Focus KSSM SPM Tg5 - Matematik Tambahan

PELANGI BESTSELLER

MATEMATIK SPM
TAMBAHAN
5Tingkatan

KSSM

Moh Sin Yee • Yong Kuan Yeoh FORMAT PENTAKSIRAN
Moy Wah Goon • Ng Seng How • Ooi Soo Huat
2021BAHARU SPM
mulai

KANDUNGAN

Rumus Matematik v – vi
1
1Bab

Sukatan Membulat

1.1 Radian 2

1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 4

1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 10

1.4 Aplikasi Sukatan Membulat 18

Praktis SPM 1 21

2Bab

Pembezaan 26

2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan 27
2.2 Pembezaan Peringkat Pertama 29
2.3 Pembezaan Peringkat Kedua 34
2.4 Aplikasi Pembezaan 35
Praktis SPM 2 46

3Bab

Pengamiran 49

3.1 Pengamiran Sebagai Songsangan Pembezaan 50

3.2 Kamiran Tak Tentu 51

3.3 Kamiran Tentu 56

3.4 Aplikasi Pengamiran 72

Praktis SPM 3 75

4Bab 78

Pilih Atur dan Gabungan

4.1 Pilih Atur 79
85
4.2 Gabungan 89
Praktis SPM 4

5Bab 91

Taburan Kebarangkalian

5.1 Pemboleh Ubah Rawak 92
5.2 Taburan Binomial 96
5.3 Taburan Normal 101
Praktis SPM 5 110

iii

6Bab 114

Fungsi Trigonometri

6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 115
6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut 116
6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 121
6.4 Identiti Asas 126
6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda 127
6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri 129
Praktis SPM 6 133

7Bab 136

Pengaturcaraan Linear

7.1 Model Pengaturcaraan Linear 137

7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear 139

Praktis SPM 7 145

8Bab 149

Kinematik Gerakan Linear

8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa 150

8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear 158

8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear 164

8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear 167

Praktis SPM 8 172

Kertas Model SPM 175

Jawapan 184


iv

Bab1 Sukatan Membulat  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat Bidang Pembelajaran : Geometri

Peta
Konsep

Pemandu arah
kapal

Tukang jam
tangan

Kepakaran Ahli
yang astronomi

melibatkan
sukatan
membulat

Pereka bentuk
pesawat

KATA KUNCI Arkitek

• Radian – Radian
• Darjah – Degree
• Panjang lengkok – Arc length
• Jejari – Radius
• Sudut tercangkum – Angle subtended
• Tembereng – Segment
Pl•u•• e• • •• Aa l bTsApPPAaPLuaheseugrekkrlemkaiareaakeisiakatnhtnesanbsogttkaecdirrdbskjouombaetan–onnnumeartotCllgroua–uamthhtkkhkaAoiaiensrbrnmpkdepgi.leadaeaeaspMannknoaangagifwslggmrksaaaumoeelkntnnckneetyanmoepmdakrngaee,eagtknnlunuiagbgknruataaaaektnnnklkueaasrslkanunkesidondaspupuiezyetkdnaabsuynngtaakuaggdnaknkangmaunuserskaannepontsgemluueasskppaapuaoiwlnidsknsaaueaetdvtmsneiyigakndagasaganesananaig.nmrkpbodereeerannreslbsgakoeeimalrpnuatbsajsuieanuksnmkutpabudattukuaanlatnnjstgaeyamanbanngeun.m.aglhebsnuerglusakumtoa?akih. .serta

1

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

1.1 Radian Tip SPM

Bab 1 ×π
180°

A Membuat perkaitan antara ukuran darjah radian
sudut dalam radian dengan darjah
× 180°
1. Andaikan seutas dawai membulat dipotong π
mengikut panjang jejari bulatan itu. Setiap
keratan dawai yang diperoleh akan mempunyai 1
lengkok yang sama panjang dengan jejari bulatan
tersebut. Tukarkan sudut 40° kepada sudut dalam radian yang
diungkapkan
32 (a) dalam sebutan π,
(b) tanpa melibatkan π.
41

5 Keratan dawai
6

2. Perhatikan bahawa saiz sudut yang tercangkum Penyelesaian π
oleh setiap keratan dawai di pusat bulatan 1 2(a) 40° = 180°
sentiasa 57.3°, atau satu radian. 40° × rad

s = 2 π rad
9

j θ radiajn Kaedah Alternatif
180° = π rad
1 radian   
= 57.3º 40° = q

j

3. Satu radian ditakrifkan sebagai nilai sudut 40° × π
yang tercangkum di pusat bulatan jika panjang 180°
lengkok s sama dengan panjang jejari bulatan j, 1 2 q = rad
iaitu s = j.
= 2 π rad = 2 πc
9 9

4. Sudut dalam unit radian adalah sama dengan Tip SPM
nisbah panjang lengkok kepada panjang jejari
s Nilai sudut dalam radian ditanda dengan singkatan
bulatan, iaitu q = j . “rad”, atau huruf superskrip c atau r.

5. Sudut bagi satu pusingan lengkap dalam darjah 1 2(b) 40° = 3.142 rad
dan radian masing-masing ialah 360° dan 2π 40° × 180°

radian. Maka, perkaitan antara ukuran sudut = 0.6982 rad = 0.6982r
dalam darjah dan radian boleh ditulis sebagai
180° = π radian. Tip SPM

360º = 2π radian Biasanya, nilai π yang digunakan ialah 3.142.

6. Dengan menggunakan perkaitan 180° = π Sudut K A L K U L A T O R
radian, kaedah berikut boleh digunakan untuk
menukar sudut dalam darjah kepada radian dan Kalkulator jenis berikut boleh digunakan untuk menukar
sebaliknya. sudut 40° kepada radian:
(a) dSuendguatndamlaemnddaarrajbah18dπ0it°u.kar menjadi radian Casio FX-570MS: Tekan MODE 4 kali, pilih 2 , tekan 4
(b) Sduendguatndamlaemndraardabian18πd0i°tu. kar menjadi darjah 0 , SHIFT , Ans , pilih 1 , tekan = .

Casio FX-570ES: Tekan SHIFT , SETUP , pilih 4 , tekan
4 0 , SHIFT , Ans , pilih 1 , tekan = .

Cuba Soalan 1 – 2 dalam ‘Cuba ini! 1.1’

2

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

2 Penyelesaian

Tukarkan 1 2(a)
(a) 1.2 radian kepada darjah dengan menggunakan 35° = 35° × 3.142 rad Bab 1
180°
π = 3.142,
π47=π = 0.6109 rad

(b) radian kepada darjah tanpa menggunakan Biar perubahan laju = v
3.142.
1 rvad = (60 – 20) km j–1
0.6109 rad
Penyelesaian
180 v = 65.48 km j–1 untuk 1 radian
1 2(a) 1.2 rad = 3.142 °
1.2 ×
65.48 km j–1
= 68.75° (b) Perubahan laju = 1 rad × 1.8 rad

Sudut K A L K U L A T O R = 117.9 km j–1

Kalkulator jenis berikut boleh digunakan untuk menukar Cuba Soalan KBAT ini
sudut 1.2 radian kepada darjah:
Rajah di bawah menunjukkan meter laju yang
Casio FX-570MS: Tekan MODE 4 kali, pilih 1 , tekan 1 digunakan untuk mengukur laju sebuah kereta
. 2 , SHIFT , Ans , pilih 2 , tekan = . dalam kilometer per jam.

Casio FX-570ES: Tekan SHIFT , SETUP , pilih 3 , tekan 140 160 180
1 . 2 , SHIFT , Ans , pilih 2 , tekan = . 120 200

100 220

80 240

60 260

7 7 180 40 280
4 4 π
1 2(b) π rad = π × ° 20 km/j 300
0 320

= 315° Diberi bahawa sudut antara bacaan 60 km j–1 dan
120 km j–1 ialah 45°.
Cuba Soalan 3 – 4 dalam ‘Cuba ini! 1.1’ (a) Hitung perubahan laju, dalam km j–1, yang

Contoh Soalan KBAT diwakili oleh 1 radian.
(b) Jika penunjuk meter laju berubah sebanyak
Rajah di bawah menunjukkan meter laju yang
digunakan untuk mengukur laju sebuah motosikal 2.1 radian, berapakah perubahan laju, dalam
dalam kilometer per jam. km j–1, yang dialami oleh kereta itu?
[Guna π = 3.142]
120 140 160
100 180 Jawapan:
80 200
60 220 (a) 76.38 km j–1

40 240 (b) 160.4 km j–1

20 260
0 280

Diberi bahawa sudut antara bacaan 20 km j–1 dan Cuba ini! 1.1
60  km j–1 ialah 35°.
1. Tukarkan setiap sudut berikut kepada radian dalam
(a) Hitung perubahan laju, dalam km j–1, yang sebutan π .
diwakili oleh 1 radian. (a) 95°
(b) 22.5°
(b) Jika penunjuk meter laju berubah sebanyak (c) 56°15’
1.8 radian, berapakah perubahan laju, dalam
km  j–1, yang dialami oleh motosikal itu? 2. Tukarkan setiap sudut berikut kepada radian
dengan menggunakan π = 3.142.
[Guna π = 3.142] (a) 121°
(b) 50.72°
(c) 82°2’

3

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

3. Tukarkan setiap sudut berikut kepada darjah INGAT!
dengan menggunakan π = 3.142.
Nilai θ mestilah dalam radian apabila mengaplikasikan
Bab 1 (a) 1.8 radian rumus s = jθ.

