Ranger SPM 2024 Matematik Tambahan

MATEMATIK TAMBAHAN Chew Su Lian Ong Yunn Tyug Tee Hock Tian Moh Sin Yee Dr. Pauline Wong Mee Kiong (Penulis Buku Teks) SPM REVISI CEPAT PELANGI ONLINE TEST PELANGI ONLINE TEST Bonus 4 5 KSSM TINGKATAN Praktis SPM & Kertas Model SPM Penyelesaian Lengkap PELANGI

Rumus vi–viii Tingkatan 4 1 BAB Fungsi 1 Peta Konsep 1 1.1 Fungsi 2 1.2 Fungsi Gubahan 5 1.3 Fungsi Songsang 7 Kuasai SPM 8 Contoh Soalan KBAT 11 Praktis SPM 1 12 2 BAB Fungsi Kuadratik 14 Peta Konsep 14 2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik 15 2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik 18 2.3 Fungsi Kuadratik 19 Kuasai SPM 27 Contoh Soalan KBAT 28 Praktis SPM 2 29 3 BAB Sistem Persamaan 33 Galeri i-THINK 33 3.1 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah 34 3.2 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan tak Linear 37 Kuasai SPM 39 Contoh Soalan KBAT 41 Praktis SPM 3 43 4 BAB Indeks, Surd dan Logaritma 45 Peta Konsep 45 4.1 Hukum Indeks 46 4.2 Hukum Surd 47 4.3 Hukum Logaritma 51 4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma 55 Kuasai SPM 55 Contoh Soalan KBAT 57 Praktis SPM 4 59 5 BAB Janjang 61 Peta Konsep 61 5.1 Janjang Aritmetik 62 5.2 Janjang Geometri 66 Kuasai SPM 70 Contoh Soalan KBAT 71 Praktis SPM 5 73 6 BAB Hukum Linear 77 Peta Konsep 77 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear 78 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear 81 6.3 Aplikasi Hukum Linear 82 Kuasai SPM 84 Contoh Soalan KBAT 86 Praktis SPM 6 87 iii

7 BAB Geometri Koordinat 92 Galeri i-THINK 92 7.1 Pembahagi Tembereng Garis 93 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang 94 7.3 Luas Poligon 96 7.4 Persamaan Lokus 97 Kuasai SPM 98 Contoh Soalan KBAT 101 Praktis SPM 7 102 8 BAB Vektor 105 Galeri i-THINK 105 8.1 Vektor 106 8.2 Penambahan dan Penolakan Vektor 108 8.3 Vektor dalam Satah Cartes 111 Kuasai SPM 112 Contoh Soalan KBAT 118 Praktis SPM 8 119 9 BAB Penyelesaian Segi Tiga 124 Peta Konsep 124 9.1 Petua Sinus 125 9.2 Petua Kosinus 128 9.3 Luas Segi Tiga 130 9.4 Aplikasi Petua Sinus, Petua Kosinus dan Luas Segi Tiga 132 Kuasai SPM 133 Contoh Soalan KBAT 135 Praktis SPM 9 137 10 BAB Nombor Indeks 142 Peta Konsep 142 10.1 Nombor Indeks 143 10.2 Indeks Gubahan 144 Kuasai SPM 147 Contoh Soalan KBAT 150 Praktis SPM 10 152 Tingkatan 5 1 BAB Sukatan Membulat 162 Peta Konsep 162 1.1 Radian 163 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 163 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 165 1.4 Aplikasi Sukatan Membulat 166 Kuasai SPM 168 Contoh Soalan KBAT 171 Praktis SPM 1 173 2 BAB Pembezaan 179 Peta Konsep 179 2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan 180 2.2 Pembezaan Peringkat Pertama 181 2.3 Pembezaan Peringkat Kedua 184 2.4 Aplikasi Pembezaan 185 Kuasai SPM 188 Contoh Soalan KBAT 191 Praktis SPM 2 192 3 BAB Pengamiran 196 Peta Konsep 196 3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan 197 3.2 Kamiran Tak Tentu 198 3.3 Kamiran Tentu 200 iv

3.4 Aplikasi Pengamiran 207 Kuasai SPM 208 Contoh Soalan KBAT 211 Praktis SPM 3 212 4 BAB Pilih Atur dan Gabungan 216 Peta Konsep 216 4.1 Pilih Atur 217 4.2 Gabungan 220 Kuasai SPM 223 Contoh Soalan KBAT 224 Praktis SPM 4 225 5 BAB Taburan Kebarangkalian 228 Peta Konsep 228 5.1 Pemboleh Ubah Rawak 229 5.2 Taburan Binomial 231 5.3 Taburan Normal 234 Kuasai SPM 238 Contoh Soalan KBAT 241 Praktis SPM 5 242 6 BAB Fungsi Trigonometri 247 Peta Konsep 247 6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 248 6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut 249 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 251 6.4 Identiti Asas 254 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda 255 6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri 256 Kuasai SPM 258 Contoh Soalan KBAT 261 Praktis SPM 6 262 7 BAB Pengaturcaraan Linear 265 Peta Konsep 265 7.1 Model Pengaturcaraan Linear 266 7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear 269 Kuasai SPM 270 Contoh Soalan KBAT 272 Praktis SPM 7 274 8 BAB Kinematik Gerakan Linear 278 Peta Konsep 278 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa 279 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear 279 8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear 282 8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear 282 Kuasai SPM 284 Contoh Soalan KBAT 287 Praktis SPM 8 287 Kertas Model SPM 290 Jawapan 306 Penyelesaian Lengkap Praktis SPM dan Kertas Model SPM v

vi 2 BAB Fungsi Kuadratik x = –b ± √b2 – 4ac 2a 4 BAB Indeks, Surd dan Logaritma am × an = am + n am ÷ an = am – n (am) n = amn √a × √b = √ab √a ÷ √b = a b loga mn = loga m + loga n loga m n = loga m – loga n loga mn = n loga m loga b = logc b logc a 5 BAB Janjang Janjang aritmetik, Tn = a + (n – 1)d Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] Sn = n 2 [a + l] Janjang geometri, Tn = arn – 1 Sn = a(r n – 1) r – 1 untuk |r| . 1 atau Sn = a(1 – r n ) 1 – r untuk |r| , 1 S∞ = a 1 – r untuk |r| , 1 7 BAB Geometri Koordinat Pembahagi tembereng garis, (x, y) = 1 nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n 2 Luas segi tiga = 1 2 u(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 ) – (x2 y1 + x3 y2 + x1 y3 )u Luas sisi empat = 1 2 u(x1 y2 + x2 y3 + x3 y4 + x4 y1 ) – (x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + x1 y4 )u Luas poligon = 1 2 x1 x2 … xn x1 y1 y2 … yn y1 Tingkatan 4

vii 8 BAB Vektor u r ~u = √x2 + y2 ^ r ~ = r ~ u r ~u 9 BAB Penyelesaian Segi Tiga a sin A = b sin B = c sin C a2 = b2 + c2 – 2bc kos A b2 = a2 + c2 – 2ac kos B c2 = a2 + b2 – 2ab kos C Luas segi tiga = 1 2 ab sin C = 1 2 bc sin A = 1 2 ac sin B Rumus Heron = √s(s – a)(s – b)(s – c), s = a + b + c 2 10 BAB Nombor Indeks I = Q1 Q0 × 100 – I = ∑I i wi ∑wi Tingkatan 5 1 BAB Sukatan Membulat Panjang lengkok, s = jq Luas sektor, L = 1 2 j 2 q Luas segi tiga = 1 2 j 2 sin q 2 BAB Pembezaan y = uv, dy dx = u dv dx + v du dx y = u v , dy dx = v du dx – u dv dx v2 dy dx = dy du × du dx 3 BAB Pengamiran Luas di bawah satu lengkung = b a y dx atau = b a x dy Isi padu janaan = b a πy2 dx atau = b a πx2 dy

viii 4 BAB Pilih Atur dan Gabungan n Pr = n! (n – r)! n Cr = n! (n – r)!r! Rumus secaman = n! p!q!r!… 5 BAB Taburan Kebarangkalian P(X = r) = n Cr pr qn – r, p + q = 1 Min, µ = np s = √npq Z = X – µ s 6 BAB Fungsi Trigonometri sin2 A + kos2 A = 1 sek2 A = 1 + tan2 A kosek2 A = 1 + kot2 A sin 2A = 2 sin A kos A kos 2A = kos2 A – sin2 A = 2 kos2 A – 1 = 1 – 2 sin2 A tan 2A = 2 tan A 1 – tan2 A sin (A ± B) = sin A kos B ± kos A sin B kos (A ± B) = kos A kos B sin A sin B tan (A ± B) = tan A ± tan B 1 tan A tan B

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Peta Konsep Tingkatan Fungsi Fungsi gubahan X x y = g(x) z = f fig(x)ff f g Y Z g f = f(y) • Hasil gubahan dua fungsi di atas ditulis sebagai fg(x) • Biasanya, fg(x)  gf(x) Ujian garis mencancang Ujian garis mengufuk • Domain • Kodomain • Julat • Objek • Imej Fungsi 1 BAB Bidang Pembelajaran Algebra Fungsi songsang x f f –1 y Fungsi songsang, f–1 wujud jika f ialah fungsi satu dengan satu Contoh: f(x) = 2x + 1 x 1• •3 •5 •6 •7 •9 2• 3• 4• X Y 2x + 1 f Fungsi dari set X kepada set Y ialah hubungan khas yang memetakan setiap unsur x  X kepada hanya satu unsur y  Y. Tingkatan 4 1

