Pelangi Analisis SPM 2022 - Matematik Tambahan

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.
Tingkatan 4 & 5

MATEMATIK TAMBAHAN
(DWIBAHASA)

5000 LEBIH

1,000,000
NASKHAH
TERJUAL

PENERAJU MAHIR MATEMATIK • NOYoogniSSgeoKnoLugHaaHnunoagYwtekoahhbaPgei ndSyaelemalmeusakaSoiaodnaQlPaRnenuh
•
•

Kandungan Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi -

Tingkatan 4 Tingkatan 5

BAB Fungsi 1 BAB Sukatan Membulat 129

1 Functions 1 Circular Measure
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.
BAB Fungsi Kuadratik 15 BAB Pembezaan 141

2 Quadratic Functions 2 Differentiation

BAB Sistem Persamaan 33 BAB Pengamiran 159

3 Systems of Equations 3 Integration

BAB Indeks, Surd dan Logaritma BAB Pilih Atur dan Gabungan
Indices, Surds and Logarithms
4 47 4 Permutation and Combination 175

BAB Janjang 56 BAB Taburan Kebarangkalian 189

5 Progressions 5 Probability Distribution

BAB Hukum Linear 67 BAB Fungsi Trigonometri 208

6 Linear Law 6 Trigonometric Functions

BAB Geometri Koordinat 79 BAB Pengaturcaraan Linear 222

7 Coordinate Geometry 7 Linear Programming

BAB Vektor 93 BAB Kinematik Gerakan Linear 239

8 Vectors 8 Kinematics of Linear Motion

BAB Penyelesaian Segi Tiga 105 Kertas Model SPM 249

9 Solution of Triangles Jawapan 260
115
BAB Nombor Indeks

10 Index Numbers

ii

BAB Fungsi Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  FunTgisni gkatan 4

1 Functions

Fakta dan Rumus Matematik

1. Suatu fungsi f ialah satu pemetaan dari setPenerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. The domain of a function is the set of possible
X kepada set Y (f : X → Y) dengan keadaan values of x which defines a function, whereas the
setiap unsur dalam X mempunyai satu dan range is the set of values of y that are obtained by
hanya satu unsur dalam Y sebagai imej. substituting all the possible values of x.

A function f is the mapping from set X to set Y 6. Kodomain pula ialah set nilai-nilai yang
(f : X → Y) where each and every element of X has mungkin muncul bagi suatu fungsi.
one and only one element of Y as its image.
Codomain is the set of the possible obtained values
2. Fungsi ialah hubungan satu dengan satu of a function.
atau hubungan banyak dengan satu.
7. Proses gabungan secara penggantian dua
Function is a one-to-one relation or a many-to-one fungsi f dan g untuk menghasilkan f[g(x)]
relation. atau g[f(x)] dikenali sebagai hasil gubahan
dua fungsi dan ditulis sebagai fg(x) atau
3. Tatatanda fungsi f : x → ... atau f(x) = ... gf(x).
digunakan untuk menunjukkan suatu
fungsi f dengan input x. Misalnya, tatatanda The process of combination by replacing two
f(2) bermakna nilai yang diperoleh apabila functions f and g to generate f[g(x)] or g[f(x)] is
x = 2 digantikan ke dalam f. known as the composition of two functions and is
written as fg(x) or gf(x).
The function notation f : x → ... or f(x) = ... is used to
indicate a function f with input x. For example, the 8. Sifat fungsi gubahan:
notation f(2) means the value obtained when x = 2 is
substituted into f. Properties of composite function:

4. Ujian garis mencancang • Lazimnya, fg(x) tidak serupa dengan
gf(x).
Vertical line test
Generally, fg(x) is not identical to gf(x).
• Satu kaedah untuk menentukan sama
ada graf bagi suatu hubungan ialah • f 2(x) = f [f(x)]. Lazimnya, f 2(x) ≠ [f(x)]2 ≠
fungsi. f(x2).

A method to determine whether the graph of a f 2(x) = f [f(x)]. Generally, f 2(x) ≠ [f(x)]2 ≠ f(x2).
relation is a function.
• f n = f rf n – r = f n – rf r, dengan keadaan n
• Jika setiap garis mencancang bersilang dan r ialah integer positif dan n  r.
dengan graf hanya pada satu titik, maka
hubungan itu merupakan fungsi. f n = f rf n – r = f n – rf r, where n and r are positive
integers and n  r.
If every vertical line intersects the graph at only
one point, then the relation is a function. 9. Bagi f : X → Y, jika setiap unsur dalam Y ialah
imej bagi hanya satu unsur dalam X, maka
5. Domain bagi suatu fungsi ialah set nilai kita dapat membentuk fungsi songsang
x yang mungkin, yang membuatkan f –1 : Y → X.
suatu fungsi tertakrif manakala julat pula
ialah set nilai y yang diperoleh selepas Jika y = f(x), maka x = f –1(y). Jika x = f(y),
menggantikan semua nilai x yang mungkin maka y = f –1(x).
itu.
For f : X → Y, if every element of Y is an image of
10. Dalam jadual di bawah, n ialah pemalar. only one element of X, then we can form an inverse
function f –1 : Y → X.
In the table below, n is a constant.
If y = f(x), then x = f –1(y). If x = f(y), then y = f –1(x).
f(x) x x + n x – n n – x
nx x n xn nx
f –1(x) x x – n x + n n – x n x
x n
n nx x nx xn

1

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi 12. Sifat-sifat lain yang penting:

1 1. Sifat fungsi songsang: Other important properties:

Properties of inverse function: • (fg)–1(x) = g–1f –1(x)
• (f 2)–1(x) = (f –1)2(x) = f –1[ f –1(x)]
• Hanya fungsi satu dengan satu • f [ f –1(x)] = f –1[ f(x)] = x
mempunyai fungsi songsang.
13. Ujian garis mengufuk
Only one-to-one functions have inverse functions.
Horizontal line test
• Jika f dan g ialah fungsi songsang antara
satu sama lain, maka • Satu kaedah untuk menentukan sama
ada graf bagi suatu fungsi mempunyai
If f and g are the inverse functions of each other, fungsi songsang.
then
A method to determine whether the graph of a
(i) fg(x) = gf(x) = x function has an inverse function.
domain f = julat g dan
• Jika setiap garis mengufuk bersilang
domain g = julat f dengan graf hanya pada satu titik, maka
graf mempunyai fungsi satu dengan
domain of f = range of g and satu dan dengan itu mempunyai fungsi
domain of g = range of f songsang.

(ii) graf g adalah pantulan graf f pada If every horizontal line intersects the graph at
garis y = x dan sebaliknya. only one point, then the graph has a one-to-one
function and thus has an inverse function.
graph g is the reflection of graph f in the line
y = x and vice versa.

(iii) titik (a, b) yang berada pada graf f
menjadi titik (b, a) yang berada pada
graf g.

the point (a, b) that lies on the graph f will
become (b, a) that lies on the graph g.
Tingkatan 4 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.

Contoh 1 Contoh 2
Rajah menunjukkan graf bagi suatu jenis
Rajah menunjukkan satu gambar rajah anak hubungan.
panah.
The diagram shows an arrow diagram. The diagram shows the graph of a type of relation.

XY y

1● ●8 Ox
2●
3● ●7 Tentukan sama ada hubungan itu ialah suatu
4● fungsi. Berikan justifikasi untuk jawapan anda.
5● ●6 Determine whether the relation is a function. Justify
your answer.
Tentukan sama ada hubungan yang diberi ialah
suatu fungsi. Berikan justifikasi untuk jawapan Strategi
anda.
Determine whether the given relation is a function. • Gunakan ujian garis mencancang.
Justify your answer. Use the vertical line test.

Strategi Penyelesaian

• Perhatikan sama ada setiap objek mempunyai y
satu imej sahaja.
Dua titik persilangan
Observe whether each object has only one image. Two intersection points
Ox
Penyelesaian
Bukan fungsi. Objek 5 tidak mempunyai
sebarang imej.
Not a function. Object 5 does not have any image.

2

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi 

Hubungan itu bukan fungsi. Garis mencancang Strategi
memotong dua titik pada graf dalam ujian garis
mencancang. • Domain ialah set bagi koordinat pertama dalam
The relation is not a function. In the vertical line test, pasangan bertertib, manakala julat ialah set bagi
the vertical line cuts the graph at two points. koordinat kedua dalam pasangan bertertib.

Contoh 3 Domain is the set of first coordinates of the ordered
pairs, while range is the set of second coordinates of
(a) Rajah menunjukkan satu mesin fungsi, f. the ordered pairs.
The diagram shows a function machine, f.
Penyelesaian
Input x Domain = {–2, 1, 2, 5, 6}
3 Julat/Range = {2, 5, 4, 5, 0}
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.
Contoh 5 SPM
Tingkatan 4
f Rajah menunjukkan graf bagi f : x → |2x + 1|
untuk domain –3  x  3.

The diagram shows the graph of function f : x → |2x + 1| in
the domain –3  x  3.

5 f(x)
Output
f(x) (3, 7)

Tuliskan keputusan itu dengan menggunakan (–3, 5)
tatatanda fungsi.
Ox
Write the result using function notation.