(b) 4 radian
3

(c) 5.16 radian

4. Tukarkan setiap sudut berikut kepada darjah.

(a) 3 π radian 3
5
Hitung panjang lengkok, s bagi setiap sektor berikut.
(b) 0.25π radian
(a) (b)
(c) 12 π radian s
7 230º
s

1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan O 1.52 rad O
5.2 cm 2.75 cm

A Menentukan panjang lengkok, jejari Penyelesaian 1 2(b) 230° = 3.142
dan sudut tercangkum di pusat (a) s = jq 230° × 180° rad
bulatan = 5.2 × 1.52
= 7.904 cm = 4.015 rad
1. Andaikan sehelai pelapik plastik digunting   s = jq
untuk membalut mengelilingi sepotong kek = 2.75 × 4.015
yang berbentuk sektor bulatan. Panjang pelapik = 11.04 cm
plastik yang digunting mestilah sama dengan
hasil tambah panjang lengkok s dan dua kali Cuba Soalan 1 – 2 dalam ‘Cuba ini! 1.2’
jejari, j.
  Contoh Soalan KBAT
js
Nevis Swing di New Zealand merupakan ayunan
j ngarai yang terbesar di dunia dengan tali sepanjang
Panjang pelapik = s + 2j 120 m. Seorang peserta boleh mengayun sehingga
sudut maksimum 2.5 rad setiap kali ayunan
2. Diketahui bahawa nisbah panjang lengkok dilakukan. Hitung jarak maksimum, dalam m,
kepada jejari bulatan sama dengan sudut yang lengkok ayunan tersebut.
tercangkum di pusat bulatan dalam unit radian,
s Penyelesaian
iaitu j = q. s = jq
= 120 × 2.5
s = 300 m
j
Cuba Soalan KBAT ini
θ radian
Buaian di sebuah taman permainan mempunyai
tali sepanjang 1.8 m.

j

3. Dengan bmoelenhgdguitnerabkiatnkapneursnatmukaamnensjca=riθp, arunmjanugs 1.8 m
berikut
lengkok suatu bulatan:

Bagi suatu bulatan dengan jejari j, panjang Wilson sering bermain buaian pada waktu petang
lengkok yang mencangkum sudut θ di pusat dan mengayun sehingga 1.4 rad. Hitung jarak,
bulatan ialah s = jθ. dalam m, lengkok ayunan tersebut.

Jawapan: 2.52 m

4

4   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat     Bab 1
Hitung jejari, j, bagi setiap sektor berikut.
(a) B Menentukan perimeter tembereng
suatu bulatan
j O 4.8 rad
15.15 cm 1. Perhatikan bahawa rantau berlorek yang dikenali
sebagai tembereng bulatan itu dibatasi oleh
(b) 7.1 cm lengkok s dan perentas p.

s
jp
Oθ

89.6º j 2. Bagi suatu bulatan dengan jejari j, panjang
O perentas yang mencangkum sudut θ di pusat

Penyelesaian bulatan ialah p = 2j sin q .
s 2
(a) j = q
3. Dengan menggunakan s = jq dan p = 2j suinntuq2k,
15.15 rumus berikut boleh diterbitkan
= 4.8 menentukan perimeter tembereng suatu bulatan:

= 3.156 cm Perimeter tembereng bulatan
= panjang lengkok, s + panjang perentas, p
1 2(b) 89.6° = 3.142
89.6° × 180° rad = jθ + 2j sin q
2
= 1.564 rad

  j = s INGAT!
q

= 7.1 Penyelesaian suatu segi tiga dalam sukatan membulat
1.564
boleh melibatkan penggunaan petua sinus dan petua
= 4.540 cm
kosinus, iaitu a b
sin A sin B
Cuba Soalan 3 – 4 dalam ‘Cuba ini! 1.2’     Petua sinus :  =

    Petua kosinus :  a2 = b2 + c2 – 2bc kos A

5 6
Hitung sudut θ, dalam radian, bagi sektor AOB dalam Hitung perimeter, dalam cm, tembereng berlorek
rajah di bawah. dalam setiap bulatan berikut.
[Guna π = 3.142].
A 7.1 cm (a) (b)

θB 1.42 rad O
O 4 cm O

Penyelesaian 3.9 cm 44.7º 3.71 cm
s
q = j

= 7.1 Penyelesaian
4 (a) s = jq
= 1.775 rad = 3.9 × 1.42
= 5.538 cm
Cuba Soalan 5 dalam ‘Cuba ini! 1.2’

5

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

p = 2j sin q Perimeter tembereng berlorek
2 = s + p
1 2 = 2 × 3.9 × sin 1.42 = 2.895 + 2.822
Bab 1 2 = 5.717 cm
= 2 × 3.9 × sin 0.71
= 5.084 cm Cuba Soalan 6 – 7 dalam ‘Cuba ini! 1.2’

Perimeter tembereng berlorek 7
= s + p Rajah di bawah menunjukkan sektor OFGH yang
= 5.538 + 5.084 berjejari 10 cm. Diberi bahawa panjang perentas
= 10.62 cm FH = 18 cm. Hitung perimeter, dalam cm, rantau
berlorek FGH.
Kaedah Alternatif
Petua sinus:

sina A = b F G
sin B 10 cm 18 cm

p 3.9
1.42 3.142 – 1.42

2
1 2 sin =

sin O
H

p = 3.9 × sin 1.42 Penyelesaian
sin 0.861
= 5.083 cm Untuk ∆OFH,

Petua kosinus: 182 = 102 + 102 – 2(10)(10)(kos ∠FOH)
a2 = b2 + c2 – 2bc kos A
p2 = (3.9)2 + (3.9)2­– (2)(3.9)(3.9)(kos 1.42) kos ∠FOH = 102 + 102 – 182
p = 5.084 cm 2(10)(10)

= –0.62

∠FOH = kos–1 (–0.62)

Sudut K A L K U L A T O R = 2.2395 rad

Kalkulator jenis berikut boleh digunakan untuk mengira s = jq
sin 0.71 radian:
= 10 × 2.2395
Casio FX-570MS: Tekan MODE 4 kali, pilih 2 , tekan
sin 0 . 7 1 = = 22.395 cm

Casio FX-570ES: Tekan SHIFT , SETUP , pilih 4 , tekan Perimeter tembereng berlorek
sin 0 . 7 1 = =s+p
= 22.395 + 18
= 40.395 cm

1 2(b) 44.7° = 3.142
44.7° × 180° rad Cuba Soalan 8 dalam ‘Cuba ini! 1.2’

= 0.7803 rad Sudut K A L K U L A T O R
s = jq
= 3.71 × 0.7803 Kalkulator jenis berikut boleh digunakan untuk mengira
= 2.895 cm kos−1 (–0.62):
Casio FX-570MS: Tekan MODE 4 kali, pilih 2 , tekan
p = 2j sin q SHIFT cos – 0 . 6 2 =
2
1 2 = 2 × 3.71 × sin 44.7° Casio FX-570ES: Tekan SHIFT , SETUP , pilih 4 , tekan
2 SHIFT cos – 0 . 6 2 =
= 2 × 3.71 × sin 22.35°
= 2.822 cm

6

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

C Menyelesaikan masalah yang 9 Bab 1
melibatkan panjang lengkok Rajah di bawah menunjukkan sebuah logo yang direka
oleh Azlan untuk produk elektronik yang baharu.
8 Logo itu terdiri daripada sektor OABC dengan pusat O
dan sektor BPQ dengan pusat B.
Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor ABC
dengan pusat B dan sebuah sektor CDE dengan B
pusat E. Sektor ABC dan sektor CDE masing-masing
berjejari 4 cm dan 2.2 cm. AP O
QC

A Diberi =ba1h.8aw5 aradOAdan=∠P32BOQP,= OP = 3.2 cm,
∠BOP 0.99 rad. Hitung
C
D 2.38 rad perimeter, dalam cm, seluruh logo itu.
1.43 rad E

B Penyelesaian 3
2
OA = OP

Hitung perimeter, dalam cm, rantau berlorek. = 3 (3.2)
[Guna π = 3.142] 2

Penyelesaian = 4.8 cm
sAC = jq ∠AOC major = 1.85 × 2
= 4 × 1.43 sCD = jq = 3.7 rad
= 2.2 × 2.38 sABC =
= 5.72 cm = 5.236 cm = jq × 3.7
4.8
= 17.76 cm
∠BED = 3.142 – 2.38 Untuk ∆BOP,
= 0.762 rad
BP OP
Untuk ∆BDE, sin ∠BOP = sin ∠OBP

