FORMAT PENTAKSIRAN BAHARU SPM MULAI 2021 PELANGI Chew Su Lian Dr. Chiang K.W. TINGKATAN KSSM Additional Mathematics MATEMATIK TAMBAHAN Merangkum semua Tahap Penguasaan 1– 6 dalam DSKP Praktis mesra murid untuk menguasai konsep dan kemahiran dengan mudah Merujuk Buku Teks PRAKTIS STRATEGI Langkah Penyelesaian Lengkap untuk SEMUA Soalan disediakan dalam Kod QR BONUS
ii Sukatan Membulat Circular Measure 1 BAB 1 1.1 Radian / Radian 1 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 2 Arc Length of a Circle 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 8 Area of Sector of a Circle 1.4 Aplikasi Sukatan Membulat 15 Application of Circular Measures Praktis Berpandu SPM 16 Praktis Berorientasikan SPM 18 Pembezaan Differentiation 22 BAB 2 2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan 22 Limit and its Relation to Differentiation 2.2 Pembezaan Peringkat Pertama 24 The First Derivative 2.3 Pembezaan Peringkat Kedua 31 The Second Derivative 2.4 Aplikasi Pembezaan 34 Application of Differentiation Praktis Berpandu SPM 51 Praktis Berorientasikan SPM 53 Pengamiran Integration 56 BAB 3 3.1 Pengamiran Sebagai Songsangan Pembezaan 56 Integration as the Inverse of Differentiation 3.2 Kamiran Tak Tentu / Indefinite Integral 56 3.3 Kamiran Tentu / Definite Integral 60 3.4 Aplikasi Pengamiran / Applications of Integration 68 Praktis Berpandu SPM 69 Praktis Berorientasikan SPM 71 Pilih Atur dan Gabungan Permutation and Combination 75 BAB 4 4.1 Pilih Atur / Permutation 75 4.2 Gabungan / Combination 82 Praktis Berpandu SPM 86 Praktis Berorientasikan SPM 88 Taburan Kebarangkalian Probability Distribution 90 BAB 5 5.1 Pemboleh Ubah Rawak / Random Variable 90 5.2 Taburan Binomial / Binomial Distribution 96 5.3 Taburan Normal / Normal Distribution 104 Praktis Berpandu SPM 114 Praktis Berorientasikan SPM 119 Fungsi Trigonometri Trigonometric Functions 124 BAB 6 6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 124 Positive Angles and Negative Angles 6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut 125 Trigonometric Ratio of Any Angle 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 127 Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions 6.4 Identiti Asas 130 Basic Identities 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda 132 Addition Formulae and Double Angle Formulae 6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri 136 Trigonometric Function Applications Praktis Berpandu SPM 139 Praktis Berorientasikan SPM 141 Pengaturcaraan Linear Linear Programming 144 BAB 7 7.1 Model Pengaturcaraan Linear 144 Linear Programming Model 7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear 148 Application of Linear Programming Praktis Berpandu SPM 154 Praktis Berorientasikan SPM 155 Kinematik Gerakan Linear Kinematics of Linear Motion 157 BAB 8 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa 157 Displacement, Velocity and Acceleration as a Function of Time 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear 160 Differentiation in Kinematics of Linear Motion 8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear 162 Integration in Kinematics of Linear Motion 8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear 168 Applications of Kinematics of Linear Motion Praktis Berpandu SPM 169 Praktis Berorientasikan SPM 170 Kertas Model SPM 173 KANDUNGAN Jawapan Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 1.1 Radian Radian Buku Teks 2 – 4 MESTI INGAT 1. Suatu sudut boleh diukur dalam / An angle can be measured in (i) Darjah / minit / degree / minutes (ii) Radian / Radians 180° = π radian 2. Sudut dalam darjah biasanya digunakan dalam aplikasi biasa manakala, dalam bidang sains, radian biasa digunakan. In practical application, degree is usually used. Whereas in scientific work, it is more convenient to use radians. A Tukarkan setiap sudut yang berikut daripada radian kepada darjah dan minit. Convert each of the following angles from radian to degree and minutes. Contoh 1.5 rad = 1.5 × 180° π = 85.94° (a) 0.4 rad = (b) 1.3 rad = (c) 1.76 rad = (d) 2.4 rad = B Tukarkan setiap sudut yang berikut daripada radian kepada darjah. Convert each of the following angles from radian to degree. Contoh 2 3 π rad = 2 3 π × 180° π = 120° (a) 1 2 π rad = (b) π 4 rad = (c) 0.8π rad = (d) 1.5π rad = Sukatan Membulat Circular Measure BAB 1 Bidang Pembelajaran: Geometri Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 2 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat C Tukarkan