PRAKTIS TINGKATAN MC135033 PELANGI
KSSM
STRATEGI MATEMATIK PRAKTIS
TRA
STRATEGI
TE
GI
Mathematics S S TRA TE GI
Ciri-ciri hebat judul ini: PRAKTIS STRATEGI
Rumus dan Konsep Penting memberikan semakan cepat tentang
TINGKATAN
rumus dan konsep penting dalam peperiksaan Matematik SPM
MESTI INGAT membolehkan murid menyemak fakta, konsep dan
rumus dengan cepat KSSM
Contoh-contoh Tekerja memaparkan cara menjawab soalan dengan
sistematik dan tepat
Latih Tubi disediakan untuk mengukuhkan konsep dan kemahiran
yang telah dipelajari MATEMATIK Ma Ai Hiong
Wan Naliza Wan Jaafar
Praktis Berpandu SPM disediakan untuk membantu murid menjawab MATEMATIK Mathematics Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
soalan berformat SPM dengan terancang Mathematics
Praktis Berorientasikan SPM terdiri daripada soalan-soalan yang
setaraf dengan piawai SPM
Kertas Model SPM disediakan untuk membiasakan murid dengan Merangkum semua Tahap Penguasaan
bentuk soalan SPM yang sebenar
1– 6 dalam DSKP
Langkah penyelesaian lengkap disediakan dalam Kod QR supaya murid
disediakan dalam Kod QR supaya murid
dapat menyemak setiap langkah yang diperlukan dalam menyelesaikan
soalan yang diberikan TINGKATAN 5 Merujuk Buku Teks
Praktis mesra murid untuk menguasai
konsep dan kemahiran dengan mudah
W.M: RM11.90 / E.M: RM12.50
MC135033 BONUS
ISBN: 978-629-7520-93-3
FORMAT PENTAKSIRAN
BAHARU SPM Langkah Penyelesaian Lengkap untuk
SEMUA Soalan disediakan dalam Kod QR
MULAI 2021
PELANGI
PELANGI
1st pruf.indd 1 03/02/2023 11:41 AM
Prak Strategi Mate Tg5_Prelims.indd 5 03/02/2023 11:43 AM
KANDUNGAN
BAB Ubahan
1 Variation 1
1.1 Ubahan Langsung 1
Direct Variation
1.2 Ubahan Songsang 7
Inverse Variation
1.3 Ubahan Bergabung 9
Combined Variation
Praktis Berpandu SPM 12
Praktis Berorientasikan SPM 13
BAB
2 Matriks 14
Matrices
2.1 Matriks 14
Matrices Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
2.2 Operasi Asas Matriks 17
Basic Operation on Matrices
Praktis Berpandu SPM 27
Praktis Berorientasikan SPM 29
BAB
3 Matematik Pengguna: Insurans 32
Consumer Mathematics: Insurance
3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans 32
Risk and Insurance Coverage
Praktis Berpandu SPM 44
Praktis Berorientasikan SPM 44
BAB Matematik Pengguna: Percukaian
4 Consumer Mathematics: Taxation 46
4.1 Percukaian 46
Taxation
Praktis Berpandu SPM 61
Praktis Berorientasikan SPM 61
ii
00_Prak Strategi Mate Tg5_Prelims.indd 2 02/02/2023 2:35 PM
BAB
5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi 63
Congruency, Enlargement and Combined Transformations
5.1 Kekongruenan 63
Congruency
5.2 Pembesaran 67
Enlargement
5.3 Gabungan Transformasi 77
Combined Transformations
5.4 Teselasi 85
Tessellation
Praktis Berpandu SPM 89
Praktis Berorientasikan SPM 91
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
BAB
6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri 94
Ratios and Graphs of Trigonometric Functions
6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut θ, 0° θ ⩽ 360° 94
The Value of Sine, Cosine and Tangent for Angle θ, 0° θ ⩽ 360°
6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 107
The Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions
Praktis Berpandu SPM 115
Praktis Berorientasikan SPM 116
BAB Sukatan Serakan Data Terkumpul
7 Measures of Dispersion for Grouped Data 118
7.1 Serakan 118
Dispersion
7.2 Sukatan Serakan 130
Measures of Dispersion
Praktis Berpandu SPM 143
Praktis Berorientasikan SPM 144
BAB
8 Pemodelan Matematik 147
Mathematical Modeling
8.1 Pemodelan Matematik 147
Mathematical Modeling
Praktis Berpandu SPM 152
Praktis Berorientasikan SPM 154
Kertas Model SPM 155
Jawapan
https://qr.pelangibooks.com/?u=g4RPPhYF
iii
00_Prak Strategi Mate Tg5_Prelims.indd 3 02/02/2023 2:35 PM
x RUMUS DAN KONSEP PENTING MATEMATIK