BD = DE BP 3.2
∠BED sin ∠DBE sin 1.85 0.99
sin 1 2 = sin
2
BD = 2.2
sin 0.762 sin 1.43 3.2 × sin 1.85
1 2 BP =
BD = 2.2 × sin 0.762 sin 0.99
sin 1.43 2
= 6.476 cm
= 1.534 cm sPQ ==
jq
AD = AB – BD 6.476 × 0.99

= 4 – 1.534 = 6.411 cm

= 2.466 cm AP = CQ
= 4.8 – 3.2
Perimeter rantau berlorek = 1.6 cm
= sAC + sCD + AD
= 5.72 + 5.236 + 2.466 Perimeter keseluruhan logo
= 13.422 cm = sABC + sPQ + AP + CQ
= 17.76 + 6.411 + 1.6 + 1.6
Cuba Soalan 9 dalam ‘Cuba ini! 1.2’ = 27.371 cm

Cuba Soalan 10 dalam ‘Cuba ini! 1.2’

7

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

Bab 1 Contoh Soalan KBAT Kuasai SPM

Measat-3b ialah satelit komunikasi Malaysia yang Rajah di bawah menunjukkan dua sektor KON dan
dilancarkan ke orbit geopegun 35 786 km di atas LOM bagi dua bulatan dengan pusat sepunya O.
Bumi. Satelit itu mengambil masa 24 jam untuk
melengkapkan satu orbit.

Satelit O
35 786 km Measat-3b LM
KN
6 400 km
Sudut yang dicangkum pada pusat O oleh lengkok
Diberi bahawa anggaran panjang bagi jejari Bumi major KN ialah 8q dan perimeter seluruh rajah ialah
ialah 6  400 km. Dengan menganggap bahawa 30 cm. Diberi ON = r cm, ON = 3OM dan ∠LOM = 3q.
orbitnya adalah berbentuk bulatan, hitung jarak, Ungkapkan r dalam sebutan θ.
dalam km, yang dilalui oleh satelit Measat-3b dalam
tempoh satu jam. Penyelesaian sKN jq
[Guna π = 3.142] r×
= 8q
=
= 8rq
sLM = jq
Penyelesaian r
= 3 × 3q
q 1 jam
2p = 24 jam = rq r
MN =r– 3
q = 2 × 3.142 KL = = 2 r
24 3

= 0.2618 rad Perimeter seluruh rajah = 30 cm
sKN + sLM + KL + MN = 30
s = jq 2 2
= (35 786 + 6 400) × 0.2618 8rq + rq + 3 r + 3 r = 30
= 42 186 × 0.2618
= 11 044.29 km 9rq + 4 r = 30
3
27rq + 4r
Jarak yang dilalui = 11 044.29 km 3 = 30

r(27q + 4) = 90

Cuba Soalan KBAT ini r = 90 4
27q +
Measat-5 ialah satelit komunikasi Malaysia yang
berputar mengelilingi Bumi dengan orbit geopegun Cuba ini! 1.2
yang berada sejauh 35  786 km dari permukaan
Bumi. Satelit itu perlu mengambil masa 24 jam 1. Hitung panjang lengkok s bagi setiap sektor berikut.
untuk melengkapkan satu orbit. (a) s (b)

Dengan menganggap bahawa satu orbitnya adalah 2 cm
berbentuk bulatan, hitung jarak, dalam km, yang O
dilalui oleh satelit Measat-5 dalam tempoh tiga
jam jika anggaran jejari Bumi ialah 6  400 km. 0.5 rad 5.28 cm 4.28 rad
[Guna π = 3.142]. O s

Jawapan: 33 137.10 km

(c) 2.89 cm O

2.3 rad

s

8

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

2. Dengan menggunakan π = 3.142, hitung panjang (c)
lengkok s bagi setiap sektor berikut.
3.13 cm O θ
(a) (b) s Bab 1

s

2 π rad 174.8º 12.7 cm
5 O
O
4.4 cm 3.88 cm

6. Hitung perimeter, dalam cm, tembereng berlorek

(c) bagi setiap bulatan berikut.

(a) (b)

302.5º 1.12 rad O 6.5 cm
s 3.88 cm O
2.52 rad
O
2.24 cm

 
(c)

3. Hitung jejari j bagi setiap sektor berikut. O 4.06 cm
(a) 11.38 cm 1.9 rad

j
2.24 rad
7. Hitung perimeter, dalam cm, tembereng berlorek
O bagi setiap bulatan berikut.

  [Guna π = 3.142]

(b) (a) (b)

0.28 rad 2.32 cm

O j 4.28 cm 138.2º
O


(c) j O O 4.78 cm
105.7º

4.2 rad

15.93 cm (c)

4. Hitung jejari j bagi setiap sektor berikut dengan 33.3º 5.1 cm
menggunakan π = 3.142. O
(a) 4.1 cm (b) 8.8 cm

j 105.3º 8. Diberi panjang jejari dan panjang perentas AB.
41º Oj

O Hitung perimeter, dalam cm, tembereng berlorek

bagi setiap bulatan berikut.

(c) [Guna π = 3.142]

jO 9 (a) A (b) 9.65 cm
5 AB
π rad

17.1 cm 4.95 cm8.3 cm B 12.2 cm
O O

5. Hitung sudut θ, dalam radian. bagi setiap sektor

berikut.

(a) O (b) (c) B

θ Oθ 10.11 cm 16.18 cm 9 cm
5.2 cm 5 cm O
A
2.7 cm

9

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

9. (a) Rajah di bawah menunjukkan sektor MON 2. Diketahui bahawa nisbah luas sektor L kepada
dengan pusat O dan sektor PQN dengan pusat luas bulatan πj2 adalah sama dengan nisbah
Q. Sektor MON dan PQN masing-masing sudut tercangkum di pusat bulatan, θ, kepada
Bab 1 berjejari 5.8 cm dan 3.9 cm. KBAT
sudut 2π iaitu L = q .
Mengaplikasi πj2 2π

M

P 2.7 rad N 3. Dengan menggunakan persamaan L = q ,
πj2 2π
2.36 rad O Q rumus berikut boleh diterbitkan untuk mencari

Hitung perimeter, dalam cm, rantau berlorek. luas sektor suatu bulatan.
[Guna π = 3.142]

(b) Rajah di bawah menunjukkan sektor OTU Bagi suatu bulatan dengan jejari j, luas sektor
dengan pusat O dan sukuan STV dengan suatu bulatan yang mencangkum sudut di
pusat S. pusat 1 θ
KBAT 2
Menganalisis bulatan ialah L = j2q.

O

V S Tip SPM
U

T Nilai θ mestilah dalam radian apabila mengaplikasikan

Diberi bahawa jejari sektor OTU ialah 9 cm dan rumus L = 1 j2q.
S ialah titik tengah bagi garis lurus OST. Hitung 2

perimeter, dalam cm, rantau berlorek.
[Guna π = 3.142]

10. Rajah di bawah menunjukkan sebuah logo yang 10
dicipta oleh seorang pereka grafik untuk sejenis
Hitung luas, L, bagi setiap sektor berikut.
permainan atas talian. Logo itu terdiri daripada
sektor SROT yang berpusat di S dan sektor OMN (a) (b) O
yang berpusat di O. Diberi bahawa RM = 2MS,
RM = 4 mm, ∠MOS = 0.18 rad dan ∠MSN = 1.46 rad. 4.5 rad 55.8º
O 4.52 cm 4.96 cm
R KBAT
MN T Menganalisis
S

Penyelesaian
1
O (a) L = 2 j2q

Hitung perimeter, dalam mm, seluruh logo itu. = 1 × (4.52)2 × 4.5
[Guna π = 3.142] 2

1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan = 45.765 cm­2

A Menentukan luas sektor, jejari dan 1 2(b) 55.8° = 3.142
sudut tercangkum di pusat bulatan 55.8° × 180° rad

1. Sepotong piza yang berbentuk sektor bulatan = 0.9740 rad
diambil dari sebiji piza. Luas potongan piza itu 1
adalah sama dengan luas sektor bulatan tersebut.   L = 2 j2q

j = 1 × (4.96)2 × 0.9740
θ radian 2

  = 11.98 cm2

Cuba Soalan 1 – 2 dalam ‘Cuba ini! 1.3’

10

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

Contoh Soalan KBAT 11 Bab 1
Hitung jejari, j, bagi setiap sektor berikut.
Pada pukul 6 petang setiap hari, pemercik rumput di (a) (b)
kebun Pak Samad akan berpusing ulang-alik secara
automatik dalam sudut 2 radian untuk menyiram 4.52 rad
tanaman sehingga 9 m jauh.
O 113.8º
O

9m Luas sektor = 133.95 cm2 Luas sektor = 24.09 cm2
2 rad
Penyelesaian

(a) j = 2L
q

Hitung luas maksimum, dalam m2, kawasan = 2 × 133.95
tanaman di kebun Pak Samad yang dapat disiram 4.52
oleh pemercik itu.
= 7.699 cm

Penyelesaian 1 2(b) 113.8° = 3.142
180°
L = 1 j2q 113.8 × rad
2
= 1.986 rad
= 1 (9)2(2)
2
   j = 2L
= 81 m2 q

Cuba Soalan KBAT ini = 2 × 24.09
1.986
Trak tangki air akan membuat kerja pembersihan
jalan raya pada pukul 7 petang setiap hari. Pada = 4.925 cm
suatu ketika, trak itu menyiram air sejauh 3.5 m
meliputi suatu kawasan berbentuk sektor bulatan Cuba Soalan 3 – 4 dalam ‘Cuba ini! 1.3’
yang mencangkum sudut 1.8 radian di muncung
alat pemercik. 12

Hitung sudut, θ, dalam radian, bagi sektor bulatan di
bawah.