setiap sudut yang berikut daripada darjah kepada radian. Berikan jawapan dalam sebutan π. Convert each of the following angles from degree to radian. Give your answer in terms of π. Contoh 90° = 90° × π 180° = π 2 (a) 150° = (b) 210° = (c) 270° = (d) 480° = D Tukarkan setiap sudut yang berikut daripada darjah kepada radian. Berikan jawapan betul kepada empat angka bererti. Convert each of the following angles from degree to radian. Give your answer correct to the four significant figures. Contoh 60° = 60° × π 180° = π 3 = 1.047 rad (a) 110° = (b) 250° = (c) 260° = (d) 380° = 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan Arc Length of a Circle Buku Teks 5 – 11 (Pastikan ukuran sudut tercangkum oleh lengkok pada pusat bulatan adalah dalam radian sebelum menggunakan rumus) (Make sure the angle subtended by the arc at the centre of the circle is in radians before applying the formula) P θ Q O r MESTI INGAT E Hitung panjang lengkok, JKL, dalam cm, dengan keadaan O ialah pusat bulatan bagi setiap yang berikut. Calculate the length of arc, JKL, in cm, such that O is the centre of the circle for each of the following. Contoh Contoh J L K O 4 cm 1.2 rad Panjang lengkok JKL Arc length JKL = jq = 4 × 1.2 = 4.8 cm J L K O 40° 9 cm ∠ refleks JOL/reflex ∠JOL = (360°−40°) × π 180° = 5.585 rad. Panjang lengkok JKL/ Arc length JKL = jq = 9 × 5.585 = 50.27 cm Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat (a) J L K O 6 cm 2.094 rad (a) J L K O 114° 7 cm (b) J L K 7 cm O 60° (b) J L K 12 cm O 36° (c) J L O K 5 cm – rad 4 π (c) J L K O 7 cm Penerbitan 100° Pelangi Sdn. Bhd.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 4 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat F Hitung panjang jejari, dalam m, bagi setiap bulatan berikut. Calculate the length of the radius, in m, for each of the following circles. [Guna / Use π = 3.142] Contoh 8.512 m P Q O 6π 5 r m rad 8.512 = r3 6π 5 4 r = 8.512 3 6(3.142) 5 4 = 2.258 m 1. 4.5 m P Q O 1.5 rad r m 2. P Q O 7 m 78° r m 3. P Q O r m 7.64 m 250° G Hitung panjang jejari, dalam cm, bagi setiap bulatan berikut. Calculate the length of the radius, in cm, for each of the following circles. [Guna / Use π = 3.142] Contoh 10.4 cm P Q O 2 rad r cm 10.4 = r(2) r = 10.4 2 = 5.2 cm 1. P Q O 3.2 cm 1.2π rad r cm Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat Contoh 2. P Q O 5.2 cm r cm 28° 3. P Q O 2.994 cm 9.922 cm r cm 320° 2.994 = r[( ) × ] r = 180° 3 × 1 π 180 24 = 4.288 cm 4. Diberi suatu bulatan dengan pusat O. Jika panjang lengkok major AB ialah 41.7 cm dan sudut dicangkum oleh sektor minor AB ialah 1.28 radian. Cari jejari bulatan itu. Given a circle of centre O. If the length of the major arc AB is 41.7 cm and the angle subtended by the minor arc AB is 1.28 radians. Find the radius of the circle. H Cari nilai bagi θ, dalam radian bagi setiap bulatan berikut. Find the value of θ, in radians for each of the following circles. (a) P Q O 7.6 cm 5 cm θ 7.6 = 5q q = 7.6 5 = 1.52 rad 1. P Q O 12.8 cm 8 cm θ 12.8 = 8q q = 12.8 = rad (b) P Q O 54.3 cm 10 cm θ 54.3 = 10q q = 54.3 10 = 5.43 rad Guna s = rq, dengan keadaan q dalam radian. Use s = rq, where q is in radians. Tip Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 6 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat 2. P Q O 60.8 cm 12 cm θ 60.8 = q q = = rad 3. P Q O 35.7 cm 10 cm θ POQminor= = 10(2π – q) 2π – q = = = rad 4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah semibulatan dengan pusat O dan jejari 5.8 cm. Diberi bahawa panjang lengkok AB = 5.6 cm, cari nilai a dalam radian. The diagram shows a semicircle with centre O and radius 5.8 cm. Given that the length of arc AB = 5.6 cm, find the value of a in radians. 5. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 7.9 cm. Diberi bahawa panjang lengkok minor PQ ialah 16 cm, cari nilai sudut yang dicangkumi oleh lengkok major PQ dalam radian. The diagram below shows a circle with centre O and radius 7.9 cm. Given that the length of the minor arc PQ is 16 cm, find the value of the angle subtended by the major arc PQ in radians. P Q O 16 cm 7.9 cm A B C O α MESTI INGAT A B O 7.9 cm A sektor minor minor sector B sektor major major sector Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat Contoh I Selesaikan yang berikut. Solve the following. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 6 cm. Cari perimeter, dalam cm, rantau berlorek. The diagram below shows a circle with centre O and radius 6 cm. Find the perimeter, in cm, of the shaded region. Pastikan skrin kalkulator menunjukkan R Make sure the screen of the calculator shows R Tip sin 0.4 = 1 1 2 PQ2 6 PQ = 4.673 cm Perimeter rantau berlorek = PQ + panjang lengkok minor PQ Perimeter of the shaded region = PQ + length of the minor arc PQ = 4.673 + 6(0.8) = 9.473 cm 1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 10 cm. Cari perimeter, dalam cm, bagi rantau berlorek. The diagram shows a circle with centre O and radius 10 cm. Find the perimeter, in cm, of the shaded region. [Guna / Use π = 3.142] (a) P (b) Q (a) 10 cm 1 rad y x sin 1 = y = cm = x 10 x = cm Perimeter rantau berlorek P Perimeter of the shaded region P = y + + lengkok sektor P = 8.415 + (10 – 5.403) + = cm (b) Perimeter rantau berlorek Q Perimeter of the shaded region Q = + 10 + 10[ ] = cm 2. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor OPQ dengan pusat O dan satu sukuan PRS dengan pusat S. Diberi OP = 12 cm dan SP = 10 cm. The diagram below shows a sector OPQ with centre O and a quadrant PRS with centre S. Given that OP = 12 cm and SP = 10 cm. [Guna / Use π = 3.142] S R Q O P Hitung / Calculate (a) /POR, dalam radian. /POR, in radians. (b) perimeter rantau berlorek, dalam cm. the perimeter of the shaded region, in cm. P Q O 6 cm 0.4 rad O P Q 10 cm 1.0 rad 150° P Q O 0.8 rad 6 cm Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 8 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat Contoh 3. Rajah di bawah menunjukkan dua sektor, OPQ dan OSR dengan pusat sepunya O. The diagram below shows two sectors, OPQ and OSR with common centre O. S R O P Q 1.32 rad Diberi bahawa OS = 12.5 cm dan panjang lengkok PQ = 10 cm, cari Given that OS = 12.5 cm and the length of arc PQ = 10 cm, find (a) jejari, dalam cm, bagi sektor OPQ. the radius, in cm, of the sector OPQ. (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. the perimeter, in cm, of the shaded region. 4. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O. PT ialah tangen kepada bulatan itu pada titik P. The diagram below shows a circle with centre O. PT is the tangent to the circle at point P. Q P T O 1.02 rad 10.8 cm Hitung / Calculate (a) jejari, dalam cm, bulatan itu. the radius, in cm, of the circle. (b) panjang OT, dalam cm. the length of OT, in cm. (c) perimeter rantau berlorek, dalam cm. the perimeter of the shaded region, in cm. 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan Area of Sector of a Circle Buku Teks 12 – 19 J Selesaikan masalah yang melibatkan luas sektor yang berikut. Solve problems involving the following area of sector. Rajah di bawah menunjukkan bulatan dengan pusat O. Carikan luas sektor minor OPQ. The diagrams below show circles of centre O. Find the area of minor sector OPQ. [Guna / Use π = 3.142] (a) P Q O 6 cm 0.855 rad (b) P Q O rad 3π 4 12 cm (c) P Q O 2.5 cm 85° (d) P Q O 9 cm 130° Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat (a) r = 6 cm, θ = 0.855 rad Luas sektor / Area of sector OPQ = 1 2 (6)2 (0.855) = 15.39 cm2 (b) r = 12 cm, θ = 3π 4 rad Luas sektor / Area of sector OPQ = 1 2 (12)2 1 3.142 4 2 = 169.7 cm2 (c) r = 2.5 cm, θ = 85° Luas sektor / Area of sector OPQ = 1 2 (2.5)2 385 × 1 3.142 180° 24 = 4.637 cm2 (d) r = 9 cm, θ = 130° Luas sektor / Area of sector OPQ = 1 2 (9)2 3130° × 1 3.142 180° 24 = 91.90 cm2 1. Hitung luas sektor minor OAB bagi setiap bulatan berikut. Calculate the area of the minor sector OAB of each of the following circles. (a) A B O 6.2 cm 1.58 rad (b) A B O 10 cm 230° 2. Rajah di bawah menunjukkan suatu sektor OAB dengan pusat O dan jejari 9.8 cm. Diberi bahawa panjang lengkok AB ialah 24 cm, cari luas sektor OAB, dalam cm2 . The diagram below shows a sector OAB with centre O and radius 9.8 cm. Given that the length of the arc AB is 24 cm, find the area of the sector OAB, in cm2 . B O A 24 cm 9.8 cm 3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 14 cm. Diberi bahawa /AOB = 1.7 rad, cari luas, dalam cm2 , bagi sektor major OAB. The diagram below shows a circle of centre O and radius 14 cm. Given that /AOB = 1.7 rad, find the area, in cm2 , of the major sector OAB. [Guna / Use π = 3.142] B O A 14 cm 1.7 rad Peringatan: q° = q × π 180 rad Tip Guna rumus: Luas sektor = 1 2 r 2 q, dengan keadaan q dalam radian Using formula: Area of sector = 1 2 r 2 q, where q is in radians. r unit θ rad Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 10 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat Contoh K Selesaikan masalah yang melibatkan jejari