(b) Luas permukaan L bagi sebuah sfera Nyatakan/State
berjejari j unit ialah 4πj2. Tuliskan hubungan (a) objek bagi 7,
antara luas permukaan sfera dan jejarinya the object of 7,
dengan menggunakan tatatanda fungsi. (b) imej bagi 2,
the image of 2,
The surface area A of a sphere with radius r (c) domain bagi 0  f(x)  5.
units is 4πr2. Write a relation between the surface the domain for 0  f(x)  5.
area of the sphere and its radius by using the
function notation. Strategi

Strategi (a) Tentukan nilai x yang dipetakan kepada imej 7
di bawah fungsi f.
• Tulis dalam bentuk f : a → b atau f(a) = b.
Write in the form f : a → b or f(a) = b. Determine the value of x which is mapped onto
image 7 under the function f.
Penyelesaian
(a) f : 3 → 5 atau/or f(3) = 5 (b) Gantikan x = 2 ke dalam fungsi f(x) = |2x + 1|.
Substitute x = 2 into the function f(x) = |2x + 1|.
(b) L : j → 4πj2 atau L(j) = 4πj2 (c) Selesaikan |2x + 1| = 5.
A : r → 4πr2 or A(r) = 4πr2 Solve |2x + 1| = 5.

Contoh 4 Penyelesaian
(a) 3
Diberi fungsi f = {(–2, 2), (1, 5), (2, 4), (5, 5),
(6, 0)}. Tentukan domain dan julat bagi f. (b) f(2) = |2(2) + 1|
Given the function f = {(–2, 2), (1, 5), (2, 4), (5, 5), = |5|
(6, 0)}. Determine the domain and range of f. = 5

(c) –3  x  2

3

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi

Contoh 6 (c) f(x) = x

Rajah menunjukkan fungsi salingan x 3 2 = x
+
3
f(x) = + , x ≠ k. 3 = x2 + 2x

x 2 x2 + 2x – 3 = 0

The diagram shows the reciprocal function (x + 3)(x – 1) = 0
3
f(x) = x + 2 , x ≠ k. x = –3 atau/or x = 1

f(x) Contoh 7
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.
Tingkatan 4 kO x Diberi fungsi m : x → px + 2, ℎ : x → 4x − 3 dan
mh(x) = 4px + q. Ungkapkan p dalam sebutan q.
(a) Nyatakan nilai k. Given the function m : x → px + 2, ℎ : x → 4x − 3 and
State the value of k. mh(x) = 4px + q. Express p in terms of q.

(b) Tentukan domain dan julat bagi fungsi f. Strategi
Determine the domain and range of function f.
• Cari fungsi gubahan mh(x). Bandingkan
(c) Cari nilai-nilai x yang memetakan kepada jawapan yang diperoleh dengan fungsi gubahan
dirinya sendiri di bawah fungsi f. mh(x) = 4px + q yang diberi.

Find the values of x which map onto themselves Find the composite function mh(x). Compare the answer
under the function f. with the given composite function mh(x) = 4px + q.

Penyelesaian
m[h(x)] = m(4x − 3)
= p(4x − 3) + 2
= 4px − 3p + 2

Strategi Banding dengan mh(x) = 4px + q,

(a) Bagi sfruaacttiuonpebac, abh≠an0. a , b ≠ 0. Compare with q = −3p + 2
For a b

(b) Domain ialah set bagi semua nombor nyata 3p = 2 − q
2–q
x kecuali x = −2. Julat ialah set bagi semua p = 3

nombor nyata y kecuali y = 0.
Domain is the set of all real numbers x except
x = −2. Range is the set of all real numbers y except Contoh 8

y = 0. Diberi fungsi ℎ : x → 3x − 9, cari nilai k dengan
(c) Apabila x dipetakan kepada dirinya sendiri di
bawah fungsi f, f(x) = x.  keadaan 2k
When x is mapped onto itself under f, f(x) = x. ℎ2 3 = 12.

Given the function ℎ : x → 3x − 9, find the value of k
 such that ℎ2
Penyelesaian 2k = 12.
(a) x + 2 ≠ 0 3
x ≠ −2
Strategi
Maka/Hence, k = −2
  • ℎ ℎ 2k dalam sebutan k dan
(b) Domain ialah x  , x ≠ −2. Cari fungsi gubahan 3
Domain is x  , x ≠ −2.
samakannya dengan 12. Kemudian, selesaikan
Julat ialah y  , y ≠ 0.   persamaan untuk nilai k.
Range is y  , y ≠ 0. Find the cwoitmhp1o2s.itTehfeunn,cstioolnv eℎthℎe23ekquaintiotnerfmors of k and
equate it the value

of k.

4

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi 

Penyelesaian Penyelesaian

ℎ2 2k  = ℎℎ 2k  (a) f : x → x + 3 atau/or f(x) = x + 3
3 3 2 2

= ℎ3 2k  – 9 (b) gf(x) = 2x2 + 4
3
  g x +2 3 = 2x2 + 4
= h(2k – 9)

= 3(2k – 9) – 9 Katakan/Let y = x + 3,
2
= 6k – 27 – 9
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.
= 6k – 36 2y = x + 3
Tingkatan 4
Maka/Hence, 6k – 36 = 12 x = 2y – 3
6k = 48
k = 8 g(y) = 2(2y − 3)2 + 4
= 2(4y2 – 12y + 9) + 4
Contoh 9   SPM = 8y2 – 24y + 18 + 4
= 8y2 – 24y + 22

Rajah menunjukkan hubungan antara set P, set Maka/Hence, g(x) = 8x2 – 24x + 22
Q dan set R.
The diagram shows the relation between set P, set Q Contoh 10
and set R.
Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → – 1x , x ≠ 0.
P The function f is defined by f : x → – 1x , x ≠ 0.
Q gf : x → 2x2 + 4 (a) Ungkapkan f  2(x), f 3(x) dan f 4(x) dalam

R bentuk termudah.
Express f  2(x), f 3(x) and f 4(x) in its simplest form.
Diberi bahawa set P dipetakan kepada set Q oleh
x+3 (b) Seterusnya, deduksikan keputusan bagi
fungsi 2 dan dipetakan kepada set R oleh f 21(x) dan f 22(x).

fungsi gf : x → 2x2 + 4. Hence, deduce the results for f 21(x) and f 22(x).

Given that set P is mapped onto set Q by the function Strategi

x + 3 and onto set R by the function gf : x → 2x2 + 4. (a) Dapatkan hasil apabila x dipetakan oleh fungsi
2 f, dan ulangi pemetaan oleh fungsi f ke atas
hasil tersebut sebanyak 2, 3 dan 4 kali.
(a) Tuliskan fungsi yang memetakan set P
Obtain the result when x is mapped by function f,
kepada set Q dengan menggunakan tatatanda and repeat the mapping by function f on the result for
2, 3 and 4 times.
fungsi.
(b) Perhatikan pola hasil apabila bilangan kali
Write the function that maps set P to set Q using fungsi diulangi ialah nombor genap dan ganjil.

the function notation. Observe the pattern of the result when the number of
times the function is repeated is even and odd.
(b) Cari fungsi yang memetakan set Q kepada

set R.

Find the function which maps set Q to set R.

Strategi Penyelesaian

(a) Tulis dalam bentuk f : a → b atau f(a) = b. (a) f 2(x) = f [ f(x)]
Write in the form f : a → b or f(a) = b.
(a) Fungsi yang memetakan set Q kepada set = f  − 1x 
= − −1 1x
R ialah fungsi g. Jadi, cari fungsi g daripada
fungsi f dan gf yang diberikan.
The function that maps set Q to set R is function g. = x
Therefore, find the function g from the given functions
f and gf.

5

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi

f 3(x) = f  [f 2(x)] x = y+2
=  f(x) 1 – 3y
= − 1x
∴ f −1(x) → x +2 , x ≠ 1
1 – 3x 3
f 4(x) = f 2[f 2(x)]
= f 2(x) (b) Katakan/Let y = x+2
= x x–2

(b) Perhatikan bahawa/Note that f 2(x) = x
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. y(x − 2) = x + 2
dan/and f 4(x) = x
Tingkatan 4 xy − 2y = x + 2

Begitu juga/Also, f(x) = − 1x xy − x = 2 + 2y
dan/and f 3(x) = − 1x
x(y − 1) = 2 + 2y

Secara deduksi, / By deduction, x = 2 + 2y
y–1

f n(x) = x apabila n adalah genap 2+ 2x
x– 1
when n is even ∴ g(x) = , x ≠ 1

f n(x) = − 1x apabila n adalah ganjil
when n is odd

Maka/Hence, f 21(x) = − 1x dan/and f 22(x) = x Contoh 12

Contoh 11 Rajah menunjukkan graf y = g(x), x  1. Diberi
g dan h ialah fungsi songsang antara satu sama
(a) Jika suatu fungsi f : x → 3xx–+21, x ≠ – 13, lain.
cari fungsi songsang bagi f. The diagram shows the graph of y = g(x), x  1. It is
given that g and h are the inverse functions of each
If a function f : x → x–2 , x ≠ – 13 , find the other.
inverse function of f. 3x + 1
y y = h(x)
(b) Diberi g−1(x) = x + 2 , x ≠ 2, cari g(x). y=x
x – 2
x + 2 y = g(x)
Given g−1(x) = x – 2 , x ≠ 2, find g(x).

