Ranger SPM 2022 - Matematik Tambahan

PELANGI

SPMRevisi Cepat

Matematik
Tambahan

Tingkatan

4 . 5 KSSM

Chew Su Lian
Ong Yunn Tyug

Tee Hock Tian
Moh Sin Yee

Dr Pauline Wong Mee Kiong

Rumus .......................................................vi–viii

Tingkatan 4 4 Indeks, Surd dan

1 Fungsi 1 Logaritma 45

Peta Konsep.................................................... 1 Peta Konsep................................................. 45
1.1 Fungsi.................................................. 2 4.1 Hukum Indeks................................. 46
1.2 Fungsi Gubahan................................. 5 4.2 Hukum Surd..................................... 47
1.3 Fungsi Songsang................................ 7 4.3 Hukum Logaritma.............................51
Kuasai SPM.................................................... 8 4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan
Contoh Soalan KBAT................................. 11
Praktis SPM.. ................................................12 Logaritma.......................................... 55
Kuasai SPM.................................................. 55
2 Fungsi Kuadratik Contoh Soalan KBAT................................ 57
Praktis SPM................................................. 59

14

Peta Konsep..................................................14 5 Janjang 61

2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Peta Konsep..................................................61
Kuadratik...........................................15 5.1 Janjang Aritmetik.......................... 62
5.2 Janjang Geometri........................... 66
2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuasai SPM.................................................. 70
Kuadratik...........................................18 Contoh Soalan KBAT.................................71
Praktis SPM.. ............................................... 73
2.3 Fungsi Kuadratik..............................19

Kuasai SPM.................................................. 27

Contoh Soalan KBAT................................ 28

Praktis SPM................................................. 29

3 Sistem Persamaan 33 6 Hukum Linear 77

Galeri i-THINK.......................................... 33 Peta Konsep................................................. 77

3.1 Sistem Persamaan Linear dalam 6.1 Hubungan Linear dan Tak
Tiga Pemboleh Ubah...................... 34 Linear................................................. 78

3.2 Persamaan Serentak yang 6.2 Hukum Linear dan Hubungan
melibatkan Satu Persamaan Tak Linear.........................................81
Linear dan Satu Persamaan
tak Linear......................................... 37 6.3 Aplikasi Hukum Linear................... 82

Kuasai SPM.................................................. 39 Kuasai SPM.................................................. 84

Contoh Soalan KBAT.................................41 Contoh Soalan KBAT................................ 86

Praktis SPM.. ............................................... 43 Praktis SPM.. ............................................... 87

iii

7 Geometri Koordinat 92 Kuasai SPM................................................ 147
Contoh Soalan KBAT.............................. 150
Galeri i-THINK.......................................... 92 Praktis SPM.. ............................................. 152
7.1 Pembahagi Tembereng Garis....... 93
7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Tingkatan 5

Lurus Serenjang............................. 94 1 Sukatan Membulat 162
7.3 Luas Poligon...................................... 96
7.4 Persamaan Lokus............................. 97 Peta Konsep............................................... 162
Kuasai SPM.................................................. 98 1.1 Radian.............................................. 163
Contoh Soalan KBAT...............................101 1.2 Panjang Lengkok Suatu
Praktis SPM............................................... 102
Bulatan............................................ 163
8 Vektor 105 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan ...... 165
1.4 Aplikasi Sukatan Membulat....... 166
Galeri i-THINK........................................ 105 Kuasai SPM................................................ 168
8.1 Vektor............................................. 106 Contoh Soalan KBAT...............................171
8.2 Penambahan dan Penolakan Praktis SPM.. ............................................. 173

Vektor............................................. 108 2 Pembezaan 179
8.3 Vektor dalam Satah Cartes........ 111
Kuasai SPM.................................................112 Peta Konsep............................................... 179
Contoh Soalan KBAT...............................118 2.1 Had dan Hubungannya dengan
Praktis SPM................................................119
Pembezaan...................................... 180
9 Penyelesaian Segi Tiga 124 2.2 Pembezaan Peringkat Pertama...181
2.3 Pembezaan Peringkat Kedua...... 184
Peta Konsep............................................... 124 2.4 Aplikasi Pembezaan...................... 185
9.1 Petua Sinus.................................... 125 Kuasai SPM................................................ 188
9.2 Petua Kosinus................................. 128 Contoh Soalan KBAT...............................191
9.3 Luas Segi Tiga............................... 130 Praktis SPM............................................... 192
9.4 Aplikasi Petua Sinus, Petua
3 Pengamiran 196
Kosinus dan Luas Segi Tiga........ 132
Kuasai SPM................................................ 133 Peta Konsep............................................... 196
Contoh Soalan KBAT.............................. 135 3.1 Pengamiran Sebagai Songsangan
Praktis SPM.. ............................................. 137
Pembezaan...................................... 197
10 Nombor Indeks 142 3.2 Kamiran Tak Tentu....................... 198
3.3 Kamiran Tentu...............................200
Peta Konsep............................................... 142 3.4 Aplikasi Pengamiran.....................207
10.1 Nombor Indeks............................. 143 Kuasai SPM................................................208
10.2 Indeks Gubahan............................ 144 Contoh Soalan KBAT...............................211
Praktis SPM.. ............................................. 212