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan 1. Fungsi dari set X kepada set Y ialah hubungan khas yang memetakan setiap unsur x  X kepada hanya satu unsur y  Y. Misalnya, Graf: 8 6 4 2 0 (1, 3) (2, 5) (3, 7) 2 4 6 y x y = 2x +1 Gambar rajah anak panah: X Y 1• •3 •5 •7 2• 3• Nilai 1 dipetakan kepada nilai 3, nilai 2 dipetakan kepada nilai 5 dan seterusnya. 2. Fungsi dalam nota 1 boleh ditulis sebagai f : x → 2x + 1 atau f(x) = 2x + 1 dengan keadaan x ialah objek dan 2x + 1 ialah imej. Suatu hubungan ialah fungsi jika setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. Tip SPM 3. Ujian garis mencancang (a) Jika garis mencancang memotong graf pada satu titik sahaja, maka hubungan itu ialah fungsi. y x 0 y = x + 5 Fungsi (b) Jika garis mencancang memotong graf lebih daripada satu titik, maka hubungan itu bukan fungsi. y x y2 = x – 1 Bukan 0 fungsi 4. Kewujudan suatu fungsi Contoh: Diberi fungsi f(x) = (2x – 3). Didapati 2x – 3  0, supaya punca kuasa duanya boleh diperolehi. Maka, f(x) wujud jika dan hanya jika x  3 2 . 5. Tidak tertakrif Contoh: Diberi fungsi f(x) = 1 x – 2 . Didapati graf fungsi itu hanya menghampiri tetapi tidak menyentuh garis x = 2. Maka, fungsi itu tidak tertakrif pada x = 2. 6. Fungsi mutlak Bagi fungsi mutlak, kita terima hanya saiznya, abaikan tanda yang berkait dengannya. Misalnya, x jika x  0 f(x) =│x│= –x jika x  0 1.1 Fungsi 2

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan Contoh 1 Contoh 2 Contoh: f(–4) = │–4│= 4 f(3) = │3│= 3 7. Domain, kodomain dan julat fungsi (a) Domain ialah nilai-nilai x dalam set X, yang membuatkan suatu fungsi tertakrif. (b) Kodomain ialah nilai-nilai y dalam set Y, yang mungkin muncul bagi suatu fungsi. (c) Julat ialah nilai-nilai y dalam set Y, yang diperoleh selepas menggantikan semua nilai x yang mungkin. 8. Jika objek suatu fungsi diberi, maka imej yang sepadan boleh diperolehi dengan kaedah penggantian. Rajah berikut menunjukkan dua graf. Graf yang manakah ialah fungsi? Berikan alasan anda. y 0 x y = –x2 + 4x – 2 y 0 x y2 = –x2 + 1 Graf (a) Graf (b) Penyelesaian Graf (a) ialah fungsi. Apabila diuji dengan garis mencancang, garis itu memotong graf (a) pada satu titik sahaja manakala garis itu memotong graf (b) pada dua titik. Ini bermakna setiap objek bagi graf (a) mempunyai satu imej sahaja manakala bagi graf (b), terdapat objek yang mempunyai dua imej. Kuiz Berdasarkan gambar rajah anak panah bagi f(x) = 2x + 1 pada muka surat 1, nyatakan (a) domain; (b) kodomain; (c) julat; (d) objek bagi 3; (e) imej bagi 3 Tentukan domain, kodomain dan julat bagi setiap fungsi f yang berikut. (a) f(x) x 2 0 2 4 –2 –2 (b) x y y = f(x) 16 –2 0 2 8 Penyelesaian (a) Domain = {–3, –2, 0, 1, 3} Kodomain = {–2, –1, 0, 1, 2} Julat = {–2, –1, 0, 1, 2} (b) Domain f ialah –2  x  2 Kodomain f ialah 0  f(x)  16 Julat f ialah 0  f(x)  16 Fungsi dalam Contoh 2(a) ialah fungsi diskret. Fungsi dalam Contoh 2(b) ialah fungsi selanjar. Tip SPM 3

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan Contoh 6 Contoh 5 Contoh 4 Contoh 3 Rajah di bawah menunjukkan fungsi f(x) = 1. x y 1 2 3 0 1 2 3 f(x) = 1 Berikan alasan mengapa f ialah fungsi. Seterusnya, tentukan (a) domain, (b) julat. Penyelesaian f ialah fungsi kerana memuaskan ujian garis mencancang, iaitu memotong graf pada satu titik sahaja. Setiap objek mempunyai satu imej sahaja. (a) Domain f ialah 0  x  3. (a) Julat f ialah f(x) = 1. 3 bukan imej bagi f. Jadi, julat f tidak mengandungi 3. Namun, 3 dikenali sebagai unsur bagi kodomain. Tip SPM Lakarkan graf fungsi f(x) = │x + 1│ untuk domain –3  x  1. Seterusnya, nyatakan julat yang sepadan dengan domain yang diberi. Penyelesaian f(x) f(x) = fix + 1fi –3 –1 0 1 1 2 x Julat yang sepadan ialah 0  f(x)  2. Diberi f(x) = 3x – 1, tentukan nilai (a) imej bagi objek 2, (b) objeknya apabila imej ialah –13. Penyelesaian (a) f(2) = 3(2) – 1 = 5 (a) f(x) = –13 3x – 1 = –13 3x = –13 + 1 3x = –12 x = –12 3 x = – 4 Objek bererti nilai x yang diberi. Imej bererti f(x) atau ungkapan algebra tersebut. Tip SPM Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → | 2 − 3x |. Cari (a) f(2), (b) domain bagi f(x)  2. Penyelesaian (a) f(2) = | 2 − 3(2)| = | –4 | = 4 (b) f(x)  2 |2 − 3x |  2 −2  2 − 3x  2 −4  −3x  0 0  x  4 3 4

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan 4. Misalnya, diberi f(x) = x2 + 3 dan g(x) = 5x fg(x) gf(x) mesin g mesin f x 5x 25x2 + 3 5 darab input Kuasa dua input tambah 3 Maka, fg(x) = 25x2 + 3 mesin f mesin g x x2 + 3 5x2 + 15 Kuasa dua input tambah 3 5 darab input Maka, gf(x) = 5x2 + 15 5. Jika objek diberi, maka imej bagi fungsi gubahan boleh diperolehi dengan kaedah penggantian fungsi demi fungsi. 6. Apabila fungsi gubahan dan salah satu fungsi itu diberi, maka fungsi yang satu lagi boleh diperolehi. 1. Fungsi gubahan dihasilkan apabila dua fungsi dilaksanakan satu diikuti dengan fungsi yang sama atau berlainan. 2. Diberi f(x) dan g(x), fungsi fg dikenali sebagai fungsi gubahan dengan sedemikian x akan digantikan dengan g(x), iaitu f[g(x)]. Ini bererti fungsi g dilakukan terlebih dahulu kemudian diikuti dengan fungsi f terhadap imej yang diperolehi daripada fungsi g. fg(x) bermakna x ialah objek bagi fungsi g dan imejnya, iaitu g(x) ialah objek bagi fungsi f. Tip SPM 3. Biasanya fg(x) ≠ gf(x). fg(x) mewakili fungsi gubahan dengan fungsi g dilakukan terhadap x kemudian fungsi f dilaksanakan terhadap imej yang diperolehi bagi g(x). gf(x) adalah terbaliknya bagi fg(x). 1.2 Fungsi Gubahan 5

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan Contoh 10 Contoh 8 Contoh 9 Contoh 7 Diberi f(x) = 2x – 1 dan g(x) = x2 . Cari (a) fg(x) (b) gf(x) Penyelesaian (a) fg(x) = f [g(x)] = f(x2 ) = 2x2 – 1 Maka, fg(x) = 2x2 – 1 (b) gf(x) = g[f(x)] = g(2x – 1) = (2x – 1)2 Maka, gf(x) = (2x – 1)2 Diberi f(x) = 5x – 6 dan g(x) = x2 – x. Tentukan (a) f 2 (1) (b) fg(–2) (c) gf(0) (d) nilai-nilai x apabila fg(x) = –6 (e) nilai-nilai x apabila gf(x) = 0 Penyelesaian (a) f 2 (1) = ff(1) = f [5(1) – 6] = f(–1) = 5(–1) – 6 = –11 (b) fg(–2) = f[(–2)2 – (–2)] = f(6) = 5(6) – 6 = 24 (c) g f(0) = g[5(0) – 6] = g(–6) = (–6)2 – (–6) = 42 (d) fg(x) = f(x2 – x) = 5(x2 – x) – 6 fg(x) = –6 Jadi, 5(x2 – x) – 6 = –6 5(x2 – x) = 0 (x2 – x) = 0 x(x – 1) = 0 x = 0 atau x – 1 = 0 x = 1 Maka, nilai-nilai x ialah 0 dan 1. (e) gf(x) = 0 g(5x – 6) = 0 (5x – 6)2 – (5x – 6) = 0 (5x – 6)(5x – 6 – 1) = 0 5x – 6 = 0 atau 5x – 7 = 0 x = 6 5 x = 7 5 Maka, nilai-nilai x ialah 6 5 dan 7 5 . Diberi fg(x) = 2 – x2 dan f(x) = 3x, tentukan fungsi g. Penyelesaian f[g(x)] = 2 – x2 3[g(x)] = 2 – x2 g(x) = 2 – x2 3 Maka, g : x → 2 – x2 3 Diberi gf(x) = 2 – x2 dan f(x) = 3x, tentukan fungsi g. Penyelesaian Katakan y = f(x) y = 3x x = y 3 gf(x) = 2 – x2 g(y) = 2 –  y 3  2 y ialah input fungsi g g(x) = 2 –  x 3  2 Maka, g : x → 2 –  x 3  2 (5x – 6) ialah faktor bagi dua sebutan algebra ini 6

