KSSM Tingkatan Moh Sin Yee Dr V. Sarveswary ADDITIONAL MATHEMATICS MATEMATIK TAMBAHAN SPM Format SPM Berdasarkan TERKINI 5 Revisi Ekspres Praktis Intensif Mengikut Topik Soalan Berorientasikan SPM Penerapan KBAT 1 Set Kertas Model SPM Jawapan Lengkap Praktis KBAT Ekstra! Praktis Asas Kecemerlangan!
Kandungan Praktis 1 Sukatan Membulat 1 Circular Measure Praktis 2 Pembezaan 12 Differentiation Praktis 3 Pengamiran 24 Integration Praktis 4 Pilih Atur dan Gabungan 38 Permutation and Combination Praktis 5 Taburan Kebarangkalian 51 Probability Distribution Praktis 6 Fungsi Trigonometri 60 Trigonometric Functions Praktis 7 Pengaturcaraan Linear 67 Linear Programming Praktis 8 Kinematik Gerakan Linear 76 Kinematics of Linear Motion Kertas Model SPM 86 Jawapan J1 – J12
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat 1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KERTAS 1 BUKU TEKS m.s. 2 – 4 Radian Radian 1.1 1. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. TP1 Convert each of the following angles to degrees. [Guna / Use π = 3.142] (a) —5 8 π rad, (b) 4.62 rad. [2 markah / marks] 2. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada radian dalam sebutan π. TP1 Convert each of the following angles to radians in terms of π. (a) 58°309, (b) 255°. [2 markah / marks] BUKU TEKS m.s. 5 – 10 Panjang Lengkok Suatu Bulatan Arc Length of a Circle 1.2 3. Rajah berikut menunjukkan sebuah semibulatan OLMN dengan pusat O dan diameter 16 cm. The following diagram shows a semicircle OLMN with centre O and diameter 16 cm. TP2 L M O N θ Diberi perimeter sektor MON ialah (16 + 5π) cm, cari nilai θ dalam sebutan π radian. Given the perimeter of sector MON is (16 + 5π) cm, find the value of θ in terms of π radians. [3 markah / marks] 4. Rajah berikut menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O. TP3 The following diagram shows a circle with centre O. Q P O α Cari nilai α dalam sebutan π radian jika perimeter sektor minor POQ adalah sama dengan panjang lengkok major PQ. Find the value of α in terms of π radians if the perimeter of minor sector POQ is equal to the length of major arc PQ. [3 markah / marks] 5. Rajah berikut menunjukkan dua sektor AOD dan BOC dengan pusat O. TP2 The following diagram shows two sectors AOD and BOC with centre O. O A x B y D C 1.5 rad Sukatan Membulat Circular Measure Praktis 1 Revisi Ekspres 1. 2π rad = 360° p rad = 180° 2. Panjang lengkok, s = jθ Arc length, s = rθ 3. Luas sektor, L = 1 2 j 2 θ Area of sector, A = 1 2 r2 θ
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 2 Diberi ∠AOD = 1.5 rad, beza antara panjang lengkok AD dan BC = 4.5 cm dan perimeter sektor AOD = 24.5 cm, hitung nilai x dan nilai y. Given ∠AOD = 1.5 rad, the difference between the arc lengths of AD and BC = 4.5 cm and the perimeter of sector AOD = 24.5 cm, calculate the value of x and of y. [4 markah / marks] 6. Rajah berikut menunjukkan sebuah sektor YXW bagi bulatan dengan pusat X yang terterap dalam rombus VWXY. TP3 The following diagram shows a sector YXW of a circle with centre X inscribed in a rhombus VWXY. 80° Y W X V Diberi perimeter kawasan berlorek ialah 20.5 cm, hitung panjang sisi rombus VWXY, dalam cm. Given the perimeter of the shaded region is 20.5 cm, calculate the length of side of rhombus VWXY, in cm. [3 markah / marks] 7. Rajah berikut menunjukkan dua lengkok PT dan SR masing-masing dengan pusat Q dan P. Titik Q ialah titik tengah antara titik-titik P dan R. TP3 The following diagram shows two arcs PT and SR with centres Q and P respectively. Point Q is the midpoint between the points P and R. T P Q R S Diberi ∠SPR = θ rad dan nisbah panjang lengkok PT kepada panjang lengkok SR ialah 1 : 4, ungkapkan ∠PQT dalam sebutan θ. Given ∠SPR = θ rad and the ratio of the length of arc PT to the length of arc SR is 1 : 4, express ∠PQT in terms of θ. [3 markah / marks] 8. Rajah berikut menunjukkan sebuah sektor FOG bagi bulatan dengan pusat O. TP4 The following diagram shows a sector FOG of a circle with centre O. G H O F 0.8 rad Jika OH = 5 cm, hitung perimeter, dalam cm, rantau berlorek. If OH = 5 cm, calculate the perimeter, in cm, of the shaded region. [4 markah / marks] 9. Rajah berikut menunjukkan sebuah sektor major OABC dengan jejari 12 cm dan pusat O. TP4 The diagram shows a major sector OABC with radius 12 cm and centre O. A C B O 30° α Diberi /OAC = 30°, cari Given /OAC = 30°, find (a) nilai α, dalam radian, the value of α, in radians, (b) perimeter seluruh rajah, dalam cm. the perimeter of the whole diagram, in cm. [5 markah / marks] 10. Rajah berikut menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 10 cm. AK dan BK masing-masing ialah tangen kepada bulatan pada titik-titik A dan B. TP3 The following diagram shows a circle with centre O and radius 10 cm. AK and BK are two tangents to the circle at points A and B respectively. A B K O
