Top Class Additional Mathematics Tg 5

Form IC095131S


CLASS 5 5 KSSM
5
KSSM




Additional Mathematics
Additional Mathemetics
Matematik T ambahan CLASS

Top Class KSSM - Top Quality materials for Top Performance in school-based
and the SPM exam. Packed with essential features and digital initiatives
CLASS
towards 21 Century Learning.
st

Special Features: TOP KSSM TITLES 1 2 3 4 5 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
Subjects / Forms

SMART Notes Bahasa Melayu
SMART Notes
SMART Notes
English
5 5
SMART Tips Bahasa Cina Form
SMART Tips
SMART Tips
Mathematics / Matematik
KSSM
Worked Examples
Worked Examples Additional Mathematics / Matematik Tambahan Additional Mathematics 5
Worked Examples
KSSM
KSSM
Biology / Biologi KSSM
Topical Practices
Topical Practices Physics / Fizik Teacher’s Edition
Topical Practices
Chemistry / Kimia
SPM Practices Science / Sains
SPM Practices
SPM Practices
Geografi
Additional Mathemetics
HOTS Challenges
HOTS Challenges Sejarah
HOTS Challenges
Pendidikan Islam Additional Mathematics
SPM Model Paper
SPM Model Paper Ekonomi
SPM Model Paper
QR Prinsip Perakaunan Matematik T ambahan
Code Perniagaan
PAK-21 Corner
PAK-21 Corner
PAK-21 Corner
Fully Worked Solutinns for All QR Form 5 Dr. V. Sarveswary
Fully Worked Solutions for All
Fully Worked Solutinns for All
Code
Questions in FREE BOOKLET
Questions in FREE BOOKLET Topical Practices Dr. Pauline Wong Mee Kiong
Questions in FREE BOOKLET
SPM Practices
www.PelangiBooks.com PAK-21 Pakej PdPR
• Online Bookstore • Online Library • Pengajaran dan Pembelajaran di Rumah
HOTS
Rekod Pencapaian
IC095131S PAK-21
ISBN: 978-967-2907-80-0 NEW SPM ASSESSMENT Online Quick Quiz
FORMAT 2021 SPM Model Paper

Contents






Redod Pencapaian Pentaksiran Murid iii – vi
CHAPTER Probability Distribution xx
5
CHAPTER Circular measure 1 Taburan Kebarangkalian
1
Sukatan membulat
Pemboleh Ubah Rawak
5.1 Random Variable xx
5.2 Binomial Distribution xx
1.1 Radian xx Taburan Binomial
1.2 Arc Length of a Circle xx 5.3 Normal Distribution xx
Panjang Lengkok Suatu Bulatan
Taburan Normal
1.3 Area of Sector of a Circle xx SPM Practice 5 xx
Luas Sektor Suatu Bulatan HOTS Challenge xx
1.4 Application of Circular Measures xx Online Quick Quiz QR code PAK-21 Corner QR code xx
Aplikasi Sukatan Membulat
SPM Practice 1 .xx CHAPTER
HOTS Challenge xx 6 Trigonometric Functions xx
Online Quick Quiz QR code PAK-21 Corner QR code xx Fungsi Trigonometri
CHAPTER Differentiation xx 6.1 Positive Angles and Negative Angles xx
Sudut Positif dan Sudut Negatif

2
6.2 Trigonometric Ratios of any Angle
Pembezaan Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved xx
Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut
6.3 Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions xx
2.1 Limit and its Relation to Differentiation xx Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen
Had dan Hubungannya dengan Pembezaan 6.4 Basic Identities xx
2.2 The First Derivative xx Identiti Asas
Pembezaan Peringkat Pertama 6.5 Addition Formulae and Double Angle Formulae xx
2.3 The Second Derivative xx Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda
Pembezaan Peringkat Kedua 6.6 Application of Trigonometric Functions xx
2.4 Application of Differentiation xx Aplikasi Fungsi Trigonometri
Aplikasi Pembezaan SPM Practice 6 xx
xx
HOTS Challenge
SPM Practice 2 xx Online Quick Quiz QR code PAK-21 Corner QR code xx
HOTS Challenge xx
Online Quick Quiz QR code PAK-21 Corner QR code xx
CHAPTER Linear Programming
7
CHAPTER Integration xx Pengaturcaraan Linear
3
Pengamiran
Model Pengaturcaraan Linear
7.1 Linear Programming Model xx
3.1 Integration as the Inverse of Differentiation xx 7.2 Application of Linear Programming xx
Pengamiran Sebagai Songsangan Pembezaan Aplikasi Pengaturcaraan Linear
3.2 Indefinite Integral xx SPM Practice 7 xx
Kamiran Tak Tentu HOTS Challenge xx
2.3 Definite Integral xx Online Quick Quiz QR code PAK-21 Corner QR code xx
Kamiran Tentu
2.4 Application of Integral xx CHAPTER Kinematics of Linear Motion xx
Aplikasi Pengamiran 8 Kinematik Gerakan Linear
SPM Practice 3 xx
HOTS Challenge xx
Online Quick Quiz QR code PAK-21 Corner QR code xx 8.1 Displacement, Velocity and Acceleration as a Function of
Time xx
Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa
CHAPTER Permutation and Combination xx 8.2 Differentiation in Kinematics of Linear Motion xx
4

Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear
Pilih Atur dan Gabungan
8.3 Integration in Kinematics of Linear Motion xx
Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear
4.1 Permutation xx 8.4 Application of Kinematics of Linear Motion xx
Pilih Atur Aplikasi Kinematik Gerakan Linear
4.2 Combination xx SPM Practice 8 xx
Gabungan HOTS Challenge xx
SPM Practice 4 xx Online Quick Quiz QR code PAK-21 Corner QR code xx
HOTS Challenge xx SPM Model Paper xx
Online Quick Quiz QR code PAK-21 Corner QR code xx

Answer


© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. ii

Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid

QR BM
Form 5 Additional Mathematics / Matematik Tambahan Tingkatan 5






Student’s name: ………………………………….……………………… Class: ………………………………….
Nama murid: Kelas:
Achievement
Performance Penguasaan
Chapter level Descriptor
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
Bab Tahap Deskriptor (✓) (✗)
penguasaan Achieve Not yet achieve
Menguasai Belum menguasai
Demonstrate the basic knowledge of circular measure.
1
Mempamerkan pengetahuan asas tentang sukatan membulat.

Demonstrate the understanding of circular measure.
2
Mempamerkan kefahaman tentang sukatan membulat.
Apply the understanding of circular measure to perform simple
3 tasks.
Mengaplikasikan kefahaman tentang sukatan membulat untuk melaksanakan
tugasan mudah.
1
CIRCULAR MEASURE Apply appropriate knowledge and skills of circular measure in the
context of simple routine problem solving.
SUKATAN MEMBULAT 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan
membulat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Apply appropriate knowledge and skills of circular measure in the
5 context of complex routine problem solving.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan
membulat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

Apply appropriate knowledge and skills of circular measure in the
context of non-routine problem solving in a creative manner.
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan
membulat dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Demonstrate the basic knowledge of differentiation.
1
Mempamerkan pengetahuan asas tentang pembezaan.

2 Demonstrate the understanding of differentiation.
Mempamerkan kefahaman tentang pembezaan.
Apply the understanding of differentiation to perform simple tasks.
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pembezaan untuk melaksanakan tugasan
mudah.
2 Apply appropriate knowledge and skills of differentiation in the
DIFFERENTIATION 4 context of simple routine problem solving.
PEMBEZAAN Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

Apply appropriate knowledge and skills of differentiation in the
5 context of complex routine problem solving.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Apply appropriate knowledge and skills of differentiation in the
6 context of non-routine problem solving in a creative manner.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.




iii © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Mathematics Form 4 Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid

Achievement
Performance Penguasaan
Chapter level Descriptor
Bab Tahap Deskriptor (✓) (✗)
penguasaan Achieve Not yet achieve
Menguasai Belum menguasai
Demonstrate the basic knowledge of integration.
1
Mempamerkan pengetahuan asas tentang pengamiran.
Demonstrate the understanding of integration.
2
Mempamerkan kefahaman tentang pengamiran.
Apply the understanding of integration to perform simple tasks.
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan
tugasan mudah.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
3 Apply appropriate knowledge and skills of integration in the
INTEGRATION 4 context of simple routine problem solving.
PENGAMIRAN Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengamiran
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Apply appropriate knowledge and skills of integration in the
5 context of complex routine problem solving.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengamiran
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Apply appropriate knowledge and skills of integration in the
6 context of non-routine problem solving in a creative manner.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengamiran
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Demonstrate the basic knowledge of permutation and
1 combination.
Mempamerkan pengetahuan asas tentang pilih atur dan gabungan.
2 Demonstrate the understanding of permutation and combination.
Mempamerkan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan.
Apply the understanding of permutation and combination to
3 perform simple tasks.
Mengaplikasikan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan untuk
4 melaksanakan tugasan mudah.
PERMUTATION AND Apply appropriate knowledge and skills of permutation and
COMBINATION combination in the context of simple routine problem solving.
PILIH ATUR DAN 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pilih atur
GABUNGAN dan gabungan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Apply appropriate knowledge and skills of permutation and
5 combination in the context of complex routine problem solving.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pilih atur
dan gabungan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Apply appropriate knowledge and skills of permutation and
combination in the context of non-routine problem solving in a
6 creative manner.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pilih atur
dan gabungan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Demonstrate the basic knowledge of random variables.
Mempamerkan pengetahuan asas tentang pemboleh ubah rawak.
Demonstrate the understanding of probability distribution.
2
Mempamerkan kefahaman tentang taburan kebarangkalian.
5
PROBABILITY Apply the understanding of probability distribution to perform
DISTRIBUTION 3 simple tasks.
TABURAN KEBARANGKALIAN Mengaplikasikan kefahaman tentang taburan kebarangkalian untuk
melaksanakan tugasan mudah.
Apply appropriate knowledge and skills of probability distribution
4 in the context of simple routine problem-solving.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan
kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.







© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. iv

Mathematics Form 4 Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid

Achievement
Performance Penguasaan
Chapter level Descriptor
Bab Tahap Deskriptor (✓) (✗)
penguasaan Achieve Not yet achieve
Menguasai Belum menguasai
Apply appropriate knowledge and skills of probability distribution
5 in the context of complex routine problem-solving.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan
kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Apply appropriate knowledge and skills of probability distribution
6 in the context of non-routine problem-solving in a creative manner.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan
kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Demonstrate the basic knowledge of trigonometric functions.
Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi trigonometri.
2 Demonstrate the understanding of trigonometric functions.
Mempamerkan kefahaman tentang fungsi trigonometri.
3 Apply the understanding of trigonometric functions to perform
simple tasks.
Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan
tugasan mudah.
6 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
TRIGONOMETRIC 4 Apply appropriate knowledge and skills of trigonometric functions
FUNCTIONS in the context of simple routine problem solving.
FUNGSI TRIGONOMETRI Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi
trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Apply appropriate knowledge and skills of trigonometric functions
in the context of complex routine problem solving.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi
trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Apply appropriate knowledge and skills of trigonometric functions
in the context of non-routine problem solving in a creative manner.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi
trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Demonstrate the basic knowledge of linear programming model.
Mempamerkan pengetahuan asas tentang model pengaturcaraan linear.

2 Demonstrate the understanding of linear programming model.
Mempamerkan kefahaman tentang model pengaturcaraan linear.

3 Apply the understanding of linear programming model to perform
simple tasks.
Mengaplikasikan kefahaman tentang model pengaturcaraan linear untuk
melaksanakan tugasan mudah.
7
LINEAR 4 Apply appropriate knowledge and skills of linear programming in
PROGRAMMING the context of simple routine problem solving.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang
PENGATURCARAAN pengaturcaraan linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
LINEAR
5 Apply appropriate knowledge and skills of linear programming in
the context of complex routine problem solving.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang
pengaturcaraan linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang
kompleks.
6 Apply appropriate knowledge and skills of linear programming in
the context of non-routine problem solving in a creative manner.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang
pengaturcaraan linear dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara
kreatif.







v © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Mathematics Form 4 Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid

Achievement
Performance Penguasaan
Chapter level Descriptor
Bab Tahap Deskriptor (✓) (✗)
penguasaan Achieve Not yet achieve
Menguasai Belum menguasai
Demonstrate the basic knowledge of displacement, velocity and
1 acceleration.
Mempamerkan pengetahuan asas tentang sesaran, halaju dan pecutan.

Demonstrate the understanding of displacement, velocity and
2 acceleration.
Mempamerkan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
Apply the understanding of displacement, velocity and acceleration
3 to perform simple tasks.
Mengaplikasikan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan untuk
8 melaksanakan tugasan mudah.
KINEMATICS OF
LINEAR MOTION Apply appropriate knowledge and skills of kinematics of linear
KINEMATIK GERAKAN 4 motion in the context of simple routine problem solving.
LINEAR Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kinematik
gerakan linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

Apply appropriate knowledge and skills of kinematics of linear
5 motion in the context of complex routine problem solving.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kinematik
gerakan linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

Apply appropriate knowledge and skills of kinematics of linear
motion in the context of non-routine problem solving in a creative
6 manner.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kinematik
gerakan linear dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
















































© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. vi

CHAPTER Permutation and Combination


1 4

Pilih Atur dan Gabungan





4.1 Permutation pg. xx – xxx
Textbook
Pilih atur

SMART Notes
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
1. Multiplication rule: (b) r objects from n objects
Petua pendaraban: r objek daripada n objek
If an event P happens in m ways and event Q happens
n
in n ways, then the number of ways that event P = P r
n!
happens followed by event Q is m × n. = (n – r)!
Jika suatu peristiwa P berlaku dalam m cara dan peristiwa Q
berlaku dalam n cara, maka, bilangan cara peristiwa P berlaku = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1)
diikuti peristiwa Q ialah m × n.
Note: P 0 = 1
n
2. The number of permutations for
Bilangan pilih atur bagi (c) n objects involving identical objects.
(a) n different objects n objek melibatkan objek yang serupa
n objek berbeza
n!
= n! = p!q!r !
n
= P n
= n(n – 1)(n – 2) … (3)(2)(1)
Note: 0! = 1! = 1