Ubahan Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
Variation Congruency, Enlargement and Combined Transformations
Jenis Bentuk ubahan Bentuk Faktor skala pembesaran / Scale factor of enlargement
Type Variation form persamaan jarak titik sepadan imej dari P
Equation form distance of point of corresponding
Ubahan langsung y x n y = kx n k = image from P = PA′
Direct variation jarak titik objek dari P PA
distance of point of object from P
Ubahan tercantum y x z y = kx z Luas imej / Area of image
m n
m n
Joint variation luas objek
= k ×
2
Ubahan songsang 1 k area of object
Inverse variation y x n y = x n Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
Ubahan bergabung x p kx p Ratios and Graphs of Trigonometric Functions
Combined variation y z q y = z q y
p q
p q
y w x y = kw x Sukuan II / Quadrant II Sukuan I / Quadrant I
z r z r
1 1 sin (+) Semua (+) / All (+)
m = n = p = q = r = 1, 2, 3, , α = 180° − θ α = θ
2 3
k = pemalar / constant Sukuan III / Quadrant III Sukuan IV / Quadrant IV x
Matriks
tan (+)
Matrices Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. kos (+) / cos (+)
α = θ − 180° α = 360° − θ
Diberi / Given
A = a b α: Sudut rujukan sepadan / Corresponding reference angle
c d
Matriks songsang / Inverse matrix: Sukatan Serakan Data Terkumpul
1 d −b Measures of Dispersion for Grouped Data
A =
–1
ad − bc −c a Julat / Range
AA = A A = I titik tengah bagi titik tengah bagi
–1
–1
= kelas tertinggi kelas terendah
−
p
x
a b highest class lowest class
=
midpoint of the
midpoint of the
c d
y
q
−
d
1
x
p
= ad − bc −c −b Julat antara kuartil / Interquartile range
a
y
q
= Q − Q
Matematik Pengguna: Insurans 3 1
Consumer Mathematics: Insurance Varians Sisihan piawai
Premium insurans hayat / Life insurance premium Variance 2 Standard deviation
Nilai muka polisi σ = ∑fx − x 2 σ = ∑fx 2 2
2
Face value of policy Kadar premium per RMx ∑f ∑f − x
= ×
RMx Premium rate per RMx
iv
00_Prak Strategi Mate Tg5_Prelims.indd 4 02/02/2023 2:35 PM
BAB Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra
1 Ubahan
Variation
1.1 Ubahan Langsung Buku Teks 2 – 16
Direct Variation
A Lengkapkan jadual berdasarkan maklumat yang diberikan.
Complete the table based on the given information.
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Contoh
Upah, dalam RM, berubah secara langsung dengan bilangan jam bekerja.
The wages, in RM, varies directly as the number of working hours.
Bilangan jam bekerja
Number of working hours 1 × 6 2 × 6 3 × 6 4 × 6 5 × 6
Upah (RM) 6 12 18 24 30
Wages (RM)
1. Harga, dalam RM, bagi petrol RON95 berubah secara langsung dengan isi padu petrol.
The price, in RM, for RON95 petrol varies directly as the volume of petrol.
Isi padu petrol (liter)
Volume of petrol (litres) 10 20 30 40 50
Harga (RM) 18.20
Price (RM)
2. Jisim ubi keledek berubah secara langsung dengan bilangan bungkus ubi keledek.
The weight of sweet potatoes varies directly as the number of packets of sweet potatoes.
Bilangan bungkus
Number of packets 3 6 9 12 15
Jisim (g) 390
Weight (g)
3. Harga saham, dalam RM, bagi saham Syarikat Amir Kitchen berubah secara langsung dengan bilangan unit saham
yang dibeli.
The price, in RM, for the of shares of Syarikat Amir Kitchen varies directly as the number of units of shares bought.
Bilangan saham (unit)
Number of shares (units) 100 200 300 400 500
Harga (RM) 85
Price (RM)
1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 1 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
MESTI INGAT
y 1 1
Jika y berubah secara langsung dengan x (y x ), maka n = k atau y = kx dengan k sebagai pemalar dan n = 1, 2, 3, , .
n
n
n
y x 1 1 2 3
If y varies directly as x (y x ), then = k or y = kx where k is a constant and n = 1, 2, 3, , .
n
n
n
x n 2 3
B Tentukan hubungan antara dua pemboleh ubah, x dan y.
