KANDUNGAN
Rumus Matematik iv
Bab
1 Fungsi 1
1.1 Fungsi 2
1.2 Fungsi Gubahan 14
1.3 Fungsi Songsang 19
Praktis SPM 1 27
Bab
2 Fungsi Kuadratik 29
2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik 30
2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik 37
2.3 Fungsi Kuadratik 39
Praktis SPM 2 52
Bab
3 Sistem Persamaan 55
3.1 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah 56
3.2 Persamaan Serentak yang melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu
Persamaan Tak Linear 60
Praktis SPM 3 65
Bab
4 Indeks, Surd dan Logaritma 67
4.1 Hukum Indeks 68
4.2 Hukum Surd 70
4.3 Hukum Logaritma 75
4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma 80
Praktis SPM 4 85
Bab
5 Janjang 87
5.1 Janjang Aritmetik 88
5.2 Janjang Geometri 96
Praktis SPM 5 104
ii
Bab
6 Hukum Linear 108
6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear 109
6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear 114
6.3 Aplikasi Hukum Linear 121
Praktis SPM 6 124
Bab
7 Geometri Koordinat 128
7.1 Pembahagi Tembereng Garis 129
7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang 132
7.3 Luas Poligon 137
7.4 Persamaan Lokus 142
Praktis SPM 7 145
Bab
8 Vektor 148
8.1 Vektor 149
8.2 Penambahan dan Penolakan Vektor 155
8.3 Vektor dalam Satah Cartes 166
Praktis SPM 8 173
Bab
9 Penyelesaian Segi Tiga 179
9.1 Petua Sinus 180
9.2 Petua Kosinus 184
9.3 Luas Segi Tiga 188
9.4 Aplikasi Petua Sinus, Petua Kosinus dan Luas Segi Tiga 191
Praktis SPM 9 194
Bab
10 Nombor Indeks 196
10.1 Nombor Indeks 197
10.2 Indeks Gubahan 200
Praktis SPM 10 211
Kertas Model Pra-SPM 216
Jawapan 227
iii
Bab Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat Bidang Pembelajaran : Geometri
7 Geometri Koordinat
KATA KUNCI
• Tembereng garis – Line segment
• Garis selari – Parallel lines
• Garis serenjang – Perpendicular lines Peta
Konsep
• Kecerunan – Gradient
• Lokus – Locus
• Persamaan garis lurus – Straight line equation
Geometri koordinat sering digunakan untuk menentukan kedudukan suatu tempat pada peta.
Dengan menggunakan kaedah-kaedah geometri koordinat, kita dapat menentukan luas suatu
kawasan atau panjang sebatang jalanraya pada peta. Apakah kelebihan menggunakan geometri
koordinat untuk membuat pengukuran pada peta?
128
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
7.1 Pembahagi Tembereng Garis B Menerbitkan dan menggunakan
rumus pembahagi tembereng garis
pada satah Cartes
A Membuat perkaitan antara kedudukan 1. Rajah di bawah menunjukkan titik P
titik yang membahagikan tembereng membahagikan tembereng garis yang
garis dengan nisbah yang berkaitan menyambungkan titik A(x 1 , y 1 ) dan titik B(x 2 , y 2 )
dalam nisbah m : n.
1. Titik yang membahagikan suatu tembereng garis
dikenali sebagai pembahagi tembereng garis. y
B(x , y )
2. Kedudukan pembahagi tembereng bergantung n 2 2
kepada nisbah yang membahagi tembereng : y – y
2
garis seperti yang ditunjukkan dalam rajah
berikut: m P(x, y)
y – y
1
A(x , y ) 1
1
Kedudukan titik P yang membahagikan O x – x 1 x – x x
2
tembereng garis AB dalam nisbah m : n
2. Diberi nisbah m : n adalah mengikut keadaan
berikut:
x – x 1 : x 2 – x = m : n
m . n m = n m , n m
x – x 1 =
m : n m : n m : n x 2 – x n
A B A B A B
P P P n(x – x 1 ) = m(x 2 – x)
Titik P lebih Titik P Titik P lebih nx – nx 1 = mx 2 – mx
mendekati merupakan titik mendekati mx + nx = nx 1 + mx 2
titik B, iaitu tengah AB, iaitu titik A, iaitu
AP . PB. AP = PB. AP , PB. (m + n)x = nx 1 + mx 2
x = nx 1 + mx 2
m + n
3. Kedudukan titik P(x, y) yang membahagikan dan
suatu tembereng garis yang menyambungkan Bab 7
A(x 1 , y 1 ) dan B(x 2 , y 2 ) dalam nisbah m : n y – y 1 : y 2 – y = m : n
adalah mengikut keadaan y – y 1 = m
y 2 – y n
x – x 1 : x 2 – x = m : n dan y – y 1 : y 2 – y = m : n n(y – y 1 ) = m(y 2 – y)
ny – ny 1 = my 2 – my
4. Apabila suatu titik P membahagikan tembereng my + ny = ny 1 + my 2
garis AB dalam nisbah AP : PB = m : n, maka (m + n)y = ny 1 + my 2
perkaitan antara titik P dengan tembereng garis ny 1 + my 2
AB adalah seperti berikut: y = m + n
(a) nPA : mPB
(b) AP : AB = m : m + n Maka, pembahagi tembereng garis,
(c) AB : PB = m + n : n
P(x, y) = 1 nx 1 + mx 2 , ny 1 + my 2 2
m + n
m + n
129
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
3. Bagi suatu titik tengah M, nisbah bagi 3
pembahagian garis tembereng ialah m : n = 1 : 1.
Dalam rajah di bawah, titik P membahagikan CD
Maka, titik tengah M bagi suatu tembereng garis dengan nisbah 4 : 3.
ialah M = 1 (1)x 1 + (1)x 2 , (1)y 1 + (1)y 2 2 y
1 + 1
1 + 1
= 1 x 1 + x 2 , y 1 + y 2 2 C(–3, 8)
2
2
1 P
Diberi bahawa A(5, –7) dan B(1, 9). Cari titik tengah
bagi garis AB. D(11, 1)
0 x
Penyelesaian
Titik tengah AB = 1 5 + 1 , –7 + 9 2 Cari koordinat titik P.
2 2
= (3, 1) Penyelesaian
2 2
,
M = 1 x 1 + x 2 y 1 + y 2
2
C(–3, 8)
4
Cuba Soalan 1 dalam ‘Cuba ini! 7.1’
:
P 3
2
D(11, 1)
Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus MN.
y P = 1 3(–3) + 4(11) , 3(8) + 4(1) 2
N(9, q) 4 + 3 4 + 3
m + n 2
,
= 1 35 28 2 P = 1 nx 1 + mx 2 ny 1 + my 2
,
m + n
7
7
= (5, 4)
Bab 7 M(p, –2) 0 x Cuba Soalan 3 – 4 dalam ‘Cuba ini! 7.1’
Diberi bahawa titik tengah bagi MN ialah (2, 4). Cari 4
nilai p dan q. Satu garis lurus melalui P(7, 5) dan Q(10, 2). Titik
T membahagi tembereng garis PQ dengan keadaan
Penyelesaian 2PT = TQ. Cari koordinat T.
Titik tengah MN = 1 x 1 + x 2 , y 1 + y 2 2 Penyelesaian
2
2
1
(2, 4) = 1 p + 9 , –2 + q 2 Daripada 2PT = TQ, PT =
TQ
2
2
2
Maka PT : TQ = 1 : 2
p + 9 = 2 dan –2 + q = 4
2
2
p = –5 q = 10 T = 1 2(7) + 1(10) , 2(5) + 1(2) 2
1 + 2
1 + 2
Cuba Soalan 2 dalam ‘Cuba ini! 7.1’ = (8, 4)
130
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
Tip SPM 3 + x = 3 dan –24 + y = –5
4 4
Diberi P ialah titik yang membahagikan garis x = 9 y = 4
tembereng AB,
• jika mAP = nPB, maka AP : PB = n : m Maka, C = (9, 4)
m Cuba Soalan 7 dalam ‘Cuba ini! 7.1’
n B
m
A n P PB = — AB C Menyelesaikan masalah melibatkan
n
AP = — PB
m pembahagi tembereng garis
Kuasai SPM 2015
• jika mAB = nAP, maka AP : PB = m : n – m Kertas 1 SPM
n m Rajah menunjukkan kedudukan dua orang penunggang
m B basikal, A dan B.
A P y
n
A(–6, 7)
Cuba Soalan 5 – 6 dalam ‘Cuba ini! 7.1’
x
0
5 B(9, –3)
Dalam rajah di bawah, titik B membahagikan garis Kedua-dua penunggang basikal itu bergerak ke arah
AC dengan AC : BC = 4 : 3. satu sama lain pada satu garis lurus dengan halaju
y berbeza. Halaju penunggang basikal B adalah empat
kali ganda halaju penunggang basikal A. Cari koordinat
lokasi mereka bertemu.
C
Penyelesaian
x Katakan kedudukan lokasi mereka bertemu ialah P.
0
Daripada halaju B = 4 × halaju A, PB = 4AP
B(3, –5) AP : PB = 1 : 4
A(1, –8) P = 1 4(–6) + 1(9) , 4(7) + 1(–3) 2
1 + 4
1 + 4
= (–3, 5) Bab 7
Cari koordinat titik C.
Mereka bertemu di (–3, 5).
Penyelesaian
C(x, y)
Contoh Soalan KBAT
KBAT
3
Rajah di bawah menunjukkan kedudukan tiga
1 B(3, –5) 4
batang tiang lampu, P, Q dan R.
A(1, –8)
y
AB : BC = 1 : 3 R(3, –3r)
B = 1 nx 1 + mx 2 , ny 1 + my 2 2 Q(r, h)
m + n
m + n
x
0
(3, –5) = 1 3(1) + 1(x) , 3(–8) + 1(y) 2
1 + 3
1 + 3
(3, –5) = 1 3 + x , –24 + y 2 P(k, –3)
4
4
131
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
5. Satu garis lurus melalui H(–1, –8) dan K(11, 4).
Diberi bahawa ketiga-tiga tiang lampu itu dipasang Titik E membahagikan tembereng garis HK dengan
di sepanjang suatu jalan lurus dengan keadaan keadaan HE : EK = 3 : 1. Cari koordinat E.
jarak tiang Q dari tiang P adalah dua kali ganda
jaraknya dari tiang R. Ungkapkan k dalam sebutan 6. Titik T membahagikan tembereng garis PQ dengan
h. PQ : QT = 3 : 2. Diberi P (4, –3) dan Q(13, –9), cari
koordinat T.
Penyelesaian
PQ = 2QR 7. Satu garis lurus melalui A(–1, 6) dan B(–13, 1).
PQ : QR = 2 : 1 Titik K membahagikan tembereng garis AB dengan
keadaan 5AB = 6AK. Cari koordinat K.
(r, h) = 1 1(k) + 2(3) 1(–3) + 2(–3r) 2 8. Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus
,
2 + 1
2 + 1
(r, h) = 1 k + 6 , –3 – 6r 2 CDE.
3
3
y
k + 6 3 + 6r
= r ………a dan = h C(h, 1)
3 3
6r + 3 = 3h …… b x
0
Gantikan a ke dalam b, –2 D
6 1 k + 6 2 + 3 = 3h E(4, k)
3
2k + 12 + 3 = 3h
2k = 3h – 15 Diberi bahawa 2CD = 3DE, cari nilai h dan k.
3h – 15
k = 9. Diberi bahawa P(1, 5) dan Q(–2, –3). Titik Q
2
membahagikan tembereng garis PR dengan
PQ : QR = 2 : 5. Cari koordinat R.
Cuba Soalan KBAT ini
Kedudukan rumah Ezuddin, Joan dan Norhaslina 10. Rajah di bawah menunjukkan kedudukan Azmah,
pada satah Cartes masing-masing ialah (5, 2p), Phua dan Zuki yang berdiri di atas suatu lintasan
(3h, 4h) dan (q, –1). Diberi bahawa kedudukan pejalan kaki yang lurus.
rumah mereka adalah segaris dengan keadaan y
rumah Joan berada di tengah-tengah antara Zuki
rumah Ezuddin dan rumah Norhaslina. (r, q)
Ungkapkan p dalam sebutan q.
4q + 23 Phua
Jawapan: p = 6 (0, 2r)
Bab 7 0 x
Azmah
(p, 0)
Cuba ini! 7.1 Diberi bahawa jarak Azmah dari Zuki adalah 3 kali
jaraknya dari Phua. Ungkapkan p dalam sebutan q.
1. Cari titik tengah bagi garis tembereng yang
menyambungkan pasangan titik berikut.
(a) A(2, 5) dan B(10, 11)
(b) C(7, –1) dan D(9, 3) Garis Lurus Selari dan Garis
(c) H(–6, –8) dan K(2, – 4) 7.2
(d) P(13, – 4) dan Q(–5, 7) Lurus Serenjang
2. Suatu garis lurus menyambungkan titik P(3, k) A Membuat dan mengesahkan konjektur
dan titik Q(h, –9). Diberi titik tengah bagi PQ ialah tentang kecerunan garis lurus selari
(7, –2), cari nilai h dan k.
dan garis lurus serenjang
3. Diberi bahawa A(–2, –1) dan B(5, –6). Jika B ialah
titik tengah AC, cari koordinat bagi titik C. 1. Rajah berikut menunjukkan dua garis lurus
selari masing-masing dengan persamaan
4. Diberi A(6, 4) and B(11, 9). Jika titik P membahagikan
tembereng garis dalam nisbah 2 : 3, cari koordinat y = m 1 x + c 1 dan y = m 2 x + c 2 .
titik P.