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan Contoh 11 Diberi f : x → 3x2 – 2. Tentukan nilai-nilai a jika f : a → a. Penyelesaian f(a) = a 3a2 – 2 = a 3a2 – a – 2 = 0 (3a + 2)(a – 1) = 0 3a + 2 = 0 atau a – 1 = 0 a = – 2 3 a = 1 1. Katakan x ialah input bagi suatu fungsi yang menghasilkan output y, maka songsangan fungsi itu terhadap y akan menghasilkan x. x f f –1 y 2. Jika f mempunyai satu fungsi songsang, maka (a) fungsi songsang itu diwakili oleh f –1 (b) graf f –1 ialah pantulan bagi graf f pada garis y = x (c) domain f –1 = julat f dan julat f –1 = domain f (d) ff –1(x) = x dan f –1f(x) = x 3. f –1 wujud jika dan hanya jika f ialah fungsi satu dengan satu. 4. Ujian garis mengufuk (a) Jika garis mengufuk memotong graf pada satu titik sahaja, maka jenis fungsi itu ialah satu dengan satu dan fungsi itu mempunyai fungsi songsang. y x y = f(x) f mempunyai fungsi songsang 0 (b) Jika garis mengufuk memotong graf lebih daripada satu titik, maka jenis fungsi itu bukan satu dengan satu dan fungsi itu tidak mempunyai fungsi songsang. y x y = f(x) f tidak mempunyai fungsi songsang 0 1.3 Fungsi Songang f : a → a juga bererti memeta kepada diri sendiri. Tip SPM 7

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan Contoh 13 Contoh 12 Sahkan bahawa fungsi songsang bagi f(x) = 3x – 1 ialah g(x) = x + 1 3 . Penyelesaian fg(x) = f  x + 1 3  = 3  x + 1 3  – 1 = (x + 1) – 1 = x gf(x) = g(3x – 1) = (3x – 1) + 1 3 = 3x 3 = x f –1f(x) = x Oleh sebab fg(x) = gf(x) = x, maka fungsi songsang bagi f(x) = 3x – 1 ialah g(x) = x + 1 3 . Diberi bahawa f : x → 3 – 4x, tentukan f –1 dalam bentuk yang sama. f f –1(x) = x Penyelesaian Katakan y = f(x) Jadi, x = f –1(y) y = 3 – 4x 4x = 3 – y x = 3 – y 4 Ungkapkan x dalam sebutan y f –1(y) = 3 – y 4 f –1(x) = 3 – x 4 Gantikan y dengan x Maka, f –1 : x → 3 – x 4 Tip SPM f x ⎯→ y bererti f(x) = y x ←⎯ y bererti f –1(y) = x f –1 Kuiz Fungsi ditakrifkan oleh f(x) = 2x + 1 untuk domain –2  x  3, nyatakan (a) domain bagi f –1(x). (b) julat bagi f –1(x). 1. Diberi fungsi f(x) = a – 6x, dengan keadaan a ialah pemalar, cari nilai a dengan keadaan f(a) = 15. Penyelesaian f(a) = 15 a – 6a = 15 –5a = 15 a = –3 2. Rajah di bawah menunjukkan fungsi m : x → 3x + n, dengan keadaan n ialah pemalar. –1 2 x m 3x + n Cari nilai n. KUASAI SPM 8

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan Penyelesaian m(–1) = 2 3(–1) + n = 2 –3 + n = 2 n = 5 3. Diberi fungsi f : x → 2x – 3. Cari nilai x apabila f(x) memeta kepada diri sendiri. Penyelesaian f(x) = x 2x – 3 = x x = 3 “memeta kepada diri sendiri” bererti objek ialah imej. Tip SPM 4. Rajah di bawah menunjukkan suatu fungsi gubahan, hk yang memetakan p kepada r. p q hk r Nyatakan (a) fungsi yang memetakan p kepada q, (b) h–1(r). Penyelesaian (a) Fungsi k (b) h–1(r) = q Fungsi k memetakan p kepada q manakala fungsi h memetakan q kepada r. Jadi, fungsi hk memetakan p kepada r. Tip SPM 5. Diberi f(x) = 4x dan g(x) = a + bx, dengan keadaan a dan b ialah pemalar. Ungkapkan a dalam sebutan b apabila fg(–1) = 5. Penyelesaian f[g(–1)] = 5 f[a + b(–1)] = 5 f(a – b) = 5 4(a – b) = 5 a – b = 5 4 a = 5 4 + b 6. Diberi f : x → x – 2, cari (a) f –1(x), (b) nilai t dengan keadaan f 2 3t 5  = 12. Penyelesaian (a) Katakan y = f(x) Jadi, x = f –1(y) y = x – 2 y + 2 = x f –1(y) = y + 2 Maka, f –1(x) = x + 2 (b) f f  3t 5  = 12 f  3t 5 – 2 = 12  3t 5 – 2 – 2 = 12 3t 5 = 16 t = 26 2 3 Tip SPM f 2 (x) bererti f[f(x)]. 9

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan 7. Dalam rajah di bawah, fungsi g memetakan set P kepada set Q dan fungsi h memetakan set Q kepada set R. x 4 – 3x 9 – 6x P Q g h R Cari (a) dalam sebutan x, fungsi (i) yang memetakan set Q kepada set P, (ii) h(x), (b) nilai x apabila gh(x) = 2x + 3. Penyelesaian (a) (i) g(x) = 4 – 3x Katakan y = g(x) Jadi, g–1(y) = x y = 4 – 3x 3x = 4 – y x = 4 – y 3 g–1(y) = 4 – y 3 Maka, g–1(x) = 4 – x 3 (ii) h(4 – 3x) = 9 – 6x Katakan y = 4 – 3x 3x = 4 – y x = 4 – y 3 h(y) = 9 – 6 4 – y 3  = 9 – (8 – 2y) = 1 + 2y Maka, h(x) = 1 + 2x (b) g[h(x)] = 2x + 3 4 – 3h(x) = 2x + 3 4 – 3(1 + 2x) = 2x + 3 4 – 3 – 6x = 2x + 3 –8x = 2 x = – 1 4 Fungsi yang memetakan set Q kepada set P ialah g–1. 8. Diberi bahawa f : x → 3x – 2 dan g : x → 4 + 3x. (a) Cari (i) g(7), (ii) nilai p jika f( p + 3) = 1 5 g(7), (iii) gf(x). (b) Lakarkan graf y = | gf(x)| untuk –1  x  1. Seterusnya, nyatakan julat bagi y. Penyelesaian (a) (i) g(x) = 4 + 3x g(7) = 4 + 3(7) = 25 (ii) f(p + 3) = 1 5 g(7) 3(p + 3) – 2 = 1 5 (25) 3p + 9 – 2 = 5 3p + 7 = 5 3p = –2 p = – 2 3 (iii) gf(x) = g(3x – 2) = 4 + 3(3x – 2) = 4 + 9x – 6 = 9x – 2 (b) x –1 0 2 9 1 y 11 2 0 7 11 7 2 0 –1 x y 2 1 9 y = 9x – 2 Maka, julat bagi y ialah 0  y  11. Kaedah Alternatif Graf y = |9x – 2| boleh diperoleh dengan melukis graf y = 9x – 2 dan bahagian graf y = 9x – 2 yang berada di bawah paksi-x dipantulkan pada paksi-x. 10

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan KBAT Contoh 1 Rajah di bawah menunjukkan tiga biji bola berlabel nombor yang dipilih daripada sebuah kotak. 1 2 5 Tiga biji bola itu masing-masing berwarna kuning, biru dan jingga. (a) Lukis satu gambar rajah anak panah untuk mewakilkan hubungan ‘warna bola yang dipilih kepada nombor pada bola’. (b) Seterusnya, nyatakan jenis hubungan itu. Adakah hubungan itu satu fungsi? Penyelesaian (a) Kuning Biru Jingga 1 2 5 (b) Hubungan satu dengan satu. Hubungan itu ialah satu fungsi. KBAT Contoh 2 Rajah di bawah menunjukkan hubungan bagi set X, set Y dan set Z. 2 Set X Set Y Set Z 1 2 p f g–1 Diberi bahawa f(x) = 2 + 3x dan g –1f(x) = 2 x + 2 , x ≠ –2. (a) Jika Aini menulis p = 7, tentukan sama ada nilai itu betul atau salah. Berikan sebab anda. (b) Cari g–1(x). Penyelesaian (a) f(2) = p 2 + 3(2) = p p = 8 Nilai itu salah kerana f(2) = p = 8. (b) g –1(2 + 3x) = 2 x + 2 Katakan y = 2 + 3x x = y – 2 3 g–1(y) = 2 y – 2 3 + 2 = 2 y – 2 + 6 3 = 6 y + 4 Maka, g–1(x) = 6 x + 4 KBAT Contoh 3 Diberi fungsi songsang f, f –1 : x → 1 2 – 3x , x ≠ m. Nyatakan nilai m. Seterusnya, cari f. Penyelesaian 2 – 3x ≠ 0 → x ≠ 2 3 → Maka, m = 2 3 Katakan y = f –1(x). Jadi, f(y) = x y = 1 2 – 3x 2 – 3x = 1 y 3x = 2 – 1 y x = 2 3 – 1 3y f( y) = 2y – 1 3y Maka, f : x → 2x – 1 3x 11