Determine the relationship between the two variables, x and y.
Contoh 1. y berubah secara langsung dengan x. Diberi bahawa
y berubah secara langsung dengan x. Diberi bahawa y = 20 apabila x = 4.
y varies directly as x. It is given that y = 20 when x = 4.
y = 12 apabila x = 4.
y varies directly as x. It is given that y = 12 when x = 4. y x
Diberi/Given: y x y =
y = kx Apabila/When x = 4, y = 20,
Apabila/When x = 4, y = 12, 20 = k
12 = 4k
k = 12 k = =
4
= 3
∴ y = 3x ∴ y =
2. y berubah secara langsung dengan x. Diberi bahawa 3. y berubah secara langsung dengan x. Diberi bahawa
1
y = 5 apabila x = . y = 3 apabila x = 12.
3 Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
y varies directly as x. It is given that y = 3 when x = 12.
1
y varies directly as x. It is given that y = 5 when x = .
3
4. y berubah secara langsung dengan kuasa dua x. Diberi 5. y berubah secara langsung dengan punca kuasa dua x.
bahawa y = 12 apabila x = 2. Diberi bahawa y = 15 apabila x = 9.
y varies directly as the square of x. It is given that y = 12 y varies directly as the square root of x. It is given that y = 15
when x = 2. when x = 9.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 2
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 2 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
C Tentukan hubungan antara pemboleh ubah yang diberikan bagi setiap ubahan tercantum berikut.
Determine the relationship between the given variables for each of the following joint variations.
Contoh 1. a berubah secara langsung dengan b dan c. Jika a = 70
p berubah secara langsung dengan q dan r. Jika p = 30 apabila b = 5 dan c = 7, ungkapkan a dalam sebutan b
apabila q = 2 dan r = 5, ungkapkan p dalam sebutan q dan r. dan c.
p varies directly as q and r. If p = 30 when q = 2 and r = 5, a varies directly as b and c. If a = 70 when b = 5 and c = 7,
express p in terms of q and r. express a in terms of b and c.
Diberi/Given: p qr a bc
p = kqr a =
Apabila/When p = 30, q = 2, r = 5, Tip Apabila/When a = 70, b = 5, c = 7,
30 = k(2)(5) Ubahan tercantum 70 = k
10k = 30 Joint variation
m n
k = 30 y x z m n k = =
y = kx z
10
= 3 dengan/where
m = n = 1, 2, 3, 1 , 1
∴ p = 3qr 2 3 ∴ a =
2. h berubah secara langsung dengan m dan n. Jika h = 16 3. q berubah secara langsung dengan r dan s. Jika q = 18
apabila m = 10 dan n = 8, ungkapkan h dalam sebutan apabila r = 3 dan s = 4, ungkapkan q dalam sebutan r
m dan n. dan s.
h varies directly as m and n. If h = 16 when m = 10 and n = 8, q varies directly as r and s. If q = 18 when r = 3 and s = 4,
express h in terms of m and n. express q in terms of r and s.
sebutan x dan y. Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
4. z berubah secara langsung dengan x dan kuasa tiga y. 5. u berubah secara langsung dengan v dan punca kuasa
1
Jika z = 40 apabila x = 5 dan y = 2, ungkapkan z dalam dua w. Jika u = 1 apabila v = dan w = 9, ungkapkan u
dalam sebutan v dan w. 6
z varies directly as x and the cube of y. If z = 40 when x = 5 u varies directly as v and the square root of w. If u = 1 when
1
and y = 2, express z in terms of x and y. v = and w = 9, express u in terms of v and w.
6
3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 3 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
D Selesaikan masalah yang berikut.
Solve the following problems.
Contoh
Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan x , dan y = 16 apabila x = 2. Cari
2
It is given that y varies directly as x , and y = 16 when x = 2. Find
2
(a) nilai y apabila x = 3, (b) nilai x apabila y = 1.
the value of y when x = 3, the value of x when y = 1.
(a) y x 2 (b) Apabila/When y = 1,
y = kx 2 1 = 4x 2
Apabila/When x = 2, y = 16, x = 1
2
16 = k(2 ) 4
2
16 1
k = 4 x = ± Tip
= 4 Tentukan hubungan 2 Semak jawapan dengan mengesahkan
∴ y = 4x 2 antara x dan y dahulu. bahawa nilai x memenuhi hubungan
Determine the relationship 2
Apabila/When x = 3: between x and y first. y = 4x .
