MATEMATIK Tan Soon Chen SPM REVISI CEPAT PELANGI ONLINE TEST PELANGI ONLINE TEST 4 5 KSSM TINGKATAN Bonus Praktis SPM & Kertas Model SPM Penyelesaian Lengkap PELANGI
ii Rumus .......................................................... v – vi Tingkatan 4 1 BAB Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 1 Galeri i-THINK ......................................... 1 1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik... 2 Kuasai SPM .............................................. 15 Contoh Soalan KBAT ............................. 21 Praktis SPM 1 ......................................... 21 2 BAB Asas Nombor 23 Peta Konsep ............................................. 23 2.1 Asas Nombor....................................24 Kuasai SPM .............................................. 39 Contoh Soalan KBAT ............................. 43 Praktis SPM 2 ......................................... 43 3 BAB Penaakulan Logik 45 Peta Konsep ............................................. 45 3.1 Pernyataan........................................46 3.2 Hujah .................................................53 Kuasai SPM .............................................. 58 Contoh Soalan KBAT ............................. 62 Praktis SPM 3 ......................................... 63 4 BAB Operasi Set 66 Peta Konsep ............................................. 66 4.1 Persilangan Set................................67 4.2 Kesatuan Set....................................72 4.3 Gabungan Operasi Set...................77 Kuasai SPM .............................................. 80 Contoh Soalan KBAT ............................. 84 Praktis SPM 4 ......................................... 85 5 BAB Rangkaian dalam Teori Graf 87 Peta Konsep ............................................. 87 5.1 Rangkaian ..........................................88 Kuasai SPM ............................................ 100 Contoh Soalan KBAT ........................... 102 Praktis SPM 5 ....................................... 103 6 BAB Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah 106 Peta Konsep ........................................... 106 6.1 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah ..................... 107 6.2 Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah...........113 Kuasai SPM ............................................ 122 Contoh Soalan KBAT ........................... 126 Praktis SPM 6 ....................................... 127 7 BAB Graf Gerakan 129 Peta Konsep ........................................... 129 7.1 Graf Jarak-Masa .......................... 130 7.2 Graf Laju-Masa ............................. 135 Kuasai SPM ............................................ 143 Contoh Soalan KBAT ........................... 147 Praktis SPM 7 ....................................... 148 ii
iii 8 BAB Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul 150 Peta Konsep ........................................... 150 8.1 Serakan ........................................... 151 8.2 Sukatan Serakan .......................... 154 Kuasai SPM ............................................ 161 Contoh Soalan KBAT ........................... 164 Praktis SPM 8 ....................................... 165 9 BAB Kebarangkalian Peristiwa Bergabung 167 Peta Konsep ........................................... 167 9.1 Peristiwa Bergabung..................... 168 9.2 Peristiwa Bersandar dan Peristiwa Tak Bersandar ............ 169 9.3 Peristiwa Saling Eksklusif dan Peristiwa Tidak Saling Eksklusif ......................................... 174 9.4 Aplikasi Kebarangkalian Peristiwa Bergabung ................... 178 Kuasai SPM ............................................ 179 Contoh Soalan KBAT ........................... 181 Praktis SPM 9 ....................................... 182 10 BAB Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan 184 Peta Konsep ........................................... 184 10.1 Perancangan dan Pengurusan Kewangan ........................................ 185 Kuasai SPM ............................................ 195 Contoh Soalan KBAT ........................... 198 Praktis SPM 10 .................................... 201 Tingkatan 5 1 BAB Ubahan 205 Peta Konsep .......................................... 205 1.1 Ubahan Langsung......................... 206 1.2 Ubahan Songsang .......................... 215 1.3 Ubahan Bergabung........................ 221 Kuasai SPM ........................................... 224 Contoh Soalan KBAT .......................... 228 Praktis SPM 1 ...................................... 229 2 BAB Matriks 231 Peta Konsep ........................................... 231 2.1 Matriks.......................................... 232 2.2 Operasi Asas Matriks................ 235 Kuasai SPM ........................................... 246 Contoh Soalan KBAT .......................... 250 Praktis SPM 2 ...................................... 250 3 BAB Matematik Pengguna: Insurans 252 Peta Konsep .......................................... 252 3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans ........................................ 253 Kuasai SPM ........................................... 262 Contoh Soalan KBAT .......................... 265 Praktis SPM 3 ...................................... 266 iii
iv Penyelesaian Lengkap Praktis SPM dan Kertas Model SPM iv 4 BAB Matematik Pengguna: Percukaian 268 Galeri i-THINK ................................... 268 4.1 Percukaian..................................... 269 Kuasai SPM ........................................... 278 Contoh Soalan KBAT .......................... 283 Praktis SPM 4 ...................................... 285 5 BAB Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi 288 Peta Konsep .......................................... 288 5.1 Kekongruenan .............................. 289 5.2 Pembesaran ................................. 293 5.3 Gabungan Transformasi ........... 297 5.4 Teselasi ........................................ 300 Kuasai SPM ............................................ 301 Contoh Soalan KBAT .......................... 304 Praktis SPM 5 ...................................... 305 6 BAB Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri 308 Galeri i-THINK ................................... 308 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut q, 0° < q < 360° ... 309 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen ............................................ 314 Kuasai SPM ............................................ 319 Contoh Soalan KBAT .......................... 322 Praktis SPM 6 ...................................... 323 7 BAB Sukatan Serakan Data Terkumpul 325 Peta Konsep .......................................... 325 7.1 Serakan ......................................... 326 7.2 Sukatan Serakan ........................ 336 Kuasai SPM ........................................... 345 Contoh Soalan KBAT .......................... 349 Praktis SPM 7 ....................................... 351 8 BAB Pemodelan Matematik 353 Peta Konsep .......................................... 353 8.1 Pemodelan Matematik................ 354 Kuasai SPM ........................................... 359 Contoh Soalan KBAT .......................... 360 Praktis SPM 8 ...................................... 363 Kertas Model SPM ............................. 364 Jawapan .................................................. 377