iv

4 Pilih Atur dan Gabungan 216 7 Pengaturcaraan Linear 265

Peta Konsep............................................... 216 Peta Konsep...............................................265
4.1 Pilih Atur........................................ 217 7.1 Model Pengaturcaraan Linear....266
4.2 Gabungan.........................................220 7.2 Aplikasi Pengaturcaraan
Kuasai SPM................................................223
Contoh Soalan KBAT..............................224 Linear...............................................269
Praktis SPM.. .............................................225 Kuasai SPM................................................270
Contoh Soalan KBAT..............................272
5 Taburan Kebarangkalian 228 Praktis SPM.. .............................................274

Peta Konsep...............................................228 8 Kinematik Gerakan
5.1 Pemboleh Ubah Rawak.................229
5.2 Taburan Binomial.......................... 231 Linear 278
5.3 Taburan Normal............................234
Kuasai SPM................................................238 Peta Konsep...............................................278
Contoh Soalan KBAT.............................. 241 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan
Praktis SPM.. .............................................242
sebagai Fungsi Masa....................279
6 Fungsi Trigonometri 247 8.2 Pembezaan dalam Kinematik

Peta Konsep...............................................247 Gerakan Linear..............................279
8.3 Pengamiran dalam Kinematik
6.1 Sudut Positif dan Sudut
Negatif............................................248 Gerakan Linear..............................282
8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan
6.2 Nisbah Trigonometri bagi
Sebarang Sudut............................249 Linear...............................................282
Kuasai SPM................................................284
6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus Contoh Soalan KBAT..............................287
dan Tangen..................................... 251 Praktis SPM.. .............................................287

6.4 Identiti Asas.................................254 Kertas Model SPM..................................290

6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Jawapan......................................................306
Rumus Sudut Berganda...............255

6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri....256

Kuasai SPM................................................258

Contoh Soalan KBAT.............................. 261

Praktis SPM.. .............................................262

v

1Bab Matematik Tambahan  SPM  BaTbin1gFkuantgasni  4

FUNGSI

Bidang Pembelajaran: Algebra

Tingkatan 4

Fungsi Fungsi gubahan

Contoh: f(x) = 2x + 1 fg

xf 2x + 1 gf
x y = g(x) z
1• •3
2• •5 = f(y)
3• •6 = f ͓g(x)͔
4• •7 X YZ
X •9
Y • Hasil gubahan dua fungsi di atas
ditulis sebagai fg(x)
Fungsi dari set X kepada set
Y ialah hubungan khas yang • Biasanya, fg(x)  gf(x)
memetakan setiap unsur x  X
kepada hanya satu unsur y  Y. Fungsi songsang

Ujian garis mencancang f

• Domain xy
• Kodamain
• Julat f –1
• Objek
• Imej Fungsi songsang, f –1 wujud
jika f ialah fungsi satu
dengan satu

Ujian garis mengufuk

1

 Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi

1.1 Fungsi

Tingkatan 4 1. Fungsi dari set X kepada set Y ialah y
hubungan khas yang memetakan y=x+5
setiap unsur x  X kepada hanya
satu unsur y  Y. Misalnya, Fungsi

Graf: 0 x

y (b) Jika garis mencancang
8 y = 2x +1 memotong graf lebih daripada
satu titik, maka hubungan itu
(3, 7) bukan fungsi.

6 y
y2 = x – 1
(2, 5)
4

(1, 3)
2

0 x 0 x Bukan
246 fungsi

Gambar rajah anak panah:

1• •3 4. Kewujudan suatu fungsi
Contoh:
2• •5 Diberi fungsi f(x) = (2x – 3) .
Didapati 2x – 3  0, supaya punca
3• •7
XY kuasa duanya boleh diperolehi.

Nilai 1 dipetakan kepada nilai 3, Maka, f(x) wujud jika dan hanya jika
nilai 2 dipetakan kepada nilai 5 dan 3
seterusnya. x 2  .

2. Fungsi dalam nota 1 boleh ditulis 5. Tidak tertakrif
sebagai f : x → 2x + 1 atau f(x) = 2x + 1
dengan keadaan x ialah objek dan Contoh: 1
2x + 1 ialah imej. –
Diberi fungsi f(x) = x 2  .

Didapati graf fungsi itu hanya

TIP menghampiri tetapi tidak menyentuh
garis x = 2.
Suatu hubungan ialah fungsi jika setiap
objek hanya mempunyai satu imej sahaja. Maka, fungsi itu tidak tertakrif pada
x = 2.

