Module & More Matematik Tingkatan 5

TINGKATAN KSSM Bonus Digital Lembaran PBD dengan Jawapan MoRE MoRE ModulE ModulE && Terkini SPM Format Eksklusif Eksklusif PELANGI ONLINE TEST https://qr.pelangibooks.com/?u=POTM5 Buku Teks KSSM PELANGI BESTSELLER Pembelajaran BERPANDU dan SISTEMATIK Praktis Ekstra SPM Kod QR Lembaran PBD Kod QR Jawapan Kod QR i-THINK/KBAT Klu Soalan Praktis SPM Studi 1 Minit Latihan modular S. C. Tan Ong Yunn Tyug MATEMATIK Mathematics DWIBAHASA

iii Bab 1 Ubahan 1 Variation 1.1 Ubahan Langsung..........................................................................1 Direct Variation Studi 1 Minit 1.2 Ubahan Songsang ..........................................................................9 Inverse Variation Studi 1 Minit 1.3 Ubahan Bergabung ......................................................................14 Combined Variation Studi 1 Minit Praktis SPM 1 .......................................................................................17 Praktis Ekstra SPM 1 Kod QR .................................................... 17 Sudut KBAT ........................................................................................ 20 .................................................................................................. 20 Bab 2 Matriks 21 Matrices 2.1 Matriks .........................................................................................21 Matrices Studi 1 Minit 2.2 Operasi Asas Matriks..................................................................23 Basic Operation on Matrices Studi 1 Minit Praktis SPM 2 .......................................................................................37 Praktis Ekstra SPM 2 Kod QR .................................................... 37 Sudut KBAT ........................................................................................ 41 .................................................................................................. 41 Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans 42 Consumer Mathematics: Insurance 3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans............................................42 Risk and Insurance Coverage Studi 1 Minit Praktis SPM 3 .......................................................................................51 Praktis Ekstra SPM 3 Kod QR .................................................... 51 Sudut KBAT ........................................................................................ 54 .................................................................................................. 54 Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian 55 Consumer Mathematics: Taxation 4.1 Percukaian.....................................................................................55 Taxation Studi 1 Minit Praktis SPM 4 .......................................................................................64 Praktis Ekstra SPM 4 Kod QR .................................................... 64 Sudut KBAT ........................................................................................ 66 .................................................................................................. 66 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi 67 Congruency, Enlargement and Combined Transformations 5.1 Kekongruenan ..............................................................................67 Congruency Studi 1 Minit 5.2 Pembesaran...................................................................................71 Enlargement Studi 1 Minit 5.3 Gabungan Transformasi..............................................................74 Combined Transformation Studi 1 Minit 5.4 Teselasi...........................................................................................82 Tessellation Studi 1 Minit Praktis SPM 5 .......................................................................................84 Praktis Ekstra SPM 5 Kod QR .................................................... 84 Sudut KBAT ........................................................................................ 91 .................................................................................................. 91 Kandungan KAND MODULE MATH TG5 1P.indd 3 10/01/2023 4:32 PM

iv Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri 92 Ratios and Graphs of Trigonometric Functions 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut q, 0° < q < 360° ..............................................................................92 The Value of Sine, Cosine and Tangent for Angle q, 0° < q < 360° Studi 1 Minit 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen...................................97 The Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions Studi 1 Minit Praktis SPM 6 ................................................................................... 100 Praktis Ekstra SPM 6 Kod QR ................................................. 100 Sudut KBAT ..................................................................................... 104 ............................................................................................... 104 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul 105 Measures of Dispersion for Grouped Data 7.1 Serakan ...................................................................................... 105 Dispersion Studi 1 Minit 7.2 Sukatan Serakan....................................................................... 120 Measures of Dispersion Studi 1 Minit Praktis SPM 7 ................................................................................... 127 Praktis Ekstra SPM 7 Kod QR ................................................. 127 Sudut KBAT ..................................................................................... 133 ............................................................................................... 133 Jawapan https://plus.pelangibooks.com/Resources/ Module&More2023/MatematikT5/Jawapan.pdf Lembaran PBD dan Jawapan https://plus.pelangibooks.com/Resources/ Module&More2023/MatematikT5/Lembaran.pdf Bab 8 Pemodelan Matematik 134 Mathematical Modeling 8.1 Pemodelan Matematik ..............................................................134 Mathematical Modeling Studi 1 Minit Praktis SPM 8 .....................................................................................140 Praktis Ekstra SPM 8 Kod QR ................................................. 140 Sudut KBAT ..................................................................................... 143 ............................................................................................... 144 Kertas Model SPM ....................................................................145 KAND MODULE MATH TG5 1P.indd 4 10/01/2023 4:33 PM