v Tingkatan 4 4 BAB Operasi Set n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) n(A) = n() – n(A) n(A B) = n(A B) n(A B) = n(A B) 5 BAB Rangkaian dalam Teori Graf Σd(v) = 2E; v V 7 BAB Graf Gerakan Kecerunan, m = Jarak mencancang Jarak mengufuk m = y2 – y1 x2 – x1 m = – Pintasan-y Pintasan-x Laju = Jarak Masa Laju purata = Jumlah jarak Jumlah masa Pecutan = Perubahan laju Perubahan masa v 8 BAB Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul –x = Σx N –x = Σfx Σf Varians, σ 2 = Σ(x – –x)2 N = Σx2 N – –x2 Varians, σ 2 = Σf(x – –x)2 Σf = Σfx2 Σf – –x2 Sisihan piawai, σ = Σ(x – –x)2 N = Σx2 N – –x2 Sisihan piawai, σ = Σf(x – –x)2 Σf = Σfx2 Σf – –x2 9 BAB Kebarangkalian Peristiwa Bergabung P(A) = n(A) n(S) Peristiwa pelengkap A, P(A) = 1 – P(A) P(A dan B) = P(A B) P(A B) = P(A) × P(B) P(A atau B) = P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Matematik SPM Rumus vi Tingkatan 5 2 BAB Matriks A–1 = 1 ad – bc 3 d –c –b a 4 3 BAB Matematik Pengguna: Insurans Premium = Nilai muka polisi RMx ×Kadar premium per RMx Jumlah insurans yang harus dibeli = Peratusan ko-insurans × Nilai boleh insurans harta 4 BAB Matematik Pengguna: Percukaian Pendapatan bercukai = Jumlah pendapatan tahunan – Pengecualian cukai – Pelepasan cukai Cukai pintu = Kadar cukai pintu × Nilai tahunan Cukai tanah = Kadar cukai tanah setiap unit keluasan × Jumlah keluasan tanah 5 BAB Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi Faktor skala, k = Jarak titik yang sepadan pada imej dari O Jarak titik pada objek dari O = Panjang sisi yang sepadan pada imej Panjang sisi pada objek Luas imej = k2 × Luas objek 7 BAB Sukatan Serakan Data Terkumpul Julat = Titik tengah bagi kelas tertinggi – Titik tengah bagi kelas terendah Julat antara kuartil = Kuartil ketiga, Q3 − Kuartil pertama, Q1 vi
1 4 Tingkatan Fungsi kuadratik • Nilai a menentukan bentuk graf. • Nilai b menentukan kedudukan paksi simetri. • Nilai c menentukan kedudukan pintasan paksi-y. • Pemalar c dalam f(x) = ax2 + bx + c merupakan pintasan-y bagi graf fungsi kuadratik. Persamaan kuadratik • Mempunyai satu pemboleh ubah. • Kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah x ialah 2. • Mempunyai dua punca sahaja. Galeri i-THINK Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Bidang Pembelajaran Perkaitan dan Algebra Tingkatan 4 1 BAB Kaedah menyelesaikan persamaan kuadratik • Kaedah pemfaktoran. • Menulis suatu persamaan dalam bentuk ax2 + bx + c = 0 dan memfaktorkan persamaan kuadratik tersebut untuk mendapatkan nilainilai x. 1
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 2 4 Tingkatan 1. Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah merupakan ungkapan yang ditulis dalam bentuk ax2 + bx + c, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0, x ialah pemboleh ubah dan kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah x ialah 2. Contoh ungkapan kuadratik: x2 + 3x – 5, –2x2 + 7x + 9, n2 − 4n, 1 3 p2 – 4 Contoh ungkapan bukan kuadratik: a3 – 6, 4m2 + 5n – 1, 3y2 – 5 y 2. Fungsi kuadratik ditulis sebagai f(x) = ax2 + bx + c. 3. Bagi graf fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c, terdapat dua bentuk graf, iaitu ‘<’ dan ‘>’ yang ditentukan oleh nilai a. 4. Bentuk-bentuk graf bagi fungsi kuadratik: (a) a . 0 (b) a , 0 0 y x 0 y x 5. Nilai a dalam ax2 + bx + c akan menentukan sama ada suatu fungsi kuadratik mempunyai titik minimum atau titik maksimum. (a) Jika nilai a . 0, maka fungsi kuadratik mempunyai titik minimum. (b) Jika nilai a , 0, maka fungsi kuadratik mempunyai titik maksimum. 6. Paksi simetri bagi suatu fungsi kuadratik merupakan garis lurus yang selari dengan paksi-y dan membahagi graf fungsi kuadratik kepada dua bahagian yang sama saiz dan bentuk. 7. Paksi simetri melalui titik minimum atau titik maksimum bagi suatu graf fungsi kuadratik. 0 Paksi simetri y x 8. Persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah boleh ditulis dalam bentuk am, ax2 + bx + c = 0, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0 dan x ialah pemboleh ubah. 9. Contoh persamaan kuadratik: (a) x2 – 6x + 5 = 0 (b) –2x2 + 3x – 7 = 0 10. Punca bagi persamaan kuadratik merupakan nilai pemboleh ubah yang memuaskan persamaan kuadratik tersebut. Punca merupakan titik persilangan antara graf fungsi kuadratik dengan paksi-x. 11. Untuk menentukan sama ada sesuatu nilai yang diberikan merupakan punca bagi persamaan kuadratik atau tidak, gantikan nilai tersebut ke dalam persamaan kuadratik. 12. Kaedah yang boleh digunakan untuk mencari punca persamaan kuadratik ialah kaedah pemfaktoran. 1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik 4 Tingkatan
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 3 4 Tingkatan Contoh 1 Tentukan sama ada setiap yang berikut merupakan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah atau bukan. Berikan justifikasi anda. (a) x2 – 5x + 4 (b) 4m2 – n (c) –7z2 (d) 5p3 – 4p2 + 3p – 1 (e) (w + 2)(w – 3) (f) 3y2 – 7y + 2 y Tip SPM Jika nilai a dalam ax2 + bx + c ialah sifar, maka ungkapan yang diberikan bukanlah ungkapan kuadratik. Penyelesaian (a) Ya. Mempunyai satu pemboleh ubah sahaja dan kuasa tertinggi bagi x ialah 2. (b) Bukan. Mempunyai dua pemboleh ubah, m dan n. (c) Ya. Mempunyai satu pemboleh ubah sahaja dan kuasa tertinggi bagi z ialah 2. (d) Bukan. Kuasa tertinggi bagi p ialah 3. (e) Ya. Mempunyai satu pemboleh ubah, w, dan kuasa tertinggi bagi w ialah 2. (f) Bukan. Bukan dalam bentuk ungkapan kuadratik. Perhatian ! (w + 2)(w − 3) = w2 − 3w + 2w − 6 = w2 − w − 6 Oleh itu, (w + 2)(w − 3) merupakan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah. Contoh 2 Tentukan nilai-nilai a, b dan c bagi setiap persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah yang berikut. (a) 3x2 + 5x + 6 = 0 (b) 2x2 + 3x + 7 = 0 (c) 4x2 + 9x – 1 = 0 (d) 5x2 – 2x + 6 = 0 (e) –7x2 – 4x + 5 = 0 (f) –9x2 + 2x – 4 = 0 Penyelesaian (a) a = 3, b = 5, c = 6 (b) a = 2, b = 3, c = 7 (c) a = 4, b = 9, c = –1 (d) a = 5, b = –2, c = 6 (e) a = –7, b = –4, c = 5 (f) a = –9, b = 2, c = –4 Info MATEMATIK Nilai b dan c dalam ax2 + bx + c boleh menjadi sifar. Contoh 3 Tentukan bentuk graf bagi setiap fungsi kuadratik yang berikut sama ada < atau >. (a) f(x) = 2x2 + 3x + 5 (b) f(x) = 9x2 – 8 (c) f(x) = –x2 – 6x (d) f(x) = –3x2 + 5x – 4 Perhatian ! Ungkapan kuadratik ditulis sebagai ax2 + bx + c tetapi fungsi kuadratik ditulis sebagai f(x) = ax2 + bx + c.