Check the answer by verifying that
y = 4(3 ) the values of x satisfy the relationship
2
= 36 y = 4x .
2
1. Diberi y berubah secara langsung dengan x , dan y = 4 2. Caj perkhidmatan kurier, RMy, berubah secara langsung
3
apabila x = 2. Cari dengan jarak penghantaran, x km. Jika caj bagi jarak
It is given that y varies directly as x , and y = 4 when x = 2. 10 km ialah RM5, cari
3
Find The courier charge, RMy, varies directly as the delivery
(a) nilai y apabila x = 3, Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
distance, x km. If the charge for 10 km is RM5, find
the value of y when x = 3, (a) caj bagi jarak 30 km,
(b) nilai x apabila y = 1 . the charge for a distance of 30 km,
16 (b) jarak penghantaran jika caj ialah RM45.
the value of x when y = 1 . the delivery distance if the charge is RM45.
16
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 4
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 4 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
MESTI INGAT
Jika y berubah secara langsung dengan x, maka y bertambah apabila x bertambah, dan berkurang apabila x berkurang.
If y varies directly as x, then y increases when x increases, and decreases when x decreases.
E Selesaikan masalah berikut yang melibatkan ubahan tercantum.
Solve the following problems involving joint variations.
Contoh 1 Diberi z x y. Cari nilai a, b dan c dalam jadual yang
2
Diberi x mn. Cari nilai a, b dan c dalam jadual yang berikut. 2
berikut. It is given that z x y. Find the value of a, b and c in the table
It is given that x mn. Find the value of a, b and c in the below.
following table. z 196 a 1 568 384
x 30 a 60 75 x 3.5 7 b 4
m 1.5 3 b 7.5 y 4 6 8 c
n 20 15 12 c
x mn
x = kmn
Apabila x = 30, m = 1.5 dan n = 20,
When x = 30, m = 1.5 and n = 20,
30 = k × 1.5 × 20
30
k = Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
1.5 × 20
= 1
∴ x = mn
Apabila x = a, m = 3 dan n = 15,
When x = a, m = 3 and n = 15,
a = 3 × 15
= 45
Apabila x = 60, m = b dan n = 12,
When x = 60, m = b and n = 12,
60 = b × 12
12b = 60
b = 60
12
= 5
Apabila x = 75, m = 7.5 dan n = c,
When x = 75, m = 7.5 and n = c,
75 = 7.5 × c
7.5c = 75
75
c =
7.5
= 10
5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 5 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
F Selesaikan masalah yang berikut.
Solve the following problems.
Contoh
Isi padu sebuah kotak berbentuk kuboid, I cm , berubah secara langsung dengan tinggi kotak, x cm. Apabila tinggi kotak
3
ialah 4 cm, isi padunya ialah 60 cm . Hitung
3
The volume of a cuboid box, I cm , varies directly as the height, x cm, of the box. When the height of the box is 4 cm, the volume is
3
60 cm . Calculate
3
(a) isi padu kotak apabila tingginya ialah 6 cm.
the volume of the box when its height is 6 cm.
(b) tinggi kotak apabila isi padunya ialah 120 cm .
3
the height of the box when its volume is 120 cm .
3
(a) I x (b) I = 15x
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
I = kx Apabila/When I = 120,
Apabila/When x = 4, I = 60, 120 = 15x
60 = 4k x = 120
60 15
k =
4 = 8
= 15
∴ I = 15x
Apabila/When x = 6,
I = 15(6)
= 90 cm 3
1. Luas permukaan, L cm sebuah meja bulat berubah 2. Isi padu sebuah kon, C cm , berubah secara langsung
2
3
secara langsung dengan kuasa dua jejarinya, j cm. Luas dengan kuasa dua jejarinya, j cm. Isi padu kon itu ialah
permukaan meja itu ialah 154 cm apabila jejarinya 3 850 cm apabila jejarinya 35 cm. Hitung
2
3
7 cm. Hitung The volume of a cone, C cm , varies directly as the square of
3
The surface area, L cm , of a round table varies directly as its radius, j cm. The volume of the cone is 3 850 cm when its
3
2
the square of its radius, j cm. The surface area of the table is radius is 35 cm. Calculate
154 cm when its radius is 7 cm. Calculate (a) isi padu kon apabila diameternya 28 cm,
2
(a) luas permukaan meja itu apabila jejarinya 14 cm, the volume of the cone when its diameter is 28 cm,
3
the surface area of the table when its radius is 14 cm, (b) diameter kon apabila isi padunya ialah 346.5 cm .