v Nama Murid: ................................................................. Kelas: ............................................. Bab Tahap penguasaan Tafsiran Penguasaan (✓) Menguasai (✗) Belum menguasai 1 UBAHAN 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan. 2 Mempamerkan kefahaman tentang ubahan. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 2 MATRIKS 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang matriks. 2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 3 MATEMATIK PENGGUNA: INSURANS 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang insurans. 2 Mempamerkan kefahaman tentang insurans. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang insurans untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 4 MATEMATIK PENGGUNA: PERCUKAIAN 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang percukaian. 2 Mempamerkan kefahaman tentang percukaian. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang percukaian untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid Matematik Tingkatan 5 Versi Dwibahasa REKOD 1 MODULE MATH TG5.indd 5 10/01/2023 10:13 AM

vi Bab Tahap penguasaan Tafsiran Penguasaan (✓) Menguasai (✗) Belum menguasai 5 KEKONGRUENAN, PEMBESARAN DAN GABUNGAN TRANSFORMASI 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi. 2 Mempamerkan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 6 NISBAH DAN GRAF FUNGSI TRIGONOMETRI 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri. 2 Mempamerkan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 7 SUKATAN SERAKAN DATA TERKUMPUL 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul. 2 Mempamerkan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 8 PEMODELAN MATEMATIK 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pemodelan matematik. 2 Mempamerkan kefahaman tentang pemodelan matematik. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pemodelan matematik untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi linear. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi kuadratik dan eksponen. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi kuadratik dan eksponen secara kreatif. REKOD 1 MODULE MATH TG5.indd 6 10/01/2023 10:13 AM

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 1 1. Apabila pemboleh ubah y bertambah, pemboleh ubah x juga bertambah pada kadar yang sama, dan sebaliknya. Hubungan ini dikenali sebagai ubahan langsung dan boleh ditulis sebagai y berubah secara langsung dengan x. When variable y increases, variable x also increases at the same rate, and vice versa. This relation is known as direct variation and can be written as y varies directly as x. 2. Graf y melawan x bagi hubungan langsung ialah graf garis lurus yang melalui asalan. Graph of y against x for a direct variation is a straight line graph that passes through the origin. 3. Ubahan tercantum ialah ubahan langsung dengan keadaan satu pemboleh ubah berubah sebagai hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah yang lain. Joint variaton is a direct variation such that one variable varies as a product of two or more variables. Ubahan Variation Langsung Direct Tercantum Joint Hubungan ubahan Variation relation y ∝ xn y ∝ xmzn Bentuk persamaan Equation form y = kxn y = kxmzn dengan keadaan / where m = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 , n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 k = pemalar / constant 1. Lengkapkan peta pelbagai alir di bawah berdasarkan situasi yang diberikan. TP1 Complete the multi-flow map below based on the given situation. Jika jisim ayam yang dijual bertambah 4 kali ganda, If the weights of the chickens sold increase 4 times, (a) jumlah jualan ayam bertambah 4 kali ganda. the total sales of chickens increase 4 times. (b) jumlah jualan ayam berkurang 4 kali ganda. the total sales of chickens decrease 4 times. Jika jisim ayam yang dijual berkurang 4 kali ganda, If the weights of the chickens sold decrease 4 times, Situasi / Situation: Jumlah jualan ayam berubah secara langsung dengan jisim ayam yang dijual. The total sale of chicken varies directly as the weight of the chicken sold. m = k y O x Bab 1 Ubahan Variation Ubahan Langsung Direct Variation 1.1 STUDI 1 Minit Buku Teks: 2 – 16 Analisis Soalan SPM 2021 Kertas 1 Kertas 2 S9, S27 S5 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 1 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 2 CONTOH 2. Tandakan (✓) pada graf yang mewakili hubungan y berubah secara langsung dengan x dan (7) jika bukan. Mark (✓) on the graph that represents the relation of y varies directly as x and (7) if not. TP1 (a) O x y 3 (b) O x y 7 (c) O x y 7 3. Nyatakan hubungan antara pemboleh ubah yang diberikan dalam bentuk ubahan dan persamaan dengan keadaan k ialah pemalar. TP2 State the relation of the variables given in variation form and equation form where k is a constant. Ubahan / Variation Persamaan / Equation y berubah secara langsung dengan x2 . y varies directly as x2. y  x2 y = kx2 (a) p berubah secara langsung dengan q3 . p varies directly as q3. p  q3 p = kq3 (b) s berubah secara langsung dengan punca kuasa dua t. s varies directly as the square root of t. s  t 1 2 s  t s = kt 1 2 s = kt (c) Lilitan sebuah bulatan, C berkadar langsung dengan jejari, j bulatan itu. The circumference of a circle, C is directly proportional to the radius, j of the circle. C  j C = kj (d) w berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga h. w varies directly as the cube root of h. w  h1 3 w  3 h w = kh1 3 w = k3  h (e) v berubah secara langsung dengan kuasa dua q. v varies directly as the square of q. v  q2 v = kq2 4. Lengkapkan jadual berikut dan seterusnya, tentukan sama ada pemboleh ubah yang diberikan mempunyai hubungan ubahan langsung atau tidak. Jika ya, tuliskan persamaan yang menghubungkan pemboleh ubah itu. TP3 Complete the following table and hence, determine whether the given variables have a direct variation relation or not. If yes, write the equation that relates the variables. x 216 343 729 1 728 2 197 y 12 14 18 24 26 y 3 x 2 2 2 2 2 Ya, pemboleh ubah mempunyai hubungan ubahan langsung. Yes, the variables have a direct variation relation. y = 23x. (a) x 1 1.5 2 3.25 y 13 19.5 26 42.25 y x 13 13 13 13 Ya, pemboleh ubah mempunyai hubungan ubahan langsung. Yes, the variables have a direct variation relation. y = 13x CONTOH 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 2 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 3 CONTOH (b) x 4 9 20.25 25 y 40 60.3 90 100.5 y x 20 20.1 20 20.1 Pemboleh ubah tidak mempunyai hubungan ubahan langsung. The variables have no direct variation relation. (c) x 1.1 2 2.2 3 y 266.2 1 600 2 129.6 5 400 y x3 200 200 200 200 Ya, pemboleh ubah mempunyai hubungan ubahan langsung. Yes, the variables have a direct variation relation. y = 200x3 5. Dengan melukis graf yang sesuai, tentukan sama ada hubungan yang diberikan adalah benar atau tidak. Berikan justifikasi anda. TP3 By drawing a suitable graph, determine whether the given relation is true. Give your justification. 