R menggunakan

metode grafik.

jawab:

x+y=5

x + y = 5⟶ x = 0 x + y = 5 ⟶y = 0

0+y=5 x+0=5

y = 5 (0, 5) x = 5 (5, 0)

x-y=1

x-y=1⟶x=0 x - y = 1 ⟶y = 0

0-y=1 x-0=1

-y = 1 x = 1 (1, 0)

y = -1 (0, -1)

himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

∈x + y = 5 dan x − y = 1 untuk x, y R adalah {(3,

2)}

TUGAS

Tentukan penyelesaian SPLDV 3x + 5y = 7 dan -2x
+ 3y = -11 dengan metode eliminasi-substitusi.
Tentukan dengan mengikuti langkah-langkah
berikut

1.Eliminasi salah satu variabel SPLDV. kamu
akan memperoleh nilai salah satu variabel

2.Subtitusi nilai yang kamu peroleh ke dalam
satu persamaan anggota SPLDV

contoh

Rudi membeli 2 kg anggur dan 1 kg jeruk dan ia
harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Rizki
membeli 1 kg anggur dan 2 kg jeruk dengan
harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg
anggur dan 3 kg jeruk?
Jawab:
Misal:
anggur = x, jeruk = y
Rudi → 2x + y = 15.000 .....(1)
Rizki → x + 2y = 18.000 .....(2)
(jika hanya satu koefisien tuliskan variabel saja
1x = x)
Ditanya: 5x + 3y =?

Kemudian kita akan menyelesaikan persamaan
linear dua variabel tersebut dengan
mengeliminasi y dari persamaan untuk
mengetahui nilai x atau harga anggur:

Kemudian kita substitusi nilai x = 4000 ke
persamaan 1 untuk mencari nilai y atau harga
jeruk:

2x + y = 15.000
2(4.000) + y = 15.000

8.000 + y =15.000
y = 15.000 - 8.000
y = 7.000

Jadi harga anggur atau x Rp. 4.000/kg dan jeruk
atau y Rp. 7.000/kg, selanjutnya adalah
menjawab besar harga 5 kg anggur dan 3 kg
jeruk.
5x + 3y = 5(4.000) + 3(7.000)

= 20.000 +21.000
= 41.000
Jadi harga 5 kg anggur dan 3 kg jeruk Rp. 41.000

Contoh

Andi dan Abi membeli perlengkapan olahraga yaitu raket
dan shotelcok. Andi membeli 3 raket dan 5 shotelcok
seharga Rp. 17.000,- dan abi juga membeli 4 raket dan 2
shotelcok seharga Rp. 18.000,- di Toko Mekah.di Toko
Merdeka Andi juga membeli 4 raket dan 2 shotelcok
seharga Rp. 13.000,- dan begitu juga Abi membeli 3 raket
dan sebuah shotelcok seharga Rp. 9.000,- Ketika perjalanan
pulang andi dan abi bertemu dengan Devi. ternyata Devi
ingin membeli raket dan shotelcok, Dimanakah toko yang
harus dikunjungi devi untuk mendapatkan harga raket dan
shotelcok termurah?
Penyelesaian :
misalkan : raket = x, shotelcok = y
toko mekah
membuat persamaan:
3x+5y=17000
4x+2y=18000
Metode Eliminasi
3x+5y=17000 x4 12x+20y=68000
4x+2y=18000 x3 12x+6y=54000

