PBD Plus Matematik T5 (EG)

Cara Mengakses




Imbas untuk versi
Bahasa Inggeris

ePelangi+ merupakan portal e-pembelajaran khas untuk memperkasakan pembelajaran dan pemudahcaraan
(PdPc) guru di dalam bilik darjah melalui pelbagai bahan yang disediakan dalam Resos Digital Guru.


Tiga Langkah Mudah
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
LANGKAH 1 LANGKAH 2 LANGKAH 3


DAFTAR AKAUN DAPATKAN AKSES GUNAKAN BAHAN DIGITAL
Bagi pengguna baharu Hubungi wakil Pelangi. Klik bahan untuk dimuat turun
ePelangi+, imbas kod QR atau atau klik alat multimedia untuk
layari plus.pelangibooks.com Log in ke akaun ePelangi+ dipaparkan.
dan periksa bahan digital di
untuk Create new account.
Dashboard
* Semak e-mel untuk
mengaktifkan akaun.




Demi memesrakan penggunaan ePelangi+, halaman-halaman berkaitan di dalam buku ditanda dengan
ikon sebagai bahan cadangan PdPc.



Bahan Digital Penerangan


Cadangan aktiviti kepada guru untuk merancang sesi PdPc harian sejajar
Strategi RPH
dengan Modul PBD buku ini




Edisi Guru Salinan lembut edisi guru berjawapan




Nota Visual
Nota penting berwarna dalam persembahan grafik
Nota Visual


Praktis Ekstra SPM
Soalan latihan tambahan mengikut bab
Praktis Ekstra SPM


Simulasi
Multimedia interaktif (pautan) yang mensimulasikan sesuatu konsep
Simulasi matematik

Keistimewaan PBD Plus




Matematik Tingkatan 4 – 5









Kandungan Halaman Kandungan yang cukup informatif

dengan penandaan ikon bagi pelbagai bahan
Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid …………………………… IV BAB digital yang disediakan dalam buku ini.
BAB 4 Matematik Pengguna: Percukaian 66
Consumer Mathematics: Taxation
1 Ubahan The Contents page is informative with icon markings for
Variation
1
4.1 Percukaian 68 the various digital materials provided in the book.
Fokus Topik
1.1 Ubahan Langsung 1 Nota
Fokus Topik Praktis SPM 4 87
Video Nota
Praktis
1.2 Ubahan Songsang 10 Fokus KBAT Enrolment key 92
Fokus Topik
Video
1.3 Ubahan Bergebung 16
Fokus Topik BAB
Simulasita Kekongruenan, Pembesaran dan
Praktis SPM 1 21 5 Gabungan Transformasi 93
Praktis Congruency, Enlargement and Combined
Fokus KBAT Enrolment key 24 Transformations Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid untuk catatan
Matematik
Rekod Pencapaian Ubahan Langsung 93 guru berdasarkan pencapaian Tahap Penguasaan
5.1

BAB Pentaksiran Murid Fokus Topik murid.
2 Matriks 25 5.2 Pembesaran Tingkatan 5 98

Fokus Topik
Matrices
The Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid allows teachers to
5.3 Gabungan Transformasi 107
2.1 Matriks 25 Fokus Topik record the Performance Levels achieved by the students.
Kelas: .............................. Nama Murid: .................................................................. Nama Guru: .................................................................
Fokus Topik Mempamerkan kefahaman tentang insurans.bitan Pelangi Sdn. Bhd.
Nota 5.4 Teselasi PENCAPAIAN 117
2.2 Operasi Asas Matriks TAFSIRAN Fokus Topik HALAMAN (✓) (✗)
TAHAP
29
BAB
Fokus Topik PENGUASAAN MENGUASAI BELUM

Info Video Kalkulator Praktis SPM 5 MENGUASAI 119
Praktis SPM 2 TP1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan. Praktis 1, 10
49
Praktis 2, 5, 11 - 12,
Fokus KBAT
TP2 Mempamerkan kefahaman tentang ubahan. Enrolment key 16 123
Fokus KBAT Enrolment key 52
TP3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk 3 - 7, 13 - 14
melaksanakan tugasan mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang
1 BAB 3 - 4, 6 - 8,
BAB Ubahan TP4 sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian 14, 17 - 18
masalah rutin yang mudah.
Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang
3 Matematik Pengguna: Insurans Ratios and Graphs of Trigonometric Functions 124 Setiap bab disertakan nota yang memfokuskan
5, 8 - 9, 15,
sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian
Consumer Mathematics: Insurance
TP5
53
masalah rutin yang kompleks. 19 konsep penting.
6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang
TP6
sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian
15
3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans 53 Sudut q, 0° < q < 360° 124
Fokus Topik masalah bukan rutin secara kreatif. Fokus Topik Each chapter includes notes that focus on important
Info Nota TP1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang matriks. Video 25, 39
Simulasita
26 - 29,
6.2
63
Praktis SPM 3 TP2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks. Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 130 concepts.
Praktis Fokus Topik 39 - 40
Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk Info 27 - 28, 30,
65
Fokus KBAT Enrolment key melaksanakan tugasan mudah. 32 - 34,
TP3

Praktis SPM 6 36 - 37, 135
Praktis 41 - 42, 44
2 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang 31, 34, 37,
Fokus KBAT
Matriks TP4 sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian Enrolment key 42 - 43, 139
masalah rutin yang mudah. 45 - 46
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang 32, 35 - 36,
TP5 sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian 38, 43 - 44, © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
masalah rutin yang kompleks.
46 - 47
iii
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang
sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian
TP6
48
masalah bukan rutin secara kreatif.
TP1
TP2
58
Mengaplikasikan kefahaman tentang insurans untuk
Kandungan (SK) dan Standard Pembelajaran (SP)
59
TP3
melaksanakan tugasan mudah.
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan Mempamerkan pengetahuan asas tentang insurans. 53 - 54 Modul PBD dirancang mengikut Standard
3 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang
Matematik TP4 sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian 55 - 56 sejajar dengan halaman buku teks.
masalah rutin yang mudah.
Ubahan Bergabung
1.3 Pengguna: Pener Buku Teks ms. 26 – 29
Insurans TP5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang 56 - 57,
Combined Variation
sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang kompleks.
SP 1.3.1 Menentukan hubungan antara tiga atau lebih pemboleh ubah bagi suatu ubahan bergabung. 60 - 61 The PBD module is designed according to the Content
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang
TP6
23. Tulis setiap ubahan bergabung berikut dalam bentuk ubahan dan persamaan. TP 2 Standards (SK) and Learning Standards (SP) in line with the
sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian
54
masalah bukan rutin secara kreatif.
Write each of the combined variations below in the form of variation and equation.
Contoh textbook pages.
a berubah secara langsung dengan kuasa dua b (a) p berubah secara langsung dengan q dan secara
dan secara songsang dengan punca kuasa tiga c. songsang dengan punca kuasa dua r.
p varies directly as q and inversely as the square root of r.
a varies directly as the square of b and inversely as the cube root iv
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
of c. q
p ∝
a ∝ 3 b 2 √r
√c p = kq
kb 2 √r
a = 3
√c
(b) x berubah secara langsung dengan punca kuasa (c) J berubah secara langsung dengan punca kuasa Soalan Modul PBD yang berorientasikan i-THINK
tiga y dan secara songsang dengan z. dua L dan secara songsang dengan kuasa tiga M.
x varies directly as the cube root of y and inversely as z. J varies directly as the square root of L and inversely as the ditandai dengan jelas.
cube of M.
3
√y i-Think Peta Titi
x ∝ z J ∝ √L
3
x = k√y M 3 The questions in the PBD Module that are i-THINK oriented
z J = k√L are clearly marked.
M 2
Cuba jawab Praktis SPM 1, K1: S3
24. Selesaikan. TP 4
Solve.
Contoh
Masa yang diperlukan, t minit, untuk mengangkat (a) Masa yang diperlukan, e minit, untuk
memindahkan anak pokok ke batas berubah
kotak ke dalam lori berubah secara langsung secara langsung dengan bilangan anak pokok,
dengan bilangan kotak, N, dan secara songsang d, dan secara songsang dengan bilangan petani,
dengan bilangan staf yang terlibat, W. Diberi 3 f. Diberi 5 orang petani dapat memindahkan
orang staf menggunakan masa selama 90 minit 300 anak pokok dalam masa 1 jam. Ungkapkan e
untuk memuat naik 450 buah kotak ke dalam lori. dalam sebutan d dan f.
Ungkapkan t dalam sebutan N dan W. Time taken, e minutes, to transplant the plants to the prepared
Time taken, t minutes, to load boxes into a lorry varies directly holes varies directly with the number of plants, d, and
with the number of boxes, N, and inversely with the number of inversely with the number of farmers, f. Given that 5 farmers
staffs involved in loading, W. Given that 3 staffs use 90 minutes to can transplant 300 plants in an hour. Express e in terms of d © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
load 450 boxes into the lorry. Express t in terms of N and W. and f.
N d
t ∝ e ∝
W f
kN kd
t = e =
W f
k(450) k(300)
90 = 60 = 1 jam = 60 minit
3 5 1 hour = 60 minutes
k = 0.6 k = 1
d
t = 0.6N e = f
W
Cuba jawab Praktis SPM 1, K1: S9
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 16 Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6

Modul PBD dilengkapi aktiviti seperti Projek STEM
dan PAK-21 demi memperkasakan pembelajaran dan
Projek STEM AKTIVITI PAK-21 pemudahcaraan (PdPc).
The PBD module is equipped with activities such as STEM
Projects and PAK-21 to empower pembelajaran dan
pemudahcaraan (PdPc).

murid.i Sdn. Bhd.


Setiap soalan dalam Modul PBD ditandai dengan
Tahap Penguasaan (TP) dan juga konstruk KBAT jika
TP 3 KBAT Menganalisis soalan itu beraras tinggi.
Each question in the PBD Module is marked with a
Performance Level (TP) and also a KBAT construct if the
question is of a higher order.