sektor yang berikut. Solve problems involving the following radius of sector. Rajah di bawah menunjukkan sektor OPQ dengan pusat O. Cari nilai r, dalam cm, bagi setiap sektor itu. The diagram below shows the sectors of OPQ with centre O. Find the value of r, in cm, of the sector. (a) Q P O 240 cm2 1.6 rad A = 240 cm2 , q = 1.6 rad A = 1 2 r2 q 240 = 1 2 r2 (1.6) r2 = 240 1 2 1.62 r = 17.32 cm (b) B A O 140° 355 cm2 A = 355 cm2 , q = 140° = 140° × 1 π 180°2 A = 1 2 r2 q 355 = 1 2 r2 3140° × 1 π 180°24 r2 = 355 × 2 × 180 140π r = 17.05 cm 1. Rajah di bawah menunjukkan dua sektor yang mempunyai pusat yang sama, O. Diberi bahawa /SOR = 1.5 rad, luas sektor POQ = 42.5 cm2 dan luas bahagian berlorek = 38.5 cm2 . The diagram below shows two sectors with the same centre, O. Given that /SOR = 1.5 rad, the area of sector POQ = 42.5 cm2 and the area of the shaded region = 38.5 cm2 . O P S Q R 1.5 rad Cari, dalam cm bagi / Find, in cm of (a) OP (b) PS 2. Rajah di bawah menunjukkan bulatan dengan pusat O. The diagram below shows a circle of centre O. Q P rad O 2π 3 Diberi bahawa luas sektor major OPQ ialah 344 cm2 , cari jejari bulatan itu. Given the area of the major sector OPQ is 344 cm2 , find the radius of the circle. [Guna / Use π = 3.142] q° = q° × π 180° rad Tip Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat Contoh 3. Rajah di bawah menunjukkan sektor OPQ dengan pusat O. The diagram below shows a sector OPQ of centre O. O P 60 cm2 12.4 cm Q Diberi panjang lengkok PQ = 12.4 cm dan luas sektor OPQ = 60 cm2 , cari jejari, dalam cm, sektor OPQ. Given that the length of the arc PQ = 12.4 cm and the area of the sector OPQ = 60 cm2 , find the radius, in cm, of the sector OPQ. L Selesaikan masalah yang melibatkan nilai sudut sektor yang berikut. Solve problems involving the following angles of sector. Rajah di bawah menunjukkan sektor OPQ dengan pusat O dan jejari 6.2 cm. The diagram below shows a sector OPQ with centre O and radius 6.2 cm. P Q O 6.2 cm θ rad Diberi bahawa luas sektor OPQ ialah 21.6 cm2 dan sudut tercangkum oleh PQ pada pusat bulatan O ialah θ rad, cari nilai θ. Given that the area of sector OPQ is 21.6 cm2 and the angle subtended by PQ at the centre of the circle O is θ rad, find the value of θ. A = 21.6, r = 6.2 A = 1 2 r2 q 21.6 = 1 2 (6.2)2 θ θ = (2)(21.6) (6.2)2 = 1.124 rad 1. Rajah di bawah menunjukkan bulatan dengan pusat O dan jejari 5 cm. The diagram below shows a circle of centre O and radius 5 cm. P O 5 cm Q θ Diberi bahawa luas sektor minor OPQ ialah 24.9 cm2 , cari θ, dalam radian. Given the area of the minor sector OPQ is 24.9 cm2 , find θ, in radians. Penerbitan [Guna / Use π = 3.142] Pelangi Sdn. Bhd.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 12 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat Contoh M Selesaikan setiap masalah yang berikut. Solve each of the following problems. Rajah di bawah menunjukkkan bulatan dengan pusat O dan jejari 8 cm. The diagram below shows a circle of centre O and radius 8 cm. O Q P 1.8 rad 8 cm Diberi /POQ = 1.8 radian, cari luas, dalam cm2 , Given /POQ = 1.8 radians, find the area, in cm2 , (a) sektor minor OPQ. minor sector OPQ. (b) ∆OPQ. (c) rantau berlorek. the shaded region. (a) r = 8 cm, θ = 1.8 rad P Q O 8 cm 8 cm 1.8 rad Luas sektor minor OPQ Area of the minor sector OPQ = 1 2 r2 q = 1 2 (8)2 (1.8) = 57.6 cm2 1. Rajah di sebelah menunjukkkan bulatan dengan pusat O dan jejari 8 cm. The diagram shows a circle of centre O and radius 8 cm. Diberi PQ = 20 cm dan /POQ = 2π 3 radian, cari luas, dalam cm2 , bagi rantau berlorek. Given that PQ = 20 cm and /POQ = 2π 3 radians, find the area, in cm2 , of the shaded region (a) A (b) B [Guna / Use π = 3.142] (b) Luas / Area ∆OPQ = 1 2 ab sin C dengan / where a = 8 cm, b = 8 cm dan / and C = 1.8 rad = 1 2 (8)(8) sin 1.8 = 31.16 cm2 (c) Luas rantau berlorek / Area of the shaded region = Luas sektor minor OPQ – Luas ∆OPQ Area of minor sector OPQ – Area of ∆OPQ = 57.6 – 31.16 = 26.44 cm2 Tip Pastikan skrin kalkulator menunjukkan R Make sure the screen of the calculator shows R P O S R Q 20 cm 8 cm rad 2π 3 A B Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat Contoh N Selesaikan setiap masalah yang berikut. Solve each of the following problems. Rajah di sebelah menunjukkkan dua sektor berpusat O. OPQ dan OTR ialah garis lurus. O P Q S T R The diagram shows two sectors with centre O. OPQ and OTR are straight lines. Diberi OT = 5 cm dan OQ = 8 cm. QT ialah tangen kepada bulatan yang kecil dan