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat 3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Diberi AK = 13 cm, hitung panjang lengkok major AB, dalam cm. Given AK = 13 cm, calculate the length of major arc AB, in cm. [3 markah / marks] 11. Rajah berikut menunjukkan satu tembereng dengan perentas 10 cm yang digunting daripada sebuah bulatan dengan jejari 6 cm. TP3 The following diagram shows a segment with chord 10 cm cut from a circle with radius 6 cm. Cari Find (a) sudut, dalam radian, yang dicangkum pada pusat oleh tembereng, the angle, in radians, subtended at the centre by the segment, (b) perimeter tembereng, dalam cm. the perimeter of the segment, in cm. [4 markah / marks] 12. Rajah berikut menunjukkan dua buah sektor, POS dan QOR, bagi dua bulatan dengan pusat sepunya O. TP3 The following diagram shows two sectors, POS and QOR, of two circles with a common centre O. P Q R S O Sudut yang dicangkum pada pusat O oleh lengkok minor QR ialah 2θ rad dan perimeter seluruh rajah ialah 75 cm. Diberi OP = r cm, OP : OQ = 4 : 3 dan sudut bagi sektor major POS = 4θ rad, ungkapkan r dalam sebutan θ. The angle subtended at the centre O by the minor arc QR is 2θ rad and the perimeter of the whole diagram is 75 cm. It is given that OP = r cm, OP : OQ = 4 : 3 and the angle of major sector POS = 4θ rad, express r in terms of θ. [3 markah / marks] BUKU TEKS m.s. 12 – 18 Luas Sektor Suatu Bulatan Area of Sector of a Circle 1.3 13. Rajah berikut menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 15 cm. TP3 The following diagram shows a circle with centre O and radius 15 cm. L M θ O Jika luas sektor berlorek ialah 90π cm2 , cari nilai θ, dalam radian. If the area of the shaded sector is 90π cm2 , find the value of θ, in radians. [2 markah / marks] 14. Seutas dawai yang panjangnya 30 cm dibengkokkan kepada satu sektor DOE bagi sebuah bulatan dengan pusat O. TP4 A piece of 30 cm wire is bent into a sector DOE of a circle with centre O. D O E α Diberi panjang lengkok DE ialah 20 cm. Hitung It is given that the length of arc DE is 20 cm. Calculate (a) sudut α dalam radian, the angle α in radians, (b) luas sektor DOE dalam cm2 . the area of sector DOE, in cm2 . [4 markah / marks] 15. Rajah berikut menunjukkan sebuah sektor ADB dengan pusat D dan sebuah semibulatan BCD. The following diagram shows a sector ADB with centre D and a semicircle BCD. TP3 B A D C
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 4 Diberi bahawa panjang lengkok AB dan garis AD masing-masing ialah 6.5 cm dan 35 cm. Hitung It is given that the length of arc AB and line AD are 6.5 cm and 35 cm respectively. Calculate [Guna / Use π = 3.142] (a) ∠ADB, dalam radian, ∠ADB, in radians, (b) luas seluruh rajah, dalam cm2 . the area of the whole diagram, in cm2 . [5 markah / marks] 16. Rajah berikut menunjukkan sebuah sektor KOL bagi bulatan berpusat O dan berjejari 8 cm. TP3 The following diagram shows a sector KOL of circle with centre O and radius 8 cm. K L O Diberi panjang perentas KL adalah 3 2 kali jejari sektor, hitung Given the length of chord KL is 3 2 times the radius of sector, calculate (a) ∠KOL, dalam radian, ∠KOL, in radians, (b) luas tembereng berlorek, dalam cm2 . the area of the shaded segment, in cm2 . [4 markah / marks] 17. Rajah berikut menunjukkan dua buah sektor, AOD dan BOC bagi dua bulatan dengan pusat sepunya O. TP4 The diagram shows two sectors, AOD and BOC, of two concentric circles with centre O. O θ D C A B Diberi luas kawasan berlorek ialah 36 cm2 , OA = x cm dan OA : AB = 4 : 1, ungkapkan θ dalam sebutan x. Given the area of the shaded region is 36 cm2 , OA = x cm and OA : AB = 4 : 1, express θ in terms of x. [5 markah / marks] 18. Rajah berikut menunjukkan sebuah rombus ABDC yang terterap dalam sektor BAC dengan pusat A dan jejari k cm. TP4 The following diagram shows a rhombus ABDC inscribed in a sector BAC with centre A and radius k cm. A B C D α rad Diberi luas sektor BAC ialah 30 cm2 , ungkapkan Given