132
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
y 6
y = m x + c
2 2 Diberi bahawa A(0, 4), B(6, –6), C(5, 2) dan
y = m x + c D(11, –3). Tentukan sama ada
1 1
(a) garis lurus AB adalah selari dengan garis lurus
CD.
(b) garis lurus AB adalah berserenjang dengan garis
x lurus BD.
0
Penyelesaian
Pasangan garis lurus yang selari mempunyai (a) Kecerunan garis lurus AB = –6 – 4 m = y 2 – y 1
6 – 0
kecerunan yang sama, iaitu m 1 = m 2 . x 2 – x 1
= – 5
2. Rajah di bawah menunjukkan dua garis lurus 3
5
serenjang masing-masing dengan persamaan Kecerunan garis lurus CD = –3 – 2 = – ≠ – 5 2
1
y = m 1 x + c 1 dan y = m 2 x + c 2 . 11 – 5 6 3
y Maka, garis lurus AB tidak selari dengan garis
y = m x + c 1 lurus CD.
1
y = m x + c 2 (b) Kecerunan garis lurus BD = –3 – (–6) = 3
11 – 6
5
2
5 3
Kecerunan AB × kecerunan BD = – ×
x 3 5
0
= –1
Hasil darab kecerunan bagi pasangan garis lurus Maka, garis lurus AB adalah berserenjang dengan
yang berserenjang adalah sama dengan –1, iaitu garis lurus BD.
m 1 × m 2 = –1.
Cuba Soalan 1 – 4 dalam ‘Cuba ini! 7.2’
INGAT!
1
m 1 × m 2 = –1, maka m 2 = – . 7
m 1
Rajah menunjukkan persamaan bagi tiga garis lurus.
Tip SPM
Rajah menunjukkan dua garis lurus berserenjang AD Bab 7
dan CD bersilang pada titik D. KL: y 4x 7
y PQ: 2x 8y 5 0
XY: 12x 3y 8
D
Tentukan pasangan garis lurus yang selari dan
x berserenjang.
O A B C
Kecerunan garis AD, m 1 = BD Penyelesaian
AB Kecerunan garis lurus KL = 4
= tan θ
kecerunan garis CD, m 2 = – BD Daripada persamaan garis lurus PQ,
BC 2x + 8y – 5 = 0
1 y = – 1 x + 5
= – 4 8
tan θ
1 1
Maka, m 1 × m 2 = tan θ × – = –1 Kecerunan garis lurus PQ = –
tan θ 4
133
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
Daripada persamaan garis lurus XY, B Menyelesaikan masalah melibatkan
12x – 3y = 8 persamaan garis lurus selari dan garis
y = 4x – 8 lurus serenjang
3
Kecerunan garis lurus XY = 4 10
Maka, pasangan garis lurus yang selari ialah KL dan Cari persamaan garis lurus yang selari dengan garis
XY dan pasangan garis lurus berserenjang ialah KL lurus y = 3x + 2 dan melalui titik (–1, 4).
dan PQ, XY dan PQ.
Penyelesaian
8 Daripada y = 3x + 2, Bagi dua garis selari,
Diberi bahawa garis lurus px – 2y = 8 adalah selari kecerunan, m = 3 kecerunan m 1 = m 2
dengan garis lurus y = (k – 1)x + 6. Ungkapkan p Gantikan m = 3 dan (–1, 4) ke dalam y = mx + c,
dalam sebutan k. 4 = 3(–1) + c
Penyelesaian c = 7
Daripada px – 2y = 8, y
y = p x – 4 y 3x 2
2
p (–1, 4)
m 1 = dan m 2 = k – 1
2
Kedua-dua garis lurus adalah selari. x
0
p
Maka, = k – 1
2
p = 2k – 2 Persamaan garis lurus ialah y = 3x + 7.
Cuba Soalan 6 dalam ‘Cuba ini! 7.2’ Cuba Soalan 9 dalam ‘Cuba ini! 7.2’
9 11
Diberi bahawa garis lurus x + y = 1 adalah
h 6 Rajah di bawah menunjukkan dua garis lurus AB dan
berserenjang dengan garis x + 3y – 1 = 0. Cari nilai h. PQ yang saling berserenjang antara satu sama lain.
Bab 7 Penyelesaian Bentuk pintasan + = 1, y
y
x
a
b
x y a = pintasan-x dan 6 A Q
Daripada + = 1,
h 6 b = pintasan-y
m 1 = – 6 Kecerunan, m = – pintasan-y
h pintasan-x
B
0 8 x
Daripada x + 3y – 1 = 0, P(3, –2)
y = – 1 x + 1
3
3
m 2 = – 1 Cari persamaan garis lurus PQ.
3
6 1 Bagi dua garis
Maka, – × – = –1 berserenjang, Penyelesaian
h 3 m 1 × m 2 = –1 Kecerunan AB, m AB = – 6
6 8
= –1
3h = – 3
–3h = 6 4
h = –2 4 m 2 = – 1
Kecerunan PQ, m PQ = m 1
Cuba Soalan 7 dalam ‘Cuba ini! 7.2’ 3
134
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
4
Gantikan m PQ = 3 dan P(3, –2) ke dalam y = mx + c, Tip SPM
–2 = 4 (3) + c Penyelesaian persamaan serentak bagi dua
3 persamaan garis lurus ialah titik persilangan
c = –6 antara dua garis lurus itu.
4
Persamaan garis lurus PQ ialah y = x – 6.
3 Contoh Soalan KBAT
KBAT
Cuba Soalan 11 dalam ‘Cuba ini! 7.2’
Dalam rajah di bawah, AB ialah suatu landasan lurus
sistem keretapi dan S ialah pusat membeli-belah.
12 y
B
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat
tepat CDEF dengan keadaan bucu D terletak pada
paksi-y dan sisi CF melalui asalan. A
y
D x
0
S(9, –2)
C(–3, 2)
E Diberi bahawa persamaan bagi landasan keretapi
x ialah x – 2y + 12 = 0. Kerajaan bercadang untuk
O
membina sebuah stesen keretapi di sepanjang
landasan AB dengan keadaan stesen itu adalah
F paling dekat dengan pusat membeli-belah S.
Cari Tentukan lokasi stesen keretapi itu.
(a) koordinat D,
(b) persamaan garis lurus DE. Penyelesaian
Stesen terletak pada titik persilangan antara garis
Penyelesaian lurus AB dan garis lurus yang berserenjang dengan
(a) Kecerunan CF = 2 – 0 AB yang melalui titik S.
–3 – 0
= – 2 Daripada x – 2y + 12 = 0
3 2y = x + 12 Bab 7
1
Katakan D = (0, y), y = x + 6
2 2
m CD × – = – 1 /DCF = 90° 1
3 Kecerunan AB, m 1 =
2
y – 2 2
0 – (–3) × – 3 = –1 Kecerunan garis yang berserenjang dengan AB,
2y – 4 m 2 = –2
– = –1
9 Gantikan m 2 = –2 dan S(9, –2) ke dalam y = mx + c,
2y – 4 = 9 –2 = –2(9) + c
13
y = –— c = 16
2
13
1
D 0, –— 2 DE dan CF Persamaan garis lurus yang berserenjang dengan AB
adalah selari.
ialah y = –2x + 16.
5
2
(b) Kecerunan garis DE, m DE = – Gantikan y = –2x + 16 ke dalam x – 2y + 12 = 0,
3 x – 2(–2x + 16) + 12 = 0
13
Persamaan garis lurus DE ialah y = – 2 x + –— x + 4x – 32 + 12 = 0
3 2 5x = 20
x = 4
135
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
5. Diberi garis lurus y = (p + 2)x – 3 adalah selari
Gantikan x = 4 ke dalam y = –2x + 16,
y = –2(4) + 16 dengan 5x + y = 13. Cari nilai p.
= 8
6. Diberi bahawa garis lurus 3x + ky + 2 = 0 adalah
x
Maka, lokasi stesen keretapi itu ialah (4, 8). selari dengan garis lurus – y = 1. Ungkapkan h
dalam sebutan k. h 5
Cuba Soalan KBAT ini
Rajah menunjukkan tiga titik P, Q dan R. 7. Diberi bahawa garis lurus 4x – 3y + 9 = 0 dan
kx – 5y + 8 = 0 adalah berserenjang antara satu
y sama lain. Cari nilai k.
P(–7, 6) 8. Diberi bahawa garis lurus (p + 4)x + 2y + 5 = 0
x y
adalah berserenjang dengan + = 1. Ungkapkan
q 6
Q(2, 3) p dalam sebutan q.
9. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 7)
x
0 dan selari dengan garis lurus y = 5x.
R(–6, –1)
10. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang
dengan x – 3y = 9 dan melalui titik (–1, 5).
Suatu titik T adalah dengan keadaan PTQ adalah
segaris dan terletak pada jarak yang terdekat 11. Rajah di bawah menunjukkan dua garis serenjang,
dengan titik R. Cari koordinat T. PQ dan RS bersilang pada titik H.
Jawapan: T(–4, 5) y
R
6 Q
Cuba ini! 7.2
H
1. Diberi bahawa P(7, 2), Q(2, –8), R(–3, 1) dan S
S(1, 9). Tentukan sama ada pasangan garis lurus P (–3, 1) x
berikut adalah selari atau tidak. –10 0
(a) PQ dan RS. (b) PR dan QS.
Bab 7 2. Tentukan sama ada pasangan garis lurus berikut Cari
adalah selari atau tidak.
(a) persamaan garis RS,
(a) x + 5y = 7 dan y = – 1 + 8. (b) koordinat H.
5
(b) 2x + 3y + 1 = 0 dan 6x + 4y – 5 = 0. 12. Rajah menunjukkan sebuah trapezium ABCD.
x
(c) y = 3x – 1 dan + y = 1.
3 6 y
x y
(d) 4x – 3y + 10 = 0 dan – = 1. A
12 9
3. Diberi bahawa K(–1, 5), L(9, 4), M(3, –1) dan B(4, 5)
N(6, 2). Tentukan sama ada pasangan garis lurus
berikut adalah berserenjang atau tidak.
(a) KL dan MN. (b) KM dan LN. D x
–6 0
4. Tentukan sama ada pasangan garis lurus berikut C
adalah berserenjang atau tidak.
(a) x = 4 dan y = –7.
(b) y = 2x + 10 dan x – 2y = 8. Diberi bahawa persamaan garis lurus AB ialah
x y x + 4y = 24. Cari
(c) 2x – 5y = 3 dan + = 1. (a) persamaan garis lurus CD,
4 10
(d) x + y = 3 dan y = x + 1. (b) persamaan garis lurus BC.
136
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
13. Diberi bahawa A(–7, –2), B(1, 0) dan C(k, 12). Jika Luas ABC
/ABC = 90°, cari nilai k. = Luas trapezium AEFC + Luas trapezium
CFGB – Luas trapezium AEGB
14. Rajah di bawah menunjukkan kedudukan rumah
Isaac, sekolah dan pasar pada satah Cartes. = 1 (y 1 + y 3 )(x 3 – x 1 ) + 1 (y 3 + y 2 )(x 2 – x 3 )
2
2
y 1
Pasar – 2 (y 1 + y 2 )(x 2 – x 1 )
S(6, 7)
= 1 [(y 1 + y 3 )(x 3 – x 1 ) + (y 3 + y 2 )(x 2 – x 3 )
2
Rumah Isaac – (y 1 + y 2 )(x 2 – x 1 )]
R(–9, 1)
1
x = [(y 1 x 3 – y 1 x 1 + y 3 x 3 – y 3 x 1 ) + (y 3 x 2 – y 3 x 3
0 2
+ y 2 x 2 – y 2 x 3 ) – (y 1 x 2 – y 1 x 1 + y 2 x 2 – y 2 x 1 )]
10
Sekolah ( ) 1
0, –
—
9
= [y 1 x 3 – y 1 x 1 + y 3 x 3 – y 3 x 1 + y 3 x 2 – y 3 x 3
2
+ y 2 x 2 – y 2 x 3 – y 1 x 2 + y 1 x 1 – y 2 x 2 + y 2 x 1 ]
RS ialah satu jalan lurus yang menyambungkan
rumah Isaac dan pasar. Rumah Ashley terletak 1
pada jalan RS dengan keadaan jalan lurus yang = 2 [y 1 x 3 – y 3 x 1 + y 3 x 2 – y 2 x 3 – y 1 x 2 + y 2 x 1 ]
menyambungkan rumah Ashley dengan sekolah
adalah berserenjang dengan jalan RS. Cari = 1 [y 2 x 1 + y 3 x 2 + y 1 x 3 – y 1 x 2 – y 2 x 3 – y 3 x 1 ]
(a) persamaan jalan lurus RS, 2
(b) kedudukan rumah Ashley. 1
= [y 2 x 1 + y 3 x 2 + y 1 x 3 – (y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 1 )]
2
1
= 2 [x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 – (x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 )]
7.3 Luas Poligon
2. Secara am, untuk sebuah segi tiga dengan bucu-
bucu (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) dan (x 3 , y 3 ), luas segi tiga
A Menerbitkan rumus luas segi tiga = 1 2 [x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 – (x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 )]
apabila koordinat setiap bucu
diketahui
B Menentukan luas segi tiga dengan
1. Rajah menunjukkan sebuah segi tiga ABC menggunakan rumus
dengan koordinat setiap bucunya masing- 1. Rumus luas segi tiga dapat disusun dan ditulis Bab 7
masing ialah A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) dan C(x 3 , y 3 ). dalam bentuk yang lebih ringkas dengan
algoritma shoelace, iaitu
y
Luas segi tiga
C(x , y ) 3
3
= 1 x 1 x 2 x 3 x 1
2 y 1 y 2 y 3 y 1
A(x , y )
1 1 1
= 2 (x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 ) – (x 2 y 1 + x 3 y 2 +
B(x , y ) x 1 y 3 )
2
2
y 1 y 3 y 2
x Dengan keadaan mewakili pendaraban
0 E F G
x x 1 x x 3 dan dengan tanda positif
2
3
x x 1 mewakili pendaraban
2
dengan tanda negatif.