6. Fungsi mutlak

3. Ujian garis mencancang Bagi fungsi mutlak, kita terima hanya

(a) Jika garis mencancang saiznya, abaikan tanda yang berkait

dengannya. Misalnya,
memotong graf pada satu titik x jika x  0
f(x) =│x│= –x jika x  0
sahaja, maka hubungan itu ialah

fungsi.

2

Contoh: Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi  Tingkatan 4
f(– 4) = │– 4│= 4
f(3) = │3│= 3 (c) Julat ialah nilai-nilai y dalam
set Y, yang diperoleh selepas
7. Domain, kodomain dan julat fungsi menggantikan semua nilai x
(a) Domain ialah nilai-nilai x dalam yang mungkin.
set X, yang membuatkan suatu
fungsi tertakrif. 8. Jika objek suatu fungsi diberi, maka
(b) Kodomain ialah nilai-nilai y imej yang sepadan boleh diperolehi
dalam set Y, yang mungkin dengan keadah penggantian.
muncul bagi suatu fungsi.

Contoh 1 Contoh 2

Rajah berikut menunjukkan dua graf. Graf Tentukan domain, kodomain dan julat bagi
yang manakah ialah fungsi? Berikan alasan setiap fungsi f yang berikut.
anda. (a) f(x)

yy 2

y = –x2 + 4x – 2 y2 = –x2 + 1

0x –2 0 x
Graf (b) –2 24

0 x (b) y

Graf (a) 16

Penyelesaian 8 y = f(x)

Graf (a) ialah fungsi. Apabila diuji dengan –2 0 2 x
garis mencancang, garis itu memotong
graf (a) pada satu titik sahaja manakala Penyelesaian
garis itu memotong graf (b) pada dua titik.
Ini bermakna setiap objek bagi graf (a) (a) Domain = {–3, –2, 0, 1, 3}
mempunyai satu imej sahaja manakala bagi Kodomain = {–2, –1, 0, 1, 2}
graf (b), terdapat objek yang mempunyai Julat = {–2, –1, 0, 1, 2}
dua imej.
(b) Domain f ialah –2  x  2
Kuiz Kodomain f ialah 0  f(x)  16
Julat f ialah 0  f(x)  16

Berdasarkan gambar rajah anak TIP
panah bagi f(x) = 2x + 1 pada muka
surat 1, nyatakan Fungsi dalam Contoh 2(a) ialah fungsi
diskret. Fungsi dalam Contoh 2(b) ialah
(a) domain; (b) kodomain; fungsi selanjar.

(c) julat; (d) objek bagi 3;

(e) imej bagi 3

3

 Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi Contoh 5

Contoh 3 Diberi f(x) = 3x – 1, tentukan nilai
(a) imej bagi objek 2,
Rajah di bawah menunjukkan fungsi (b) objeknya apabila imej ialah –13.
f(x) = 1.
Tingkatan 4 Penyelesaian
y
(a) f(2) = 3(2) – 1
3 = 5
2 f(x) = 1
1 (a) f(x) = –13
0 123 x
3x – 1 = –13
Berikan alasan mengapa f ialah fungsi.
Seterusnya, tentukan 3x = –13 + 1
(a) domain,
(b) julat. 3x = –12
–12
Penyelesaian x = 3

f ialah fungsi kerana memuaskan ujian garis x = – 4
mencancang, iaitu memotong graf pada satu
titik sahaja. Setiap objek mempunyai satu TIP
imej sahaja.
(a) Domain f ialah 0  x  3. Objek bererti nilai x yang diberi. Imej bererti
(a) Julat f ialah f(x) = 1. f(x) atau ungkapan algebra tersebut.

TIP Contoh 6

3 bukan imej bagi f. Jadi, julat f tidak
mengandungi 3. Namun, 3 dikenali sebagai
unsur bagi kodomain.

Contoh 4 Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → | 2 − 3x |.
Cari
Lakarkan graf fungsi f(x) = │x + 1│ untuk (a) f(2),
domain –3  x  1. Seterusnya, nyatakan (b) domain bagi f(x)  2.
julat yang sepadan dengan domain yang
diberi. Penyelesaian

Penyelesaian (a) f(2) = | 2 − 3(2) |
= | –4 |
f(x) = 4
2 f(x) = ͉x + 1͉
(b) f(x)  2

| 2 − 3x |  2

1 −2  2 − 3x  2

–3 –1 0 1 x −4  −3x  0

0  x  4
3
Julat yang sepadan ialah 0  f(x)  2.

4

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi 

1.2 Fungsi Gubahan

1. Fungsi gubahan dihasilkan apabila TIP Tingkatan 4
dua fungsi dilaksanakan satu diikuti
dengan fungsi yang sama atau fg(x) bermakna x ialah objek bagi fungsi
berlainan. g dan imejnya, iaitu g(x) ialah objek bagi
fungsi f.
2. Diberi f(x) dan g(x), fungsi fg dikenali
sebagai fungsi gubahan dengan 3. Biasanya fg(x) ≠ gf(x).
sedemikian x akan digantikan dengan fg(x) mewakili fungsi gubahan
g(x), iaitu f[g(x)]. Ini bererti fungsi g
dilakukan terlebih dahulu kemudian dengan fungsi g dilakukan terhadap
diikuti dengan fungsi f terhadap imej x kemudian fungsi f dilaksanakan
yang diperolehi daripada fungsi g. terhadap imej yang diperolehi bagi
g(x). gf(x) adalah terbaliknya bagi
fg(x).