Strategi O1 x

• Samakan ungkapan bagi fungsi dengan y dan (a) Tandakan koordinat bagi titik dengan
jadikan x perkara persamaan. keadaan graf y = h(x) bertemu dengan paksi
koordinat.
Equate the function’s expression with y and make x the
subject of the equation. Mark the coordinates of the point where the
graph of y = h(x) meets the coordinate axes.
Penyelesaian
(b) Nyatakan
(a) f : x → x–2 State
3x + 1
(i) domain bagi h,
Katakan/Let y = x–2 the domain of h,
3x + 1
y(3x + 1) = x − 2 (ii) julat bagi h.
the range of h.
3xy + y = x − 2

y + 2 = x − 3xy

x(1 − 3y) = y + 2

6

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi 

Strategi Penyelesaian

(a) Graf g dan h adalah pantulan antara satu sama (a) Bagi graf y = f(x), tidak ada hubungan
lain pada garis y = x. satu dengan satu bagi nilai x yang nyata.
Fungsi songsang wujud hanya jika kita
The graphs of g and h are reflections of each other pertimbangkan separuh daripada graf dengan
in the line y = x. mengehadkan domain kepada x  0.

(b) (i) Domain h = julat g For the graph y = f(x), there is no one-to-one
Domain of h = range of g relation for the real values of x. The inverse
(ii) Julat h = domain g function exists only if we consider half of the
Range of h = domain of g graph by restricting the domain to x  0.

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.Penyelesaian Katakan/Let y = x2,
(a) y y = h(x)
Tingkatan 4
y=x

y = g(x) x = ±y
x
(0, 1) Jika domain f(x) ialah x  0, maka
O1 If domain of f(x) is x  0, then

(b) (i) Domain bagi h ialah x  0. f  –1(x) = x, x  0.
The domain of h is x  0.
(b) y f(x) = x2 y=x
(ii) Julat bagi h ialah y  1.
The range of h is y  1. f –1(x) = x

Contoh 13 Ox

Rajah menunjukkan graf bagi y = f(x) dengan

keadaan f(x) = x2.

The diagram shows the graph of y = f(x), where Contoh 14

f(x) = x2. y Rajah menunjukkan graf bagi suatu fungsi.
The diagram shows the graph of a function.
f(x) = x2
y

Ox Ox

(a) Tentukan f −1(x) bagi domain yang sesuai. Tentukan sama ada fungsi itu mempunyai fungsi
Determine f −1(x) for the suitable domain. songsang. Berikan justifikasi untuk jawapan
anda.
(b) Seterusnya, lakarkan graf y = f −1(x) bagi Determine whether the function has an inverse
jawapan anda di (a). function. Justify your answer.

Hence, sketch the graph of y = f −1(x) for your
answer in (a).

Strategi

(a) Pertimbangkan separuh daripada graf dengan
mengehadkan domain kepada x  0.

Consider half of the graph by restricting the domain to
x  0.

(b) Graf f dan f −1 adalah pantulan antara satu
sama lain pada garis y = x.

The graphs of f and f −1 are reflections of each other
in the line y = x.

7

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi (d) Adakah N(t) suatu fungsi? Berikan justifikasi
untuk jawapan anda.
Strategi
Is N(t) a function? Justify your answer.
• Gunakan ujian garis mengufuk.
Use the horizontal line test. Strategi

Penyelesaian (a) Gantikan/Substitute t = 0.
(b) Gantikan/Substitute t = 9.
y Tiga titik persilangan (c) Gunakan N(t)  3000 dan cari nilai minimum t.
Three intersection points Use N(t)  3000 and find the minimum value of t.
(d) Tentukan jenis hubungan N(t).
Determine the type of relation of N(t).
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.Ox
Tingkatan 4
Garis mengufuk memotong tiga titik pada graf Penyelesaian
dalam ujian garis mengufuk. Fungsi itu tidak
mempunyai fungsi songsang. (a) N(0) = 55 000 + 500
In the horizontal line test, the horizontal line cuts the 0 +1
graph at three points. The function does not have an
inverse function. = RM55 500

(b) N(9) = 55 000 + 500
9 +1

Contoh Soalan KBAT 1 = RM6 000

Nilai sebuah kereta, N, dalam RM, selepas dibeli (c) N(t)  3000
t tahun diberi oleh
The value of a car, N, in RM, after being bought for 5t5+0010 + 500  3000
t years is given by 55 000
t+1  2500

N(t) = 55 000 + 500 t + 1  55 000
t+1 2 500

(a) Tentukan nilai asal kereta itu ketika kereta t + 1  22
itu dibeli.
t  21
Determine the initial value of the car when the ∴ t = 22
car was bought.
Nilai kereta itu akan menyusut sehingga
(b) Hitung nilai kereta itu selepas 9 tahun dibeli. kurang daripada RM3 000 buat kali pertama
Calculate the value of the car after being bought selepas 22 tahun.

for 9 years. The value of the car will depreciate to less than
RM3 000 for the first time after 22 years.
(c) Selepas berapa tahunkah nilai kereta itu
akan menyusut sehingga kurang daripada (d) Hubungan bagi N(t), dengan keadaan t  0,
RM3 000 buat kali pertama? ialah satu dengan satu. N(t) ialah suatu
fungsi.
After how many years would the value of the
car depreciate to less than RM3 000 for the first The relation of N(t) , where t  0, is one-to-one.
time? N(t) is a function.

8

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi 

Masteri SPM

Kertas 1 4. Rajah menunjukkan graf bagi fungsi
f(x) = |3x – 2| untuk domain 0  x  4.
1. Sebuah kon mempunyai tinggi tetap 4 cm. The diagram shows the graph of the function
Tuliskan hubungan antara isi padu kon, I dan f(x) = |3x – 2| for the domain 0  x  4.
jejarinya, j dengan menggunakan tatatanda
fungsi. y
A cone has a fixed height of 4 cm. Write the
relation between the volume of the cone, I and y = f(x)
its radius j by using the function notation.

[2 markah/marks]
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. 2 x
Ot 4
Tingkatan 4
2. Rajah menunjukkan graf bagi suatu fungsi Nyatakan / State
diskret. (a) imej bagi 4,
The diagram shows the graph of a discrete the image of 4,
function.
(b) nilai t,
f(x) the value of t,

4 (c) julat f(x) yang sepadan dengan domain
3 yang diberi.
2 the range of f(x) corresponding to the given
1 domain.
0 12345 x
[3 markah/marks]

5. Bagi fungsi salingan f(x) = 2 3, f(x)
5x –
Tentukan domain dan julat bagi fungsi adalah tidak tertakrif apabila x = p.
tersebut.
Determine the domain and range of the function. For the reciprocal function f(x) = 2 3, f(x) is
undefined when x = p. 5x –
[2 markah/marks]
(a) Nyatakan nilai p.
3. Rajah menunjukkan sebahagian daripada
State the value of p.

pemetaan di bawah fungsi g. (b) Tentukan domain dan julat bagi f.

The diagram shows part of the mapping of Determine the domain and range of f.

function g. (c) Cari nilai-nilai x yang memeta kepada

x g sin x diri sendiri.
0° 1
Find the values of x which map onto
90°
themselves.

180° 0 [5 markah/marks]

270° –1 6. Diberi fungsi p : x → mx −3, k : x → 3x + 5
360° dan kp(x) = 3mx + 2ℎ − m. Ungkapkan h
dalam sebutan m.
Given the function p : x → mx −3, k : x → 3x + 5
Tentukan domain dan julat bagi fungsi g. and kp(x) = 3mx + 2ℎ − m. Express h in terms
Determine the domain and the range for the of m.
function g.
[3 markah / marks]
[2 markah/marks]

9

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi

7. Rajah menunjukkan fungsi nilai mutlak C y
f(x) = |4x + 6|.
The diagram shows the absolute value function
f(x) = |4x + 6|.

f(x) =|4x + 6| f(x) x

6 O

D y
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.
Tingkatan 4 –3 3 0 x
2
–

Tentukan/Determine Ox

(a) nilai bagi f(–3), Tandakan ✓ dalam ruang di dalam jadual
the value of f(–3),
untuk menunjukkan huraian, jika ada, bagi
(b) nilai-nilai x dengan keadaan f(x) = 2,
the values of x where f(x) = 2, setiap graf yang diberi.

(c) domain bagi f(x)  2, [Kemungkinan terdapat lebih daripada satu
the domain of f(x)  2, ✓ pada mana-mana baris atau lajur di dalam

(d) domain bagi f(x)  6. jadual.]
the domain of f(x)  6. Mark ✓ in the spaces in the table to indicate the
[5 markah/marks] description, if any, for each given graph.
[There may be more than one ✓ in any row or
8. Rajah A hingga D menunjukkan empat column of the table.]
graf yang berlainan. Dalam setiap kes,
keseluruhan graf adalah ditunjukkan dan Bukan suatu ABCD
skala pada kedua-dua paksi koordinat adalah fungsi [5 markah/marks]
sama. Not a function
Diagrams A to D show four different graphs.
In each case, the whole graph is shown and the Fungsi satu
scales on the two axes are the same. dengan satu
One-to-one
A y function

O x Suatu fungsi
yang juga
B y songsangannya
sendiri
Ox A function that is
its own inverse

Suatu fungsi
yang tidak
mempunyai
fungsi songsang
A function with no
inverse function

10

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi 

9. Dalam rajah, fungsi f memetakan y kepada 12. Diberi fungsi g: x → 5x + 1 dan
x dan fungsi g memetakan y kepada z. fg : x → 25x2 + 10x − 2, cari
In the diagram, function f maps y to x and Given the function g: x → 5x + 1 and
function g maps y to z. fg : x → 25x2 + 10x − 2, find
(a) g–1(x),
x f y gz (b) f(x).
[3 markah/marks]
2

0 13. Diberi f(x) = x + 2 − 3, x  −2 dan
f  −1(x) = (x + 3)2 − 2, x  −3.