1. Solve the following problems. PL 3
Selesaikan masalah berikut.

Example (a) Find the number of different (b) Siti has 6 pens of different
In how many ways can a 3-digit three-letter codes that can be colours. In how many ways
number be made using digits 5, 6, formed using the letters from can she arrange 4 of them in
3, 4, 8, 9? the word TRIGO? a line?
Dalam berapa carakah nombor 3 digit Cari bilangan kod lima huruf yang Siti mempunyai 6 batang pen yang
boleh dibentuk dengan menggunakan digit berlainan yang dapat dibentuk berlainan warna. Dalam berapa
5, 6, 3, 4, 8, 9? menggunakan huruf dalam carakah 4 batang daripada pen-pen
perkataan TRIGO? itu boleh disusunnya dalam satu
Answer/ Jawapan: baris?
Number of ways Answer/ Jawapan:
Bilangan cara Number of ways Answer/ Jawapan:
6 Bilangan cara Number of ways
= P 3
5
= 120 = P 3 Bilangan cara
= 60 6
= P 4
= 360

















1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Additional Mathematics Form 5 Chapter 4 Permutation and Combination

2. Solve the following problems. Analysing PL 4
Selesaikan masalah berikut.
Example
In how many ways can the letters from the word NUMERICAL be arranged if
Dalam berapa carakah huruf daripada perkataan NUMERICAL boleh disusun jika
(i) there are no restrictions,
tiada sebarang syarat, CALCULATOR
(ii) it must start with ‘M’ and end with ‘R’, Press / Tekan
mesti bermula dengan ‘M’ dan berakhir dengan ‘R’,
(iii) the letters CAL must be together? 3 SHIFT x –1 × 7
Huruf CAL mesti Bersama? SHIFT x –1 = 30240

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
Answer/ Jawapan: 3!

(i) Number of ways = 9! = 362 880 (ii) C A L

(ii) M R 7!
Number of ways / Bilangan cara
7! = 3! × 7!
= 30 240
Number of ways / Bilangan cara
= 1 × 7! × 1
= 5 040









(a) In how many ways can the letters from the word PRODUCT be arranged if
Dalam berapa carakah huruf daripada perkataan PRODUCT boleh disusun jika
(i) there are no restrictions,
tiada sebarang syarat,
(ii) the consonants are always together?
huruf konsonan sentiasa bersama?

Answer/ Jawapan:
(i) Number of ways = 7! = 5 040


5!

(ii) P R D C T

3!
Number of ways/ Bilangan cara
= 5! × 3!
= 720

















© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 2

Additional Mathematics Form 5 Chapter 4 Permutation and Combination


(b) Find the number of different ways to form 4-digit number using digits 2, 3, 4, 5, 6 and 7 if
Cari bilangan cara yang berbeza untuk membentuk nombor 4 digit dengan menggunakan digit 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 jika
(i) repitition of number is allowed,
ulangan digit dibenarkan,
(ii) repetition of number is not allowed,
ulangan digit tidak dibenarkan,
For the case of no repetitions are allowed find the 4-digit numbers if the numbers are
Bagi kes ulangan digit tidak dibenarkan, cari nombor-nombor 4-digit sekiranya nombor nombor tersebut
(iii) more than 4 000,
lebih daripada 4 000,
(iv) odd numbers less than 3 000
nombor ganjil kurang daripada 3 000
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
Answer / Jawapan:
(i) Number of ways (ii) 4 ways (iv) 3 ways
Bilangan cara
= 6 × 6 × 6 × 6 4, 5, 6, 7 2 3, 5, 7
= 1 296
5 4 ways 3 ways
P 3
(ii) Number of ways Number of ways Number of ways
Bilangan cara
6 Bilangan cara Bilangan cara
= P 4 5 = 1 × 4 × 3 × 3
= 360 = 4 × P 3
= 240 = 36









(c) Find the number of ways to arrange 5 boys and 4 girls in a line where
Cari bilangan cara untuk menyusun 5 lelaki dan 4 perempuan dalam satu barisan dengan
(i) the first two are girls,
dua yang pertama adalah perempuan,
(ii) the first is a boy and the last is a girl,
yang pertama ialah lelaki, dan yang terakhir ialah perempuan,
(iii) the boys are together,
lelaki mesti berdiri bersama-sama,
(iv) no two boys stand next to each other.
tiada lelaki yang berdiri berdampingan.

Answer / Jawapan:
(i) Number of ways (iii) Number of ways
Bilangan cara Bilangan cara
4
4 7 = P 5 × P 4 × 5
5
= P 2 × P 7
= 60 480 = 14 400
(ii) Number of ways (ii) Number of ways
Bilangan cara Bilangan cara
5 7 4 5 4
= P 1 × P 7 × P 1 = P 1 × P 4
= 100 800 = 2 880














3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Additional Mathematics Form 5 Chapter 4 Permutation and Combination

3. Solve the following problems.
Selesaikan masalah berikut.

Example (a) Determine the number of ways (b) Find the number of different
In how many ways can all the letters in which all the letters in the ways to arrange 7-digit number
in the word MATHEMATICIAN be word STATISTICIAN can be with three 4’s, two 3’s and two
arranged? arranged. 2’s be arranged.
Dalam berapa carakah kesemua huruf Kenalpasti bilangan cara kesemua Cari bilangan cara berbeza untuk
dalam perkataan MATHEMATICIAN dapat huruf dalam perkataan STATISTICIAN menyusun nombor 7 digit dengan tiga
disusun? dapat disusun. digit 4, dua digit 3 dan duat digit 2
dapat disusun?
Answer / Jawapan: Answer / Jawapan:
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
Number of ways Number of ways Answer / Jawapan:
Bilangan cara Bilangan cara Number of ways
13! 12! Bilangan cara
= =
3! × 2! × 2! × 2! 3! × 3! × 2! × 2! = 7!
= 129 729 600 = 3 326 400 3! × 2! × 2!
= 210