the area of sector BAC is 30 cm2 , express (a) α dalam sebutan k, α in terms of k, (b) perimeter, p, bagi kawasan berlorek dalam sebutan k. the perimeter, p, of the shaded region in terms of k. [3 markah / marks] 19. Rajah berikut menunjukkan sebuah semibulatan dengan pusat O. TP3 The following diagram shows a semicircle with centre O. X S R θ P O Q SX dan RX masing-masing ialah tangen kepada semibulatan itu pada titik S dan titik R. Diberi bahawa panjang lengkok minor SR ialah 8 cm dan OX = 10 θ cm. Ungkapkan dalam sebutan θ SX and RX are tangents to the semicircle at points S and R respectively. It is given that the length of minor arc SR is 8 cm and OX = 10 θ cm. Express in terms of θ
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat 5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. (a) jejari, r, semibulatan itu, the radius, r, of the semicircle, (b) luas, A, kawasan berlorek. the area, A, of the shaded region. [4 markah / marks] 20. Rajah berikut menunjukkan sebuah sektor AOB dengan pusat O terterap dalam sebuah segi tiga sama kaki POR. TP4 The following diagram shows a sector AOB with centre O inscribed in an isosceles triangle POR. A P R B O Q Diberi PR = 20 cm dan ∠OPR = 40°, hitung Given PR = 20 cm and ∠OPR = 40°, calculate [Guna / Use π = 3.142] (a) jejari, dalam cm, sektor AOB, the radius, in cm, of sector AOB, (b) luas kawasan berlorek, dalam cm2 . the area of the shaded region, in cm2 . [5 markah / marks] 21. Rajah berikut menunjukkan sebuah sukuan DAB dengan pusat A dan sebuah sektor COB dengan pusat O. TP4 The following diagram shows a quadrant DAB with centre A and a sector COB with centre O. B A 33.7° O D C Diberi jejari bagi sektor COB ialah 10 cm, BA : BO = 2 : 5 dan /COB = 33.7°, hitung luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. Given that the radius of sector COB is 10 cm, BA : BO = 2 : 5 and /COB = 33.7°, calculate the area, in cm2 , of the shaded region. [5 markah / marks] 22. Rajah berikut menunjukkan sebuah sektor EOD bagi bulatan dengan pusat O. The following diagram shows a sector EOD of a circle with centre O. TP4 Menganalisis y x O E(–7, 1) D(5, 5) Hitung / Calculate (a) /EOD, dalam radian, /EOD, in radians, (b) luas sektor EOD, dalam unit2 . the area of sector EOD, in unit2 . [5 markah / marks] BUKU TEKS m.s. 20 – 21 Aplikasi Sukatan Membulat Application of Circular Measures 1.4 23. Dalam acara lontar peluru, peluru yang dilontarkan mesti mendarat dalam sebuah sektor yang mencangkum sudut pusat 34.92° seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. In a shot put event, a shot put must land within a sector subtending a central angle of 34.92° as shown in the following diagram. TP4 34.92° Pada Kejohanan Olahraga Para Dunia 2017, panjang lontaran kemenangan oleh Muhammad Ziyad ialah 17.29 m. Untuk menandakan lontaran terjauh itu yang dibuat oleh Muhammad Ziyad, pegawai perlu melukis satu lengkok merentasi kawasan pendaratan. Cari At the 2017 World Para Athletics Championships, the length of the winning shot made by Muhammad Ziyad was 17.29 m. To mark the farthest throw by Muhammad Ziyad, the official has to draw an arc across the landing area. Find (a) panjang lengkok yang dilukis oleh pegawai itu, dalam m, the length of the arc drawn by the official, in m, (b) luas sektor yang dibatasi oleh lengkok dalam (a), dalam m2 . the area of sector bounded by the arc in (a), in m2 . [4 markah / marks]
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 6 24. Rajah berikut menunjukkan sebuah tolok bahan api yang berbentuk sektor dengan 8 pembahagian yang sama besar dari E ke F. TP4 The following diagram shows a sector-shaped fuel gauge with 8 equal divisions from E to F. E O F Diberi panjang penunjuk itu ialah 3 cm dan luas tolok itu ialah 11.25 cm2 . Hitung It is given that the length of the indicator is 3 cm and the area of the gauge is 11.25 cm2 . Calculate (a) /EOF, dalam radian, /EOF, in radians, (b) jarak, dalam cm, yang dilalui oleh hujung penunjuk itu apabila berpusing sebanyak dua pembahagian. the distance, in cm, travelled by the tip of the indicator when it rotates by two divisions. [4 markah / marks] 25. Rajah berikut menunjukkan meter laju bagi sebuah kereta yang sedang bergerak di sebuah kawasan perumahan. TP4 Menganalisis The following diagram shows the speedometer of a car travelling in a residential area. A O P 0 B 10 20 30 40 km/h km/j 50 60 70 80 90 100 Diberi panjang