It is given that f(x) = x + 2 − 3, x  −2 and
f  −1(x) = (x + 3)2 − 2, x  −3.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. –2

Tingkatan 4 Tentukan/Determine Tuliskan/Write
(a) f –1(–2), (a) julat bagi f,
(b) gf –1(–2), the range of f,
(c) g–1(2),
(d) fg–1(2). (b) julat bagi f  −1.
the range of f  −1.
[4 markah/marks]

10. Tentukan sama ada setiap fungsi berikut [2 markah/marks]

mempunyai fungsi songsang. Berikan sebab 14. Rajah menunjukkan graf bagi kadar denyutan
nadi per minit f(x) melawan masa rehat x
bagi jawapan anda. minit, bagi Encik Salleh selepas bersenam.
The diagram shows the graph of pulse rate per
Determine whether each of the following minute f(x) against the resting time x minutes, of
Mr Salleh after exercising.
functions has an inverse function. Give the

reason for your answer.

(a) x f y

1● ●p f(x)

2● 180
170
3● ●q 160
150
(b) g(x) 140
130
3 120
2 110
1 100
90
–2 –1–10 123 x 80
–2 70
–3 60

[2 markah/marks] –1 0 x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

11. Diberi fungsi g : x → 4x − 6, cari Daripada graf/From the graph,
(a) terangkan maksud f –1(100) = 6,
SPM Given the function g : x → 4x − 6, find explain the meaning of f –1(100) = 6,

(a) g–1(x), (b) tentukan f –1(75).
 (b) nilai determine f –1(75).
p dengan keadaan g2 5p = 50.
2 [2 markah/marks]
 the 5p
value of p where g2 2 = 50.

[4 markah/marks]

11

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi

Kertas 2 (a) Rajah menunjukkan graf bagi fungsi
y = | f(x)| untuk domain 0  x  4.
1. Dalam rajah, fungsi h memetakan x kepada
y, dengan keadaan y = 4x2 − 4x + 1 dan The diagram shows the graph of the function
y = | f(x)| for the domain 0  x  4.
fungsi g memetakan y kepada z, dengan
keadaan z = y. y y = | f(x) |
In the diagram, the function h maps x to y, where
y = 4x2 − 4x + 1 and the function g maps y to z, where t
z = y.

xh y gz

m
Tingkatan 4 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. Ok x
4

Nyatakan / State

(i) nilai k dan nilai t,
the value of k and of t,

k (ii) julat y sepadan dengan domain

5 yang diberi.
the range of y corresponding to the
(a) Tentukan nilai m dan nilai k. given domain.
Determine the value of m and of k.
[4 markah/marks] [3 markah/marks]

(b) Cari satu ungkapan bagi gh(x). (b) Cari/Find
Find an expression for gh(x). (i) g f –1(x),
[2 markah/marks]
(ii) h(x) dengan keadaan gh(x) = f –1(x).
h(x) such that gh(x) = f –1(x).

2. Diberi bahawa f : x → 3x + 2 dan [4 markah/marks]
SPM g : x → 1 − 2x.
4. Rajah menunjukkan fungsi f memetakan set
It is given that f : x → 3x + 2 and g : x → 1 − 2x. B kepada set A dan fungsi g memetakan set
(a) Cari / Find B kepada set C.
(i) g(5), The diagram shows function f maps set B to set
(ii) nilai h dengan keadaan A and function g maps set B to set C.
the value of h such that
A fB g
f(2 − ℎ) = 13g(5), C

x+1 x 2x2 + 5x + 2

(iii) fg(x).

[5 markah/marks] Cari / Find
(a) dalam sebutan x, fungsi yang
(b) Seterusnya, lakarkan graf y = | fg(x)|
untuk –1  x  3. Nyatakan julat bagi memetakan
nilai y. in terms of x, the function that maps
Hence, sketch the graph of y = | fg(x)| for
–1  x  3. State the range of values of y. (i) set A kepada set B,
set A to set B,
[3 markah/marks]
(ii) set A kepada set C,
3. Diberi f : x → 1 − 2x dan g : x → 4x + 12. set A to set C,
It is given that f : x → 1 − 2x and
[4 markah/marks]
g : x → 4x + 1 . (b) nilai-nilai x dengan keadaan
2
fg(x) = 18 – 2x.
the values of x such that fg(x) = 18 – 2x.

[2 markah/marks]

12

5. Diberi f : x → 4x − 3 dan g : x→ x + 1, cari Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi 
Given f : x → 4x − 3 and g : x 2 1, find
→ x (b) Bagi nilai k di (a),
2 + For the value of k in (a),

(a) f –1(x), [2 markah/marks] (i) tuliskan julat bagi f,
write the range of f,
(b) f –1g (x), [2 markah/marks]
(ii) cari f –1(x),
(c) h (x) dengan keadaan hg(x) = 3x + 9. find f –1(x),
h (x) such that hg(x) = 3x + 9.
(iii) lakarkan graf bagi y = f(x) dan
[2 markah/marks] y = f –1(x) pada paksi yang sama
dalam rajah di bawah,
sketch the graphs of y = f(x) and
y = f –1(x) on the same axes in the
diagram below,

y

y=x
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. 6. Diberif(x)=1q,x25 .
px +
Tingkatan 4
It is given that f(x) = 1 q , x  5 .
px + 2

(a) Nyatakan nilai p dan nilai q. dan
State the value of p and of q.
O x
(b) Dengan menggunakan nilai p
nilai q di (a),
Using the value of p and of q in (a),

(i) tentukan domain bagi f  –1(x), (iv) cari nilai x dengan keadaan
determine the domain of f  –1(x), find the value of x such that
f(x) = f –1(x).
(ii) ungkapkan f  2(x) dalam bentuk

ax + b , dengan keadaan a, b, c [6 markah/marks]
c + dx
dan d ialah integer. 8. Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → 4 + x2
bagi semua nilai x yang nyata. Rajah
express f  2(x) in the form of ax + b , menunjukkan graf y = f(x).
c + dx The function f is defined as f : x → 4 + x2 for
where a, b, c and d are integers. all real values of x. The diagram shows the graph
of y = f(x).
[5 markah/marks]

7. Rajah menunjukkan graf y = f (x) dengan y
keadaan f (x) = (x − 1)2 − 5. y = 4 + x2
The diagram shows the graph of y = f (x) where
f (x) = (x − 1)2 − 5. 2

y

y = f(x) Ox
Ox
(a) Berdasarkan graf, terangkan sebab f
tidak mempunyai fungsi songsang.
Based on the graph, explain why f has no
(a) Graf y = f(x) mempunyai fungsi inverse function.
songsang jika kita mengehadkan
domain kepada x  k. Nyatakan nilai (b) Cari / Find f  2(x).
terkecil bagi k.
The graph of y = f(x) has an inverse (c) Bagi x  k, fungsi g ditakrifkan oleh
function if we restrict the domain to x  k. g : x → 4 + x2 dan g mempunyai
State the smallest value of k. fungsi songsang.
[1 markah/mark]
For x  k, the function g is defined as
g : x → 4 + x2 and g has an inverse
function.

13

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Fungsi

(i) Tuliskan satu nilai yang mungkin (b) Seterusnya, cari fg(x) dan gf(x).
bagi k. Hence, find fg(x) and gf(x).
Write a possible value of k. [4 markah/marks]

(ii) Cari/Find g –1(x). (c) Berdasarkan keputusan yang diperoleh
[6 markah/marks] di (b), apakah kesimpulan yang boleh
dibuat?
9. Fungsi f ditakrifkan oleh f (x) = 2x + 3. Based on the result obtained in (b), what is
3 the conclusion that can be made?
2x [1 markah/mark]
The function f is defined as f (x) = 3 + 3.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.
Tingkatan 4 (a) Cari g(x), dengan keadaan g(x) ialah

fungsi songsang bagi f(x).

Find g(x), where g(x) is the inverse function

of f(x).

[2 markah/marks]

Soalan KBAT

1. Sebuah kedai pakaian ingin menjual pakaian dengan potongan harga 10% dan masih mendapat
keuntungan 20%. Jika x ialah kos pakaian dalam RM dan f(x) ialah harga jualan sebelum potongan
harga, KBAT Menganalisis

A clothing store wishes to sell clothes with a 10% price reduction and still be able to gain a 20% profit. If

x is the cost of the clothes in RM and f(x) is the sales price before price reduction,

(a) tunjukkan bahawa/show that f (x) = 4 x,
(b) cari/find 3

(i) harga jualan sebelum potongan, dalam RM, jika kos pakaian ialah RM120,

the sales price before reduction, in RM, if the clothes cost RM120,

(ii) kos pakaian, dalam RM, jika harga jualan sebelum potongan ialah RM360.

the cost of the clothes, in RM, if the sales price before reduction is RM360.