4. Solve the following problems.
Selesaikan masalah berikut.

Example
A football team plays 10 games during a season. In how many ways can it end the season with 4 wins, 4
loses and 2 ties?
Satu pasukan bola sepak bermain 10 perlawanan dalam satu musim. Dengan berapa carakah pasukan itu dapat menamatkan
musim itu dengan 4 kemenangan, 4 kekalahan dan 2 seri?

Answer / Jawapan:
Number of ways / Bilangan cara
10!
= = 3 150
4! × 4! × 2!

(a) Seven people eat dinner together in a restaurant, (b) Devi has 10 pendants that she wants to arrange in
in how many ways may three people order her jewellery box. In how many ways that Devi
noodles, two people order rice and two people can arrange her pendants if she has 3 identical
order pasta? yellow pendants, 5 identical blue pendants, 1
Tujuh orang makan malam bersama-sama di sebuah green pendant and 1 white pendant?
restoran, dengan berapa carakah tiga orang memesan Devi mempunyai 10 loket yang ingin disusun di dalam
mee, dua orang memesan nasi dan dua orang lagi memesan kotak barangan kemasnya. Dalam berapa carakah Devi
pasta? boleh menyusun loketnya, sekiranya dia mempunyai 3 loket
kuning yang serupa, 5 loket biru yang serupa, 1 loket hijau
Answer / Jawapan: dan 1 loket putih?
Number of ways
Bilangan cara Answer / Jawapan:
7! Number of ways
=
3! × 2! × 2! Bilangan cara
= 210 = 10!
5! × 3!
= 5 040









© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 4

Additional Mathematics Form 5 Chapter 4 Permutation and Combination

5. Solve the following problems. PL 1
Selesaikan masalah berikut.

Example
Rita needs to arrange 5 chairs around a round table for a group discussion. In how many ways could she
arrange the chairs?
Rita perlu menyusun 5 buah kerusi di sekeliling sebuah meja bulat untuk perbincangan kumpulan. Dalam berapa carakah dia boleh
menyusun kerusi-kerusi tersebut?

Answer / Jawapan: If n distinct objects are arranged around a circle, then the
Number of ways circular permutation of the object is (n – 1)!.
Bilangan cara Jika n objek berbeza disusun di sekeliling bulatan, maka,
pilih atur membulat objek itu ialah (n – 1)!.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
= (5 – 1)! = 24
(a) In how many ways can 6 different flavoured ice cream be arranged around a circular tray?
Dalam berapa carakah 6 jenis aiskrim berbeza perasa dapat disusun di sekeliling dulang berbentuk bulat?

Answer / Jawapan:
Number of ways
Bilangan cara
= (5 – 1)! = 24



(b) Find the number of ways to arrange 4 fiction books and 2 non-fiction books in a shelf if
Cari bilangan cara untuk menyusun 4 buah buku fiksyen dan 2 buah buku bukan fiksyen di dalam sebuah rak buku jika
(i) the 2 non-fiction books are always separated,
kedua-dua buku bukan fiksyen sentiasa dipisahkan,
(ii) the 4 fiction books are always together.
4 buah buku fiksyen sentiasa bersama.

Answer / Jawapan:
(i) Number of ways (ii) Number of ways
Bilangan cara Bilangan cara
= 2! × 4! = 48 = 4! × 3! = 144





(c) Diagram shows nine letter cards.
Rajah menunjukkan sembilan keping kad huruf.


A M P L I T U D E

A five-letter code is to be formed using five of these cards. Find
Suatu kod lima huruf akan dibentuk dengan menggunakan lima daripada kad-kad itu. Cari
(i) the number of different five-letter codes that can be formed,
bilangan kod lima huruf yang berlainan yang dapat dibentuk,
(ii) the number of different five letter codes that begin with vowel and end with consonant.
bilangan kod lima huruf yang berlainan yang bermula dengan huruf vokal dan berakhir dengan huruf konsonan.