jarum meter itu ialah 5 cm dan panjang lengkok PB yang berpusatkan O ialah 3.7π cm, hitung Given the length of the pointer is 5 cm and the length of arc PB with centre O is 3.7π cm, calculate (a) /AOP, dalam π radian, /AOP, in π radians, (b) laju kereta pada ketika itu, dalam km j–1. the speed of the car at the instant, in km h–1. [4 markah / marks] 26. Dua belas potong piza dipotong daripada piza bersaiz besar dengan diameter 45.72 cm seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. Twelve slices of pizza was cut out of a large pizza with diameter 45.72 cm as shown in the following diagram. TP4 [Guna / Use π = 3.142] (a) Hitung perimeter, dalam cm, bagi sepotong piza. Calculate the perimeter, in cm, of a slice of pizza. (b) Selepas lima potong piza dimakan, adakah luas bagi piza yang tertinggal menjadi kurang daripada 1 000 cm2 ? Justifikasikan jawapan anda. After five slices of pizza have been eaten, will the area of the remaining pizza become less than 1 000 cm2 ? Justify your answer. [5 markah / marks] 27. Rajah berikut menunjukkan sepotong kek dengan keadaan keratan rentas seragamnya berbentuk sektor JOK dengan pusat O dan jejari 18 cm. TP5 The following diagram shows a piece of cake where its uniform cross-section has a shape of sector JOK with centre O and radius 18 cm. O J K Diberi panjang lengkok JK ialah 12 cm dan ketebalan kek itu ialah 10 cm. Cari It is given that the length of arc JK is 12 cm and the thickness of the cake is 10 cm. Find (a) /JOK, dalam radian, /JOK, in radians, (b) jumlah luas permukaan kek itu, dalam cm2 . the total surface area of the cake, in cm2 . [6 markah / marks]
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat 7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 28. Sekeping kertas berbentuk semibulatan dengan jejari 10 cm digunting kepada dua buah sektor bulatan seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. TP6 Menganalisis A piece of semicircular paper with radius 10 cm is cut into two sectors as shown in the following diagram. 10 cm 9 cm Sektor major digunakan untuk membentuk sebuah kon dengan tinggi 9 cm. Cari sudut pusat yang dicangkum dalam sektor major itu, dalam radian. The major sector is used to make a cone with height 9 cm. Find the central angle subtended in the major sector, in radians. [5 markah / marks] 29. Dalam rajah berikut, rantai basikal digunakan untuk menghubungkan engkol dan kaset bagi sebuah basikal. TP4 Mengaplikasi In the following diagram, bicycle chain is used to link the crank and cassette of a bicycle. 40 cm 190° 150° 40 cm Rantai basikal Bicycle chain Engkol Crank Kaset Cassette Diberi luas sektor berlorek bagi engkol dan kaset basikal masing-masing ialah 120.18 cm2 dan 65.98 cm2 , hitung panjang, dalam cm, rantai basikal itu. Given that the area of the shaded region of the bicycle crank and cassette are 120.18 cm2 and 65.98 cm2 respectively, calculate the length, in cm, of the bicycle chain. [Guna / Use π = 3.142] [5 markah / marks] 30. Rajah berikut menunjukkan keratan rentas membulat seragam bagi sebatang paip dengan pusat O yang diisi dengan air. Titik tertinggi H adalah 80 cm di atas permukaan air. The following diagram shows a circular crosssection of a uniform pipe with centre O that is filled with water. Its highest point H is 80 cm above the surface of the water. TP6 Menganalisis O G 80 cm F H Diberi diameter dan panjang paip itu masingmasing ialah 120 cm dan 500 cm, cari Given the diameter and the length of the pipe are 120 cm and 500 cm respectively, find (a) luas kawasan berlorek, dalam cm2 , the area of the shaded region, in cm2 , (b) isi padu air di dalam paip itu, dalam cm3 . the volume of the water in the pipe, in cm3 . [8 markah / marks] 31. Rajah berikut menunjukkan keratan rentas seragam bagi sebatang kayu balak dengan pusat O dan jejari 100 cm yang terapung di atas air. The diagram shows the uniform cross-section of a log with centre O and radius 100 cm floating in the water. TP6 Menganalisis 100 cm 20 cm P R O Q Diberi bahawa kedua-dua titik P dan R terletak pada permukaan air dan titik tertinggi Q adalah 20 cm di atas permukaan air. Cari It is given that both points P and R are on the surface of the water and the highest point Q is 20 cm above the surface of the water. Find (a) /POR, dalam radian, /POR, in radians, (b) peratusan bagi isi padu kayu balak yang tenggelam di dalam air. the percentage of the volume of the log submerged in the water. [8 markah / marks]