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan Kertas 1 1. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = 3x – 5 untuk domain –2  x  4. Tentukan julat bagi fungsi f. 2. Diberi f(x) = px + q, dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Jika f(1) = 7 dan f –1(–5) = 3, cari nilai p dan nilai q. 3. Tentukan sama ada hubungan berikut ialah fungsi atau bukan. Jika hubungan itu ialah fungsi, tentukan jenis hubungan itu. y x (2, 4) (–2, –3) 0 4. Rajah di bawah menunjukkan fungsi f(x). Jika y = f(x) mempunyai fungsi songsang, lakarkan graf y = f –1(x) pada rajah yang sama. y x 0 2 y = f(x) 5. Diberi bahawa f : x → 3 + 2x 5 , cari (a) f(–5), (b) nilai x dengan keadaan f(x) = 3. 6. Diberi bahawa f(x) = 3x x – 2, x ≠ p. Cari (a) nilai p, (b) imej bagi –1. 7. Fungsi-fungsi f dan g ditakrifkan sebagai f(x) = x + 2 dan g(x) = x 3 – 5. Cari fungsi gubahan (a) f 2(x), (b) gf(x). 8. Diberi bahawa f(x) = x 3 dan fungsi gubahan fg(x) = 2x2 . Cari fungsi g(x). 9. Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = │2x│– 5 untuk domain –3  x  2. Cari julat bagi f(x). 10. Diberi f(x) = 3x – 2 dan g(x) = 4x – 1 2 . Cari nilai x dengan keadaan x = fg(x). 11. Diberi f –1(x) = 2 3 – px , x ≠ 3 p , dengan keadaan p ialah pemalar. Cari nilai p jika f(2) = 3. 12. Diberi h(x) = x 2 – 3x , x ≠ 2 3 . Cari h(–1). 13. Diberi k(x) = 4 x – 2, x ≠ 2. Cari k –1(5). 14. Diberi f(x) = 4x – 1 x + 2 , x ≠ –2 dan g(x) = 3x. Cari nilai m jika gf(m) = 9. Kertas 2 1. Rajah di bawah menunjukkan hubungan antara set X dan set Y. Set X Set Y Kuasa dua bagi –1 1 2 3 1 4 9 16 (a) Hubungan itu ialah satu fungsi. Berikan alasan kenapa hubungan itu ialah satu fungsi. (b) Seterusnya, tuliskan hubungan tersebut dengan tatatanda fungsi. PRAKTIS SPM 1 12

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Fungsi 4 Tingkatan (c) Nyatakan (i) domain hubungan itu, (ii) julat hubungan itu, (iii) objek bagi 1. 2. (a) Diberi fungsi f : x → 3x + 5. Cari (i) nilai x apabila f(x) memeta kepada diri sendiri, (ii) nilai s dengan keadaan f(2s – 1) = 4s. (b) Diberi f : x → 5x – 2 dan g : x → 3x 4 , tunjukkan bahawa f –1g–1(x) = (gf ) –1(x). 3. (a) Diberi h(x) = 9 – 3x, cari h(–3). (b) Diberi f(x) = x2 dan g(x) = 1 – 6x. (i) Tunjukkan bahawa f(–2) = g– 1 2 . (ii) Cari fg(–3). (iii) Cari nilai x supaya g(x) = f(4). 4. (a) Diberi f(x) = px2 + qx + r, dengan keadaan f(0) = 5, f(–2) = 21 dan f(3) = –4. Cari nilai p, q dan r. (b) Diberi h(x) = 8 – 3x, cari (i) h(2x – 1), (ii) h–1(4). 5. (a) Diberi h(x) = │5x – 1│, cari nilainilai x jika h(x) = x. (b) Diberi f(x) = 9x2 – 1, dengan keadaan x  0 dan gf(x) = 2 x – 3, dengan keadaan x ≠ 0. Cari KBAT (i) g(x), dengan keadaan x  p, (ii) nilai p. 6. (a) Fungsi f dan fungsi g ditakrifkan oleh f(x) = 4 – 3x dan g(x) = 5x – 2. Cari fg –1 (x). (b) Fungsi m ditakrifkan oleh m : x → │9x – 13│, tentukan KBAT (i) m(1), (ii) domain bagi m(x)  13 dan lakarkan graf fungsi itu untuk m(x)  13. 7. (a) Diberi bahawa f(x) = 3x – 5 dan g(x) = 2x + m. Cari nilai m jika fg(x) = gf(x). (b) Diberi g –1(x) = 3x – 2, dengan keadaan x  p. KBAT (i) Nyatakan nilai p. (ii) Tentukan fungsi songsang bagi g –1(x). 8. (a) Rajah di bawah menunjukkan fungsi f(x). x y 7 –1 0 1 (i) Tentukan domain f. (ii) Tentukan julat f. (iii) Terangkan mengapa f –1(x) tidak wujud. (b) Diberi f(x) = 4 x , x ≠ 0. (i) Tentukan f –1(x). (ii) Tunjukkan bahawa ff –1(x) = f –1f(x) = x. 9. Diberi f(x) = x 3 – 2 dan g(x) = 6x + 4. Cari (a) f –1g–1(x), (b) ( fg)–1(x), (c) nilai r dengan keadaan f –1g–1(r) = ( fg) –1(2r). 13

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan Peta Konsep Sukatan Membulat radian L darjah Panjang Lengkok s = jθ Perimeter Tembereng = Panjang Lengkok PQR + Panjang Perentas PR Luas Sektor L = 1 2 j2θ Luas Tembereng = Luas Sektor OPQR – Luas ∆OPR j s θ j O Q P R θ Sukatan Membulat 1 BAB Bidang Pembelajaran Geometri Tingkatan 5 162

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan 1. 360° = 2π radian 180° = π radian 2. 1° = π 180° dan 1 rad = 180° π 3. θ° = θ × π 180° rad 4. θ rad = θ × 180° π  Contoh 1 (a) Tukarkan π 5 rad kepada darjah. (b) Tukarkan 0.8 rad kepada darjah. Berikan jawapan betul kepada satu tempat perpuluhan. [Guna π = 3.142] (c) Tukarkan 40° kepada radian dalam sebutan π. (d) Tukarkan 80°50ʹ kepada radian. Berikan jawapan betul kepada tiga angka bererti. [Guna π = 3.142] Penyelesaian (a) π 5 rad =  π 5 × 180° π  = 36° (b) 0.8 rad = 0.8 × 180° 3.142  = 45.8° (c) 40° = 40° × π 180°  rad = 2 9 π rad (d) 80°50ʹ = 80°50ʹ × 3.142 180°  rad = 1.41 rad 2. Perimeter tembereng = Panjang lengkok PQR + Panjang perentas PR 3. Rumus mencari panjang perentas PR: (a) PR = 2j sin θ 2 (b) PR2 = 2j 2 – 2j 2 kos θ (c) PR sin θ = j sin P = j sin R j O s Q P R θ j O θ s Q P R 1. Panjang lengkok PQR, s = jθ dengan keadaan θ dalam rad. INFO Menerbitkan rumus PR = 2j sin θ 2 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 1.1 Radian 163

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan Contoh 2 Rajah di bawah menunjukkan sektor POQ dan sektor ROS bagi dua buah bulatan sepusat O. Nisbah jejari sektor POQ kepada jejari sektor ROS ialah 1 : 2. Cari sudut θ, dalam radian, dengan keadaan panjang lengkok RS adalah sama dengan perimeter sektor POQ. O Q S R P θ Penyelesaian Katakan jejari sektor POQ ialah j. Panjang lengkok RS = Panjang lengkok PQ + OP + OQ 2jθ = jθ + 2j 2jθ – jθ = 2j jθ = 2j θ = 2 rad Contoh 3 Rajah di bawah menunjukkan sebuah semibulatan dengan pusat O. Q O R P 0.3 rad Diberi ∠RPQ = 0.3 rad dan panjang POQ ialah 20 cm. Hitung (a) ∠POR, dalam radian, (b) perimeter kawasan berlorek, dalam cm. [Guna π = 3.142] Penyelesaian (a) ∠RPQ = ∠PRO = 0.3 rad ∠POR = π – ∠RPQ – ∠PRO = 3.142 – 0.3 – 0.3 = 2.542 rad (b) Panjang perentas PR = 102 + 102 – 2(10)(10)(kos 2.542) = 19.11 cm Perimeter kawasan berlorek =  20 2 (2.542) + 19.11 = 25.42 + 19.11 = 44.53 cm Contoh 4 Pemaju sebuah bandar ingin mereka bentuk sebuah taman yang dikelilingi oleh trek joging. Kawasan berlorek dalam rajah di bawah menunjukkan pelan taman tersebut dengan keadaan dua lengkok KL dan MN bagi dua bulatan sepusat O. L N K M O 0.5 rad Diberi ∠KOL = 0.5 rad, panjang lengkok KL = 9 m dan OM : OK = 5 : 3, cari (a) jejari, OK, dalam m, (b) panjang trek joging, dalam m. Penyelesaian (a) Katakan jejari OK = j j × 0.5 = 9 j = 18 m (b) OM OK = 5 3 OM = 5 3 × 18 = 30 m Panjang trek joging = Panjang lengkok KL + Panjang lengkok MN + 2(30 – 18) = 9 + 30(0.5) + 24 = 48 m 164