Answer / Jawapan:
(i) Number of ways (ii) Number of ways
Bilangan cara Bilangan cara
4
5
7
= P 5 = 15 120 = P 1 × P 3 × P 1 = 4 200
9






5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Additional Mathematics Form 5 Chapter 4 Permutation and Combination

4.2 Combination pg. xx – xx
Textbook
Gabungan


SMART Notes

1. The number of combinations of r objects from n objects is
Bilangan gabungan bagi r objek daripada n objek ialah
n!
n C r = (n – r)!r!
n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1)
= r!
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
n
2. C 0 = C n = 1
n
6. Solve the following problems.
Selesaikan masalah berikut.
Example (a) Find the number of ways of selecting 3 books out
Find the number of ways of selecting 5 cookies from of 16 books on a shelf.
25 cookies in a jar. Cari bilangan cara memilih 3 buah buku daripada 16 buah
Cari bilangan cara memilih 5 keping biskut daripada 25 keping buku di atas sebuah rak buku.
biskut dari sebuah balang.
Answer / Jawapan:
Answer / Jawapan: CALCULATOR Number of ways
Number of ways Bilangan cara
16
Bilangan cara Press / Tekan = C 3
25 2 5 SHIFT = 560
= C 5
= 53 130 n
C r 5 = 53 130













(b) In how many ways can 4 boys and 5 girls be (c) A debating team consists of 5 students. These
chosen from 7 boys and 7 girls? 5 students are chosen from 5 class monitors, 3
Dalam berapa carakah 4 orang lelaki dan 5 orang assistant monitors and 3 prefects. Calculate the
perempuan boleh dipilih daripada 7 orang lelaki dan 7 number of different ways that the team could
orang perempuan? be formed if there are no restrictions.
Suatu pasukan debat terdiri daripada 5 orang pelajar.
Answer / Jawapan: Kelima-lima orang pelajar tersebut dipilih daripada 5
Number of ways orang ketua darjah, 3 orang penolong ketua darjah dan
Bilangan cara 3 orang pengawas. Hitung bilangan cara yang berbeza
7 7 supaya pasukan tersebut dapat dibentuk jika tiada syarat
= C 4 × C 5
= 735 dikenakan.
Answer / Jawapan:
Number of ways
Bilangan cara
11
= C 5
= 462








© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 6

Additional Mathematics Form 5 Chapter 4 Permutation and Combination

7. Solve the following problems.
Selesaikan masalah berikut.

Example
A badminton team consists of 7 students. The team will be chosen from a group of 10 boys and 5 girls.
Find the number of teams that can be formed such that each team consists of
Suatu pasukan badminton terdiri daripada 7 orang pelajar. Pasukan tersebut akan dipilih daripada sekumpulan 10 orang lelaki
dan 5 orang perempuan. Cari bilangan pasukan yang dapat dibentuk supaya pasukan tersebut terdiri daripada
(i) exactly 5 boys,
tepat 5 orang lelaki,
(ii) not more than 3 girls.
tidak lebih daripada 3 orang perempuan.

Answer / Jawapan:
(i) Number of team/ Bilangan pasukan
5
10
= C 5 × C 2
= 2 520
(ii) Number of team/ Bilangan pasukan
5 10 5 10 5 10 5 10
= C 0 × C 7 + C 1 × C 6 + C 2 × C 5 + C 3 × C 4
= 5 790 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved















(a) Four letters from the word FRACTION are selected at random. Find the number of different
combinations if
Empat huruf daripada perkataan FRACTION dipilih secara rawak. Cari bilangan gabungan yang berbeza jika
(i) there are no restrictions on the letters selected,
tiada syarat untuk huruf-huruf yang dipilih,
(ii) the letter C must be selected.
huruf C mesti dipilih.
Answer / Jawapan:
(i) Number of combinations / Bilangan gabungan
8
= C 4
= 70
(ii) Number of combinations / Bilangan gabungan
1 7
= C 1 × C 3
= 35




















7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Additional Mathematics Form 5 Chapter 4 Permutation and Combination

(b) A committee made up of 6 members is chosen from 5 district officers, 7 principles and 10 teachers. In
how many ways can the committee be formed if
Satu jawatankuasa yang terdiri daripada 6 orang ahli dipilih daripada 5 orang pegawai daerah, 7 orang pengetua dan 10
orang guru. Dalam berapa carakah jawatankuasa itu boleh dibentuk jika
(i) there are no restrictions,
tiada syarat dikenakan,
(ii) the committee consists of two or three district officers,
jawatankuasa tersebut terdiri daripada dua atau tiga orang pegawai daerah,
(iii) the committee must consist of at least 4 principles.
jawatankuasa tersebut mesti terdiri daripada sekurang-kurangnya 4 orang pengetua.
Answer / Jawapan:
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
(i) Number of ways / Bilangan cara
22
= C 6
= 74 613
(ii) Number of ways / Bilangan cara
5 17 5 17
= C 2 × C 4 + C 3 × C 3
= 30 600


(iii) Number of ways / Bilangan cara
7 15 7 15 7 15
= C 4 × C 2 + C 5 × C 1 × C 6 × C 0
= 3 997








(c) A firm has 4 vacancies to fill by 20 applicants in which 12 of them are men and 8 are women. Calculate
the number of ways in which these vacancies could be filled if
Sebuah firma mempunyai 4 jawatan kosong untuk dipenuhi oleh 20 pemohon dimana 12 orang daripadanya ialah lelaki dan
8 orang daripadanya ialah perempuan. Hitung bilangan cara jawatan kosong ini boleh dipenuhi jika
(i) there are no restrictions,
tiada syarat dikenakan,
(ii) a minimum of 3 men must be chosen,
minimum 3 orang lelaki mesti dipilih,
(iii) 1 or 2 women must be chosen.
1 atau 2 orang perempuan mesti dipilh.