1 y berubah secara langsung dengan kuasa dua x. y varies directly as the square of x. x 3 4 5 6 7 y 18 32 50 72 98 Penyelesaian: x2 y 9 18 16 32 25 50 36 72 49 98 Benar kerana graf garis lurus melalui asalan. True because the straight line graph passes through the origin. Tip Penting Plot graf y melawan pemboleh ubah yang dikehendaki. Plot the graph of y against the required variable. (a) y berubah secara langsung dengan kuasa tiga x. y varies directly as the cube of x. x 2 3 4 4.5 y 0.04 0.14 0.32 0.46 x3 8 27 64 91 y 0.04 0.14 0.32 0.46 O x3 y 20 40 60 80 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Benar kerana graf garis lurus melalui asalan. True because the straight line graph passes through the origin. O x2 y 10 20 30 40 50 20 40 60 80 100 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 3 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 4 CONTOH 2 y berubah secara langsung dengan punca kuasa dua x. y varies directly as the square root of x. x 4 9 16 25 y 29 36 43 50 Penyelesaian: x y 2 29 3 36 4 43 5 50 Tidak benar kerana graf garis lurus tidak melalui asalan. Not true because the straight line graph does not pass through the origin. (b) y berubah secara langsung dengan 3x. y varies directly as 3 x. x 125 512 1 000 y 17.5 22 25 3x y 5 17.5 8 22 10 25 Tidak benar kerana graf garis lurus tidak melalui asalan. Not true because the straight line graph does not pass through the origin. 6. Ungkapkan y dalam sebutan x bagi setiap yang berikut. TP3 Express y in terms of x for each of the following. Diberi y berubah secara langsung dengan 3x dan y = 48.6 apabila x = 729. Given y varies directly as 3 x and y = 48.6 when x = 729. Penyelesaian: y  3x y = k 3x Gantikan nilai Substitute the values of y = 48.6, x = 729, 48.6 = k 3 729 k = 48.6 3 729 = 5.4 ∴  y = 5.43x (a) Diberi y berubah secara langsung dengan x dan y = 27 apabila x = 3. Given y varies directly as x and y = 27 when x = 3. y  x y = kx Gantikan nilai y = 27 dan x = 3, Substitute the values of y = 27 and x = 3, 27 = k(3) k = 27 3 = 9 ∴ y = 9x O y √x 1 2 3 4 5 10 20 30 50 40 O y 3 x 2 4 6 8 10 5 10 15 20 25 √ Tip Penting Langkah umum dalam mengungkap ubahan dalam bentuk persamaan: General steps in expressing variation in the equation form:  Tulis hubungan dalam bentuk ubahan dan persamaan. Write the relation in variation and equation forms.  Gantikan nilai x dan nilai y. Substitute the value of x and of y.  Cari nilai k. Find the value of k.  Tulis ungkapan y dalam sebutan x. Write the expression of y in terms of x. 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 4 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 5 CONTOH (b) Diberi y berubah secara langsung dengan kuasa tiga x dan y = 720 apabila x = 2. Given y varies directly as the cube of x and y = 720 when x = 2. y  x3 y = kx3 Gantikan nilai y = 720 dan x = 2, Substitute the values of y = 720 and x = 2, 720 = k(23 ) k = 720 23 = 90 ∴ y = 90x3 (c) Diberi y berubah secara langsung dengan punca kuasa dua x dan y = 4 apabila x = 256. Given y varies directly as the square root of x and y = 4 when x = 256. y  x y = kx Gantikan nilai y = 4 dan x = 256 Substitute the values of y = 4 and x = 256, 4 = k( 256) k = 4  256 = 1 4 ∴ y = 1 4 x 7. Selesaikan setiap yang berikut. TP4 Solve each of the following. Diberi y berubah secara langsung dengan x3 dan y = 32 apabila x = 2. Hitung nilai x apabila y = 108. Given y varies directly as x3 and y = 32 when x = 2. Calculate the value of x when y = 108. Penyelesaian: Kaedah 1: Menggunakan nilai pemalar k Method 1: Using the value of constant k y  x3 y = kx3 Gantikan nilai y = 32 dan x = 2, Substitute the values of y = 32 and x = 2, 32 = k(23 ) k = 32 23 = 4 ∴ y = 4x3 Apabila / When y = 108, 108 = 4x3 x3 = 108 4 = 27 x = 3 27 = 3 Kaedah 2: Menggunakan konsep perkadaran Method 2: Using concept of proportion Diberi x1 = 2, y1 = 32 dan y2 = 108 Given x1 = 2, y1 = 32 and y2 = 108 y1 (x1 )3 = y2 (x2 )3 32 23 = 108 (x2 )3 (x2 )3 = 108 × 23 32 = 27 x2 = 327 = 3 ! INFO Konsep perkadaran dalam ubahan adalah dengan menyatakan kesamaan antara pemalar. Concept of proportion in variation is by stating the equality between the constants. 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 5 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 6 (a) Diberi p berubah secara langsung dengan q2 dan p = 27 apabila q = 3. Hitung nilai q apabila p = 12. Given p varies directly as q2 and p = 27 when q = 3. Calculate the value of q when p = 12. p  q2 p = kq2 Gantikan nilai Substitute the values of p = 27 dan / and q = 3, 27 = k(32 ) k = 27 32 = 3 ∴ p = 3q2 Apabila / When p = 12, 12 = 3q2 q2 = 12 3 = 4 q = ± 4 q = 2 atau / or –2 (b) Diberi v berubah secara langsung dengan  w dan v = 10 apabila w = 25. Hitung nilai w apabila v = 12. Given v varies directly as w and v =  10 when w = 25. Calculate the value of w when v = 12. v   w v = k w Gantikan nilai Substitute the values of v = 10 dan / and w = 25, 10 = k 25 k = 10  25 = 2 ∴ v = 2 w Apabila / When v = 12, 12 = 2 w  w = 12 2 = 6 w = 62 = 36 8. Nyatakan hubungan antara pemboleh ubah yang diberikan dalam bentuk ubahan dan persamaan dengan keadaan k ialah pemalar. TP2 State the relation of the variables given in variation form and equation form where k is a constant. Ubahan / Variation Persamaan / Equation y berubah secara langsung dengan x dan z. y varies directly as x and z. y  xz y = kxz (a) y berubah secara langsung dengan kuasa dua x dan kuasa tiga z. y varies directly as the square of x and the cube of z. y  x2 z3 y = kx2 z3 (b) y berubah secara langsung dengan kuasa tiga x dan punca kuasa dua z. y varies directly as the cube of x and the square root of z. y  x3z y = kx3z (c) y berubah secara langsung dengan punca kuasa dua x dan punca kuasa tiga z. y varies directly as the square root of x and the cube root of z. y  (x)(3z) y = k(x)(3z) (d) p berubah secara langsung dengan q3 dan r. p varies directly as q3 and r. p  q3 r p = kq3 r CONTOH 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 6 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 7 CONTOH CONTOH 9. Ungkapkan y dalam sebutan x dan z bagi setiap yang berikut. TP3 Express y in terms of x and z for each of the following. Diberi y berubah secara langsung dengan x3 dan z. y = 6 apabila x = 2 dan z = 9. Given y varies directly as x3 and z. y = 6 when x = 2 and z = 9. Penyelesaian: y  x3z y = kx3z Gantikan nilai