2. Jika bucu-bucu sebuah segi tiga adalah segaris,
maka luas segi tiga itu ialah 0 unit .
2
137
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
13 Luas PQR
1 3 6 10 3
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga PQR. = — 11 5 2
2 2
1
y = —(3(11) + 6(5) + 10(2)) – (6(2) + 10(11) + 3(5))
R(6, 11) 2
1
= —(33 + 30 + 20) – (12 + 110 + 15)
2
1
= —83 – 137
2
1
= —–54 Jumlah bagi hasil
Q(10 , 5) 2 darab bernilai negatif.
= 27 unit 2
P(3, 2)
x Cuba Soalan 1 dalam ‘Cuba ini! 7.3’
0
Cari luas segi tiga PQR. Kaedah Alternatif
Penyelesaian Terdapat kaedah yang lain untuk menentukan luas
Luas PQR segi tiga PQR, iaitu kaedah kotak.
6 3 3 10 6 4
= 1 3 10 6 3 y R(6, 11)
2 2 5 11 2
1 II 11 5 6
= (3(5) + 10(11) + 6(2)) – (10(2) + 6(5) + 3(11)) I
2 11 2 9
1 Q(10 , 5)
= (15 + 110 + 12) – (20 + 30 + 33)
2 III 5 2 3
1 P(3, 2)
= 137 – 83 10 3 7
2 0 x
1
= 54 Luas PQR = luas kotak segi empat – luas segi tiga I
2 – luas segi tiga II – luas segi tiga III
Bab 7 = 27 unit 2 = 7(9) – 1 2 (9)(3) – 1 2 (6)(4) – 1 2 (7)(3)
= 63 – 13.5 – 12 – 10.5
= 27 unit 2
Tip SPM
14
Semasa menggunakan rumus luas segi tiga dengan
algoritma shoelace, Diberi bahawa A(–2, 0), B(–5, –7) dan C(8, –3). Cari
• susunan bucu boleh dimulakan daripada mana-mana luas segi tiga ABC.
satu titik.
• jika susunan bucu segi tiga adalah lawan arah jam, Penyelesaian
jumlah bagi hasil darab adalah positif.
• jika susunan bucu segi tiga adalah ikut arah jam, Luas ΔABC = 1 –2 –5 8 –2
jumlah bagi hasil darab adalah negatif seperti yang 2 0 –7 –3 0
berikut: 1
= (14 + 15 + 0) – (0 – 56 + 6)
Ikut arah R 2
jam
P R Q P 1
= 29 – (–50)
1 3 6 10 3 Q 2
Luas PQR = — 1
2 2 11 5 2
P = 2 79 = 39.5 unit 2
Cuba Soalan 2 dalam ‘Cuba ini! 7.3’
138
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
C Menentukan luas sisi empat dengan Tip SPM
menggunakan rumus
Semasa menggunakan rumus untuk mencari luas sisi
empat, pastikan susunan titik adalah mengikut arah jam
1. Luas sebuah sisi empat ABCD pada satah Cartes atau lawan arah jam.
dapat ditentukan dengan menggunakan rumus
yang dikembangkan daripada rumus luas segi
tiga seperti berikut:
y 15
C(x , y ) 3
3
D(x , y ) Rajah di bawah menunjukkan sebuah sisi empat
4
4
ABCD.
y
A(x , y ) B(x , y ) 2 A(–1, 7)
1
1
2
x
0
D(8, 3)
Luas sisi empat ABCD
= luas segi tiga ABD + luas segi tiga BCD 0 x
1
= x 1 x 2 x 4 x 1 + x 2 x 3 x 4 x 2 B(–5, –3)
1
2 y 1 y 2 y 4 y 1 2 y 2 y 3 y 4 y 2 C(0, – 4)
1
= (x 1 y 2 + x 2 y 4 + x 4 y 1 ) – (x 2 y 1 + x 4 y 2 + x 1 y 4 ) Hitung luas sisi empat ABCD.
2
1
+ (x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 2 ) – (x 3 y 2 + x 4 y 3 + x 2 y 4 ) Penyelesaian
2 Luas ABCD
1
= x 1 y 2 + x 2 y 4 + x 4 y 1 – x 2 y 1 – x 4 y 2 – x 1 y 4 + x 2 y 3 1 –1 –5 0 8 –1
2 =
+ x 3 y 4 + x 4 y 2 – x 3 y 2 – x 4 y 3 – x 2 y 4 2 7 –3 –4 3 7
1 1
= x 1 y 2 + x 4 y 1 – x 2 y 1 – x 1 y 4 + x 2 y 3 + x 3 y 4 = (–1)(–3) + (–5)(–4) + (0)(3) + (8)(7) – ((–5)(7)
2 2
– x 3 y 2 – x 4 y 3 + (0)(–3) + (8)(–4) + (–1)(3))
= 1 x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 – x 2 y 1 – x 3 y 2 = 1 (3 + 20 + 0 + 56) – (–35 + 0 – 32 – 3) Bab 7
2 2
– x 4 y 3 – x 1 y 4 1
1 = 2 79 – (–70)
= (x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 ) – (x 2 y 1 + x 3 y 2
2 1
+ x 4y 3 + x 1 y 4) = 2 149
2. Secara am, untuk sisi empat yang mempunyai = 74.5 unit 2
bucu-bucu (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) dan (x 4 , y 4 ),
Cuba Soalan 3 dalam ‘Cuba ini! 7.3’
Luas sisi empat
1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 D Membuat generalisasi dan
=
2 y 1 y 2 y 3 y 4 y 1 menggunakan rumus luas poligon
1
= (x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 ) – (x 2 y 1 + x 3 y 2 1. Jadual berikut menunjukkan deduksi tentang
2
+ x 4 y 3 + x 1 y 4 ) rumus bagi luas poligon yang bucu-bucunya
diketahui.
139
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
Rumus luas poligon (b) Luas heptagon OPQRSTU
Poligon Bucu-bucu dengan algoritma = 1 0 –9 –6 0 7 4 –4 0
shoelace 2 0 –1 –3 –3 –2 6 4 0
Segi tiga (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), 1 x 1 x 2 x 3 x 1 = 1 0 + 27 + 18 + 0 + 42 + 16 + 0 – (0 + 6 +
(x 3 , y 3 ) 2 y 1 y 2 y 3 y 1 2 0 – 21 – 8 – 24 + 0)
Sisi (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 = 1 103 – (–47)
empat (x 3 , y 3 ), (x 4 , y 4 ) 2 y 1 y 2 y 3 y 4 y 1 2
1
Poligon (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), = 2 150
dengan (x 3 , y 3 ), …, 1 x 1 x 2 x 3 … x n x 1 = 75 unit 2
…
n sisi (x n , y n ) 2 y 1 y 2 y 3 y n y 1
Cuba Soalan 4 dalam ‘Cuba ini! 7.3’
16 E Menyelesaikan masalah yang
Cari luas setiap poligon berikut. melibatkan luas poligon
(a) y 17
E(3, 7)
A(0,5) Diberi bahawa K(p, –7), L(0, 3) dan M(–1, 5), dengan
keadaan p ialah pemalar. Jika KLM adalah segaris,
D(10, 2) cari nilai p.
x
B(–4, 0) 0 Penyelesaian
Jika KLM adalah segaris, luas KLM = 0.
1 p 0 –1 p
C(6, –6) = 0
2 –7 3 5 –7
1
(b) y 3p + 0 + 7 – (0 – 3 + 5p) = 0
2
T(4, 6) 1
U(–4, 4) 2 –2p + 10 = 0
–2p + 10 = 0
Bab 7 P(–9, –1) 0 x –2p = –10
p = 5
Q(–6, –3) R(0, –3) S(7, –2)
Cuba Soalan 5 dalam ‘Cuba ini! 7.3’
Penyelesaian 18
(a) Luas pentagon ABCDE P(–2, 0), Q(6, k) dan R(–5, 3) merupakan bucu-
1 0 –4 6 10 3 0 bucu sebuah segi tiga. Diberi luas segi tiga itu ialah 27
= unit , cari nilai-nilai k.
2
2 5 0 –6 2 7 5
1 Penyelesaian
= 0 + 24 + 12 + 70 + 15 – (–20 + 0 – 60 + Luas PQR = 27
2
6 + 0) 1 –2 6 –5 –2
1 2 0 k 3 0 = 27
= 121 – (–74)
1
2 –2k + 18 + 0 – (0 – 5k – 6) = 27
1 2
= 195
2 1 3k + 24 = 27
= 97.5 unit 2 2
3k + 24 = 54
140
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
3k + 24 = 54 , 3k + 24 = –54 Cuba ini! 7.3
3k = 30 3k = –78
k = 10 k = –26 1. Hitung luas setiap segi tiga berikut.
(a) y
Cuba Soalan 7 dalam ‘Cuba ini! 7.3’ B(8, 9)
A(2, 5)
Kuasai SPM Kertas 1 SPM C(6, 3)
2018
Dalam rajah di bawah, U dan V ialah dua gerai penjaja 0 x
yang berada di bahu sebatang jalan lurus. Eunice
berada di sebelah bahu jalan yang bertentangan
dengan kedua-dua gerai itu.
(b) y
y (m)
C(2, 8)
U(–6, 8)
V(3, 5)
Eunice
x (m) A(–2, 0)
0 x
0
Eunice hendak menyeberangi jalan itu ke sebelah B(3, –3)
bahu jalan bertentangan di mana terletaknya
gerai penjaja U dan V. Jika kedudukan Eunice ialah
(–2, 1), cari jarak terdekat, dalam m, yang boleh dilalui (c) y
untuk menyeberangi jalan itu. Beri jawapan anda betul P(2, 4)
kepada tiga tempat perpuluhan.
Penyelesaian x
Katakan kedudukan Eunice = E(–2, 1) 0
1 –6
Luas segi tiga UEV = u –2 3 u
–6
2 8 1 5 8 Q(–2, –3)
= 1 |–6 – 10 + 24 – (–16 + 3 –
30)| 2 R(–5, –6)
= 1 |8 – (–43)| Bab 7
2 (d) y
= 1 |51| Q(8, 6)
2
= 25.5 m 2
(–6 – 3) + (8 – 5)
Jarak UV = AB 2 B 2 P(–5, 2)
90 m
= AB x
0
Luas segi tiga UEV = 1 × UV × h R(0, –3)
2
25.5 = 1 × AB
90 × h
2
h = 25.5 × 2 × 1 2. Tentukan luas segi tiga yang mempunyai bucu-bucu
90
= 5.376 AB berikut.
(a) A(4, 7), B(2, 3) dan C(8, 4)
(b) P(–4, 9), Q(–2, 4) dan R(–10, 5)
Maka, jarak terdekat ialah 5.376 m. (c) K(6, 0), L(5, 2) dan M(3, –2)
141
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
3. Hitung luas setiap sisi empat berikut. Kerajaan ingin membina sebatang jalan dari Gunung
(a) y Lambak ke jalan lurus yang menyambungkan
hospital dan surau. Untuk menjimatkan kos, jalan
A(0, 5) yang dibina mestilah mempunyai jarak yang
terpendek. Cari jarak, dalam km, jalan yang akan
B(10, 0) dibina oleh kerajaan.
0 x
7. Diberi bahawa C(h, –6), D(–1, 2) dan E(2, 0). Jika
D(2, – 4)
luas segi tiga CDE ialah 17 unit , cari nilai-nilai h.
2
C(5, –8)
(b) y 7.4
E(–2, 9) Persamaan Lokus
A Mewakilkan lokus secara grafik
mengikut syarat dan menentukan
F(2, 3) persamaan lokus
H(–7, 2)
x
0 (a) Syarat 1: Jarak titik yang bergerak dari
G(– 4, –1) suatu titik tetap adalah malar
(c) 1. Lokus ialah suatu set titik yang memenuhi syarat
y
P(–5, 2) tertentu.
Q(3, 1)
x 2. Setiap lokus dapat diwakili secara grafik dengan
0 R(6, 0) lintasan yang memuaskan syarat yang diberi.
3. Lokus bagi titik (x, y) yang bergerak dengan
jarak malar d unit dari titik A(x 1 , y 1 ) ialah
lilitan sebuah bulatan berpusat A seperti yang
S(5, –9)
ditunjukkan dalam rajah berikut.
4. Tentukan luas poligon yang mempunyai bucu-bucu
berikut. (x, y)
(a) A(1, 7), B(10, 2), C(4, 0), D(–2, –5) dan d
E(–6, 13)
Bab 7 (b) J(0, 8), K(–1, 12), L(–3, 0), M(2, –2) dan N(4, 1) A(x , y ) 1
1
(c) A(–9, –3), B(–2, –6), C(7, –1), D(8, 2), E(5, 10)
dan F(–2, 1)
(d) P(2, –4), Q(7, 0), R(6, 8), S(0, 1), T(–3, 5),
U(–9, –1) dan V(0, –5)
5. Diberi bahawa A(–2, k), B(2, 3) dan C(10, 11), (b) Syarat 2: Nisbah jarak titik yang bergerak
dengan keadaan k ialah pemalar. Diberi luas segi dari dua titik tetap adalah malar
tiga ABC ialah 6 unit . Cari nilai k.
