A+ Kertas Model Kertas 1 & Kertas 2 4 Set Kertas Model Jawapan Berdasarkan Skema Pemarkahan Set Dapat Dileraikan Berdasarkan Format Baharu SPM Mulai 2021 https://qr.pelangibooks.com/?u=lMLb1UUt Imbas, daftar dan masukkan Enrolment Key: v8y/B?E( SPM SKOR 1 Set + Set Ekstra! PERCUMA BELI Moh Sin Yee Wong Kiat Hi MATEMATIK TAMBAHAN ADDITIONAL MATHEMATICS [3472] ISBN: 978-629-470-090-1 FC068133 W.M: RM8.65 /E.M: RM8.95 Sila layari https://plus.pelangibooks.com/errata/ untuk mendapatkan pengemaskinian bagi buku ini (sekiranya ada). Cetakan Pertama 2023 3 Dicetak di Malaysia oleh The Commercial Press Sdn. Bhd. Lot 8, Jalan P10/10, Kawasan Perusahaan Bangi, Bandar Baru Bangi, 43650 Bangi, Selangor Darul Ehsan, Malaysia. Subject Font Size: 74 pt FC068133 MATEMATIK TAMBAHAN | ADDITIONAL MATHEMATICS A Kertas Model + [3472] + Kertas Model Mesti dimiliki untuk membiasakan diri dengan A format baharu SPM dan menjawab soalan dengan yakin! MATEMATIK TAMBAHAN | ADDITIONAL MATHEMATICS Book Format: 260mm x 190mm Spine: Sadle Stiching Status: CRC Date: 27/6/23 PERKARA Jenis instrumen Jenis soalan Bilangan soalan Jumlah markah Tempoh ujian Ujian bertulis • Bahagian A – 12 soalan (64 markah) (Jawab semua soalan) • Bahagian B – 3 soalan (16 markah) (Jawab dua soalan) 80 markah 2 jam • Subjektif respons terhad • Subjektif respons terhad berstruktur • Bahagian A – 7 soalan (50 markah) (Jawab semua soalan) • Bahagian B – 4 soalan (30 markah) (Jawab tiga soalan) • Bahagian C – 4 soalan (20 markah) (Jawab dua soalan) 100 markah 2 jam 30 minit KERTAS 1 KERTAS 2 PERKARA Jenis instrumen Jenis soalan Bilangan soalan Jumlah markah Tempoh ujian Ujian bertulis • Bahagian A – 12 soalan (64 markah) (Jawab semua soalan) • Bahagian B – 3 soalan (16 markah) (Jawab dua soalan) 80 markah 2 jam • Subjektif respons terhad • Subjektif respons terhad berstruktur • Bahagian A – 7 soalan (50 markah) (Jawab semua soalan) • Bahagian B – 4 soalan (30 markah) (Jawab tiga soalan) • Bahagian C – 4 soalan (20 markah) (Jawab dua soalan) 100 markah 2 jam 30 minit KERTAS 1 KERTAS 2 SUBJEK Judul-judul dalam siri ini: BAHASA MELAYU ENGLISH BAHASA CINA MATEMATIK | MATHEMATICS MATEMATIK TAMBAHAN | ADDITIONAL MATHEMATICS SAINS | SCIENCE BIOLOGI | BIOLOGY FIZIK | PHYSICS KIMIA | CHEMISTRY SEJARAH PERNIAGAAN EKONOMI PRINSIP PERAKAUNAN PENDIDIKAN MORAL PENDIDIKAN ISLAM ✓ BAHASA MELAYU ✓ ✓ ENGLISH ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ UJIAN LISAN UJIAN LISAN
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–1 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 1. Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = ax3 + bx2 + c dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar. Diagram 1 shows part of the curve y = ax3 + bx2 + c such that a, b and c are constants. (a) Cari nilai a, nilai b dan nilai c. Find the value of a, of b and of c. [3 markah / 3 marks] (b) Rajah 2 menunjukkan satu garis lurus diperoleh apabila persamaan y = ax3 + bx2 + c ditukar kepada bentuk linear. Cari nilai k. Diagram 2 shows a straight line obtained when the equation y = ax3 + bx2 + c is changed to the linear form. Find the value of k. [2 markah / 2 marks] Jawapan / Answer : (a) (b) O y x (–2, 16) 6 Rajah 1 / Diagram 1 SIJIL PELAJARAN MALAYSIA MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 1 2 jam 3472/1 Dua jam Kertas Model 1 O Y X (4, k) Rajah 2 / Diagram 2 JANGAN BUKA KERTAS SOALAN INI SEHINGGA DIBERITAHU ARAHAN: 1. Kertas soalan ini adalah dalam dwibahasa. 2. Soalan dalam Bahasa Melayu mendahului soalan yang sepadan dalam Bahasa Inggeris. 3. Jawab semua soalan dalam Bahagian A dan mana-mana dua soalan dalam Bahagian B. 4. Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. 5. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. Bahagian A/ Section A [64 markah / marks] Jawab semua soalan. Answer all questions.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–2 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 2. Diberi bahawa ln xy2 = 7 ln x − ln y + 3. Ungkapkan y dalam sebutan x. It is given that ln xy2 = 7 ln x − ln y + 3. Express y in terms of x. [4 markah / 4 marks] Jawapan / Answer : 3. Selesaikan sistem persamaan linear berikut. Solve the following system of linear equations. −x + 2y + 2z = 3 2x + y − 3z = −11 3x + 4y + z = 6 [5 markah / 5 marks] Jawapan / Answer : 4. Rajah 3 menunjukkan garis lurus ABC yang melalui titik B dan memintas kedua-dua paksi pada titik A dan titik C. Diberi bahawa q = 60°. Diagram 3 shows the straight line ABC which passes through point B and intersects both axes at points A and C. It is given that q = 60°. O y x C A B( 12, –3) θ Rajah 3 / Diagram 3 Cari/ Find (a) persamaan garis lurus ABC, the equation of the straight line ABC, [2 markah / 2 marks] (b) nisbah AB : BC. the ratio of AB : BC. [3 markah / 3 marks] Jawapan / Answer : (a) (b)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–3 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 5. Sebuah ladang arnab menjual 12 jenis arnab yang berbeza. Seorang penternak arnab ingin membeli 9 ekor arnab yang pelbagai jenis. A rabbit farm sells 12 different varieties of rabbits. A rabbit breeder wishes to buy 9 rabbits of different varieties. (a) Berapa banyak cara penternak arnab boleh membuat pemilihannya? How many ways that the rabbit breeder can make his selection? [1 markah / 1 mark] (b) Terdapat 6 ekor arnab putih, 4 ekor arnab perang dan 2 ekor arnab kelabu antara 12 jenis tersebut. Cari bilangan cara pemilihan 9 ekor arnabnya There are 6 white rabbits, 4 brown rabbits and 2 grey rabbits among the 12 varieties. Find the number of ways in which his selection of 9 rabbits (i) tidak mempunyai arnab kelabu, have no grey rabbit, (ii) mempunyai sekurang-kurangnya dua ekor arnab bagi setiap warna. have at least two rabbits of each colour. [4 markah/ 4 marks] Jawapan / Answer : (a) (b) (i) (ii) 6. Diberi bahawa kos (A − B) = 144 145 dan kos A kos B = 12 29, dengan keadaan A dan B adalah sudut tirus. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi Given that cos (A − B) = 144 145 and cos A cos B = 12 29, such that A and B are acute angles. Without using calculator, find the value of (a) kos (A + B), cos (A + B), [3 markah / 3 marks] (b) tan A tan B. [2 markah / 2 marks] Jawapan / Answer : (a) (b)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–4 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 7. Dalam tinjauan yang dijalankan terhadap 10 orang pelanggan di sebuah pasar raya, didapati varians bagi bilangan pelanggan yang menggunakan e-dompet untuk membeli barangan ialah 1.875. Jika kebarangkalian bagi seorang pelanggan menggunakan dan tidak menggunakan e-dompet untuk membeli barangan masing-masing ialah p dan q dengan keadaan p . q, hitung In a survey conducted on 10 customers in a supermarket, it is discovered that the variance of the number of customers using e-wallet to purchase items is 1.875. If the probability of a customer using and not using e-wallet to purchase items is p and q respectively such that p . q, calculate (a) nilai p dan nilai q, the value of p and of q, [3 markah / 3 marks] (b) kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 2 orang pelanggan tidak menggunakan e-dompet untuk membeli barangan. the probability of at least 2 customers not using e-wallet to purchase items. [2 markah / 2 marks] Jawapan / Answer : (a) (b) 8. Fungsi hasil marginal, dr dt bagi Syarikat Bintang boleh dianggarkan dengan t 2 4 − 3 5 , dengan keadaan r ialah fungsi hasil, dalam RM ratus ribu dan t ialah masa dalam bulan selepas permulaannya. Diberi bahawa kos permulaan ialah RM5 ratus ribu, cari The marginal revenue function, dr dt of Syarikat Bintang can be approximated by t 2 4 − 3 5 , such that r is the revenue function, in RM hundred thousand