ORS ialah sebuah segi tiga sama sisi. Given OT = 5 cm and OQ = 8 cm. QT is a tangent to the smaller circle and ORS is an equilateral triangle. Cari / Find (a) /QOR dalam radian, /QOR in radians, (b) panjang lengkok QRS, dalam cm, the arc length QRS, in cm, (c) luas tembereng RS yang berlorek, dalam cm2 , the area of shaded segment RS, in cm2 , (d) luas rantau berlorek PQT, dalam cm2 . the area of shaded region PQT, in cm2 . (a) kos / cos /QOR = OT OQ = 5 8 /QOR = 0.8957 rad (b) Lengkok QRS / Arc QRS = 810.8957 + π 3 2 = 15.54 cm (c) Luas tembereng RS / Area of segment RS = 1 2 (8)2 1 π 3 2 – 1 2 (8)(8) sin 1 π 3 2 = 5.800 cm2 (d) Luas rantau berlorek PQT / Area of the shaded region PQT = 1 2 (5)(8)(sin 0.8957) – 1 2 (5)2 (0.8957) = 4.417 cm2 1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semibulatan berpusat O dan berjejari 10 cm. The diagram below shows a semicircle with centre O and of radius 10 cm. A C 10 cm 10 cm 1.22 rad D B O Titik-titik A, B dan C terletak pada lilitan semibulatan itu sementara titik D terletak pada diameter AB. /COB = 1.22 radian dan CD ialah lengkok bagi sektor berpusat A. The points A, B and C lie on the circumference of the semicircle while D lies on the diameter of AB. /COB = 1.22 radians and CD is the arc of sector with centre A. Cari luas, dalam cm2 , bagi Find the area, in cm2 , of (a) sektor COB / sector COB, (b) sektor CAD / sector CAD, (c) rantau berlorek / the shaded region. Tip (1) OQRS ialah sektor bulatan besar. OQRS is a sector of the bigger circle. (2) OPT ialah sektor bulatan kecil. OPT is a sector of the smaller circle. (3) OSR ialah segi tiga sama sisi. OSR is an equilateral triangle. Setiap satu sudut = π 3 rad. Each angle Tip Guna petua kosinus untuk menentukan panjang AC. Use cosine rule to find the length of AC. Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 14 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat (a) Luas sektor / area sector COB = 1 2 ( )2 ( ) = cm2 (b) AC2 = 102 + 2 – 2(10)(10) kos / cos ( ) AC = cm Luas sektor / Area sector CAD = 1 2 ( )2 1 1.22 2 2 = cm2 (c) Luas ∆AOC = 1 2 ( )( ) sin = cm2 Luas rantau berlorek / The shade area = 61.00 – ( – ) = cm2 2. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 12 cm. The diagram below shows a circle with centre O and radius 12 cm. D B C 10 cm 12 cm O A Diberi bahawa titik-titik A, B, C and D terletak pada lilitan bulatan itu. Panjang perentas BD bulatan ialah 12 cm dan titik A ialah pusat bagi lengkok BD. Given that the points A, B, C and D lie on the circumference of the circle. The length of the chord BD of the circle is 12 cm and A is the centre of the arc BD. (a) Tunjukkan bahawa panjang AB betul kepada empat angka bererti ialah 18.97 cm. Show that the length of AB correct to four significant figures is 18.97 cm. (b) Bagi rantau berlorek, cari For the shaded region, find (i) perimeternya, dalam cm, its perimeter, in cm, (ii) luasnya, dalam cm2 . its area, in cm2 . Tip /COB = 2/CAB Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
15 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat 1.4 Aplikasi Sukatan Membulat Application of Circular Measures Buku Teks 20 – 27 O Selesaikan setiap masalah yang berikut. Solve each of the following problems. 1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor AOB bagi suatu bulatan dengan pusat O, dengan keadaan sudut AOB = 6 5 radian. The diagram shows a sector AOB of a circle with centre O, where the angle AOB = 6 5 radians. Titik-titik C dan D masing-masing terletak pada OB dan OA, dan CD ialah lengkok bagi sebuah bulatan, berjejari 8 cm dengan O sebagai pusatnya. Diberi bahawa luas rantau berlorek ialah 60 cm2 , cari perimeter, dalam cm, rantau berlorek. The points C and D lie on OB and OA respectively and CD is an arc of a circle of radius 8 cm with centre O. Given that the area of the shaded region is 60 cm2 , find the perimeter, in cm, of the shaded region. 