[4 markah/marks]

2. Sebuah silinder mempunyai luas tapak A cm2 dan isi padu V cm3. Diberi tinggi dan jejari tapak
silinder masing-masing ialah 10 cm dan r cm. KBAT Menganalisis

A cylinder has a base area of A cm2 and volume of V cm3. It is given that the height and the base radius of
the cylinder are 10 cm and r cm respectively.
(a) Ungkapkan / Express
(i) luas tapak silinder, A(r) sebagai fungsi jejari,

the base area of the cylinder, A(r) as a function of radius,
(ii) isi padu silinder, V(A) sebagai fungsi luas tapak.

the volume of the cylinder, V(A) as a function of base area.
(b) Tunjukkan bahawa isi padu silinder, V(r) sebagai fungsi jejari adalah gubahan daripada

kedua-dua fungsi di (a).
Show that the volume of the cylinder, V(r) as a function of radius is the composite of both functions
in (a).
(c) Seterusnya, tentukan nilai r jika V(r) = 90π.
Hence, determine the value of r if V(r) = 90π.

[5 markah/marks]

14

BAB Sukatan MembulatMatematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan MembuTlaint gkatan 5

1 Circular Measure

Fakta dan Rumus Matematik

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. 1. Hubungan antara darjah (o) dan radian 5. Luas L bagi sektor sebuah bulatan dengan
(rad) adalah seperti berikut: pusat O, jejari j dan sudut tercangkum θ
1
The relationship between degree (o) and radian (rad) dalam unit radian diberi oleh L = 2 j2θ .
is as follows:

π rad = 180° The area A of a sector of a circle with centre O,

2. Jadi/So, radius r and subtended angle θ in radians is given
1
by A= 2 r2θ .

1° = π rad atau/or 1 rad = 180° jL
180 π

3. Panjang lengkok s bagi sebuah bulatan Oθ
dengan pusat O, jejari j dan sudut
tercangkum θ dalam unit radian diberi 6. Luas L bagi tembereng sebuah bulatan
oleh s = jθ. dengan pusat O, jejari j dan sudut
tercangkum θ dalam unit radian diberi
The arc length s of a circle with centre O, radius r oleh:
and subtended angle θ in radians is given by s = rθ .
The area A of a segment of a circle with centre O,
radius r and subtended angle θ in radians is given
by:

j s L = luas sektor – luas segi tiga
Oθ
A = area of sector – area of triangle

dengan keadaan/ where
1
4. Panjang perentas AB bagi sebuah bulatan • luas sektor = 2 j2θ (θ dalam radian)
dengan pusat O, jejari j dan sudut
tercangkum θ dalam unit darjah diberi oleh area of sector = 1 r2θ (θ in radians)
2
1
AB = 2j sin θ . • luas segi tiga = 2 j2 sin θ (θ dalam
2 darjah)
1 r2 sin θ (θ in degrees)
The length of chord AB of a circle with centre O, area of triangle = 2
radius r and subtended angle θ in degrees is given
atau s(s – j)(s – j)(s – a), s = j + j+ a
θ 2
by AB = 2r sin 2 . r+ r+a
2
or s(s – r)(s – r)(s – a), s =

B

A θj L j
O a
θ

jO

129

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat

Contoh 1 Penyelesaian π
180°
5 (a) 252o = 252o ×
4
(a) Tukarkan π rad kepada darjah. = 1.4π rad

Convert 5 π rad into degrees. (b) Panjang lengkok BC/Length of arc BC
4 = 5 × 1.4π

(b) Tukarkan 72o kepada radian. = 21.994 cm
Convert 72o into radians.

Perimeter = 21.994 + 5 + 5
StrategiPenerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.
= 31.994 cm

(a) Gunakan/Use 1 rad = 180° . Contoh 3
π
π
(b) Gunakan/Use 1o = 180 rad. Rajah menunjukkan sebuah sektor OPQ dengan
pusat O.
Penyelesaian The diagram shows a sector OPQ with centre O.

(a) 5 π = 5 π × 180°
4 4 π
= 225o P

(b) 72o = 72o × π 2.4 rad
180° O
2 Q
= 5 π rad
Jika perimeter sektor OPQ ialah 35.2 cm, cari
Contoh 2 panjang, dalam cm, perentas PQ.
If the perimeter of sector OPQ is 35.2 cm, find the
Rajah menunjukkan sebuah sektor ABC dengan length, in cm, of chord PQ.
pusat A.
The diagram shows a sector ABC with centre A. Strategi

C • Tentukan jejari daripada perimeter yang diberi.
Determine the radius from the perimeter given.
5 cm • Gunakan nisbah sinus untuk mencari panjang
A
PQ.
Use the sine ratio to find the length of PQ.

Tingkatan 5 252° Penyelesaian
Katakan jejari = j dan panjang lengkok PQ = s
B Let radius = j and length of arc PQ = s

Cari/Find j + j + s = 35.2
[Guna/Use π = 3.142] j + j + j(2.4) = 35.2
2j + 2.4j = 35.2
(a) ∠BAC dalam sebutan π radian, 4.4j = 35.2
∠BAC in terms of π radians, j = 8 cm

(b) perimeter, dalam cm, sektor ABC. Katakan M = titik tengah bagi PQ
the perimeter, in cm, of sector ABC.
Let M = midpoint of PQ

Strategi sin 1.2 = PM
8
(a) Gunakan/Use 1o = π rad.
180 PM = 7.4563 cm

(b) Gunakan panjang lengkok, s = jθ. Panjang PQ/Length of PQ = 2 × 7.4563
Use arc length, s = rθ. = 14.9126 cm

130

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat 

Contoh 4 Contoh 5 SPM

Rajah menunjukkan sebuah sektor OMN dengan Rajah menunjukkan dua sektor, POQ dan SOT
jejari 18 cm dan pusat O. bagi dua bulatan dengan pusat sepunya O.
The diagram shows a sector OMN with a radius of The diagram shows two sectors, POQ and SOT of
18 cm and centre O. two circles with common centre O.

ML O
70°

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. N O

Tingkatan 5Diberi OL = 2LM, cariST
Given OL = 2LM, find
[Guna/Use π = 3.142] PQ
(a) panjang, dalam cm, lengkok MN,
the length, in cm, of arc MN, Sudut yang dicangkum pada pusat O oleh
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. lengkok major PQ ialah 8x rad dan perimeter
the perimeter, in cm, of the shaded region. seluruh rajah ialah 40 cm. Diberi OS = r cm,
2OS = 3PS dan ∠SOT = 2x rad. Ungkapkan r
Strategi dalam sebutan x.
The angle subtended at the centre O by the major arc
(a) Tukarkan unit sudut kepada radian dan cari PQ is 8x rad and the perimeter of the whole diagram
panjang lengkok. is 40 cm. It is given that OS = r cm, 2OS = 3PS and
∠SOT = 2x rad. Express r in terms of x.
Convert the angle unit into radians and find the arc
length. Strategi

(b) Cari panjang tembereng garis LN dengan • Bentukkan satu persamaan yang melibatkan
petua kosinus. perimeter seluruh rajah.

Find the length of line segment LN with cosine rule. Form an equation involving the perimeter of the whole
diagram.

Penyelesaian Penyelesaian

(a) 70° = 70° × 3.142 2OS = 3PS
180°
= 1.2219 rad Jadi/So, PS = 2 OS = 2 r
3 3
2 5
Panjang lengkok MN/Length of arc MN dan/and OP = r + 3 r = 3 r
= 18 × 1.2219
Perimeter = 40 cm
= 21.994 cm

(b) OL : LM = 2 : 1 ⇒ OL : OM = 2 : 3 PQ + PS + TQ + ST = 40

OL = 2 OM = 2 (18) = 12 cm 53 r(8x) + 2 r + 2 r + r(2x) = 40
3 3 3 3

dan/and LM = 18 − 12 = 6 cm 40 rx + 4 r + 2rx = 40
3 3

LN 2 = ON 2 + OL 2 – 2(ON)(OL) kos 70° 46 rx + 4 r = 40
3 3
LN 2 = 182 + 122 – 2(18)(12) kos 70o 46rx + 4r = 120
LN 2 = 320.247
 LN = 17.895 cm 23rx + 2r = 60

r(23x + 2) = 60

Perimeter = 21.994 + 17.895 + 6 r = 60
23x +
= 45.889 cm 2

131

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat Diberi luas sektor major KOL ialah 129.6 cm2,
cari
Contoh 6 Given the area of major sector KOL is 129.6 cm2, find
[Guna/Use π = 3.142]
Rajah menunjukkan sebuah sektor AOB dengan
pusat O. (a) jejari, dalam cm, bagi bulatan itu,
The diagram shows a sector AOB with centre O. the radius, in cm, of the circle,

B (b) panjang, dalam cm, lengkok minor KL.
the length, in cm, of minor arc KL.
11.4 cm

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.A Strategi
O
(a) Tentukan sudut major KOL dan gunakan
1
Diberi perimeter bagi sektor ialah 35.4 cm, cari L = 2 j 2θ.
Given the perimeter of the sector is 35.4 cm, find
Determine the major angle KOL and use A = 1 r 2θ.
(a) ∠AOB dalam radian, 2
∠AOB in radians, (b) Gunakan s = jθ./Use s = rθ.