and t is the time in months after its startup. Given that the startup cost was RM5 hundred thousand, find (a) fungsi hasil, r, dalam sebutan t, the revenue function, r, in terms of t, [3 markah / 3 marks] (b) hasil, dalam RM ratus ribu selepas satu setengah tahun. the revenue, in RM hundred thousand after a year and a half. [2 markah / 2 marks] Jawapan / Answer : (a) (b)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–5 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 9. Tinggi, f(x) meter, air yang dipancut dari air pancut ke udara diberi oleh −3x2 + 10x − 1, dengan keadaan x ialah jarak mendatar yang dilalui oleh air. The height, f(x) metres, of the water jetted from a fountain into the air is given by −3x2 + 10x − 1, such that x is the horizontal distance travelled by the water. (a) Buktikan bahawa air yang dipancut dari air pancut tidak boleh mencapai ketinggian 7.5 m. Prove that the water jetted from the fountain cannot reach the height of 7.5 m. [3 markah / 3 marks] (b) Lakarkan graf bagi bentuk pancutan air dari air pancut ke udara. Sketch the graph of the shape of water jetted from the fountain into the air. [2 markah / 2 marks] Jawapan / Answer : (a) (b) 10. Rajah 4 menunjukkan sebuah palung minuman berbentuk prisma trapezium, yang penuh dengan air untuk lembu dengan keadaan ∠ABC = ∠BAD dan ∠ADC = ∠BCD. Oleh sebab kebocoran di bahagian bawah, air menitis keluar daripadanya pada kadar 21.7 cm3 s–1. Diagram 4 shows a full of water drinking trough for cattle that has the shape of trapezium prism such that ∠ABC = ∠BAD and ∠ADC = ∠BCD. Due to a leakage at the bottom, the water is dripping out of it at a rate of 21.7 cm3 s–1. C B D 2 m 40 cm 51 cm A Rajah 4 / Diagram 4 Cari kadar penurunan bagi kedalaman air apabila isipadu air dalam palung itu ialah 273000 cm3 dengan andaian lembu itu tidak minum sebarang air daripadanya. Find the rate of decrease of the depth of the water when the volume of the water in the trough is 273000 cm3 assuming the cattle has not drunk any water from it. [6 markah/ 6 marks] Jawapan / Answer :
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–6 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 11. Syarikat Susu Moden ingin mereka suatu kotak susu dengan jumlah luas permukaan yang paling kecil tetapi dengan isi padu yang paling besar. Rajah 5 menunjukkan dua rekaan kotak susu yang berbeza. Syarikat Susu Moden wants to design a milk box with the smallest total surface area but with biggest volume. Diagram 5 shows two different designs of milk box. 3 cm 9 cm 2.5 cm 13 cm Rekaan M Design M Rekaan N Design N Rajah 5 / Diagram 5 Rekaan manakah yang harus dipilih oleh Syarikat Susu Moden? Justifikasikan jawapan anda secara matematik. Which design should be chosen by Syarikat Susu Moden? Justify your answer mathematically. [7 markah / 7 marks] Jawapan / Answer : 12. Rajah 6 menunjukkan sebuah bandar yang berbentuk segi tiga OBC. Bangunan P dan bangunan Q masing-masing berada di jalan AC dan jalan BC. Diagram 6 shows a city that takes the shape of a triangle OBC. Buildings P and Q are at road AC and road BC respectively. Jalan →OA dan jalan →OC masing-masing diwakili oleh 10x ~ dan 15y ~. Diberi bahawa OA : AB = 5: 3, AP : AC = 1 : 3 dan BQ : BC = 4: 9. Road →OA and road →OC are represented by 10x ~ and 15y ~ respectively. Given that OA : AB = 5 : 3, AP : AC = 1 : 3 and BQ : BC = 4 : 9. (a) Ungkapkan vektor berikut dalam sebutan x ~ dan y ~ Express the following vectors in terms of x ~ and y ~ (i) →OP, (ii) →OQ. [4 markah/ 4 marks] (b) Oleh sebab kesesakan lalu lintas, pemaju tersebut bercadang untuk membina jalan lurus untuk menghubungkan bangunan P dan bangunan Q dari titik O. Bolehkah pemaju tersebut berbuat demikian? Justifikasikan jawapan anda menggunakan konsep vektor. Due to traffic jam, the developer intends to build a straight road to connect buildings P and Q from point O. Can the developer do so? Justify your answer using the concept of vector. [3 markah / 3 marks] Jawapan / Answer : (a) (b) O A B C P Q Rajah 6 / Diagram 6
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–7 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 Bahagian B/ Section B [16 markah / marks] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. Answer any two questions from this section. 13. Rajah 7 menunjukkan beberapa piramid dengan tapak segi empat sama dengan sisi x cm. Tinggi permukaan segi tiga bagi piramid pertama ialah y cm dan tinggi permukaan bagi segi tiga setiap piramid berikutnya bertambah sebanyak 2 cm. Diagram 7 shows a few pyramids with square base with side of x cm. The height of triangular face of the first pyramid is y cm and the height of the triangular face of each subsequent pyramid increases by 2 cm. y y + 2 y + 4 x x x Rajah 7 / Diagram 7 (a) Tunjukkan bahawa jumlah luas permukaan piramid membentuk satu janjang aritmetik dan nyatakan beza sepunya. Show that the total surface area of the pyramids forms an arithmetic progression and state the common difference. [3 markah / 3 marks] (b) Diberi bahawa jumlah luas permukaan piramid keempat dan piramid kesembilan masing-masing ialah 9.25 cm2 dan 19.25 cm2 , cari Given that the total surface area of the fourth pyramid and the ninth pyramid are 9.25 cm2 and 19.25 cm2 respectively, find (i) nilai x dan nilai y, the value of x and of y, (ii) hasil tambah bagi jumlah luas permukaan sembilan piramid yang pertama, dalam cm2 . the sum of the total surface area of the first nine pyramids, in cm2 . [5 markah / 5 marks] Jawapan / Answer : (a) (b) (i) (ii)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–8 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 14. Diberi fungsi kuadratik f(x) = 3 − 2x − x2 . Given a quadratic function f(x) = 3 − 2x − x2 . (a) Ungkapkan f(x) dalam bentuk a(x − p) 2 + q. Express f(x) in the form of a(x − p) 2 + q. [2 markah / 2 marks] (b) Lakarkan graf bagi g(x) = |f(x)| dalam domain −4 < x < 2. Sketch the graph of g(x) = |f(x)| in the domain −4 < x < 2. [4 markah / 4 marks] (c) Fungsi h(x) diperoleh apabila graf f(x) dipantulkan pada paksi-y. Ungkapkan h(x) dalam bentuk a(x − p) 2 + q. Seterusnya, lakarkan graf h(x). The function h(x) is obtained when the graph of f(x) is reflected in the y-axis. Express h(x) in the form of a(x − p) 2 + q. Hence, sketch the graph of h(x). [2 markah / 2 marks] Jawapan / Answer : (a) (b) (c) 15. Puan Laila membeli x m riben untuk membuat hiasan. Harga riben yang dibeli ialah RM√5x – 2 . Puan Laila membayar dengan wang RM√5x + 2 dan memperoleh baki sebanyak RM1 sahaja. Berapakah harga, dalam RM, riben yang dibeli? Puan Laila bought x m of ribbon to make decorations. The price of the purchased ribbon is RM√5x – 2. Puan Laila paid with money of RM√5x + 2 and got a balance of only RM1. What is the price, in RM, of the ribbon purchased? [8 markah / 8 marks] Jawapan / Answer :