4. Misalnya, diberi f(x) = x2 + 3 dan g(x) = 5x

fg(x) gf(x)

xx

mesin g 5 darab mesin f Kuasa dua
input input

tambah 3

5x x2 + 3

mesin f Kuasa dua mesin g 5 darab
input input

tambah 3

25x2 + 3 5x2 + 15

Maka, fg(x) = 25x2 + 3 Maka, gf(x) = 5x2 + 15

5. Jika objek diberi, maka imej bagi fungsi gubahan boleh diperolehi dengan keadah
penggantian fungsi demi fungsi.

6. Apabila fungsi gubahan dan salah satu fungsi itu diberi, maka fungsi yang satu lagi
boleh diperolehi.

5

 Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi Jadi, 5(x2 – x) – 6 = –6

Contoh 7 5(x2 – x) = 0

Diberi f(x) = 2x – 1 dan g(x) = x2. Cari (x2 – x) = 0
(a) fg(x)
(b) gf(x) x(x – 1) = 0

Penyelesaian x = 0 atau x – 1 = 0

Tingkatan 4 (a) fg(x) = f [g(x)] x = 1
= f(x2)
= 2x2 – 1 Maka, nilai-nilai x ialah 0 dan 1.
Maka, fg(x) = 2x2 – 1
(e) gf(x) = 0
(b) gf(x) = g[f(x)]
= g(2x – 1) g(5x – 6) = 0
= (2x – 1)2
Maka, gf(x) = (2x – 1)2 (5x – 6)2 – (5x – 6) = 0 (5x – 6)
(5x – 6)(5x – 6 – 1) = 0 ialah faktor
Contoh 8 5x – 6 = 0 atau 5x – 7 = 0 bagi dua
sebutan
Diberi f(x) = 5x – 6 dan g(x) = x2 – x.
Tentukan x = 6 x = 7 algebra ini
(a) f  2(1) 5 5
(b) fg(–2)
(c) gf(0) Maka, nilai-nilai x ialah 6 dan 7 .
(d) nilai-nilai x apabila fg(x) = –6 5 5
(e) nilai-nilai x apabila gf(x) = 0
Contoh 9
Penyelesaian
Diberi fg(x) = 2 – x2 dan f(x) = 3x, tentukan
(a) f  2(1) = f f (1) fungsi g.
= f  [5(1) – 6]
= f (–1) Penyelesaian
= 5(–1) – 6
= –11 f [g(x)] = 2 – x2

(b) fg(–2) = f [(–2)2 – (–2)] 3[g(x)] = 2 – x2
= f (6) 2 – x2
= 5(6) – 6 g(x) = 3
= 24
Maka, g : x → 2 – x2
(c) g f (0) = g[5(0) – 6] 3
= g(–6)
= (–6)2 – (–6) Contoh 10
= 42
Diberi gf(x) = 2 – x2 dan f(x) = 3x, tentukan
(d) fg(x) = f(x2 – x) fungsi g.
= 5(x2 – x) – 6
fg(x) = –6 Penyelesaian

Katakan y = f(x)

y = 3x
y
x = 3

gf(x) = 2 – x2
y
g(y) = 2 –  3 2 y ialah input fungsi g

g(x) = 2 –  x 2
3

Maka, g : x → 2 –  x 2
3

6

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi 

Contoh 11

Diberi f : x → 3x2 – 2. Tentukan nilai-nilai a jika f : a → a.

Penyelesaian

f(a) = a Tingkatan 4

3a2 – 2 = a TIP

3a2 – a – 2 = 0 f : a → a juga bererti memeta kepada
diri sendiri.
(3a + 2)(a – 1) = 0

3a + 2 = 0 atau a – 1 = 0

a = –  23 a = 1

1.3 Fungsi Songsang

1. Katakan x ialah input bagi suatu fungsi 4. Ujian garis mengufuk
yang menghasilkan output y, maka (a) Jika garis mengufuk memotong
songsangan fungsi itu terhadap y graf pada satu titik sahaja, maka
akan menghasilkan x. jenis fungsi itu ialah satu dengan
satu dan fungsi itu mempunyai
f fungsi songsang.

xy y y = f(x)

f –1 f mempunyai
fungsi
2. Jika f mempunyai satu fungsi songsang
songsang, maka
(a) fungsi songsang itu diwakili oleh f –1 0 x
(b) graf f –1 ialah pantulan bagi graf f
pada garis y = x
(c) domain f –1 = julat f dan
julat f –1 = domain f (b) Jika garis mengufuk memotong
(d) f f –1(x) = x dan f –1f(x) = x graf lebih daripada satu titik,
maka jenis fungsi itu bukan satu
dengan satu dan fungsi itu tidak
mempunyai fungsi songsang.