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 4 4 Tingkatan Penyelesaian (a) Nilai a dalam f(x) = 2x2 + 3x + 5 ialah 2. Graf berbentuk <. (b) Nilai a dalam f(x) = 9x2 − 8 ialah 9. Graf berbentuk <. (c) Nilai a dalam f(x) = –x2 – 6x ialah –1. Graf berbentuk >. (d) Nilai a dalam f(x) = −3x2 + 5x − 4 ialah –3. Graf berbentuk >. Contoh 4 Bagi setiap graf fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c yang berikut, nyatakan julat bagi nilai a dan nyatakan sama ada graf tersebut mempunyai titik minimum atau titik maksimum. (a) (b) Penyelesaian (a) a . 0; Titik minimum (b) a , 0; Titik maksimum Info MATEMATIK • Titik minimum dan titik maksimum juga dikenali sebagai titik pegun atau titik pusingan. • Bentuk graf melengkung bagi suatu fungsi kuadratik dikenali sebagai parabola. Contoh 5 Bagi setiap graf fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c yang berikut, tentukan sama ada graf itu mempunyai titik minimum atau titik maksimum. Kemudian, nyatakan persamaan paksi simetri bagi graf fungsi kuadratik tersebut. (a) f(x) x 0 –4 6 (b) f(x) x –1 0 7 (c) f(x) x 0 3 9 –3 Tip SPM • Jika paksi simetri ialah x = 0, maka paksi simetri adalah pada paksi-y. • Paksi simetri = x1 + x2 2 , dengan keadaan x1 dan x2 adalah dua punca yang bersilang pada paksi-x. Penyelesaian (a) Titik minimum, x = 1 (b) Titik minimum, x = 3 (c) Titik maksimum, x = 0
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 5 4 Tingkatan Tip SPM Parabola buka ke atas Parabola buka ke bawah Titik minimum Titik maksimum Contoh 6 Lukis rajah anak panah bagi setiap fungsi yang diberikan yang memetakan set K kepada set L dan nyatakan hubungan bagi fungsi tersebut. (a) f(x) = x2 , –1 < x < 1 (b) f(x) = x2 + 5 untuk x = –4, –2, 2, 4 Penyelesaian (a) –1 ● 0 ● ● 1 ● 0 1 ● f K L Hubungan antara set K dengan set L ialah hubungan banyak kepada satu. (b) –4 ● –2 ● ● 21 ● 9 2 ● 4 ● f K L Hubungan antara set K dengan set L ialah hubungan banyak kepada satu. Tip SPM Semua fungsi kuadratik mempunyai imej yang sama bagi dua objek yang berbeza. INFO Bentuk Graf Persamaan Kuadratik Perhatian ! Jenis hubungan bagi suatu fungsi kuadratik ialah hubungan banyak kepada satu. Contoh 7 Lakarkan kesan perubahan nilai a ke atas graf fungsi kuadratik. Kemudian, nyatakan kesan perubahan nilai a terhadap graf fungsi kuadratik. (a) f(x) = x2 → f(x) = 1 2 x2 f(x) x 0 –2–1 1 2 (b) f(x) = x2 → f(x) = 2x2 f(x) x 0 –2–1 1 2 3 (c) f(x) = –x2 → f(x) = – 1 2 x2 –3 –2–1 1 2 3 f(x) x 0 (d) f(x) = –x2 → f(x) = –2x2 f(x) x –3 –2 –1 0 1 2 3
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 6 4 Tingkatan Penyelesaian (a) f(x) x 0 –2 –1 1 2 Apabila nilai a berkurang, graf menjadi lebih lebar. (b) f(x) x 0 –3 –2 –1 1 2 3 Apabila nilai a bertambah, graf menjadi lebih sempit. (c) x 0 –3 –2 –1 1 2 3 f(x) Apabila nilai a bertambah, graf menjadi lebih lebar. (d) f(x) 0 x –3 –2 –1 1 2 3 Apabila nilai a berkurang, graf menjadi lebih sempit. Tip SPM Nilai a Nilai a bertambah/ berkurang Perubahan ke atas graf fungsi kuadratik a . 0 Bertambah Lebih sempit Berkurang Lebih lebar a , 0 Bertambah Lebih lebar Berkurang Lebih sempit Contoh 8 Berdasarkan setiap graf fungsi kuadratik di bawah, perihalkan kesan nilai b terhadap kedudukan paksi simetri. (a) f(x) = x2 – 2x – 15 f(x) x 0 –3 5 –15 (b) f(x) = x2 + 7x + 10 x f(x) x –5 –2 0 10 –2 (c) f(x) = x2 – 25 f(x) x 0 –10 –5 5 10 –20
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 7 4 Tingkatan Tip SPM Nilai b Kedudukan paksi simetri (jika a . 0) b . 0 Kiri paksi-y b , 0 Kanan paksi-y b = 0 Pada paksi-y Tip SPM Jika nilai b dalam fungsi kuadratik ialah 0, maka paksi-y ialah paksi simetri bagi graf fungsi kuadratik. Penyelesaian (a) Bagi fungsi kuadratik f(x) = x2 – 2x – 15, nilai b ialah –2, iaitu b , 0. Maka, paksi simetri berada di sebelah kanan paksi-y. (b) Bagi fungsi kuadratik f(x) = x2 + 7x + 10, nilai b ialah 7, iaitu b . 0. Maka, paksi simetri berada di sebelah kiri paksi-y. (c) Bagi fungsi kuadratik f(x) = x2 – 25, nilai b ialah 0. Maka, paksi simetri ialah paksi-y. Contoh 9 Lakarkan kesan perubahan nilai c ke atas graf fungsi kuadratik. Kemudian, nyatakan kesan perubahan nilai c terhadap kedudukan pintasan-y. (a) f(x) = x2 → f(x) = x2 + 6 y x 0 f(x) = x2 (b) f(x) = x2 → f(x) = x2 – 9 y f(x) = x2 x 0 (c) f(x) = –x2 → f(x) = –x2 + 5 y f(x) = –x2 x 0 (d) f(x) = –x2 – 5 → f(x) = –x2 – 7 y f(x) = –x2 – 5 x 0 Tip SPM Nilai c bertambah/ berkurang Perubahan ke atas graf fungsi kuadratik Bertambah Beralih ke atas Berkurang Beralih ke bawah Tip SPM Pintasan-y bagi f(x) = x2 + 6 ialah 6.
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 8 4 Tingkatan Penyelesaian (a) y f(x) = x2 f(x) = x2 + 6 x 0 Apabila nilai c bertambah, graf beralih ke atas. (b) y f(x) = x2 f(x) = x2 – 9 x 0 Apabila nilai c berkurang, graf beralih ke bawah. (c) y f(x) = –x2 f(x) = –x2 + 5 x 0 Apabila nilai c bertambah, graf beralih ke atas. (d) y x 0 f(x) = –x2 – 5 f(x) = –x2 – 7 Apabila nilai c berkurang, graf beralih ke bawah. Contoh 10 Bentukkan persamaan kuadratik berdasarkan situasi yang diberikan. (a) Umur Kamal ialah x tahun dan umur adiknya ialah 4 tahun lebih muda daripada Kamal. Hasil darab umur mereka ialah 252 tahun. (b) Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat tepat. Diberi luas segi empat tepat itu ialah 72 cm2 . P Q S (2x – 5) cm R (x + 1) cm (c) Suatu zarah bergerak pada garis lurus melalui titik tetap O. Sesarannya, dari titik O, diberi oleh s = t 2 – 2t – 1, dengan keadaan t ialah tempoh, dalam saat. Bentukkan persamaan kuadratik untuk mencari masa, dalam saat, apabila sesarannya ialah 2 m. Penyelesaian (a) Diberi x = umur Kamal, x(x – 4) = 252 x2 – 4x = 252 x2 – 4x – 252 = 0 Tip SPM Selain huruf x, huruf lain boleh digunakan sebagai pemboleh ubah yang mewakili sesuatu situasi. (b) (2x – 5)(x + 1) = 72 2x2 + 2x – 5x – 5 = 72 2x2 – 3x – 5 – 72 = 0 2x2 – 3x – 77 = 0
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 9 4 Tingkatan Tip SPM Persamaan kuadratik diungkapkan dalam bentuk am, iaitu ax2 + bx + c = 0, dengan keadaan nilai a, b dan c merupakan nombor yang diberi dan x ialah nilai yang tidak diketahui dan perlu dicari. (c) s = t 2 – 2t – 1 t 2 – 2t – 1 = 2 t 2 – 2t – 3 = 0 Contoh 11 Bagi setiap graf fungsi kuadratik di bawah, tandakan dan nyatakan punca bagi persamaan kuadratik yang diberi. (a) 2x2 – 3x – 5 = 0 f(x) 0 x –2 –1 –2 –4 –6 –8 –3 1 2 4 6 8 10 2 3 4 (b) –x2 + x + 6 = 0 f(x) 0 x –2 –1 –2 –4 –6 –8 –4 –3 1 2 4 6 8 2 3 4 5 Penyelesaian (a) –1 atau 2.5 f(x) 0 x –2 –1 –2 –4 –6 –8 –3 1 2 4 6 8 10 2 3 4 (b) –2 atau 3 f(x) 0 x –2 –1 –2 –4 –6 –8 –4 –3 1 2 4 6 8 2 3 4 5 Contoh 12 Tentukan sama ada nilai x yang diberikan adalah punca bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut. (a) x2 + 2x – 15 = 0 (x = 3) (b) 4x2 – 3x – 9 = 0 (x = –2) Penyelesaian (a) Gantikan x = 3 ke dalam persamaan kuadratik: (3)2 + 2(3) – 15 = 0 9 + 6 – 15 = 0 0 = 0 \ 3 ialah punca bagi persamaan kuadratik tersebut.