2
1. Lokus bagi titik (x, y) yang bergerak dengan
6. Rajah di bawah menunjukkan kedudukan surau, nisbah jarak m : n dari dua titik A(x 1 , y 1 ) dan
Gunung Lambak dan hospital. B(x 2 , y 2 ) ialah sebuah bulatan seperti yang
y (km) ditunjukkan dalam rajah berikut.
Hospital
(7, 6)
Gunung Lambak (x, y)
(–5, 4) n
B(x 2 , y 2 )
x (km) m
0
Surau
(1, –2) A(x 1 , y 1 )
142
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
2. Lokus bagi titik (x, y) yang bergerak dengan (x, y)
nisbah jarak 1 : 1 dari dua titik A(x 1 , y 1 ) dan B(x , y )
2
2
B(x 2 , y 2 ) ialah garis pembahagi sama serenjang
AB seperti yang ditunjukkan dalam rajah di
sebelah. A(x , y ) 1
1
3. Jadual menunjukkan persamaan lokus bagi titik P(x, y) yang bergerak dengan syarat tertentu.
Syarat Persamaan lokus
Jarak titik P dari titik A(x 1 , y 1 ) adalah PA = d
sentiasa sama dengan d unit. AB B ) = d
2
2
(x – x 1 ) + (y – y 1
Jarak titik P dari titik A(x 1 , y 1 ) dan B(x 2 , y 2 ) nPA = mPB
adalah dalam nisbah PA : PB = m : n. nAB B ) = mAB B ) 2
2
2
2
(x – x 2 ) + (y – y 2
(x – x 1 ) + (y – y 1
Jarak titik P dari titik A(x 1 , y 1 ) dan B(x 2 , y 2 )
adalah dalam nisbah PA : PB = 1 : 1, iaitu PA = PB
titik P adalah sama jarak dari titik A dan AB B ) = AB B ) 2
2
2
2
(x – x 2 ) + (y – y 2
(x – x 1 ) + (y – y 1
titik B.
19 Penyelesaian
KH : HL = 3 : 4
Diberi titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari 4KH = 3HL
A(4, –1) sentiasa 5 unit. Cari persamaan lokus bagi 4AB B = 3AB B 2
(x – 2) + (y – 0)
(x – 5) + (y – (–1))
2
2
2
titik P. 16[(x – 2) + y ] = 9[(x – 5) + (y + 1) ]
2
2
2
2
16[x – 4x + 4 + y ] = 9[x – 10x + 25 + y + 2y + 1]
2
2
2
2
Penyelesaian 16[x + y – 4x + 4] = 9[x + y – 10x + 2y + 26]
2
2
2
2
PA = 5 2 2 2 2
AB B = 5 16x + 16y – 64x + 64 = 9x + 9y – 90x + 18y + 234
(x – 4) + (y – (–1))
2
2
2
2
(x – 4) + (y + 1) = 5 2 7x + 7y + 26x – 18y – 170 = 0 Bab 7
2
2
x – 8x + 16 + y + 2y + 1 = 25 Cuba Soalan 3 – 4 dalam ‘Cuba ini! 7.4’
2
2
x + y – 8x + 2y – 8 = 0
2
2
Persamaan lokus P ialah x + y – 8x + 2y – 8 = 0. 21
2
2
Cari persamaan lokus bagi titik T yang bergerak
Cuba Soalan 1 – 2 dalam ‘Cuba ini! 7.4’
dengan keadaan jaraknya dari U(7, –3) dan V(–1, 1)
adalah sama.
Penyelesaian
20 TU = TV
(x – (–1)) + (y – 1))
(x – 7) + (y – (–3))
2
2
2
Diberi bahawa K(2, 0) dan L(5, –1). Titik H bergerak AB B = AB B 2
2
2
2
dengan keadaan jaraknya dari K dan L adalah dalam (x – 7) + (y + 3) = (x + 1) + (y – 1) 2
nisbah KH : HL = 3 : 4. Cari persamaan lokus H. x – 14x + 49 + y + 6y + 9 = x + 2x + 1 + y – 2y + 1
2
2
2
2
16x – 8y – 56 = 0
2x – y – 7 = 0
Cuba Soalan 5 – 6 dalam ‘Cuba ini! 7.4’
143
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
B Menyelesaikan masalah yang Penyelesaian
melibatkan persamaan lokus Katakan Ong = P(x, y), Zanariah = Z dan Everlyn = E
PZ = 2PE
22 x + (y – 6) = 4[(x – 3) + (y + 4) ]
2
2
2
2
x + y – 12y + 36 = 4(x – 6x + 9 + y + 8y + 16)
2
2
2
2
Rajah di bawah menunjukkan kedudukan dua buah 2 2 2 2
bandar, P dan Q. x + y – 12y + 36 = 4x – 24x + 36 + 4y + 32y + 64
2
2
y (km) 3x + 3y – 24x + 44y + 64 = 0 ...................a
Bandar P
(–8, 10) Gantikan (–2, –1) ke sebelah kiri persamaan lokus a,
3(–2) + 3(–1) – 24(–2) + 44(–1) + 64
2
2
Bandar Q = 12 + 3 + 48 – 44 + 64
(1, 4) = 83 (≠ 0)
x (km) Maka, Ong tidak akan bertemu dengan Nurhaniza.
0
Sebatang jalan raya akan dibina dengan jaraknya dari
kedua-dua bandar itu adalah sama. Cari persamaan Cuba ini! 7.4
bagi jalan raya itu. 1. Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari (4, 2)
sentiasa 8 unit. Cari persamaan lokus P.
Penyelesaian
Katakan T(x, y) mewakili jalan raya. 2. Titik H bergerak supaya jaraknya dari G(–5, –1)
Maka, PT = TQ sentiasa 3 unit. Cari persamaan lokus H.
AB B= AB B 3. Diberi bahawa A(2, 4) dan B(5, 1). Titik P bergerak
(x – (–8)) + (y – 10)
(x – 1) + (y – 4)
2
2
2
2
2
(x + 8) + (y – 10) = (x – 1) + (y – 4) 2 dengan keadaan jaraknya dari A dan B adalah
2
2
mengikut nisbah AP : PB = 2 : 1. Cari persamaan
x + 16x + 64 + y – 20y + 100 = x – 2x + 1 + y – 8y + 16 lokus P.
2
2
2
2
18x – 12y + 147 = 0
4. Cari persamaan lokus bagi titik R yang bergerak
Persamaan jalan raya ialah itu 18x – 12y + 147 = 0. dengan keadaan jaraknya dari P(1, 3) dan Q(–7, 2)
adalah dalam nisbah 1 : 3.
Cuba Soalan 7 dalam ‘Cuba ini! 7.4’
5. Cari persamaan lokus bagi titik T yang bergerak
dengan jarak yang sama dari (3, –1) dan (–3, 5).
Bab 7 23 6. Diberi bahawa M(–9, – 4) dan N(–1, 0). Titik P
bergerak dengan keadaan jaraknya dari M dan N
Rajah di bawah menunjukkan kedudukan tiga orang adalah sama. Cari persamaan lokus P.
murid. 7. Rajah di bawah menunjukkan kedudukan dua pokok
y (m) bunga, A dan B, di suatu taman riadah.
Zanariah y
(0, 6)
A(5, 1)
x
x (m) 0
0
Nurhaniza
(–2, –1) B(3, – 4)
(3, –4)
Everlyn
Dalam suatu permainan, Ong perlu bergerak supaya Suatu lintasan pejalan kaki dibina dengan keadaan
jaraknya dari pokok bunga B adalah dua kali ganda
jaraknya dari Zanariah adalah dua kali jaraknya jaraknya dari pokok bunga A. Cari persamaan bagi
dari Everlyn. Tentukan sama ada Ong akan bertemu lintasan pejalan kaki itu.
dengan Nurhaniza dalam pergerakannya.
144
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
Praktis SPM 7
Praktis SPM
KERTAS 1 5. Maklumat berikut adalah berkaitan dengan dua garis
SPM lurus KL dan MN.
2018
1. Rajah di bawah menunjukkan kedudukan Chuang
SPM Leng dan Muslimah. KL : 6px + y – 5 = 0
2015
y
y MN : x + = 1
5q 8
dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
Muslimah
(7, 5)
Chuang Leng Diberi garis lurus KL dan garis lurus MN adalah
(–8, 2) berserenjang antara satu sama lain, ungkapkan q
dalam sebutan p.
x
0
6. Rajah menunjukkan kedudukan tiga menara wifi,
SPM P, Q dan R. Menara Q dan R telah disambung oleh
Mereka bergerak ke arah satu sama lain dalam 2018 suatu kabel lurus bawah tanah.
satu garis lurus dengan keadaan halaju Chuang
Leng adalah dua kali ganda halaju Muslimah. Cari y (km)
jarak Muslimah dari kedudukan asalnya apabila dia
bertemu dengan Chuang Leng. KBAT
Menilai P(0, 6)
2. Diberi satu persamaan garis lurus ax – by + 9 = 0,
SPM dengan keadaan a dan b ialah pemalar. R(7, 1)
2015 x (km)
Cari, dalam sebutan a dan b, 0
(a) kecerunan garis lurus itu,
(b) kecerunan garis lurus yang berserenjang
dengan garis ax – by + 9 = 0. Q(–5, –4)
3. Rajah menunjukkan dua garis lurus pada suatu Sebuah syarikat telekomunikasi ingin
SPM satah Cartes. menyambungkan suatu kabel dari menara P ke
2016
kabel lurus yang menyambungkan menara Q dan R.
y Cari panjang, dalam km, kabel yang akan digunakan
supaya kos kabel adalah minimum. Beri jawapan Bab 7
P anda betul kepada empat tempat perpuluhan.
y kx 5 KBAT
Menilai
7. Diberi A(h, 0), B(–1, 2k) dan C(3, 1). Jika ABC
x
0 adalah segaris, ungkapkan h dalam sebutan k.
KBAT
y 4x 22 Mengaplikasi
8. Rajah di bawah menunjukkan satu garis lurus PQR.
Kedua-dua garis lurus itu berserenjang antara satu y
sama lain. P(–5, 8)
(a) Nyatakan nilai k. Q(4, k)
(b) Cari koordinat P. R(7, 6)
4. Satu garis lurus melalui A(6, –1) dan B(–9, –16).
SPM Titik P membahagi tembereng garis AB dengan
2017 0 x
keadaan 3AB = 5PB. Cari koordinat P.
Titik Q membahagikan garis PR dengan keadaan
PQ : PR = m : n. Cari nilai m dan n.
145
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
9. Diberi G(x, 9) dan H(–2k, y). Jika titik tengah bagi PQ ialah sebatang jalan lurus dengan keadaan
garis lurus GH ialah (1, k), ungkapkan y dalam setiap titik di atasnya adalah sama jarak dari rumah
sebutan x. Seimah dan rumah Idayu. Cari persamaan bagi
jalan lurus PQ.
10. Rajah menunjukkan sebuah pentagon ABCDE.
15. Rajah menunjukkan suatu garis lurus AB dan titik C.
y
D y
E(–2, 1) C B
0 8 x
x
0
A B(5, –3)
A
C(3, –2)
Diberi bahawa sisi AB adalah selari dengan paksi-x
2
dan luas segi tiga ADE ialah 7 unit . Cari
(a) koordinat D, Diberi persamaan garis AB ialah 2x – 3y + 6 = 0.
(b) luas pentagon ABCDE. Titik D bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa
KBAT tetap dari garis lurus AB dan melalui titik C. Cari
Mengaplikasi
persamaan lokus bagi titik D. KBAT
11. Rajah menunjukkan satu garis lurus AB. Mengaplikasi
y
KERTAS 2
A
4
1. Rajah menunjukkan suatu kawasan perindustrian
SPM OKLM. Titik-titik P, Q dan R masing-masing ialah
2015
B x tiga buah kilang elektronik, dengan keadaan P, Q
0 6 dan R adalah segaris.
y (km)
Cari persamaan garis lurus yang berserenjang L(2, 14)
dengan AB dan melalui titik B.
Bab 7 12. Koordinat titik W ialah (3, 0). Titik U(x, y) bergerak K(–10, 8) P(–6, 7)
dengan keadaan UW = 10 unit. Cari persamaan
lokus U.
Q(2, 3)
13. Diberi bahawa K(1, 4) dan L(2, –3). Titik X bergerak R M(7, 2)
dengan keadaan jaraknya dari K adalah dua kali x (km)
ganda jaraknya dari L. Cari persamaan lokus X. 0
14. Rajah di bawah menunjukkan kedudukan rumah
Seimah dan rumah Idayu.
Diberi jarak PQ adalah empat perlima jarak PR.
y (a) Cari
2
Rumah (i) luas, dalam km , kawasan perindustrian
Idayu OKLM,
P (1, 6) (iii) koordinat titik R.
(b) Suatu menara penerima dibina di kilang R
Rumah
Seimah supaya dapat menerima isyarat dalam liputan
(–5, 2) 10 km dari R. Cari persamaan yang mewakili
sempadan di mana isyarat dapat diterima oleh
menara itu.
x
0 KBAT
Q Mengaplikasi
146
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat
2. Rajah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak 4. Rajah menunjukkan sebuah segi tiga OPQ.
SPM PQR. Sisi PQ adalah selari dengan paksi-y dan sisi SPM
2016 2018 y
PR bersilang dengan paksi-y pada titik T.