3. f –1 wujud jika dan hanya jika f ialah y y = f(x)
fungsi satu dengan satu. x
f tidak
mempunyai
fungsi
songsang

0

7

 Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi Penyelesaian

Contoh 12

Sahkah bahawa fungsi songsang bagi Katakan y = f(x)   Jadi, x = f –1(y)

f(x) = 3x – 1 ialah g(x) = x + 1 . y = 3 – 4x
3
4x = 3 – y
3 – y
Tingkatan 4 Penyelesaian x = 4 Ungkapkan x dalam
sebutan y

fg(x) = f   x + 1  f –1(y) = 3–y
3 4
3–x
= 3  x + 1  – 1 f –1(x) = 4 Gantikan y dengan x
3
3–x
= (x + 1) – 1 Maka, f –1 : x → 4

= x f f –1(x) = x

gf(x) = g(3x – 1)

= (3x – 1) + 1
3
3x TIP
= 3
x ⎯ f→ y bererti f(x) = y
= x f –1f(x) = x x ← f –⎯1 y bererti f –1(y) = x

Oleh sebab fg(x) = gf(x) = x, maka Kuiz

fungsi songsang bagi f(x) = 3x – 1 ialah Fungsi ditakrifkan oleh f(x) = 2x + 1
untuk domain –2  x  3, nyatakan
g(x) = x + 1 . (a) domain bagi f –1(x).
3 (b) julat bagi f –1(x).

Contoh 13

Diberi bahawa f : x → 3 – 4x, tentukan f –1
dalam bentuk yang sama.

Kuasai

1. Diberi fungsi f(x) = a – 6x, dengan 2. Rajah di bawah menunjukkan fungsi
keadaan a ialah pemalar, cari nilai a m : x → 3x + n, dengan keadaan n ialah
dengan keadaan f(a) = 15. pemalar.

Pe n y e l e s a i a n x m 3x + n

f(a) = 15 2

a – 6a = 15 –1

–5a = 15

a = –3 Cari nilai n.

8

Pe n y e l e s a i a n Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi 

m(–1) = 2 5. Diberi f(x) = 4x dan g(x) = a + bx,
dengan keadaan a dan b ialah pemalar.
3(–1) + n = 2 Ungkapkan a dalam sebutan b apabila
fg(–1) = 5.
–3 + n = 2

n = 5 Pe n y e l e s a i a n

3. Diberi fungsi f : x → 2x – 3. Cari nilai x f [g(–1)] = 5 Tingkatan 4
apabila f(x) memeta kepada diri sendiri.
f [a + b(–1)] = 5

Pe n y e l e s a i a n f(a – b) = 5
f(x) = x
2x – 3 = x 4(a – b) = 5

x = 3 a – b = 5
4

a = 5 +b
4

TIP 6. Diberi f : x → x – 2, cari

“memeta kepada diri sendiri” bererti objek (a) f  –1(x),
ialah imej.
(b) nilai t dengan keadaan f 2 3t  = 12.
4. Rajah di bawah menunjukkan suatu 5
fungsi gubahan, hk yang memetakan p
kepada r. Pe n y e l e s a i a n
(a) Katakan y = f(x)
hk Jadi, x = f –1(y)

y = x – 2
y + 2 = x
f –1(y) = y + 2

pqr Maka, f  –1(x) = x + 2

(b) f f  3t  = 12
5
Nyatakan
(a) fungsi yang memetakan p kepada q, f   3t – 2 = 12
(b) h–1(r). 5
 35t – 2 – 2 = 12
Pe n y e l e s a i a n 3t
(a) Fungsi k 5 = 16
(b) h–1(r) = q
t = 26 2
3

TIP TIP

Fungsi k memetakan p kepada q manakala f 2(x) bererti f [f(x)].
fungsi h memetakan q kepada r. Jadi, fungsi
hk memetakan p kepada r.

9

 Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi

7. Dalam rajah di bawah, fungsi g 8. Diberi bahawa f : x → 3x – 2 dan
memetakan set P kepada set Q dan
fungsi h memetakan set Q kepada set R. g : x → 4 + 3x.

(a) Cari

g h R (i) g(7), 1
P Q 5
(ii) nilai p jika f( p + 3) = g(7),

Tingkatan 4 x 4 – 3x 9 – 6x (iii) gf(x).