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 10 4 Tingkatan (b) Gantikan x = –2 ke dalam persamaan kuadratik: 4(–2)2 – 3(–2) – 9 = 0 16 + 6 – 9 = 0 13 ≠ 0 \ –2 bukan punca bagi persamaan kuadratik tersebut. Info MATEMATIK Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, nilai pemboleh ubah x perlu dicari dan Left Hand Side = Right Hand Side (LHS = RHS). Contoh 13 Selesaikan setiap yang berikut. (a) p2 − 36 = 0 (b) 3q2 – 75 = 0 Penyelesaian (a) p2 – 36 = 0 p2 – 62 = 0 (p – 6)(p + 6) = 0 p = 6, p = –6 Tip SPM Gunakan peraturan: a2 – b2 = (a – b)(a + b) (b) 3q2 – 75 = 0 3(q2 – 25) = 0 Masih belum difaktorkan selengkapnya. 3(q2 – 52 ) = 0 3(q – 5)(q + 5) = 0 q = 5, q = –5 Perhatian ! Jangan lakukan kesilapan begini. p2 – 36 = 0 p2 – 62 = 0 (p – 6)2 = 0 p = 6 Contoh 14 Ungkapkan setiap persamaan kuadratik yang berikut dalam bentuk am. (a) x2 + 3x = 6 + 2x (b) x – 3 = x + 15 2x (c) (x + 4)2 = 15x + 6 Penyelesaian (a) x2 + 3x – 2x – 6 = 0 x2 + x – 6 = 0 (b) 2x(x − 3) = x + 15 2x2 – 6x = x + 15 2x2 – 6x – x – 15 = 0 2x2 – 7x – 15 = 0 (c) (x + 4)(x + 4) = 15x + 6 x2 + 8x + 16 = 15x + 6 x2 + 8x – 15x + 16 – 6 = 0 x2 – 7x + 10 = 0 Contoh 15 Tentukan punca bagi setiap persamaan kuadratik berikut menggunakan kaedah pemfaktoran. (a) x2 – 2x – 15 = 0 (b) x2 = –4(x + 1) (c) 15y + 2(3y2 + 8) = –13y (d) x – 2 x + 8 = 31 1 x 2 Penyelesaian (a) x2 – 2x – 15 = 0 (x – 5)(x + 3) = 0 Pemfaktoran x = 5, x = –3 Perhatian ! Jangan melakukan kesilapan begini: x2 – 2x – 15 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0 x = 5, x = –3
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 11 4 Tingkatan Kaedah Alternatif x –5 x 3 –5x + 2x = –2x Kaedah Alternatif Menggunakan kalkulator saintifik: x2 – 2x – 15 = 0 Tekan: MODE MODE MODE 1 c 2 a? 1 = b? – 2 = c? – 15 = Paparan: X1 = 5 X2 = –3 (b) x2 = –4(x + 1) x2 = –4x – 4 x2 + 4x + 4 = 0 (x + 2)(x + 2) = 0 Tip SPM Sesetengah persamaan kuadratik mempunyai dua punca yang sama. (c) 15y + 2(3y2 + 8) = –13y 15y + 6y2 + 16 = –13y 6y2 + 15y + 13y + 16 = 0 6y2 + 28y + 16 = 0 3y2 + 14y + 8 = 0 (3y + 2)(y + 4) = 0 y = – 2 3 , y = –4 (d) x – 2 x + 8 = 31 1 x 2 x – 2 x + 8 = 3 x Ungkapkan dalam bentuk am. Bahagikan dengan 2. x(x – 2) = 3(x + 8) x2 – 2x = 3x + 24 x2 – 2x – 3x – 24 = 0 x2 – 5x – 24 = 0 (x – 8)(x + 3) = 0 x = 8, x = –3 Tip SPM Bukan semua persamaan kuadratik boleh difaktorkan. Sesetengah persamaan kuadratik memerlukan kaedah penyelesaian yang lain bagi mencari punca-puncanya. Tip SPM Tulis setiap persamaan kuadratik dalam bentuk am sebelum melakukan pemfaktoran. Info MATEMATIK Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik: (a) Tulis persamaan dalam bentuk am, iaitu ax2 + bx + c = 0. (b) Faktorkan ax2 + bx + c = 0 untuk mendapatkan (px + r)(qx + s) = 0. (c) Selesaikan persamaan linear untuk mendapatkan puncanya. px + r = 0 qx + s = 0 x = – r p x = – s q Contoh 16 Tentukan punca bagi setiap persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan kaedah graf. (a) 2 3 x2 = x + 9 (b) 5x = –3x + 8 x + 3
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 12 4 Tingkatan Penyelesaian (a) 2 3 x2 = x + 9 2x2 = 3(x + 9) 2x2 = 3x + 27 2x2 – 3x – 27 = 0 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 y 17 0 –13 –22 –27 –28 –25 –18 –7 8 y x 0 –5 –10 –15 –20 –25 –30 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 20 15 10 5 Daripada graf, punca-punca bagi persamaan kuadratik 2 3 x2 = x + 9 ialah x = –3 dan x = 9 2 . (b) 5x = –3x + 8 x + 3 5x(x + 3) = –3x + 8 5x2 + 15x = –3x + 8 5x2 + 18x – 8 = 0 x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 y 27 0 –17 –24 –21 –8 15 y x –1 0 –10 –2 –20 –3 –30 –6 –5 –4 1 2 30 20 10 Daripada graf, punca-punca bagi persamaan kuadratik 5x = –3x + 8 x + 3 ialah x = –4 dan x = 2 5 . Contoh 17 Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik yang berikut. (a) f(x) = x2 – 8x + 7 (b) f(x) = x2 – 6x + 9 (c) f(x) = –x2 – 3 Penyelesaian (a) Nilai a = 1 . 0, graf berbentuk < dengan satu titik minimum. Apabila f(x) = 0, x2 – 8x + 7 = 0 (x − 1)(x − 7) = 0 x = 1, x = 7 Apabila x = 0, f(0) = (0)2 – 8(0) + 7 = 7 f(x) x 0 –9 1 7 7
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 13 4 Tingkatan (b) Nilai a = 1 . 0, graf berbentuk < dengan satu titik minimum. Apabila f(x) = 0, x2 – 6x + 9 = 0 (x − 3)(x − 3) = 0 x = 3 Apabila x = 0, f(0) = (0)2 − 6(0) + 9 = 9 f(x) x 0 3 9 (c) Nilai a = −1 , 0, graf berbentuk > dengan satu titik maksimum. Nilai b = 0, maka paksi simetri adalah paksi-y. Apabila f(x) = 0, –x2 – 3 = 0 –x2 = 3 Apabila x = 0, f(0) = −(0)2 − 3 = –3 f(x) x Titik maksimum bersilang pada paksi-y. Graf tidak bersilang pada paksi-x. 0 –3 Cari koordinat titik minimum bagi fungsi kuadratik f(x) = x2 + 2x – 3. Kuiz Fungsi ini tidak mempunyai punca yang bersilang pada paksi-x. Info MATEMATIK Langkah-langkah melakar graf fungsi kuadratik: (a) Langkah 1 Tentukan sama ada graf fungsi kuadratik mempunyai bentuk ‘<’ atau ‘>’ dengan menggunakan nilai a dalam f(x) = ax2 + bx + c. (b) Langkah 2 Selesaikan f(x) = 0 untuk mencari titik persilangan pada paksi-x. (c) Langkah 3 Cari titik persilangan pada paksi-y dengan menggantikan x = 0 ke dalam f(x) = ax2 + bx + c. (d) Langkah 4 Tandakan titik pintasan pada graf dan lukis satu garis parabola yang melalui semua titik tersebut. Contoh 18 Selesaikan setiap masalah yang berikut. (a) 5 cm (x + 5) cm (x + 7) cm Diberi isi padu kuboid itu ialah 400 cm3 . Cari nilai x. (b) Suatu zarah bergerak sepanjang satu garis lurus melalui suatu titik tetap, O. Lajunya, v m s–1, diberi oleh v = 2t 2 – 13t + 27, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas meninggalkan titik tetap O. Cari masa, dalam saat, apabila laju zarah itu ialah 6 m s–1. (c) Hasil tambah dua nombor positif ialah 14 dan hasil darab nombor-nombor tersebut ialah 48. Cari nilai bagi keduadua nombor tersebut. (d) Diberi bahawa keuntungan, dalam RM, yang diperoleh Joshua daripada x helai baju kemeja yang dijual di kedai pakaiannya diwakili oleh fungsi kuadratik P(x) = –x2 + 2 550x – 125 000.