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 8 KERTAS 2 1. Rajah di sebelah menunjukkan sektor POS dengan pusat O dan jejari 15 cm. QR ialah tangen kepada lengkok PS pada titik Q. TP4 Subtopik 1.1 – 1.3 The diagram shows a sector POS with centre O and radius 15 cm. QR is a tangent to the arc PS at point Q. Diberi luas bagi sektor POQ ialah 146.25 cm2 , hitung Given that the area of sector POQ is 146.25 cm2 , calculate [Guna / Use π = 3.142] (a) ∠POQ, dalam radian, ∠POQ, in radians, [2 markah / marks] (b) perimeter kawasan berlorek, dalam cm. the perimeter of the shaded region, in cm. [4 markah / marks] 2. Kelab Seni SMK Seni menganjurkan satu pertandingan mencipta logo baharu untuk kelab itu. Gordon mencipta sebuah logo membulat seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Ketiga-tiga kawasan berwarna kelabu adalah kongruen dengan keadaan perimeternya ialah 18π cm. Hitung Art Club of SMK Seni organised a competition to design a new logo for the club. Gordon designed a circular logo as shown in the diagram on the right. The three grey coloured regions are congruent where its perimeter is 18π cm. Calculate TP6 Subtopik 1.4 Menganalisis (a) jejari, dalam cm, bagi logo itu, the radius, in cm, of the logo, [3 markah / marks] (b) luas, dalam cm2 , bagi kawasan berwarna hitam. the area, in cm2 , of the black coloured region. [4 markah / marks] 3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor FOG bagi bulatan berpusat O. Titik A dan titik B masing-masing terletak pada garis OF dan garis OG dengan keadaan AB brserenjang dengan OF. TP4 Subtopik 1.2 & 1.3 The diagram shows a sector FOG of a circle with centre O. Point A and point B lie on the line OF and line OG respectively such that AB is perpendicular to OF. Diberi OA : OF = 2 : 3, hitung Given that OA : OF = 2 : 3, calculate [Guna / Use π = 3.142] (a) perimeter kawasan berlorek, dalam cm, the perimeter of the shaded region, in cm, [4 markah / marks] (b) luas kawasan berlorek, dalam cm2 . the area of the shaded region, in cm2 . [4 markah / marks] 4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi empat tepat PQRS dengan panjang 15 cm dan lebar 5 cm. O ialah titik tengah bagi PQ dan pusat kepada lengkok RS. The diagram shows a rectangle PQRS with length 15 cm and width 5 cm. O is the midpoint of PQ and the centre of the arc RS. TP4 Subtopik 1.1 – 1.3 BUKU TEKS m.s. 2–18 P Q S R O 30° BUKU TEKS m.s. 20–21 SMKS KELAB SENI ART CLUB BUKU TEKS m.s. 5–18 A F G B O 45° 5 2 cm BUKU TEKS m.s. 2–18 P S Q R O
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat 9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Hitung Calculate [Guna / Use π = 3.142] (a) ∠ROS, dalam radian, ∠ROS, in radians, [3 markah / marks] (b) perimeter kawasan berlorek, dalam cm, the perimeter of the shaded region, in cm, [3 markah / marks] (c) luas seluruh rajah, dalam cm2 . the area of the whole diagram, in cm2 . [4 markah / marks] 5. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor ABCD dengan pusat A dan dua buah sektor BMA dan AND masing-masing dengan pusat M dan pusat N. Diberi sudut pusat bagi sektor ABCD ialah 4.1 rad, cari The diagram on the right shows a sector ABCD with centre A and two sectors BMA and AND with centres M and N respectively. Given the central angle of sector ABCD is 4.1 rad, find TP6 Subtopik 1.2 & 1.3 Menganalisis (a) jejari, dalam cm, sektor ABCD, the radius, in cm, of sector ABCD, [2 markah / marks] (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, the perimeter, in cm, of the shaded region, [2 markah / marks] (c) luas, dalam cm2 , sektor BMA, the area, in cm2 , of sector BMA, [2 markah / marks] (d) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. the area, in cm2 , of the shaded region. [4 markah / marks] 6. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah rangka wau kucing dengan garis lurus OB sebagai paksi simetrinya. OPDQ ialah semibulatan berpusatkan O dan berjejari 20 cm. AEC dan ADC masing-masing ialah dua lengkok yang sama panjang dengan pusat O dan B. Jejari bagi kedua-dua lengkok AEC dan ADC ialah 60 cm. Diberi AC = 90 cm, hitung The diagram on the right shows a frame of wau kucing with a straight line OB as its symmetrical axis. OPDQ is a semicircle with centre O and radius 20 cm. AEC and ADC are two arcs of equal length with centres O and B respectively. The radii of both arcs AEC and ADC are 60 cm. Given AC = 90 cm, calculate TP6 Subtopik 1.4 Menganalisis (a) /ABC, dalam radian, /ABC, in radians, [2 markah / marks] (b) perimeter kawasan berlorek, dalam cm, the perimeter of the shaded region, in cm, [4 markah / marks] (c) luas kawasan berlorek, dalam cm2 . the area of the shaded region, in cm2 . [4 markah / marks] BUKU TEKS m.s. 5–18 B D M 2 rad 3.5 cm 3.5 cm 2 rad N A C BUKU TEKS m.s. 20–21 B E C Q D A P O