1.8 rad 17.4 cm O
3.5 m θ

Hitung luas maksimum, dalam m2, kawasan jalan Luas sektor = 60.8 cm2
raya yang disiram oleh trak tangki air pada ketika
itu. Penyelesaian
2L
Jawapan: 11.025 m2 q = j2

= 2 × 60.8
(17.4)2

= 0.4016 rad

Cuba Soalan 5 dalam ‘Cuba ini! 1.3’

11

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

Bab 1 B Menentukan luas tembereng suatu 13
bulatan
Hitung luas, dalam cm2, tembereng berlorek dalam
1. Perhatikan bahawa luas tembereng suatu bulatan setiap bulatan berikut.
yang diwakili oleh rantau berlorek di bawah [Guna π = 3.142]
boleh ditentukan dengan menolak luas segi tiga (a)
daripada luas sektor bulatan itu.
2 rad
j p O 3.5 cm
Oθ

j

2. Bagi suatu bulatan dengan jejari j, luas segi tiga (b)
boleh ditentukan dengan menggunakan rumus
1 60º
L= 2 j2 sin q atau L= s(s – p)(s – j)2 , dengan O 23 cm
s= 1 (2j + p).
keadaan 2

3. Dengan menggunakan L = 1 j2 q dan L = 1 j2 sin q Penyelesaian
2 2 1
atau L = s(s – p)(s – j)2 , rumus-rumus berikut (a) L = 2 j2(q – sin q)

boleh diterbitkan untuk menentukan luas 1
tembereng suatu bulatan. = 2 (3.5)2(2 – sin 2)

(a) Luas tembereng bulatan = 6.681 cm2
= Luas sektor – Luas segi tiga
1 1
= 2 j2q – 2 j2 sin q 1 2(b) 60° = 60° × 3.142 rad
180°
= 1 j2(q – sin q)
2 = 1.047 rad

(b) Luas tembereng bulatan   L = ­12 j2(q – sin q)
= Luas sektor – Luas segi tiga
1 1
= 2 j2q – s(s – p)(s – j)2 = 2 (23)2(1.047 – sin 60°)

dengan keadaan s = 47.87 cm2
1
= 2 (2j + p)

INGAT! Tip SPM

Penyelesaian suatu segi tiga dalam sukatan membulat Sekiranya sudut θ diberi dalam unit darjah, gunakanlah
boleh melibatkan penggunaan dua rumus luas segi tiga secara terus untuk mencari nilai sinus. Penukaran darjah
yang berbeza, iaitu kepada radian hanya akan mengurangkan kejituan nilai
sinus.

A = 1 ab sin C, atau
2
Cuba Soalan 6 – 7 dalam ‘Cuba ini! 1.3’
A = s(s – a)(s – b)(s – c)

dengan keadaan s = 1 (a +b + c)
2

12

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

Contoh Soalan KBAT 14 Bab 1

Salir Perancis yang menggunakan paip membulat Rajah di bawah menunjukkan sektor MNO bagi suatu
berlubang merupakan satu cara pengurusan air bulatan. Panjang perentas MN = 11 cm.
hujan yang sangat efektif untuk menyelesaikan
isu pembendungan air landskap. Rajah di bawah N 14 cm
menunjukkan keratan rentas paip membulat yang
digunakan dalam salir Perancis. Sebahagian paip itu 11 cm O
terisi dengan air yang terkumpul semasa air hujan M
mengalir ke dalamnya.

Cari luas, dalam cm2, tembereng berlorek.

O 5 cm Penyelesaian
2 rad

Untuk ΔMNO,

Jika panjang paip membulat itu ialah 20 cm, hitung 112 = 142 + 142 – 2(14)(14)(kos ∠MON)
isi padu, dalam cm3, air yang terkumpul.
kos ∠MON = 142 + 142 – 112
Penyelesaian 2(14)(14)

Luas keratan rentas air yang terkumpul = 0.6913

= 1 j2(q – sin q) ∠MON = kos–1(0.6913)
2
1
= 2 (5)2(2 – sin 2) = 0.8075 rad

= 13.63 cm2 Lsektor = 1 j2q
2
Isi padu air yang terkumpul
= 1 × 142 × 0.8075
= Luas keratan rentas × Panjang paip 2
= 13.63 × 20
= 272.6 cm3 = 79.135 cm2

Cuba Soalan KBAT ini s = 1 (2j + p)
2
Paip membulat digunakan secara meluas dalam
sistem penyaluran sisa kumbahan. Rajah di bawah = 1 [2(14) + 11]
menunjukkan air kumbahan yang terkumpul 2
dalam paip membulat.
= 19.5 cm

O 4m Lsegi tiga = s(s – p)(s – j)2
1.8 rad = 19.5(19.5 – 11)(19.5 – 14)2

Air kumbahan = 70.81 cm2

Hitung isi padu, dalam m3, air kumbahan yang Luas tembereng berlorek = L sektor – L segi tiga
terkumpul dalam paip membulat sepanjang = 79.135 – 70.81
1.5 km.
= 8.325 cm2
Jawapan: 9 913.5 m2

Cuba Soalan 8 dalam ‘Cuba ini! 1.3’

13

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

Bab 1 Kuasai SPM C Menyelesaikan masalah yang
melibatkan luas sektor
Rajah di bawah menunjukkan satu bulatan dan sektor
bulatan dengan pusat sepunya O. Jejari bulatan ialah 15
j cm. Rajah di bawah menunjukkan sektor AOB dengan
pusat O dan sektor PQR dengan pusat P. Sektor AOB
M berjejari 8 cm, OQ = OP = 3 cm dan ∠AOB ialah sudut
tegak.
P
θ Q N A

O

Diberi bahawa PM = 6 cm dan panjang lengkok MN Q RB
dan PQ masing-masing ialah 21 cm dan 7 cm. P
Hitung O
(a) nilai j dan θ,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. Hitung luas, dalam cm2, rantau berlorek.
[Guna p = 3.142] [Guna π = 3.142]

Penyelesaian 1
2
Penyelesaian L sektor AOB = j2q
(a) Lengkok MN dan PQ mencangkum sudut θ
1 2 = 1 3.142
yang sama di pusat, maka 2 × 82 × 2

sMN = sPQ = 1 × 82 × 1.571
j+6 j 2

21 = 7 = 50.27 cm2
j+6 j
1
21j = 7(j + 6) L segi tiga OPQ = 2 ×3×3

21j = 7j + 42 = 4.5 cm2

14j = 42 Untuk ∆OPQ

j = 3 cm ∠QPR = ∠POQ + ∠OQP

q = s 1 1.571 2
j 2
= 1.571 +
7
= 3 rad = 2.3565 rad

(b) L segi tiga MON = 1 j2 sin q PQ = OP2 + OQ2
2 = 32 + 32
= 4.243 cm
1 2 = 1 7
2 × (6 + 3)2 × sin 3

= 29.28 cm2 L sektor PQR = 1 j2q
2
L sektor POQ = 1 j 2q 1
2 2
= × (4.243)2 × 2.3565
= 1 × 32 × 7
2 3 = 21.21 cm2

= 10.5 cm2 Luas rantau berlorek

Luas kawasan berlorek = L – L – Lsektor AOB sektor PQR
=L segi tiga MON – L sektor POQ segi tiga OPQ

= 29.28 – 10.5 = 50.27 – 4.5 – 21.21
= 18.78 cm2 = 24.56 cm2

Cuba Soalan 9 dalam ‘Cuba ini! 1.3’

14

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

16 Penyelesaian Bab 1
Rajah di bawah menunjukkan kawasan pada cermin
belakang kereta berbentuk sektor bulatan dengan (a) sBD = 12
pusat O yang dapat dibersihkan oleh pengelap cermin.  jx = 12

  j = 12 cm
x

2 rad 52 cm (b) Oleh sebab BC dan DC ialah tangen, maka
∠ABC dan ∠ADC ialah sudut tegak.
O 18 cm
BC = DC
Dengan menggunakan π = 3.142, hitung luas, dalam
cm2, kawasan cermin belakang yang dapat dibersihkan 1 2 1 2 = 13 2 12 2
oleh pengelap cermin itu. x x
–

LPesekntoyr beeslaer s=ai21ajn2q = 169 – 144
x2 x2

= 1 × (18 + 52)2 × 2 =  2x52
2
1 5
= 2 × 702 × 2 = x cm

= 4 900 cm2 Luas segi tiga ABC = Luas segi tiga ADC

L sektor kecil = 1 j2q = 1 × 1 12 2 × 1 5 2
2 2 x x
1
= 2 × 182 × 2 = 30 cm2
x2
= 324 cm2

Luas cermin belakang yang dapat dibersihkan Luas sisi empat ABCD
= L – Lsektor besar = Luas segi tiga ABC + Luas segi tiga ADC
sektor kecil
= 4 900 – 324 =3x02 + 30
= 4 576 cm2 x2

Cuba Soalan 10 dalam ‘Cuba ini! 1.3’ =6x02 cm2

  Kuasai SPM Luas sektor ABD = 1 j 2q
2
Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan
pusat A. 1 2 = 1 × 12 2×x
2 x

= 72 cm2
x2

A Luas kawasan berlorek
x rad D = Luas sisi empat ABCD – Luas sektor ABD

BC =6x02 – 72
x

BC dan DC masing-masing ialah tangen kepada =60 – 72x cm2
bulatan itu pada titik B dan titik D. Diberi bahawa x2

panjang lengkok minor BD ialah 12 cm dan AC = ­1x3 cm.
Ungkapkan dalam sebutan x,
(a) jejari, j, bulatan itu,
(b) luas, L, bagi kawasan berlorek.