Q(8, h)
y
P(–4, 9)
P(–7, 2)
5 T x
0
R
(a) Diberi luas segi tiga OPQ ialah 50 unit , cari
2
x nilai h.
0
(b) Titik R(2, 8) terletak pada garis PQ.
(i) Cari PR : RQ.
Q (ii) Titik T bergerak dengan keadaan PT = 2RT.
Cari persamaan lokus T.
(a) Diberi bahawa PT : TR = 4 : 3. Cari
(i) koordinat titik R, 5. Rajah menunjukkan gabungan sebuah segi tiga
(ii) persamaan garis lurus RQ, bersudut tegak ABC dan sebuah trapezium ACDE.
(iii) luas, dalam unit , segi tiga PQR. y
2
(b) Titik Y bergerak dengan keadaan jaraknya dari
titik P adalah sentiasa tiga kali jaraknya dari titik
R. Cari persamaan lokus Y. E(0, 8) D
KBAT
Mengaplikasi
3. Rajah menunjukkan kedudukan taman bunga dan A(–6, 2)
SPM perpustakaan awam yang dilukis pada suatu satah x
2017 0 C(3, 0)
Cartes.
B
y (km)
Diberi persamaan bagi BC ialah x – 4y – 3 = 0. Cari
Taman bunga (a) persamaan garis lurus AB,
(2, 2) (b) koordinat B,
C
(c) koordinat D,
2
x (km) (d) luas, dalam unit , pentagon ABCDE.
O KBAT Bab 7
Mengaplikasi
6. Rajah menunjukkan sebuah segi empat tepat ABCD.
Perpustakaan D y
awam
(–2, –6) D
C(6, h)
CD ialah jalan lurus dengan keadaan jarak dari
Taman Bunga dan Perpustakaan Awam ke mana-
mana titik pada jalan raya itu adalah sentiasa sama. 0 x
(a) Cari persamaan CD. A(–3, –2)
(b) (i) Terdapat satu lagi jalan lurus PT dengan
persamaan y = 2x + 3. Suatu jambatan B
dibina di persimpangan kedua-dua jalan Diberi persamaan AD ialah y = 3x + 7. Cari
raya itu. Cari koordinat bagi jambatan itu.
(ii) Antara dua jalan raya itu, yang manakah (a) persamaan garis CD,
(c) koordinat B,
melalui bandar A(6, 15)? (e) luas segi empat ABCD,
KBAT
Menilai (g) persamaan lokus E jika titik E bergerak dengan
keadaan jaraknya dari titik D sentiasa 8 unit.
147
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
JAWAPAN
Bab (b) y
1 Fungsi
5
Cuba ini! 1.1 Julat: 0 ≤ f(x) ≤ 5
2
1. (a) 3 (b) 3 (c) 7 1
2. (a) Fungsi. Setiap objek mempunyai satu imej sahaja 0 x
walaupun unsur 6 tidak mempunyai objek. –3 –2 3
(b) Bukan fungsi. Objek 2 mempunyai tiga imej, iaitu
2, 4 dan 6. (c) y
(c) Bukan fungsi. Unsur s tidak mempunyai imej.
3. (a) Graf ini bukan graf y sebagai fungsi x. Terdapat garis
mencancang bersilang dengan graf pada dua titik 5 Julat: 0 ≤ f(x) ≤ 5
berlainan.
(b) Graf ini ialah graf y sebagai fungsi x. Setiap garis 3
mencancang bersilang dengan graf pada satu titik
sahaja.
(c) Graf ini ialah graf y sebagai fungsi x. Setiap garis
mencancang bersilang dengan graf pada satu titik 0 x
sahaja. 5 8
(d) Graf ini bukan graf y sebagai fungsi x. Garis
mencancang bersilang dengan graf pada dua titik
berlainan kecuali pada paksi-y yang memotong hanya (d) y
pada satu titik sahaja.
3
4. (a) (i) f : x → x atau f(x) = x 3 7
(ii) h : x → x + 1 atau h(x) = x + 1
2
(b) A : r → πr atau A(r) = πr 5
2
2
(c) (i) f : x → 2x + 3x – 1 atau f(x) = 2x + 3x – 1
2
(ii) g : x → sin x atau g(x) = sin x
3
2
1
5. (a) 0 (b) –3 (c) — (d) – —
4 3
6. (a) Palsu (b) Benar (c) Benar
x
7. (a) Domain = {x, y, z}, julat = {p, q} –4 3 0 2
(b) Domain = {–2, –1, 1, 2}, julat = {1, 4} – – 2
(c) Domain = {1, 2, 3, 4, 5}, julat = {12, 24, 36, 48, 50}
(d) Domain ialah x ∈ , julat ialah y ∈ .
(e) Domain ialah x ∈ , julat ialah y > 3. 11. (a) –1 (b) 5 – t (c) 3 – 2t
(f) Domain ialah x ∈ , x ≠ –5, julat ialah y ∈ , y ≠ 0. 12. (a) 1 (b) 9x + 1 (c) 6z – 2
(g) Domain ialah x ∈ , julat ialah y > 0. 13. (a) 2 (b) 4.5 (c) 5 – 2x
(h) Domain ialah x . 0, julat ialah L . 0.
14. (a) 10 (b) –5, 3 (c) 5
8. (a) Domain 0 < x < 8, julat 3 < y < 15.
(b) Domain –6 < x < 1, julat 0 < y < 9. 15. 5
3
3
9. (a) Apabila domain ialah , semua nilai y adalah mungkin. 16. (a) 7, 5 (b) – —, 3 (c) 1, —
2
5
Julat ialah y ∈ . 17. (a) 3
(b) Apabila x dihadkan kepada x < 0, semua nilai y (b) 1, 6
adalah lebih besar atau sama dengan 2. Julat ialah 18. (a) h = 3, k = 1
y > 2. (b) 0 < f(x) < 9
(c) Julat ialah {2, 3, 4, 5, 6}.
19. (a) RM77 000
10. (a) y (b) RM10 500
(c) 3
(d) V(n) ialah suatu fungsi. Setiap nilai input n akan
Julat: 0 ≤ f(x) ≤ 2 memberikan satu dan hanya satu nilai output V(n).
x
–2 0 2
227
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
30
Cuba ini! 1.2 16. (a) f (x) = x 2 2 (b) f (x) = x 2 30
2
f (x) = x (–2) 3 f (x) = x (–2) 31
3
31
1. (a) 4 2 4
h g f (x) = x
17. (a) gf(x)
x gh(x) (b) h[gf(x)] = 3 600 + 0.06x, x . 15 000
h(x) (c) RM5 280
Cuba ini! 1.3
gh 1
1. (a) –3 (b) p = 10
2
(b) 2. (a) 0 (b) 2 (c) 0 (d) –2
g h
3. (a) f mempunyai fungsi songsang. f ialah fungsi satu
dengan satu.
x hg(x) (b) g tidak mempunyai fungsi songsang. Songsangan g
g(x) memetakan dua unsur dalam kodomain kepada satu
unsur a dalam domain.
(c) h mempunyai fungsi songsang. h ialah fungsi satu
hg dengan satu.
4. (a) Graf fungsi f mempunyai fungsi songsang. f ialah
(c) g g fungsi satu dengan satu.
(b) Graf fungsi g tidak mempunyai fungsi songsang. g
bukan fungsi satu dengan satu.
x gg(x) (c) Graf fungsi h mempunyai fungsi songsang. h ialah
g(x) fungsi satu dengan satu.
5. (a) Graf fungsi f mempunyai fungsi songsang. f ialah
fungsi satu dengan satu.
gg
(b) Graf fungsi g tidak mempunyai fungsi songsang. g
bukan fungsi satu dengan satu.
(d) 5
2
h h 6. f [g(x)] = f 1 x + 2 , x ≠ 0
5
x h (x) = 5
2
h(x) x + 2 – 2
5
= 5
h 2 x
2. (a) 3x + 2 (b) 12x + 5 = x, x ≠ 0
2
2
3. (a) (i) 6x – 1 (ii) 18x – 12x + 2 dan g[f(x)] = g 1 5 2 , x ≠ 2
(iii) 9x – 4 (iv) 8x 4 x – 2
1 1 5
(b) (i) , x ≠ –5 (ii) + 5, x ≠ 0 = + 2
x + 5 x 5
(iii) x, x ≠ 0 (iv) x + 10 x – 2
2
x + 1
4. (a) (i) x + 1 (ii) = x – 2 + 2
(b) (i) |x – 6| (ii) |x| – 6 = x, x ≠ 2
5. (a) p = 10, k = 35 (b) gf(x) = x – 8x + 15 Oleh kerana fg(x) = x, x dalam domain g, dan gf(x) = x, x
2
dalam domain f, maka g ialah fungsi songsang bagi f.
6. (a) 8 (b) 12
2
7. 61 7. f [h(x)] = f 1 1 x + 2 , x ≠ 0
8. 2x + 3 1
2
9. 2x + 3x + 4 = 1
2
10. 2x – 3 x + 2 – 2
11. x + 7 = 1 = x, x ≠ 0
12. x + 1 1
2
x
13. x + x + 1 1
2
1 h[f(x)] = h 1 2 , x ≠ 2
14. (a) f (x) = x, f (x) = – , x ≠ 0, f (x) = x x – 2
2
3
4
x 1
1 = + 2
(b) f (x) = x, f (x) = – , x ≠ 0 1
8
25
x x – 2
1
15. (a) – , x ≠ 0 (b) x = x – 2 + 2 = x, x ≠ 2
x
1 + x Oleh kerana fh(x) = x, x dalam domain h, dan hf(x) = x, x
(c) , x ≠ 1
1 – x dalam domain f, maka h(x) ialah fungsi songsang bagi f(x).
228
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
8. Domain: x > 5, julat: y > 4 dan f [f(x)] = f (x + 5)
–1
–1
9. (a) = x + 5 – 5
y = x
Maka, f [f (x)] = f [f(x)] = x, fungsi identiti.
–1
–1
7
6 y = x Praktis SPM 1
5 f –1 Kertas 1
4 1. (a) I(j) = πj 3
5
3 3
f πt 3
2 (b) I(t) =
1 2. (a) 14 75
x (b) – 40
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
–1 3. (a) Julat: 0 < y < 1
–2 (b) Julat: 0 , y < 1
3
–3 4. (a) h = 3, k = – (b) 0 < f(x) < 5
–4 5. (a) 2x + 2 2
–5 (b) 6, –1
6. A B C D
(b) y 3
10 3 3
9 y = x 3
8 f 3
7
2
6 7. (a) x – 6x + 9
5 (b) x – 6
4 8. (a) 3
3 2 4x 1
2 f –1 (b) 3x + 1 , x ≠ – 3
2
–1
1 (c) g (x) = x – 1
x Domain: x . 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Julat: y . –1
(d) y
10. (a) a = 3, b = –2, c = 0
(b) Titik (–1, –1) berada pada paksi pantulan y = x. 7
–1
y = g (x)
11. (a) f tidak mempunyai fungsi songsang. Terdapat garis 6 y = x
mengufuk yang menyilang graf f lebih daripada satu 5
titik. 4
(b) f mempunyai fungsi songsang. Tidak terdapat garis
mengufuk yang menyilang graf f lebih daripada satu 3
titik. 2 y = g(x)
–1
12. (a) f (x) = 8x 1
–1
(b) g (x) = x – 7 x
2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(c) h (x) = 5x + 1 –1
–1
3
(d) f (x) = – 1, x ≠ 0
–1
x 9. (a) Apabila t = 0, s(0) = –12.5 m. Nilai ini menunjukkan
(e) g (x) = 1 – x 3 Bolt berada 12.5 m di belakang garis permulaan
–1
2x + 3
(f) h (x) = , x ≠ 1 sebelum larian dimulakan.
–1
x – 1 s + 12.5
1 (b) t(s) = 11.8
13. (a) (b) 1
2
14. (a) 2 (b) –1 (c) Masa optimum yang diambil oleh Bolt untuk meliputi
(c) 1 (d) –3 jarak larian tertentu.
15. f (x) = 1 + (d) t(100) = 100 + 12.5
–1
x + 3 , x > –3
11.8
16. (a) x – 5 = 9.53 s
–1
(b) f [f (x)] = f(x – 5) Dakwaan jurulatih adalah munasabah.
= x – 5 + 5
= x
229
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
Bab (f) –11, tidak mempunyai punca yang nyata.
2 Fungsi Kuadratik (g) –116, tidak mempunyai punca yang nyata.
(h) 0, dua punca nyata yang sama.
9
5
Cuba ini! 2.1 2. (a) p , — (b) p . – —
4
8
1. (a) 2.303, –1.303 (c) p , – 23 (d) p , 1
(b) 1.562,–2.562 12 12
(c) –0.438,– 4.562 3. (a) 0, 3 (b) – —, 2
2
(d) 3.646, –1.646 3
(e) 1, –3 (c) – —, 2 (d) –14, 2
2
(f) 0.5, –2 9
(g) 0.155, –2.155 1
(h) 1.016, –0.2656 4. (a) h . — (b) h , 1
5
2. (a) 0.6458, – 4.646 (c) h . 3— (d) h , – —
1
5
(b) 2.351, –0.8508 5 8
2
2
(c) 0.5733, –2.907 5. n = —m atau n = – —m
(d) 1.569, –0.3187 5 5
(e) 0.3930, –3.393 p 2
6. = —, 2
3. 35 dan 36 q 1
4. 104 cm 7. dua punca yang sama
5. 28 tahun dan 7 tahun 8. (a) p = 2, q = – 40
(b) – 40.5
6. 41 dan 43
7. (a) 8 cm (b) 40 cm
8. (a) x – 5x + 6 = 0 Cuba ini! 2.3
2
(b) x – x – 20 = 0 1.