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 14 4 Tingkatan (i) Lukis graf untuk fungsi kuadratik P(x) = –x2 + 2 550x – 125 000 untuk 0 < x < 3 000. (ii) Menggunakan graf di (i), tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh Joshua daripada jualan baju kemeja di kedainya. (iii) Apakah maklumat yang dapat diketahui daripada persamaan paksi simetri dalam graf yang dilukis di (i)? (iv) Berapakah helai baju kemeja yang perlu dijual untuk mendapat keuntungan maksimum? (v) Berapakah helai baju kemeja yang dijual jika Joshua tidak mendapat keuntungan dan tidak mengalami kerugian? Penyelesaian (a) (x + 7)(x + 5)(5) = 400 x2 + 5x + 7x + 35 = 80 x2 + 12x – 45 = 0 (x – 3)(x + 15) = 0 \ x = 3 (b) v = 2t 2 – 13t + 27 2t 2 – 13t + 27 = 6 2t 2 – 13t + 21 = 0 (2t – 7)(t – 3) = 0 t = 7 2 , t = 3 (c) Katakan dua nombor positif ialah x dan y. x + y = 14 …… 1 xy = 48 …… 2 Daripada 1: y = 14 – x …… 3 Gantikan 3 ke dalam 2: x(14 – x) = 48 14x – x2 – 48 = 0 –x2 + 14x – 48 = 0 x2 – 14x + 48 = 0 (x – 8)(x – 6) = 0 x = 8, x = 6 Apabila x = 8, y = 14 – 8 = 6 Apabila x = 6, y = 14 – 6 = 8 Nilai bagi kedua-dua nombor tersebut ialah 6 dan 8. (d) (i) 0 x 500 2 000 000 –2 000 000 1 500 000 –1 500 000 1 000 000 –1 000 000 500 000 –500 000 1 500 2 000 2 500 3 000 P(x) 1 000 P(x) = –x2 + 2 550x – 125 000 (ii) Keuntungan maksimum = RM1 500 625 (iii) Persamaan paksi simetri, x = 1 275 Bilangan baju kemeja yang diperlu dijual untuk mendapatkan keuntungan maksimum. (iv) Bilangan helai baju kemeja = 50 + 2 500 2 = 1 275 (v) 50 dan 2 500
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 15 4 Tingkatan Kertas 1 1. Antara berikut, yang manakah merupakan graf fungsi kuadratik untuk graf f(x) = 3x2 yang bertukar kepada f(x) = 7x2 ? A y f(x) = 7x2 f(x) = 3x2 x 0 B y f(x) = 7x2 f(x) = 3x2 x 0 C y f(x) = 7x2 f(x) = 3x2 x 0 D y f(x) = 7x2 f(x) = 3x2 x 0 Penyelesaian a . 0, maka graf berbentuk <. Lengkung bagi graf f(x) = 7x2 adalah lebih sempit daripada graf f(x) = 3x2 . Jawapan: A 2. Faktorkan persamaan kuadratik 4x2 – 1 = 0. A 41x2 – 1 4 2 = 0 B x2 14 – 1 x2 2 = 0 C (2x – 1)(2x + 1) = 0 D (2x – 1)(2x – 1) = 0 Penyelesaian 4x2 – 1 = 0 22 x2 – 12 = 0 (2x – 1)(2x + 1) = 0 Jawapan: C 3. Ungkapkan (2p + 3)2 = 8 dalam bentuk am ax2 + bx + c = 0. A 4p2 + 1 = 0 B 2p2 + 12p + 1 = 0 C 4p2 + 12p + 1 = 0 D 4p2 + 12p + 17 = 0 Penyelesaian (2p + 3)2 = 8 (2p + 3)(2p + 3) = 8 4p2 + 6p + 6p + 9 = 8 4p2 + 12p + 1 = 0 Jawapan: C 4. Faktorkan selengkapnya 3 + 2x(4x – 5). A (3x – 4)(2x – 1) B (4x + 3)(2x + 1) C (4x – 3)(2x – 1) D (8x + 1)(x + 3) Penyelesaian 3 + 2x(4x – 5) = 3 + 8x2 – 10x = 8x2 – 10x + 3 = (4x – 3)(2x – 1) Jawapan: C KUASAI SPM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 16 4 Tingkatan 5. Antara yang berikut, persamaan kuadratik yang manakah mempunyai x = −4 sebagai penyelesaian? A 2x2 – 7x + 3 = 0 B 3x2 + 11x – 4 = 0 C 4x2 – 21x + 5 = 0 D 5x2 – 19x + 12 = 0 Penyelesaian Gantikan x = –4 ke dalam 3x2 + 11x – 4 = 0. 3(–4)2 + 11(–4) – 4 = 0 48 – 44 – 4 = 0 0 = 0 (LHS = RHS) Jawapan: B 6. Selesaikan persamaan kuadratik x(x – 2) = 35. A x = –1, x = 1 C x = 5, x = –7 B x = 1, x = 1 D x = 7, x = –5 Penyelesaian x(x – 2) = 35 x2 – 2x – 35 = 0 (x – 7)(x + 5) = 0 x = 7, x = –5 Jawapan: D 7. Graf yang manakah mewakili y = x2 – x – 12? A y C x 0 12 –4 3 y x 0 –12 –4 3 B y D x 0 12 –3 4 y x 0 –12 –3 4 Penyelesaian y = x2 – x – 12, a = 1 . 0, graf berbentuk <. Apabila y = 0, x2 – x – 12 = 0 (x – 4)(x + 3) = 0 x = 4, x = –3 Apabila x = 0, y = (0)2 – 0 – 12 y = –12 Jawapan: D 8. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi kuadratik f(x) = 3x2 – 2x – 5. y x 0 5 3 –1 Titik minimum bagi fungsi kuadratik f(x) = 3x2 – 2x – 5 ialah A (–1, 0) C 1 1 3 , – 16 3 2 B 1 5 3 , 02 D 1 8 3 , – 48 9 2 Penyelesaian Persamaan paksi simetri = 1–1 + 5 3 2 2 = 1 3 Apabila x = 1 3 , f(x) = 31 1 3 2 2 – 21 1 3 2 – 5 = – 16 3 Jawapan: C