Substitute the values of y = 6, x = 2 dan / and z = 9, 6 = k(23 )( 9) k = 6 (23 )( 9) = 1 4 ∴ y = x3z 4 (a) Diberi y berubah secara langsung dengan x dan z2 . y = 1.2 apabila x = 48 dan z = 1 8 . Given y varies directly as x and z 2. y = 1.2 when x = 48 and z = 1 8 . y  xz2 y = kxz2 Gantikan nilai Substitute the values of y = 1.2, x = 48 dan / and z = 1 8 1.2= k(48) 1 8  2 k = 1.2 (48) 1 8  2 = 1.6 ∴ y = 1.6xz2 (b) y berubah secara langsung dengan x dan punca kuasa dua z. y = 40.32 apabila x = 3.2 dan z = 0.49. y varies directly as x and the square root of z. y = 40.32 when x = 3.2 and z = 0.49. y  xz y = kxz Gantikan nilai Substitute the values of y = 40.32, x = 3.2 dan / and z = 0.49 40.32 = k(3.2) 0.49 k = 40.32 (3.2) 0.49 = 18 ∴ y = 18xz 10. Selesaikan setiap yang berikut. TP4 Solve each of the following. Diberi r berubah secara langsung dengan s dan kuasa dua t. Jika r = 72 apabila s = 6 dan t = 2, hitung nilai r apabila s = 4 dan t = 3. Given r varies directly as s and the square of t. If r = 72 when s = 6 and t = 2, calculate the value of r when s = 4 and t = 3. Penyelesaian: Kaedah 1: Menggunakan nilai pemalar k Method 1: Using the value of constant k r  st2 r = kst2 Gantikan nilai r = 72, s = 6 dan t = 2, Substitute the values of r = 72, s = 6 and t = 2, 72 = k(6)(2)2 k = 72 (6)(2)2 = 3 ∴ r = 3st2 Apabila / When s = 4, t = 3 r = 3(4)(3)2 = 108 Kaedah 2: Menggunakan konsep perkadaran Method 2: Using concept of proportion Diberi r1 = 72, s1 = 6, t 1 = 2 dan s2 = 4, t 2 = 3 Given r1 = 72, s1 = 6, t 1 = 2 and s2 = 4, t 2 = 3 r1 s1 (t 1 )2 = r2 s2 (t 2 )2 72 (6)(2)2 = r2 (4)(3)2 r2 = 72(4)(3)2 (6)(2)2 = 108 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 7 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 8 (a) Diberi e berubah secara langsung dengan punca kuasa dua f dan kuasa tiga g. Jika e = 512 apabila f = 16 dan g = 4, hitung nilai f apabila e = 1 750 dan g = 5. Given e varies directly as the square root of f and the cube of g. If e = 512 when f = 16 and g = 4, calculate the value of f when e = 1 750 and g = 5. e  f g3 e = kf g3 Gantikan nilai Substitute the values of e = 512, f = 16 dan / and g = 4 512 = k( 16)(4)3 k = 512 ( 16)(4)3 = 2 ∴ e = 2f g3 Apabila / When e = 1 750, g = 5, 1 750 = 2(f )(5)3 f = 1 750 2(5)3 = 7 f = 72 = 49 (b) Diberi u berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga v dan punca kuasa dua w. Jika u = 180 apabila v = 64 dan w = 81, hitung nilai w apabila u = 200 dan v = 125. Given u varies directly as the cube root of v and the square root of w. If u = 180 when v = 64 and w = 81, calculate the value of w when u = 200 and v = 125. u  3v  w u = k 3v  w Gantikan nilai Substitute the values of u = 180, v = 64 dan / and w = 81 180 = k( 3 64)( 81) k = 180 ( 3 64)( 81) = 5 ∴ u = 5(3v )( w ) Apabila / When u = 200, v = 125, 200 = 5(3 125)( w)  w = 200 5(3 125) = 8 w = 82 = 64 11. Selesaikan setiap masalah berikut. Solve each of the following problems. (a) Jumlah upah seorang pekerja, RMG, berubah secara langsung dengan kuasa dua bilangan jam dia bekerja, t, pada suatu hari. Dia menerima upah sebanyak RM128 apabila bekerja selama 8 jam. TP5 The total wages of a worker, RMG, varies directly as the square of the number of working hours, t in a day. He receives RM128 when working for 8 hours. (i) Ungkapkan G dalam sebutan t. Express G in terms of t. (ii) Hitung jumlah upah jika pekerja itu bekeja selama 9 jam. Calculate the total wages if the worker works for 9 hours. (iii) Berapa lamakah pekerja itu bekerja jika dia mendapat jumlah upah sebanyak RM84.50? What is the number of working hours if he receives the total wages of RM84.50? (i) G  t2 G = kt2 Gantikan nilai Substitute the values of G = 128 dan / and t = 8, 128 = k(8)2 k = 128 82 = 2 ∴ G = 2t2 (ii) Apabila / When t = 9, G= 2(9)2 = 162 Maka jumlah upah ialah RM162 jika dia bekerja selama 9 jam. Thus, the total wages is RM162 if he works for 9 hours. (iii) Apabila / When G = 84.5, 84.5 = 2(t2 ) t2 = 84.5 2 = 42.25 t =  42.25 = 6.5 Maka, dia bekerja selama 6.5 jam. Thus, he works for 6.5 hours. 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 8 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 9 (b) Kehilangan haba, H Watts, bagi sebuah tingkap berbentuk segi empat tepat berubah secara langsung dengan luas tingkap, A m2 , dan beza antara suhu, T Kelvin, di dalam rumah dengan di luar rumah. Diberi bahawa sebuah tingkap dengan luas 2.16 m2 kehilangan 63.18 Watts haba apabila beza suhu ialah 7.5 Kelvin. TP6 The heat loss, H Watts, of a rectangular window varies directly as the area of the window, A m2, and the difference between the temperatures, T Kelvin, inside and outside of a house. Given that a window of an area 2.16 m2 losses 63.18 Watts of heat when the difference of the temperature is 7.5 Kelvin. (i) Tulis satu persamaan yang mengaitkan H dengan A dan T. Write an equation that relates H with A and T. (ii) Berapakah haba yang hilang bagi tingkap yang sama dengan panjang 2.1 m dan lebar 1.8 m apabila suhu di dalam dan di luar rumah masing-masing ialah 299 Kelvin dan 307 Kelvin? How much is the heat loss of the same window with 2.1 m in length and 1.8 m in width when the temperatures inside and outside of the house are 299 Kelvin and 307 Kelvin respectively. (iii) Nyatakan peratus perubahan kehilangan haba jika luas tingkap berkurang 5% dan beza suhu bertambah 10%. State the percentage of change in the heat loss if the area of the window decreases 5% and the difference of the temperature increases 10%. (i) H  AT H = kAT Gantikan nilai Substitute the values of H = 63.18, A = 2.16 dan / and T = 7.5, 63.18 = k(2.16)(7.5) k = 63.18 (2.16)(7.5) = 3.9 ∴ H = 3.9AT (ii) A = 2.1 × 1.8 = 3.78 T = 307 – 299 = 8 H = 3.9(3.78)(8) = 117.94 Watts (iii) Perubahan kehilangan haba The change in the heat loss = 0.95 × 1.10 = 1.045 Bertambah 4.5%. Increase 4.5%. 