(b) jejari meja apabila luas permukaan meja ialah the diameter of the cone when its volume is 346.5 cm .
3
38.5 cm .
2
the radius of the table when its surface area is 38.5 cm .
2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 6
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 6 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
1.2 Ubahan Songsang Buku Teks 17 – 25
Inverse Variation
G Huraikan hubungan antara pemboleh ubah y dengan pemboleh ubah x.
Describe the relationship between variable y and variable x.
Contoh
Wang bernilai RM240 dikongsi sama banyak oleh sekumpulan murid.
A sum of RM240 is shared equally among a group of pupils.
Apabila x semakin berkurang, y semakin
Bilangan murid dalam kumpulan, x 10 8 6 4 bertambah.
Number of pupils in the group, x Maka, y berubah secara songsang dengan x.
Wang diterima oleh setiap murid, As x decreases, y increases.
y = 4 apabila x = 2. Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
RMy 24 30 40 60 Therefore, y varies inversely as x.
Money received by each pupil, RMy
1. Masa yang diambil oleh sebuah bot untuk membuat satu perjalanan bergantung kepada lajunya.
The time taken by a boat for a journey depends on its speed.
Laju (x km/j)
Speed (x km/h) 30 15 10 7.5
Masa yang diambil (y jam)
Time taken (y hours) 5 10 15 20
MESTI INGAT
k
1 1
Jika y berubah secara songsang dengan x y x 1 n , maka x y = k atau y = dengan k ialah pemalar dan n = 1, 2, 3, , .
n
n
2 3
x
n
1 1
If y varies inversely as x y x 1 n , then x y = k or y = x k n where k is a constant and n = 1, 2, 3, , .
n
n
2 3
H Tentukan hubungan antara dua pemboleh ubah x dan y.
Determine the relationship between the two variables x and y.
Contoh 1. y berubah secara songsang dengan x. Diberi bahawa
y berubah secara songsang dengan x. Diberi bahawa y = 5 apabila x = 9.
y varies inversely as x. It is given that y = 5 when x = 9.
y varies inversely as x. It is given that y = 4 when x = 2.
1
Diberi/Given: y x
k
y =
x
Apabila/When x = 2, y = 4,
k
4 =
2
k = (4)(2)
= 8
∴ y = 8
x
7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 7 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
2. y berubah secara songsang dengan x . Diberi bahawa 3. y berubah secara songsang dengan punca kuasa dua x,
3
y = 5 apabila x = 2. dan y = 3 apabila x = 25.
y varies inversely as the square of x . It is given that y = 5 y varies inversely as the square root of x, and y = 3 when
3
when x = 2. x = 25.
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
I Selesaikan masalah yang berikut.
Solve the following problem.
1
Contoh 1. Diberi j berubah secara songsang dengan m , dan j = 4
3
2
Diberi bahawa y berubah secara songsang dengan x , dan apabila m = 64. 1
y = 100 apabila x = 0.5. It is given that j varies inversely as m 3 , and j = 4 when
It is given that y varies inversely as x , and y = 100 when x = m = 64.
2
0.5. (a) Ungkapkan j dalam sebutan m.
(a) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express j in terms of m.
Express y in terms of x. (b) Hitung nilai j apabila m = 512.
(b) Hitung nilai y apabila x = 0.25. Calculate the value of j when m = 512.
Calculate the value of y when x = 0.25. (c) Hitung nilai m apabila j = 3.2.
(c) Hitung nilai x apabila y = 2 500. Calculate the value of m when j = 3.2.
Calculate the value of x when y = 2 500.
1
(a) y
x 2
y = k
x 2
Apabila/When x = 0.5, y = 100,
k
100 =
0.5 2
k = 100(0.5 )
2
= 25
25
∴ y =
x 2
(b) Apabila/When x = 0.25,
25
y = 0.25 2
= 400
(c) Apabila/When y = 2 500,
25
2 500 =
x 2
25
x =
2
2 500
= 0.01
x = ±0.1
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 8
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 8 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
2. Bilangan kiub ais, y, yang dapat dihasilkan berubah secara songsang dengan isi padu bekas kiub ais yang digunakan.
Bekas itu berbentuk kubus bersisi x cm. Diberi bahawa 8 000 ketul kiub ais dapat dihasilkan menggunakan bekas
bersisi 5 cm. Cari bilangan kiub ais yang dapat dihasilkan daripada bekas bersisi 2 cm.