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan Contoh 5 Rajah di bawah menunjukkan sektor AOB dan sukuan bulatan COD yang berpusat di O. Diberi ∠AOB = π 4 rad, OC = j cm dan OA : OC = 2 : 3. Cari luas kawasan berlorek dalam sebutan π dan j. O j cm C D B A Penyelesaian OA OC = 2 3 OA = 2 3 j Luas kawasan berlorek = Luas sukuan COD – Luas sektor AOB = 1 2 j2  π 2  – 1 2  2 3 j  2  π 4  = πj 2 4 – πj 2 18 = πj 2  1 4 – 1 18  = 7 36 πj 2 cm2 Contoh 6 Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor OPQR berjejari 16 cm. O P R Q 20 cm 16 cm Diberi panjang perentas PR = 20 cm, cari luas tembereng PQR. Penyelesaian 202 = 162 + 162 – 2(16)(16)(kos ∠POR) kos ∠POR = 162 + 162 – 202 2(16)(16) ∠POR = 1.350 rad Luas sektor OPQR = 1 2 (16)2 (1.350) = 172.8 cm 2. Luas tembereng = Luas sektor OPQR – Luas segi tiga POR 3. Rumus mencari luas segi tiga POR: (a) Luas = 1 2 j 2 sin θ (b) Rumus Heron Luas = s(s – p)(s – j)2 , dengan keadaan s = 1 2 (2j + p) j O θ Q P R j p O θ Q P R 1. Luas sektor OPQR, L = 1 2 j 2 θ dengan keadaan θ dalam rad. 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 165

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan s = 1 2 [2(16) + 20] = 26 cm Luas segi tiga OPR = (26)(26 – 20)(26 – 16)2 = 124.9 cm2 Luas tembereng PQR = 172.8 – 124.9 = 47.9 cm2 Contoh 7 Rajah di bawah menunjukkan seekor kuda sedang meragut rumput di padang yang berbentuk sektor bulatan. Kuda itu ditambat pada sebatang tiang di titik O dengan tali sepanjang 5 m. O P T S R Q OPQT ialah sebuah semibulatan berpusat O dan berjejari 5 m. RPS ialah sebuah sektor yang berpusat P dan berjejari 11 m. Jika perentas PQ = 5 m, hitung luas, dalam m2 , kawasan padang yang tidak dapat diragut oleh kuda itu. [Guna π = 3.142] Penyelesaian Oleh sebab OP = OQ = PQ = 5 m, maka ∆POQ ialah segi tiga sama sisi. ∠RPS = ∠QPO = π 3 rad Luas kawasan padang yang tidak dapat diragut oleh kuda = Luas kawasan QRST = Luas sektor RPS – Luas sektor QOT – Luas segi tiga POQ = 1 2 (11)2  π 3  – 1 2 (5)2 π – π 3  – 1 2 (5)2 sin π 3  = 63.36 – 26.18 – 10.83 = 26.35 m2 Contoh 8 Rajah di bawah menunjukkan kawasan rumput yang disiram air oleh sebuah pemercik rumput yang berpusing pada sudut 3 2 rad. Jika perimeter kawasan rumput yang disiram air ialah 28 m, hitung luasnya. 3 2 rad Penyelesaian Katakan jejari kawasan rumput = j j + j + 3 2 j = 28 7 2 j = 28 j = 8 Luas kawasan rumput yang disiram air = 1 2 (8)2  3 2  = 48 m2 1.4 Aplikasi Sukatan Membulat 166

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan Contoh 10 Enjin Wankel adalah sejenis enjin pembakaran dalaman yang digunakan pada pelbagai kenderaan disebabkan oleh reka bentuk putarannya. Reka bentuk enjin Wankel adalah berasaskan segi tiga sama sisi seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. A C 20 cm B Dalam enjin Wankel tersebut, setiap sisinya ialah satu lengkok bulatan dengan pusat masing-masing pada bucu yang bertentangan. Diberi panjang setiap perentas yang membentuk segi tiga ABC ialah 20 cm. Dengan menggunakan π = 3.142, hitung luas, dalam cm2 , enjin Wankel. Penyelesaian ∆ABC ialah segi tiga sama sisi, maka ∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = π 3 rad. Luas enjin Wankel = Luas sektor ABC berpusat A + 2(Luas tembereng) = 1 2 (20)2  π 3  + 2 1 2 (20)2  π 3 – sin π 3  = 209.47 + 72.50 = 281.97 cm2 Contoh 9 Rajah di bawah menunjukkan sebuah stesen suria yang mengumpul tenaga suria untuk menjana tenaga elektrik. Kawasan berlorek dalam bulatan berpusat O dan berjejari 3 km mewakili kawasan panel suria itu. O A B C 1 rad 3 km Kawasan panel suria Diberi ∠BOC = 1 rad, cari perimeter, dalam km, kawasan panel suria itu. [Guna π = 3.142] Penyelesaian O A B j C 0.5 rad 3 km Katakan jejari sektor BAC = j j 2 = 32 + 32 – 2(3)(3)(kos 0.5) j = 2.204 km Perimeter kawasan panel suria = Panjang lengkok major berpusat O – Panjang lengkok berpusat A = 3(2π – 1) – (2.204) 2π – 1 2  = 15.852 – 5.823 = 10.03 km Perhatian ! Pastikan kalkulator anda dalam 'mode' yang betul bagi mendapatkan nilai sinus atau kosinus. Gunakan 'mode' Rad apabila θ dalam radian dan 'mode' Deg apabila θ dalam darjah. 167

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan 1. Rajah di bawah menunjukkan sektor MOQ dengan pusat O. N P 30° 7 cm Q M O Diberi bahawa panjang lengkok PQ ialah 2.8 cm. Hitung (a) ∠POQ, dalam radian, (b) luas kawasan berlorek. [Guna π = 3.142] Penyelesaian (a) 7(∠POQ) = 2.8 ∠POQ = 0.4 rad (b) tan 30° = MN 7 MN = 4.041 cm Luas kawasan MPN = Luas ∆MON – Luas sektor MOP = 1 2 (7)(4.041) – 1 2 (7)2  30° × 3.142 180°  = 1.314 cm2 Luas sektor POQ = 1 2 (7)2 (0.4) = 9.8 cm2 Luas kawasan berlorek = 1.314 + 9.8 = 11.11 cm2 2. Rajah di bawah menunjukkan dua buah sektor JOM dan KOL dengan pusat sepunya O. O J M K L Sudut yang dicangkum pada pusat O oleh lengkok major JM ialah 8v rad dan perimeter seluruh rajah ialah 100 cm. Diberi bahawa OK = u cm, 2OJ = 3OK dan ∠KOL = 2v, ungkapkan u dalam sebutan v. Penyelesaian OJ OK = 3 2 OJ = 3 2 u KJ OK = 1 2 KJ = 1 2 u Panjang lengkok major JM + Panjang lengkok KL + 2 1 2 u = 100  3 2 u(8v) + u(2v) + u = 100 14uv + u = 100 u(14v + 1) = 100 u = 100 14v + 1 3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O. O A B α rad C AB dan BC masing-masing ialah tangen kepada bulatan itu pada titik A dan titik C. Diberi panjang lengkok minor AC ialah 12 cm dan OB = 13 α cm. Ungkapkan dalam sebutan α, (a) jejari, j, bulatan itu, (b) luas, A, kawasan berlorek. KUASAI SPM 168

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan Penyelesaian (a) Panjang lengkok AC = 12 jα = 12 j = 12 α cm (b) ∆OAB dan ∆OCB ialah segi tiga bersudut tegak. AB = OB2 – OA2 =  13 α  2 –  12 α  2 = 5 α Luas kawasan berlorek = 2(Luas segi tiga OAB) – Luas sektor AOC = 2 1 2  12 α  5 α – 1 2  12 α  2 (α) =  60 – 72α α2  cm2 4. Rajah di bawah menunjukkan sebuah rombus OKLM yang terterap dalam sektor KOM dengan pusat O dan jejari j cm. M K O L θ rad Diberi luas sektor KOM ialah 24 cm2 , ungkapkan (a) θ dalam sebutan j, (b) perimeter bagi kawasan berlorek dalam sebutan j. Penyelesaian (a) Luas sektor KOM = 24 1 2 j2 θ = 24 θ = 48 j2 rad (b) OK = KL = LM = OM = j Perimeter kawasan berlorek = Panjang lengkok KLM + 2j = jθ + 2j = j  48 j 2  + 2j =  48 + 2j 2 j  cm 5. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dan sektor dengan pusat sepunya O. Jejari bulatan ialah u cm. X Y V O α rad W Diberi bahawa panjang lengkok VW dan lengkok XY masing-masing ialah 6 cm dan 16 cm. VX = 5 cm. Cari (a) nilai u dan nilai α, (b) luas kawasan berlorek, dalam cm2 . [Guna π = 3.142] Penyelesaian (a) Panjang lengkok VW = 6 uα = 6 .........a Panjang lengkok XY = 16 (u + 5)α = 16 .......b b a : (u + 5)α uα = 16 6 u + 5 u = 8 3 8u = 3(u + 5) u = 3 cm Gantikan u = 3 ke dalam a 3α = 6 α = 2 (b) Luas kawasan berlorek = Luas ∆OXY – Luas sektor OVW = 1 2 (3 + 5)2 (sin 2) – 1 2 (3)2 (2) = 20.10 cm2 169