1. Apabila pemboleh ubah y bertambah, pemboleh ubah x berkurang pada kadar yang sama, dan sebaliknya. Hubungan ini dikenali sebagai ubahan songsang dan boleh ditulis sebagai y berubah secara songsang dengan x. When variable y increases, variable x decreases at the same rate, and vice versa. This relation is known as inverse variation and can be written as y varies inversely as x. 2. Graf y melawan 1 x bagi ubahan songsang ialah graf garis lurus yang bermula daripada asalan. Graph of y against 1 x of an inverse variation is a straight line graph that starts from the origin. m = k y 1 x O Ubahan songsang Hubungan ubahan : y  1 xn Variation relation Bentuk persamaan: y = k xn Equation form dengan keadaan / where n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 , k = pemalar / constant Ubahan Songsang Inverse Variation 1.2 STUDI 1 Minit Buku Teks: 17 – 25 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 9 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 10 CONTOH 12. Nyatakan perubahan setiap yang berikut. TP1 State the change in each of the following. Bilangan kampit beras yang akan diterima oleh mangsa banjir berubah secara songsang dengan bilangan mangsa banjir yang memerlukan bantuan. Nyatakan perubahan pada bilangan kampit beras yang akan diterima jika bilangan mangsa banjir The number of rice bags will be received by flood victims varies inversely as the number of flood victims that need help. State the change in the number of rice bags will be received if the number of flood victims (i) bertambah 1.5 kali ganda, increases by 1.5 times, (ii) berkurang dua kali ganda. decreases by two times. Penyelesaian: (i) Bilangan kampit beras yang akan diterima berkurang 1.5 kali ganda. The number of rice bags will be received decreases by 1.5 times. (ii) Bilangan kampit beras yang akan diterima bertambah dua kali ganda. The number of rice bags will be received increases by two times. (a) Masa yang diambil, dalam jam, oleh sebuah kereta berubah secara songsang dengan laju puratanya, dalam km/j. Nyatakan perubahan pada masa yang diambil oleh kereta itu jika laju puratanya The time taken, in hours, by a car varies inversely as the average speed, in km/h. State the change in the time taken by the car if the average speed (i) berkurang tiga kali ganda, decreases by three times, (ii) bertambah 80%. increases by 80%. (i) Masa yang diambil bertambah tiga kali ganda. The time taken increases by three times. (ii) Masa yang diambil berkurang 80%. The time taken decreases by 80%. 13. Nyatakan hubungan antara pemboleh ubah yang diberikan dalam bentuk ubahan dan persamaan dengan keadaan k ialah pemalar. TP2 State the relation of the variables given in variation form and equation form where k is a constant. Ubahan / Variation Persamaan / Equation y berubah secara songsang dengan x 1 4 . y varies inversely as x 1 4 . y  1 x 1 4 y = k x 1 4 (a) d berubah secara songsang dengan kuasa dua t. d varies inversely as the square of t. d  1 t 2 d = k t 2 (b) L berubah secara songsang dengan 3 j. L varies inversely as 3 j . L  1 3 j L = k 3 j (c) Masa yang diambil, t bagi sebuah lori untuk bergerak dalam suatu jarak tertentu berkadaran songsang dengan pecutannya, a. The time taken, t of a lorry to travel in a certain distance is inversely proportional to its acceleration, a. t  1 a t = k a CONTOH 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 10 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 11 CONTOH CONTOH 14. Tentukan sama ada pemboleh ubah x dan y berikut mempunyai hubungan ubahan songsang yang dinyatakan atau tidak. Jika ya, nyatakan hubungan tersebut dalam bentuk ubahan. TP3 Determine whether the variables x and y have the stated inverse variation relation. If yes, state the relation in variation form. y berubah secara songsang dengan x2 . y varies inversely as x2. Penyelesaian: x 2 4 5 10 y 30 7.5 4.8 1.2 yx2 120 120 120 120 y berubah secara songsang dengan x2 kerana nilai yx2 ialah pemalar. Maka, y  1 x2 . y varies inversely as x2 because the value of yx2 is a constant. Thus, y ∝ 1 x2 . x 2 4 5 10 y 30 7.5 4.8 1.2 (a) y berubah secara songsang dengan x3 . y varies inversely as x3. x 0.4 0.5 2.0 2.5 y 37.5 19.2 0.3 0.1536 x 0.4 0.5 2.0 2.5 y 37.5 19.2 0.3 0.1536 yx3 2.4 2.4 2.4 2.4 y berubah secara songsang dengan x3 kerana nilai yx3 ialah pemalar. Maka, y  1 x3 . y varies inversely as x3 because the value of yx3 is a constant. Thus, y  1 x3 . (b) y berubah secara songsang dengan x. y varies inversely as  x . x 2.56 4 16 25 y 122.5 98 49 32.5 x 2.56 4 16 25 y 122.5 98 49 32.5 yx 196 196 196 162.5 y tidak berubah secara songsang dengan x kerana nilai yx bukan pemalar. y does not vary inversely as  x because the value of y x is not a constant. 15. Berdasarkan graf berikut, tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan pemboleh ubah yang dinyatakan. TP3 Based on the following graphs, determine whether y varies inversely as the stated variable. y 1 x O 2 Penyelesaian: y berubah secara songsang dengan x2 kerana graf y melawan 1 x2 ialah garis lurus yang bermula daripada asalan. y varies inversely as x2 because the graph of y against 1 x2 is a straight line that starts from the origin. (a) y 1 √x O y berubah secara songsang dengan x kerana graf y melawan 1 x ialah garis lurus yang bermula daripada asalan. y varies inversely as  x because the graph of y against 1  x is a straight line that starts from the origin. (b) y 1 x O 3 y tidak berubah secara songsang dengan x3 kerana graf y melawan 1 x3 bukan garis lurus yang bermula daripada asalan. y does not vary inversely as x3 because the graph of y against 1 x3 is not a straight line that starts from the origin. Tip Penting Dalam ubahan songsang, pemalar In inverse variation, constant k = yxn 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 11 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 12 CONTOH CONTOH 16. Ungkapkan y dalam sebutan x bagi setiap yang berikut. TP3 Express y in terms of x for each of the following. Diberi y berubah secara songsang dengan x2 dan y = 5 apabila x = 4. Given y varies inversely as x2 and y = 5 when x = 4. Penyelesaian: y  1 x2 y = k x2 Gantikan nilai y = 5 dan x = 4, Substitute the values of y = 5 and x = 4, 5 = k 42 k = 5 × 42 = 80 ∴ y = 80 x2 (a) Diberi y berubah secara songsang dengan x dan y = 3 apabila x = 16. Given y varies inversely as  x and y = 3 when x = 16. y  1 x y = k x Gantikan nilai y = 3 dan x = 16 Substitute the values of y = 3 and x = 16, 3 = k  16 k = 3 ×  16 = 12 ∴ y = 12 x (b) Diberi y berubah secara songsang dengan kuasa tiga x dan y = 108 apabila x = 2. Given y varies inversely as the cube of x and y = 108 when x = 2. y  1 x3 y  k x3 Gantikan nilai y = 108 dan x = 2, Substitute the values of y = 108 and x = 2, 108 = k 23 k = 108 × 23 = 864 ∴ y = 864 x3 17. Selesaikan setiap yang berikut. TP4 Solve each of the following. Diberi p berubah secara songsang dengan q dan p = 4 apabila q = 7. Hitung nilai p jika q = 3 4 . Given p varies inversely as q and p = 4 when q = 7. Calculate the value of p if q = 3 4 . Penyelesaian: Kaedah 1: Menggunakan nilai pemalar k Method 1: Using the value of constant k p  1 q p = k q Gantikan nilai p = 4 dan q = 7, Substitute the values of p = 4 and q = 7, 4 = k 7 k = 4 × 7 = 28 ∴ p = 28 q Apabila / When q = 3 4 p = 28 3 4 = 37 1 3 Kaedah 2: Menggunakan konsep perkadaran Method 2: Using concept of proportion Diberi p1 = 4, q1 = 7 dan q2 = 3 4 Given p1 = 4, q1 = 7 and q2 = 3 4 p1 q1 = p2 q2 (4)(7) = p2 3 4  p2 = (4)(7) 3 4 = 37 1 3 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 12 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 13 (a) Diberi d berubah