2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga sama kaki PQT, dengan keadaan PT = TQ = 13 cm dan PQ = 24 cm. The diagram shows an isosceles triangle PQT, where PT = TQ = 13 cm and PQ = 24 cm. Diberi bahawa PQS ialah sektor bulatan berpusat P dan jejarinya ialah 24 cm. TQR ialah satu sektor bagi bulatan berpusat T dan jejari 13 cm. Given that PQS is a sector of a circle with centre P and radius 24 cm. TQR is another sector of a circle with centre T and radius 13 cm. (a) Tunjukkan bahawa sudut QTR ialah 0.79 radian. Show that angle QTR is 0.79 radians. (b) Cari / Find (i) perimeter, dalam cm, rantau berlorek. the perimeter, in cm, of the shaded region. (ii) luas, dalam cm2 , rantau berlorek. the area, in cm2 , of the shaded region. O D A B C 8 cm rad 6 5 P T S R Q 13 cm 13 cm 24 cm Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 16 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat Contoh Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berjejari 8 cm dan berpusat O. Tangen kepada bulatan pada Q bertemu OS yang dipanjangkan ke R dan OT yang dipanjangkan ke P. The diagram below shows a circle of radius 8 cm and centre O. The tangent to the circle at Q meets OS produced at R and OT produced at P. Diberi luas sektor OTS ialah 57.5 cm2 , PT = 4 cm dan RS = 3 cm. It is given that the area of the sector OTS is 57.5 cm2 , PT = 4 cm and RS = 3 cm. Cari / Find (a) ∠TOS dalam radian, ∠TOS in radians, (b) luas kawasan berlorek, dalam cm2 . the area of the shaded region, in cm2 . (a) 1 2 × 82 × ∠TOS = 57.5 ∠TOS = 57.5 × 2 82 = 1.797 rad (b) Luas kawasan berlorek / Area of shaded region = luas segi tiga POR – Luas sektor OTS Area of triangle POR – Area of sector OTS = 1 2 × (8 + 4) × (8 +3 ) × sin1.797 − 57.5 = 6.819 cm2 1. Dalam rajah di bawah, suatu bulatan berpusat O melalui L dan P. In the diagram below, the circle, centre O, passes through L and P. Diberi jejari bulatan ialah 7 cm dan OMNQ ialah segi empat tepat dengan lebar 3.5 cm. It is given that the radius of the circle is 7 cm and OMNQ is a rectangle with width 3.5 cm. Cari / Find (a) ∠POL, dalam radian, ∠POL, in radian, (b) PQ, dalam cm, PQ, in cm, (c) luas kawasan berlorek LOQP, dalam cm2 . area of the shaded LOQP, in cm2 . PRAKTIS BERPANDU SPM P R Q T S O 8 cm 3 cm 4 cm M L N P Q O 7 cm 3.5 cm Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
17 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat 2. Rajah di bawah menunjukkan satu segi tiga AOB dan satu sektor AOC berpusat O dengan jejari 13 cm. The diagram below shows a triangle AOB and a sector AOC with centre O and radius 13 cm. A B C O 18 cm 9 cm 13 cm Diberi panjang lengkok AC ialah 9 cm dan OB ialah 18 cm. Cari luas kawasan berlorek, dalam cm2 . The length of the arc AC is 9 cm and OB is 18 cm. Find the area of the shaded region, in cm2 . 3. Dalam rajah di bawah, E, H, G dan F ialah titik pada semi bulatan dengan jejari 14 cm dan berpusat O. In the diagram below, E, H, G and F are points on a semicircle of radius 14 cm and centre O. E F O H G 14 cm 14 cm 16.8 cm Diberi panjang lengkok EH ialah 16.8 cm dan GH ialah 14 cm. Hitung nisbah luas rantau berlorek kepada luas semi bulatan. It is given that the length of arc EH is 16.8 cm and GH is 14 cm. Calculate the ratio of the shaded area to the area of the semicircle. [Guna / Use π =3.142] Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 18 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat Kertas 1 1. Rajah di bawah menunjukkan lengkok GH yang mencangkum sudut 45° pada pusat O. Jejari bulatan itu ialah 6 cm. The diagram below shows an arc GH which subtends an angle of 45° at the centre O. The radius of the circle is 6 cm. O H G 45° Cari perimeter, dalam cm, bagi sektor major GOH dalam sebutan π. Find the perimeter, in cm, of the major sector GOH in terms of π. [2 markah / 2 marks] 2. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semi bulatan dengan pusat O. OKL ialah sebuah segi tiga bersudut tegak. The diagram below shows a semicircle with centre O. OKL is a right-angled triangle. M L O K β rad Diberi panjang lengkok KM ialah α cm dan luas kawasan berlorek ialah 3α 4β cm2 . Ungkapkan panjang, dalam cm, bagi KL dalam sebutan α. It is given that the length of arc KM is α cm and the area of the shaded region is 3α 4β cm2 . Express the length, in cm, of KL in terms of α. [4 markah / 4 marks] 3. Dalam rajah di bawah, LKMN is sebuah segi empat sama yang terterap dalam sebuah bulatan. Satu lagi bulatan dilukis dengan MN ialah diameter. In the diagram below, LKMN is a square inscribed in a circle, centre O. Another circle is drawn on MN as diameter. L O N M K Diberi bahawa LN = MK = 14 cm. Cari luas, dalam cm2 , kawasan yang berlorek. It is given that LN = MK = 14 cm. Find the area, in cm2 , of the shaded region. [4 markah / 4 marks] 4. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semi bulatan dengan pusat O. OR dan OS ialah panjang lengkok masing-masing berpusat P dan T. POR ialah satu garis lurus. The diagram below shows a semi circle with centre O. OR and OS are the arcs with centre P and T respectively. POT is a straight line. S O P R T Diberi jejari semi bulatan ialah 4 cm. Tunjukkan bahawa luas kawasan berlorek ialah (83 – 8 3 π) cm2 . It is given that the radius of the semi circle is 4 cm. Show that the area of the shaded region is (83 – 8 3 π) cm2 . [4 markah / 4 marks] 5. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 9 cm. The diagram below shows a circle with centre O and radius 9 cm. O P Q θ Diberi panjang lengkok minor PQ ialah 18 cm, Given that the length of the minor arc PQ is 18 cm, [Guna / Use π = 3.142] PRAKTIS BERORIENTASIKAN SPM Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