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–9 Matematik Tambahan SPM Bahagian A/ Section A [50 markah /marks] Jawab semua soalan. Answer all questions. 1. Rajah 1 menunjukkan segi empat selari KLMN. Diberi bahawa NP = 6 unit, QM = 3 unit, KO = 8 unit, QO = 1 unit dan OR = 3 unit. Diagram 1 shows a parallelogram KLMN. It is given that NP = 6 units, QM = 3 units, KO = 8 units, QO = 1 unit and OR = 3 units. O y x Q M P N K R L Rajah 1 / Diagram 1 (a) Cari koordinat bagi titik K, L, M dan N. Find the coordinates of points K, L, M and N. [5 markah / 5 marks] (b) Seterusnya, cari luas segi empat selari KLMN. Hence, find the area of parallelogram KLMN. [2 markah / 2 marks] SIJIL PELAJARAN MALAYSIA MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 2 jam 30 minit 3472/2 Dua jam tiga puluh minit Kertas Model 1 JANGAN BUKA KERTAS SOALAN INI SEHINGGA DIBERITAHU ARAHAN: 1. Kertas soalan ini adalah dalam dwibahasa. 2. Soalan dalam Bahasa Melayu mendahului soalan yang sepadan dalam Bahasa Inggeris. 3. Jawab semua soalan dalam Bahagian A, mana-mana tiga soalan daripada Bahagian B dan manamana dua soalan daripada Bahagian C. 4. Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. 5. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–10 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 2. Rajah 2 menunjukkan tiga batang kayu yang serupa berjejari r cm diikat bersama menggunakan tali. Diagram 2 shows three identical wooden rods of radius r cm fastened together using a string. (a) Diberi panjang tali yang mengikat batang-batang kayu ialah 12(π + 3) cm, cari nilai r. Given the length of the string that fastens the rods is 12(π + 3) cm, find the value of r. [2 markah / 2 marks] (b) Seterusnya, cari luas kawasan berlorek, dalam cm2 , dengan menggunakan π = 3.142. Hence, find the area of shaded region, in cm2 , by using p = 3.142. [3 markah / 3 marks] 3. Rajah 3 dalam ruang jawapan menunjukkan graf fungsi tangen yang melalui titik 1 π 8 , −32. Diagram 3 in the answer space shows a graph of tangent function passing through point 1 p 8 , −32. (a) Nyatakan fungsi tersebut dalam bentuk y = a tan bx + c. State the function in the form of y = a tan bx + c. [4 markah / 4 marks] (b) Dengan menggunakan paksi yang sama, lakarkan satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2π tan 2x − x = 0 untuk 0 < x < π. Nyatakan bilangan penyelesaian itu. By using the same axes, sketch a suitable straight line to find the number of solutions for the equation 2p tan 2x − x = 0 for 0 < x < p. State the number of solutions. [3 markah / 3 marks] Jawapan / Answer : (b) O y x 1 ( ( , 8 –3 fi 4 fi 2 fi fi 4 3fi Rajah 3 / Diagram 3 4. Persamaan 3x2 − 6x + m = 0 mempunyai punca-punca a 2 dan b 2 manakala persamaan 9x2 + nx + 1024 = 0 mempunyai punca-punca a2 dan b2 . The equation 3x2 − 6x + m = 0 has roots a 2 and b 2 whereas the equation 9x2 + nx + 1024 = 0 has roots a2 and b2 . (a) Cari nilai bagi a + b dan ab. Find the value of a + b and ab. [4 markah / 4 marks] (b) Cari nilai m dan nilai n. Find the value of m and of n. [4 markah / 4 marks] Batang kayu Wooden rod Tali String Rajah 2 / Diagram 2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–11 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 5. Rajah 4 menunjukkan sebuah piramid yang bertapak segi empat sama dengan isi padu 1 3 πl 2 h, dengan keadaan l ialah panjang sisi tapak dan h ialah tinggi piramid. Diagram 4 shows a square-based pyramid with the volume of 1 3 pl 2 h, such that l is the side length of the base and h is the height of pyramid. h l Rajah 4 / Diagram 4 Panjang sisi tapak ditambah dengan nilai kecil x. Bentuk piramid kekal sama dengan keadaan nisbah tingg piramid kepada separuh panjang sisi tapak adalah suatu pemalar. The side length of the base is increased by a small value of x. The shape of the pyramid remains the same where the ratio of the height of the pyramid to the half of the side length of the base is a constant. (a) Cari perubahan kecil dalam isi padu piramid dalam sebutan h, l dan x, Find the approximate change in the volume of the pyramid in terms of h, l and x, [6 markah / 6 marks] (b) Tentukan dan justifikasikan sama ada isi padu piramid akan meningkat atau menurun secara kecil. Determine and justify whether the volume of the pyramid will increase or decrease approximately. [2 markah / 2 marks] 6. Bekas silinder boleh laras dengan ketinggian tetap 25 π cm mengandungi bendalir sebanyak 100 cm3 . Bekas itu diisi dengan sejenis bendalir pada kadar tetap 100 cm3 per saat. An adjustable cylindrical container with the fixed height 25 π cm contains 100 cm3 of fluid. The container is filled with a type of fluid at a constant rate of 100 cm3 per second. (a) Cari ungkapan bagi yang berikut. Find an expression for the following. (i) Kuantiti bendalir di dalam bekas itu, v cm3 , selepas t saat, The amount of fluid in the container, v cm3 , after t seconds, (ii) Jejari bekas itu, r cm, dalam sebutan v, The radius of container, r cm, in terms of v, (iii) Fungsi gubahan rv(t). The composite function rv(t). [5 markah / 5 marks] (b) Cari jejari bekas itu, dalam cm, selepas 1 minit. Find the radius of container, in cm, after 1 minute. [2 markah/ 2 marks] 7. Diberi bahawa 1 − 2x, 2x − 4x2 , 4x2 − 8x3 , … ialah suatu janjang geometri, dengan keadaan x ialah integer positif. Given that 1 − 2x, 2x − 4x2 , 4x2 − 8x3 , … is a geometric progression, such that x is a positive integer. (a) Ungkapkan hasil tambah n sebutan pertama bagi janjang geometri itu dalam sebutan n dan x. Express the sum of the first n terms of the geometric progression in terms of n and x. [3 markah / 3 marks] (b) Seterusnya, cari tiga sebutan berturutan dalam janjang geometri itu yang memberi hasil tambah kepada ungkapan 256x8 (1 − 8x3 ). Hence, find three consecutive terms in the geometric progression which sum up to the expression of 256x8 (1 − 8x3 ). [5 markah / 5 marks]
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–12 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 Bahagian B/ Section B [30 markah/marks] Jawab mana-mana tiga soalan daripada bahagian ini. Answer any three questions from this section. 8. Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Use graph paper to answer this question. Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu uji kaji. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan x3 = 1 y – qx p 2 2 , dengan keadaan p dan q adalah pemalar. Table 1 shows the value of two variables, x and y, obtained from an experiment. The variables x and y are related by the equation x3 = 1 y – qx p 2 2 , such that p and q are constants. x 2.25 9 16 25 36 49 y 1.68 6.34 10.55 15.81 21.59 27.46 Jadual 1 / Table 1 (a) Plot y x melawan √x , dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-√x dan 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi- y x . Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik. Plot y x against √x , using a scale of 2 cm to 1 unit on the √x -axis and 2 cm to 0.1 unit on the y x -axis. Hence, draw the line of best fit. [5 markah / 5 marks] (b) Gunakan graf di 8(a) untuk mencari Using the graph in 8(a) to find (i) nilai p dan nilai q, the value of p and of q, (ii) nilai y apabila x = 6.25. the value of y when x = 6.25. [5 markah / 5 marks] 9. (a) Di sebuah institut latihan perindustrian, 92% daripada penuntut institut yang mempelajari satu kursus jangka pendek berjaya memperoleh sijil kemahiran. Pada suatu penggal, 10 orang mengikuti kursus itu. Hitung In an industrial training institute, 92% of the students who study a short course successfully obtained a skill certificate. In one term, 10 people took the course. Calculate (i) sisihan piawai bagi bilangan penuntut kursus jangka pendek yang berjaya memperoleh sijil kemahiran, the standard deviation of the number of students who study a short course successfully obtained a skill certificate, (ii) kebarangkalian bahawa kesemua 10 orang penuntut tersebut berjaya memperoleh sijil kemahiran, the probability that all 10 students successfully obtained a skill certificate, (iii) kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 2 orang penuntut tersebut gagal memperoleh sijil kemahiran. the probability that at least 2 students failed to obtain a skill certificate. [5 markah / 5 marks] (b) Sebilangan remaja yang baru mencecah 17 tahun amat berminat untuk menjadi juruterbang. Tinggi seorang juruterbang mempunyai taburan normal dengan min 184 cm dan varians 46.24 cm2 . A number of teenagers who just reach 17 years old are very interested to become a pilot. The height of a pilot is normally distributed with a mean of 184 cm and a variance of 46.24 cm2 .