(b) luas, dalam cm2, sektor AOB. Penyelesaian
the area, in cm2, of sector AOB.
(a) Sudut major KOL/Major angle KOL
Strategi = 2π – 2.234
= 2(3.142) – 2.234
(a) Gunakan s = jθ./Use s = rθ. = 4.05 rad
Luas/Area = 129.6 cm2
(b) Gunakan L = 1 j 2θ./Use A = 1 r 2θ. 12  j 2(4.05j 2) == 16249.6
2 2 j = 8 cm

Penyelesaian (b) s = 8 × 2.234
= 17.872 cm
(a) j + j + 11.4 = 35.4
Contoh 8
2j = 24
Rajah menunjukkan sebuah sektor MON dengan
j = 12 cm pusat O.
The diagram shows a sector MON with centre O.
11.4 = 12θ
N
θ = 0.95

Tingkatan 5 ∠AOB = 0.95 rad

(b) Luas/Area = 1 (12)2(0.95)
2
= 68.4 cm2

Contoh 7 10 cm

MO
Rajah menunjukkan sebuah bulatan dengan
pusat O. Diberi luas sektor ialah 62.5 cm2, cari
The diagram shows a circle with centre O. Given that the area of sector is 62.5 cm2, find
(a) ∠MON dalam radian,
K ∠MON in radians,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
O the area, in cm2, of the shaded region.
2.234 rad

L

132

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat 

Strategi Strategi

(a) Gunakan L = 1 j 2θ./Use A = 1 r 2θ. (a) Gunakan s = jθ./Use s = rθ.
2 2 (b) Luas kawasan berlorek/Area of shaded region
= luas segi tiga OPQ – luas sektor POR
(b) Luas kawasan berlorek/Area of shaded region area of triangle OPQ – area of sector POR
= luas sektor – luas segi tiga MON
area of sector – area of triangle MON

Penyelesaian Penyelesaian
(a) 12 (10)2θ = 62.5
50θ = 62.5 (a) 14θ = 12.194
θ = 1.25
θ = 0.871 rad
∠MON = 1.25 rad
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. ∠POR = π – 0.871
2
Tingkatan 5
= 0.7 rad

(b) Luas segi tiga MON/Area of triangle MON (b) OR = OS
Jadi/So, OQ = 2(14) = 28 cm
1
= 2 (10)2 sin 1.25 Luas kawasan berlorek/Area of shaded region

= 47.449 cm2 = 1 (14)(28) sin 0.7 − 1 (14)2(0.7)
2 2
Luas kawasan berlorek/Area of shaded region
= 62.5 – 47.449 = 126.267 − 68.6

= 15.051 cm2 = 57.667 cm2

Contoh 9 Contoh Soalan KBAT 1

Dalam rajah, OPQ ialah sebuah segi tiga dan Rajah menunjukkan sebuah kebun dengan
OPS ialah sukuan sebuah bulatan dengan pusat keadaan ABC ialah sebuah sektor dengan pusat
O. A dan jejari 150 m.
In the diagram, OPQ is a triangle and OPS is the The diagram shows an orchard where ABC is a sector
quadrant of a circle with centre O. with centre A and a radius of 150 m.

Q C
S
D
R
BA
OP
Hendon ingin menanam durian di kawasan
Diberi bahawa OS = 14 cm, OQ = 2OR dan berlorek. Diberi bahawa 3AD = 2DC. Hitung
panjang lengkok RS = 12.194 cm. Cari Hendon wants to plant durians in the shaded region.
It is given that OS = 14 cm, OQ = 2OR and the length It is given that 3AD = 2DC. Calculate
of arc RS = 12.194 cm. Find
[Guna/Use π = 3.142] (a) ∠BAC dalam radian,
∠BAC in radians,
(a) ∠POR dalam radian,
∠POR in radians, (b) jumlah kos untuk memagar kawasan
berlorek, jika kos pagar ialah RM20 semeter,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
the area, in cm2, of the shaded region. the total cost to fence the shaded region, if the
cost of the fence is RM20 per metre,

(c) luas, dalam m2, kawasan yang akan ditanam
dengan durian.

the area, in m2, of the region to be planted with
durians.

133

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat Diberi bahawa panjang lengkok MN dan PQ
masing-masing ialah 3 cm dan 7.8 cm.
Strategi PN = 8 cm. Cari
It is given that the length of arcs MN and PQ are
(a) Tentukan panjang AD dan gunakan nisbah 3 cm and 7.8 cm respectively. PN = 8 cm. Find
kosinus. [Guna/Use π = 3.142]

Determine the length of AD and use the cosine ratio. (a) nilai r dan nilai θ,
(b) Gunakan s = jθ./Use s = rθ. the value of r and of θ,
(c) Luas kawasan berlorek/Area of shaded region
= luas sektor ABC – luas segi tiga ABD (b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
area of sector ABC – area of triangle ABD the area, in cm2, of the shaded region.

Strategi

(a) Bentukkan dua persamaan untuk panjang
lengkok dan selesaikan persamaan serentak.

Form two equations for arc length and solve the
simultaneous equations.

(b) Tolak luas sektor daripada luas segi tiga.
Subtract area of sector from area of triangle.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.Penyelesaian

(a) AD : DC = 2 : 3 ⇒ AD : AC = 2 : 5

AD = 2 (150) = 60 m
5

kos ∠BAC = 60
150

∠BAC = 1.1593 rad

(b) sBC = 150 × 1.1593 = 173.895 m Penyelesaian
BD = 1502 – 602 = 137.477 m
(a) Untuk lengkok MN/For arc MN,
DC = 3 (60) = 90 m rθ = 3 .......a
2
Untuk lengkok PQ/For arc PQ,
Perimeter kawasan berlorek (r + 8)θ = 7.8
Perimeter of shaded region  rθ + 8θ = 7.8 .......b

= 173.895 + 137.477 + 90 Gantikan a ke dalam b,
= 401.372 m Substitute a into b,
3 + 8θ = 7.8
Jumlah kos/Total cost = 401.372 × RM20 8θ = 4.8
θ = 0.6
= RM8 027.44
Gantikan θ = 0.6 ke dalam a,
(c) Luas kawasan berlorek Substitute θ = 0.6 into a,

Area of shaded region r(0.6) = 3
r = 5
= 1 (150)2(1.1593) − 1 (60)(137.477)
2 2
Tingkatan 5
= 13 042.125 – 4 124.31

= 8 917.815 m2

Contoh Soalan KBAT 2 SPM (b) OP = 5 + 8
= 13 cm
Rajah menunjukkan sebuah bulatan dan sektor

sebuah bulatan dengan pusat sepunya O. Jejari 1 1
2 2
bulatan itu ialah r cm. Luas/Area = (13)2 sin 0.6 – (5)2(0.6)

The diagram shows a circle and the sector of a circle = 47.712 − 7.5

with a common centre O. The radius of the circle is = 40.212 cm2

r cm.

P
N r cm
O
M θ rad

Q

134

Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat 

Masteri SPM

Kertas 1 3. Dalam rajah, AB dan CD ialah dua lengkok
dengan pusat sepunya O.
1. Rajah menunjukkan sebuah sektor OPQ In the diagram, AB and CD are two arcs with
dengan pusat O. the common centre O.
The diagram shows a sector OPQ with centre O.
B
C
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.
Q 0.8 rad O
Tingkatan 5AD
7 cm
135°
P O Diberi OD = 2AD dan luas kawasan berlorek
ialah 32 cm2, cari perimeter, dalam cm,
Cari/Find kawasan berlorek.
Given OD = 2AD and the area of the shaded
[Guna/Use π = 3.142] region is 32 cm2, find the perimeter, in cm, of the
(a) ∠POQ dalam sebutan π radian, shaded region.
∠POQ in terms of π radians,
[3 markah/marks]
(b) perimeter, dalam cm, sektor OPQ.
the perimeter, in cm, of sector OPQ. 4. Rajah menunjukkan dua buah sektor, AOB
SPM dan POQ bagi dua bulatan dengan pusat
[4 markah/marks]
sepunya O.
2. Rajah menunjukkan sebuah sektor OPQ The diagram shows two sectors, AOB and POQ
dengan pusat O. of two circles with the common centre O.
The diagram shows a sector OPQ with centre O.

Q A
P

9 cm

O

P O QB



Jika perimeter bagi sektor OPQ ialah Sudut yang dicangkum pada pusat
O oleh lengkok major PQ ialah 5k rad
28.8 cm, cari dan perimeter seluruh rajah ialah 60 cm.
If the perimeter of sector OPQ is 28.8 cm, find Diberi bahawa OP = r cm, OP = 2PA
(a) ∠POQ dalam radian, dan ∠AOB = 3k rad. Ungkapkan r dalam
sebutan k.
∠POQ in radians, The angle subtended at the centre O by the
major arc PQ is 5k rad and the perimeter of
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. the whole diagram is 60 cm. It is given that
the perimeter, in cm, of the shaded region. OP = r cm, OP = 2PA and ∠AOB = 3k rad.
Express r in terms of k.
[4 markah/marks]
[3 markah/marks]

135

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat

5. Rajah menunjukkan sebuah jam dinding Diberi perimeter bagi seluruh rajah ialah
dengan jarum minit sepanjang 12 cm dan 39 cm, cari
hujung jarum minit ditanda sebagai titik P. Given the perimeter of the whole diagram is
The diagram shows a wall clock with a minute 39 cm, find
hand of length 12 cm and the tip of the minute (a) panjang lengkok XY/the length of arc XY,
hand is marked as point P. (b) luas sektor OXY/the area of sector OXY.
[4 markah/marks]
11 12 1
10 2 8. Rajah menunjukkan sektor OPQ dengan
pusat O.
The diagram shows a sector OPQ with centre O.