secara songsang dengan m3 dan d = 72 apabila m = 2. Hitung nilai m jika d = 9. Given d varies inversely as m3 and d = 72 when m = 2. Calculate the value of m if d = 9. d  1 m3 d = k m3 Gantikan nilai Substitute the values of d = 72 dan / and m = 2 72 = k 23 k = 72 × 23 = 576 ∴ d = 576 m3 Apabila / When d = 9, 9 = 576 m3 m3 = 576 9 = 64 m = 3 64 = 4 (b) Diberi y berubah secara songsang dengan x dan y = 3 apabila x = 36. Hitung nilai y jika x = 81. Given y varies inversely as  x and y = 3 when x = 36. Calculate the value of y if x = 81. y  1 x y = k x Gantikan nilai Substitute the values of y = 3 dan / and x = 36, 3 = k  36 k = 3 ×  36 = 18 ∴ y = 18 x Apabila / When x = 81, y = 18  81 = 2 18. Selesaikan setiap masalah berikut. TP5 Solve each of the following problems. (a) Bilangan jubin besar, p yang digunakan dalam pengubahsuaian sebuah bilik tidur adalah berkadar secara songsang dengan bilangan jubin kecil, q. Jika terdapat 300 keping jubin kecil yang digunakan, maka bilangan jubin besar yang akan digunakan ialah 40 keping. The number of big tiles, p used in renovation of a bedroom is inversely proportional to the number of small tiles, q. If there are 300 small tiles used, then the number of big tiles used is 40. (i) Ungkapkan p dalam sebutan q. Express p in terms of q. (ii) Cari bilangan keping jubin kecil yang perlu digunakan jika bilangan jubin besar yang digunakan ialah 1 200 keping. Find the number of small tiles that need to be used if the number of big tiles used is 1 200. (i) p  1 q p = k q Gantikan / Substitute p = 40, q = 300, 40 = k 300 k = 40 × 300 = 12 000 ∴ p = 12 000 q (ii) Apabila / When p = 1 200, 1 200 = 12 000 q q = 12 000 1 200 = 10 (b) Diberi laju cahaya, s dalam satu medium adalah berkadar secara songsang dengan indeks biasan, n. Jika indeks biasan bagi suatu objek ialah 1, maka laju cahaya dalam medium tersebut ialah 345 m s–1. Given that the speed of the light, s in a medium varies inversely as the refractive index, n. If the refractive index of an object is 1, then the speed of the light in the medium is 345 m s–1. (i) Ungkapkan s dalam sebutan n. Express s in terms of n. (ii) Cari indeks biasan bagi suatu objek yang mempunyai laju cahaya dalam medium tersebut sebanyak 230 m s–1. Find the refractive index of an object which has the speed of light in medium of 230 m s–1. (i) s  1 n s = k n Gantikan / Substitute s = 345, n = 1, 345 = k 1 k = 345 ∴ s = 345 n (ii) Apabila / When s = 230, 230 = 345 n n = 345 230 = 1.5 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 13 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 14 1. Ubahan bergabung melibatkan gabungan ubahan langsung atau ubahan tercantum, dan ubahan songsang. Combined variation involves a combination of direct variation or joint variation, and inverse variation. Ubahan tercantum Combined variation Ubahan langsung dan ubahan songsang Direct variation and inverse variation Ubahan tercantum dan ubahan songsang Joint variation and inverse variation Hubungan ubahan Variation relation y  xp zq y  wp xq zr Bentuk persamaan Equation form y = kxp zq y = kwp xq zr dengan keadaan / where p = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 , q = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 , r = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 k = pemalar / constant 19. Nyatakan hubungan antara pemboleh ubah yang diberikan dalam bentuk ubahan dan bentuk persamaan dengan keadaan k ialah pemalar. TP3 State the relation of the variables given in variation form and equation form where k is a constant. Ubahan / Variation Persamaan / Equation y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang dengan z2 . y varies directly as x and inversely as z2. y  x z2 y = kx z2 (a) d berubah secara langsung dengan kuasa tiga e dan secara songsang dengan punca kuasa tiga f. d varies directly as the cube of e and inversely as the cube root of f. d  e3 3f d = ke3 3f (b) p berubah secara langsung dengan q dan r, dan secara songsang dengan kuasa dua s. p varies directly as q and r, and inversely as the square of s. p  qr s2 p = kqr s2 (c) w berubah secara langsung dengan x2 dan secara songsang dengan v. w varies directly as x2 and inversely as  v. w  x2 v w = kx2 v (d) s berubah secara langsung dengan hasil darab x dan punca kuasa tiga z, dan secara songsang dengan t2 . s varies directly as the product of x and the cube root of z, and inversely as t2. s  x(3z) t 2 s = kx(3z) t 2 Ubahan Bergabung Combined Variation 1.3 STUDI 1 Minit Buku Teks: 26 – 29 CONTOH 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 14 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 15 CONTOH 20. Selesaikan setiap yang berikut. TP4 Solve each of the following. Diberi y berubah secara langsung dengan x2 dan secara songsang dengan z. Jika y = 8 apabila x = 2 dan z = 3, ungkapkan y dalam sebutan x dan z. Seterusnya, hitung nilai z apabila x = 3 dan y = 18. Given y varies directly as x2 and inversely as z. If y = 8 when x = 2 and z = 3, express y in terms of x and z. Hence, calculate the value of z when x = 3 and y = 18. Penyelesaian: y  x2 z y = kx2 z Gantikan nilai y = 8, x = 2 dan z = 3, Substitute the values of y = 8, x = 2 and z = 3, 8 = k(2)2 3 k = 8 × 3 22 = 6 ∴ y = 6x2 z Apabila x = 3 dan y = 18, When x = 3 and y = 18, 18 = 6(3)2 z z = 6(3)2 18 = 3 (a) Diberi y berubah secara langsung dengan x2 dan secara songsang dengan z3 . Jika y = 16 apabila x = 6 dan z = 3, ungkapkan y dalam sebutan x dan z. Seterusnya, hitung nilai x apabila z = 2 dan y = 37.5. Given y varies directly as x2 and inversely as z3. If y = 16 when x = 6 and z = 3, express y in terms of x and z. Hence, calculate the value of x when z = 2 and y = 37.5. y  x2 z3 y = kx2 z3 Gantikan nilai Substitute the values of y = 16, x = 6 dan / and z = 3, 16 = k(6)2 33 k = 16 × 33 62 = 12 ∴ y = 12x2 z3 Apabila z = 2 dan y = 37.5, When z = 2 and y = 37.5, 37.5 = 12x2 23 x2 = 37.5 × 23 12 = 25 x = ±  25 x = 5 atau / or –5 (b) Diberi L berubah secara langsung dengan hasil darab p dan kuasa dua q, dan secara songsang dengan r. Jika L = 30 apabila p = 4, q = 2 dan r = 12, ungkapkan L dalam sebutan p, q dan r. Seterusnya, hitung nilai p apabila L = 86.4, q = 4 dan r = 25. Given L varies directly as the product of p and the square of q, and inversely as r. If L = 30 when p = 4, q = 2 and r = 12, express L in terms on p, q and r. Hence, calculate the value of p when L = 86.4, q = 4 and r = 25. L  pq2 r L = kpq2 r Gantikan nilai Substitute the values of L = 30, p = 4, q = 2, r = 12 30 = k(4)(2)2 12 k = 30 × 12 4 × 22 = 22.5 ∴ L = 22.5pq2 r Apabila L = 86.4, q = 4 dan r = 25, When L = 86.4, q = 4 and r = 25, 86.4 = 22.5(p)(4)2 25 p = 86.4 × 25 22.5 × 42 = 6 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 15 