Soalan Modul PBD yang berkenaan dengan soalan
Penerbitan Pelang
Praktis SPM di hujung bab ditandai sebagai rujukan
silang demi menguji penguasaan pembelajaran
Cuba jawab Praktis SPM 1, K1: S2; K2: S4

The questions in the PBD Module cross-refers to the
questions in the Praktis SPM at the end of the chapter to test
students' mastery of learning.





Tahap penguasaan murid boleh ditandai di setiap
pengakhiran muka surat.
TahaP PEnguaSaan 1 2 3 4 5 6
The student's performance level can be indicated at the end
of each page.








Soalan latihan berformat SPM disediakan di
belakang setiap bab.
Praktis SPM 1
Practice questions of the SPM format are provided at the end
of each chapter.







Soalan dalam Praktis SPM juga ditandai dengan
Standard Pembelajaran (SP) dan konstruk KBAT jika
berkenaan.
SP 1.1.2 KBAT Menganalisis
Questions in the Praktis SPM are also marked with Learning
Standards (SP) and KBAT constructs if applicable.






© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Tip Menjawab disediakan di Praktis SPM sebagai
TIP Menjawab
panduan menjawab kepada soalan yang sukar.
Tip Menjawab is provided in Praktis SPM as a guide to
answering difficult question.






Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Fokus KBAT disediakan di hujung sekali setiap bab
untuk memberikan perhatian lebih kepada soalan
Fokus KBaT beraras tinggi.

Fokus KBAT is provided at the end of each chapter to give
more attention to higher-order questions.






Pakej Resos Digital
Bahan digital untuk pembelajaran ekstra murid
Info Video Kalkulator disediakan dalam kod QR, seperti Info, Video dan
Kalkulator.
Digital Resource Package
Digital materials for extra learning of students are provided
in QR codes, such as Info, Video and Calculator.







Pelangi Online Test (POT) merupakan portal ujian
(objektif) di platform ePelangi+ untuk membenarkan
murid membuat penilaian kendiri setiap bab.
Pentaksiran Tingkatan 4 dan Pentaksiran SPM juga
disediakan kepada murid Tingkatan 4 dan Tingkatan 5
masing-masing. Untuk mengakses portal ini, murid
dikehendaki mengikut langkah-langkah berikut:
1. Imbas kod QR atau layari link bagi POT untuk
Create new account.
2. *Semak e-mel untuk mengaktifkan akaun.
3. Log in ke akaun anda.
4. Masukkan Enrolment Key yang boleh dijumpai di
halaman akhir setiap bab buku.
https://qr.pelangibooks.com/?u=POTKIM4 5. Mulakan ujian!
Pelangi Online Test (POT) is a test portal (objective) on
the ePelangi+ platform that enables students to evaluate
each chapter for themselves. Students in Forms 4 and 5 are
also given access to the Form 4 Assessment and the SPM
Assessment, respectively. The steps below must be taken by
students in order to access this portal:
Enrolment key
xxxxxxxxxx 1. Scan the QR code or visit the link for POT to Create a new
account.
2. *Check email to activate your account.
3. Log in to your account.
4. Enter the Enrolment Key, which can be found at the end of
each chapter of the book.
5. Begin the test!





© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Pentaksiran Akhir Tahun (Tingkatan 4) atau Kertas
Pentaksiran akhir Tahun Model SPM (Tingkatan 5) yang setaraf dengan
piawai SPM disediakan dalam kod QR pada halaman
Kandungan.
The End-of-Year Assessment (Form 4) or SPM Model Paper
Kertas Model SPM (Form 5) that meets SPM standards is provided in the QR code
on the Contents page.





Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.


Jawapan buku disediakan dalam kod QR pada
Jawapan
https://plus.pelangibooks.com/Resources/ halaman Kandungan.
HYBRIDPBDKSSM/RBTT1/Jawapan.pdf
Book answers are provided in the QR code on the Contents
page.







Soalan subjektif bagi bab-bab yang terpilih dalam
Revisi Intensif Tingkatan 1 – 3 sukatan pelajaran Matematik Tingkatan 1 – 3
disediakan dalam kod QR pada halaman Kandungan.
Subjective questions of selected chapters in the syllabus of
Mathematics Forms 1 – 3 are provided in the QR code on
the Contents page.



















































© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Kandungan









Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid iv – vi BAB
BAB 4 Matematik Pengguna: Percukaian 66
Consumer Mathematics: Taxation
1 Ubahan 1
Variation
4.1 Percukaian 68

1.1 Ubahan Langsung 1 Fokus Topik Nota
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Fokus Topik
Video Nota Praktis SPM 4 87
Praktis
1.2 Ubahan Songsang 10
Fokus Topik Fokus KBAT 92
Video
1.3 Ubahan Bergabung 16 92
Fokus Topik Enrolment key
Simulasi
Praktis SPM 1 21
Praktis BAB
Fokus KBAT 24 5 Kekongruenan, Pembesaran dan
Gabungan Transformasi
Congruency, Enlargement and Combined 93
24 Transformations
Enrolment key
5.1 Kekongruenan 93
BAB Fokus Topik
2 Matriks
Matrices 25 5.2 Pembesaran 98
Fokus Topik
2.1 Matriks 25 5.3 Gabungan Transformasi 107
Fokus Topik
Nota Fokus Topik
2.2 Operasi Asas Matriks 29 5.4 Teselasi 117
Fokus Topik
Info Video Kalkulator Fokus Topik
Praktis SPM 2 49
Praktis Praktis SPM 5 119
Praktis
Fokus KBAT 52
Fokus KBAT 123

52
Enrolment key 123
Enrolment key
BAB
3 Matematik Pengguna: Insurans 53 BAB Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
Consumer Mathematics: Insurance
6
Ratios and Graphs of Trigonometric Functions 124
3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans 53
Fokus Topik 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi
Info Nota
Sudut q, 0° < q < 360° 124
Praktis SPM 3 63
Praktis Fokus Topik
Video Simulasi
Fokus KBAT 65
6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 130
Fokus Topik
65 Info
Enrolment key

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. ii

BAB
Praktis SPM 6 135
Praktis 8 Pemodelan Matematik
Fokus KBAT 139 Mathematical Modeling 165


139 8.1 Pemodelan Matematik 165
Enrolment key
Fokus Topik
Video Nota
Praktis SPM 8 174
BAB Praktis
7 Sukatan Serakan Data Terkumpul 140 Fokus KBAT 177
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Measures of Dispersion for Grouped Data
177
7.1 Serakan 140 Enrolment key
Fokus Topik
Video Nota
Kertas Model SPM
7.2 Sukatan Serakan 150 https://plus.pelangibooks.com/Resources/
Fokus Topik HYBRIDPBDKSSM/MatematikT5/KMSPM.pdf

Praktis SPM 7 160
Praktis
Jawapan
Fokus KBAT 164 https://plus.pelangibooks.com/Resources/
HYBRIDPBDKSSM/MatematikT5/Jawapan.pdf
164
Enrolment key
Revisi Intensif TIngkatan 1 – 3




















































iii © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

BaB


ubahan
1 Variation









1.1 Ubahan Langsung Buku Teks ms. 2 – 16
Direct Variation
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Fokus Topik Nota Visual

1. Ubahan langsung bermaksud suatu pemboleh ubah berubah secara langsung dengan pemboleh ubah yang lain.
Direct variation means that one variable varies directly as another variable.

• y berubah secara langsung dengan x y
y varies directly as x Video
• y ∝ x y = kx
Ubahan langsung
• y = kx dengan keadaan k ialah suatu pemalar Direct variation
y = kx where k is a constant x
O

2. Apabila pemboleh ubah y bertambah, pemboleh ubah x akan bertambah pada kadar yang sama. Sebaliknya, apabila pemboleh
ubah y berkurang, pemboleh ubah x akan berkurang pada kadar yang sama.
When the variable y increases, the variable x will increase at the same rate. On the other hand, when the variable y decreases, the variable x will decrease
at the same rate.


SP 1.1.1 Menerangkan maksud ubahan langsung.
1. Terangkan. TP 1
Explain.
Contoh
Jumlah upah seorang ahli fisioterapi berubah secara langsung dengan jam perkhidmatannya. Nyatakan
perubahan pada
The total wage of a physiotherapist varies directly as the number of hours of his service. State the change on
(i) jumlah upah jika bilangan jam perkhidmatannya bertambah tiga kali ganda.
the total wage if the number of service hours is tripled.
(ii) bilangan jam perkhidmatan jika jumlah upahnya berkurang 50%.
the number of service hours if the total wage is decreased by 50%.
(i) Jumlah upah bertambah tiga kali ganda.
The total wage is tripled.
(ii) Bilangan jam perkhidmatan berkurang 50%.
The number of service hours is decreased by 50%.


(a) Caj penghantaran bungkusan yang dikenakan oleh sebuah syarikat perkhidmatan kiriman cepat
berubah secara langsung dengan berat bungkusan. Nyatakan perubahan pada
The delivery charge for parcel by a courier company varies directly as the weight of the parcel. State the change on
(i) jumlah caj penghantaran jika berat bungkusan bertambah dua kali ganda.
the total delivery charge if the parcel’s weight is doubled.
(ii) jumlah berat bungkusan jika jumlah caj penghantaran dikurangkan separuh.
the total weight of parcel if the total delivery charge is halved.
(i) Jumlah caj penghantaran bertambah dua kali ganda.
The total delivery charge is doubled.
(ii) Jumlah berat bungkusan berkurang separuh.
The total weight of parcel is halved.


Cuba jawab Praktis SPM 1, K1: S8


Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6 1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
SP 1.1.2 Menentukan hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu ubahan langsung.