(b) Lakarkan graf y = | g f(x) | untuk
Cari –1  x  1. Seterusnya, nyatakan
julat bagi y.
(a) dalam sebutan x, fungsi
(i) yang memetakan set Q kepada Pe n y e l e s a i a n

set P, (a) (i) g(x) = 4 + 3x
(ii) h(x),
(b) nilai x apabila gh(x) = 2x + 3. g(7) = 4 + 3(7)

= 25

Pe n y e l e s a i a n (ii) f(p + 3) = 1 g(7)
(a) (i) g(x) = 4 – 3x 5
1
Katakan y = g(x) 3 (p + 3) – 2 = 5 (25)
Jadi, g –1(y) = x
3p + 9 – 2 = 5

y = 4 – 3x 3p + 7 = 5

3x = 4 – y 3p = –2
4 – y p = –  32
3
x = (iii) g f(x) = g(3x – 2)

g –1(y) = 4–y = 4 + 3(3x – 2)
3
4 – x = 4 + 9x – 6
Maka, g –1(x) = 3
= 9x – 2

Fungsi yang memetakan set (b) x –1 0 2 1
Q kepada set P ialah g–1. 9

(ii) h(4 – 3x) = 9 – 6x y 11 2 0 7
Katakan y = 4 – 3x
y

3x = 4 – y 11 y = 9x – 2
4 – y 7
x = 3

h(y) = 9 – 6 4 – y  2 x
3 02 1
= 9 – (8 – 2y) –1

9

= 1 + 2y Maka, julat bagi y ialah 0  y  11.

Maka, h(x) = 1 + 2x

(b) g[h(x)] = 2x + 3 Kaedah Alternatif

4 – 3h(x) = 2x + 3 Graf y = |9x – 2| boleh diperoleh dengan
melukis graf y = 9x – 2 dan bahagian graf
4 – 3(1 + 2x) = 2x + 3 y = 9x – 2 yang berada di bawah paksi-x
dipantulkan pada paksi-x.
4 – 3 – 6x = 2x + 3

–8x = 2
x = –  14

10

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi 

Contoh Soalan KBAT 1 Penyelesaian

Rajah di bawah menunjukkan tiga biji bola (a) f(2) = p
berlabel nombor yang dipilih daripada 2 + 3(2) = p
sebuah kotak. p = 8

Nilai itu salah kerana f(2) = p = 8. Tingkatan 4

12 5 (b) g –1(2 + 3x) = 2
+
x 2

Tiga biji bola itu masing-masing berwarna Katakan y = 2 + 3x
kuning, biru dan jingga. y–2
(a) Lukis satu gambar rajah anak panah x = 3

untuk mewakilkan hubungan ‘warna g –1(y) = 2
bola yang dipilih kepada nombor pada
bola’. y – 2 + 2
(b) Seterusnya, nyatakan jenis hubungan 3
itu. Adakah hubungan itu satu fungsi?
= 2
y–2+6

3

Penyelesaian = y 6 4
(a) +

Kuning 1 Maka, g –1(x) = x 6 4
Biru 2 +
5
Jingga Contoh Soalan KBAT 3

(b) Hubungan satu dengan satu. Diberi fungsi songsang f, f  –1 : x → 2 1 3x ,
Hubungan itu ialah satu fungsi. –
x ≠ m. Nyatakan nilai m. Seterusnya, cari f.

Contoh Soalan KBAT 2 Penyelesaian

Rajah di bawah menunjukkan hubungan 2 – 3x ≠ 0  →  x ≠ 2   → Maka, m = 2
bagi set X, set Y dan set Z. 3 3

f g –1 Katakan y = f  –1(x). Jadi, f(y) = x

y = 2 1
– 3x

2 p 1 2 – 3x = 1
Set X Set Y 2 y
1
Set Z 3x = 2 – y

Diberi bahawa f(x) = 2 + 3x dan 2 1
2 3 3y
g –1f(x) = x + 2, x ≠ –2. x = –

(a) Jika Aini menulis p = 7, tentukan sama f( y) = 2y – 1
3y
ada nilai itu betul atau salah. Berikan

sebab anda. Maka, f : x → 2x – 1
3x
(b) Cari g –1(x).

11

 Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi

Praktis SPM

Tingkatan 4 Kertas 1 (a) f 2(x),
(b) gf(x).

1. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = 3x – 5 8. Diberi bahawa f(x) = x dan fungsi
untuk domain –2  x  4. Tentukan 3
julat bagi fungsi f. gubahan fg(x) = 2x2. Cari fungsi g(x).

2. Diberi f(x) = px + q, dengan keadaan p 9. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = │2x│– 5
dan q ialah pemalar. Jika f(1) = 7 dan untuk domain –3  x  2. Cari julat
f –1(–5) = 3, cari nilai p dan nilai q. bagi f(x).

3. Tentukan sama ada hubungan berikut 10. Diberi f(x) = 3x – 2 dan g(x) = 4x – 1.
ialah fungsi atau bukan. Jika hubungan 2
itu ialah fungsi, tentukan jenis hubungan Cari nilai x dengan keadaan x = fg(x).
itu.
11. Diberi f –1(x) = 3 2 , x ≠ 3 , dengan
y – px p

(2, 4) keadaan p ialah pemalar. Cari nilai p

x jika f(2) = 3.

0 x 2
– 3
(–2, –3) 12. Diberi h(x) = 2 3x , x ≠ . Cari h(–1).