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 16 21. Selesaikan setiap masalah berikut. Solve each of the following problems. (a) Bilangan tukang jahit, x yang diupah di sebuah kilang berubah secara langsung dengan bilangan helai baju, n yang dihasilkan dan secara songsang dengan bilangan hari bekerja, d. Jika terdapat 80 orang tukang jahit dan bilangan hari bekerja ialah 24 hari, maka 4 200 helai baju dapat dihasilkan oleh kilang tersebut. TP5 The number of tailors, x hired in a factory varies directly as the number of shirts, n produced and inversely as the number of working days, d. If there are 80 tailors and the number of working days is 24 days, then 4 200 shirts can be produced by the factory. (i) Nyatakan persamaan yang menghubungkan x dengan n dan d. State the equation that relates x with n and d. (ii) Hitung bilangan hari bekerja untuk menghasilkan 5 600 helai baju dengan 40 orang pekerja. Calculate the number of working days, to produce 5 600 shirts with 40 workers. (i) x  n d x = kn d Gantikan nilai x = 80, n = 4 200 dan d = 24, Substitute the value of x = 80, n = 4 200 and d = 24, 80 = k(4 200) 24 k = 80 × 24 4 200 = 16 35 ∴ x = 16n 35d (ii) Apabila n = 5 600 dan x = 40, When n = 5 600 and x = 40, 40 = 16(5 600) 35d d = 16(5 600) 35(40) = 64 Maka, bilangan hari bekerja ialah 64 hari. Hence, the number of working days is 64 days. (b) Rintangan, R Ω, suatu wayar berubah secara langsung dengan panjangnya, p m, dan secara songsang dengan kuasa dua diameternya, d mm. Sejenis wayar dengan panjang 25 m dan diameter 4.5 mm mempunyai rintangan 3 Ω. The resistance, R Ω, of a wire varies directly as the length, p m, and inversely as the square of its diameter, d mm. A type of wire with the length of 25 m and diameter of 4.5 mm has a resistance of 3 Ω. TP6 (i) Tuliskan rumus bagi rintangan wayar itu. Write a formula of the resistance of the wire. (ii) Hitung diameter wayar dengan nilai rintangan dan panjangnya masing-masing ialah 22.5 Ω dan 30 m. Calculate the diameter of a wire with the resistance and the length are 22.5 Ω and 30 m respectively. (iii) Apakah yang perlu dilakukan untuk menurunkan rintangan wayar itu jika diameternya adalah tetap? Berikan justifikasi anda. What can be done to decrease the resistance of the wire if its diameter is fixed? Give your justification. (i) R  p d2 R = kp d2 Gantikan nilai Substitute the value of R = 3, p = 25, d = 4.5, 3 = k(25) 4.52 k = 3 × 4.52 25 = 2.43 ∴ R = 2.43p d2 (ii) Apabila R = 22.5, p = 30, When R = 22.5, p = 30, 22.5 = 2.43(30) d2 d2 = 2.43(30) 22.5 = 3.24 d =  3.24 = 1.8 (iii) Gunakan wayar yang lebih pendek untuk menurunkan rintangan wayar itu kerana nilai R adalah berubah secara langsung dengan nilai p. Use a shorter wire to decrease the resistance of the wire because the value of R varies directly as the value of p. 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 16 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 17 Kertas 1 1. Diberi g berubah secara songsang dengan kuasa dua h. Nyatakan hubungan dalam bentuk ubahan. Given g varies inversely as the square of h. State the relation in variation form. A g  h B g  h2 C g  1 h2 D g  k h2 2. Isi padu sebuah hemisfera, I, adalah berubah secara langsung dengan kuasa tiga jejarinya, j. Dengan menggunakan k sebagai pemalar, ungkapkan k dalam sebutan I dan j. The volume of a hemisphere, I, varies directly as the cube of its radius, j. By using k as a constant, express k in terms of I and j. A k = —–I j 1 —2 B k = — I j 3 C k = Ij 1 —2 D k = Ij3 3. Diberi bahawa P berubah secara langsung dengan Q dan P = 32 apabila Q = 8. Ungkapkan P dalam sebutan Q. Given P varies directly as Q and P = 32 when Q = 8. Express P in terms of Q. A P = Q —8 B P = Q —4 C P = 4Q D P = 8Q Buku Teks ms. 21 Buku Teks ms. 6 Buku Teks ms. 8 4. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi hubungan antara pemboleh ubah x dan y. The table below shows some values of the relation between variables x and y. x 3 4 5 6 7 y 45 80 125 180 245 Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. A y = 5x –2 B y = 5x C y = 5x2 D y = 5x3 5. Diberi y berubah secara songsang dengan 3x + 4 dan y = 3 apabila x = 2. Cari nilai x apabila y = –15. Given y varies inversely as 3x + 4 and y = 3 when x = 2. Find the value of x when y = –15. A —1 4 B —1 2 C –2 D –4 6. Diberi W berubah secara langsung dengan X dan berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga Y. Jadual di bawah menunjukkan nilai W, X dan Y. Given W varies directly as X and varies inversely as the cube root of Y. The table below shows the values of W, X and Y. W X Y 4 6 27 16 4 p Hitung nilai p. Calculate the value of p. A —1 8 B —1 2 C 16 D 32 Buku Teks ms. 7-8 Buku Teks ms. 23 Buku Teks ms. 27 1 Praktis Ekstra SPM 1 Praktis SPM 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 17 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 18 7. Diberi bahawa x berubah secara langsung dengan kuasa tiga y dan secara songsang dengan punca kuasa dua z. Antara berikut, manakah persamaan yang mewakili hubungan antara x, y dan z? Given that x varies directly as the cube of y and inversely as the square root of z. Which of the following is the equation representing the relationship between x, y and z? A x  y 1 3 z2 B x  z2 y 1 3 C x  y3 z 1 2 D x  z 1 2 y3 8. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi pemboleh ubah G dan V. The table below shows the values of variables G and V. G p 72 V q r Diberi G berubah secara langsung dengan V dan nilai p ÷ q is 8. Hitung nilai r. Given G varies directly as V and the value of p ÷ q is 8. Calculate the value of r. A 9 B —1 9 C – — 1 9 D –9 9. Diberi bahawa I berubah secara langsung dengan punca kuasa dua m dan secara songsang dengan kuasa dua n. Jika I ∝ mp nq , nyatakan nilai p dan nilai q. Given that I varies directly as the square root of m and inversely as the square of n. If I ∝ mpnq, state the value of p and of q. p q A 1 2 –2 B 1 2 2 C 2 –2 D 2 2 Buku Teks ms. 27 Buku Teks ms. 8 Buku Teks ms. 12 10. Antara berikut, yang manakah mewakili y ∝ x3 ? Which of the following represents y ∝ x3? A x 1 3 5 y 5 135 320 B x 3 4 5 y 18 32 50 C x 2 4 6 y 12 96 324 D x 2 3 5 y 4 9 25 11. Jadual di bawah menunjukkan pemboleh ubah x, y dan z. The table below shows the variables x, y and z. x y z 2 300 200 6 m n Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan z dan secara songsang dengan kuasa dua x. Hitung nilai bagi m dan nilai n. Given that y varies directly as z and inversely as the square of x. Calculate the value of m and the value of n. m n A 54 9 B 72 2 C 2 72 D 9 54 12. Dalam suatu projek seni, 5 orang murid ditugaskan untuk membina model rumah 3D. Masa yang diperlukan untuk menyiapkan projek itu ialah 3 hari. Diberi masa, t berubah secara songsang dengan bilangan murid, n. Hitung masa, dalam hari, yang diperlukan jika bilangan murid membuat projek ini berganda dua kali. In an arts project, 5 students were assigned to build a 3D house model. The time required to complete the project is 3 days. Given time, t varies inversely as the number of students, n. Calculate the time, in days, needed if the number of students to complete this project is double. A 1 B 1.5 C 6 D 10 Buku Teks ms. 7 Buku Teks ms. 27-28 Buku Teks ms. 25 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 18 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 19 Kertas 2 Klu Soalan (a) Mengungkapkan hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu ubahan songsang. Expressing the relation between the two variables of an inverse variation. (b) Menentukan nilai satu pemboleh ubah apabila nilai pemboleh ubah lain diberikan. Determining the value of a variable when the other value of variable is given. 