14y=14000
y=1000

3x+5y=17.000
3x+5(1000)=17.000
3x+5.000=17.000
3x = 17.000 - 5.000
3x = 12.000

x = 4.000
jadi di toko mekah harga raket adalah Rp. 4.000 dan harga
shotelcok adalah Rp. 1.000

toko merdeka
membuat persamaan:
4x+2y=24000
3x+y=17000
Metode Eliminasi
4x+2y=24000 x1 4x+2y=23000 4x+2y=24000

x3 12x+6y=72000
3x+y=17000 x2 6x+2y=34000 3x+y=17000 x4

12x+4y=68000
-2x = -10000 2y=4000
x = 5000 y=2000
toko merdeka harga raket Rp. 5.000 dan

harga shotelcok adalah Rp. 2.000 maka toko

yang termurah adalah toko mekah

Untuk menambah pemahamanmu

tentang cara menyelesaikan

SPLDV dengan metode gabungan,

pindailah QR code di samping

TUGAS

Harga 3kg Anggur dan 5kg Apel adalah
Rp. 160.000, sedangkan harga 4kg Anggur dan
1kg Apel adalah Rp. 134.000. Jika Zaki membeli
2kg Anggur dan 2kg Apel dengan membawa
uang Rp. 100.000 maka besar uang
kembaliannya adalah?

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Metode Grafik

Menyelesaikan SPLDV menggunakan metode
grafik dilakukan dengan menggambar grafik
kedua persamaan pada satu bidang kartesius.
koordinat titik potong kedua grafik tersebut
merupakan penyelesaian dari sistem
persamaan tersebut

Contoh
Tentukan himpunan

penyelesaian dari sistem

persamaan linear x+y=4

dan x-2y=-2. x dan y

anggota bilangan rill

dengan metode grafik

Jawab:

x+y=4 x-2y=-2
Titik potong dengan
Titik potong dengan

sumbu x, y=0 sumbu x, y=0
x+y=4 x-2y=-2
x+0=4 x-2 . 0=-2
x =4 x =-2
Diperoleh titik (4,0) Diperoleh titik (-2,0)

Titik potong dengan
Titik potong dengan


sumbu y, x=0 sumbu y, x=0

x+y=4 x-2y=-2

0+y=4 0-2y=-2

. y=4 . y=1

diperoleh titik (0, 4) Grafik diperoleh titik (0, 1)

CONTOH

Hari ini Arin memutuskan untuk makan siang
di KFC karena sedang ada promo yaitu gratis
large softdrink untuk setiap pembelian Paket
Super Besar. Jika harga Paket Super Besar 1 (1
ayam, 1 nasi, & gratis large softdrink) adalah
Rp 16.000,- dan harga Paket Super Besar 2 (2
ayam, 1 nasi, & gratis large softdrink) adalah
Rp 28.000,- , maka tentukanlah harga 1 ayam
dan 1 nasi

Misalnya :
x = harga 1 ayam
y = harga 1 nasi
Maka soal cerita tersebut dapat dimodelkan
menjadi :

x + y = 16.000 2x + y = 28..000

cari koordinat titik yang dilewati oleh grafik
masing-masing persamaan terebut.
Biasanya dua titik yang dipilih tersebut
merupakan titik potong grafik persamaan-
persamaan tersebut dengan sumbu-x dan
sumbu-y.

x=0 y= 0
x + y = 16.000 x + y = 16.000
0 + y = 16.000 x + 0 = 16.000

y = 16.000 ( 0, 16.000) x= 16.000 ( 16.000, 0)

x=0 y=0
2x + y = 28.000 2x + y = 28.000
2 . 0 + y = 28.000 2 x + 0 = 28.000

y = 28.000 ( 0, 28.000) x = 14.000 ( 14.000, 0)

Gambar grafik persamaan-persamaan

tersebut pada koordinat Cartesius.

Titik Potong grafik adalah x + y = 16.000 dan 2x +
y= 28.000 adalah (12.000, 4.000)

Dari grafik diperoleh bahwa titik potong grafik
adalah (12000,4000). Sehingga selesaian dari
contoh soal SPLDV adalah x = harga ayam = Rp
12000,00 dan y = harga nasi = Rp 4000,00.