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan 6. Rajah di bawah menunjukkan sebuah logo berbentuk bulatan yang digunakan oleh Kelab E-Sukan Gladiator di sebuah sekolah. Ketiga-tiga rantau merah adalah kongruen. GLADIATOR E–SUKAN KELAB ESPORTS CLUB Diberi perimeter rantau merah ialah 16π cm, cari (a) jejari, dalam cm, logo itu kepada nombor bulat terhampir, (b) luas, dalam cm2 , rantau kuning. [Guna π = 3.142] Penyelesaian (a) 60° Katakan jejari logo = j cm Lilitan bulatan = Perimeter ketigatiga rantau merah 2πj = 16π j = 8 cm (b) Luas tembereng = 1 2 (8)2 60° × 3.142 180°  – 1 2 (8)2 sin 60° = 33.5147 – 27.7128 = 5.8019 cm2 Luas rantau kuning = Luas bulatan – 12 (Luas tembereng) = 3.142(8)2 – 12(5.8019) = 131.47 cm2 Kaedah Alternatif Luas rantau kuning = 6[Luas segi tiga – (Luas sektor – Luas segi tiga)] = 6[2(Luas segi tiga) – Luas sektor] = 62 1 2 (8)2 sin 60° – 1 2 (8)2 60° × 3.142 180°  = 131.47 cm2 7. Rajah di bawah menunjukkan sektor POQ dengan pusat O dan sektor RPQ dengan pusat P. P O Q R 8 cm 45° Diberi bahawa OP = 10.4 cm dan PQ = 8 cm. Cari (a) ∠OPQ, dalam radian, (b) perimeter sektor RPQ, dalam cm, (c) luas kawasan berlorek, dalam cm2 . [Guna π = 3.142] Penyelesaian (a) ∠OPQ =  180° – 45° 2  × 3.142 180° = 1.178 rad (b) Perimeter sektor RPQ = 8(1.178) + 2(8) = 25.42 cm (c) Luas tembereng PQ = 1 2 (10.4)2 45° × 3.142 180°  – 1 2 (10.4)2 sin 45° = 4.240 cm2 Luas kawasan berlorek = 1 2 (8)2 (1.178) + 4.240 = 41.94 cm2 170

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan 8. Lai ingin menghasilkan sebuah kon seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah untuk menjalankan suatu eksperimen tentang gelombang. Tinggi kon itu ialah 13.5 cm. Rajah berikutnya menunjukkan bentangan kon itu yang dilukis pada sekeping kertas berbentuk segi empat tepat. 3.44 cm O Panjang Lebar (a) Hitung nilai minimum bagi panjang dan lebar kertas itu kepada integer terdekat. (b) Seterusnya, cari luas, dalam cm2 , kertas yang tidak digunakan. [Guna π = 3.142] Penyelesaian (a) 1.72 cm 13.5 cm s Jejari tapak kon = 3.44 2 = 1.72 cm Katakan panjang kertas = p p = Tinggi sendeng kon, s = 13.52 + 1.722 = 13.61 Maka, panjang minimum kertas = 14 cm O 13.61 cm w θ Panjang lengkok = Lilitan bulatan tapak kon 13.61θ = π(3.44) θ = 0.7942 rad Biar lebar kertas = w w 13.61 = sin 0.7942 w = 9.708 cm Maka, lebar minimum kertas = 10 cm (b) Luas kertas yang tidak digunakan = Luas kertas – Luas sektor = (14)(10) – 1 2 (13.61)2 (0.7942) = 66.44 cm2 KBAT Contoh 1 Wahid memotong sebahagian daripada sebiji kek yang dibeli seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. Potongan kek itu mempunyai luas permukaan 286.26 cm2 . 8 cm θ 12 cm Dengan menggunakan π = 3.142, hitung nilai sudut θ, dalam darjah. Seterusnya, tentukan peratusan potongan kek daripada sebiji kek itu pada asalnya. 171

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan Penyelesaian D F E 12θ cm B A C 2(Luas sektor BAC) + 2(Luas ABED) + Luas BCFE = 286.26 2 1 2 (12)2 (θ) + 2[12(8)] + 12(8)(θ) = 286.26 144θ + 192 + 96θ = 286.26 240θ = 94.26 θ = 0.39275 rad = 0.39275 × 180° 3.142 = 22.5° Peratus potongan kek = 22.5° 360° × 100% = 6.25% KBAT Contoh 2 Rajah di bawah menunjukkan sebuah tangga berlingkar yang mempunyai 12 anak tangga dan dilapik dengan permaidani dengan keadaan setiap anak tangga berbentuk sektor bulatan yang berjejari 100 cm dan bersudut 25°. 25° 100 cm (a) Hitung perimeter, dalam cm, bagi setiap anak tangga. (b) Tentukan sama ada segulung permaidani seluas 3 m2 mencukupi untuk melapik semua anak tangga atau tidak. [Guna π = 3.142] Penyelesaian (a) Perimeter setiap anak tangga = Panjang lengkok + 2(Jejari) = 10025° × 3.142 180°  + 2(100) = 243.6 cm (b) Sudut yang dicangkum oleh 12 anak tangga = 1225° × 3.142 180°  = 5.237 rad Luas semua anak tangga = 1 2 (1)2 (5.237) = 2.6185 m2 Luas semua anak tangga iaitu 2.6185 m2 adalah kurang daripada luas segulung permaidani 3 m2 . Maka, segulung permaidani tersebut cukup untuk melapik semua anak tangga itu. Kuiz Diberi panjang lengkok dan perimeter sebuah sektor bulatan masing-masing ialah 12 cm dan 28 cm. Hitung nilai sudut pada pusat bagi sektor itu, dalam radian. 172

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan Kertas 1 1. Rajah di bawah menunjukkan sektor POQ dan sektor SOR dengan pusat O. O Q R S P 5 cm θ Diberi bahawa panjang lengkok PQ dan RS masing-masing ialah 2.5 cm dan 8 cm. Hitung (a) nilai θ, dalam radian, (b) perimeter seluruh rajah, dalam cm. 2. Rajah di bawah menunjukkan sebuah rombus OCDE yang terterap dalam sebuah sektor EOC yang berpusat O. C E O θ D Jika perimeter rombus OCDE ialah 36 cm, ungkapkan, dalam sebutan π, (a) nilai θ, dalam radian, (b) panjang lengkok EDC, dalam cm. 3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semibulatan dengan pusat A dan jejari j cm yang terterap dalam sebuah sektor POQ dengan pusat O. B A P C Q O Garis lurus OQ ialah tangen kepada semibulatan pada titik C. Diberi bahawa ∠POQ = π 6 rad, ungkapkan perimeter kawasan berlorek dalam sebutan π dan j. 4. Rajah di bawah menunjukkan dua buah sektor yang terdiri daripada sektor MON yang berpusat O dan sektor PMN yang berpusat M. M N P O Diberi OM = 10 cm dan ∠MON = 120°. Dengan menggunakan π = 3.142, hitung perimeter, dalam cm, seluruh rajah itu. 5. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor OPRT dengan pusat O dan jejari 5 cm yang terterap dalam sebuah segi tiga sama kaki QOS. P T Q R S O Diberi bahawa R ialah titik tengah bagi QS dan ∠POT = 40°. Dengan menggunakan π = 3.142, hitung perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. 6. Rajah di bawah menunjukkan sektorsektor bagi dua buah bulatan sepusat, O dengan keadaan garis OP berserenjang dengan garis OS. P 0.65 rad S Q R O PRAKTIS SPM 1 173

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan Diberi bahawa luas sektor ROS ialah 11.7 cm2 dan jejari sektor POQ ialah 2.5 cm. Hitung (a) jejari sektor ROS, (b) luas sektor POQ. [Guna π = 3.142] 7. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor AOB dengan pusat O dan sebuah sektor PAQ dengan pusat A. B A Q P O Diberi OA = 10 cm, AP = 5.6 cm dan ∠PAQ = 70°. Jika panjang lengkok AB = 14.5 cm, hitung luas kawasan berlorek. [Guna π = 3.142] 8. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semibulatan ABC. A B 1.025 rad C Diberi bahawa AB = 10 cm. Dengan menggunakan π = 3.142, hitung luas kawasan berlorek. 9. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor ABC berpusat di B terterap dalam sebuah bulatan dengan pusat O. Titiktitik A, B dan C berada pada lilitan bulatan itu. A O 1.4 rad B C Diberi bahawa panjang lengkok AC bagi sektor ABC ialah 7 cm. Hitung (a) jejari bulatan, (b) luas kawasan berlorek. [Guna π = 3.142] 10. Rajah di bawah menunjukkan longitud 90° pada Bumi yang menghasilkan lengkok 9 990 km di sepanjang Garisan Khatulistiwa. Jejari Bumi Longitud 90° Garisan Khatulistiwa Dengan menggunakan π = 3.142, hitung (a) jejari Bumi, (b) peratus perbezaan antara jejari Bumi yang diperoleh dengan jejari Bumi yang sebenar iaitu 6 371 km. 11. Rajah di bawah menunjukkan sebuah kamera litar tertutup (CCTV) yang dipasang untuk memantau sebuah kawasan secara pengawasan visual. 80° Jika luas medan penglihatan yang dapat diliputi oleh kamera itu ialah 120 m2 , hitung perimeter medan penglihatan itu. [Guna π = 3.142] 12. Rajah di bawah menunjukkan pengelap cermin belakang bagi sebuah kereta yang bergerak pada sudut 125°. 125° 63.5 cm 35 cm 174