2. Selesaikan. TP 2
Solve.
Contoh
Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah a dan b.
The table shows the values of two variables a dan b.
a 2 4 6 8 10
b 1 2 3 4 5
(i) Tentukan sama ada b berubah secara langsung dengan a atau a .
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
2
Determine whether b varies directly as a or a .
2
(ii) Tulis hubungan tersebut dalam bentuk ubahan.
Write the relation in the form of variation.
b 1 = 0.5 2 = 0.5 3 = 0.5 4 = 0.5 5 = 0.5
a 2 4 6 8 10
b 1 = 0.25 2 = 0.125 3 = 0.0833 4 = 0.0625 5 = 0.05
a 2 (2) 2 (4) 2 (6) 2 (8) 2 (10) 2
b b
b berubah secara langsung dengan a kerana nilai adalah sama. Nilai ialah pemalar. Maka, b ∝ a.
a a
2
b tidak berubah secara langsung dengan a kerana nilai a b 2 bukan pemalar.
b b
b varies directly as a because the value of is equal. The value of is a constant. Thus, b ∝ a.
a a
b does not vary directly as a because the value of b is not a constant.
2
a 2
(a) Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah p dan q.
The table shows the values of two variables p and q.
p 4 9 16 25 36
q 2 3 4 5 6

(i) Tentukan sama ada q berubah secara langsung dengan p atau √p .
Determine whether q varies directly as p or √p .
(ii) Tulis hubungan tersebut dalam bentuk ubahan.
Write the relation in the form of variation.


q 2 = 1 3 = 1 4 = 1 5 = 1 6 = 1
p 4 2 9 3 16 4 25 5 36 6
q 2 3 4 5 6
√p √4 = 1 √9 = 1 √16 = 1 √25 = 1 √36 = 1
q
q tidak berubah secara langsung dengan p kerana nilai bukan pemalar. q berubah secara langsung
q q p
dengan √p kerana nilai adalah sama. Nilai ialah pemalar. Maka, q ∝ √p .
√p √p
q
q does not varies directly as p because the value of is not a constant. q varies directly as √p because the value of q is equal. The
p
value of q is a constant. Thus, q ∝ √p . √p
√p

Tip penting

Dalam ubahan langsung, pemboleh ubah x tidak semestinya mempunyai kuasa satu sahaja, tetapi boleh mempunyai kuasa
n
lain. Jika y berubah secara langsung dengan x , maka hubungan antara y dan x boleh ditulis sebagai y ∝ x dan y = kx
n
n
n
1 1
dengan keadaan k ialah pemalar dan n = 1, 2, 3, , .
2 3
n
In direct variation, the variable x does not necessarily have only the power of one, but can have other powers as well. If y varies directly as x , then
1 1
the relationship between y and x can be written as y ∝ x and y = kx where k is a constant and n = 1, 2, 3, , .
n
n
n
2 3
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 2 Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
3. Selesaikan. TP 3
Solve.
Contoh
(a) Diberi j = 64 apabila h = 4. Ungkapkan j dalam
Diberi m = 40 apabila n = 8. Ungkapkan m dalam
sebutan n jika sebutan h jika
Given j = 64 when h = 4. Express j in terms of h if
Given m = 40 when n = 8. Express m in terms of n if
(i) m berubah secara langsung dengan n , (i) j berubah secara langsung dengan h,
2
j varies directly as h,

m varies directly as n , 2
(ii) m berubah secara langsung dengan punca (ii) j berubah secara langsung dengan punca
kuasa tiga n. kuasa dua h.
j varies directly as the square root of h.
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
m varies directly as the cube root of n.
3
(i) m ∝ n (ii) m ∝ √n (i) j ∝ h (ii) j ∝ √h
2
m = kn m = k √n j = kh j = k √h
3
2
m k = j j
k = k = m h k =
n 2 3 √n √h
40 = 64 64
= 40 4 =
8 2 = 3 √8 √4
5 = 16 = 32
= = 20 j = 16h
8 m = 20 √n j = 32√h
3
5n 2
m =
8








(b) Diberi p = 0.75 apabila q = 0.25. Ungkapkan p (c) Diberi a = 0.49 apabila b = 7. Ungkapkan a dalam
dalam sebutan q jika sebutan b jika
Given p = 0.75 when q = 0.25. Express p in terms of q if Given a = 0.49 when b = 7. Express a in terms of b if
(i) p berubah secara langsung dengan q, (i) a berubah secara langsung dengan b,
p varies directly as q, a varies directly as b,
(ii) p berubah secara langsung dengan punca (ii) a berubah secara langsung dengan kuasa
kuasa dua q. dua b.
p varies directly as the square root of q. a varies directly as the square of b.


(i) p ∝ q (ii) p ∝ √q (i) a ∝ b (ii) a ∝ b 2
p = kq p = k √q a = kb a = kb 2
p a
k = k = p k = k = a
q √q b b 2
0.75 0.49
= 0.75 = 0.49
0.25 = √0.25 7 = 7 2
= 3 = 1.5 = 0.07 = 0.01
p = 3q a = 0.07b
2
p = 1.5√q a = 0.01b
















Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6 3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
4. Tulis persamaan bagi setiap yang berikut. TP 4
Write an equation for each of the following.
Contoh
Yuran tuisyen, RMx yang dikenakan berubah secara langsung dengan x ∝ y
jumlah masa mengajar, y jam. Diberi bahawa seorang guru tuisyen telah x = ky
menerima bayaran sebanyak RM800 selepas mengajar 16 jam pada suatu 800 = k(16)
bulan. Tulis persamaan yang menghubungkan x dan y. 800
Tuition fee, RMx charged varies directly with total time of teaching, y hours. Given that a tuition k = 16
teacher has received a payment of RM800 after teaching for a total of 16 hours in a month. Write
an equation that relates x and y. k = 50
x = 50y
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.





(a) Upah, RMj yang diperoleh penghantar barang adalah berkadar j ∝ m
langsung dengan jumlah penghantaran, m kali. Diberi bahawa j = km
upah yang diterima oleh seorang penghantar barang ialah RM120 120 = k(24)
selepas menyiapkan 24 kali penghantaran. Tulis persamaan yang 120
menghubungkan j dan m. k = 24
Wage, RMj received by delivery boy is directly proportional to the number of trips, m times. k = 5
Given that the wage received by a delivery boy is RM120 after he has completed 24 trips of
delivery. Write an equation that relates j and m. j = 5m








5. Selesaikan. TP 3
Solve.
Contoh
(a) Diberi p = 0.9 apabila q = 0.3. Hitung nilai p
Diberi j = 2.4 apabila l = 0.4. Hitung nilai j apabila apabila q = 12 jika
l = 8 jika Given that p = 0.9 when q = 0.3. Calculate the value of p when
Given that j = 2.4 when l = 0.4. Calculate the value of j when q = 12 if
l = 8 if (i) p ∝ q
(i) j ∝ l (ii) p ∝ q
2
(ii) j ∝ l
3
(i) p ∝ q (ii) p ∝ q
2
(i) j ∝ l (ii) j ∝ l p = kq p = kq
3
2
3
j = kl j = kl 0.9 = k(0.3) 0.9 = k(0.3) 2
2.4 = k(0.4) 2.4 = k(0.4) 3 k = 3 k = 10
2.4 2.4
k = k =
0.4 (0.4) 3 p = 3q p = 10q
2
k = 6 k = 37.5 p = 3(12) p = 10(12) 2
p = 36 p = 1 440
j = 6l j = 37.5l
3
j = 6(8) j = 37.5(8) 3
j = 48 j = 19 200










Cuba jawab Praktis SPM 1, K1: S2




© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 4 Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
6. Selesaikan. TP 3
Solve.
Contoh 3
Diberi a berubah secara langsung dengan √b . Jika (a) Diberi r berubah secara langsung dengan √s .
Jika r = 3 apabila s = 125. Hitung nilai
a = 0.8 apabila b = 256. Hitung nilai Given r varies directly as √s . If r = 3 when s = 125. Calculate the
3
Given a varies directly as √b . If a = 0.8 when b = 256. Calculate value of
the value of
(i) a apabila b = 36 (i) r apabila s = 27

r when s = 27
a when b = 36
(ii) b apabila a = 0.2 (ii) s apabila r = 2.4

s when r = 2.4
b when a = 0.2
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
3
r ∝ √s
a ∝ √b 3
a = k√b r = k √s
3

0.8 = k√256 3 = k√125
k = 0.05 k = 0.6
3
(i) a = 0.05√b (ii) a = 0.05√b (i) r = 0.6 √s (ii) r = 0.6 √s
3
3
3

a = 0.05√36 0.2 = 0.05√b r = 0.6 √27 2.4 = 0.6 √s
3
a = 0.3 √b = 4 r = 1.8 √s = 4
b = 16 s = 64


7. Selesaikan. TP 5
Solve.
(a) Berat cili, dalam g, yang dapat dipetik oleh (b) Berat pasir yang diperlukan, dalam kg, untuk
seorang pekebun berubah secara langsung kerja-kerja membancuh simen berubah secara
dengan masa memetik, dalam minit. Jika langsung dengan bilangan beg simen. Jika
seorang pekebun memetik 50 gram cili dalam seorang pekerja menggunakan 50 kg pasir untuk
masa 30 minit, hitung masa yang diperlukan 8 beg simen, hitung berat pasir yang diperlukan
untuk memetik 250 gram cili. untuk membancuh 20 beg simen.
Weight of chillies, in g, that plucked by a gardener varies Weight of sand needed, in kg, to mix cement varies directly as
directly as the time to pluck, in minutes. If a gardener plucked the number of bags of cement. If a worker used 50 kg sand for
50 grams of chillies in 30 minutes, calculate the time needed to 8 bags of cement, calculate the weight of sand needed to mix
pluck 250 grams chillies. 20 bags of cement.

Katakan b = berat cili, t = masa Katakan g = berat pasir, h = bilangan beg simen
Let b = weight of chilies, t = time Let g = weight of sand, h = number of bags of cement
b ∝ t g ∝ h
b = kt g = kh
50 = k(30) 50 = k(8)
5 25
k = k =
3 4
5 25
b = t g = h
3 4
5 25
250 = t g = (20)
3 4
t = 150 minit / minutes g = 125 kg












Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6 5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
SP 1.1.3 Menentukan hubungan antara tiga atau lebih pemboleh ubah bagi suatu ubahan tercantum.