Untuk menambah pemahamanmu

tentang cara menyelesaikan

SPLDV dengan metode grafik,

pindailah QR code di samping

LATIHAN

Carilah penyelesaian SPLDV berikut dengan
metode grafik
a. x +2y - 3 = 0

4x + 3y = 2
b. 3x + y = 1

2y = 2 - 6x
c. 2x - y = 2

2y - 4x = 2

Pertemuan Aksi 4

Kompetisi Inti

KI-3 Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan

rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait

fenomena dan kejadian tampak mata

KI-4 Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan,

mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak

(menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai

dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut

pandang/teori


Kompetisi Dasar

3. 5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaian yang
Diihubungkan dengan masalah kontekstual

4.5 Menyediakan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua
variabel

Indikator

1.Menentukan model matematika dari persamaan lineardua variabel
2.Menginplementasikan masalah kontekstual pada sistem persamaan linear dua

variabel
3.Memecahkan penyelesaian daripersamaan linear dua varaibel khusus
4.Memecahkan permasalahakan yang berkaitan dengan persamaan linear dua

varaibel
5.Membuat model matematika pada persamaan linear dua variabel
6.Menentukan permasalahakan yang berkaitan dengan persamaan linear dua

varaibel

Tujuan Pembelajaran

1.Peserta didik dapat menentukan model matematika dari persamaan linear dua
varaibel dengan baik

2.Peserta didik dapat membuat model matematika pada persamaan linear dua
varaibel dari permasalahan yang diberikan dengan tepat

3.Peserta didik dapat menginplementasikan masalh kontekstual pada
persamaan linear dua varaibel dari permasalahan yang diberikan dengan baik

4.Peserta didik dapat memecahkan penyelesaian dari persamaan linear dua
varaibel khususdari permasalahan yang diberikan dengan tepat

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Suatu sistem persamaan linier dua variabel bisa saja
tidak mempunyai selesaian atau memiliki lebih dari
satu selesaian yang disebut sistem persamaan linier
dua variabel khusus. Berikut adalah cara untuk
menyelesaikan sistem persaman linier dua variabel
khusus dengan cara menggambar grafik.

Pahamilah soal dan ubah kalimat menjadi
kalimat matematika atau bentuk persamaan.
Gambar bentuk dua persamaan ke dalam grafik.
Temukan titik potong kedua grafik dan periksa
titik potong, jika jika terbukti benar maka itulah
titik potongnya. Titik potong tersebut adalah
bentuk selesaian (x, y). Jika kedua garis sejajar,
maka persamaan tersebut tidak memiliki
selesaian. Jika kedua garis berimpit, maka
persamaan tersebut memiliki selesaian tak
hingga.

Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel
khusus juga dapat dilakukan dengan cara subtitusi.

Pahamilah soal dan ubah kalimat menjadi
kalimat matematika atau bentuk persamaan.
Jadikan salah satu variabel x atau y pada satu
ruas.
Subtitusi nilai x atau y ke persamaan lainnya,
sehingga nilai x = x atau y = y. Jika tidak
ditemukan nilai variabel dan nilai salah, maka
tidak ada selesaian untuk persamaan tersebut.
Jika tidak ditemukan nilai variabel dan nilai
benar, maka selesaian persamaan tersebut
adalah tak hingga.

contoh 1

Selesaikan sistem persamaan berikut.
y = 3x + 1
y = 3x -3
Jawaban:
Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, kalian
bisa menggunakan dua metode.
Metode 1. Menggambar grafik kedua persamaan.
Gambar grafik setiap persamaan memiliki kemiringan
(gradien) yang sama dan berbeda titik potong terhadap
sumbu-Y. Sehingga kedua garis sejajar. Karena kedua
garis sejajar, maka tidak memiliki titik potong sebagai
selesaian untuk sistem persamaan linear.