The number of ice cubes, y, that can be produced varies inversely as the volume of ice cube tray used. The tray is a cubical with sides
x cm. It is given that 8 000 ice cubes can be produced using a tray with sides 5 cm. Calculate the number of ice cubes that can be
produced using a tray with sides 2 cm.
KBAT Mengaplikasi
Diberi/Given: y Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
1.3 Ubahan Bergabung Buku Teks 26 – 29
Combined Variation
J Tentukan hubungan antara pemboleh ubah yang diberikan.
Determine the relationship between the given variables.
Contoh 1. y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang
y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang dengan z. Jika y = 1 apabila x = 12 dan z = 3, ungkapkan
dengan z. Jika y = 2 apabila x = 4 dan z = 6, ungkapkan y y dalam sebutan x dan z.
dalam sebutan x dan z. y varies directly as x and inversely as z. If y = 1 when x = 12
y varies directly as x and inversely as z. If y = 2 when x = 4 and and z = 3, express y in terms of x and z.
z = 6, express y in terms of x and z. y x
x z
z y = kx
kx z
y =
z y = 1 apabila x = 12, z = 3:
y = 2 apabila x = 4, z = 6, y = 1 when x = 12, z = 3:
y = 2 when x = 4, z = 6, ×
4k 1 =
2 =
6
6
k = 2 × k =
4
= 3
∴ y = 3x ∴ y =
z
9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 9 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
2. y berubah secara langsung dengan kuasa dua x dan 3. p berubah secara langsung dengan q dan secara songsang
secara songsang dengan z. Jika y = 2 apabila x = 2 dan dengan punca kuasa dua r. Jika p = 12 apabila q = 8 dan
z = 6, ungkapkan y dalam sebutan x dan z. r = 4, ungkapkan p dalam sebutan q dan r.
y varies directly as the square of x and inversely as z. If y = 2 p varies directly as q and inversely as the square root of r. If
when x = 2 and z = 6, express y in terms of x and z. p = 12 when q = 8 and r = 4, express p in terms of q and r.
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
K Selesaikan masalah yang berikut.
Solve the following problem.
Contoh 1. y berubah secara langsung dengan kuasa dua x dan
y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang secara songsang dengan z . Diberi bahawa y = 3 apabila
dengan kuasa dua z. Diberi bahawa y = 12 apabila x = 9 x = 6 dan z = 8.
dan z = 3. y varies directly as the square of x and inversely as z. It is
y varies directly as x and inversely as the square of z. It is given given that y = 3 when x = 6 and z = 8.
that y = 12 when x = 9 and z = 3. (a) Ungkapkan y dalam sebutan x dan z.
(a) Ungkapkan y dalam sebutan x dan z. Express y in terms of x and z.
Express y in terms of x and z. (b) Hitung nilai x apabila y = 9 dan z = 6.
(b) Hitung nilai x apabila y = 18 dan z = 4. Calculate the value of x when y = 9 and z = 6.
Calculate the value of x when y = 18 and z = 4.
x
(a) y
z 2
kx
y =
z 2
y = 12 apabila x = 9 dan z = 3,
y = 12 when x = 9 and z = 3,
9k
12 = 3 2
k = 12
12x
∴ y =
z 2
(b) Apabila y = 18 dan z = 4,
When y = 18 and z = 4,
12x
18 =
4 2
18 × 16
x =
12
= 24
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 10
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 10 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
L Selesaikan.
Solve.
Contoh 1. Bilangan hari yang diambil untuk membina tembok di
Laju sebuah bot berubah secara langsung dengan jarak suatu kawasan berubah secara langsung dengan panjang
yang dilalui dan secara songsang dengan masa yang tembok yang dapat dibina dan berubah secara songsang
diambil. Diberi bahawa laju bot ialah 22.68 km/j dengan dengan bilangan pekerja yang terlibat. Diberi bahawa
jarak 1 260 m dalam masa 200 saat. 10 meter tembok dapat dibina dengan 4 orang pekerja
The speed of a boat varies directly as the distance travelled and dalam masa 3 hari. Hitung
inversely as the time taken. It is given that the speed of the boat The number of days taken to build a wall in an area varies
is 22.68 km/h with a distance 1 260 m in 200 seconds. directly as the length of the built wall and varies inversely as
the number of workers involved. Given that 10-meter wall is
Hitung/Calculate built by 4 workers in 3 days. Calculate
(a) laju bot itu jika jarak yang dilalui ialah 4 500 m dan (a) panjang tembok yang dapat dibina dengan 3 orang
masa yang diambil ialah 250 saat. pekerja dalam masa 3 hari.
the speed of the boat if the distance travelled is 4 500 m the length of the wall that can be built with 3 workers in
and the time taken is 250 seconds. 3 days.