8. Tulis hubungan setiap berikut dengan menggunakan simbol ∝. TP 2
Write the relation of each of the following by using the symbol ∝.
Contoh
C berubah secara langsung dengan d dan e.
C varies directly as d and e.
c ∝ de
Tip penting

Ubahan tercantum ialah ubahan langsung yang melibatkan satu pemboleh ubah yang berubah secara langsung dengan
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
dua atau lebih pemboleh ubah yang lain. Bagi suatu ubahan tercantum, hubungan antara pemboleh ubah y, x dan z boleh
m
n
1 1
1 1
ditulis sebagai y ∝ x z dan y = kx z dengan keadaan k ialah pemalar dan m = 1, 2, 3, , dan n = 1, 2, 3, , .
m n
m n
2 3 2 3
Joint variation is a direct variation that involves one variable that varies directly as two or more other variables. For the joint variation, the
1 1
1 1
relationship between the variables y, x and z can be written as y ∝ x z and y = kx z where k is a constant and m = 1, 2, 3, , , n = 1, 2, 3, , .
m n
m n
n
m
2 3 2 3
(a) x berubah secara langsung dengan √y dan z.
x varies directly as √y and z.
x ∝ √y (z)
(b) p berubah secara langsung dengan kuasa dua q dan punca kuasa tiga r.
p varies directly as the square of q and the cube root of r.
3
p ∝ q (√r )
2
(c) Luas suatu segi empat tepat, S cm , berubah secara langsung dengan panjang sisi, t cm dan lebar, u cm.
2
Area of a rectangle, S cm , varies directly as the length, t cm and the width, u cm.
2
S ∝ tu

9. Hitung nilai pemalar, k bagi setiap berikut. TP 3
Calculate the value of constant, k for each of the following.
Contoh 1
2
J berubah secara langsung dengan n dan t . Diberi J = 12 apabila n = 0.4 dan t = 225.
2
1
J varies directly as n and t . Given J = 12 when n = 0.4 and t = 225.
2
2
1
J ∝ n t 1
2 2
J = kn t 1
2 2
2
12 = k(0.4) (225) 2
12 = k(2.4)
k = 5
3
3
2
(a) B berubah secara langsung dengan √S dan N . (b) S berubah secara langsung dengan T, P dan M .
2
1
1
Diberi B = 4.32 apabila S = 64 dan N = 1.2. Diberi S = 5 apabila T = , P = dan M = .
3
B varies directly as √S and N . Given B = 4.32 when S = 64 and 12 3 5 2
2
N = 1.2. S varies directly as T, P and M . Given S = 5 when T = 2 ,
3
1
1
P = and M = . 12 3
3
B ∝ √S (N ) 5 2
2
3
B = k√S (N ) S ∝ TPM
3

2
3
3
4.32 = k√64 (1.2) S = kTPM

2
3 5 2 1 1 3
k = = k 1 21 21 2
4 12 3 5 2
k = 25
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 6 Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
10. Selesaikan. TP 3
Solve.
Contoh
Diberi a = 7.8 apabila b = 0.027 dan c = 10. (a) Diberi p = 18 apabila j = 0.25 dan s = 81.
Ungkapkan a dalam sebutan b dan c jika Ungkapkan p dalam sebutan j dan s jika
Given a = 7.8 when b = 0.027 and c = 10. Express a in terms of b Given p = 18 when j = 0.25 and s = 81. Express p in terms of j
and c if and s if
(i) a berubah secara langsung dengan c dan (i) p berubah secara langsung dengan kuasa
punca kuasa tiga b. dua j dan punca kuasa dua s.
a varies directly as c and the cube root of b. p varies directly as the square of j and the square root of s.
(ii) a berubah secara langsung dengan b dan (ii) p berubah secara langsung dengan j dan s.
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
kuasa tiga c. p varies directly as j and s.
a varies directly as b and the cube of c.
2
(i) p ∝ j (√s)
2
3
(i) a ∝ c(√b) p = kj (√s)

2
3
a = kc(√b) 18 = k(0.25) (√81)


3
7.8 = k(10)(√0.027) k = 32


2
k = 2.6 p = 32j (√s)
3

a = 2.6c(√b)

(ii) p ∝ js
(ii) a ∝ bc p = kjs
3
a = kbc 18 = k(0.25)(81)
3
7.8 = k(0.027)(10) k = 8
3
13 9
k =
8
45 p = js
13 9
a = bc
3
45
11. Tulis persamaan bagi setiap yang berikut. TP 4
Write an equation for each of the following.
Contoh
Harga bagi sebiji kek, RMx, berubah secara langsung dengan kuasa dua x ∝ j s
2
jejari kek, j cm, dan tinggi kek, s cm. Jika sebiji kek dengan jejari 15 cm x = kj s
2
dan tinggi 10 cm dijual dengan harga RM45, tulis satu persamaan yang 45 = k(15) (10)
2
menghubungkan x dengan j dan s. k = 0.02
Price of a cake, RMx, varies directly as the square of the cake’s radius, j cm, and the height of the x = 0.02j s
2
cake, s cm. If a cake with radius of 15 cm and height of 10 cm is sold at the price RM45, write an
equation that relates x with j and s.
2
3
(a) Isi padu air, I cm , di dalam sebuah bekas berbentuk silinder berubah I ∝ j t
secara langsung dengan kuasa dua jejari tapak bekas, j cm, dan tinggi I = kj t
2
bekas, t cm. Jika suatu bekas air berbentuk silinder dengan jejari 2 cm 226 = k(2) (18)
2
dan tinggi 18 cm mempunyai isi padu 226 cm , tulis satu persamaan k = 3.14
3
yang menghubungkan I dengan j dan t.
Volume of water, I cm , in a cylindrical container varies directly as the square of the radius, k = 3.14j t
2
3
j cm, of the container’s base and the height of the container, t cm. If a cylindrical container
3
with radius 2 cm and height 18 cm has a volume of 226 cm , write an equation that relates
I with j and t.





Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6 7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
12. Selesaikan. TP 3
Solve.
Contoh
Diberi W berubah secara langsung dengan H dan (a) Diberi A berubah secara langsung dengan M
dan kuasa dua T. Jika A = 200 apabila M = 5 dan
punca kuasa tiga M. Jika W = 25 apabila H = 2 dan T = 4, hitung
M = 125, hitung Given A varies directly as M and the square of T. If A = 200
Given W varies directly as H and the cube root of M. If W = 25 when M = 5 and T = 4, calculate
when H = 2 and M = 125, calculate
(i) nilai W apabila H = 3 dan M = 64, (i) nilai A apabila M = 2 dan T = 3,

the value of A when M = 2 and T = 3,
the value of W when H = 3 and M = 64,
(ii) nilai M apabila W = 3 dan H = 0.4. (ii) nilai T apabila A = 375 dan M = 1.5.
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

the value of T when A = 375 and M = 1.5.
the value of M when W = 3 and H = 0.4.
2
3

W ∝ H√M A ∝ MT 2
3
W = kH√M A = kMT 2

3
25 = k(2)√125 200 = k(5)(4)

k = 2.5 k = 2.5
3
3


(i) W = 2.5H√M (ii) W = 2.5H√M (i) A = 2.5MT (ii) A = 2.5MT
2
2
3
3
W = 2.5(3)√64 3 = 2.5(0.4)√M A = 2.5(2)(3) 375 = 2.5(1.5)T 2


2
2
W = 30 3 √M = 3 = 45 T = 100
M = 27 T = ±10
13. Selesaikan. TP 4
Solve.
Contoh
Jadual di bawah menunjukkan perubahan tiga kuantiti. Diberi A berubah secara langsung dengan B dan
punca kuasa dua C. Hitung nilai p dan nilai q.
The table shows the changes in three quantities. Given A varies directly as B and the square root of C. Calculate the value of p
and of q.
A 20 12.5 q
B 4 2 6
C p 25 36
A ∝ B√C A = 1.25B√C A = 1.25B√C
A = kB√C 20 = 1.25(4)√p q = 1.25(6)√36
12.5 = k(2)√25 √p = 4 q = 45
k = 1.25 p = 16


(a) Jadual di bawah menunjukkan perubahan tiga kuantiti. Diberi P berubah secara langsung dengan Q
dan kuasa dua R. Hitung nilai p dan nilai q.
The table shows the changes in three quantities. Given P varies directly as Q and the square of R. Calculate the value of p and of q.

P 20 15 640
Q 5 p 2.5
R 0.4 2.0 q

P ∝ QR P = 25QR P = 25QR
2
2
2
P = kQR 15 = 25p(2.0) 640 = 25(2.5)q
2
2
2
20 = k(5)(0.4) p = 0.15 q = 10.24
2
2
k = 25 q = ±3.2
Cuba jawab Praktis SPM 1, K1: S7
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 8 Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
SP 1.1.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan langsung.

14. Selesaikan. TP 5
Solve.
(a) Fahmee meneliti bil air bulanan yang baru diterimanya. Kadar penggunaan air, V m , adalah berkadaran
3
secara langsung dengan caj bil bulanan, RMQ. Bagi bulan tersebut, kadar penggunaan air ialah 7 m
3
dan dikenakan bayaran sebanyak RM3.10.
Fahmee viewed the monthly water bill he had just received. The rate of water usage, V m , is directly proportional to the monthly bill
3
charge, RMQ. For that month, the rate of water usage is 7 m and is charged at RM3.10.
3
(i) Tulis satu persamaan yang menghubungkan V dan Q.
Write an equation that relates V and Q.
(ii) Pada suatu bulan dalam musim PKP, caj bil bulanan bagi penggunaan air melonjak sehingga
RM20.09. Berapakah kadar penggunaan air pada bulan tersebut?
On a certain month during MCO, the monthly bill charge for water has increased to RM20.09. What is the rate of water usage
on that month?
(i) V ∝ Q (ii) V = 70 Q
V = kQ 31
7 = k(3.10) V = 70 (20.09)
70 31
k =
31 V = 45.36 m
3
70
V = Q
31
(b) Musaimah mendapati berat adunan roti, x g, berubah secara langsung dengan bilangan biji roti yang
terhasil, t. Satu adunan roti seberat 1 950 g boleh menghasilkan 48 biji roti.
Musaimah noticed that weight of a bread dough, x g, varies directly as the number of buns produced, t. One dough of bread weighted
1 950 g can produce 48 buns.
(i) Tulis satu persamaan yang menghubungkan x dan t.
Write an equation that relates x and t.
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
(ii) Musaimah menerima tempahan sebanyak 200 biji roti. Berapakah berat adunan yang perlu
disediakan untuk tempahan tersebut?
Musaimah has received an order of 200 buns. How much is the weight of the dough that she needs to prepare for the order?
(i) x ∝ t (ii) x = 325 t
x = kt 8
1 950 = k(48) x = 325 (200)
325 8
k =
8 x = 8 125 g
325
x = t
8