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–13 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 (i) Cari kebarangkalian bahawa seorang remaja yang dipilih secara rawak mempunyai tinggi kurang daripada 160 cm. Find the probability that a teenager who is chosen randomly has a height less than 160 cm. (ii) Seseorang yang berumur 17 tahun dengan tinggi antara 163 cm hingga 196 cm layak memohon untuk menjadi juruterbang. Didapati seramai 56 orang remaja layak. Cari jumlah bilangan remaja. A person aged 17 years old with a height between 163 cm and 196 cm is eligible to apply to become a pilot. It is found that 56 teenagers are qualified. Find the total number of teenagers. [5 markah / 5 marks] 10. Rajah 5 menunjukkan garis lurus y − 2x + 4 = 0 memintas sebahagian daripada lengkung y = 2√x pada titik A. Diagram 5 shows a straight line y − 2x + 4 = 0 intersecting part of the curve y = 2√x at the point A. O y y – 2x + 4 = 0 x A y = 2 x Rajah 5 / Diagram 5 Cari/ Find (a) koordinat bagi titik A, the coordinates of point A, [3 markah / 3 marks] (b) luas rantau yang dibatasi oleh lengkung y = 2√x , garis lurus y − 2x + 4 = 0 dan paksi-y, the area of the region bounded by the curve y = 2√x , the straight line y − 2x + 4 = 0 and the y-axis. [4 markah / 4 marks] (c) isi padu kisaran, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek itu diputarkan melalui 360° pada paksi-y. the volume of revolution, in terms of π, when the shaded region is rotated through 360° about the y-axis. [3 markah / 3 marks] 11. Rajah 6 menunjukkan segi tiga OPQ dengan →OQ = 12x ~ dan →OT = 10y ~ . Diagram 6 shows a triangle OPQ with →OQ = 12x ~ and →OT = 10y ~. P R O T S Q Rajah 6 / Diagram 6 Diberi bahawa →OR = 1 4 →OQ dan →QS = 7 8 →QT. It is given that →OR = 1 4 →OQ and →QS = 7 8 →QT . (a) Ungkapkan vektor berikut dalam sebutan x ~ dan y ~ . Express the following vectors in terms of x ~ and y ~, (i) →QS (ii) →RS [3 markah / 3 marks]
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–14 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 (b) Diberi →RP = h →RS dan →OP = mx ~ + ny ~ , ungkapkan m dan n dalam sebutan h. Given →RP = h→RS and →OP = mx ~ + ny ~, express m and n in terms of h. [3 markah / 3 marks] (c) Diberi →OP = k →OT, cari nilai h dan nilai k. Seterusnya, cari nilai bagi nisbah luas segi tiga ORP kepada luas segi tiga ORS. Given →OP = k→OT , find the value of h and of k. Hence, find the value of the ratio of area of triangle ORP to the area of triangle ORS. [4 markah / 4 marks] Bahagian C/ Section C [20 markah/marks] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. Answer any two questions from this section. 12. Kedai Pakaian Gaya membuat promosi jualan pakaian dengan menjual x helai baju dan y helai jaket. Harga sehelai baju dan sehelai jaket masing-masing ialah RM25 dan RM40. Gaya Clothing Store does a clothing sales promotion by selling x pieces of shirts and y pieces of jackets. The price of a shirt and a jacket is RM 25 and RM 40 respectively. Jualan pakaian tersebut adalah berdasarkan kekangan berikut: Sale of the clothes is based on the following constraints: I Hasil jualan pakaian tidak melebihi RM1450 The proceeds from the clothing do not exceed RM1450 II Bilangan jaket yang dijual adalah kurang daripada dua kali bilangan baju yang dijual The number of jackets sold is less than double the number of shirts sold III Bilangan jaket yang dijual melebihi satu pertiga daripada bilangan baju yang dijual sekurang-kurangnya 5 helai. The number of jackets sold exceeds one third of the number of shirts sold at least 5 pieces. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x > 0 dan y > 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x > 0 and y > 0, which satisfy all the above constraints. [3 markah/ 3 marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 helai pakaian yang dijual pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 5 pieces of clothing sold on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. [3 markah/ 3 marks] (c) Cari, dengan menggunakan graf anda dari 12(b), Find, by using your graph from 12(b), (i) bilangan maksimum jaket yang dijual jika sebanyak 26 helai baju dijual. the maximum number of jackets sold if a total of 26 shirts are sold. (ii) keuntungan maksimum yang diperoleh jika harga kos bagi sehelai baju dan sehelai jaket masingmasing ialah RM20 dan RM25. the maximum profit obtained if the cost price for a shirt and a jacket is RM20 and RM25 respectively. [4 markah/ 4 marks]
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–15 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 13. Rajah 7 menunjukkan suatu zarah bergerak menuju titik N dan titik M di sepanjang garis lurus dengan halaju awal −3 m s−1. Diagram 7 shows a particle moving towards point N and point M along a straight line with an initial velocity of −3 m s−1. M N O Rajah 7 / Diagram 7 Diberi bahawa pecutan, dalam m s−2, bagi zarah itu, a = 24t − 16, dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Zarah itu berada di titik N satu saat selepas meninggalkan O dan berhenti seketika di titik M. Given that the acceleration, in m s−2, of the particle, a = 24t − 16, such that t is the time, in seconds, after passing through O. The particle is at point N one second after leaving O and stops instantaneously