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan Diberi panjang bilah pengelap ialah 35 cm dan panjang keseluruhan pengelap itu ialah 63.5 cm. Cari luas cermin belakang yang boleh dibersihkan oleh pengelap itu. [Guna π = 3.142] 13. Sekeping kertas yang pada asalnya berbentuk semibulatan dengan pusat O diubahsuai seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. KBAT O P T R Q S Diberi bahawa jejari semibulatan itu ialah 10 cm. Dengan menggunakan π = 3.142, hitung luas seluruh rajah itu. 14. Rajah di bawah menunjukkan sebuah padang sofbol yang direka semula dengan bentuk sukuan bulatan berpusat O dan berjejari 72 m. Padang sofbol terdiri daripada kawasan jauh yang dilitupi rumput dan kawasan dekat yang dilitupi tanah. 26 m Pagar kawasan jauh Kawasan jauh Kawasan dekat Garisan rumput O Dengan menggunakan π = 3.142, hitung (a) panjang pagar kawasan jauh, (b) luas kawasan jauh yang dilitupi dengan rumput. Kertas 2 1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor BOD berpusat O, sebuah sektor DAC berpusat A dan sebuah segi tiga sama sisi OAB dengan panjang setiap sisinya ialah 5 cm. D O A B C Diberi bahawa O dan B masing-masing ialah titik tengah bagi garis lurus DA dan AC. Hitung (a) ∠DOB, dalam sebutan π radian, (b) perimeter kawasan berlorek, (c) luas kawasan berlorek. [Guna π = 3.142] 2. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor MOQ bagi bulatan dengan pusat O dan jejari j cm. NP berserenjang dengan MO. 45° O Q P N M Diberi bahawa N ialah titik tengah MO. (a) Tunjukkan bahawa perimeter kawasan berlorek ialah  π + 8 – 22 4  j cm. (b) Ungkapkan luas kawasan berlorek dalam sebutan π dan j. 175

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan 3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semibulatan AFEDC dengan panjang diameter AC ialah 20 cm. ABC ialah lengkok dengan pusat O. 1.71 rad F E B D A C O Diberi bahawa O ialah titik tengah bagi garis lurus FD. Lengkok-lengkok AF, FED dan DC adalah sama panjang. Hitung (a) panjang lengkok ABC, (b) perimeter tembereng FED, (c) luas seluruh rajah. [Guna π = 3.142] 4. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semibulatan PQRO dengan pusat O dan jejari 9 cm dan sebuah sektor PRA bagi bulatan dengan pusat R. Q R P A O Diberi bahawa panjang lengkok PQ ialah 15.75 cm. Hitung (a) ∠PRA, dalam radian, (b) perimeter seluruh rajah, (c) luas kawasan berlorek. [Guna π = 3.142] 5. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 8 cm. DA dan DC masing-masing ialah tangen kepada bulatan pada titik A dan titik C. A C D B O α Diberi bahawa luas sektor major ABC ialah 128 cm2 . Hitung (a) nilai α, dalam radian, (b) perimeter seluruh rajah, (c) luas kawasan berlorek. [Guna π = 3.142] 6. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor AOC dengan pusat O. MC ialah pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus OB pada titik M. 0.2π rad A C M B O Diberi bahawa panjang lengkok AB ialah 2π rad. (a) Cari jejari sektor AOC. (b) Ungkapkan panjang lengkok BC dalam sebutan π. (c) Buktikan luas kawasan berlorek ialah 1 6 100π – 753 cm2 . [Guna π = 3.14] 7. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor POQ bagi bulatan dengan pusat O dan sebuah rombus OABC dengan panjang sisi 4 cm. 110° A P Q C B O Diberi bahawa nisbah panjang OA kepada panjang AP ialah 2 : 3. Hitung (a) ∠POQ, dalam radian, (b) perimeter kawasan berlorek, (c) luas kawasan berlorek. [Guna π = 3.14] 176

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan 8. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor ROP bagi bulatan dengan pusat O dan sebuah sektor PQR bagi bulatan dengan pusat Q. Garis RQ dan garis PQ masing-masing ialah tangen kepada sektor ROP pada titik R dan titik P. 45° P Q R O Diberi jejari sektor ROP ialah 10 cm. (a) Cari ∠ROP, dalam π radian. (b) Tunjukkan bahawa jejari sektor PQR  24.14 cm. (c) Hitung perimeter kawasan berlorek. (d) Hitung luas kawasan berlorek. [Guna π = 3.142] 9. Rajah di bawah menunjukkan empat buah sektor AOB, COD, EOF dan GOH dengan pusat sepunya, O. Sudut yang dicangkum pada pusat O bagi setiap sektor ialah 30°. A B C D E F G H O Diberi bahawa perimeter seluruh rajah ialah  14π + 60 3  cm, dengan keadaan BC, DE dan FG adalah sama panjang iaitu 2 cm. Cari (a) jejari sektor AOB, (b) luas seluruh rajah. [Guna π = 3.142] KBAT 10. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semibulatan OPQR dengan pusat O dan sebuah sektor QAOB bagi bulatan dengan pusat Q. OQ ialah pembahagi dua sama serenjang bagi RP. A B R P Q O Diberi bahawa semibulatan OPQR dan sektor QAOB masing-masing mempunyai jejari 5 cm. Hitung (a) ∠AQB, dalam radian, (b) perimeter kawasan berlorek, (c) luas kawasan berlorek. [Guna π = 3.142] 11. Rajah di bawah menunjukkan sebuah kawasan panel suria PQRS yang dilingkungi oleh dua lengkok PQ dan RS bagi bulatan dengan pusat sepunya, O dan jejari 2.5 km serta dua garis lurus QR dan PS yang sama panjang. KBAT R P S Q O 60° 100° Dengan menggunakan π = 3.142, hitung (a) perimeter kawasan panel suria PQRS, (b) luas kawasan panel suria PQRS, (c) jumlah tenaga elektrik yang dapat dijana jika dianggarkan kawasan panel suria dengan luas 0.01 km2 dapat menjana 1 megawatt tenaga elektrik. 177

Matematik Tambahan SPM Bab 1 Sukatan Membulat 5 Tingkatan 12. Rajah di bawah menunjukkan keratan rentas berbentuk bulatan berpusat O dengan jejari 20 cm bagi sebatang kayu balak yang terapung dalam air. Keduadua titik P dan titik R berada pada permukaan air dan titik tertinggi Q ialah 12 cm di atas permukaan air. P 12 cm 20 cm R Q O (a) Cari ∠POR, dalam radian. (b) Hitung panjang lengkok PQR. (c) Tentukan luas keratan rentas bagi kayu balak yang berada di bawah permukaan air. (d) Berapakah peratusan kayu balak yang berada di bawah permukaan air? [Guna π = 3.142] 13. Rajah di bawah menunjukkan dua jenis potongan piza yang berlainan saiz dan harga. KBAT RM7.50 sepotong RM8.50 sepotong 15 cm 18 cm 60° 45° Potongan piza A Potongan piza B Tentukan potongan piza yang manakah memberikan tawaran yang terbaik. Berikan justifikasi anda. 14. Rajah berikut menunjukkan bentuk logo sebuah syarikat komputer. MPR ialah sebuah sektor bagi bulatan dengan pusat P. Kedua-dua LKP dan PTS ialah tembereng yang sama saiz bagi bulatan dengan pusat O. Manakala, PNO dan PQO ialah dua buah segi tiga bersudut tegak yang sama saiz. O L S P N K T Q M R Diberi OP = 6 cm, PM = PR = 10 cm dan ∠LPS = 60°. Hitung (a) ∠POS, dalam radian, (b) perimeter kawasan berlorek, (c) luas seluruh rajah. [Guna π = 3.142] 15. Rajah di bawah menunjukkan sebuah lampu limpah yang dipasang di titik O untuk memberi pencahayaan yang berbentuk sebuah sektor POQ dengan pusat O di kawasan gelap ABCD yang berbentuk segi empat tepat. KBAT A P B 32 m 22 m Lampu limpah D Q C O Diberi bahawa O ialah titik tengah bagi AD. AP = DQ dan PB = QC, dengan keadaan AP : PB = 6 : 5. Dengan menggunakan π = 3.142, hitung (a) ∠POQ, dalam radian, (b) perimeter kawasan yang memperoleh pencahayaan lampu limpah, (c) luas kawasan yang tidak memperoleh pencahayaan lampu limpah. 178

Kertas 1 2 jam Bahagian A [64 markah] Jawab semua soalan. 1. Diberi bahawa p : x → 1 (x – 1)2 , x ≠ k dan q : x → 2x + 1. (a) Nyatakan nilai k. [1 markah] (b) Cari fungsi r(x) jika rq −1(x) = p(x). [2 markah] (c) Dialog berikut berlaku. Amin : Saya berpendapat bahawa p−1(x) ialah satu fungsi. Razif : Saya tidak bersetuju. Fungsi p(x) tidak mempunyai songsangan. Tentukan siapakah yang betul dan berikan sebab anda. [3 markah] Jawapan: (a) (b) (c) 2. Rajah 1 menunjukkan hubungan antara set X, set Y dan set Z. Diberi bahawa set X dipetakan kepada set Z oleh fungsi 2x – 1 dan dipetakan kepada set Y oleh gf(x) = 4 – (x + 1)2 . (a) Tulis fungsi yang memetakan set X kepada set Z dengan menggunakan tatatanda fungsi. (b) Cari fungsi yang memetakan set Y kepada set X. (c) Cari fungsi yang memetakan set Z kepada set Y. [6 markah] X Y Z gf(x) = 4 – (x + 1)2 Rajah 1 SPM KERTAS MODEL 290