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 10 7. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah semibulatan BQD dengan pusat P dan satu lengkok BCD bagi bulatan dengan pusat A. Diberi persamaan garis lurus AB dan BD masing-masing ialah x 12 + y 16 = 1 dan x 32 + y 16 = 1, cari TP6 Subtopik 1.2 & 1.3 Menganalisis The diagram on the right shows a semicircle BQD with centre P and an arc BCD of a circle with centre A. Given the equations of straight lines AB and BD are x 12 + y 16 = 1 and x 32 + y 16 = 1 respectively, find (a) /BAD, dalam radian, /BAD, in radians, [3 markah / marks] (b) perimeter kawasan berlorek, dalam unit, the perimeter of the shaded region, in unit, [3 markah / marks] (c) luas kawasan berlorek, dalam unit2 . the area of the shaded region, in unit2 . [4 markah / marks] 8. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga sama sisi ABC dan satu lengkok AMNB bagi bulatan dengan pusat O. Diberi bahawa garis MN selari dengan garis AB, garis ON selari dengan garis BC dan garis OM selari dengan garis AC. Jika AC = 8 cm, hitung TP5 Subtopik 1.2 & 1.3 The diagram on the right shows an equilateral triangle ABC and an arc AMNB of a circle with centre O. It is given that line MN is parallel to line AB, line ON is parallel to line BC and line OM is parallel to line AC. If AC = 8 cm, calculate (a) panjang lengkok AM, dalam cm, the length of arc AM, in cm, [4 markah / marks] (b) panjang lengkok MN, dalam cm, the length of arc MN, in cm, [2 markah / marks] (c) luas kawasan berlorek, dalam cm2 . the area of the shaded region, in cm2 . [4 markah / marks] 9. Rajah di sebelah menunjukkan tiga buah bulatan masing-masing dengan pusat A dan jejari 2 cm, pusat B dan jejari 4 cm, dan pusat C dan jejari 8 cm. Kesemua tiga buah bulatan menyentuh antara satu sama lain pada titiktitik P, Q dan R. Hitung TP6 Subtopik 1.2 & 1.3 Menganalisis The diagram on the right shows three circles with centre A and radius 2 cm, centre B and radius 4 cm, and centre C and radius 8 cm respectively. All three circles touch each other at the points P, Q and R. Calculate (a) /PAR, /PBQ dan /RCQ dalam radian, /PAR, /PBQ and /RCQ in radians, [3 markah / marks] (b) perimeter kawasan berlorek, dalam cm, the perimeter of the shaded region, in cm, [3 markah / marks] (c) luas kawasan berlorek, dalam cm2 . the area of the shaded region, in cm2 . [4 markah / marks] BUKU TEKS m.s. 5–18 y x A D P C Q B BUKU TEKS m.s. 5–18 C O A B M N BUKU TEKS m.s. 5–18 8 cm C Q A P B 4 cm 2 cm R
Matematik Tambahan Tingkatan 5 Praktis 1 Sukatan Membulat 11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KBAT 1. Serpihan barangan seramik yang berusia lebih 200 tahun ditemui di suatu tapak arkeologi. Rajah berikut menunjukkan satu tembereng bulatan yang mewakili serpihan barangan seramik yang ditemui. Fragments of ceramics over 200 years old were discovered at an archeological site. The diagram shows a segment of circle representing the fragment of ceramics discovered. (a) Menggunakan maklumat yang diberi, tunjukkan bahawa rumus untuk menentukan jejari bulatan tersebut adalah seperti berikut. Using the information given, show that the formula used to determine the radius of the circle is as follows. r = 4x2 + p2 8x p x (b) Jika nilai-nilai x dan p masing-masing ialah 2 cm dan 6 cm, tentukan sudut pusat yang dicangkum oleh tembereng tersebut, dalam radian. If the values of x and p are 2 cm and 6 cm respectively, determine the central angle subtended by the segment, in radians. 