15

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

Kuasai SPM Penyelesaian

Bab 1 Rajah di bawah menunjukkan sebuah rombus KLMN (a) ∠KOL = s
yang terterap dalam sektor KLM dengan pusat L dan j
jejari h cm.
=1150
L
K λ rad M =32 rad

N

1 2(b)
Diberi luas sektor KLM ialah 12.5 cm2, ungkapkan Luas sektor KOL = 1 (152) ­32
dalam sebutan h, 2
(a) l,
= 75 cm2
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.

1 2 1
Penyelesaian Luas sektor LOM = 2 (152) 3.142
4
(a) LKLM = 12.5
= 88.37 cm2
  1 h2l
2 = 12.5 ∠NOM MN
OM
 l = 25 rad tan =
h2
MN
(b) sKLM = jq tan 45° = 15
= hl
25 MN = 15 tan 45°
=h × h2
= 15 cm

= 25 cm Luas segi tiga NOM = 1 (15)(15)
h 2

Perimeter kawasan berlorek = 112.5 cm2

=h + h + 25 Luas kawasan berlorek
h
=2h2
+ 25 cm = Luas sektor KOL + (Luas segi tiga NOM –
h Luas sektor LOM)

= 75 + (112.5 – 88.37)

= 99.13 cm2

  Kuasai SPM Cuba ini! 1.3

Rajah di bawah menunjukkan sektor KOM dengan
pusat O.

15 cm O 1. Hitung luas, dalam cm2, bagi setiap sektor berikut.

K 45Њ (a) 1.9 cm (b)

L O 3.76 rad
N 2.44 rad O

M 1.7 cm



Diberi bahawa panjang lengkok KL ialah 10 cm. (c)

Hitung O 2 rad
(a) ∠KOL, dalam radian, 2.22 cm

(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
[Guna π = 3.142]

16

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

2. Hitung luas, L, bagi setiap sektor berikut dengan (c)
menggunakan π = 3.142.
θ
(a) (b) Bab 1
O
2.2 cm 2.16 cm
1.42 cm
O 191Њ O Luas sektor = 4.12 cm2

4 π rad 6. Hitung luas, dalam cm2, tembereng berlorek dalam
3

setiap bulatan berikut.

(c) 3.6 cm O (a) (b)

47.6Њ 6.1 cm 20.1 cm

1.2 rad O O
2.5 rad

3. Hitung jejari, j, bagi setiap sektor berikut.
(a) (b) (c)

4.3 rad 2.86 rad 0.64 rad O
O O 10.4 cm



7. Dengan menggunakan π = 3.142, hitung luas, dalam

Luas sektor Luas sektor cm2, tembereng berlorek dalam setiap bulatan
= 28.56 cm2 = 144 cm2
berikut.
(c) O
(a) (b)
0.9 rad
40.25Њ

13.2 cm O O 33.5 cm
93.4Њ



Luas sektor = 6.2 cm2 (c)

4. Diberi π = 3.142, hitung jejari, j, bagi setiap sektor 6.12 cmO 142.8Њ
berikut.
(a) O (b) O 45.6Њ

54.4Њ

8. Hitung luas, dalam cm2, tembereng berlorek dalam

Luas sektor Luas sektor setiap bulatan berikut.
= 4.97 cm2 = 24.06 cm2
[Guna π = 3.142]
(c)
(a) N

O 4.14 cm 4 cm
277.8Њ 1.2 rad O

M


(b)

Luas sektor = 123.56 cm2

5. Hitung sudut q, dalam radian, bagi setiap sektor O
12.46 cm
berikut.
17.6 cm N
(a) (b)

5.5 cm θ  M
O 8.75 cm (c)
θO
Luas sektor M 19.98 cmO
= 124.6 cm2 39.3 cm
Luas sektor
= 20 cm2 N

17

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

9. (a) Rajah di bawah menunjukkan sektor POQ masing-masing dengan jejari 0.8 cm dan 1.8 cm. Pada
dengan pusat O dan sektor PMN dengan suatu ketika, gear kecil itu berpusing sebanyak 300°.
pusat M. Diberi bahawa jejari sektor POQ ialah
Bab 1 24.2  cm dan ∠POQ ialah sudut tegak. M dan R
masing-masing ialah titik tengah bagi OP dan
OQ.

O 1.8 cm
M
R Q 0.8 cm
N

P Hitung INFO

Hitung luas, dalam cm2, rantau berlorek. (a) jarak, dalam cm, pusingan gear kecil,
[Guna π = 3.142] (b) sudut, dalam radian, pusingan gear besar,
(c) luas, dalam cm2, sektor yang dilitupi oleh pusingan
(b) Rajah di bawah menunjukkan sektor ABC gear besar.
dengan pusat B dan sektor AOD dengan pusat [Guna π = 3.142]
O. Diberi bahawa jejari sektor ABC ialah 9 cm.
∠ABC dan ∠AOD masing-masing ialah 0.87 Penyelesaian 3.142
radian dan 1.15 radian. 180°
1 2(a) 300° = rad
A 9 cm B 300° ×

O

C = 5.237 rad
D
Jarak pusingan gear kecil = jq
Hitung luas, dalam cm2, rantau berlorek. = 0.8 × 5.237
[Guna π = 3.142] = 4.19 cm

10. Rajah di bawah menunjukkan sepasang pengelap (b) Jarak pusingan gear besar = Jarak pusingan gear kecil

cermin hadapan sebuah kereta yang berayun dalam 1.8 × q = 4.19

sudut 1.5 radian. KBAT 4.19
Mengaplikasi 1.8
q =
Bilah pengelap
62 cm = 2.328 rad

(c) Luas sektor yang dilitupi = 1 j2q
2
1
Jika bilah pengelap seperti yang ditunjukkan = 2 (1.8)2(2.328)
mempunyai panjang 60.9 cm dan jejari sektornya
ialah 62 cm, hitung luas cermin hadapan, dalam = 3.771 cm2
cm2, yang dapat dibersihkan oleh kedua-dua bilah
pengelap itu. Cuba Soalan 1 dalam ‘Cuba ini! 1.4’
[Guna π = 3.142]
18
1.4 Aplikasi Sukatan Membulat Rajah di bawah menunjukkan lengkung peralihan pada
satu bahagian jalan raya dengan ∠AOB dicangkum
A Menyelesaikan masalah yang oleh perentas AB pada pusat O. Diberi bahawa panjang
melibatkan sukatan membulat perentas AB ialah 30 m dan panjang kedua-dua jejari
OA dan OB ialah 42 m.
17
Rajah berikut menunjukkan sebahagian sistem AB
rangkaian gear dalam sebuah mesin pencetak yang
terdiri daripada satu gear kecil dan satu gear besar, O

18

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

Hitung Penyelesaian 3.142
(a) ∠AOB, dalam radian, 180°
(b) panjang lengkok, dalam m, yang dibatasi oleh 1 2(a) 22.5° =
22.5° × rad Bab 1
perentas AB,
(c) luas tembereng, dalam m2, yang dibatasi oleh = 0.3928
  s = jq
lengkok dan perentas AB. = 12 × 0.3928
[Guna π = 3.142] = 4.714 cm

Penyelesaian Panjang pembalut = s + 2j
(a) Untuk ∆AOB, = 4.714 + 2(12)
AB2 = OA2 + OB2 – 2(OA)(OB) kos ∠AOB = 28.714 cm

302 = 422 + 422 – 2(42)(42) kos ∠AOB (b) Luas permukaan atas potongan kek
1
kos ∠AOB = 422 + 422 – 302 = 2 j2q
2(42)(42)
∠AOB = 0.7304 rad = 1 (12)2(0.3928)
2
(b) Panjang lengkok = jq = 28.282 cm2
= 42 × 0.7304
= 30.68 m (c) Isi padu potongan kek
= Luas permukaan kek × Ketebalan kek
(c) Luas tembereng = 1 j2(q – sin q) = 28.282 × 10
2 = 282.82 cm3
1
= 2 (42)2(0.7304 – sin 0.7304) Cuba Soalan 3 dalam ‘Cuba ini! 1.4’