Answer / Jawapan:
(i) Number of ways / Bilangan cara
10
= C 4
= 4 845
(ii) Number of ways / Bilangan cara
12 8 12 8
= C 3 × C 1 + C 4 × C 0
= 2 255
(iii) Number of ways / Bilangan cara
8 12 8 12
= C 1 × C 3 + C 2 × C 2
= 3 608












© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 8

Additional Mathematics Form 5 Chapter 4 Permutation and Combination

SPM Practice 4




Paper 1 (i) all the five students are boys,
kelima-lima murid ialah lelaki,
(ii) two boys and three girls are choosen.
1. Diagram shows six cards of different letters. Dua orang murid lelaki dan tiga orang murid
SPM Rajah menunjukkan enam keping kad berlainan huruf.
2016 perempuan dipilih. [3]
F A C T O R
Answer / Jawapan:
Calculate the number of different ways to arrange all the (a) n
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
cards in a row if (b) (i) 21; (ii) 420
Hitung bilangan cara yang berlainan untuk menyusun semua
kad itu dalam satu baris jika
(a) there is no restriction,
tiada syarat dikenakan, [1]
(b) the first card is a consonant and the last card is a
vowel.
kad pertama ialah huruf konsonan dan kad terakhir
merupakan huruf vokal. [3]
7
4. (a) Given C n . 1, list out all the possible values of n.
Answer / Jawapan: SPM Diberi C n . 1, senaraikan semua nilai yang mungkin
7
(a) 720; (b) 192 2018
bagi n. [1]
(b) Given C r = C s , express n in terms of r and s.
n
n
n
Diberi C r = C s , ungkapkan n dalam sebutan r dan s.
n
[1]
2. Hakim buys 12 boxes of yogurts to sell in his school
SPM during canteen day. Each box contains 6 bottles of different Answer / Jawapan:
2017 (a) n= 1, 2, 3, 4, 5, 6
flavoured yogurts.
Hakim membeli 12 kotak yogurt untuk dijual di sekolahnya (b) n = r + s
semasa hari kantin. Setiap kotak mengandungi 6 botol yogurt
berlainan perisa.
(a) Hakim takes out 7 boxes at random to display on the
table. Find the number of ways to choose these 7
boxes.
Hakim memilih 7 kotak secara rawak untuk dipamerkan
di atas meja. Cari bilangan cara dia dapat buat pilihan itu.
(b) Hakim opens a box and arranges the bottles in a 5. Diagram shows a four-digit passcode set by Sani on his
line such that the orange flavour is always next to smartphone.
the grape flavour. Calculate the number of ways of Rajah menunjukkan satu kod laluan empat digit yang telah
arranging the bottles from the box. ditetapkan oleh Sani pada telefon pintarnya.
Hakim membuka satu kotak dan menyusun botol yogurt
dalam satu barisan dengan keaadan perisa oren mesti 0252
bersebelahan dengan perisa anggur. Hitung bilangan cara
untuk menyusun botol-botol tersebut. [3] He wants to reset the passcode such that the new passcode
cannot consist of digit 2 followed by digit 5. How many
Answer / Jawapan: different passcodes can be formed?
(a) 792; (b) 240 Dia hendak menetapkan semula kod laluan dengan keadaan
kod laluan baharu itu tidak boleh mengandungi digit 2 diikuti
oleh digit 5. Berapakah bilangan kod laluan berbeza yang dapat
3. (a) State the value of C 1 . dibentuk? [3]
n
2015 Nyatakan nilai bagi C 1 . [1]
n
2016 Answer / Jawapan:
(b) Five students are to be selected from 7 boys and 6 9 701
girls to participate in a competition. Find the number
of different ways to choose the participants if
Lima orang murid akan dipilih daripada 7 orang murid
lelaki dan 6 orang murid perempuan untuk menyertai
suatu pertandingan. Cari bilangan cara yang berbeza untuk
memilih peserta jika



9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Additional Mathematics Form 5 Chapter 4 Permutation and Combination

6. A gift of 4 items will be selected from 3 pencils and 7 pens. 8. (a) Cheng owns 6 pairs of trousers, 7 T-shirts and 2
Find the number of gift packages that can be packed if it sweaters. In how many ways that he could choose 2
contain of the pairs of trousers, 4 of the shirts and 1 of the
Sebuah bungkusan hadiah yang terdiri daripada 4 barang sweaters to pack for a trip?
akan dipilih daripadan 3 batang pensel dan 7 batang pen. Cheng mempunyai 6 pasang seluar, 7 kemeja dan 2 helai
Carikan bilangan bungkusan hadiah yang dapat dibentuk baju sejuk. Dalam berapa carakah dia boleh memilih 2
supaya mengandungi pasang seluar, 4 kemeja dan 1 helai baju sejuk sebagai
(a) 2 pens langkah mengemas untuk perjalanan.
2 batang pen, (b) In how many ways 3 A’s, 2 B’s, 1 C’s and 1 F’s be
(b) not more than 2 pencils. distributed among seven students in a class?
tidak lebih daripada dua batang pensel. [3] Dalam berapa carakah 3 A, 2 B, 1 C dan 1 F boleh
diedarkan kepada tujuh orang pelajar di dalam kelas?
Answer / Jawapan:
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
(a) 63; (b) 203 Answer / Jawapan:
(a) 1 050; (b) 420