2
(c) x + 7x + 10 = 0 f(x)
2
(d) 9x – 12x + 4 = 0
2
2
(e) 2x + 5x – 3 = 0 (b) f(x) = x + 3x + 2
2
(f) x – 6x + 7 = 0
2
(c) f(x) = 3x – 3x – 4
2
2
9. (a) x – 8x – 10 = 0
(b) 2x – 28x – 17 = 0 f(x) = x – 3x – 4
2
2
2
(c) 8x – 16x – 5 = 0 (a) f(x) = x + 3x – 4 2
2
2
(d) 5x + 32x – 32 = 0
1
10. – — 0 x
9
11. –14, 26
1 –4
12. 4—
2
4
13. h = –16, k = – —
5 (a) Graf fungsi x + 3x – 4 adalah pantulan graf fungsi
2
14. p = 26, q = 12 2
f(x) = x – 3x – 4 pada paksi-y kerana nilai b telah
15. h = 4, q = 1 atau h = 12, q = 9 berubah daripada –3 kepada 3.
2
16. p = 8, q = 2 (b) Graf fungsi f(x) = x + 3x + 2 adalah anjakan tegak
2
bagi graf f(x) = x + 3x – 4 ke atas paksi-x kerana nilai
17. p = – 6
c telah berubah daripada – 4 kepada +2.
18. (a) x , –3, x . 2 (c) Graf fungsi f(x) = 3x – 3x – 4 adalah lebih sempit
2
(b) –2 < x < 5 berbanding dengan f(x) = x – 3x – 4 kerana nilai a
2
(c) –1 < x < 4 adalah lebih besar. Kedudukan graf tidak berubah.
1
(d) x , –1 atau x . 2— 2.
4
2 f(x)
19. (a) –5 < x < —
3
(b) x , –9 atau x . –1
(c) x , –3 atau x . 7 5 f(x) = 5 + 3x – 2x 2
1
(d) x < – — atau x > 8 (a) f(x) = 5 – 3x – 2x 2
2
20. 15 bungkusan per minit
(c) f(x) = 2x – 3x – 5
2
21. 3.62 saat
0 x
Cuba ini! 2.2 –1
1. (a) 0, dua punca nyata yang sama.
(b) –111, tidak mempunyai punca yang nyata. 2
(c) 25, dua punca nyata yang berbeza. –5 (b) f(x) = –1 + 3x – 2x
(d) 44, dua punca nyata yang berbeza.
(e) 196, dua punca nyata yang berbeza.
230
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
(a) Graf fungsi f(x) = 5 – 3x – 2x adalah pantulan graf simetrinya menjadi x = 1 dan nilai minimum graf
2
fungsi f(x) = 5 + 3x – 2x pada paksi-y kerana nilai b tidak berubah.
2
telah berubah daripada +3 kepada –3. (iii) Apabila k berubah dari 5 ke – 1, bentuk graf tidak
(b) Graf fungsi f(x) = –1 + 3x – 2x adalah anjakan tegak berubah tetapi kedudukan graf dianjakkan secara
2
bagi graf f(x) = 5 + 3x – 2x ke bawah paksi-x kerana menegak 6 unit ke bawah. Nilai minimumnya
2
nilai c telah berubah daripada 5 kepada –1. menjadi –1 dan persamaan paksi simetrinya
(c) Graf fungsi f(x) = 2x – 3x – 5 adalah songsangan masih sama, iaitu x = 3.
2
bagi f(x) = 5 + 3x – 2x kerana –(2x – 3x – 5) = 5 + 3
2
2
3x – 2x . Iaitu, graf terbalik. 24. (a) p = – 4, q = – , n = 13
2
2
3. (a) Punca nyata yang sama (b) x = –1
(b) Punca nyata yang berbeza (c) –1
(c) Tiada punca nyata 25.
(d) Tiada punca nyata f(x)
(e) Dua punca nyata yang berbeza
(f) Punca nyata yang sama f(x) = x 2
1
–
4. (a) Dua punca yang berbeza f(x) = (x – 2) – 3
2
2
(b) Dua punca yang berbeza
(c) Tidak mempunyai punca
(d) Dua punca yang berbeza x
(e) Dua punca yang sama x = 2 0
(f) Dua punca yang sama
–1
1
5. p , — (2, –3)
8
6. q . 0
8. p . 6 1
9. p = 1 atau –1 • Apabila a berubah dari 1 ke , bukaan graf bertambah.
2
10. h = 2 • Apabila h berubah dari 0 ke 2, graf dengan bentuk yang
11. t . –1 sama dianjakkan secara mengufuk 2 unit ke kanan.
Persamaan paksi simetri menjadi x = 2.
12. a = 2, p = 2, q = 6
• Apabila k berubah dari 0 ke –3, graf dengan bentuk yang
13. (a) x + 4x – 5, (x + 5)(x – 1) sama dianjakkan secara menegak 3 unit ke bawah. Nilai
2
5
1
(b) 2x – 9x + 10, 2 x – — 2 (x – 2) minimumnya menjadi – 3 dan titik minimum baharu ialah
2
2 (2, –3).
1
3
(c) – 4x + 4x + 3, –4 x + — 21 x – — 2 • Apabila x = 0, f(x) = –1, iaitu pintasan-y = –1.
1
2
2
2
1
14. (–3, –6), – —x – 2x – 9 26. (a) –2 (b) 7
2
3 2
15. (a) f(x) = (x + 2) – 6, minimum, x = –2 27. (a) p = – 4, q = –2 (b) –4
2
2
(b) f(x) = 2(x – 1) – 1, minimum, x = 1 28. (a) h = – 4, k = 6 (b) – 4
5
5
1
(c) f(x) = 4 x + — 2 2 – 37 , minimum, x = – — 29. (a) f(x)
4
4
4
7 x = 1
(d) f(x) = –2(x + 1) + , maksimum, x = –1
2
2
5
5
(e) f(x) = –3 x + — 2 2 + 49 , maksimum, x = – —
1
12
6
6
2
(f) f(x) = 4(x + 1) + 5, minimum, x = –1 1
16. (a) p = –3, q = 2
(b) (–3, 2), titik minimum x
0 (1, 0)
17. (a) a = –3, h = 2, k = 16
(b) (2, 16)
1
2
18. (a) f(x) = x – 3 2 + 4 (b) f(x)
2
3
(b) x =
2 x = –1
19. 4
20. –6 x
–4 0 2
22. p = q + 1
23. (a) (3, 5), x = 3
(b) (i) Apabila a berubah dari –2 ke – 4, bukaan graf
berkurang. Paksi simetri dan nilai minimum graf
tidak berubah.
(ii) Apabila h berubah dari 3 ke 1, bentuk graf –8
tidak berubah tetapi kedudukan graf dianjakkan (–1, –9)
secara mengufuk 2 unit ke kiri. Persamaan paksi
231
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
(c) f(x) (f) f(x)
2 1 2
3
–
5 , 0
x = –
2
8 0 x
–9
3
x = –
x 2
0 1 4
(g) f(x)
3 1
–
, –
1 2 1 2
5
9
–
2 4
, – –
2
2
x
0 1 2
(d) f(x)
x = –3 3
x = –
9 –2 2
(h) f(x)
x
0 3 3
–
, – –
x 4 1 2
4
0
(–3, 0)
–3
3
x = – 4
(e) f(x)
(–1, 9) 3 25
30. (a) p = – , q =
2 8
(b) (i) –1, 4
(ii)
2 1 2
f(x) 3 1
, 6 –
–
4
5
x = –1 4
3
x = –
2
x
0 x
5 1 0
– – – –1 4
2 2
232
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
(f) 1 1 14. p = 2, q = 3
f(x) 31. (a) h = , k = – 6
3
2 1 2
–
, 0 (b) 2 4 15. (a) Nilai minimum f(x) = 7 apabila x = 1
x f(x) (b) f(x)
0 1
x = –
2
x 9
–3 –2 0 3 4
(1, 7)
–9
3
x = – x
2 0 1
(g) f(x) –6 16. (a) p = 4, k = 16
(b) x = 4
1 2 2 1 2 17. (a) p = –1
3 1
, –
1
–
1
, –6–
–
2 4
4
(b) q = –2
x 18. 0.6
0 1 2 (c) f(x) = – x – 1 2 + 6 1 4 19. x > 1
1
2
2
1
2
32. (a) K(x) = – (x – 40) + 600
2
(b) (i) 40 Kertas 2
3 1
x = – (ii) RM600 seminggu 1. (a) p . –
–2 2 1 2
33. (a) H(x) = (x – 16) + 436
2
1
4 (b) p = 7 , q = – 4
(b) (i) 16 2
(ii) RM436
2. Tidak boleh. Lebar kotak kurang daripada diameter tiga
3
2
(h) f(x) 34. (a) A = 12x – x bar coklat (15 cm).
2
(b) (i) x = 4 m, y = 6 m 3. 32 cm dan 44 cm
(ii) 24 m 2 4. RM18.75
x
0 3 3 35. (a) x = 15 m, y = 20 m 1 2
4 1 2 (b) 600 m 2 5. (a) f(x) = – 4 x – 2 2
1
, – –
–
4
(b) f(x)
Praktis SPM 2 1 2 1 2
–
, 0
Kertas 1
–3 1. (a) 5 (b) 2 0 x
x = – 3 2
4 2. x – 6x – 6 = 0
2
3. 24x + 8x – 3 = 0
4. x , –1 atau x . 7 x = – 1
3 25 5. m = –2, n = 3 2
30. (a) p = – , q = –1
2 8 9
6. (a) h = 1 (b) k =
(b) (i) –1, 4 2
(ii) 7. 3 : 2 2 6. (a) h = 4, k = –9
2
8. k , 4 (b) (–1, 0) dan (5, 0)
2 1 2 9. (a) m = – 4, p = 8
f(x) 3 1 7 f(x)
, 6 –
–
4
(b) x + 3x – 10 = 0
2
4 10. (a) m = –5, n = –12 x = 2
1
(b) k , –15
3 8 1 0 x
x = – 11. x < –15 atau x > –1 5
2 3
1
1
12. (a) 3 , 24 1 2 2 (b) 0 , x , 7
2
x
–1 0 4 1 1 1
1
13. (a) 4 , –6 4 2 (b) x = 4 2
2
(c) 2 , x , 7 –5
(2, –9)
233
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
2
1
2
7. (a) f(x) = –3 x – 1 1 2 – 5 11. (a) k = 4
3 3 (b)
(b) f(x) y
1 x = –2
x = 1–
3 7
0 x
y = x + 4x + 7
2
1 2
3 1 2
–
1 , –5 – 3
(–2, 3)
x
–11 0
1
1 12. (a) P(x) = – (x – 4 000) + 1 600 000
2
(c) x = 1 10
3
(b) (i) 4 000 unit
8. (a) p = 1 atau p = –2
(ii) RM1 600 000
(b)
f(x) 13. (a) h(t) = –5(t – 3) + 45
2
(b) (i) 45 m
(–2, 0) (ii) 3 s
0 x 14. (a) (i) 3 s
(ii) 49 m
(b) 0 s , t , 6 s
15. (a) A = 1 280 – 40x + x
2
(b) Nilai minimum A ialah 880 cm apabila x = 20 cm
2
–4 16. Nilai maksimum A ialah 800 m apabila x = 20 m
2
x = –2
Bab
9. (a) f(x) 3 Sistem Persamaan
5 Cuba ini! 3.1
1. (a) Ya, kerana persamaan terdiri daripada tiga pemboleh
ubah a, b dan c dengan kuasa setiap pemboleh ubah
ialah 1.
(b) Bukan, kerana terdapat lima pemboleh ubah dalam
sistem persamaan ini iaitu k, p, x, y dan z.
x (c) Bukan, kerana terdapat pemboleh ubah h yang
0 0.78 3.23 kuasanya ialah 2.
(2, –3) (d) Ya, kerana persamaan terdiri daripada tiga pemboleh
ubah m, n dan p dengan kuasa setiap pemboleh ubah
ialah 1
(b) (i) 0.78 < x < 3.23 2. (a) x = 5, y = 2, z = 8
(ii) t . 3 (b) x = – 4, y = 1, z = 7
10. (a) m = –1, n = 3 (c) p = –2, q = 10, r = –9
1
(b) f(x) (d) h = – —, k = –3, n = –5
2
3. (a) x = –2, y = 4, z = 1
y = 6 (b) a = 8, b = –1, c = –6
(c) m = –3, n = 1, p = 2
2 (d) x = 6, y = 15, z = – 4
–
f(x) = 6 – (x – 1) 2
3
4. 80 orang murid, 30 orang dewasa, 10 orang warga emas
5. 20 orang pekerja di bahagian pengurusan, 60 orang
pekerja di bahagian pemasangan, 32 orang pekerja di
bahagian kawalan mutu.