1. Masa yang diambil untuk memasang sebuah mesin, t jam berubah secara songsang dengan bilangan pekerja, w. Diberi bahawa 4 orang pekerja memerlukan 2 jam 45 minit untuk memasang sebuah mesin. The time taken to assemble a machine, t hours varies inversely as the number of workers, w. Given that 4 workers need 2 hours 45 minutes to assemble a machine. (a) Ungkapkan t dalam sebutan w. Express t in terms of w. (b) Nyatakan masa yang diambil oleh 10 orang pekerja untuk memasang sebuah mesin. Berikan jawapan dalam minit. State the time taken by 10 workers to assemble a machine. Give answer in minute. Jawapan / Answer : (a) t  1 w t = k w Gantikan nilai t = 2.75, w = 4, Substitute the values of t = 2.75, w = 4, 2.75 = k 4 k = 2.75 × 4 = 11 ∴ t = 11 w (b) Apabila / When w = 10, t = 11 10 = 1.1 jam / hours = 66 minit / minutes Buku Teks ms. 25 Klu Soalan (a) Mengungkapkan hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu ubahan langsung. Expressing the relation between two variables of a direct variation. (b) Menentukan nilai satu pemboleh ubah apabila nilai pemboleh ubah lain diberikan. Determining the value of a variable when the other value of variable is given. 2. Harga kos bagi sejenis piza, RMC berubah secara langsung dengan kuasa dua jejarinya, j. Diberi harga kos bagi satu piza dengan jejari 6 inci ialah RM9. The cost price of a type of pizza, RMC varies directly as the square of its radius, j. Given the cost of a pizza with a radius of 6 inch is RM9. (a) Ungkapkan C dalam sebutan j. Express C in terms of j. (b) Cari beza harga kos antara piza dengan jejari 5 inci dengan jejari 8 inci. Find the difference in cost price between the pizza with radii of 5 inch and 8 inch. Jawapan / Answer : (a) C  j 2 C = kj2 Gantikan nilai C = 9 dan j = 6, Substitute the values of C = 9 and j = 6, 9 = k(6)2 k = 9 62 = 1 4 ∴ C = j 2 4 (b) Beza harga kos Difference in cost price = 82 4 − 52 4 = RM9.75 Buku Teks ms. 9 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 19 12/01/2023 9:39 AM

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1 20 Luas permukaan, A sebuah silinder berubah secara langsung dengan jejari, j dan hasil tambah jejari dengan tingginya, t. Sebuah silinder dengan jejari 7.7 cm dan tinggi 14.4 cm mempunyai luas permukaan 1 069.64 cm2 . Hitung tinggi sebuah silinder dengan luas permukaan 645.48 cm2 dan jejari 6.3 cm. Surface area, A of a cylinder varies directly as the radius, j and the sum of the radius and the height, t. A cylinder with a radius of 7.7 cm and a height of 14.4 cm has a surface area of 1 069.64 cm2. Calculate the height of a cylinder with the surface area of 645.48 cm2 and radius of 6.3 cm. Jawapan / Answer: A  j(j + t) A = kj(j + t) 1 069.64 = k(7.7)(7.7 + 14.4) k = 44 7 ∴ A = 44j(j + t) 7 Apabila / When A = 645.48, j = 6.3 645.48 = 44(6.3)(6.3 + t) 7 6.3 + t = 645.48 × 7 44 × 6.3 = 16.3 t = 10 Jawapan Bab 1 Enrolment key M-mat5-m KBAT Sudut KBAT KBAT EKSTRA Klu Soalan (a) Mengungkapkan hubungan antara pemboleh ubah bagi suatu ubahan bergabung. Expressing the relation between variables of a combined variation. (b) Menentukan nilai satu pemboleh ubah apabila nilai pemboleh ubah lain diberikan. Determining the value of a variable when the other values of variables are given. 3. Puan Idayu, seorang pemilik kedai menjahit mendapati bahawa bilangan baju yang dihasilkan, R berubah secara langsung dengan masa yang diperlukan membuat tempahan, T dan berubah secara songsang dengan harga kos baju, P. Apabila harga kos baju yang perlu dihasilkan bernilai RM1 200 dan masa untuk baju disiapkan ialah sebanyak 80 jam, 140 helai baju dapat dihasilkan. Puan Idayu, an owner of a sewing shop found that the number of shirts produced, R varies directly as the time needed to complete an order, T and varies inversely as the cost price of the shirts, P. When the cost price of the shirts that needs to be produced is RM1 200 and the time for the shirts to be completed is 80 hours, 140 pieces of shirts can be produced. (a) Ungkapkan R dalam sebutan T dan P. Express R in terms of T and P. Buku Teks ms. 28-29 (b) Seterusnya, cari masa yang diperlukan untuk membuat tempahan jika bilangan baju yang dihasilkan ialah 210 dan harga kos baju tidak berubah. Thus, find the time needed to complete the order if the number of shirts produced is 210 and the cost price of the shirts does not change. Jawapan / Answer : (a) R  T P R = kT P 140 = 80k 1 200 k = 2 100 R = 2 100T P (b) 210 = 2 100T 1 200 T = 120 jam / hours 01 MODULE MATH TG5 3P.indd 20 12/01/2023 9:39 AM

TINGKATAN KSSM ModulE ModulE & MoRE MoRE & MATEMATIK Mathematics RC185033 PELANGI Imbas kod QR atau layari link bagi POT untuk Create new account. 1 2 Semak e-mel untuk mengaktifkan akaun. 3 Log in ke akaun anda. Masukkan Enrolment Key yang boleh dijumpai di halaman akhir setiap bab buku. 4 5 Mulakan ujian! Eksklusif Eksklusif PELANGI ONLINE TEST (Portal Ujian Soalan Objektif) Cara Mengakses POT Judul dalam Siri Module & More Subjek/Tingkatan Biologi Biology Fizik Physics Kimia Chemistry Matematik Mathematics Matematik Tambahan Additional Mathematics Sejarah 4 5 CIRI-CIRI HEBAT Meningkatkan pemahaman teks melalui penggunaan bahasa Melayu dan bahasa Inggeris. LEMBARAN PBD DWIBAHASA Lembaran kerja PBD tambahan yang meliputi semua bab disediakan dalam kod QR. QR Kod JAWAPAN LENGKAP Jawapan boleh disemak terus di belakang setiap bab atau di halaman Kandungan melalui kod QR. QR Kod KLU SOALAN Tip membantu menjawab soalan-soalan Kertas 2 di bahagian Praktis SPM. STUDI 1 MINIT Fakta penting bagi setiap bab yang telah diringkaskan untuk mempercepat ulang kaji. PRAKTIS SPM & EKSTRA Latihan berorientasikan SPM disediakan di akhir setiap bab dan juga di dalam kod QR. QR Kod i-THINK/KBAT Penerapan soalan-soalan berformat i-THINK dan berbentuk aras tinggi.