P
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.93

8 12 cm 4

7 6P 5

Masa yang ditunjukkan oleh jam itu ialah O 0.75 rad
1:30 p.m. Tentukan jarak, dalam cm, yang RQ
dilalui oleh titik P apabila masa yang
ditunjukkan oleh jam itu ialah 2:05 p.m. Diberi jejari sektor itu ialah 14 cm, cari
The time shown by the clock is 1:30 p.m. Given the radius of the sector is 14 cm, find
Determine the distance, in cm, covered by point
P when the time shown by the clock is 2:05 p.m. (a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek,
the perimeter, in cm, of the shaded region,
[Guna/Use π = 3.142]
[3 markah/marks] (b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
the area, in cm2, of the shaded region.
6. Rajah menunjukkan sebuah sektor OMN
dengan pusat O dan jejari 12 cm. [4 markah/marks]
The diagram shows a sector OMN with centre O
and radius 12 cm. 9. Rajah menunjukkan sebuah sektor POR
dengan pusat O.
N The diagram shows a sector POR with centre O.

R

r

M O θO

Tingkatan 5 Diberi panjang perentas MN ialah 20 cm,

cari P
Given that the length of chord MN is 20 cm, find
(a) ∠MON dalam radian/ in radians, Diberi panjang lengkok PR ialah x cm dan
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. luas sektor POR ialah 24 cm2.
It is given that the length of arc PR is x cm and
the area, in cm2, of the shaded region. the area of sector POR is 24 cm2.

[4 markah/marks] (a) Ungkapkan r dalam sebutan x.

7. Rajah menunjukkan sebuah sektor OXY Express r in terms of x.

dengan pusat O. (b) Jika panjang lengkok adalah tiga kali

The diagram shows a sector OXY with centre O. ganda jejari lengkok itu, cari

If the arc length is thrice the radius of the

4.5 rad arc, find
XO (i) θ dalam radian/θ in radians,

(ii) nilai r dan nilai x.
the value of r and of x.

[6 markah/marks]

Y

136

10. Rajah menunjukkan sebuah rombus OPQR Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat 
SPM yang terterap dalam sektor OPR dengan
12. Rajah menunjukkan pelan bagi suatu
pusat O dan jejari r cm. kawasan. Kawasan berlorek ialah taman
The diagram shows a rhombus OPQR inscribed bunga yang perlu dipagar. AB dan CD ialah
in sector OPR with centre O and radius r cm. lengkok dengan pusat sepunya O.
The diagram shows the plan of an area. The
Q shaded region is a garden that needed to be
fenced. AB and CD are arcs with the common
centre O.

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.Pα radR
O
Tingkatan 5 D C
A B
Diberi luas sektor OPR ialah 18 cm2,
O
ungkapkan
Given the area of sector OPR is 18 cm2, express Diberi ∠AOB = 2 rad dan OC = 38 m, cari
(a) α dalam sebutan r, Given ∠AOB = 2 rad and OC = 38 m, find
(a) luas, dalam m2, keseluruhan kawasan
α in terms of r, itu,
the area, in m2, of the whole area,
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek
(b) panjang, dalam m, dawai pagar yang
dalam sebutan r. diperlukan untuk memagari taman
the perimeter, in cm, of the shaded region bunga itu.
in terms of r. the length, in m, of fencing wire needed to
fence the garden.
[3 markah/marks]
[4 markah/marks]
11. Rajah menunjukkan sebuah bulatan dengan
SPM pusat A.

The diagram shows a circle with centre A.

D

Kertas 2

C x rad A

B 1. Dalam rajah, ACD ialah sebuah segi tiga
bersudut tegak dan BD ialah lengkok bagi
BC dan DC masing-masing ialah tangen sebuah bulatan dengan pusat A dan jejari
12 cm.
kepada bulatan itu pada titik-titik B dan D. In the diagram, ACD is a right-angled triangle
and BD is the arc of a circle with centre A and
Diberi bahawa panjang lengkok minor BD radius 12 cm.
10
ialah 6 cm dan AC = x cm. Ungkapkan C
dalam sebutan x, B

BC and DC are tangents to the circle at points B

and D respectively. It is given that the length of
10
minor arc BD is 6 cm and AC = x cm. Express A D
in terms of x,

(a) jejari r bulatan itu, Diberi AB = 4BC, cari
Given AB = 4BC, find
the radius r of the circle, [Guna/Use π = 3.142]

(b) luas kawasan berlorek. (a) ∠CAD dalam radian,
∠CAD in radians,
the area of the shaded region. [2 markah/marks]

[4 markah/marks]

137

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat (a) ∠POQ dalam radian,
∠POQ in radians,
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, [2 markah/marks]
the perimeter, in cm, of the shaded region,
[3 markah/marks] (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek,
the perimeter, in cm, of the shaded region,
(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. [4 markah/marks]
the area, in cm2, of the shaded region.
[3 markah/marks] (c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
the area, in cm2, of the shaded region.
2. Rajah menunjukkan sebuah sektor OAB [4 markah/marks]
dengan pusat O. Segi tiga OAC ialah
sebuah segi tiga sama kaki dengan keadaan 4. Rajah menunjukkan sebuah segi tiga
OA = AC = 16 cm. SPM bersudut tegak OPQ dan sebuah sektor OPS
The diagram shows a sector OAB with centre
O. Triangle OAC is an isosceles triangle where dengan pusat O.
OA = AC = 16 cm. The diagram shows a right-angled triangle OPQ
and a sector OPS with centre O.
A
Q

S
R

8 cm
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.O
BC

Diberi bahawa OC : CB = 3 : 1. Cari P 50° O
It is given that OC : CB = 3 : 1. Find
Tingkatan 5 Diberi bahawa panjang lengkok RS ialah
[Guna/Use π = 3.142] 2.8 cm, cari
(a) ∠AOB dalam radian, Given that the length of arc RS is 2.8 cm, find
∠AOB in radians,
[Guna/Use π = 3.142]
[2 markah/marks] (a) ∠ROS dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, ∠ROS in radians,

the perimeter, in cm, of the shaded region, [2 markah/marks]
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
[3 markah/marks]
(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. the area, in cm2, of the shaded region.

the area, in cm2, of the shaded region. [4 markah/marks]

[5 markah/marks]

3. Rajah menunjukkan sebuah sektor POQ 5. Rajah menunjukkan sebuah sektor OPQ
dengan pusat O dan jejari 18 cm. dengan pusat O.
The diagram shows a sector POQ with centre O The diagram shows a sector OPQ with centre O.
and radius 18 cm.
Q A 0.848 rad O
P B

S

OT Q P

ABP ialah sebuah sektor dengan pusat P
dengan keadaan AP = 12 cm. Cari
Diberi bahawa TQ = 2OT dan S ialah titik ABP is a sector with centre P where AP = 12 cm.
tengah OP. Hitung Find
It is given that TQ = 2OT and S is the midpoint
of OP. Calculate [Guna/Use π = 3.142]

[Guna/Use π = 3.142]

138

(a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat 
the perimeter, in cm, of the shaded region,
[4 markah/marks] Zuki ingin menanam durian di kawasan
berlorek. Diberi AQ = QC = 130 m dan
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. BC = 250 m.
the area, in cm2, of the shaded region. Zuki wants to plant durians in the shaded region.
[4 markah/marks] Given that AQ = QC = 130 m and BC = 250 m.

6. Rajah menunjukkan pelan bagi kebun Zuki [Guna/Use π = 3.142]
dengan keadaan APQ ialah sebuah sektor (a) Jika Zuki ingin memagar kawasan
dengan pusat A terterap di dalam segi tiga tanaman durian dan kos dawai pagar
ABC. ialah RM30 per m, hitung jumlah kos
The diagram shows the plan of Zuki’s farm where untuk memagar kawasan itu.
APQ is a sector with centre A inscribed in the If Zuki wants to fence the region planted
triangle ABC. with durians and the cost of fencing wire
is RM30 per m, calculate the total cost to
B fence the region.
P [4 markah/marks]
(b) Cari luas, dalam m2, kawasan yang
ditanam durian.
Find the area, in m2, of the region planted
with durians.
[4 markah/marks]
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.C

Tingkatan 5 Q 1.2 rad
A

Soalan KBAT

1. Rajah menunjukkan sebuah logo yang dilukis oleh Sydney untuk Persatuan Robotik sekolahnya.
The diagram shows a logo drawn by Sydney for the Robotic Association of her school. KBAT Menganalisis



Ketiga-tiga kawasan berlorek dalam logo itu adalah kongruen. Diberi perimeter bagi kawasan
berlorek ialah 28π cm. Cari
The three shaded regions in the logo are congruent. It is given that the perimeter of the shaded region is
28π cm. Find

[Guna/Use π = 3.142]
(a) jejari, dalam cm, logo itu,
the radius, in cm, of the logo,
[3 markah/marks]
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
the area, in cm2, of the shaded region.
[4 markah/marks]

139

  Matematik Tambahan  SPM  Bab 1  Sukatan Membulat

2. Rajah menunjukkan suatu logo yang dicadangkan oleh ahli Kelab Reka Cipta. KBAT Menganalisis
The diagram shows a logo suggested by members of the Invention Club.