Cuba ini! 3.2
2
x 1. (a) x = 6, y =10; x = —, y = – 6
0
–2 4 3
37
9
(b) x = –3, y = 1; x = – —, y = —–
5 25
234
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
(c) x = 0.783, y = 1.825; x = 5.105, y = – 4.658 5. (a) 6 (b) 3 2 – 17p (c) 5 3 – x (d) 7 3m – 1
(d) x = –1.243, –3.748; x = 7.243, y = –0.919 6. (a) 215(6 ) (b) 9(2 )
n
n
2. (a) x = 2, y = 4; x = 5, y = 1 (c) 101(5 n – 2 ) (d) –16 463(7 n – 3 )
1
7
(b) x = –3, y = –7; x = – —, y = — 9. RM 21 719
6 3
(c) x = –3.140, y = 2.070; x = 2.740, y = –0.870 Cuba ini! 4.2
(d) x = 0.314, y = –2.457; x = 3.186, y = –0.543 2 5 23 41
1. (a) — (b) —– (c) 3—– (d) ——
3. (a) x = 3, y = –1; x = – 4, y = –8 9 11 33 333
218
41
353
66
1
(b) x = 0.5, y = 4; x = –2, y = –1 (e) 4—— (f) 1 —— 2 (g) 1 2—— 2 (h) —— 2
(c) x = –6, y = 5; x = 4, y = 0 333 495 330 185
(d) x = 0, y = 2; x = 2, y = 5 2. (a) (b) (c) (d)
30
42
33
95
4. x = 15, y = 13 3. (a) 3 (b) 6 (c) 2 (d)
15
5. 1 920 m 3 4. (a) 2 (b) 3 5 (c) 10 3 (d) 21 5
15
6. Bilangan baris = 10, bilangan lajur = 3 9 7
(e) 2 3 (f)
2
Praktis SPM 3 5. (a) 15 2 (b) 7 3 (c) 9 2 (d) 4 5
Kertas 1 (e) 3 (f) 5 6
10
15
1. x = –1, y = 4, z = 8 6. (a) 6 5 (b) 2 (c) 7 5 (d) 11 2
1
2. x = —, y = 1, z = 3
5 7. (a) 24 7 (b) 16 2 (c) 5 5 (d) 6 3
7
3. x = 3, y = –2 atau x = 6, y = –5 4 5 3 5
4. x = 0.22, –1.35 atau x = 1.38, y = 2.15 (e) 3 (f) 3
5. Wang saku harian Segaran = RM9; 24 – 6 2 14 + 2 5
Wang saku harian Muslimah = RM12 8. (a) 7 (b) 11
6. x = 7 dan y = 5 6 + 9 2 30 – 5 7
(c) (d)
7 29
13
15
Kertas 2 (e) –2 + (f) 2 + 2
3 3 7
1. e = –7, f = – 2, g = —
2 9. (a) 6 – 2 (b) 12 2 – 6 3
2
2. u = 12, v = —, w = – 4 5
5 2
(c) 8 5 – 4 6 (d) 66 + 4 3
3. x = 5, y = –3 atau x = 11, y = –7 7 9
21 + 15 5
15
4. x = –0.073, y = 0.382 atau x = –3.427, y = 2.618 (e) 15 – 3 (f) 5
17 5 2 8
5. x = 1, y = –3 atau x = —–, y = – —
9 3 27 + 10 2
12 9
6. A —–,—2 , B(4, –1) 10. (a) 23 (b) 7 – 4 3
1
5
5
21
(c) 13 – 4 3 (d) 19 + 4
7. (a) h = – 4, k = 3 11 5
(b) (–10, 4) 21 – 4 5 3 + 5
(e) (f)
8. 10 cm, 24 cm, 26 cm 19 2
9. 0.6 m 11. 31 5 – 3 2
10. 15 buah kerusi di setiap baris; 12. –16 5
12 buah kerusi di setiap lajur
13. 2816 7
11. Durian = RM10 per kg, manggis = RM6 per kg,
pisang = RM3 per kg Cuba ini! 4.3
12. Air suling = 200 ml, asid = 50 ml, alkohol = 150 ml 1. (a) log 36 = 2 (b) log 40 = m
3
6
13. 50 buah rumah kos sederhana, 120 buah rumah teres, (c) log 125 = (d) log 6 = – 4
2
30 buah rumah banglo n 5 k 11
5
(e) log = m (f) log 38 = 0.25x
1 4 5
Bab 3
4 Indeks, Surd dan Logaritma 2. (a) 10 = 1 000 (b) 8 = 0.45
q
3
7
(c) x = 46 (d) m =
–3
3
18
1
Cuba ini! 4.1 (e) 25 = 5 (f) 6 = 35
2
m
1. (a) n –9 (b) p 25 (c) k 11 (d) x –15 3. (a) x = 5 , 25 (b) 1 = 7 , 343
–3
2
– 23 x
–2
4 –3
8 5
2. (a) m n (b) q –10 (c) k h 2 (d) x y –3 1 2 16
p 12 9x 4 1 512 (c) x = 3 , (d) 3x = 4 ,
3. (a) (b) (c) (d) 27 3
3q 5 8y 7 2n 6 r s 1 –3 1 6 5 3
3 7
4. (a) 3 2n – 5 (b) 5 (c) 4 4m – 23 (d) 2 18p – 26 (e) 4 x = 6 , 54 (f) x = 2 , 16
–6
235
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
4. (a) 4 (b) –0.1871 (c) –0.7202 (d) 0.4515 Praktis SPM 4
(e) 1.6335 (f) 0.7267
5. (a) x = log 500, 2.6990 Kertas 1
10
(b) x – 2 = log 6.65, 2.8228 2
10
(c) 2x + 1 = log 680, 0.9163 1. x = – 3
10
(d) 3 – 2x = log 1200, –0.03959 2. x = –1.6348
10
p
6. (a) log 6x y (b) log 192q 3. x = –1
2
2
4
13 4 4. m = n – 1
3
(c) log k h (d) log
2
6 5 3mn 3
5. n = 2m + 11
5y 4 16p q 3
2 11
7. (a) log (b) log ab
4 27x 3 8 9 6. c =
10 4
(c) log 1 (d) log 27k h a + b
9
2 6m n 6 2 7. m = 6
n – 1
8. (a) 1.2619 (b) 1.6573 4
(c) –1.2630 (d) 0.7381 2 5
(e) 2.4292 (f) 1.0151 8. m = 1 2
q
9. (a) 4.8685 (b) 6.8928 11 + 6 2
23 25 9.
(c) (d) 7
12 6
10. x = 5
10. (a) 0.6133 (b) –0.7734 51
(c) 2.4266 (d) –0.08220 11. x = 3, 49
(e) –0.4234 (f) 2.1293 12. x = –1
11. (a) 6 (b) 1 13. log 10
30
2
12. (a) 2p + 1 (b) 3 – p 14. 20.57
(c) p + 2 (d) 2(2p – 1) m(5 – 3m)
2 15. x =
p + 1 p + 3 4
(e) (f)
p 3 16. y = x(3x – 1)
13. (a) x + 1 (b) 2x – 2 3x + 2
3 1 – x 17. m = 4 3
(c) (d) 3
x 2x
18. 2(x + 1)
14. (a) m + n (b) 2(m – n) y
4m – 3n 3(2m – n)
(c) (d) 19. (a) 2p
3 m
(b) 2(2p + 1)
Cuba ini! 4.4 p
1. (a) x = 3 (b) x = 1 20. x = 32
3
2 21. k = 4
(c) x = 9 (d) x = –
3 1
2. (a) x = 4 (b) n = 2 22. p = 3
(c) x = –2 (d) n = –3 q
3. (a) x = 2 (b) n = –1
(c) x = 3 (d) m = 1, –2 Kertas 2
4. (a) 1.1602 (b) 2.8268 1. x = –1, 2
(c) –0.4304 (d) 2.7345 2. x = 1
5. (a) x = –2 (b) x = 5 3. 553 – 304 3
(c) x = –1 (d) x = 7 169
6. (a) x = 11 4. 3 + 2 3
(b) Tiada jawapan (Nilai negatif tidak diterima bagi log). 5. 2 5 – 2
(c) x = 2 302 6. 1 +
10
6 497
(d) 7. RM294 598
128
–5
8 + 8. 5.73 × 10 tahun
82
7. x =
6 9. 5
8. Tiada jawapan (Nilai negatif tidak diterima bagi log). 10. 1.9858 mol per liter
9. 3.162 × 10 mol per liter 11. RM5 481
–6
10. 1 × 10 watts per meter persegi
–3
236
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
Bab 9. – 479 880
5 Janjang 10. 7
2
11. 14
Cuba ini! 5.1 9
12. (a) 128 (b) 18
1. (a) Ya. d = 2 (b) Bukan 3 6
(c) Ya. d = –2 (d) Ya. d = 1 (c) 21 (d) –17
5 7
2. (a) 289 (b) –339
(c) 46.4 (d) 15p – 44 13. (a) 14 (b) 88
3. (a) n = 33 (b) 105 14. (a) 1 4 (b) – 5 7
4. (a) 16 (b) 26
(c) 53 (d) 45 15. (a) 7 (b) 13
11 165
5. 3 30 106
6. –0.3; r = 8.3 (c) 37 (d) 495
7. 6 ; T = –230
3
60 16. a = 8, r = atau a = 5 , r = 5
8. T = 34 – 11n ; T = –252 2 12
n 26
9. (a) –15 (b) 6 17. (a) 13.5 (b) 4
10. (a) 432 (b) –710 18. (a) 168.68 cm (b) 360 cm
(c) 202.3 (d) 18x 19. 7 minggu
11. (a) –867 (b) 1 092
1 5
(c) 229 (d) –200 Praktis SPM
2
Kertas 1
12. (a) – 46 (b) 936 (c) 421
1. –90
13. (a) 32 (b) 30 (c) 26
2. p + 29
14. (a) –3 (b) 13 (c) –7
3. a = –11, d = 10
15. (a) 115, 107, 99
(b) – 42, –33, –24 4. m = –2; 18, 28, 38
(c) 31.2, 33, 34.8 5. 112 1
16. (a) S = 2n(3n – 19) 2
n
n 6. (a) 3 (b) 63, 67, 71
(b) S = (7n + 29)
n 2 7. (a) p = q – 4 (b) 7
n
(b) S = (n + 1) 8. 24
n
8
17. (a) –9 (b) 67 9. (a) 18 (b) –21
18. –48, –55, –62 10. a = –7, d = 3
19. a = 5, d = 3 11. T = 37 – 7n
n
20. (a) a = 72; d = –6 (b) – 450 12. (a) Janjang aritmetik
21. n = 40; d = 4 (b) 24
(c) 360°
22. 88, 68, 48, 28 atau 28, 48, 68, 88
13. 12 hari
23. (a) RM1 650 (b) RM31 500
14. 16
24. 1.5 cm
15. (a) 6 (b) 2 187
Cuba ini! 5.2 16. p
2
1. (a) Ya. r = 2 (b) Bukan 17. x = 12, r = 4
1 3 18. r = – 4, 5
(c) Ya. r = (d) Ya. r = p
3 2 19. (a) p = 0.0024, q = 0.000024
4
2. (a) –1 536 (b) (b) 0.01
(c) (m – 2) 12 3 125 47
20.
3. 8 165
4. 9 21. (a) 3 (b) 6
5. (a) 9 (b) 12 (c) 7 22. 729
1 5
6. (a) 5 (b) 23. (a) 1 (b)
4 3
125
7. (a) 4 096, 512, 64 (b) 16 807, –4 802, 1 372 24. (a) 25 , y 5 (b) y(5 – y)
y
8. (a) 444 444 (b) 3 069
129 25. Tidak layak. Jumlah masa = 127.5 minit
(c) (d) 65 104
64 26. Syarikat B, RM106 764
237
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
Kertas 2 4. –1
1. (a) 21 (b) 114 cm v (m s )
Graf v melawan t
2. (a) –996 7
(b) a = –105, d = 4
(c) 28 6
3. (a) 20.5 cm (b) 21 5
4. (a) p = 82, D = –2 4
(b) 9
(c) 20 cm 3
5. (a) 31 2
(b) 150
(c) 465 cm 1
6. (a) 8 minit t (s)
(b) 96 m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
7. (a) 34 cm
(b) 120 cm 5. (a)
y
8. RM18 135
Graf y melawan x
9. (a) 3 (b) 4 (c) 11 1.6
10. (a) 3 1.5
(b) (i) 7
(ii) 4 374 cm 1.4
11. (a) 1 1.3
2
(b) (i) 32 (ii) 64 1.2
12. (a) 128 (b) D2 1.1
13. (a) 1.999 : 1 (b) 2025 1.0
15
14. (b) (i) cm 0.9
2
64
(ii) 80 cm 2 0.8 x
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Bab
6 Hukum Linear (b)
y
Graf y melawan x
Cuba ini! 6.1 16
1. (a) Tak linear kerana kecerunan yang tak malar. Graf 15
yang diplot adalah suatu garis lengkung.
(b) Linear kerana kecerunan adalah malar. Graf yang 14
diplot adalah suatu garis lurus. 13
(c) Linear kerana kecerunan adalah malar. Graf yang
diplot adalah suatu garis lurus. 12
(d) Tak linear kerana kecerunan yang tak malar. Graf
yang diplot adalah suatu garis lengkung. 11
2. (a) Hubungan linear kerana graf itu ialah graf garis lurus. 10
(b) Hubungan tak linear kerana graf itu bukan satu garis 9
lurus.