at point M. [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif] [Assume motion to the right is positive] Cari / Find (a) masa, dalam saat, apabila pecutannya ialah sifar, the time, in second, when its acceleration is zero, [1 markah / 1 mark] (b) halaju minimum, dalam m s−1, bagi zarah itu, the minimum velocity, in m s−1, of the particle, [3 markah / 3 marks] (c) pecutan, dalam m s−2, bagi zarah itu di titik M, the acceleration, in m s−2, of the particle at point M, [3 markah / 3 marks] (d) jarak, dalam m, antara titik M dan titik N. the distance, in m , between point M and point N. [3 markah / 3 marks] 14. Jadual 2 menunjukkan maklumat tidak lengkap berkaitan empat bahan, K, L, M dan N yang digunakan dalam pengeluaran aloi. Table 2 shows the incomplete information related to four materials, K, L, M and N used in producing an alloy. Bahan Material Perubahan dalam indeks harga dari tahun 2017 hingga tahun 2020 Change in price index from the year 2017 to the year 2020 Pemberat Weightage K 80° L Bertambah sebanyak 20% Increased 20% 70° M Bertambah sebanyak 25% Increased 25% N Bertambah sebanyak 10% Increased 10% 90° Jadual 2 / Table 2 (a) Diberi bahawa harga per g pada tahun 2017 dan 2020 masing-masing ialah x dan y dengan indeks harga pada tahun 2020 berasaskan tahun 2017 ialah 90. Jika harga K pada tahun 2020 adalah kurang RM0.15 daripada harganya pada tahun 2017, hitung nilai x dan nilai y. Given that the price per g in the year 2017 and 2020 are x and y respectively with the price index in the year 2020 based on the year 2017 is 90. If the price of K in the year 2020 is RM0.15 less than the price in the year 2017, calculate the values of x and y. [4 markah / 4 marks]
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. KM1–16 Matematik Tambahan SPM Kertas MODEL SPM 1 (b) Diberi kos pengeluaran aloi adalah RM59 220 pada tahun 2020, hitung kos pengeluarannya pada tahun 2017. Given the production cost of the alloy was RM59 220 in the year 2020, calculate its production cost in the year 2017. [4 markah / 4 marks] (c) Cari peratus perubahan dalam kos pengeluaran dari tahun 2017 hingga tahun 2023 jika dijangka meningkat sebanyak 40% dari tahun 2020 hingga tahun 2023. Find the percentage change in the production cost from the year 2017 to the year 2023 if it is expected to increase by 40% from the year 2020 to the year 2023. [2 markah / 2 marks] 15. Rajah 8 menunjukkan suatu prisma dengan tapak berbentuk segi tiga tak sekata PQR. Luas segi tiga PQR ialah 50 cm3 . Diberi bahawa PQ = TU = 8 cm, QR = ST = 14 cm dan PU = QT = RS = 10 cm. Diagram 8 shows a prism with irregular triangular base PQR. The area of triangle PQR is 50 cm3 . It is given that PQ = TU = 8 cm, QR = ST = 14 cm and PU = QT = RS = 10 cm. P Q U T S R Rajah 8 / Diagram 8 (a) Cari / Find (i) ∠PQR (ii) PR, (iii) ∠PRQ. [6 markah/ 6 marks] (b) Satu segi tiga P'Q'R' lagi dengan keadaan P'Q' = PQ, Q'R' = QR dan ∠P'R'Q' = ∠PRQ menggantikan tapak segi tiga PQR bagi prisma di atas. Another triangle P'Q'R' such that P'Q' = PQ, Q'R' = QR and ∠P'R'Q' = ∠PRQ replaces the triangular base PQR of the prism above. (i) Lakarkan segi tiga P'Q'R'. Sketch the triangle P'Q'R'. (ii) Cari isi padu, dalam cm3 , prisma itu. Find the volume, in cm3 , of the prism. [4 markah / 4 marks] KERTAS PEPERIKSAAN TAMAT END OF QUESTION PAPER
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –1 Matematik Tambahan SPM Kertas 1 No. Penyelesaian dan Skema Pemarkahan Solution and Mark Scheme Markah Marks Jumlah Total 1. (a) 0 = a(0)3 + b(0)2 + c c = 0 y = ax3 + bx2 16 = a(–2)3 + b(–2)2 4 = –2a + b …… 1 0 = a(6)3 + b(6)2 0 = 6a + b b = –6a …… 2 Gantikan 2 ke dalam 1, Substitute 2 into 1, 4 = –2a + (–6a) a = – 1 2 b = –61– 1 2 2 = 3 1 1 1 (b) y = – 1 2 x3 + 3x2 x3 y x3 = – 1 2 + 31 1 x 2 Y = 3X – 1 2 Pada titik/At point (4, k), k = 3(4) − 1 2 k = 23 2 1 1 5 2. ln xy2 = ln x7 – ln y + 3 ln e ln xy2 = ln x7 – ln y + ln e3 ln xy2 = ln1 x7 × e3 y 2 xy2 = x7 × e3 y y2 × y = x7 × e3 x y3 = e3 × x6 y = ex2 1 1 1 1 4 1
Jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J – 2 Matematik Tambahan SPM 3. – x + 2 y + 2 z = 3 …… 1 2 x + y – 3 z = –11 …… 2 3 x + 4 y + z = 6 …… 3 1 × 2: –2 x + 4 y + 4 z = 6 …… 4 2 + 4 : 5 y + z = –5 …… 5 1 × 3: –3 x + 6 y + 6 z = 9 …… 6 6 + 3 : 10 y + 7 z = 15 …… 7 5 × 2: 10 y + 2 z = –10 …… 8 7 – 8 : 5 z = 25 z = 5 Daripada/From 5, 5 y + 5 = –5 y = –2 Gantikan y = –2 dan z = 5 ke dalam 1 , Substitute y = –2 and z = 5 into 1 . – x + 2(–2) + 2(5) = 3 x = 3 11111 5 4. (a) m = tan 60° = √ 3 y – (–3) = √ 3 ( x – √12 ) y + 3 = √ 3 x – √36 y = √ 3 x – 9 11 (b) Pada titik A, x = 0 At point A, x = 0 y = √3(0) – 9 = –9 A(0, –9) Pada titik C, y = 0 At point C, y = 0 0 = √3 x – 9 x = 3√3 C(3√3, 0) Biar / Let AB : BC = m : n (√12, –3) = 1 3√ 3 m + n(0) m + n , m(0) + n(–9) m + n 2 √4(3) = 3√ 3 m m + n atau / or –3 = – 9 n m + n 2√ 3 ( m + n ) = 3√ 3 m atau / or –3( m + n ) = –9 n 2 m + 2 n = 3 m atau / or m + n = 3 n 2 n = m atau / or m = 2 n m : n = AB : BC = 2 : 1 111 5 5. (a) 12 C 9 = 220 1 (b) (i) 10 C 9 = 10 (ii) 6 C 5 × 4 C 2 × 2 C 2 + 6 C 4 × 4 C 3 × 2 C 2 + 6 C 3 × 4 C 4 × 2 C 2 = 36 + 60 + 20 = 116 121 5
jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J – 3 Matematik Tambahan SPM 6. (a) kos ( A – B ) = kos A kos B + sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B 144 145 = 12 29 + sin A sin B sin A sin B = 84 145 kos ( A + B ) = kos A kos B – sin A sin B cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B = 12 29 – 84 145 = – 24 145 111 (b) tan A tan B = sin A sin B kos A kos B tan A tan B = sin A sin B cos A cos B = 84 145 12 29 = 75 11 5 7. (a) 10pq = 1.875 p(1 – p) = 3 16 p – p 2 = 3 16 16 p 2 – 16 p + 3 = 0 (4 p – 3)(4 p – 1) = 0 p = 34 , p = 14 (diabaikan /ignored ) p = 34 q = 1 – 34 = 14 111 (b) P( X > 2) = 1 – 10 C 0 1 14 2 0 1 34 2 10 – 10 C 1 1 14 2 1 1 34 2 9 = 1 − 0.05631 − 0.1877 = 0.75599 atau / or 0.7560 11 5
Jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –4 Matematik Tambahan SPM 8. (a) dr dt = t 2 4 – 3 5 r = t 2 4 – 3 5 dt r = t 3 12 – 3 5 t + c Apabila/When t = 0, r = –5 –5 = (0)3 12 – 3 5 (0) + c c = –5 r = t 3 12 – 3 5 t – 5 1 1 1 (b) t = satu setengah tahun = 18 bulan t = one year and a half = 18 months r = (18)3 12 – 3 5 (18) – 5 = 470.2 ratus ribu 470.2 hundred thousand 1 1 5 9. (a) f(x) = –31x2 – 10 3 x2 – 1 f(x) = –33x2 – 10 3 x + 1– 5 3 2 2 – 1– 5 3 2 2 4 – 1 f(x) = –331x – 5 3 2 2 – 25 9 4 – 1 f(x) = –31x – 5 3 2 2 + 22 3 Oleh sebab nilai maksimum bagi f(x) ialah 22 3 = 7.333 m adalah kurang daripada 7.5 m, ini bermaksud bahawa air yang dipancut dari air pancut tidak boleh mencapai ketinggian 7.5 m. Since the maximum value of f(x) is 22 3 = 7.333 m which is less than 7.5 m, this means that the water jetted from the fountain cannot reach a height of 7.5 m. 1 1 1 (b) f(x) = 0 –31x – 5 3 2 2 + 22 3 = 0 1x – 5 3 2 2 = 22 9 x = 3.230 atau/or x = 0.1032 O y x –1 0.1032 5 3.230 3 22 3 2 5
jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –5 Matematik Tambahan SPM 10. x h A B 40 CD 405.5 5.5 x x 40 40 x h 30 m 5.5 1 2 (51 + 40) × h × 200 = 273000 h = 30 x h = 5.5 30 x = 11 60h V = 1 2 (40 + 2x + 40) × h V = 40h + 11 30h2 dV dh = 40 + 11 15h dV dh = 40 + 11 15(30) dV dh = 62 dV dt = –20 dh dt = dh dV × dV dt = 1 62 × (–21.7) = –0.35 cm s–1 1 1 1 1 1 1 6 11. Bagi rekaan M, For M design, 2.5 2.5 3 θ 32 = (2.5)2 + (2.5)2 − 2(2.5)(2.5)(kos/cos q) q = 1.287 rad Luas tapak = 1 2 (2.5)2 (2p − 1.287) + 1 2 (2.5)2 (sin 1.287) Base area = 18.62 cm2 Perimeter tapak = 3 + 2.5(2p − 1.287) Base perimeter = 15.49 cm Jumlah luas permukaan = 2(18.62)+15.49(9) Total surface area = 176.65 cm2 Isi padu/Volume = 18.62 × 9 = 167.58 cm3 1 1 1 1
Jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –6 Matematik Tambahan SPM Bagi rekaan N, For N design, Jumlah luas permukaan = 2p(22 ) + 2p(22 )(13) Total surface area = 188.52 cm2 Isi padu/Volume = p × 22 × 13 = 163.38 cm3 Oleh sebab rekaan M mempunyai jumlah luas permukaan yang lebih kecil tetapi isi padu yang lebih besar berbanding dengan rekaan N, maka rekaan M harus dipilih oleh Syarikat Susu Moden. Because the M design has a smaller total surface area but a larger volume compared to the N design, then the M design should be chosen by Syarikat Susu Modern. 1 1 1 7 12. (a) (i) → OP = → OA + → AP = → OA + 1 3 → AC = 10x ~ + 1 3 (–10x ~ + 15y ~ ) = 20 3 x ~ + 5y ~ (ii) → OQ = → OB + → BQ = 8 5 → OA + 4 9 → BC = 8 5 (10x ~) + 4 9 (–16x ~ + 15y ~ ) = 80 9 x ~ + 20 3 y ~ 1 1 1 1 (b) → OP = h → OQ 20 3 x ~ + 5y ~ = h1 80 9 x ~ + 20 3 y ~2 20 3 = h1 80 9 2 h = 3 4 Oleh sebab → OP = 3 4 → OQ dan O ialah titik sepunya, maka O, P dan Q adalah segaris. Maka, pemaju tersebut boleh membina jalan terus untuk menghubungkan bangunan P dan bangunan Q dari titik O. Since → OP = 3 4 → OQ and O is a common point, then O, P and Q are collinear. Then, the developer can build a direct road to connect building P and building Q from point O. 1 1 1 7 13. (a) T1 = x2 + 1 2 (4xy) = x2 + 2xy T2 = x2 + 1 2 [4x(y + 2)] = x2 + 2xy + 4x T3 = x2 + 1 2 [4x(y + 4)] = x2 + 2xy + 8x T2 – T1 = 4x T3 – T2 = 4x Oleh sebab T2 − T1 = T3 − T2 , maka jumlah luas permukaan piramid-piramid mempunyai beza sepunya. Oleh itu, jumlah luas permukaan piramid membentuk satu janjang aritmetik. Since T2 − T1 = T3 − T2 , then the total surface area of the pyramids has a common difference. Therefore, the total surface area of the pyramid forms an arithmetic progression. Beza sepunya = 4x Common difference 1 1 1
jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –7 Matematik Tambahan SPM (b) (i) T4 = 9.25 x2 + 2xy + (4 – 1)(4x) = 9.25 x2 + 2xy + 12x = 9.25 …… 1 T9 = 19.25 x2 + 2xy + (9 – 1)(4x) = 19.25 x2 + 2xy + 32x = 19.25 …… 2 2 – 1: 32x – 12x = 19.25 − 9.25 20x = 10 x = 1 2 1 1 2 2 2 + 21 1 2 2y + 121 1 2 2 = 9.25 y = 3 (ii) S9 = 9 2 31 1 2 2 2 + 21 1 2 2(3) + 19.254 atau/ or S9 = 9 2 3231 1 2 2 2 + 21 1 2 2(3)4 + (9 – 1)14 × 1 2 24 = 101.25 1 1 1 1 1 8 14. (a) f(x) = 3 – 2x – x2 f(x) = –(x2 + 2x) + 3 f(x) = –3x2 + 2x + 1 2 2 2 2 – 1 2 2 2 2 4 + 3 f(x) = –[(x + 1)2 – 1] + 3 f(x) = –(x + 1)2 + 4 1 1 (b) f(x) = –(x + 1)2 + 4 Titik maksimum = (−1, 4) Maximum point Pada pintasan-x, –(x + 1)2 + 4 = 0 At the x-intercept, x = –3, x = 1 g(x) = |f(x)| = |–(x + 1)2 + 4| Apabila/When x = −4, g(−4) = |−(−4 + 1)2 + 4| = 5 Apabila/When x = 2, g(2) = |−(2 + 1)2 + 4| = 5 O y x –3–4 –1 1 2 3 4 5 4
Jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –8 Matematik Tambahan SPM (c) h(x) = −(x − 1)2 + 4 O y x –1 3 31 4 1 1 8 15. √5x + 2 – √5x – 2 = 1 (√5x + 2 – √5x – 2) 2 = 12 5x + 2 + 5x – 2 – 2√(5x + 2)(5x – 2) = 1 10x – 2√25x2 – 4 = 1 (10x – 1)2 = [2√25x2 – 4] 2 100x2 – 20x + 1 = 4(25x2 – 4) 100x2 – 20x + 1 = 100x2 – 16 –20x + 1 = –16 x = 17 20 atau/ or 0.85 Harga riben = RM(√5(0.85) – 2) Price of ribbon = RM√2.25 = RM1.50 1 1 1 1 1 1 1 1 8 Kertas 2 No. Penyelesaian dan Skema Pemarkahan Solution and Mark Scheme Markah Marks Jumlah Total 1. (a) K(–8, 0) M(3, 1) Biar N(–6, y) dan L(x, –3) Let N(–6, y) and L(x, –3) Titik tengah KM = Titik tengah LN Midpoint of KM Midpoint of LN 1 –8 + 3 2 , 0 + 1 2 2 = 1 –6 + x 2 , y – 3 2 2 –8 + 3 2 = –6 + x 2 x = 1 0 + 1 2 = y – 3 2 y = 4 N(–6, 4) L(1, –3) 1 1 1 1 1
jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –9 Matematik Tambahan SPM (b) Luas/Area = 1 2 –8 0 1 –3 3 1 –6 4 –8 0 = 1 2 [−8(−3) + 1(1) + 3(4) + 0(−6)] − [0(1) + (−3)(3) + 1(−6) + 4(−8)] = 1 2 37 – (–47) = 42 unit/ units 1 1 7 2. (a) 60°60° 60° θ q = 2p – p 2 – p 3 – p 2 = 2 3 p Perimeter rajah = 12(p + 3) Perimeter of the diagram (2r × 3) + 31 2 3 p × r2 = 12(p + 3) 6r + 2pr = 12p + 36 r(6 + 2p) = 6(6 + 2π) r = 6 1 1 (b) A1 = 1 2 (122 )(sin 60°) – 33 1 2 × 62 × p 3 4 = 36√3 – 18p A2 = (6 × 12) – 23 1 4 p × 62 4 = 72 – 18p Luas kawasan berlorek = 36√3 − 18p + 3(72 − 18p) Area of the shaded region = 52.13 cm2 1 1 1 5 3. (a) y = a tan bx + c Pada pintasan-y, x = 0 At the y-intercept 1 = a tan b(0) + c c = 1 Oleh sebab kala = p 2 , maka b = 2 Since the period = p 2 , then b = 2 Pada titik/At point 1 p 8 , –32 –3 = a tan 21 p 8 2 + 1 –3 – 1 = a tan p 4 a = –4 y = –4 tan 2x + 1 1 1 1 1
Jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –10 Matematik Tambahan SPM (b) 2 p tan 2 x – x = 0 –2 32 tan 2 x = xp 4 –4 tan 2 x + 1 = – 2 xp + 1 y = – 2 xp + 1 Oy x 1 ( ( , 8 –3 fi 4fi 2fi fi 43fi y = – 2 xπ + 1 2 penyelesaian 2 solutions 111 7 4. (a) a2 + b2 = – 1– 63 2 a + b 2 = 2 a + b = 4 a 2 × b 2 = 1024 9 (ab ) 2 = 1024 9 ab = 323 1111 (b) a 2 + b 2 = – n9 ( a + b ) 2 – 2ab = – n9 4 2 – 2 1 323 2 = – n9 n = 48 a2 × b2 = m3 ab4 = m3 3234 = m3 m = 8 1111 8
jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –11 Matematik Tambahan SPM 5. (a) Biar pemalar adalah c Let the constant be c h l 2 = c h = cl 2 V = 1 3 πl 2 h = 1 3 πl 2 1 cl 2 2 V = 1 6 πcl 3 dV dt = 3 6 πcl 2 = 1 2 πcl 2 l 1 2 l 2 2 h1 h2 1 1 1 l 2 2 = l 1 + x 2 dl = l 2 2 – l 1 2 = l 1 + x 2 – l 1 2 = x 2 dV = dV dl × dl = 1 2 πcl 2 × x 2 = 1 4 πcxl 2 Gantikan c = 2h l ke dalam dV Substitute c = 2h l into dV dV = 1 4 π1 2h l 2xl 2 dV = 1 2 πhlx 1 1 1 (b) Oleh sebab nilai h dan nilai l adalah positif x adalah pertambahan kecil, maka, isi padu piramid akan meningkat secara kecil. Since the value of h and the value of l are positive x is a small increment, then, the volume of the pyramid will increase slightly. 1 1 8
Jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –12 Matematik Tambahan SPM 6. (a) (i) v = 100 t + 100 (ii) r = √ v5 (iii) rv ( t) = √(100 t + 100) 5 rv ( t) = √[100( t + 1)] 5 rv ( t) = 105 √ ( t + 1) rv ( t) = 2√ ( t + 1) 11111 (b) rv(60) = 2√(60 + 1) = 15.62 cm 11 7 7. (a) r = 2 x – 4 x2 1 – 2 x r = 2 x(1 – 2 x ) 1 – 2 x r = 2 x S n = (1 − 2 x)[(2 x ) n − 1] 2 x – 1 = 1 – (2 x ) n 111 (b) S n + 2 – S n – 1 = [1 − (2 x ) n + 2] − [1 − (2 x ) n − 1 ] = (2 x ) n − 1 − (2 x ) n + 2 Bandingkan dengan 256 x8 − 2048 x11 , Compare with (2 x ) n − 1 = 256 x8 2 n – 1 xn – 1 = 256 x8 n – 1 = 8 n = 9 T9 = 256 x8 (1 – 2 x ) = 256 x8 – 512 x9 T10 = (1 – 2 x)(2 x ) 9 = 512 x9 – 1024 x10 T11 = (1 – 2 x)(2 x )10 = 1024 x10 – 2048 x11 11111 8
jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –13 Matematik Tambahan SPM 8. (a) √x 1.5 3 4 5 6 7 y x 0.7467 0.7044 0.6594 0.6324 0.5997 0.5604 O x 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2 3 4 5 6 7 y x 1 1 3 (b) (i) y x = p√x + q p = 0.6 – 0.8 6 – 0 = –0.03333 q = 0.8 (ii) Apabila/ When x = 6.25, √x = 2.5 Nilai y x yang diperoleh = 0.715 The value of y x obtained = 0.715 y 6.25 = 0.715 y = 4.469 1 1 1 1 1 10 9. (a) (i) Sisihan piawai = √10 × 9.92 × (1 – 0.92) Standard deviation = 0.8579 1
Jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –14 Matematik Tambahan SPM (ii) P ( X = 10) = 10 C10(0.92)10(1 − 0.92) 0 = 0.4344 (iii) P(sekurang-kurangnya 2 orang gagal) P(at least 2 students failed) = P(selebih-lebihnya 8 orang berjaya) P(at most 8 students success) = 1 – P ( X = 9) – P ( X = 10) = 1 – 10 C 9 (0.92) 9 (1 – 0.92) – 0.4344 = 1 − 0.3777 − 0.4344 = 0.1879 1111 (b) (i) X ~ N(184, 46.24) P ( X , 160) = P 1 Z , 160 − 184 √46.24 2 = P ( Z , −3.5294) = 0.00021 11 (ii) P(163 , X , 196) = P 1 163 − 184 √46.24 , Z , 196 − 184 √46.24 2 = P(−3.0882 , Z , 1.7647) = 1 − P ( Z , −3.0882) − P ( Z . 1.7647) = 1 – P ( Z . 3.0882) – P ( Z . 1.7647) = 1 − 0.00103 − 0.03381 = 0.9602 111 10 10. (a) y2 = 4 x (2 x – 4) 2 = 4 x 4 x2 – 16 x + 16 = 4 x 4 x2 – 20 x + 16 = 0 4( x – 4)( x – 1) = 0 x = 4, x = 1 y – 2(4) + 4 = 0, y – 2(1) + 4 = 0 y = 4, y = –2 (ditolak /Rejected ) A(4, 4) 111 (b) Pada pintasan - y, x = 0, y = −4 At the y-intercept, A1 = 12 × 4 × [4 – (–4)] A1 = 16 A2 = 40 x dy A 2 = 4 0 y24 dy A 2 = 3 y3 12 4 40 A 2 = 4 3 12 – 0 3 12 = 163 A = 16 – 163 = 323 unit 2 1111
jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –15 Matematik Tambahan SPM (c) V = 4 0 p x2 dy V = p 4 0 y4 16 dy V = p 3 y5 80 4 40 V = p 3 4 58 – 0 58 4 V = 645 p unit 3 111 10 11. (a) (i) → QS = 78 → QT = 78 ( → QO + → OT ) → QS = 78 (–12 x~ + 10 y~ ) → QS = – 212 x~ + 354 y~ (ii) → RS = → RQ + → QS = 34 → OQ + → QS = 34 (12 x~) + 3– 212 x~ + 354 y~ 4 = – 32 x~ + 354 y~ 111 (b) → RP = h 3– 32 x~ + 354 y~ 4 = – 32 h x~ + 354 h y~ → OR = → OP + → PR 12 (12 x~ ) = m x~ + n y~ – 3– 32 h x~ + 354 h y~ 4 6 x~ = ( m + 32 h ) x~ + 1 n – 354 h 2 y~ Secara perbandingan, To compare, 6 = m + 32 h m = 6 – 32 h 0 = n – 354 h n = 354 h 111
Jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –16 Matematik Tambahan SPM (c) → OP = k → OT = k(10y ~ ) = 10ky ~ Secara perbandingan dengan → OP = mx ~ + ny ~ . To compare with →OP = mx ~ + ny ~ . m = 0 6 – 3 2 h = 0 h = 4 n = 10k 35 4 = 10k k = 7 8 Biar tinggi ∆ORP = tinggi ∆ORS = t Let the height ∆ORP = height ∆ORS = t luas ∆ORP luas ∆ORS = 1 2 × t × |RP| 1 2 × t × |RS| = | → RP| | → RS| Oleh sebab → RP = 4→ RS, maka luas ∆ORP : luas ∆ORS = 4 : 1 Since →RP = 4→RS, hence area ∆ORP : area ∆ORS = 4 : 1 1 1 1 1 10 12. (a) 25x + 40y < 1450 atau/or 5x + 8y < 290 y , 2x y – 1 3 x > 5 1 1 1 O x 5 5 10 15 20 25 30 35 40 50 55 10 15 20 25 30 35 y R y = 2x 3y = x + 15 3 (b)
jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –17 Matematik Tambahan SPM (c) (i) Bilangan maksimum jaket yang dijual = 20 Maximum number of jackets sold (ii) Biar keuntungan = k Let the profit k = (25 − 20) x + (40 − 25) y k = 5 x + 15 y Keuntungan maksimum = 5(14) + 15(27) = RM 475 Maximum profit 1111 10 13. (a) a = 0 24 t – 16 = 0 t = 23 s 1 (b) Apabila halaju minimum, a = 0, t = 23 s When minimum velocity v = 24t – 16 dt v = 24t 2 2 – 16t + c v = 12t2 – 16 t + c Apabila/ When t = 0, v = –3 v = 12 t2 – 16 t – 3 v = 12 1 23 2 2 – 16 1 23 2 – 3 = – 253 m s–1 111 (c) Di titik M, v = 0 At point M 12 t2 − 16 t − 3 = 0 (2 t − 3)(6 t + 1) = 0 t = 32 , t = – 16 (diabaikan /ignored ) a = 24 1 32 2 – 16 = 20 m s–2 111 (d) Jarak /Distance = 32 1 v dt = 32 1 12 t2 – 16 t – 3dt = 3 12 t3 3 – 16 t 2 2 – 3 t4 321 = 3 4 t3 – 8 t2 – 3 t4 321 = 3 4 1 32 2 3 – 8 1 32 2 2 – 3 1 32 24 – [4(1) 3 – 8(1) 2 – 3(1) 4 = |−9 − (−7)| = |−2| = 2 m 111 10
Jawapan © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. J –18 Matematik Tambahan SPM 14. (a) y = x – 0.15 …… 1 yx × 100 = 90 y = 0.9 x …… 2 Gantikan 2 ke dalam 1 , Substitute 2 into 1 , 0.9 x = x – 0.15 x = 1.50 y = 1.50 – 0.15 = 1.35 1111 (b) I 2020/2017 = 90(80)+120(70)+125(120)+110(90) 360 = 112.5 59220 P2017 × 100 = 112.5 P2017 = RM52640 1111 (c) I 2020/2017 = P2023 P2020 × P2020 P2017 × 100 = 140 100 × 112.5 100 × 100 = 157.5 Peratusan perubahan = 57.5% The percentage change 11 10 15. (a) (i) 12 (8)(14)(sin ∠PQR ) = 50 ∠PQR = 63.23° (ii) PR 2 = 8 2 + 14 2 − 2(8)(14)(kos/cos 63.23°) PR = 12.61 cm (iii) 8 sin ∠PRQ = 12.61 sin 63.23° ∠PRQ = 34.50° 111111 (b) (i) 14 8 P fi R fi Q fi (ii) ∠QPR = 180° − 34.5° − 63.23° = 82.27° ∠Q'P'R' = 180° − 82.27° = 97.73° ∠P'Q'R' = 180° − 97.73° − 34.5° = 47.77° Isi padu prisma = 12 (8)(14)(sin 47.77°) × 10 Volume of prism = 414.65 cm 3 1111 10
A+ Kertas Model Kertas 1 & Kertas 2 4 Set Kertas Model Jawapan Berdasarkan Skema Pemarkahan Set Dapat Dileraikan Berdasarkan Format Baharu SPM Mulai 2021 https://qr.pelangibooks.com/?u=lMLb1UUt Imbas, daftar dan masukkan Enrolment Key: v8y/B?E( SPM SKOR 1 Set + Set Ekstra! PERCUMA BELI Moh Sin Yee Wong Kiat Hi MATEMATIK TAMBAHAN ADDITIONAL MATHEMATICS [3472] ISBN: 978-629-470-090-1 FC068133 W.M: RM8.65 /E.M: RM8.95 Sila layari https://plus.pelangibooks.com/errata/ untuk mendapatkan pengemaskinian bagi buku ini (sekiranya ada). Cetakan Pertama 2023 3 Dicetak di Malaysia oleh The Commercial Press Sdn. Bhd. Lot 8, Jalan P10/10, Kawasan Perusahaan Bangi, Bandar Baru Bangi, 43650 Bangi, Selangor Darul Ehsan, Malaysia. Subject Font Size: 74 pt FC068133 MATEMATIK TAMBAHAN | ADDITIONAL MATHEMATICS A Kertas Model + [3472] + Kertas Model Mesti dimiliki untuk membiasakan diri dengan A format baharu SPM dan menjawab soalan dengan yakin! MATEMATIK TAMBAHAN | ADDITIONAL MATHEMATICS Book Format: 260mm x 190mm Spine: Sadle Stiching Status: CRC Date: 27/6/23 PERKARA Jenis instrumen Jenis soalan Bilangan soalan Jumlah markah Tempoh ujian Ujian bertulis • Bahagian A – 12 soalan (64 markah) (Jawab semua soalan) • Bahagian B – 3 soalan (16 markah) (Jawab dua soalan) 80 markah 2 jam • Subjektif respons terhad • Subjektif respons terhad berstruktur • Bahagian A – 7 soalan (50 markah) (Jawab semua soalan) • Bahagian B – 4 soalan (30 markah) (Jawab tiga soalan) • Bahagian C – 4 soalan (20 markah) (Jawab dua soalan) 100 markah 2 jam 30 minit KERTAS 1 KERTAS 2 PERKARA Jenis instrumen Jenis soalan Bilangan soalan Jumlah markah Tempoh ujian Ujian bertulis • Bahagian A – 12 soalan (64 markah) (Jawab semua soalan) • Bahagian B – 3 soalan (16 markah) (Jawab dua soalan) 80 markah 2 jam • Subjektif respons terhad • Subjektif respons terhad berstruktur • Bahagian A – 7 soalan (50 markah) (Jawab semua soalan) • Bahagian B – 4 soalan (30 markah) (Jawab tiga soalan) • Bahagian C – 4 soalan (20 markah) (Jawab dua soalan) 100 markah 2 jam 30 minit KERTAS 1 KERTAS 2 SUBJEK Judul-judul dalam siri ini: BAHASA MELAYU ENGLISH BAHASA CINA MATEMATIK | MATHEMATICS MATEMATIK TAMBAHAN | ADDITIONAL MATHEMATICS SAINS | SCIENCE BIOLOGI | BIOLOGY FIZIK | PHYSICS KIMIA | CHEMISTRY SEJARAH PERNIAGAAN EKONOMI PRINSIP PERAKAUNAN PENDIDIKAN MORAL PENDIDIKAN ISLAM ✓ BAHASA MELAYU ✓ ✓ ENGLISH ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ UJIAN LISAN UJIAN LISAN