O

120°
PQ

A BC
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.
OAC merupakan sebuah segi tiga sama kaki. Sektor OPQ dengan pusat O terterap di dalam segi tiga
itu dengan keadaan sisi AC ialah tangen kepada lengkok PQ di B. Diberi bahawa ∠POQ = 120o dan

AC = 100 cm.
OAC is an isosceles triangle. Sector OPQ with centre O is inscribed in the triangle where the side AC is a
tangent to the arc PQ at B. It is given that ∠POQ = 120o and AC = 100 cm.

[Guna/Use π = 3.142]

(a) Cari/Find

(i) panjang, dalam cm, OP,

the length, in cm, of OP,

(ii) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.

the perimeter, in cm, of the shaded region. [6 markah/marks]

(b) Isaac ingin mengecat kawasan yang berlorek dengan cat merah. Hitung luas permukaan,

dalam cm2, yang perlu dicat olehnya.

Isaac wants to paint the shaded region with red paint. Calculate the surface area, in cm2, that needs
to be painted by him.

[4 markah/marks]

Tingkatan 5 3. Dalam rajah, PQRS ialah pelan sebuah taman riadah yang berbentuk semibulatan. Kawasan berlorek
merupakan taman permainan kanak-kanak. KBAT Menganalisis

In the diagram, PQRS is the plan of a semicircle-shaped leisure park. The shaded region is a children’s
playground.

S

P QR

SQ ialah lintasan batu refleksologi yang merupakan suatu lengkok dengan pusat P. Diberi bahawa

PR = 48 m dan PQ : QR = 2 : 1. Cari
SQ is a reflexology stone path which is an arc with centre P. It is given that PR = 48 m and PQ : QR = 2 : 1.

Find

[Guna/Use π = 3.142] [3 markah/marks]

(a) ∠SPQ dalam radian,
∠SPQ in radians,

(b) panjang, dalam m, lintasan batu refleksologi,

the length, in m, of the reflexology stone path, [2 markah/marks]

(c) luas, dalam m2, taman permainan kanak-kanak.

the area, in m2, of the children’s playground. [5 markah/marks]

140

  Matematik Tambahan  SPM  Jawapan

Jawapan

https://plus.pelangibooks.com/Resources/
PelangiAnalysis2022/MatematikTambahan/Jawapan.pdf

Tingkatan 4 (b) Fungsi g mempunyai fungsi songsang kerana g
ialah fungsi satu dengan satu.
Function g has an inverse function because g is a
one-to-one function.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved.BABFungsi
Functions
1

Masteri SPM 11. (a) g−1(x) = x + 6 (b) p = 2
4
x – 1 (b) f(x) = x2
Kertas 1 12. (a) g−1(x) = 5 – 3

4 4 13. (a) f(x)  –3 (b) f  –1(x)  –2
3 3
1. I:j→ πj2 atau/or I(j) = πj2 14. (a) Untuk kadar denyutan nadi Encik Salleh menjadi
100 denyutan per minit, dia mesti berehat selama
2. Domain = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 6 minit.
For Mr Salleh’s pulse rate to be 100 pulses per minute,
Julat/Range = {0, 1, 2, 3, 4} he must rest for 6 minutes.

3. Domain = {0°, 90°, 180°, 270°, 360°} (b) 10 minit/minutes
Julat/Range = {−1, 0, 1}

4. (a) 10 (b) t = 2 (c) 0  f(x)  10 Kertas 2
3
3
5. (a) p = 5 1. (a) m = 81, k = 9 (b) gh(x) = 2x – 1

(b) Domain f ialah x  , x ≠ 3 . 2. (a) (i) –9 11
Domain of 5 3
3 (ii) h =
f is x  , x ≠ 5 .

Julat f ialah y  , y ≠ 0. (iii) fg(x) = 5 − 6x

Range of f is y  , y ≠ 0. (b) y

(c) x = – 52 , x = 1 13 y = |5 – 6x|
11

6. h= m–4 5
2

7. (a) 6 x
3
(b) x = −1 atau/or x = −2 –1 O 5
6
(c) −2  x  −1
Julat/Range: 0  y  13
(d) x  −3 atau/or x  0

8. A B C D 3. (a) (i) k = 1 , t = 1 (ii) 0  y  7
✓ 2
✓✓ 5
✓ (b) (i) gf  –1(x) = 2 – 2x

✓ (ii) h(x) = –  81 x

4. (a) (i) f  –1(x) = x – 1

9. (a) 0 (b) 2 (ii) gf  –1(x) = 2x2 + x − 1
(c) 0 (d) −2
(b) x = 3 atau/or x = –5
2
x + 3
10. (a) Fungsi f tidak mempunyai fungsi songsang kerana f 5. (a) f  –1(x) = 4
bukan fungsi satu dengan satu.
Function f does not have an inverse function because f (b) f  –1g(x) = x + 1
is not a one-to-one function. 8

(c) h(x) = 6x + 3

260

Matematik Tambahan  SPM  Jawapan 

6. (a) p = 2, q = –5 Tingkatan 4 Fungsi Kuadratik
(b) (i) x  0 Quadratic Functions
(ii) f  2(x) = 2x – 5 BAB
27 – 10x
2

7. (a) 1 Masteri SPM
(b) (i) f(x)  –5

(ii) f  –1(x) = 1 + x + 5

(iii) y Kertas 1

y=x   1. (a) f  (x) = 3 2 9
2 4
y = f –1(x) x x+ + p –
(–5, 1) y = f(x)
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. 45
O (b) p = 4

(1, –5) 2. h = 9 atau/or h = 3
3
(iv) x = 4
3. p = q

8. (a) Dalam ujian garis mengufuk, garis mengufuk 4. x2 + 9x + 16 = 0
akan memotong graf pada dua titik, maka f bukan
hubungan satu dengan satu dan tidak mempunyai 5. (a) p = – 243 (b) p = 16
fungsi songsang.
In the horizontal line test, the horizontal line will cut 6. (a) –25 (b) h : k = 9 : 4
the graph at two points, therefore f is not a one-to-one
relation and does not have an inverse function. 7. x < –1 atau/or x > 8

(b) f  2(x) = 8 + x2 8. –4  x  1
(c) (i) Sebarang nilai yang lebih atau sama dengan 2

sifar. 9. h = –3, k = 1
Any value that is more than or equal to zero.
(ii) g –1(x) = x2 – 4 1 0. q 3
4

3x – 9 11. p 47
2 24
9. (a) g(x) =
1 2. h  – 98
(b) fg(x) = x, gf(x) = x

(c) fg(x) = gf(x) = x, dengan g(x) ialah fungsi 1 3. (a) x2 – 6x – 5 = 0
songsang bagi f(x).
fg(x) = gf(x) = x, with g(x) being the inverse function (b) 6
of f(x).
(c) Dua punca nyata dan berbeza
Two distinct real roots

Soalan KBAT 1 4. (a) h = –2 (b) k = –9

15. (a) (5, –49) (b) x = 5 (c) –2  x  12

1. (a) Harga jualan − kos = keuntungan 1 6. (a) p = 5, q = 1 (b) n = 9

Sales price − cost  profit

0.9f(x) − x = 0.2x 1 7. 1.25 cm

0.9f(x) = 1.2x Kertas 2
190  f(x) = 1102x 1. (a) p  1
4 2. (a) q = –9 (b) p = 41 , q = – 43
3 4
f(x) = x

(b) (i) RM160 (b) f(x)

(ii) RM270

2. (a) (i) A(r) = πr2 48
(ii) V(A) = 10A f(x) = 3(x – 5)2 – 27

(b) V(r) = VA(r) 21
= V(πr2)
= 10πr2 O 2 5 89 x
(c) r = 3
–27

(c) g(x) = –3(x – 5)2 + 27

261

AC018132

Tingkatan 4 & 5Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved. PELANGI ANALYSIS SPM

MATEMATIK TAMBAHAN Matematik Tambahan
(DWIBAHASA) (DWIBAHASA)

• Fakta dan Rumus Matematik memberikan semakan cepat Tingkatan 4 & 5
tentang rumus dan konsep penting yang telah dipelajari.

• Contoh Penyelesaian dan Strategi memaparkan cara serta
panduan menjawab soalan dengan sistematik dan tepat.

• Masteri SPM terdiri daripada soalan-soalan yang setaraf
dengan piawai SPM.

• Soalan KBAT membantu perkembangan kemahiran berfikir
aras tinggi.

• Kertas Model SPM menguji kefahaman murid dalam
peperiksaan sebenar.

• Langkah Penyelesaian Penuh bagi semua soalan
disediakan dalam kod QR.

W.M: RM22.95 / E.M: R22.95

AC018132
ISBN: 978-967-0007-15-1