2. Rajah berikut menunjukkan tiga bandar yang terletak pada longitud yang sama. Diberi bahawa latitud bagi bandar Glenshaw, Trinidad dan Machala masing-masing ialah 40.53°N, θ°N dan 3.26°S. The following diagram shows three cities located on the same longitude. It is given that the latitude of the cities of Glenshaw, Trinidad and Machala are 40.53°N, θ°N and 3.26°S respectively. M Khatulistiwa / Equator, 0° T G 40.53°N 3.26°S θ°N Petunjuk Indicator G: Glenshaw, Amerika Syarikat Glenshaw, United States of America T: Trinidad, Cuba M: Machala, Ecuador Dengan menganggap bahawa Bumi sebagai sfera berjejari 6 371 km, hitung Assuming that the Earth is a sphere with a radius of 6 371 km, calculate [Guna / Use π = 3.142] (a) jarak, dalam km, antara bandar Glenshaw dan bandar Machala, the distance, in km, between the city of Glenshaw and the city of Machala, (b) nilai θ jika jarak antara bandar Glenshaw dan bandar Trinidad ialah 2 082.95 km. the value of θ if the distance between the city of Glenshaw and the city of Trinidad is 2 082.95 km.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 86 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Kertas Model SPM KERTAS 1 / PAPER 1 2 jam / 2 hours Bahagian A / Section A [64 markah / 64 marks] Jawab semua soalan dalam bahagian ini. Answer all questions in this section. 1. Rajah 1 menunjukkan logo kelab pencinta alam di Sekolah Menengah Kebangsaan Taman Pelangi. Logo tersebut terdiri daripada sebuah semibulatan OABCD dan tiga buah semibulatan yang sama saiz dengan diameter AB, BC dan CD. AOD ialah satu garis lurus dengan keadaan AO ialah r cm. Tentukan nilai h jika luas bagi keseluruhan logo, A dalam sebutan π dan r diungkapkan sebagai A = h(23 + π)r2 . Diagram 1 shows the logo of a nature lovers club at Sekolah Menengah Kebangsaan Taman Pelangi. The logo consists of a semicircle OABCD and three semicircles of the same size with diameters AB, BC and CD. AOD is a straight line such that AO is r cm. Determine the value of h if the area of the whole logo, A in terms of π and r is expressed as A = h(23 + π)r2 . [5 markah / marks] Jawapan / Answer: 2. Rajah 2 menunjukkan graf fungsi f(x) = 2 x + 3 , x ≠ −3. Graf f(x) menghampiri tetapi tidak menyentuh garis lurus menegak AB. Diagram 2 shows the graph of function f(x) = 2 x + 3 , x ≠ −3. The graph f(x) approaches but does not touch the vertical straight line AB. (a) Nyatakan persamaan garis lurus AB. State the equation of the straight line AB. (b) Cari kecerunan garis lurus yang melalui titik B diberi fungsi gubahan gf(x) = 9 + 2x 9 + 3x , x ≠ −3. Find the gradient of the straight line that passes through the point B given the composite function gf(x) = 9 + 2x 9 + 3x , x ≠ −3. [5 markah / marks] Jawapan / Answer: (a) (b) A O D B C Rajah 1 / Diagram 1 Kertas Model SPM 100 Rajah 2 / Diagram 2 y x A g(x) f(x) B
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 94 Matematik Tambahan Tingkatan 5 Kertas Model SPM KERTAS 2 / PAPER 2 2 jam 30 minit / 2 hours 30 minutes Bahagian A / Section A [50 markah / 50 marks] Jawab semua soalan dalam bahagian ini. Answer all questions in this section. 1. Rajah 1 menunjukkan suatu poligon PQRST dengan koordinat titik P, Q dan R masing-masing ialah (a, b), (c, d) dan (e, f ). Garis lurus RS dan QT adalah selari dengan paksi-y manakala garis lurus STP adalah selari dengan paksi-x. Buktikan bahawa luas segi tiga berlorek PQR ialah 1 2 a c e a b d f b . Diagram 1 shows a polygon PQRST where the coordinates of P, Q and R are (a, b), (c, d) and (e, f) respectively. The straight lines RS and QT are parallel to the y-axis while the straight line STP is parallel to the x-axis. Prove that the area of the shaded triangle PQR is 1 2 a c e a b d f b . [6 markah / marks] 2. Rajah 2 menunjukkan lengkung x = y2 + 2. Rantau yang dibatasi oleh lengkung itu, garis x = 6 dan garis y = 1 diputarkan melalui sudut 360° pada paksi-x. Diagram 2 shows the curve x = y2 + 2. The region enclosed by the curve, the straight line x = 6 and the straight line y = 1 is revolved through the angle of 360° about the x-axis. y x x = 6 y = 1 x = y2 + 2 O Rajah 2 / Diagram 2 Hitung isi padu bongkah yang dijanakan, dalam sebutan π. Calculate the volume of the block generated, in terms of π. [6 markah / marks] 3. Dalam Rajah 3, garis lurus PQR dibahagikan dengan keadaan PQ = (2x − 1) cm dan QR = (y + 3) cm. In Diagram 3, a straight line PQR is divided such that PQ = (2x − 1) cm and QR = (y + 3) cm. P Q (2x – 1) cm (y + 3) cm R Rajah 3 / Diagram 3 Diberi bahawa panjang PR = 10 cm dan hasil darab panjang PQ dan QR ialah 20 cm2 , cari nilai-nilai bagi x dan y. Given that the length of PR = 10 cm and the product of the lengths of PQ and QR is 20 cm2 , find the values of x and of y. [7 markah / marks] y x S T O P(a, b) Q(c, d) R(e, f) Rajah 1 / Diagram 1