4. Rajah di bawah menunjukkan fungsi 13. Diberi k(x) = x 4 2, x ≠ 2. Cari k –1(5).
f(x). Jika y = f(x) mempunyai fungsi –
songsang, lakarkan graf y = f  –1(x) pada
rajah yang sama. 14. Diberi f(x) = 4x – 1 , x ≠ –2 dan
x+ 2
g(x) = 3x. Cari nilai m jika gf(m) = 9.
y

y = f(x) Kertas 2

2 1. Rajah di bawah menunjukkan hubungan
0x antara set X dan set Y.

3 + 2x Kuasa dua bagi
5
5. Diberi bahawa f : x → , cari –1 1
(a) f(–5), 14
29
(b) nilai x dengan keadaan f(x) = 3. 3 16

6. Diberi bahawa f(x) = 3x , x ≠ p. Cari Set X Set Y
(a) nilai p, –2
x (a) Hubungan itu ialah satu fungsi.
Berikan alasan kenapa hubungan
(b) imej bagi –1. itu ialah satu fungsi.

7. Fungsi-fungsi f dan g ditakrifkan (b) Seterusnya, tuliskan hubungan
tersebut dengan tatatanda fungsi.
sebagai f(x) = x + 2 dan g(x) = x – 5.
Cari fungsi gubahan 3

12

(c) Nyatakan Matematik Tambahan  SPM  Bab 1 Fungsi 
(i) domain hubungan itu,
(ii) julat hubungan itu, 7. (a) Diberi bahawa f(x) = 3x – 5 dan
(iii) objek bagi 1. g(x) = 2x + m. Cari nilai m jika
fg(x) = g f(x).
2. (a) Diberi fungsi f : x → 3x + 5. Cari Tingkatan 4
(i) nilai x apabila f(x) memeta (b) Diberi g –1(x) = 3x – 2, dengan
kepada diri sendiri, keadaan x  p. KBAT
(ii) nilai s dengan keadaan
f(2s – 1) = 4s. (i) Nyatakan nilai p.
(b) Diberi f : x → 5x – 2 dan g : x → 34x, (ii) Tentukan fungsi songsang bagi
tunjukkan bahawa
g –1(x).
f  –1g –1(x) = (g f  )–1(x).
8. (a) Rajah di bawah menunjukkan
3. (a) Diberi h(x) = 9 – 3x, cari h(–3). fungsi f(x).

y

7

(b) Diberi f(x) = x2 dan g(x) = 1 – 6x. x

(i) Tunjukkan bahawa –1 0 1

f (–2) = g–   1 . (i) Tentukan domain f.
2
(ii) Cari fg(–3).
(ii) Tentukan julat f.
(iii) Cari nilai x supaya g(x) = f(4).
(iii) Terangkan mengapa f  –1(x) tidak

4. (a) Diberi f(x) = px2 + qx + r, dengan wujud. 4
keadaan f(0) = 5, f(–2) = 21 dan x
f(3) = –4. Cari nilai p, q dan r. (b) Diberi f(x) = , x ≠ 0.

(b) Diberi h(x) = 8 – 3x, cari (i) Tentukan f  –1(x).
(i) h(2x – 1),
(ii) h–1(4). (ii) Tunjukkan bahawa

ff  –1(x) = f  –1f(x) = x.

5. (a) Diberi h(x) = │5x – 1│, cari nilai- 9. Diberi f(x) = x –2 dan g(x) = 6x + 4.
Cari 3
nilai x jika h(x) = x.
(a) f  –1g –1(x),
(b) Diberi f(x) = 9x2 – 1, dengan keadaan
2 (b) (  fg)–1(x),
x  0 dan g f(x) = x – 3, dengan
(c) nilai r dengan keadaan
keadaan x ≠ 0. Cari KBAT
f  –1g –1(r) = (  fg)–1(2r).
(i) g(x), dengan keadaan x  p,

(ii) nilai p.

6. (a) Fungsi f dan fungsi g ditakrifkan
oleh f(x) = 4 – 3x dan g(x) = 5x – 2.
Cari fg –1 (x).

(b) Fungsi m ditakrifkan oleh
m : x → │9x – 13│, tentukan KBAT

(i) m(1),
(ii) domain bagi m(x)  13 dan

lakarkan graf fungsi itu untuk
m(x)  13.