(c) Kadar penggunaan elektrik, V kWh adalah berkadaran secara langsung dengan caj bil bulanan,
RMR. Bil elektrik rumah Maher bagi suatu bulan tertentu ialah RM75 dan kadar penggunaan elektrik
bulan tersebut ialah 294 kWh. Sekiranya Maher ingin mengawal perbelanjaan tidak tetapnya kepada
maksimum RM50 sahaja sebulan untuk bil elektrik, berapakah kadar penggunaan elektrik bulanan
maksimum?
The rate of electricity consumption, V kWh is directly proportional to the monthly bill charge, RMR. The electricity bill of Maher's
house for a particular month is RM75 and the rate of electricity consumption for that month is 294 kWh. If Maher wants to control
his variable expense to the maximum of only RM50 per month for electricity bill, what is the maximum rate of monthly electricity
consumption?
V ∝ R V = 98 R
V = kR 25
294 = k(75) V = 98 (50)
98 25
k =
25 V = 196 kWh
98
V = R
25
Cuba jawab Praktis SPM 1, K1: S11, K2: S4

Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6 9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan

1.2 Ubahan Songsang Buku Teks ms. 17 – 25
Inverse Variation

Fokus Topik

1. Ubahan songsang bermaksud suatu pemboleh ubah berubah secara langsung dengan pemboleh ubah yang lain.
Inverse variation means that one variable varies directly as another variable.
• y berubah secara langsung dengan x y y
y varies directly as x
1 k
• y ∝ y = x
x y = k
k x
• y = dengan keadaan k ialah suatu pemalar
x x 1
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. x
k O O
y = where k is a constant
x
2. Apabila pemboleh ubah y bertambah, pemboleh ubah x akan berkurang pada kadar yang sama. Sebaliknya, apabila pemboleh ubah
y berkurang, pemboleh ubah x akan bertambah pada kadar yang sama.
When the variable y increases, the variable x will decrease at the same rate. On the other hand, when the variable y decreases, the variable x will increase
at the same rate.
3. Dalam ubahan songsang, pemboleh ubah x tidak semestinya mempunyai kuasa satu sahaja, tetapi boleh mempunyai kuasa lain.
1
Jika y berubah secara songsang dengan x , maka hubungan antara y dan x boleh ditulis sebagai y ∝ 1 n dan y = k 1 n2 dengan
n
n
1 1 x x
keadaan k ialah pemalar dan n = 1, 2, 3, , .
2 3
In inverse variation, the variable x does not necessarily have only the power of one, but can have other powers as well. If y varies inversely as x , then the
n
1 1 1 1
relationship between y and x can be written as y ∝ and y = k 1 2 where k is a constant and n = 1, 2, 3, , .
n
x n x n 2 3
Video Video
Ubahan songsang Graf bagi ubahan songsang
Inverse variation Graph of inverse variation

SP 1.2.1 Menerangkan maksud ubahan songsang.

15. Terangkan. TP 1
Explain.
(a) Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara suhu bilik dengan masa yang diambil untuk saiz satu
adunan donut berkembang menjadi dua kali ganda.
The table shows the relation between room temperature with time taken for the size of doughnut’s dough proofing and doubled in
size.
Suhu bilik Masa mengembang
Room temperature Proofing time
10 60

20 30
30 20
40 15

Nyatakan perubahan pada masa mengembang jika suhu pada hari tersebut
State the change on time to proof if the temperature of the day
(i) bertambah tiga kali ganda.
increased by three times.
(ii) berkurang 50%.
decreased by 50%.

(i) Masa yang diambil untuk mengembang akan berkurang tiga kali ganda.
Time taken to proof will decrease by three times.
(ii) Masa yang diambil untuk mengembang akan bertambah 50%.
Time taken to proof will increase by 50%.





© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 10 Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
SP 1.2.2 Menentukan hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu ubahan songsang.

16. Selesaikan. TP 2
Solve.
Contoh
Berdasarkan jadual berikut, tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan x atau tidak. Jika ya,
3
tulis hubungan tersebut dalam bentuk ubahan.
Based on the table, determine whether y varies inversely as x . If yes, write the relation in the form of variation.
3
x 1 2 3 4 5

3 2 3 6
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
y 6
4 9 32 125
x 1 2 3 4 5
3 2 3 6
y 6 4 9 32 125

2
6
3
3
x y (1) (6) = 6 (2) 3 1 2 = 6 (3) 3 1 2 = 6 (4) 3 1 2 = 6 (5) 3 1 125 2 = 6
3
3
4
32
9
1
3
Nilai x y ialah pemalar. Maka, y berubah secara songsang dengan x iaitu y ∝ x 3 .
3
The value of x y is a constant. Thus, y varies inversely as x that is y ∝ 1 .
3
3
x 3
(a) Berdasarkan jadual berikut, tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan √x atau tidak. Jika
ya, tulis hubungan tersebut dalam bentuk ubahan.
Based on the table, determine whether y varies inversely as √x . If yes, write the relation in the form of variation..
x 1 4 9 16 25
2 1 2
y 2 1 3 2 5
2
2
1
√x y √1 (2) = 2 √4 (1) = 2 √9 1 2 = 2 √16 1 2 = 2 √25 1 2 = 2
3
5
2
1
Nilai √x y ialah pemalar. Maka, y berubah secara songsang dengan √x iaitu y ∝ √x .
1
The value of √x y is a constant. Thus, y varies inversely as √x that is y ∝ .
√x

(b) Berdasarkan jadual berikut, tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan x atau tidak. Jika ya,
tulis hubungan tersebut dalam bentuk ubahan.
Based on the table, determine whether y varies inversely as x. If yes, write the relation in the form of variation.
x 3 6 9 12 15
1 1 1 1 1
y 9 36 81 144 225




1
1
1
1
1
1
1
xy 3 1 2 = 1 6 1 2 = 1 9 1 2 = 1 12 1 144 2 = 12 15 1 225 2 = 15
36
3
9
9
81
6
Nilai xy bukan pemalar. Maka, y tidak berubah secara songsang dengan x.
The value of xy is not a constant. Thus, y does not vary inversely as x.
Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6 11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
17. Selesaikan. TP 2
Solve.
Contoh
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi pemboleh ubah x dan y.
The table shows the values of variables x and y.

x 1 3 5 7 9
9 9
y 9 3 5 7 1


1
Lukis graf y melawan x dan graf y melawan . Tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan x.
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
x
1
Draw the graph of y against x and the graph of y against . Determine whether y varies inversely as x.
x
y Graf y melawan x y Graf y melawan 1
Graph of y against x x
Graph of y against 1 x
8 8
Hiperbola
Hyperbola
Garis lurus
6 6 Straight line
4 4


2 2

x 1
0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x



y berubah secara songsang dengan x. / y varies inversely as x.


(a) Jadual di bawah menunjukkan bilangan ayunan, H berubah mengikut panjang tali, P.
The table shows the number of swings, H changes based on the length of the string, P.

P 5 10 15 20 25
H 18 9 6 4.5 3.6
1
Lukis graf H melawan P dan graf H melawan . Tentukan sama ada H berubah secara songsang
dengan P. P
1
Draw the graph of H against P and the graph of H against . Determine whether H varies inversely as P.
P
H Graf H melawan P H Graf H melawan 1
Graph of H against P P
Graph of H against P 1
20 20

15 15


10 10

5 5


1
P
0 5 10 15 20 25 0 0.05 0.10 0.15 0.20 P


H berubah secara songsang dengan P. / H varies inversely as P.





© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 12 Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
18. Selesaikan. TP 3
Solve.
Contoh
Diberi bahawa P = 5 apabila Q = 9. Ungkapkan P dalam sebutan Q jika
Given that P = 5 when Q = 9. Express P in terms of Q if
(i) P berubah secara songsang dengan Q,
P varies inversely as Q,
(ii) P berubah secara songsang dengan punca kuasa dua Q.
P varies inversely as the square root of Q.
1 1
(i) P ∝ (ii) P ∝
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Q √Q
k k
P = P =
Q √Q
k k
5 = 5 =
9 √9
k = 45 k = 15
45 15
P = P =
Q √Q

(a) Diberi bahawa m = 3 apabila n = 8. Ungkapkan m dalam sebutan n jika
Given that m = 3 when n = 8. Express m in terms of n if
(i) m berubah secara songsang dengan n,
m varies inversely as n,
(ii) m berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga n.
m varies inversely as the cube root of n.