HOTS Challenge



A family of 7 people consists of grandfather, grandmother, father, mother, 1 boy and 2 girls wanted to sit together for dinner
on the eve of Chinese New Year celebration. In how many ways can they sit if
Keluarga seramai 7 orang terdiri daripada datuk, nenek, ayah, ibu, seorang anak lelaki dan 2 orang anak perempuan ingin duduk bersama
untuk makan malam pada malam perayaan Tahun Baru Cina. dalam berapa carakah mereka boleh duduk sekiranya
(a) they wanted to sit in a row?
mereka hendak duduk sebaris?
(b) they wanted to sit in a row and grandfather and grandmother must sit together?
mereka hendak duduk sebaris dan datuk dan nenek mesti duduk bersebelahan?
(c) they wanted to sit in a row, but, the 3 kids cannot sit together?
mereka hendak duduk sebaris, tetapi 3 orang kanak-kanak tidak boleh duduk bersebelahan?
(d) they wanted to sit in a row and all the females must sit together?
mereka hendak duduk sebaris dan kesemua perempuan mesti duduk bersebelahan?
(e) they wanted to sit in a row where all the females must sit together and all the males must sit together?
mereka hendak duduk sebaris di mana kesemua perempuan duduk bersama dan semua lelaki duduk bersama?
(f) they wanted to sit around a circular table?
mereka hendak duduk di sekeliling meja bulat?
(g) they wanted to sit around a circular table but granmother and mother cannot sit together?
mereka hendak duduk di sekeliling meja bulat tetapi nenek dan ibu tidak boleh duduk bersebelahan?
Among the above arrangements, which arrangement has less conflict in arrangement, give reason.
Di antara pengaturan di atas, manakah mempunyai kurang konflik dalam susunan, berikan alasan.
Answer / Jawapan:
(a) 5 040 (b) 1 440 (c) 4320 (d) 576
(e) 288 (f) 720 (g) 480
Among the arrangements, the less conflict for arrangement is they sit in a row and all the females and all the males sit
together respectively since it has less number of ways in arrangement.
Di antara susunan tersebut, susunan yang paling kurang konflik ialah mereka duduk sebaris di mana kesemua perempuan duduk bersama
dan kesemua lelaki duduk bersama kerana mempunyai bilangan cara susunan yang paling kurang.







Quiz 4
21
PAK-




© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 10

Form IC095131S


CLASS 5 5 KSSM
5
KSSM




Additional Mathemetics
Additional Mathematics
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd All Rights Reserved
Matematik T ambahan CLASS

Top Class KSSM - Top Quality materials for Top Performance in school-based
and the SPM exam. Packed with essential features and digital initiatives

towards 21 Century Learning.
st

Special Features: TOP KSSM TITLES 1 2 3 4 5 CLASS
Subjects / Forms

SMART Notes
SMART Notes
SMART Notes Bahasa Melayu
English
5 5
SMART Tips
SMART Tips Bahasa Cina Form
SMART Tips
Mathematics / Matematik
KSSM
Worked Examples Additional Mathematics / Matematik Tambahan Additional Mathematics 5
Worked Examples
Worked Examples
KSSM
KSSM
Biology / Biologi KSSM
Topical Practices
Topical Practices Physics / Fizik Teacher’s Edition
Topical Practices
Chemistry / Kimia
SPM Practices
SPM Practices Science / Sains
SPM Practices
Geografi
Additional Mathematics
HOTS Challenges
HOTS Challenges Sejarah
HOTS Challenges
Pendidikan Islam Additional Mathemetics
SPM Model Paper Ekonomi
SPM Model Paper
SPM Model Paper
QR Prinsip Perakaunan Matematik T ambahan
Code Perniagaan
PAK-21 Corner
PAK-21 Corner
PAK-21 Corner
Fully Worked Solutions for All QR Form 5 Dr. V. Sarveswary
Fully Worked Solutinns for All
Fully Worked Solutinns for All
Code
Questions in FREE BOOKLET
Questions in FREE BOOKLET Topical Practices Dr. Pauline Wong Mee Kiong
Questions in FREE BOOKLET
SPM Practices
www.PelangiBooks.com PAK-21 Pakej PdPR
• Online Bookstore • Online Library • Pengajaran dan Pembelajaran di Rumah
HOTS
Rekod Pencapaian
IC095131S PAK-21
ISBN: 978-967-2907-80-0 NEW SPM ASSESSMENT Online Quick Quiz
FORMAT 2021 SPM Model Paper