13

Jawapan

Tingkatan 4 12. –   1
5

13. 2 4
5
1BAB Fungsi
14. 7

Kertas 2

Kuiz muka surat 3 1. (a) Hubungan itu ialah satu fungsi kerana
(a) {1, 2, 3, 4} setiap objek mempunyai satu imej
(b) {3, 5, 6, 7, 9} sahaja.
(c) {3, 5, 7, 9}
(d) 1 (b) f : x → x2 atau f(x) = x2
(e) 7 (c) (i) {-1, 1, 2, 3}

Kuiz muka surat 8 (ii) {1, 4, 9}
(a) -3  x  7 (iii) -1, 1
(b) -2  f –1(x)  3
2. (a) (i) –   5
2

(ii) -1

PRAKTIS SPM 3. (a) 18

Kertas 1 (b) (ii) 361
(iii) –   5
1. –11  f(x)  7
2. p = –6, q = 13 2
4. (a) p = 1, q = –6, r = 5
3. fungsi, hubungan satu dengan satu
(b) (i) 11 – 6x
4. y (ii) 4
3

y = f –1(x) 5. (a) 1 , 1
x 46

2 (b) (i) 6 –3
02  x + 1

(ii) -1
6. (a) 14 – 3x

5

5. (a) – 7 (b) (i) 4
5 (ii) 0  x  2 8

(b) 6 9

6. (a) 2 y
(b) 1 m(x) = |9x –13|

7. (a) x + 4 13
(b) x – 13
0 4 8 x
3 9 9
8. 6x2 1 2
9. –5  f(x)  1
10. 7 7. (a) –   5
2
10
11. 2 (b) (i) 2
3
3
(ii) x2 + 2
3

306

Matematik Tambahan  SPM  Jawapan

8. (a) (i) -1  x  1 18. x2 + 2x – 5 = 0
(ii) 0  f(x)  7 19. p = –1, q = 3

(iii) Apabila diuji dengan ujian garis Kertas 2

mengufuk, garis itu memotong graf

pada dua titik. Jenis fungsi itu bukan 1. (a) a = –   5 , h = 2 (b) –5  x  9
satu dengan satu. Maka, f -1(x) tidak 4 (b) x2 + 2x – 195 = 0
2. (a) t = 2, p = 10
wujud.
4
(b) (i) x 3. 1 : 3; –6

9. (a) x + 8 4. (a) Apabila b berubah daripada –5 kepada
2 5, verteks berada di sebelah kanan
paksi-y. Bentuk graf dan pintasan-y tidak
(b) 3x + 2 berubah.
6
(b) f(x)
(c) 7 1
3

2BAB Fungsi Kuadratik 12

–4 0 3 x
2
Kuiz muka surat 23
Paksi-y (c) Graf baharu ialah pantulan bagi graf f(x)
Kuiz muka surat 26 pada paksi-y.
Paksi-y
5. (a) x  2 atau x  6; 0  x  8
(b) 0  x  2 atau 6  x  8

PRAKTIS SPM 6. (a) (2, 9) (b) –1

Kertas 1 (c) f(x) = (x – 2)2 – 9

1. p  –1 atau p  7 7. (a) k  2 (b) h = 16, k = 3

2. 2, –16 8. (a) m = 5, n = 15 (b) 16x2 – 54x + 45 = 0
2
3. 4 : 3
4. –   16   7 2 9
9. (a) f(x) = – x – 2 4
9 +
5. 0  p  1
(b) Nilai maksimum = 9
9 4
6. p = 28, q = –143, r = –123
7. 2x2 – 3x + 1 = 0 (c) f(x) ΂72 9 ΂
4
8. (a) x2 – 22x + 1 = 0 (b) 0.04555, 21.95 ,

9. (a) –1 (b) k  –   9 02 x
10. x  –1 atau x  4 4 57

11. –9, 17
3b2
12. c = 16a –10

13. k  10  (d) 2 9
7 f(x) = x– 7
–
24
14. 7
10. (a) 48 cm (b) 108 cm2
  15. 3 2 27
f(x) = –2 x + 2 + 2
11. (a) 66 cm (b) 80 cm

Nilai maksimum = 27 ; x = –  23 12. 13.34; 367.65 m2
2
13. (a) p  5 (b) 6

  16. 3 2 14. (a) a = –  861 , p = 6, q = 6
f(x) = –  8 x+ 2
9 +8

17. Nilai a berubah kepada –3, nilai h tidak (b) (i) 3 1 m (ii) 12 m
berubah dan nilai k berubah kepada 5. 3

307

SPMRevisi Cepat Tingkatan KC118132 Ranger

Nota Padat BHearlwamaranna! 4 . 5 KSSM SPM Revisi Cepat Matematik Tambahan
KBAT & i-THINK
• Bahasa Melayu
Praktis SPM • English
Kertas Model SPM • Matematik
• Mathematics
Jawapan • Sains
KOD QR Info • Science
• Sejarah
Dapatkan • Pendidikan Islam
versi • Biologi
eBook! • Biology
• Fizik
• Physics
• Kimia
• Chemistry
✔ Matematik Tambahan
• Additional Mathematics
• Ekonomi
• Perniagaan
• Prinsip Perakaunan

www.PelangiBooks.com W.M: RM18.95 / E.M: RM18.95
PelangiBookswww. .com• Kedai Buku Online • Perpustakaan Online •
KC118132
• Kedai Buku Online • Perpustakaan Online • ISBN: 978-967-2856-30-6

PELANGI Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. (89120-H)
PELANGI Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. (89120-H)