= 55.77 m2

Cuba Soalan 2 dalam ‘Cuba ini! 1.4’ 20
Rajah di bawah menunjukkan sebuah bingkai gambar
19 bulat berpusat O dengan jejari 12.5 cm yang diletakkan
Rajah di bawah menunjukkan sepotong kek berbentuk di atas sebuah pemegang gambar. P dan R masing-
sektor bulatan VOW dengan pusat O dan jejari 12 cm masing ialah titik tengah bagi garis lurus OA dan OB.
di sebuah kedai. Diberi bahawa ketebalan potongan Tinggi pemegang gambar itu ialah 8 cm.
kek itu ialah 10 cm.
Q

O

V P 100Њ R
O 22.5Њ
W 8 cm A B

38.2 cm

Hitung
(a) sudut cakah POR, dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, keseluruhan rajah,
(c) luas, dalam cm2, pemegang gambar.
Seorang pekerja perlu membalut potongan kek [Guna π = 3.142]
tersebut dengan plastik pembalut. Hitung
(a) panjang, dalam cm, pembalut plastik yang Penyelesaian 3.142
180°
diperlukan untuk membalut keseluruhan 1 2(a) 100° =
permukaan menegak potongan kek itu, 100° × rad
(b) luas permukaan atas, dalam cm2, potongan kek
itu, = 1.746 rad
(c) isi padu, dalam cm3, potongan kek itu.
[Guna π = 3.142] Sudut cakah POR = 2(3.142) – 1.746
= 4.538 rad

19

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

Kaedah Alternatif Penyelesaian
Sudut cakah POR = 360° – 100° (a) A
Bab 1 = 260°

1 2= 3.142
260° × 180° rad O
CB
= 4.538 rad

(b) Panjang lengkok PQR = jq Panjang lengkok bagi 3 semi bulatan = 15π cm
= 12.5 × 4.538 Panjang lengkok bagi 1 semi bulatan = 5p cm
= 56.725 cm
Perimeter = 56.725 + 12.5 + 12.5 + 38.2 j bulatan × p = 5p
= 119.925 cm
semi
jsemi bulatan = 5 cm
O
(c) Untuk ∆POR, dsemi bulatan = 5 × 2 120Њ j

PR2 = OP2 + OR2 – 2(OP)(OR) kos ∠POR = 10 cm C 10 cm B
= (12.5)2 + (12.5)2 – 2(12.5)(12.5)(kos 100°)
PR = 19.15 cm Dalam ∆OCB, CB = 10 cm

Luas trapezium APRB = 1 (19.15 + 38.2)(8) jlogo = 10
2 1 2 sin 120°
sin ­180° – 120°
3
= 229.4 cm2
10 ×
Luas tembereng = 1 j2(q – sin q)    jlogo = sin sin 30°
2 120°

= 1 (12.5)2(1.746 – sin 100°) = 5.774 cm
2
= 59.47 cm2 (b)

Luas pemegang gambar X
= Luas trapezium APRB – Luas tembereng
= 229.4 – 59.47 θ
= 169.93 cm2 YZ



Cuba Soalan 4 dalam Cuba ini! 1.4 Luas segi tiga sama sisi XYZ,

Kuasai SPM L1 = 1 (5)(5) sin 60°
2
Kelab STEM SMK Ceria menganjurkan suatu
pertandingan mencipta logo persatuan. Rajah di = 10.83 cm2
bawah menunjukkan sebuah logo berbentuk bulatan
yang direka oleh Fauziah. 1 2   q = 60° × ­31.8104°2 rad

= 1.047 rad

Luas tembereng XY,

L2 = 1 (52)(1.047 – sin 60°)
2

= 2.262 cm2

Ketiga-tiga rantau berlorek adalah kongruen. Diberi Jumlah luas rantau berlorek
= 3L1 + (6 – 3)L2
bahawa jumlah perimeter rantau berlorek tersebut = 3(10.83) + 3(2.262)
ialah 15π cm. Hitung
= 39.276 cm2
(a) jejari, dalam cm, logo itu,
(b) jumlah luas, dalam cm2, rantau berlorek.
[Guna π = 3.142]

20

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

Cuba ini! 1.4 3. Rajah di bawah menunjukkan keratan rentas
sepotong kek berbentuk sektor bulatan AOB dengan
1. Rajah di bawah menunjukkan dua buah gear yang pusat O dan jejari 10 cm. Rania ingin membalut Bab 1
berpusing serentak dalam suatu model binaan. potongan kek tersebut dengan menggunakan
Diameter gear kecil dan gear besar masing-masing plastik pembalut.
ialah 5 cm dan 12 cm. Pada suatu ketika, gear
besar itu berpusing sebanyak 140°. B

A 36Њ O

12 cm

5 cm Sekiranya ketebalan potongan kek itu ialah 8 cm,
hitung
Hitung (a) panjang, dalam cm, pembalut plastik yang
(a) jarak, dalam cm, pusingan gear besar, membalut keseluruhan permukaan menegak
(b) sudut, dalam radian, pusingan gear kecil, potongan kek itu,
(c) luas, dalam cm2, sektor yang dilitupi oleh (b) luas permukaan atas, dalam cm2, potongan kek
itu,
pusingan gear kecil. (c) isi padu, dalam cm3, potongan kek itu.
[Guna π = 3.142] [Guna π = 3.142]

2. Rajah di bawah menunjukkan lengkung peralihan 4. Rajah di bawah menunjukkan sebuah cenderahati
pada satu bahagian trek kereta api dengan ∠POQ berbentuk bulatan MKN dengan pusat O dan
dicangkum oleh perentas PQ pada pusat O. Diberi jejari 20 cm yang terletak di atas suatu penyokong
bahawa panjang perentas PQ ialah 45 m dan cenderahati. Garis lurus OJ dan OL masing-masing
panjang kedua-dua jejari OP dan OQ ialah 50 m. melalui titik M dan N. Garis lurus JL ialah tangen
kepada bulatan MKN pada titik K.

PQ O

20 cm O N
M 125Њ

Hitung JKL
(a) ∠POQ, dalam radian,
Hitung
(b) panjang lengkok, dalam m, yang dibatasi oleh (a) sudut cakah MON, dalam radian,
perentas PQ,
(b) perimeter, dalam cm, keseluruhan cenderahati
(c) luas tembereng, dalam m2, yang dibatasi oleh
lengkok dan perentas PQ. termasuk penyokongnya,
(c) luas, dalam cm2, penyokong cenderahati.
[Guna π = 3.142] [Guna π = 3.142]

Praktis SPM 1

KERTAS 1

1. Rajah di bawah menunjukkan dua sektor AOD dan Sudut yang dicangkum pada pusat O oleh lengkok
SPM major AD ialah 15t radian dan perimeter seluruh
2017 BOC dengan pusat sepunya O. rajah ialah 96 cm. Diberi OA = j cm, OB = 3OA dan
∠BOC = 3t radian, ungkapkan j dalam sebutan t.
BC

AD
O

21

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

2. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan 5. Rajah di bawah menunjukkan sebuah kotak
yang sedang dinaikkan ke tingkat atas sebuah
SPM dengan pusat O. bangunan dengan menggunakan sebuah takal
2018 yang berdiameter 15 cm.

Bab 1 P
3k cm

Q θ rad O

R

PQ dan RQ masing-masing ialah tangen kepada Hitung
bulatan itu pada titik P dan titik R. Diberi bahawa (a) tinggi, dalam cm, kotak yang dinaikkan apabila
panjang lengkok minor PR ialah 9 cm dan OQ = 5k
cm, ungkapkan dalam sebutan k, takal itu berpusing 160°,
(b) sudut pusingan, dalam radian, takal jika kotak
(a) sudut θ,
(b) luas, L, kawasan berlorek. dinaikkan setinggi 0.35 m.
[Guna π = 3.142]
3. Rajah di bawah menunjukkan sektor BCD dengan
6. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan
SPM pusat C dan jejari j cm yang terterap dalam rombus dengan pusat O dan jejari j cm.
2019 ABCD.
J
B O
2␣ rad
A ␣2 rad C
K
D
Jika panjang lengkok major JK ialah 10 cm,
Diberi luas sektor BCD ialah 8 cm2, ungkapkan ungkapkan
dalam sebutan α, (a) α dalam sebutan j,
(a) jejari j, dalam cm, (b) luas, dalam cm2, sektor minor JOK dalam
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. sebutan π dan j.