19 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat (a) nyatakan nilai θ dalam radian. state the value of θ in radians, (b) cari luas sektor major POQ, dalam cm2 , betul kepada empat angka bererti. find the area of the major sector POQ, in cm2 , correct to four significant figures. [4 markah / 4 marks] 6. Rajah di bawah menunjukkan dua buah sektor, POQ dan SOR bagi dua bulatan dengan pusat sepunya O. The diagram below shows two sectors, POQ and SOR of two concentric circles with centre O. O R Q P S Sudut yang dicangkum pada pusat O oleh lengkok major PQ ialah 6α radian dan perimeter seluruh rajah ialah 48 cm. Diberi OR = r cm, OQ = 2OR dan /ROS = 3α, ungkapkan r dalam sebutan α. The angle subtended at the centre O by the major arc PQ is 6α radians and the perimeter of the whole diagram is 48 cm. Given OR = r cm, OQ = 2OR and /ROS = 3α, express r in terms of α. [3 markah / 3 marks] 7. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O. The diagram below shows a circle with centre O. O A β rad B C AC dan BC masing-masing adalah tangen kepada bulatan itu pada titik A dan B. Diberi bahawa panjang lengkok minor AB ialah 8 cm dan OC = 10 b cm. Ungkapkan dalam sebutan β, AC and BC are tangents to the circle at points A and B respectively. Given that the length of the minor arc AB is 8 cm and OC = 10 b cm. Express in terms of β, (a) jejari, r, dalam cm, bulatan itu. the radius, r, in cm, of the circle. (b) luas, A, dalam cm2 , kawasan berlorek. the area, A, in cm2 , of the shaded region. [4 markah / 4 marks] 8. Rajah di bawah menunujukkan sebuah rombus OPQR yang terterap dalam sektor POR dengan pusat O dan jejari r cm. The diagram below shows a rhombus OPQR inscribed in sector POR with centre O and a radius r cm. R P O Q β rad Diberi luas sektor POR ialah 24 cm2 , ungkapkan Given the area of sector POR is 24 cm2 , express (a) β dalam sebutan r, / β in terms of r, (b) perimeter, in cm, bagi kawasan berlorek dalam sebutan r. the perimeter, in cm, of the shaded region in terms of r. [4 markah / 4 marks] Kertas 2 1. Rajah di bawah menunjukkan enam buah sektor kongruen bersentuhan dengan sektor-sektor yang bersebelahannya dan membentuk suatu heksagon sekata. Enam buah sektor yang kongruen itu masing-masing berpusat bucubucu heksagon itu. The diagram below shows six congruent sectors touch the adjacent sectors and form a regular hexagon. The six congruent sectors centred at the vertices of the heksagon respectively. Diberi bahawa perimeter bagi enam buah sektor kongruen itu ialah (36π + 72) cm. Cari luas, dalam cm2 , kawasan berwarna biru. It is given that perimeter for six congruent sectors is (36π + 72) cm. Find the area, in cm2 , of the blue coloured region. [Guna / Use π = 3.142] [5 markah / 5 marks] Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 20 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat 2. Rajah di bawah menunjukkan semibulatan PRS, dengan pusat O dan sukuan bulatan QST, dengan pusat Q. The diagram below shows a semicircle PRS, with centre O and quadrant of a circle QST with centre Q. S QPT O R 4 cm 2 cm θ [Guna / Use π = 3.142] Hitung / Calculate (a) nilai θ, dalam radian the value of θ, in radians, [2 markah / 2 marks] (b) perimeter, dalam cm, seluruh rajah itu, the perimeter, in cm, of the whole diagram, [4 markah / 4 marks] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek itu. the area, in cm2 , of the shaded region. [4 markah / 4 marks] 3. Rajah di bawah menunjukkan semibulatan DEA dengan pusat O dan jejari 9 cm. BDE ialah sebuah sektor bagi sebuah bulatan dengan pusat D dan C ialah titik tengah OA. The diagram below shows a semicircle DEA with centre O and radius 9 cm. BDE is a sector of a circle with centre D and C is the midpoint of OA. D O C E B A [Guna / Use π = 3.142] Hitung / Calculate (a) /COE dalam radian, /COE in radians, [2 markah / 2 