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 17 4 Tingkatan 9. Rajah di bawah menunjukkan sebidang tanah. (x + 6) m (x + 15) m Tanah itu mempunyai panjang (x + 15) m dan lebar (x + 6) m. Jika luas tanah ialah 442 m2 . Cari nilai x. A –32 C 11 B –22 D 16 Penyelesaian (x + 15)(x + 6) = 442 x2 + 21x + 90 = 442 x2 + 21x – 352 = 0 (x – 11)(x + 32) = 0 x = 11, x = –32 Jawapan: C Kertas 2 1. Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut. (a) 10 = 2x(3x − 14) (b) x2 + 2x + 6 = 3(x + 4) (c) (x – 2)2 = –2x + 7 (d) 4x(x − 2) + x = 3x + 6 Penyelesaian (a) 10 = 2x(3x − 14) 10 = 6x2 – 28x 6x2 – 28x – 10 = 0 3x2 – 14x – 5 = 0 (x − 5)(3x + 1) = 0 x = 5, x = − 1 3 (b) x2 + 2x + 6 = 3(x + 4) x2 + 2x + 6 = 3x + 12 x2 + 2x – 3x + 6 – 12 = 0 x2 – x – 6 = 0 (x − 3)(x + 2) = 0 x = 3, x = −2 (c) (x – 2)2 = –2x + 7 (x – 2)(x – 2) = –2x + 7 x2 – 4x + 4 = –2x + 7 x2 – 2x – 3 = 0 (x − 3)(x + 1) = 0 x = 3, x = −1 (d) 4x(x − 2) + x = 3x + 6 4x2 – 8x = 2x + 6 4x2 – 8x – 2x – 6 = 0 4x2 – 10x – 6 = 0 2x2 – 5x – 3 = 0 (x – 3)(2x + 1) = 0 x = 3, x = – 1 2 2. Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut. (a) 5x + 2 x + 3 = 3 2 x (b) 3x 2x + 5 – 2 x – 3 = 0 Penyelesaian (a) 5x + 2 x + 3 = 3 2 x 2(5x + 2) = 3x(x + 3) 10x + 4 = 3x2 + 9x 3x2 + 9x – 10x – 4 = 0 3x2 – x – 4 = 0 (3x – 4)(x + 1) = 0 x = 4 3 , x = –1 (b) 3x 2x + 5 – 2 x – 3 = 0 3x 2x + 5 = 2 x – 3 3x(x – 3) = 2(2x + 5) 3x2 – 9x = 4x + 10 3x2 – 9x – 4x – 10 = 0 3x2 – 13x – 10 = 0 (x – 5)(3x + 2) = 0 x = 5, x = – 2 3
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 18 4 Tingkatan 3. Diberi fungsi kuadratik f(x) = –3x2 – 14x + 5. (a) Cari punca-punca bagi fungsi kuadratik itu. (b) Kemudian, lakarkan graf bagi fungsi itu. Penyelesaian (a) –3x2 – 14x + 5 = 0 3x2 + 14x – 5 = 0 (3x – 1)(x + 5) = 0 x = 1 3 , x = –5 (b) Apabila x = 0, f(0) = –3(0)2 – 14(0) + 5 = 5 f(x) 0 x –5 1 3 5 4. Sebiji bola dibaling tegak ke atas dari suatu titik O. Jarak antara bola itu dengan tanah mengufuk selepas t saat dibaling diberi oleh s = –t 2 + 2t + 8. Cari masa, dalam saat, apabila bola itu tiba di permukaan tanah. Penyelesaian s = –t 2 + 2t + 8 –t2 + 2t + 8 = 0 t 2 – 2t – 8 = 0 (t − 4)(t + 2) = 0 t = 4, t = −2 (Tidak diterima) Tip SPM Masa tidak boleh bernilai negatif. 5. Rajah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak PQR. (x + 3) cm 15 cm 2x cm R P Q Cari nilai x. Penyelesaian 152 = (x + 3)2 + (2x) 2 225 = (x + 3)(x + 3) + 4x2 225 = x2 + 6x + 9 + 4x2 225 = 5x2 + 6x + 9 5x2 + 6x – 216 = 0 (x − 6)(5x + 36) = 0 x = 6, x = – 36 5 (Tidak diterima) Tip SPM Nilai x = – 36 5 tidak boleh digunakan kerana panjang bagi setiap sisi segi tiga bersudut tegak adalah bernilai positif. Tip SPM Gunakan teorem Pythagoras untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan segi tiga bersudut tegak. a2 + b2 = c2 a c b
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 19 4 Tingkatan 6. Jadual di bawah menunjukkan harga dan bilangan botol air soya dan mangkuk cendol yang dijual oleh sebuah gerai pada suatu bulan. Jenis minuman Air soya (botol) Cendol (mangkuk) Harga RMq RM(3q – 1) Bilangan yang dijual 250 300 Harga bagi sebotol air soya dan semangkuk cendol adalah lebih daripada RM1. (a) Bentukkan satu fungsi kuadratik bagi hasil jualan, J(q), yang diperoleh gerai itu pada bulan tersebut. (b) Diberi hasil jualan pada bulan tersebut ialah RM500q2 , cari harga bagi sebotol air soya dan semangkuk cendol. Penyelesaian (a) J(q) = 250q + 300(3q – 1) = 250q + 900q – 300 = 1 150q – 300 (b) 1 150q – 300 = 500q2 500q2 – 1 150q + 300 = 0 50q2 – 115q + 30 = 0 10q2 – 23q + 6 = 0 (q – 2)(10q – 3) = 0 q = 2, q = 3 10 \ q = 2 Harga bagi sebotol air soya = RM2 Harga bagi semangkuk cendol = RM(3(2) – 1) = RM5 7. Sekeping papan berbentuk segi empat tepat adalah berukuran (6x + 1) cm dengan (4x + 3) cm. Papan tersebut mempunyai luas sebanyak 475 cm2 . (a) Lukis rajah untuk mewakili maklumat tersebut. (b) Cari nilai x. Kemudian, cari dimensi bagi papan tersebut. Penyelesaian (a) (4x + 3) cm (6x + 1) cm (b) (6x + 1)(4x + 3) = 475 24x2 + 18x + 4x + 3 = 475 24x2 + 22x – 472 = 0 12x2 + 11x – 236 = 0 (x − 4)(12x + 59) = 0 x = 4, x = – 59 12 (Tidak diterima) \ Dimensi bagi papan tersebut ialah 25 cm dengan 19 cm. 8. Tunjukkan bahawa persamaan kuadratik 2x2 – 5 3 = 5 – 2x boleh ditulis sebagai x2 + 3x – 10 = 0. Seterusnya, selesaikan persamaan kuadratik 2x2 – 5 3 = 5 – 2x. Penyelesaian 2x2 – 5 3 = 5 – 2x 2x2 – 5 = 3(5 – 2x) 2x2 – 5 = 15 – 6x 2x2 + 6x – 5 – 15 = 0 2x2 + 6x – 20 = 0 x2 + 3x – 10 = 0 (x – 2)(x + 5) = 0 x = 2, x = –5 9. Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi kuadratik f(x) = x2 – 3x – 28. 0 f(x) x –28 –4 7 Diberi bahawa titik minimum ialah (x, y). Cari nilai x dan nilai y.