4. Rajah di bawah menunjukkan satu cara rawatan 7. Rajah di bawah menunjukkan pandangan hadapan
tulang paha yang patah bagi mengurangkan rangka sebuah khemah di suatu kawasan
kesakitan dan pendarahan. Sudut antara kaki dan perkhemahan. DE dan FG ialah lengkok bulatan
badan ialah sudut condong θ, manakala sudut masing-masing dengan pusat G dan D, manakala
tirus antara kaki yang patah dan katil ialah sudut EOF ialah sektor bulatan dengan pusat O.
rujukan, α.
KBAT
Menganalisis

␣θ EF
O

Jika sudut condong θ ialah 135°, hitung nilai α, D 30Њ 2 m 30Њ G

dalam radian. Hitung luas, dalam m2, seluruh rajah itu.
[Guna π = 3.142] [Guna π = 3.142]

22

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

8. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan kecil Hitung luas, dalam m2, kawasan padang rumput

dan sebuah bulatan besar masing-masing dengan yang tidak dapat diragut oleh lembu itu. Bab 1
pusat B dan pusat C. Jejari bulatan besar adalah [Guna π = 3.142]

dua kali jejari bulatan kecil. Kedua-dua bulatan itu

bersentuh di titik E. Garis lurus AD ialah tangen 11. Sepotong kek keju yang dibakar oleh Reyna

sepunya kepada kedua-dua bulatan itu di titik A mempunyai jejari 11.5 cm dan tebal 8 cm. Kek ini

dan titik D. KBAT dibahagi kepada potongan-potongan yang akan
Menganalisis
dijual di Kedai Kek Istimewa. Pembalut plastik yang

AB digunakan untuk membalut permukaan menegak

sepotong kek itu berukuran 30 cm × 10 cm. Reyna

E perlu memotong kek itu dengan sudut maksimum,

D ␣ rad C θ pada pusat kek supaya pembalut plastik itu cukup

untuk membalut keseluruhan permukaan menegak

potongan kek itu. Hitung KBAT
Mencipta

Diberi jejari bulatan kecil ialah r cm, hitung (a) θ, dalam darjah, kepada integer terdekat,
(a) α, dalam radian,
(b) isi padu, dalam cm3, setiap potongan kek itu
(b) perimeter, dalam cm, rantau berlorek.
[Guna π = 3.142] berdasarkan jawapan di (a).

[Guna π = 3.142]

9. Rajah di bawah menunjukkan sektor POQ dan KERTAS 2
sektor OABCD bagi dua bulatan dengan pusat 1. Rajah di bawah menunjukkan satu bulatan dan
sepunya O. Titik B dan C masing-masing ialah titik SPM sektor bulatan dengan pusat sepunya O. Jejari
tengah bagi garis lurus OP dan OQ. Diberi bahawa 2017 sektor AOB ialah r cm dan ∠AOB ialah q rad.
∠AOB : ∠BOC : ∠COD = 1 : 3 : 1 dan perimeter
seluruh rajah ialah 32 cm. D

PA C A
B BO

O Diberi bahawa panjang lengkok AB dan lengkok
CD masing-masing ialah 2 cm dan 9 cm serta
C BC = 13.5 cm. Hitung
QD (a) nilai r dan θ,

Sekiranya ∠AOB = θ radian dan jejari sektor (b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
OABCD = r cm, ungkapkan dalam sebutan r, [Guna π = 3.142]
(a) θ,
(b) luas, dalam cm2, bagi seluruh rajah.

2. Kelab Pencinta Alam SMK Setia menganjurkan

10. Rajah di bawah menunjukkan padang rumput SPM satu pertandingan mencipta logo persatuan. Rajah
2018 di bawah menunjukkan logo berbentuk bulatan
berbentuk segi empat sama dengan panjang setiap
yang direka oleh Dahlan. Satu segi empat sama
sisi ialah 8 m. Seekor lembu diikat pada tiang
terterap dalam logo tersebut.
dengan tali sepanjang 4 m. Tiang itu terletak 2 m

dari tepi padang seperti yang ditunjukkan dalam

rajah. KBAT AA
Menganalisis AA

8m C
D

E 4m 8m Diberi bahawa luas kawasan bertanda A ialah
2m B (32 – 8π) cm2. Hitung

A 2m (a) jejari, dalam cm, logo itu,
(b) perimeter, dalam cm, kawasan bertanda A.
[Guna π = 3.142]

23

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat

3. Rajah di bawah menunjukkan sektor AOC dengan (a) Hitung perimeter seluruh rajah dalam sebutan
π.
SPM pusat O.
2019 (b) Tunjukkan bahawa luas kawasan berlorek ialah
A
Bab 1
O 1 22π3 + 3π2√3 cm2.
3

7.5 cm

CB 6. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan
P dengan pusat O dan jejari 5 cm. Perimeter bulatan
yang diliputi oleh semibulatan APB, BQC, CRD,
Diberi bahawa ∠AOC ialah 150° dan panjang DSE dan ETA masing-masing dengan diameter
lengkok BC ialah 4.83 cm. Hitung AB, BC, CD, DE dan EA.
(a) ∠AOB, dalam radian,
S D R
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. E C
Q
[Guna π = 3.142] TO

4. Rajah di bawah menunjukkan sekeping kertas A
berbentuk segi tiga sama sisi dengan panjang PB

sisinya 10 cm. Cikgu Bala telah mengagihkan Hitung
(a) ∠AOB, dalam radian, betul kepada tiga angka
kepingan-kepingan kertas tersebut kepada murid-
murid untuk membentuk sebuah kon. KBAT bererti,

Mencipta (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek,

(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
[Guna π = 3.142]

Devyn ingin menggunakan kepingan kertas itu 7. Rajah di bawah menunjukkan pemacu rantai
semaksimum yang mungkin untuk membentuk sebuah basikal. Pemacu rantai basikal ini terdiri
sebuah kon. Hitung daripada gegancu roda bergerigi berjejari 12
(a) isi padu maksimum, dalam cm3, kon yang boleh cm dan hab roda bergerigi berjejari 3.5 cm yang
dibentuk oleh Devyn, terletak pada roda belakang basikal.
(b) luas, dalam cm2, kertas yang tidak digunakan
oleh Devyn. injak
[Guna π = 3.142]
lengan A B roda
5. Rajah di bawah menunjukkan dua bulatan berpusat engkol basikal
M dan N yang saling bertindih antara satu sama E C
lain. Kedua-dua bulatan mempunyai jejari yang gegancu F rantai D hab roda
sama, iaitu π cm. roda besi bergerigi
bergerigi
P
(a) Diberi jejari roda belakang basikal ialah 35 cm,
R MN S
berapakah jauh, dalam cm, basikal tersebut
Q
boleh bergerak sekiranya injak pada gegancu

diputar sebanyak 80°?
(b) Jika panjang kedua-dua bahagian rantai AB

dan DE masing-masing ialah 32 cm, hitung
luas kawasan ABCDEF, dalam cm2, bagi

sistem pemacu rantai basikal tersebut.
[Guna π = 3.142]

24

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 1 Sukatan Membulat    

8. Rajah di bawah menunjukkan keratan rentas 10. Rajah di bawah menunjukkan rangka wau helang Bab 1
sebuah terowong sepanjang 1.8 km dengan dengan paksi simetri pada garis lurus QV. PXR dan
jejari 12 m yang dibina untuk mengurangkan PYR masing-masing ialah sektor bulatan berjejari
kadar kesesakan trafik dan juga menyelesaikan 50 cm yang berpusat di titik T dan Q. TUVW ialah
masalah banjir kilat di bandar besar. Tembereng sektor bulatan berjejari 20  cm yang berpusat di T.
PQ berfungsi sebagai parit dengan jalan konkrit di PTW dan RTU ialah garis lurus.
atasnya.
Q
PQ X
PR
15 m
Y
Hitung T
(a) luas keratan rentas, dalam m2, bahagian
UW
terowong di atas jalan raya,
(b) isi padu maksimum, dalam m3, air yang boleh V

disimpan dalam parit semasa banjir kilat Diberi bahawa ∠PQR dan ∠PTR ialah 115°, hitung
berlaku. (a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek,
[Guna π = 3.142] (b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
[Guna π = 3.142]
9. Rajah di bawah menunjukkan keratan rentas sebiji
bola dengan pusat O yang terapung di permukaan 11. Rajah di bawah menunjukkan dua potongan kek
air. Titik A dan B berada pada permukaan air dan coklat dengan saiz dan harga yang berlainan.
titik terbawah, C berada 5 cm di bawah permukaan
air. KBAT
Menilai
O
AB 30Њ 5 cm
8 cm
5 cm
C 12 cm 12 cm 8 cm
Potongan Kek A
Diberi bahawa isi padu bola yang berbentuk sfera RM 12 sepotong Potongan Kek B
itu ialah 2 304π cm3, hitung.
(a) jejari, dalam cm, bola itu, RM 10 sepotong
(b) ∠AOB, dalam radian,
(c) luas keratan rentas, dalam cm2, bahagian bola Ethyn tidak dapat memilih potongan kek dengan
yang berada di atas permukaan air. harga yang lebih berpatutan. Anda sebagai
[Guna π = 3.142] seorang pengguna yang bijak perlu membantu
Ethyn membeli potongan kek dengan harga yang
lebih berpatutan. Jelaskan alasan anda secara
matematik.