marks] (b) panjang, dalam cm, lengkok BE, the length, in cm, of the arc BE, [4 markah / 4 marks] (c) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. area, in cm2 , of the shaded region. [4 markah / 4 marks] 4. Rajah (i) menunjukkan sebuah cawan kertas dalam bentuk kon. Ketinggian kon itu ialah 15 cm. Diagram (i) shows a paper cup in the shape of a cone. The height of the cone is 15 cm. 9.2 cm O Lebar Width Panjang Length (i) (ii) Rajah (ii) menunjukkan bentangan kon yang berbentuk sektor bagi sebuah bulatan dengan pusat O yang dilukis di atas sekeping kad berbentuk segi empat tepat. Diagram (ii) shows the net of the cone in the form of sector of a circle with centre O drawn on a rectangular card. (a) Hitung nilai minimum, dalam cm, bagi panjang dan lebar kad itu kepada integer terdekat. Calculate the minimum value, in cm, of length and of width of the card to the nearest integer. [5 markah / 5 marks] (b) Seterusnya, cari luas, dalam cm2 , kad yang tidak digunakan. Hence, find the area, in cm2 , of the card that is unused. [3 markah / 3 marks] 5. Rajah di bawah menunjukkan sektor PRQ dengan pusat P dan sektor OPQ dengan pusat O. The diagram below shows a sector PRQ with centre P and sector OPQ with centre O. [Guna / Use π = 3.142] 30° R O P Q Diberi bahawa OP = 16.8 cm dan PQ = 9 cm. Given that OP = 16.8 cm and PQ = 9 cm. Cari / Find (a) /OPQ, dalam radian, /OPQ, in radians, [2 markah / 2 marks] (b) perimeter, dalam cm, sektor PQR, the perimeter, in cm, of sector PQR, [3 markah / 3 marks] (c) luas, dalam cm2 , rantau berlorek. area, in cm2 , of the shaded area. [5 markah / 5 marks] Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
21 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat 6. Rajah di bawah menunjukkan bulatan dan sektor sebuah bulatan dengan pusat sepunya O. Jejari bulatan ialah r cm. The diagram below shows a circle and a sector with a common centre O. The radius of the circle is r cm. P R αrad S Q O Diberi bahawa panjang lengkok PQ dan lengkok RS masing-masing ialah 3 cm dan 8 cm. QS = 10 cm. It is given that the length of the arc PQ and RS are 3 cm and 8 cm respectively. QS = 10 cm. Cari / Find (a) nilai r dan α, the value of r and of α, [3 markah / 3 marks] (b) luas, dalam cm2 , kawasan yang berlorek. the area, in cm2 , of the shaded region. [5 markah / 5 marks] 7. Rajah di bawah menunjukkan satu corak terdapat daripada kain batik. Ketiga-tiga kawasan berlorek adalah kongruen. Diberi bahawa perimeter bahagian berlorek ialah 10π cm. The diagram below shows the pattern from a batik cloth. The three shaded regions are congruent. Given that the perimeter of the shaded region is 10π cm. Cari / Find (a) jejari, dalam cm, bagi corak itu. the radius, in cm, of the pattern. [3 markah / 3 marks] (b) luas, dalam cm2 , bagi segi tiga tanpa kawasan berlorek itu. the area, in cm2 , of the triangle without the shaded region. [4 markah / 4 marks] 8. Rajah di bawah menunjukkan sektor POS dengan pusat O. The diagram below shows a sector POS with centre O. S O P Q R 8 cm 60° Diberi bahawa panjang lengkok PQ ialah 2.48 cm. Given that the length of arc PQ is 2.48 cm. [Guna / Use π = 3.142] Hitung / Calculate (a) /POQ dalam radian, /POQ in radians, [2 markah / 2 marks] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek the area, in cm2 , of the shaded region. [4 markah / 4 marks] Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
MC135133 ISBN: 978-629-7537-04-7 PELANGI PELANGI PRAKTIS STRATEGI TINGKATAN KSSM MESTI INGAT membolehkan murid menyemak fakta, konsep dan rumus dengan cepat Rumus dan Konsep Penting memberikan semakan cepat tentang rumus dan konsep penting dalam peperiksaan Matematik Tambahan SPM Latih Tubi disediakan untuk mengukuhkan konsep dan kemahiran yang telah dipelajari Praktis Berpandu SPM disediakan untuk membantu murid menjawab soalan berformat SPM dengan terancang Praktis Berorientasikan SPM terdiri daripada soalan-soalan yang setaraf dengan piawai SPM Langkah penyelesaian lengkap disediakan dalam Kod QR supaya murid dapat menyemak setiap langkah yang diperlukan dalam menyelesaikan soalan yang diberikan Ciri-ciri hebat judul ini: Contoh-contoh Tekerja memaparkan cara menjawab soalan dengan sistematik dan tepat Additional Mathematics MATEMATIK TAMBAHAN disediakan dalam Kod QR supaya murid dapat menyemak setiap langkah yang diperlukan dalam menyelesaikan soalan Kertas Model SPM disediakan untuk membiasakan murid dengan bentuk soalan SPM yang sebenar W.M: RM11.90 / E.M: RM12.50