(b) masa yang diambil jika jarak yang dilalui ialah (b) bilangan pekerja yang diperlukan untuk membina
3 025 m dengan kelajuan 72.6 km/j. 40 meter tembok dalam masa 8 hari.
the time taken if the distance travelled is 3 025 m with a the number of workers needed to build 40 meters of wall
speed of 72.6 km/h. in 8 days.
(a) Katakan/Let
s = laju bot/speed of boat
d = jarak yang dilalui/distance travelled
t = masa yang diambil/time taken
s d Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
t
kd
s =
t
k(1 260)
22.68 =
200
22.68 × 200
k =
1 260
18
=
5
18d
∴ s =
5t
Apabila/When d = 4 500, t = 250
18(4 500)
s =
5(250)
= 64.8 km/j (km/h)
(b) Apabila/When d = 3 025, s = 72.6
72.6 = 18(3 025)
5t
18(3 025)
5t =
72.6
t = 150 s
11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 11 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
PRAKTIS BERPANDU SPM
Contoh 1. Diberi bahawa L berubah secara langsung dengan x
Diberi bahawa g berubah secara songsang dengan punca dan y, dan secara songsang dengan punca kuasa dua z.
kuasa tiga h. Jika g = 6 apabila h = 64, ungkapkan g Jika L = 20 apabila x = 5, y = 2 dan z = 4, ungkapkan L
dalam sebutan h. dalam sebutan x, y dan z.
It is given that g varies inversely as the cube root of h. If g = 6 Given that L varies directly as x and y, and inversely as the
when h = 64, express g in terms of h. square root of z. If L = 20 when x = 5, y = 2 and z = 4, express
1 24 L in terms of x, y and z.
g 3 h ∴ g = 3 h
k
g = 3
h
k
6 = 3
64
k = 24
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai w, m dan t. 2. Jadual di bawah menunjukkan nilai j, p dan q.
The table below shows the values of w, m and t. The table below shows the values of j, p and q.
j
6
w 5 Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 24 45
50
30
p 4 a 20
m 6 a 15
q 4 16 b
t 2.5 7.5 b
Diberi j berubah secara langsung dengan p dan punca
Diberi w berubah secara langsung dengan m dan t, hitung kuasa dua q, hitung nilai a dan b.
nilai a dan b. Given that j varies directly as p and the square root of q,
Given that w varies directly as m and t, calculate the values of calculate the values of a and b.
a and b.
w mt Apabila w = 30, t = 7.5,
w = kmt When w = 30, t = 7.5,
1
5 = k(6)(2.5) 30 = a(7.5)
5 3
k = 30
(6)(2.5) a =
1 2.5
= = 12
3
1
∴ w = mt Apabila w = 50, m = 15,
3
When w = 50, m = 15,
1
50 = (15)b
3
b = 50
5
= 10
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 12
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 12 09/01/2023 9:23 AM
Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan
PRAKTIS BERORIENTASIKAN SPM
4. Antara nilai-nilai berikut, yang manakah mewakili
Kertas 1
hubungan y x w ?
3
2
1. Diberi y berubah secara langsung dengan punca kuasa Which of the following values represent the relationship
y x w ?
2
3
tiga z dan secara songsang dengan kuasa dua x. Antara
yang berikut, yang manakah menunjukkan hubungan A x 2 3 4
antara x, y dan z, dengan k mewakili pemalar? w 4 5 6
It is given that y varies directly as the cube root of z and
inversely as the square of x. Which of the following shows the y 54 288 1 000
relationship between x, y and z, where k as the constant?