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 20 4 Tingkatan Penyelesaian f(x) = x2 – 3x – 28 Apabila f(x) = 0, x2 – 3x – 28 = 0 (x – 7)(x + 4) = 0 x = 4, x = –4 Persamaan paksi simetri = 7 + (–4) 2 = 3 2 Apabila x = 3 2 , f1 3 2 2 = 1 3 2 2 2 – 31 3 2 2 – 28 = –30 1 4 \ x = 3 2 , y = –30 1 4 10. Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut. 3x2 x + 4 = 2 Penyelesaian 3x2 x + 4 = 2 3x2 = 2(x + 4) 3x2 = 2x + 8 3x2 – 2x – 8 = 0 (x – 2)(3x + 4) = 0 x = 2, x = – 4 3 11. Rajah menunjukkan empat bulatan di dalam sebuah segi empat tepat. (7x – 50) cm (x + 70) cm Diberi luas bagi segi empat tepat tersebut ialah 129 600 cm2 . Cari diameter, dalam cm, bagi sebuah bulatan. Penyelesaian (7x – 50)(x + 70) = 129 600 7x2 + 490x – 50x – 3 500 = 129 600 7x2 + 440x – 133 100 = 0 (x – 110)(7x + 1 210) = 0 x = 110, x = – 1 210 7 Apabila x = 110, Panjang = 7x – 50 = 7(110) – 50 = 770 – 50 = 720 Diameter sebuah bulatan = 720 4 = 180. 12. Lukis paksi simetri dan nyatakan persamaan paksi simetri bagi setiap fungsi kuadratik yang berikut. (a) (b) y x –3 0 4 –12 y x 7 0 5 3 35 Penyelesaian (a) (b) y x –3 0 4 –12 y x 7 0 5 3 35 x = 1 2 x = 1 1 3 13. Diberi bahawa punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 + px + q = 0 ialah 3 dan −8. Cari nilai p dan nilai q. Penyelesaian Apabila x = 3, x2 + px + q = 0 (3)2 + 3p + q = 0 3p + q = –9 ……1
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 21 4 Tingkatan Apabila x = –8, x2 + px + q = 0 (–8)2 + (–8)(p) + q = 0 64 – 8p + q = 0 –8p + q = –64 …… 2 1 – 2: 11p = 55 p = 5 Apabila p = 5, 3p + q = –9 3(5) + q = –9 15 + q = –9 q = –24 KBAT Contoh 1 Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut. 3x x + 1 + 4 x = 5x + 18 x2 + x Penyelesaian 3x x + 1 + 4 x = 5x + 18 x2 + x 3x + 4(x + 1) x = (5x + 18)(x + 1) x(x + 1) 3x(x) + 4x + 4 = 1 5x + 18 x 2(x) 3x2 + 4x + 4 = 5x + 18 3x2 – x – 14 = 0 (3x – 7)(x + 2) = 0 x = 7 3 , x = –2 KBAT Contoh 2 Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat tepat ABCD. (x + 3) cm A B D G E F C 4 cm 4x cm Segi empat sama DEFG dikeluarkan daripada segi empat tepat ABCD. Baki luas bagi segi empat tepat tersebut selepas segi empat sama tersebut dikeluarkan ialah 96 cm2 . Cari nilai x. Penyelesaian 4x(x + 3) – (4 × 4) = 96 4x2 + 12x – 16 = 96 4x2 + 12x – 112 = 0 x2 + 3x – 28 = 0 (x – 4)(x + 7) = 0 x = 4, x = –7 (tidak diterima) Kertas 1 1. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi kuadratik f(x) = –x2 + 6x + 7. y x –1 0 7 7 Persamaan paksi simetri ialah A x = –1 B x = 3 C x = 6 D x = 7 2. Fungsi kuadratik f(x) = x2 – 4x + c melalui titik (–2, 17). Cari nilai c. A –21 C 5 B –5 D 21 PRAKTIS SPM 1
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 22 4 Tingkatan 3. Rajah di bawah menunjukkan fungsi kuadratik. y x –2 0 8 Persamaan paksi simetri ialah A x = –2 B x = 3 C x = 5 D x = 8 4. Cari nilai-nilai a, b dan c dalam ax2 + bx + c = 0 bagi persamaan kuadratik –3x = 2x + 5 x – 2 . a b c A –3 –4 5 B –3 5 –4 C 3 –4 5 D 3 5 –4 5. Punca-punca bagi persamaan kuadratik y + 1 = 15 – y y ialah A y = –5, y = 3 B y = –3, y = –5 C y = –3, y = 5 D y = 3, y = 5 Kertas 2 1. Cari nilai p jika punca-punca bagi persamaan kuadratik 6 = –3x2 – 9x ialah p dan 2p. 2. Sebuah roket air dilancarkan dari sebuah pelantar. Ketinggian, h dalam meter, roket air itu pada masa t saat selepas dilancarkan ialah h = –3t 2 + 8t + 3. Bilakah roket air itu tiba di permukaan tanah? KBAT 3. Sebuah akuarium mempunyai panjang (x + 20) cm, lebar x cm dan tinggi 70 cm. Jumlah isi padu bagi akuarium itu ialah 336 000 cm3 . Cari nilai x. KBAT 4. Lina berumur k tahun. Aisyah adalah 8 tahun lebih tua daripada Lina. Hasil darab umur mereka ialah 180 tahun. (a) Berdasarkan maklumat di atas, bentukkan satu persamaan kuadratik dalam sebutan k. KBAT (b) Cari umur Lina dan Aisyah. 5. Hasil darab dua nombor, p dan q ialah 36 dan hasil tambah p dan q ialah 13. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi p dan q. 6. (a) Lukis graf bagi fungsi kuadratik f(x) = x2 – 12 – 4x untuk –3 < x < 7. (b) Tandakan ⊗ pada punca-punca bagi fungsi kuadratik itu apabila f(x) = 0. (c) Lukis garis lurus yang mewakili persamaan paksi simetri dan nyatakan persamaan paksi simetri tersebut. (d) Tentukan titik minimum atau titik maksimum bagi fungsi kuadratik itu. 7. Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi kuadratik f(x) = x2 + mx + n. 0 f(x) x –1 4 Cari nilai m dan n. 8. Lakar graf bagi fungsi kuadratik f(x) = x2 + 2x – 24.
45 PETA KONSEP Penaakulan Logik Bidang Pembelajaran Matematik Diskret Tingkatan 4 3 BAB “p jika dan hanya jika q” Penaakulan Logik Hujah Pernyataan majmuk “atau” atau “dan” Penafian “tidak” atau “bukan” Akas “Jika q, maka p” Songsangan “Jika bukan p, maka bukan q” Kontrapositif “Jika bukan q, maka bukan p” “Jika p, maka q” Pernyataan Benar atau palsu Implikasi Hujah induktif Kesimpulan umum dibina berdasarkan premis khusus. Hujah deduktif Kesimpulan khusus dibina berdasarkan premis umum. Bentuk I Premis 1: Semua A ialah B. Premis 2: C ialah A. Kesimpulan: C ialah B. Bentuk III Premis 1: Jika p, maka q. Premis 2: Bukan q adalah benar. Kesimpulan: Bukan p adalah benar. Bentuk II Premis 1: Jika p, maka q. Premis 2: p adalah benar. Kesimpulan: q adalah benar. 45
364 Kertas 1 [40 markah] 1 jam 30 minit Arahan: Kertas soalan ini mengandungi 40 soalan. Jawab semua soalan. Bagi setiap soalan, pilih hanya satu jawapan. Rajah dalam soalan tidak dilukis mengikut skala kecuali dinyatakan. Penggunaan kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram adalah dibenarkan. 1. Nalizah ingin membeli sebuah peti sejuk baharu yang berharga RM1 980 dalam masa setengah tahun. Berapakah simpanan bulanan yang diperlukan untuk membantunya mencapai matlamat kewangan jangka pendek? A RM165 C RM495 B RM330 D RM990 2. Diberi kos x = 3 4 , dengan keadaan 270° < x < 360°. Cari nilai sin x. A –0.75 C 0.66 B –0.66 D 0.75 3. Rajah 1 menunjukkan garis lurus RS. 6 0 3 x y R S Rajah 1 Cari persamaan garis lurus RS. A y = –2x + 6 B y = –2x + 3 C y = − 1 2 x + 6 D y = 2x + 6 4. Diberi bahawa 6 – p = 3(1 – 4p), cari nilai p. A –1 C – 3 11 B – 4 7 D 9 11 5. Diberi j = {x : 1 < x < 15, dengan keadaan x ialah integer} M = {x : x ialah nombor genap} N = {x : x ialah nombor perdana} Senaraikan semua unsur bagi (M > N)9. A {2} B {1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15} C {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} D {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} 6. Diberi 1 –6 5 –5 2 21 x y 2 = 1 –12 23 2. Cari nilai x dan y. x y A –7 –6 B –7 6 C 7 –6 D 7 6 SPM KERTAS MODEL