1 1
(i) m ∝ (ii) m ∝
n 3 √n
k k
m = m =
n 3 √n
k k
3 = 3 = 3
8 √8
k = 24 k = 6
24 6
m = m =
n 3 √n

(b) Diberi bahawa y = 5 apabila x = 2. Ungkapkan y dalam sebutan x jika
Given that y = 5 when x = 2. Express y in terms of x if
(i) y berubah secara songsang dengan x ,
2
2
y varies inversely as x ,
(ii) y berubah secara songsang dengan 3x – 1.
y varies inversely as 3x – 1.
1 1
(i) y ∝ (ii) y ∝
x 2 3x – 1
k k
y = y =
x 2 3x – 1
k k
5 = 5 =
2 2 3(2) – 1
k = 20 5 = k
20 5
y =
x 2 k = 25
25
y =
3x – 1




Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6 13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
19. Selesaikan. TP 3
Solve.
Contoh
Diberi y = 0.25 apabila x = 8. Hitung nilai y apabila (a) Diberi p = 4 apabila q = 14. Hitung nilai p apabila
x = 0.02 jika q = 3.5 jika
Given that y = 0.25 when x = 8. Calculate the value y when Given that p = 4 when q = 14. Calculate the value p when
x = 0.02 if q = 3.5 if
1 1 (i) p ∝ 1 (ii) p ∝ 1
(i) y ∝ (ii) y ∝ q q 2
x x 2
k k k k
(i) y = (ii) y = (i) p = (ii) p =
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
x x 2 q q 2
k k k k
0.25 = 0.25 = 4 = 4 =
8 8 2 14 14 2
k = 2 k = 16 k = 56 k = 784
2 16 56 784
y = y = p = p =
x x 2 q q 2
2 16 56 784
y = y = p = p =
0.02 (0.02) 2 3.5 (3.5) 2
y = 100 y = 40 000 p = 16 p = 64


20. Hitung nilai p dan nilai q bagi setiap yang berikut. TP 4
Calculate the value of p and of q for each of the following.
Contoh
y berubah secara songsang dengan x.
y varies inversely as x.
x 2 p 6
y 5 2.5 q

1 10 10
y ∝ y = y =
x x x
k 10 10
y = 2.5 = q =
x p 6
k 5
5 = p = 4 q =
2 3
k = 10

3
(a) y berubah secara songsang dengan √x . (b) y berubah secara songsang dengan x .
2
3
y varies inversely as √x . y varies inversely as x .
2
x 1 p 27 x 10 p 14
y 6 3 q 1
y 0.02 72 q

1 6
y ∝ 3 √x 3 = 3 √p y ∝ 1 1 = 2
k √p = 2 x 2 72 p 2
3
y = 3 k p = 144
2
√x p = 8 y = x 2
k p = ±12
6 = 3 √1 6 0.02 = k
k = 6 q = 3 √27 10 2 q = 2 2
6 q = 2 k = 2 14
y = 3 2 1
√x y = q =
x 2 98







© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 14 Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
SP 1.2.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan songsang.

21. Selesaikan. TP 5
Solve.

(a) Nilai min, m, bagi suatu data berubah secara (b) Ketumpatan suatu objek, f kg/m , berubah
3
3
songsang dengan bilangan data, N apabila secara songsang dengan isi padu objek, h m .
jumlah hasil tambah data tidak berubah. Jika Jika f = 5 apabila h = 50, hitung nilai f apabila
m = 20 apabila N = 5, hitung nilai m apabila h = 150.
N = 10. Density of an object, f kg/m , varies inversely with the volume
3
3
Mean value, m, for a set of data varies inversely with the of the object, h m . If f = 5 when h = 50, calculate the value of
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
number of data, N when the sum of data value is unchanged. f when h = 150.
If m = 20 when N = 5, calculate the value of m when N = 10.
1
f ∝ f = 250
1 100 h h
m ∝ m =
N N f = k f = 250
k 100 h 150
m = m =
N 10 5 = k f = 5
k m = 10 50 3
20 =
5 k = 250
k = 100




22. Lakukan aktiviti yang berikut. TP 6 KBAT Menganalisis
Carry out the following activity.

AKTIVITI PAK-21 Pembelajaran Penyelesaian Masalah

Jadual berikut menunjukkan laju bagi sebuah kenderaan yang berubah dengan masa.
The table shows the speed of a vehicle that changes as time.

Masa, t (minit) 25 30 35 40
Time, t (minutes)
Laju, V (km/j) 68 4
Speed, V (km/h) 96 80 7 60

(a) Adakah laju kenderaan ini berubah secara songsang dengan masa? Berikan justifikasi anda.
Is the speed of the vehicle varying inversely with time? Give your justification.
(b) Hitung masa yang diambil, dalam jam, jika laju kenderaan ialah 100 km/j.
Calculate the time taken, in hours, if the speed of the vehicle is 100 km/h.


(a) Vt = 96(25) = 2400 (b) V ∝ 1
Vt = 80(30) = 2400 t
1
Vt = 68 4 2 (35) = 2400 V = k t
7
Vt = 60(40) = 2400 2400
V =
t
Nilai Vt ialah pemalar. Oleh itu, laju kenderaan
ini berubah secara songsang dengan masa. 100 = 2400
The value of Vt is a constant. Hence, the speed of the vehicle t
varies inversely with time. t = 24 minit / minutes
24
t = jam / hour
60
2
= jam / hour
5






Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6 15 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan

1.3 Ubahan Bergabung Buku Teks ms. 26 – 29
Combined Variation

SP 1.3.1 Menentukan hubungan antara tiga atau lebih pemboleh ubah bagi suatu ubahan bergabung.

23. Tulis setiap ubahan bergabung berikut dalam bentuk ubahan dan persamaan. TP 2
Write each of the combined variations below in the form of variation and equation. Simulasi
Contoh
a berubah secara langsung dengan kuasa dua b (a) p berubah secara langsung dengan q dan secara
dan secara songsang dengan punca kuasa tiga c. songsang dengan punca kuasa dua r.
a varies directly as the square of b and inversely as the cube root p varies directly as q and inversely as the square root of r.
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
of c.
p ∝ q
b 2 √r
a ∝ 3 √c kq
kb 2 p = √r
a = 3
√c

(b) x berubah secara langsung dengan punca kuasa (c) J berubah secara langsung dengan punca kuasa
tiga y dan secara songsang dengan z. dua L dan secara songsang dengan kuasa tiga M.
x varies directly as the cube root of y and inversely as z. J varies directly as the square root of L and inversely as the
cube of M.
3 √y
x ∝
z J ∝ √L
3
k√y M 3
x =
z J = k√L
M 3

Cuba jawab Praktis SPM 1, K1: S3

24. Selesaikan. TP 4
Solve.

Contoh
(a) Masa yang diperlukan, e minit, untuk
Masa yang diperlukan, t minit, untuk mengangkat memindahkan anak pokok ke batas berubah
kotak ke dalam lori berubah secara langsung secara langsung dengan bilangan anak pokok,
dengan bilangan kotak, N, dan secara songsang d, dan secara songsang dengan bilangan petani,
dengan bilangan staf yang terlibat, W. Diberi 3 f. Diberi 5 orang petani dapat memindahkan
orang staf menggunakan masa selama 90 minit 300 anak pokok dalam masa 1 jam. Ungkapkan e
untuk memuat naik 450 buah kotak ke dalam lori. dalam sebutan d dan f.
Ungkapkan t dalam sebutan N dan W. Time taken, e minutes, to transplant the plants to the prepared
Time taken, t minutes, to load boxes into a lorry varies directly holes varies directly with the number of plants, d, and
with the number of boxes, N, and inversely with the number of inversely with the number of farmers, f. Given that 5 farmers
staffs involved in loading, W. Given that 3 staffs use 90 minutes to can transplant 300 plants in an hour. Express e in terms of d
load 450 boxes into the lorry. Express t in terms of N and W. and f.

N
t ∝ e ∝ d
W f
kN kd
t = e =
W f
k(450)
90 = 60 = k(300) 1 jam = 60 minit
3 5 1 hour = 60 minutes
k = 0.6 k = 1
d
0.6N e =
t = f
W

Cuba jawab Praktis SPM 1, K1: S9




© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 16 Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
25. Selesaikan. TP 4
Solve.
Contoh
Diberi P berubah secara langsung dengan punca kuasa dua Q dan secara songsang dengan R. Jika P = 50
apabila Q = 0.09 dan R = 3, hitung
Given P varies directly as the square root of Q and inversely as R. If P = 50 when Q = 0.09 and R = 3, calculate
(i) nilai R apabila P = 100 dan Q = 0.16,
the value of R when P = 100 and Q = 0.16,
(ii) nilai Q apabila P = 250 dan R = 1.4.
the value of Q when P = 250 and R = 1.4.
√Q 500√Q 500√Q
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
P ∝ (i) P = (ii) P =
R R R
k√Q
P = 100 = 500√0.16 250 = 500√Q
R R 1.4
k√0.09 √Q = 0.7
50 = R = 2
3 Q = 0.49
k = 500


(a) Diberi x berubah secara langsung dengan y dan secara songsang dengan z. Jika x = 0.06 apabila y = 3
2
dan z = 10, hitung nilai y apabila x = 0.24 dan z = 0.1.
Given x varies directly as y and inversely as z. If x = 0.06 when y = 3 and z = 10, calculate the value of y when x = 0.24 and z = 0.1.
2
y 2 y 2
x ∝ x =
z 15z
ky 2 y 2
x = 0.24 =
z 15(0.1)
k(3) 2 2
0.06 = y = 0.36
10 y = ±0.6
1
k =
15





(b) Diberi x berubah secara langsung dengan y dan secara songsang dengan punca kuasa tiga z. Jika
x = 0.25 apabila y = 4 dan z = 8, hitung
Given x varies directly as y and inversely as the cube root of z. If x = 0.25 when y = 4 and z = 8, calculate
(i) nilai y apabila x = 0.5 dan z = 64,
the value of y when x = 0.5 and z = 64,
(ii) nilai z apabila x = 30 dan y = 1200.
the value of z when x = 30 and y = 1200.

y 0.125y 0.125y
x ∝ 3 (i) x = 3 (ii) x = 3
√z √z √z
ky 0.125y 0.125(1200)
x = 3 √z 0.5 = 3 √64 30 = 3 √z
k(4) y = 16 3 √z = 5
0.25 = 3
√8 z = 125
k = 0.125







Cuba jawab Praktis SPM 1, K1: S5




Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6 17 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
26. Selesaikan. TP 4
Solve.
Contoh
Jadual di bawah menunjukkan perubahan tiga kuantiti, V, e dan m. Diberi V berubah secara songsang
dengan e dan punca kuasa tiga m. Hitung nilai x dan nilai y.
The table shows the changes of three quantities, V, e and m. Given that V varies inversely as e and the cube root of m. Calculate the
value of x and of y.
V 3.75 x 0.24
e 4 9 25
m 0.008 0.027 y
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
1 3 3
V ∝ V = V =
3
3
3
e √m e √m e √m
k 3 3
V = 3 x = 0.24 =
e √m 9(√0.027) 25(√y )
3
3
k 10 3
3.75 = x = √y = 0.5
3
4(√0.008) 9 y = 0.125
k = 3
(a) Jadual di bawah menunjukkan perubahan tiga kuantiti, I, H dan P. Diberi I berubah secara songsang
dengan H dan kuasa dua P. Hitung nilai x dan nilai y.
The table shows the changes of three quantities, I, H and P. Given that I varies inversely as H and the square of P. Calculate the
value of x and of y.
I 12.5 x 0.025
H 14 35 y
P 0.2 0.4 2.0
1 7 7
I ∝ I = I =
HP 2 HP 2 HP 2
k 7 7
I = x = 0.025 =
HP 2 (35)(0.4) 2 y(2.0) 2
k x = 1.25 y = 70
12.5 =
(14)(0.2) 2
k = 7


(b) Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara pemboleh ubah B, t dan S. Diberi bahawa B berubah
secara langsung dengan t dan secara songsang dengan kuasa dua S. Hitung nilai x dan nilai y.
The table shows the relation between variables B, t and S. Given that B varies directly as t and inversely as the square of S. Calculate
the value of x and of y.
11
B x 2
18
1
t 0.2 0.5
22
S 25 9 y

t 99t 1
B ∝ B = 99 1 2
S 2 S 2 22
kt 99(0.2) 2 = y 2
B = x =
S 2 25 2 2 9
11 = k(0.5) x = 0.03168 y = 4
18 9 2 y = ± 3
k = 99 2


Cuba jawab Praktis SPM 1, K2: S2


© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 18 Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
SP 1.3.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan bergabung.