1 B x 2 3 4
kz 3 kz 3
A y = C y =
x 2 x 2 w 3 4 5
1
kz 2 kz 2 y 54 288 1 000
B y = D y =
x 2 x 2 C
x 2 3 4
2. Isi padu sebuah bekas berbentuk silinder, I, berubah w 4 5 6
secara langsung dengan kuasa dua jejarinya, j dan
dengan tingginya, t. Dengan menggunakan k sebagai y 27 144 500
pemalar, ungkapkan k dalam sebutan I, j dan t. D x 2 3 4
The volume of a cylindrical container, I, varies directly as
the square of its radius, j and its height t. By using k as a w 3 4 5
constant, express k in terms of I, j and t. y 27 144 500
A k = Ij t Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
2
B k = 1 − j t
2
j t 5. Diberi bahawa y berubah secara songsang dengan
2
C k = 5x − 9, dan y = 4 apabila x = 2. Hitung nilai y apabila
t
I x = 5.
D k = Given that y varies inversely with 5x − 9, and y = 4 when
j t
2
x = 2. Calculate the value of y when x = 5.
3. Hubungan antara pemboleh ubah x, y dan z diwakilkan A 1 C − 1
4
dengan persamaan y = x z 2 . Pernyataan yang manakah B 4 D −4 4
menghuraikan hubungan antara x, y dan z?
The relationship between the variables x, y and z is
represented by the equation y = x 2 . Which of the following
z Kertas 2
statements describes the relationship of x, y and z?
A y berubah secara langsung dengan kuasa dua x dan 1. Diberi p berubah secara langsung dengan q dan r, dan
dengan z. secara songsang dengan s, dan p = 15 apabila q = 6,
y varies directly as the square of x and z. r = 5 dan s = 8.
B y berubah secara songsang dengan kuasa dua x dan It is given that p varies directly as q and r, and inversely as s,
dengan z. and p = 15 when q = 6, r = 5 and s = 8.
y varies inversely as the square of x and z. (a) Ungkapkan p dalam sebutan q, r dan s.
C y berubah secara langsung dengan kuasa dua x dan Express p in terms of q, r and s.
secara songsang dengan z. (b) Hitung nilai p apabila q = 7, r = 6 dan s = 12.
y varies directly as the square of x and inversely as z. Calculate the value of p when q = 7, r = 6 and s = 12.
D y berubah secara songsang dengan kuasa dua x dan (c) Hitung nilai q apabila p = 16, r = 8 dan s = 10.
secara langsung dengan z. Calculate the value of q when p = 16, r = 8 and s = 10.
y varies inversely as the square of x and directly varies [4 markah / 4 marks]
as z.
13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01_Prak Strategi Mate Tg5_Bab 1_Final.indd 13 09/01/2023 9:23 AM
PRAKTIS TINGKATAN MC135033 PELANGI
KSSM
STRATEGI MATEMATIK PRAKTIS
TE
TRA
S S
GI
TRA
TE
GI
Mathematics STRATEGI
Ciri-ciri hebat judul ini: PRAKTIS STRATEGI
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Rumus dan Konsep Penting memberikan semakan cepat tentang
TINGKATAN
rumus dan konsep penting dalam peperiksaan Matematik SPM
MESTI INGAT membolehkan murid menyemak fakta, konsep dan
rumus dengan cepat KSSM
Contoh-contoh Tekerja memaparkan cara menjawab soalan dengan
sistematik dan tepat
Latih Tubi disediakan untuk mengukuhkan konsep dan kemahiran
yang telah dipelajari MATEMATIK Ma Ai Hiong
Praktis Berpandu SPM disediakan untuk membantu murid menjawab MATEMATIK Mathematics Wan Naliza Wan Jaafar
soalan berformat SPM dengan terancang Mathematics
Praktis Berorientasikan SPM terdiri daripada soalan-soalan yang
setaraf dengan piawai SPM
Kertas Model SPM disediakan untuk membiasakan murid dengan Merangkum semua Tahap Penguasaan
bentuk soalan SPM yang sebenar
1– 6 dalam DSKP
Langkah penyelesaian lengkap disediakan dalam Kod QR supaya murid
disediakan dalam Kod QR supaya murid
dapat menyemak setiap langkah yang diperlukan dalam menyelesaikan
soalan yang diberikan TINGKATAN 5 Merujuk Buku Teks
Praktis mesra murid untuk menguasai
konsep dan kemahiran dengan mudah
W.M: RM11.90 / E.M: RM12.50
MC135033 BONUS
ISBN: 978-629-7520-93-3
FORMAT PENTAKSIRAN
BAHARU SPM Langkah Penyelesaian Lengkap untuk
SEMUA Soalan disediakan dalam Kod QR
MULAI 2021
PELANGI
PELANGI
1st pruf.indd 1 03/02/2023 11:41 AM
Prak Strategi Mate Tg5_Prelims.indd 5 03/02/2023 11:43 AM