Matematik SPM Kertas Model SPM 370 Kertas 2 [100 markah] 2 jam 30 minit Arahan: Kertas soalan ini terdiri daripada tiga bahagian: Bahagian A, Bahagian B dan Bahagian C. Jawab semua soalan dalam Bahagian A dan Bahagian B, dan satu soalan dalam Bahagian C. Penggunaan kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram adalah dibenarkan. Bahagian A [40 markah] Jawab semua soalan dalam bahagian ini. 1. Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set semesta j, set P, set Q dan set R. Pada rajah yang diberi, lorekkan set [3 markah] (a) Q > R P Q R (b) P < (Q9 > R) P Q R 2. Jadual 1 menunjukkan menunjukkan nilai-nilai x dan y bagi persamaan suatu graf fungsi, iaitu y = 50 x2 . x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 50.0 12.5 5.6 3.1 2.0 1.4 1.0 0.8 Jadual 1 Gunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y. Lukis satu graf pada kertas graf yang disediakan di ruang jawapan bagi 0 < x < 8. Anda dibenarkan menggunakan pembaris fleksibel semasa melukis graf ini. [4 markah] 3. Bilangan tilam, t, yang ditempah oleh Perusahaan Perabot Zahra daripada pembekal adalah berubah secara langsung dengan kuasa dua bilangan katil, u, yang ditempah. Apabila bilangan katil yang ditempah ialah 5 unit, maka bilangan tilam yang ditempah ialah 50 unit. Berapakah bilangan katil yang ditempah jika bilangan tilam yang ditempah ialah 98 unit? [4 markah] 4. Keuntungan, dalam RM, yang diperoleh sebuah kedai jam tangan dengan menjual x utas jam tangan boleh diwakili dengan menggunakan fungsi kuadratik P(x) = −x2 + 450x. (a) Berapakah kuantiti jam tangan yang perlu dijual untuk memperoleh keuntungan maksimum? [2 markah] (b) Cari keuntungan maksimum yang boleh diperoleh kedai jam tangan tersebut apabila menjual kuantiti yang anda peroleh di (a). [2 markah] 5. Rajah 1 menunjukkan tiga keping kad berhuruf dalam Kotak A dan empat keping kad berhuruf dalam Kotak B. B U Y Kotak A P E N S Kotak B Rajah 1 Sekeping kad berhuruf dipilih secara rawak daripada setiap kotak. Cari kebarangkalian mendapat
Matematik SPM Kertas Model SPM 372 Bahagian B [45 markah] Jawab semua soalan dalam bahagian ini. 11. (a) Diberi 1 c 1 d –4 –5 –22 ialah matriks songsang bagi 1 –2 4 5 –72. Cari nilai c dan d. [2 markah] (b) Tulis persamaan linear serentak berikut dalam bentuk matriks. –2x + 5y = –8 4x – 7y = 13 Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan y. [4 markah] (c) Diberi 1 m 3m m – 1 n – 5 5m n –m n 2n 21 1 –3 –4 –2 2 3 3 4 1 2 = 1 7n –20 –22 –11 10m 16m –10 31 6n 2. Cari nilai m dan n. [4 markah] 12. Pekerja di Pasar Raya Matahari Terang sedang menyemak bilangan beras yang masih terdapat di dalam gudang pasar raya itu. Semakan menunjukkan bahawa terdapat bilangan beras yang masih tidak mencukupi. Berdasarkan saiz gudang yang sedia ada dan peruntukan kewangan yang diambil kira, didapati jumlah minimum peket beras tempatan, x, dan beras import, y, yang masih diperlukan ialah 50 peket. Bilangan peket beras import yang diperlukan adalah selebih-lebihnya 1 4 daripada bilangan peket beras tempatan yang diperlukan. Gunakan x untuk mewakili bilangan beras tempatan dan y untuk mewakili bilangan beras import. (a) Selain x > 0 dan y > 0, tulis dua ketaksamaan linear yang mewakili situasi yang diberikan. [2 markah] (b) Lukis dan lorek rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan linear yang dibentuk di (a). Gunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada kedua-dua paksi. [4 markah] (c) Daripada graf yang dilukis di (b), (i) tentukan bilangan minimum dan maksimum beras import yang masih diperlukan jika bilangan peket beras tempatan yang masih tidak mencukupi adalah sebanyak 48. [2 markah] (ii) tentukan sama ada rantau berlorek di (b) dipenuhi jika bilangan peket beras tempatan dan beras import yang diperlukan oleh Pasar Raya Matahari Terang masing-masing adalah sebanyak 60 dan 18. Berikan justifikasi anda. [2 markah] 13. (a) Rajah 5 menunjukkan suatu satah Cartes. x 1 –1 1 0 –2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y Rajah 5
Matematik SPM Kertas Model SPM 374 15. Jadual 4 menunjukkan markah yang diperoleh sekumpulan pelajar dalam suatu ujian Matematik. Markah Bilangan pelajar 40 – 49 2 50 – 59 10 60 – 69 8 70 – 79 9 80 – 89 k 90 – 99 3 Jadual 4 Diberi bahawa min bagi taburan markah pelajar itu ialah 66.8529. (a) Cari nilai k dan berikan jawapan anda betul kepada satu angka bererti. [5 markah] (b) Dengan menggunakan nilai k di (a), cari varians dan sisihan piawai. Berikan jawapan anda betul kepada empat tempat perpuluhan. [4 markah] Bahagian C [15 markah] Bahagian ini mengandungi dua soalan. Jawab satu soalan dalam bahagian ini. 16. Pusat Bahasa Asing Taman Indah telah memperkenalkan dua kursus bahasa asing yang baru, iaitu bahasa Sepanyol dan bahasa Perancis, yang boleh disertai oleh orang ramai. (a) Jadual 5 menunjukkan bilangan individu yang mendaftar untuk mempelajari kedua-dua bahasa tersebut pada tahun 2023 dan 2024. Kursus bahasa asing Tahun 2023 2024 Bahasa Sepanyol p 5p Bahasa Perancis 3q 2q Jumlah 190 430 Jadual 5 Bentukkan dua persamaan linear untuk mewakili maklumat yang diberikan dalam Jadual 5. Seterusnya, dengan menggunakan kaedah graf, cari nilai p dan q. [4 markah] (b) Dalam satu sesi pengambilan baharu, kebarangkalian Jason dan Kelly mendaftar bahasa Sepanyol masingmasing ialah 7 9 dan 3 5 . (i) Wakilkan kebarangkalian Jason dan Kelly mendaftar bahasa Sepanyol dengan menggunakan gambar rajah Venn. [3 markah] (ii) Hitung kebarangkalian Jason atau Kelly mendaftar bahasa Sepanyol dalam sesi pengambilan tersebut. [2 markah]
377 Tingkatan 4 1 BAB Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Kuiz muka surat 13 (-1, -4) PRAKTISSPM 1 Kertas 1 1. B 2. C 3. B 4. C 5. A Kertas 2 1. p = −1 2. t = 3 3. x = 60 4. (a) k2 + 8k – 180 = 0 (b) Umur Lina ialah 10 tahun dan umur Aisyah ialah 18 tahun. 5. p = 9, q = 4 atau p = 4, q = 9 6. (a), (b), (c) x 0 –4 –10 10 –15 –20 –2 2 4 6 8 –5 5 f(x) (d) Titik minimum (2, −16) 7. m = –3, n = –4 8. x –6 0 4 –24 f(x) 2 BAB Asas Nombor Kuiz muka surat 43 Tidak sama. Perlu ditukar kepada nombor dalam asas sepuluh untuk mengetahui bilangan murid sebenar. PRAKTISSPM 2 Kertas 1 1. C 2. B 3. C 4. B 5. A 6. C 7. C 8. B 9. B 10. A 11. D Kertas 2 1. (a) 300 biji kek (b) 119 2. (a) 2004 (b) 1437 (c) 1206 3. (a) 2648 (b) 5347 (c) 10000010002 4. (a) Tahun 2000: 135246107 orang Tahun 2020: 140434607 orang (b) Tahun 2000: 502608479 orang Tahun 2020: 544581749 orang 3 BAB Penaakulan Logik Kuiz muka surat 54 Hujah deduktif
PelangiPublishing PelangiBooks PelangiBooks W.M: RM21.95 / E.M: RM22.95 KC118034 ISBN: 978-629-470-453-4 SPM REVISI CEPAT Bahasa Melayu English Matematik Mathematics Sains Science Sejarah Pendidikan Islam Biologi Biology Fizik Physics Kimia Chemistry Matematik Tambahan Additional Mathematics Ekonomi Perniagaan Prinsip Perakaunan Siri RANGER SPM memudahkan murid membuat ulang kaji ekspres sebelum peperiksaan SPM. Kandungan buku ini berdasarkan DSKP Tingkatan 4 dan Tingkatan 5, buku teks, serta Format Pentaksiran SPM terkini. Bahan digital menarik disediakan untuk memperkukuh penguasaan subjek. Nota Padat KBAT & i-THINK Praktis SPM Kuasai SPM Kertas Model SPM Jawapan Info & Kuiz Kod QR Imbas, daftar dan masukkan Enrolment Key. Tingkatan 4 &4TSjypH Tingkatan 5 umx#nYT6 Cara Mengakses Cara Mengakses Kuiz MCQ Beli eBook di sini!