Matematik Tambahan SPM Kertas Model SPM Bahagian B [16 markah] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. 13. (a) Rajah 10 menunjukkan sebuah segi tiga dengan luas (1 + 15) cm2 . (2 a + 2 b ) cm (2 a – b ) cm Rajah 10 Cari nilai a dan nilai b. [6 markah] (b) Tentukan sama ada set ungkapan 245, 60 dan 375 adalah surd serupa atau surd tak serupa. Jelaskan jawapan anda. [2 markah] Jawapan: (a) (b) 14. Rajah 11 menunjukkan garis lurus x = 6 memintas lengkung y = kx2 + 5 dan garis lurus y = 2kx + 2. y x 0 y = h x = 6 y = 2kx + 2 y = kx2 + 5 Rajah 11 (a) Cari nilai k jika luas kawasan berlorek ialah 27 unit2 . [5 markah] (b) Seterusnya, cari isi padu kisaran, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung y = kx2 + 5 dan garis lurus y = h dikisarkan melalui 360° pada paksi-y. [3 markah] 298

Matematik Tambahan SPM Kertas Model SPM Kertas 2 2 jam 30 minit Bahagian A [50 markah] Jawab semua soalan. 1. Kajian menunjukkan jangka hayat sebuah mesin basuh, X yang bertaburan normal dengan X ~ N(µ, σ2 ) seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. (a) Cari P(X  1 515) (b) Diberi AB ialah paksi simetri bagi graf itu, cari nilai bagi µ dan σ. [6 markah] 2. Diberi ∫ h 5 f(x) dx = –4, cari (a) ∫ 5 h 1 8 f(x) dx, (b) ∫ h 3 f(x) dx jika ∫ 3 5 1 3 f(x) dx = 2, (c) nilai h dengan keadaan ∫ h 5 [f(x) – 3] dx = –20. [6 markah] 3. Udara terlepas daripada sebuah belon yang berbentuk sfera akibat kebocoran. Cari, dalam sebutan π (a) susutan hampir dalam isi padu belon, dalam cm3 , apabila jejarinya menyusut daripada 18 cm kepada 17.7 cm. (b) kadar perubahan dalam jejari, dalam cm s–1, pada ketika isi padu belon itu adalah 4 500π cm3 jika isi padunya menyusut 20 cm3 setiap saat. [6 markah] 4. Rajah 2 menunjukkan titik-titik A, B dan C pada suatu satah Cartes. (a) Titik P(x, y) bergerak dengan keadaan jaraknya dari garis lurus OA dan garis lurus OB adalah sentiasa sama. Diberi bahawa segi tiga OAB ialah segi tiga sama kaki dan luas sisi empat OACB ialah 10 unit2 , cari (i) kecerunan garis lurus AB, (ii) pintasan-y bagi garis lurus AB. [5 markah] (b) Titik Q(x, y) bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik C adalah sama dengan jaraknya dari paksi-x. Cari persamaan lokus bagi titik Q itu. [3 markah] f(x) B 1474.5 A 1515 x 19.15% 19.77% Rajah 1 y B A P (x, y) C (8, 2) O x Rajah 2 300

Matematik Tambahan SPM Kertas Model SPM Bahagian B [30 markah] Jawab mana-mana tiga soalan daripada bahagian ini. 8. Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 10kx + p , dengan keadaan k dan p ialah pemalar. x 0.1 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 y 4.37 10.96 17.39 43.65 96.18 109.65 Jadual 1 (a) Plot log10 y melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-X dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-Y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [4 markah] (b) Menggunakan graf di 8(a), cari nilai p dan nilai k. [4 markah] (c) Didapati bahawa salah satu bacaan bagi nilai y telah silap direkod. Kenal pasti nilai y yang salah dan anggarkan nilai y terdekat yang betul dengan menggunakan graf di 8(a). [2 markah] 9. Rajah 4 menunjukkan trapezium OABC, dengan keadaan OA = 8~ p, OC = 12~ q dan AB = 5 6OC. A B E O D C Rajah 4 Diberi bahawa OD : DC = 2 : 1, OE = mEB dan AE = nAD. (a) Cari OE dalam sebutan (i) m, ~ p dan ~ q, (ii) n, ~ p dan ~ q. [4 markah] (b) Seterusnya, cari nilai m dan nilai n. [4 markah] (c) Jika BC ialah tinggi bagi trapezium OABC, dengan keadaan  ~ p = 1 unit dan  ~ q = 2 unit, hitung BC  . Berikan jawapan anda dalam bentuk ab . [2 markah] 302

Matematik Tambahan SPM Kertas Model SPM Bahagian C [20 markah] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. 12. Jadual 2 menunjukkan maklumat yang berkaitan dengan tiga jenis kos yang terlibat dalam pembuatan sekotak bijirin sarapan kanak-kanak dari segi indeks harga dan pemberatnya. Jenis kos Indeks harga pada tahun 2015 berasaskan tahun 2010 Indeks harga pada tahun 2020 berasaskan tahun 2010 Indeks harga pada tahun 2020 berasaskan tahun 2015 Pemberat Bahan mentah 175 182 104 x Penghasilan h 200 125 5 Pembungkusan 145 k 120 2 Jadual 2 (a) Diberi indeks gubahan kos pembuatan sekotak bijirin sarapan kanak-kanak pada tahun 2020 berasaskan tahun 2015 ialah 117.7, hitung nilai x. [2 markah] (b) Diberi harga sekotak bijirin sarapan kanak-kanak pada tahun 2015 ialah RM30, hitung harganya yang sepadan pada tahun 2020. [2 markah] (c) Hitung nilai h dan nilai k. [6 markah] 13. Rajah 6 menunjukkan sebuah prisma lut sinar yang mempunyai tapak ABCD berbentuk segi empat tepat dengan keadaan AD = 10 cm dan BF = 15 cm. Kedua-dua permukaan condong ADEF dan BCEF ialah segi empat tepat. ABF ialah keratan rentas seragam bagi prisma itu. ABE ialah satah berlorek dalam prisma itu. D C B A F E Rajah 6 Diberi bahawa ∠FAB = 50° dan ∠ABF = 35°. Hitung (a) panjang, dalam cm, bagi AF, [2 markah] (b) luas, dalam cm2 , bagi satah berlorek ABE, [6 markah] (c) panjang terpendek, dalam cm, dari titik E ke garis lurus AB. [2 markah] 304

Tingkatan 4 1 BAB Fungsi Kuiz muka surat 3 (a) {1, 2, 3, 4} (b) {3, 5, 6, 7, 9} (c) {3, 5, 7, 9} (d) 1 (e) 7 Kuiz muka surat 8 (a) -3  x  7 (b) -2  f –1(x)  3 PRAKTISSPM 1 Kertas 1 1. –11  f(x)  7 2. p = –6, q = 13 3. fungsi, hubungan satu dengan satu 4. y x 0 2 2 y = f –1(x) 5. (a) – 7 5 (b) 6 6. (a) 2 (b) 1 7. (a) x + 4 (b) x – 13 3 8. 6x2 9. –5  f(x)  1 10. 7 10 11. 2 3 12. – 1 5 13. 2 4 5 14. 7 Kertas 2 1. (a) Hubungan itu ialah satu fungsi kerana setiap objek mempunyai satu imej sahaja. (b) f : x → x2 atau f(x) = x2 (c) (i) {-1, 1, 2, 3} (ii) {1, 4, 9} (iii) -1, 1 2. (a) (i) – 5 2 (ii) -1 3. (a) 18 (b) (ii) 361 (iii) – 5 2 4. (a) p = 1, q = –6, r = 5 (b) (i) 11 – 6x (ii) 4 3 5. (a) 1 4 , 1 6 (b) (i) 6  x + 1 – 3 (ii) -1 6. (a) 14 – 3x 5 (b) (i) 4 (ii) 0  x  2 8 9 y x 0 1 4 9 13 2 8 9 m(x) = |9x –13| 7. (a) – 5 2 (b) (i) 2 3 (ii) x2 + 2 3 306

PelangiPublishing PelangiBooks PelangiBooks W.M: RM21.95 / E.M: RM22.95 KC118134 ISBN: 978-629-470-443-5 SPM REVISI CEPAT Bahasa Melayu English Matematik Mathematics Sains Science Sejarah Pendidikan Islam Biologi Biology Fizik Physics Kimia Chemistry Matematik Tambahan Additional Mathematics Ekonomi Perniagaan Prinsip Perakaunan Siri RANGER SPM memudahkan murid membuat ulang kaji ekspres sebelum peperiksaan SPM. Kandungan buku ini berdasarkan DSKP Tingkatan 4 dan Tingkatan 5, buku teks, serta Format Pentaksiran SPM terkini. Bahan digital menarik disediakan untuk memperkukuh penguasaan subjek. Imbas, daftar dan masukkan Enrolment Key. Tingkatan 4 1SY85g@c Tingkatan 5 9sE^3G2m Cara Mengakses Kuiz MCQ Nota Padat KBAT & i-THINK Praktis SPM Kuasai SPM Kertas Model SPM Jawapan Info & Kuiz Kod QR Beli eBook di sini!