27. Selesaikan. TP 5
Solve.

(a) Populasi belalang, u, di suatu kawasan berubah secara langsung dengan kelembapan tanah, v, dan
secara songsang dengan populasi burung, w. Pada suatu musim, populasi belalang mencecah 60 juta
apabila kelembapan tanah mencecah 6 dan populasi burung ialah 20 juta.
The grasshopper population, u, in a region varies directly with the moisture of the soil, v, and inversely with the bird population, w. In
a certain season, the grasshopper population is 60 million when the moisture of the soil is 6 and the bird population is 20 million.
(i) Hitung populasi burung apabila populasi belalang ialah 20 juta dan kelembapan tanah ialah 4.
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Calculate the bird population when the grasshopper population is 20 million and the moisture of the soil is 4.
(ii) Jika kawasan tersebut mengalami hujan luar biasa pada suatu musim tertentu, apakah perubahan
yang akan berlaku pada populasi belalang?
If the region experiences unusual rainfall in a certain season, what is the change that will happen to the grasshopper
population? KBAT Menganalisis
v
(i) u ∝ (ii) Kelembapan tanah akan bertambah. Maka,
w
kv populasi belalang akan bertambah.
u = The moisture of the soil will increase. Hence, the
w grasshopper population will increase.
k(6)
60 000 000 =
20 000 000
k = 2 × 10
14
14
(2 × 10 )v
u =
w
(2 × 10 )(4)
14
20 000 000 =
w
w = 40 juta / million
Populasi burung ialah 40 juta.
The bird population is 40 million.


(b) Desmi ingin mengajak kawan-kawannya untuk bersama-sama membeli suatu alat bantu mengajar
di sebuah portal dalam talian. Jumlah belian barang, a, berubah secara langsung dengan bilangan
tempahan, b, dan secara songsang dengan kos penghantaran, c. Untuk jumlah belian sebanyak RM140
bagi 5 tempahan, kos penghantaran ialah RM1.50.
Desmi wants her friends to join her in buying a teaching aid from an online portal. The total price of the product, a, varies directly
with the number of orders, b, and inversely with the postage cost, c. For a purchase of RM140 for 5 orders, the postage cost is RM1.50.
(i) Jika Desmi berjaya mengutip 20 tempahan bernilai RM420, hitung kos penghantaran yang perlu
ditanggung.
If Desmi is able to collect 20 orders worth RM420, calculate the postage cost that needs to pay.
(ii) Sekiranya terdapat beberapa orang rakan yang membatalkan pembelian, apakah perubahan yang
akan berlaku terhadap kos penghantaran?
If there are a few friends have cancelled their order, what is the change that will happen to the postage cost?
KBAT Menganalisis
b 42b (ii) Kos penghantaran akan
(i) a ∝ a =
c c bertambah.
kb 42(20) The postage cost will increase.
a = 420 =
c c
k(5) c = 2
140 =
1.50
k = 42 Kos penghantaran ialah RM2.
The postage cost is RM2.







Tahap penguasaan 1 2 3 4 5 6 19 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
praktis spM 1








Praktis Ekstra SPM 1
KERTAS 1

1. Luas bagi sebuah bulatan, L, berubah secara 6. Antara berikut, yang manakah mewakili
langsung dengan kuasa dua jejarinya, j. hubungan p ∝ √q (r)? sp 1.1.3
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Ungkapkan L dalam sebutan j. sp 1.1.2 Which of the following represents the relation p ∝ √q (r)?
Area of a circle, L, varies directly as the square of its radius, j. A
Express L in terms of j. p 18 96 270
A L = j C L = kj q 9 16 25
2
2
1 k
B L = D L = r 4 16 36
j 2 j 2
B p 18 96 270
2. Diberi p = 0.2 dan q = 0.1, hitung nilai q apabila
p = 5 jika p ∝ q. sp 1.1.2 q 3 4 5
Given p = 0.2 and q = 0.1, calculate the value of q when p = 5 r 4 16 36
if p ∝ q.
A 0.02 C 2 C p 18 96 270
B 0.04 D 2.5
q 9 16 25
3. x berubah secara songsang dengan y dan punca r 2 4 6
kuasa dua z. Hubungan antara pemboleh ubah x, D
y dan z boleh diwakilkan dengan persamaan p 18 96 270
x varies inversely as y and the square root of z. The relationship q 3 4 5
between variables x, y and z can be represented by the
equation sp 1.3.1 r 2 4 6
1 k
A x = C x = 7. Jadual berikut menunjukkan pemboleh ubah a,
y√z y√z
1 k b dan c. a berubah secara langsung dengan b
B x = D x = dan c. sp 1.1.3
√yz √yz The table shows the variables a, b dan c. a varies directly as b
and c.
4. Berdasarkan jadual berikut, nyatakan hubungan
a 3 10
antara s dan t. sp 1.2.2
Based on the table below, state the relation between s and t. b 2 4
c 3 x
1 2
s 2 5 Cari nilai x.
Find the value of x.
t 16 25 A 2 C 4
B 3 D 5
1 1
A s = C s =
t √t 8. Diberi lilitan bulatan berubah secara langsung
2 2 dengan diameter bulatan. Nyatakan perubahan
B s = D s = pada lilitan bulatan jika diameter bertambah dua
t √t
kali ganda. sp 1.1.1
5. Diberi g berubah secara langsung dengan h Given that the circumference of a circle varies directly as the
dan secara songsang dengan kuasa dua j, g = 3 diameter of the circle. State the change on the circumference of
the circle if the diameter is increased by two times.
3
apabila h = 12 dan j = 6. Cari nilai j apabila g = A Lilitan bulatan tidak berubah.
2
dan h = 6. sp 1.3.1 The circumference of the circle remains unchanged.
Given that g varies directly as h and inversely as the square of B Lilitan bulatan berkurang dua kali ganda.
3
j, g = 3 when h = 12 and j = 6. Find the value of j when g = The circumference of the circle decreases by two times.
and h = 6. 2 C Lilitan bulatan bertambah 2 cm.
A 6 C 18 The circumference of the circle increases by 2 cm.
B 12 D 24 D Lilitan bulatan bertambah dua kali ganda.
The circumference of the circle increases by two times.



© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 20

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
9. Ketumpatan suatu objek, V, berubah secara 14. Diberi bahawa A berubah secara langsung
langsung dengan jisim objek, m, dan dengan B dan secara songsang dengan C. Jika
secara songsang dengan isi padu objek, I. A = 6 apabila B = 4 dan C = 2, berapakah peratusan
Diberi V = 25 apabila m = 10 dan I = 0.1. Ungkapkan ubahan bagi A apabila B bertambah sebanyak
V dalam sebutan m dan I. sp 1.3.1 20% dan C berkurang sebanyak 40%?
Density of an object, V, varies directly as the mass of the object, Given that A varies directly as B and inversely as C. If A = 6 when
m, and inversely as the volume of the object, I. Given V = 25 B = 4 and C = 2, what is the percentage of the change of A when
when m = 10 and I = 0.1. Express V in terms of m and I. B increases by 20% and C decreases by 40%?
4m 25m sp 1.3.2 KBAT Menganalisis
A V = C V =
I I A –50% C 100%
m m B 50% D 200%
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
B V = D V =
4I I
TIP Menjawab
10. Berdasarkan jadual berikut, nyatakan hubungan 1 Cari pemalar bagi hubungan antara A, B dan C.
antara W dan x. sp 1.1.2 Find the constant of the relationship between A, B and C.
Based on the table, state the relation between W and x. 2 Ungkapkan A dalam sebutan B dan C.
Express A in terms of B and C.
W 40 48 3 Hitung nilai A apabila B bertambah sebanyak 20%
x 100 144 dan C berkurang sebanyak 40%.
Calculate the value of A when B increases by 20% and C
decreases by 40%.
A W = 4x C W = √x 4 Tentukan peratusan ubahan bagi nilai A.
B W = 4x D W = 4√x Determine the percentage of the change of the value of A.
2
11. Bilangan liter cat, x, yang diperlukan untuk
mengecat satu dinding berubah secara langsung KERTAS 2
dengan luas dinding itu, y. Dicatatkan bahawa 5
liter cat diperlukan untuk mengecat satu dinding 1. Diberi bahawa m berubah secara songsang
yang seluas 40 m . Hitung luas dinding yang dengan punca kuasa dua n dan m = 3 apabila
2
dicat, dalam m , jika 28 liter cat digunakan. n = 36. sp 1.2.2
2
The number of litres of paint, x, used to paint a wall varies Given that m varies inversely as the square root of n and m = 3
directly as the area of the wall, y. It is recorded that 5 litres of when n = 36.
paint can cover a wall with an area of 40 m . Calculate the area (a) Ungkapkan m dalam sebutan n.
2
2
of wall painted, in m , if 28 litres of paint is used. sp 1.1.4 Express m in terms of n.
A 140 C 350 [2 markah / 2 marks]
B 224 D 714 (b) Hitung nilai n apabila m = 2.
12. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi Calculate the value of n when m = 2.
pemboleh ubah M dan N. sp 1.2.3 [2 markah / 2 marks]
The table shows the values of variables M dan N. (c) Hitung nilai m apabila n = 225.
Calculate the value of m when n = 225.
M a c [2 markah / 2 marks]
N b 5 Jawapan / Answer :