Metode 2. Metode substitusi
Substitusi 3x í 3 ke persamaan pertama.
y = 3x + 1
3x - 3 = 3x + 1

-3 = 1 (salah)
Jadi, sistem persamaan linear tidak memiliki selesaian

contoh 2

Keliling suatu persegi panjang adalah 36 dm. Keliling
segitiga adalah 108 dm. Tulis dan tentukan selesaian
dari sistem persamaan linear dua variabel untuk
menentukan nilai x dan y.

Keliling persegi panjang
2(2x) + 2(4y) = 36
4x + 8y = 36
Keliling segitiga
6x + 6x + 24y = 108
12x + 24y = 108
Sistem persamaan linear dua variabel
yang dibentuk adalah
4x + 8y = 36
12x + 24y = 108
Untuk menyelesaikan sistem persamaan
di atas, kalian bisa menggunakan dua
metode.

metode grafik

Gambar grafik setiap

persamaan memiliki

kemiringan (gradien) dan titik

potong terhadap sumbu-Y

yang sama. Sehingga kedua

garis adalah sama atau

berhimpit. Dalam konteks ini, x

dan y harus positif. Karena

kedua garis saling berimpit,

maka semua titik yang melalui

garis pada kuadran pertama

adalah selesaian dari sistem

persamaan. Sehingga, sistem

persamaan linear ini memiliki

selesaian yang tak terhingga

metode ELIMINASI

Kalikan persamaan pertama dengan 3, lalu kurangkan

kedua persamaan.

4x + 8y = 36 (kalikan 3) 12x + 24y = 108

12x + 24y = 108 12x + 24y = 108 –

0=0

Persamaan 0 = 0 selalu benar. Dalam konteks ini, x dan

y pasti positif. Sehingga selesaiannya adalah semua

titik pada garis 4x + 8y = 36 di kuadran pertama.

Sehingga, sistem persamaan linear ini memiliki

selesaian yang tak terhingga

Untuk menambah pemahamanmu

tentang cara menyelesaikan SPLDV

khusus, pindailah QR code di samping

latihan

Nadia membuat sebuah cerita yang dinyatakan oleh
sistem persamaan berikut.
5p + 3k = 12
10p + 6k = 16
Bisakah Nadia menemukan nilai p dan k? Jelaskan
alasanmu.

permasalahan yang berkaitan dengan sistem


persamaan linear dua variabel

Nisa dan Rehan membeli alat tulis di toko Cerdas.
Mereka membeli buku tulis dan pensil. Nisa
membeli 7 buku tulis dan 4 pensil. Rehan membeli
10 buku tulis dan 3 pensil. Jika Nisa harus
membayar sebesar Rp. 23.500,- dan Rehan harus
membayar sebesar Rp. 29.500,- dapatkah kamu
menentukan harga satu buah buku tulis dan harga
satu pensil?untuk menyelesaikan masalah itu,
kamu harus mampu mengubah permasalahan
menjadi SPLDV. Kemudian kamu dapat
menyelesaikan SPLDV dan menafsirkan
penyelesaiannya.

Secara garis besar langkah-langkah mengubah
permasalahan sahari-hari menjadi SPLDV
dilakukan sebagai berikut:

1.tentukan variabel-variabelnya, lalu lakukan
permisalan

2.terjemahkan masalah tersebut menjadi model
mmatematika berbentuk SPLDV

3.selesaikan model matematika yang di peroleh
pada langkah 2

4.selanjutnya, nilai variabel-variabel yang telah
diperoleh dicocokkan dengan pemisalan awal
sehingga permasalahan dapat diselesaikan