25

PELANGI   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Jawapan

JAWAPAN

1Bab Sukatan Membulat 8. (a) 1.619 cm2 (b) 44.07 cm2
(c) 483.44 cm2 (b) 6.81 cm2

Cuba ini! 1.1 9. (a) 214.3 cm2
10. 5 764.185 cm2
1. (a) 19 π rad (b) 1 π rad 1.4
36 8 Cuba ini!

(c) 5 π rad 1. (a) 14.664 cm (b) 5.8656 rad
16 (c) 18.33 cm2

2. (a) 2.112 rad (b) 0.8853 rad 2. (a) 0.9335 rad
(c) 162.2 m2
(c) 1.432 rad (b) 46.68 m
3. (a) 26.28 cm
3. (a) 103.1° (b) 76.38° (c) 251.36 cm3
(c) 295.6°
4. (a) 4.102 rad (b) 31.42 cm2
(c) 332 cm2
4. (a) 108° (b) 45°
(c) 308.6°
(b) 205.5 cm

Cuba ini! 1.2

1. (a) 2.64 cm (b) 8.56 cm Praktis SPM 1
(c) 6.647 cm
Kertas 1
2. (a) 5.530 cm
(c) 11.83 cm (b) 11.84 cm 1. j= 24
6t + 1
3. (a) 5.080 cm
(c) 3.793 cm (b) 8.286 cm 2. (a) 3k rad (b) 24k2 – 27k cm2
2
4. (a) 5.729 cm
(c) 3.024 cm (b) 4.788 cm 3. (a) j = 4 cm (b) 8 + 4a2 cm
a a
5. (a) 0.5192 rad
(c) 4.058 rad 4. 0.785 rad

6. (a) 8.4676 cm (b) 2.022 rad 5. (a) 20.95 cm (b) 4.667 rad
(c) 14.319 cm (b) (πj2 − 5j) cm2
(b) 28.76 cm 6. (a) a = 5 rad
7. (a) 16.439 cm j
(c) 5.89 cm
7. 2.265 m2
8. (a) 18.146 cm
(c) 36.29 cm (b) 18.317 cm 8. (a) 1.231 rad (b) 7.201r cm

9. (a) 27.65 cm (b) 19.571 cm 9. (a) q = 8–r rad (b) 56r – 7r 2 cm2
2r 2
10. 39.625 mm
10. 32.12 m2
Cuba ini!
(b) 16.77 cm 11. (a) q = 34° (b) 314 cm3

1.3 Kertas 2

1. (a) 4.4042 cm2 (b) 5.4332 cm2 1. (a) r = 3.857 cm, q = 0.5185 rad
(c) 4.9284 cm2 (b) 70.783 cm2

2. (a) 10.14 cm2 2. (a) j = 4 cm (b) 35.196 cm
(c) 5.384 cm2
(b) 7.778 cm2 3. (a) 1.974 rad (b) 58.52 cm2
3. (a) 3.645 cm
(c) 3.712 cm (b) 10.03 cm 4. (a) 18.63 cm3 (b) 4.025 cm2

4. (a) 3.235 cm (b) 7.775 cm 5. (a) 83π2 cm
(c) 7.139 cm (b) Luas sektor major PRQM = Luas sektor major PSQN

5. (a) 1.322 rad = 1 × π2 × 4π
(c) 4.086 rad 2 3
(b) 3.255 rad 2π3
6. (a) 4.986 cm2 = 3
(c) 2.315 cm2
(b) 384.1 cm2  1 2 1 π π
7. (a) 55.04 cm2 Luas tembereng = 2 × π2 × 3 – sin 3
(c) 35.36 cm2
(b) 31.69 cm2 = π2 1 π – 1 23 2
2 3
 π23
= π3 – 4
6

184

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Jawapan   PELANGI

Luas kawasan berlorek 3. (a) 3 1 (b) 10
= (2 × Luas sektor major PRQM) – (4 × Luas tembereng) 2 (d) –1
(c) –
 π23
2π3 π3 4
1 2 1 2 =2 3 –4 6 – (e) 1 (f) 4
4
= 4π3 2π3
3 – 3 + π23 4. (a) 6 (b) –4x
(c) 8x – 4
= 2π3 + π23 (d) 1
3 x2
 2π3 + 3π23
3
1 2 = cm2 5. (a) –24 + 72x (b) 12x + 2
(c) 0 x2

6. (a) 1.26 rad (b) 77.67 cm (d) – 5
(c) 48.54 cm2 8x2

7. (a) 167.51 cm (b) 775.66 cm2 Cuba ini! 2.2

8. (a) 425.5 m2 (b) 48 510 m3 1. (a) 30x5 (b) – 7
(b) 1.896 rad 2x3
9. (a) j = 12 cm
(c) 384.17 cm2 (c) 1 1
8√x 
(d) 9x   2

10. (a) 280.84 cm (b) 3 153.14 cm2 (e) 3 ­ 3
4 8√x 
11. Isi padu potongan kek B per ringgit (48 cm3 per ringgit) x3 (f)
lebih besar daripada isi padu potongan kek A per ringgit
(25.14 cm3 per ringgit). Maka, harga potongan kek B lebih 2. (a) 12x2 + 10x – 8 (b) 15x4 – 3
berpatutan. 4x3

(c) – 1 – 4 + 9 – 16 (d) 4x3 + 15x4 – 6x5
x2 x3 x4 x5
2Bab Pembezaan
(e) 3 – 15 (f) – 3 +1
2√x  √x 

Cuba ini! 2.1 3. (a) 3 (b) 21 1
3
4. (a) 43 πj (b) 235p
1. (a) (i) x –0.1 –0.01 –0.001 0 0.001 0.01 0.1 5. (a) 8x – ­x23
f(x) –0.8 –0.08 –0.008 0 0.008 0.08 0.8 (b) 3

\  had 8x = 0 (c) –   98 – 42 (d) 5 – 2x
x3 x2
x → 0
   6. 2
(ii) y (iii) xh →ad 0 8x = 8(0) (a) 9 6 + 3 6x – 3 (b) 4
= 0 x2 x √8x – 4

(c) 24x (3x2 – 4)3 (d) = – 9
5
Ox 3
(6x – 3) 2

(e) 2(5 3 3x)3 (f) 5
– 3
2(x – 2) 2

∴ had 8x = 0 7. –504 210

x → 0

(b) (i) x –0.1 –0.01 –0.001 0 0.001 0.01 0.1 8. 0
f(x) 3.01 3.0001 3.000001 3 3.000001 3.0001 3.01
9. k = 5, n = 3

\  had (x2 + 3) = 3 10. (a) (10x – 1)(2x – 1)3
3x + 1
x → 0 √2x – 3

(ii) y (b)

(c) (2x + 7)(x – 5)2(10x + 1)

(d) (99x – 2)(9x – 2)4
2√x 
3 (e) 3(5 + x)3[5 – 5x – 6x2]
Ox
(f) 40x4 – 24x2 – 24x + 6 + 2
x3

\ had (x2 + 3) = 3 11. (a) 1(02xx(x– – 1) (b) –   1
1)2 √x (√x 
x → 0 – 1)2

( iii) xh →ad 0 (x2 + 3) = 02 + 3 3x – 8 (d) –3(1 + xx)(41 – 3x)3
= 3 2x3√2 – x 
(c)

2. (a) –2 (b) 3 6 – 32x – 37x2 (f) –2(x3(8– 12x2 + 5)
(2 + 5x – x2)2 – x)2
(c) 5 (d) 2 (e)
3
3
(e) –   5

185

MATEMATIK SPM
TAMBAHAN
5Tingkatan
REVISI
KSSM
üKata Kunci üTip SPM
üPeta Konsep üTip Ingat FOCUS SPM KSSM Tingkatan 5 – siri teks
rujukan yang lengkap dan padat dengan ciri-ciri

PENGUKUHAN & istimewa untuk meningkatkan pembelajaran
PENTAKSIRAN murid secara menyeluruh.

üCuba ini! üKertas Model SPM Siri ini merangkumi Kurikulum Standard
üPraktis SPM üJawapan Lengkap Sekolah Menengah (KSSM) yang baharu serta

CIRI-CIRI EKSTRA mengintegrasikan keperluan Sijil Pelajaran
Malaysia (SPM). Pastinya satu sumber yang
üAplikasi Harian üKuasai SPM
üSoalan KBAT üKod QR hebat bagi setiap murid!
üSudut Kalkulator üSoalan Klon SPM REVISI

PENGUKUHAN
PENTAKSIRAN

EKSTRA

JUDUL-JUDUL DALAM SIRI INI:
• Mathematics
• Sejarah • Matematik
• Pendidikan Islam • Matematik Tambahan • Additional Mathematics
• Pendidikan Seni Visual • Sains • Science
Dapatkan • Biologi • Biology
versi • Fizik • Physics
eBook! • Kimia • Chemistry



W.M: RM?1?8.9?5? / E.M: RM1??9.9?5?

CC035131
ISBN: 978-967-2965-64-0

PELANGI