Diberi bahawa M berubah secara songsang (a) m ∝ 1
dengan N dan nilai ab ialah 10. Hitung nilai c. √n
It is given that M varies inversely as N and the value of ab is 10. k
Calculate the value of c. m = √n
A 2 C 10 k
B 5 D 50 3 =
√36
13. Pecutan, a, sebuah lori berubah secara langsung k = 18
dengan kuasa dua laju, v, dan secara songsang 18
dengan jarak, s, yang dilalui oleh lori tersebut. m = √n
Diberi bahawa a = 40 km j , v = 60 km j dan 18
−2
−1
s = 45 km. Hitung nilai s apabila a = 50 km j dan (b) 2 = √n
−2
−1
v = 80 km j . sp 1.3.2 √n = 9
Acceleration, a, of a lorry varies directly as the square of speed, v,
and inversely as the distance, s, travelled by the lorry. Given that n = 81
a = 40 km h , v = 60 km h and s = 45 km. Calculate the value 18
−2
−1
of s when a = 50 km h and v = 80 km h . (c) m =
−1
−2
A 45 km C 54 km √225
B 46 km D 64 km = 1.2
21 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
2. Jadual berikut menunjukkan hubungan antara Jawapan / Answer :
pemboleh ubah d, e dan f. sp 1.3.1 N
The table shows the relation between variables d, e and f. (a) J ∝
T 3
3 kN
d 6 9 y J = T 3
k(0.2)
e 3 x 5 0.4 = 2 3
k = 16
f 64 81 100
J = 16N
Diberi bahawa d berubah secara langsung T 3
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
dengan kuasa dua e dan secara songsang dengan
punca kuasa dua f. 16(40)
Given that d varies directly as the square of e and inversely as (b) J = 4 3
the square root of f. J = 10
(a) Ungkapkan d dalam sebutan e dan f.
Express d in terms of e and f.
[2 markah / 2 marks]
(b) Hitung nilai x dan nilai y.
Calculate the value of x and of y. 4. Isi padu, V, sebuah kon berubah secara langsung
[4 markah / 4 marks] dengan kuasa dua jejari, j, dan tinggi, t, kon.
Jawapan / Answer : Volume, V, of a cone varies directly as the square of the radius, j,

and the height, t, of the cone. sp 1.1.4
e 2
(a) d ∝ (a) Nyatakan perubahan pada isi padu kon jika
√f tinggi kon berkurang separuh.
ke 2 State the change on the volume of the cone if the height
d =
√f of the cone is reduced by half.
k(3) 2 [1 markah / 1 mark]
6 = (b) Jika isi padu kon, V = 770 apabila j = 7 dan
√64
16 t = 15. Tulis hubungan antara V, j dan t dalam
k = bentuk persamaan.
3 If the volume of the cone, V = 770 when j = 7 and t = 15.
16e 2 Write the relation between V, j and t in equation form.
d =
3√f [2 markah / 2 marks]
(c) Hitung nilai j apabila V = 264 dan t = 28.
3 16x 2 Calculate the value of j when V = 264 and t = 28.
(b) =
9 3√81 [2 markah / 2 marks]
9 Jawapan / Answer :
x =
2
16 (a) Isi padu kon berkurang separuh.
3 The volume of the cone is reduced by half.
x = ±
4
2
(b) V ∝ j t
16(5) 2 V = kj t
2
y =
2
3√100 770 = k(7) (15)
40 22
y = k =
3 21
22
V = j t
2
21
N
3. Diberi J ∝ T 3 dan J = 0.4 apabila N = 0.2 dan T = 2.
2
N (c) 264 = 22 j (28)
Given J α and J = 0.4 when N = 0.2 and T = 2. sp 1.3.1 21
T 3 2
(a) Ungkapkan J dalam sebutan N dan T. j = 9
Express J in terms of N and T. j = 3
[2 markah / 2 marks]
(b) Cari nilai J apabila N = 40 dan T = 4.
Find the value of J when N = 40 and T = 4.
[2 markah / 2 marks]



© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 22

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
5. Tekanan, P, berubah secara langsung dengan (b) Cari persamaan yang menghubungkan
daya, F, dan secara songsang dengan luas bilangan helai baju yang dapat dihasilkan,

permukaan, A. sp 1.3.2 bilangan tukang jahit yang diupah dan
Pressure, P, varies directly as force, F, and inversely as surface bilangan hari yang diperlukan.
area, A. Find the equation that relates the number of shirts that
(a) Nyatakan hubungan antara pemboleh ubah can be produced, the number of tailors hired and the
P, F dan A dalam bentuk ubahan. number of days needed.
State the relation between variables P, F and A in variation [2 markah / 2 marks]
form. (c) Cari bilangan helai baju yang dapat
[1 markah / 1 mark] dihasilkan jika bilangan tukang jahit yang
(b) Diberi P = 2 500 apabila F = 250 dan A = 0.1. diupah ialah 50 orang dan bilangan hari
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Hitung nilai F apabila P = 100 dan A = 40. yang diperlukan ialah 20 hari.
Given P = 2 500 when F = 250 and A = 0.1. Calculate the Find the number of shirts that can be produced if the
value of F when P = 100 and A = 40. number of tailors hired is 50 and the number of days
[4 markah / 4 marks] needed is 20 days.
Jawapan / Answer : [2 markah / 2 marks]
F (d) Cari bilangan tukang jahit yang diupah jika
(a) P ∝ 10 000 helai baju dapat dihasilkan dalam
A
masa 18 hari.
kF Find the number of tailors hired if 10 000 shirts can be
(b) P =
A produced in 18 days.
k(250) [2 markah / 2 marks]
2 500 = (e) Berapakah bilangan hari yang diperlukan
0.1
k = 1 untuk membolehkan 36 orang tukang jahit
F menghasilkan 14 400 helai baju?
P = How many days are needed to enable 36 tailors to
A produce 14 400 shirts?
F [2 markah / 2 marks]
100 =
40 Jawapan / Answer :
F = 4 000 x
(a) y ∝
z

kx
(b) y =
6. Bilangan helai baju yang dapat dihasilkan oleh z k(100)
sebuah kilang, y, berubah secara langsung 25 000 = 24
dengan bilangan tukang jahit yang diupah, x, k = 6 000
dan secara songsang dengan bilangan hari yang 6 000x
diperlukan, z. Jika terdapat 100 orang tukang Maka/ Hence, y = z
jahit yang diupah dan penghasilan baju perlu
diselesaikan dalam masa 24 hari, maka bilangan (c) y = 6 000(50)
helai baju yang dapat dihasilkan oleh kilang 20
tersebut ialah 25 000 helai. sp 1.3.2 y = 15 000
The number of shirts that can be produced by a factory, y, varies 15 000 helai baju dapat dihasilkan.
directly as the number of tailors hired, x, and inversely as the 15 000 shirts can be produced.
number of days needed, z. If there are 100 tailors hired and the
production of clothes must be completed in 24 days, then the 6 000x
number of shirts that can be produced by the factory is 25 000. (d) 10 000 =
(a) Nyatakan hubungan antara bilangan helai x = 30 18
baju yang dapat dihasilkan, bilangan tukang
jahit yang diupah dan bilangan hari yang Bilangan tukang jahit yang diupah ialah 30.
diperlukan dengan menggunakan simbol Number of tailors hired is 30.
“∝”. 6 000(36)
State the relationship between the number of shirts that (e) 14 400 = z
can be produced, the number of tailors hired and the
number of days needed by using the symbol “∝”. z = 15
[1 markah / 1 mark] 15 hari diperlukan.
15 days are needed.




23 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
Fokus KBaT








Seorang pengusaha sambal mendapati bilangan mesin memasak sambal berubah secara langsung dengan
bilangan botol sambal yang dihasilkan dan secara songsang dengan jumlah masa untuk menyiapkan sambal.
Diberi 2 mesin memasak sambal boleh menghasilkan 300 botol sambal dalam masa 5 jam. Pengusaha tersebut
telah membeli satu mesin tambahan untuk menambah bilangan botol sambal kepada 540 botol sehari.
A sambal entrepreneur realises that the machine to cook and produce sambal varies directly with the number of jars of sambal and inversely with
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
the time. Given that 2 machines to cook the sambal can produce 300 jars of sambal in 5 hours. The entrepreneur has bought another machine so
that the production can be increased to 540 jars per day. KBAT Menganalisis
(a) Berapa jam yang akan diperuntukkan untuk menyiapkan tempahan 540 botol sambal setelah mesin memasak
sambal ditambah?
How many hours is needed to complete the order for 540 jars of sambal after new cooking machine is added?
(b) Pada musim PKP, bilangan pekerja yang dibenarkan hadir bekerja telah berkurang dan menyebabkan hanya
satu mesin memasak sambal yang dapat beroperasi. Sekiranya mesin tersebut beroperasi selama 6 jam, berapa
botol sambal yang dapat dihasilkan?
During MCO, the number of workers that allowed to be in the premise has been reduced and due to this only one machine can operate. If the
machine operates for 6 hours, how many jars of sambal can be produced?

TIP Menjawab
Tulis hubungan antara pemboleh ubah yang terlibat dalam bentuk ubahan dan persamaan.
Write the relation between the variables involved in the form of variation and equation.



(a) Katakan m = bilangan mesin memasak sambal
b = bilangan botol sambal yang dihasilkan
t = masa, dalam jam
Let m = number of machines to cook sambal
b = number of jars of sambal
t = time, in hours

b
m ∝
t
kb
m =
t
k(300)
2 =
5
1
k =
30
b
m =
30t
540
3 =
30t
t = 6
Masa yang diperuntukkan ialah 6 jam.
The time needed is 6 hours.
b
(b) 1 =
30(6)
b = 180

Mesin tersebut menghasilkan 180 botol sambal.
The machine produces 180 jars of sambal.




Enrolment key
mtT5^Pot^


© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 24