Perhatikan cara menentukan harga buku tulis dan
pensil di toko Candra berikut:
Langkah 1 : Lakukan pemisalan
Misalkan : x = harga 1 buku tulis

y = harga satu pensil
Langkah 2 : Menyimpulkan SPLDV berdasarkan
permasalahan
Dari keterangan, diperoleh SPLDV berikut
a. Nisa harus membayar Rp. 23.500,- untuk
membeli 7 buku tulis dan 4 pensil. dengan
demikian di peroleh persamaan:
7x + 4y = 23.500 ...(1)
b. Rehan harus membayar Rp. 29.500 untuk
membeli 10 buku tulis dan 3 pensil. dengan
demikian di peroleh persamaan
10x + 3y = 29.500 ... (2)
Bentuk SPLDV dari permasalahan tersebut adalah
7x + 4y = 23.500 dan 10x + 3y = 29.500
Langkah 3 : Menyelesaikan SPLDV
Eliminasi y dari persamaan 1 dan 2
7x + 4y = 23.500 | x 3 | 21x +12y = 70.500
10x + 3y = 29.500 | x 4 | 40x + 12y = 118.000 -

-19x = -47.500
x = 2.500

Subtitusikan x = 2.500 ke dalam persamaan (1)
7x + 4y = 23.500
7 x 2.500 + 4y = 23.500

17.500 + 4y = 23.500
4y = 6.000
y = 1.500

Langkah 4 : Menafsirkan penyelesaian SPLDV
Telah di peroleh x = 2.500 dan y = 1.500
variabel x mewakili harga 1 buku tulis, sehingga
harga satu buku tulis adalah RP. 2.500,-
variabel y mewakili harga 1 pensil, sehingga harga
satu pensil adalah Rp. 1.500,-

contoh

Perbandingan uang Andi dengan uang Budi adalah
3 : 2. Jika jumlah uang mereka Rp35.000,00 maka
uang Andi adalah . . . .
Jawab:
Misalkan uang Andi adalah x dan uang Budi adalah
y. Perbandingan uang Andi dengan uang Budi 3 : 2,
jika dibuat dalam bentuk model matematika
menjadi:
x/y=3/2
x=3/2y . . . . (*)
Jumlah uang mereka adalah Rp35.000,00, jika
dibuat ke dalam bentuk model matematika
menjadi:
x+y=35.000 . . . . (**)

Masukkan persamaan (*) ke dalam persamaan (**)!
x+y=35.000
3/2y+y=35.000
5/2y=35.000
y=35.000 : 5/2
y=35.000 × 2/5 = 14.000
Masukkan nilai y=14.000 ke persamaan (*)!
x=3/2y

=3/2 × 14.000
=21.000
Uang Andi adalah Rp21.000

Untuk menambah pemahamanmu

tentang permasalahan yang

berkaitan dengan SPLDV, pindailah

QR code di samping

TUGAS

Selesaikan masalah berikut secara individu
Budi lebih tua daripada Ani . Dua tahun lalu, dua kali
usia Ani ditambah tiga kali usia Budi dan Ani
sekarang?
selesaikan permasalahan di atas menggunakan
SPLDV. Tulislah penyelesaianmu di kertas, lalu
kumpulkan pada ibu/bapak guru

DAFTAR PUSTAKA

Salamah, Umi. 2018. Berlogika dengan Matematika untuk kelas VIII SMP
dan MTs. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri

Herdita, dkk. 2021. Buku Interaktif Matematika untuk kelas VIII SMP
dan MTs Semester 1. Klaten: Intan Pariwana

Siska Apulina (https://www.youtube.com/watch?v=HyStRid6PQI&t=35s)
Le GuruLes (https://www.youtube.com/watch?v=4DPidz3KdEI&t=377s)
Matematika Hebat (https://www.youtube.com/watch?v=0JyGMHV9iiA)
Matematika Hebat (https://www.youtube.com/watch?v=Y1LlSyBP-8k)
Matematika Hebat (https://www.youtube.com/watch?v=9rEeURp6WaM)
Matematika Hebat (https://www.youtube.com/watch?
v=kOQ1VDYK8a8&t=168s)
Diba Lailia Adha (https://www.youtube.com/watch?
v=4CwfHY_mV8Y&t=758s)
Miss Sari Al Adzkar (https://www.youtube.com/watch?v=bg3qAujglI8)