J1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. Praktis 1 Sukatan Membulat Circular Measure KERTAS 1 1. (a) 112.5° (b) 264.7° 2. (a) 0.325π rad (b) 17 12 π rad 3. 3 8 π rad 4. (π – 1) rad 5. x = 3 cm, y = 4 cm 6. 6.036 cm 7. θ 2 rad 8. 13.07 cm 9. (a) 4.189 rad (b) 71.05 cm 10. 44.54 cm 11. (a) 1.97 rad (b) 21.82 cm 12. r = 150 11θ + 1 13. 1.2π rad 14. (a) 4 rad (b) 50 cm2 15. (a) 0.1857 rad (b) 594.8 cm2 16. (a) 1.696 rad (b) 22.52 cm2 17. θ = 128 x2 18. (a) a = 60 k2 (b) p = 60 + 2k2 k 19. (a) r = 8 θ (b) A = 48 – 32θ θ2 20. (a) 8.391 cm (b) 22.46 cm2 21. 4.845 cm2 22. (a) 2.214 rad (b) 55.35 unit2 23. (a) 10.54 m (b) 91.11 m2 24. (a) 2.5 rad (b) 1.875 cm 25. (a) 0.26p rad (b) 26 km j–1 / 26 km h–1 26. (a) 57.69 cm (b) Ya, luas bagi piza yang tertinggal menjadi kurang daripada 1 000 cm2 , iaitu 957.8 cm2 . Yes, the area of the remaining pizza becomes less than 1 000 cm2 , that is 957.8 cm2 . 27. (a) 2 3 rad (b) 696 cm2 28. 2.739 rad 29. 125.56 cm 30. (a) 3 300.34 cm2 (b) 1 650 170 cm3 31. (a) 1.287 rad (b) 94.8% KERTAS 2 1. (a) 1.3 rad (b) 68.34 cm 2. (a) 9 cm (b) 61.16 cm2 3. (a) 13.82 cm (b) 9.59 cm2 4. (a) 1.966 rad (b) 32.72 cm (c) 117.37 cm2 5. (a) 5.89 cm (b) 38.15 cm (c) 12.25 cm2 (d) 57.76 cm2 6. (a) 1.696 rad (b) 306.36 cm (c) 3 162.18 cm2 7. (a) 2.214 rad (b) 100.5 unit/units (c) 219.96 unit2 8. (a) 2.419 cm (b) 4.838 cm (c) 11.18 cm2 9. (a) ∠PAR = 1.6375 rad, ∠PBQ = 0.9818 rad, ∠RCQ = 0.5227 rad (b) 11.38 cm (c) 2.077 cm2 KBAT 1. (b) 2.352 rad 2. (a) 4 869.86 km (b) 21.8° Praktis 2 Pembezaan Differentiation KERTAS 1 1. (a) δx –2.01 –2.001 –1.999 –1.99 3 – δx 3 + δx 5.061 5.006 4.994 4.941 (b) 5 2. (a) –5 (b) –4 3. 1 6 4. – 4 3 5. (a) 0 (b) Tidak wujud kerana nilai f(x) tidak sama. Apabila x→0 dari arah kiri, f(x)→2 manakala apabila x→0 dari arah kanan, f(x)→0. Does not exist because the values of f(x) are not equal. When x→0 from the left, f(x)→2 while when x→0 from the right, f(x)→0. (c) (i) 1 (ii) 4 6. (a) δy δx = x + 1 2 δx (b) x 7. –6x 8. – 2 x2 9. –8x + 12 10. dy dx = –na xn + 1 Jawapan
KSSM Tingkatan 5 Lot 8, Jalan P10/10, Kawasan Perusahaan Bangi, Bandar Baru Bangi, 43650 Bangi, Selangor Darul Ehsan, Malaysia. Tel: 03-8922 3993 E-mel: [email protected] Pertanyaan: [email protected] Praktis Topikal HEBAT! SPM KSSM merupakan siri praktis topikal berdasarkan sukatan pelajaran KSSM dan format pentaksiran SPM yang terkini. Soalan-soalan tersedia yang berorientasikan peperiksaan bertujuan untuk membantu murid menguasai konsep-konsep yang dipelajari, di samping membiasakan diri mereka dengan format pentaksiran sekolah dan peperiksaan SPM. Dengan penerapan soalan dan praktis berdasarkan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT), murid akan dapat menempuh peperiksaan dengan lebih yakin. Jawapan lengkap turut disediakan untuk semua soalan. SPM ADDITIONAL MATHEMATICS MATEMATIK TAMBAHAN Cetakan Pertama 2024 Hak cipta terpelihara. Tiada bahagian daripada terbitan ini boleh diterbitkan semula, disimpan untuk pengeluaran, atau ditukarkan dalam apa-apa bentuk atau dengan alat apa jua pun, sama ada dengan cara elektronik, sawat, gambar, rakaman, atau sebagainya, tanpa kebenaran daripada terlebih dahulu. PelangiPublishing PelangiBooks PelangiBooks Dicetak di Malaysia oleh The Commercial Press Sdn. Bhd. Lot 8, Jalan P10/10, Kawasan Perusahaan Bangi, Bandar Baru Bangi, 43650 Bangi, Selangor Darul Ehsan, Malaysia. Sila layari https://plus.pelangibooks.com/errata untuk mendapatkan pengemaskinian bagi buku ini (sekiranya ada). Bahasa Melayu English Matematik / Mathematics Matematik Tambahan / Additional Mathematics Sains / Science Fizik / Physics Kimia / Chemistry Biologi / Biology Sejarah Pendidikan Islam Ekonomi Perniagaan Prinsip Perakaunan JUDUL-JUDUL DALAM SIRI INI TINGKATAN 4 5 Format Peperiksaan SPM Matematik Tambahan (3472) Perkara Kertas 1 Kertas 2 Jenis Item Bilangan Soalan Jumlah Markah Jenis Instrumen Tempoh Ujian • Subjektif respons terhad • Subjektif respons terhad berstruktur • Subjektif respons terhad • Subjektif respons terhad berstruktur 80 markah Ujian Bertulis Ujian Bertulis 2 jam Bahagian A 7 soalan (50 markah) (Jawab semua soalan) Bahagian B 4 soalan (30 markah) (Jawab tiga soalan) Bahagian C 4 soalan (20 markah) (Jawab dua soalan) Bahagian A 12 soalan (64 markah) (Jawab semua soalan) Bahagian B 3 soalan (16 markah) (Jawab dua soalan) 100 markah 2 jam 30 minit W.M: RM7.95 / E.M: RM8.35 FC065134 ISBN: 978-629-470-315-5 5 Tingkatan FC065134 MATEMATIK TAMBAHAN ADDITIONAL MATHEMATICS Praktis Topikal HEBAT! SPM KSSM