8 x
3. 0 1 2 3 4 5 6 7
y
Graf y melawan x
6. (a)
L (cm)
Graf L melawan F
14
13
12
11
10
9 F (N)
x
O 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
238
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
(b) L = 5F + 11 (e) log y = b log x + log a; Y = log y, X = log x,
10 10 10 10 10
7. (a) m = b, c = log a
10
q 1 1
(f) y = (–4)— + 3; Y = y, X = —, m = –4, c = 3
x
x
Graf q melawan p
12
(g) log y = – log x + log p; Y = log y, X = log x,
10
10
10
10
10
10 m = –1, c = log p
10
8
(h) xy = kx – h; Y = xy, X = x , m = k, c = –h
2
2
6
(i) log y = (–log k) x + log h;
4 10 10 10
Y = log y, X = x, m = –log k, c = log h
2 1.8 10 10 10
y
y
p (j) —– = –qAB + p; Y = —–, X = AB, m = –q, c = p
x
x
0 2 4 6 8 10 12 14 AB x AB x
y
2. X = x, Y = —
(b) q = 0.71p + 1.80 x
8. (a) 17.0 3. p = 2, q =1
(b) 0.9
1
(c) 18.0 4. a = 1, b = —
3
9. (a)
V 5. h = 3.981, k = 0.2
1
9
Graf V melawan T 6. h = – —, k = —
170 4 4
160
7. (a)
150
143
140 xy
130 18
Graf xy melawan x 2
120
113 112 16
110 T
0 20 40 60 80 100 120
14
(b) (i) 143 12
(ii) 113
(iii) 112
10
3 5
10. (a) p = —q – —
4 8 8
5
(b) (i) —
6
1
(ii) –2— 6
8
4
11. (a) p = –0.8q + 6
(b) (i) 6
(ii) –2 2
x 2
Cuba ini! 6.2 0 5 10 15 20 25 30 35 40
y y –2 –1.5
1. (a) — = 4x – 3; Y = —, X = x, m = 4, c = –3
x x
1 5 1 1 1 5 1
y 1 2
(b) — = — — + 2; Y = — , X = —, m = —, c = 2 (b) (i) h = —
x
y
2 x
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 3
y 1 2
(c) — = — — + —; Y = —, X = —, m = —, c = — (ii) k = – —
4
y
x
6 x
6
6
6
2
(d) xy = 5x – 3; Y = xy, X = x , m = 5, c = –3
2
239
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
8. (a) 1
10 1 x 2
11. (a) log y =(–k log 4) — + log h
10
10
y 2
– x (b) log y
6.0 y 2 10
5.8 Graf – melawan x 2 Graf log y melawan – 1 x
x
10
5.5 2.0 1.88
1.8
5.0
1.6
4.5 1.4
4.0 1.2
3.5 1.0
0.8
3.0
0.6
2.5 1
0.4 x
2.0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
1.5 (c) h = 75.86, k = 28.24
1.0 12. (a) y x Graf y x melawan x
0.5
12
x
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 10
(b) (i) p = 0.1103 (ii) q = 0.1724
8
9. (a)
y 6
7 Graf y melawan – 1 x 4
6
2
5
4 0 1 2 3 4 5 6 x
3
2 (b) (i) 4.246 (ii) 4.1
1 1.2 13. h = 3, k = 10
1
– 14. (a) log y = x + h
0 2 4 6 8 10 x 10
(b) (i) h = 2 (ii) k = 7
(b) (i) p = 1.2 (ii) q = 0.4 15. (a) h = 3, k = –2
(b) p = 1, q = 4
10. (a) (b) (i) n = 46 (ii) y = 11.5
xy Graf xy melawan x 2 16. (a) p = 2, q = 1
5 (b) log y = 2x + 1
3
y
log 3
4
5
3
2
1 1
x
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 x 2 O 2
1
(c) y = —
3
(b) p = –3, q = 5
240
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
Cuba ini! 6.3 4. (a)
1. (a) log y Graf log y melawan x
10
s (m) 10
Graf s melawan t 2
2.2
20
2.0
15
1.8
10
1.6
5
1.4
2
0 t (s ) 2
5 10 15 20 25
1.2
(b) (i) 4.47 s x
(ii) 4.75 m 0 1 2 3 4 5
2. (a)
(b) (i) a = 20, b = 1.4
–1
v (m s ) (ii) 577
1 1
Graf v melawan t 2 5. (a) Plot P melawan — atau V melawan —.
18 V P
P
16 1
Graf P melawan —
14 v
12.4 4
12
10 3
8
2
6
5.2 1
4
1
2 0 —
24 2 2 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 V
0 5 10 15 20 25 t (s )
(b) (i) 123.1 (ii) 95.24
(b) Nilai yang salah = 13.8; Nilai yang betul = 12.4
(c) (i) h = 5.2, k = 0.45
(ii) 5.2 m s –1 Praktis SPM 6
(iii) 4.899 s
Kertas 1
3. (a) 1. (a) P = –3V + 11
W
(b) (i) –2.5 (ii) 3.27
Graf W melawan log L
1
12 10 2. y = —(x + 5x + 11)
2
10 9.2 5
3. h = 4, k = 3
8 1 3
6 4. (a) p = — (b) q = – —
4
3
y
1
4 5. X = —, Y = —–
3.4 x x 2
2
0.94 6. (a) log y = 3 log x + log h
10
10
10
log L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 10 (b) (i) h = 100 (ii) k = 3
4
(b) (i) Nilai yang salah = 8.41; Nilai yang betul = 9.2 7. p = —, q = 14
3
(ii) 8.71
1
(iii) h = 2.57, k = 24.8 8. p = , q = 2
2
241
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
9. (a) log y = (log 8)x – log k 3. (a)
1
10 10 10 — 0.589 0.500 0.417 0.278 0.238 0.192
(b) k = 0.01 x
12h 1
10. t = — 1.080 0.962 0.828 0.616 0.557 0.488
k y
Kertas 2 (b)
1
1
1. (a) x 1 2 3 4 5 6 – 1 y Graf – melawan –
y
x
x y 0.46 0.56 0.63 0.70 0.80 0.86 1.1
2
(b) 1.0
x y
2
0.9
1.0
Graf x y melawan x
2
0.8
0.9
0.7
0.8
0.6
0.7
0.5
0.6 0.4
0.5 0.3
0.4 0.2
0.39
0.1
0.3
1
–
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 x
0.2
(c) (i) p = 10 (ii) q = 15
0.1
4. (a)
1
1.95 x — 5.00 4.00 2.50 1.25 1.00
x
0 1 2 3 4 5 6
y 2 65.88 50.98 28.06 8.98 5.15
—
(c) (i) 0.037 x
(ii) 2.56
y
(iii) 0.205 (b) — 2
2. (a) x 2
y
1
log y Graf melawan —
—
10
x
Graf log y melawan (x – 3) 70 x
2.0 10
60
1.5
50
40
1.0
30
0.5
0.35 20
x – 3 10
–1 0 1 2 3
1
0 —
(b) (i) 2.239 1 2 3 4 5 x
(ii) p = 4.47, q = 2.01
–10
242
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
(c) (i) 3.52 (c) (i) x = 1.95 (ii) k = 2.455
(ii) y = ABBBBBBBBB (iii) h = 1.202
15.15 – 10x
5. (a) 7. (a) x 2 1.0 4.0 9.0 16.0 25.0 36.0
y
–
x xy 6.39 7.62 9.39 11.88 15.45 19.8
3.0 y (b)
Graf – melawan x
x
xy
2.5
20
Graf xy melawan x 2
2.0 18
16
1.5
14
1.0
12
0.5 10
0.3
x 8
0 1 2 3 4 5 6
6
(b) (i) p = 0.4 (ii) q = 0.06
(iii) y = 9.45 4
6. (a) x log y
10
0.5 0.46 2
1.0 0.56 x 2
2.0 0.71 0 5 10 15 20 25 30 35 40
2.5 0.79
(c) (i) p = 0.38 (ii) q = 2.28
3.0 0.87
3.5 0.95 8. (a) x 2 4 6 8 10
(b) log y 0.5400 0.439 0.310 0.193 0.090
10
log y
10
(b)
1.0 log y
Graf log y melawan x 10
10
0.9 0.7
0.8 0.6
Graf log 10 y melawan x
0.7
0.5
0.6
0.4
0.37
0.5
0.3
0.4
0.39
0.2
0.3
0.1
0.2
0.1 0 2 4 6 8 10 12 x
1.95 x (c) (i) y = 2.344 (ii) p = 4.467
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 (iii) q = 1.138
243
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
9. (a) Bab
y
7 Geometri Koordinat
35
Graf xy melawan x
Cuba ini! 7.1
30
1
1. (a) (6, 8) (b) (8, 1) (c) (–2, –6) (d) 4, 3 2
25 2
2. h = 11 , k = 5
22
20 3. C(12, –11)
4. P(8, 6)
15 5. E(8, 1)
6. T (7, –5)
10
1
8 7. K –11, 11 2
5 6
8. h = –6, k = – 4
x
1
0 1 2 3 4 5 6 9. R – 19 , –23 2
2
10. p = – q
1 12
(b) (i) p = 16, q =
2
(ii) nilai y yang salah = 24 Cuba ini! 7.2
nilai y yang betul = 22 1. (a) Ya (b) Tidak
10. (a) 2. (a) Ya (b) Tidak
2
2
T (s ) (c) Tidak (d) Tidak
2
Graf T melawan l
4 3. (a) Tidak (b) Ya
4. (a) Ya (b) Tidak
(c) Ya (d) Ya
3 2.8 5. p = –7
5
6. h = – k
3
2 15
7. k = –
4
q
8. p = – – 4
1 3
9. y = 5x – 3
0.36 10. y = –3x + 2
l (m)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 5 7 6
1
11. (a) y = – x – 4 (b) – 4 , 3 2
3 17 17
(b) (i) 9.87 m s –2 (ii) 1.673 12. (a) y = – x – (b) y = 4x – 11
3
1
(iii) 0.36 4 2
11. (a) 13. k = –2
1
— (m ) 2 23 253 212
–1
v 1 1 14. (a) y = x + 5 (b) 1 –1 261 , 3 261 2
5
—
Graf melawan —
5 v u
Cuba ini! 7.3
4
1. (a) 14 unit 2 (b) 26 unit 2
(c) 4.5 unit (d) 42.5 unit 2
2
3
2. (a) 11 unit (b) 19 unit
2
2
(c) 4 unit 2
2
3. (a) 62 unit 2 (b) 44 unit 2
(c) 53 unit 2
1
4. (a) 103.5 unit (b) 46 unit 2
2
1 2 2
— (m ) (c) 112 unit (d) 98 unit
–1
0 1 2 3 3.3 4 5 u
5. k = –1
6. 8.4 km
(b) (i) 0.24 m (ii) 0.30 m 7. h = 28, – 6
(iii) 0.48 m
244
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
Cuba ini! 7.4 Bab
1. x + y – 8x – 4y – 44 = 0 8 Vektor
2
2
2
2. x + y + 10x + 2y + 17 = 0
2
Cuba ini! 8.1
3. x + y – 12x + 28 = 0
2
2
1. (a) Kuantiti vektor kerana kuantiti mempunyai magnitud
4. 8x + 8y – 32x – 50y + 37 = 0 dan arah.
2
2
5. x – y + 2 = 0 (b) Kuantiti skalar kerana kuantiti hanya mempunyai
magnitud.
6. 2x + y + 12 = 0
(c) Kuantiti vektor kerana kuantiti mempunyai magnitud
2
7. 3x + 3y – 34x – 16y + 79 = 0 dan arah.
2
(d) Kuantiti vektor kerana kuantiti mempunyai magnitud
Praktis SPM 7 dan arah.
(e) Bukan vektor dan bukan skalar kerana tidak
Kertas 1 mempunyai magnitud.
1. 5.099 unit 2. (a) S
a b U
2. (a) (b) –
b a
1
3. (a) k = – (b) (– 4, 6)
4
4. P(0, –7) 1 cm mewakili 40 N
48
5. q = – q
5 R
6. 7.3077 km
(b) U
6k + 1
7. h =
2k – 1
8. m = 3, n = 4 r 1 cm mewakili 10 N
~
9. y = x – 11
10. (a) (0, 4) (b) 42.5 unit 2 45°
3
11. y = x – 9 (c) U
2
2
2
12. x + y – 6x – 91 = 0
13. 3x + 3y – 14x + 32y + 35 = 0 M –2 N
2
2
1 cm mewakili 10 m s
14. 3x + 2y – 2 = 0
2
15. y = x – 4 (d)
3 q
~
1 cm mewakili 20 m s –1
Kertas 2
1. (a) (i) 125 km 2 3. (a) (i) 120 N menuju ke timur
(ii) R(4, 2) (ii) 120 N menuju ke barat
(b) x + y – 8x – 4y – 80 = 0 (b) (i) 75 N s menuju ke selatan
2
2
(ii) 75 N s menuju ke utara
2. (a) (i) (3, 2) (c) (i) 20 m s pada bearing 053°8ʹ
–1
(ii) y = x – 1 (ii) 20 m s pada bearing 233°8ʹ
–1
(iii) 49 unit 2 (d) (i) 60 m s pada bearing 126°52ʹ
–2
(b) 4x + 4y – 31x – 9y + 10 = 0 (ii) 60 m s pada bearing 306°52ʹ
2
2
–2
3. (a) x + 2y + 4 = 0 4. (a) Ya (b) Ya
(b) (i) (–2, –1) (c) Tidak (d) Tidak
(ii) Jalan raya PT. (e) Ya (f) Ya
4. (a) 12 → →
(b) (i) 3 : 2 5. (a) RQ (b) TQ
→
→
(ii) x + y – 10x – 20y + 73 = 0 (c) SR (d) RT
2
2
5. (a) y = – 4x – 22 6.
(b) B(–5, –2)
1
(c) 3, 22 2 (a)
3
(d) 83 unit 2 (b)
1
6. (a) y = – x + 7 (c) (d)
3
(b) B(3, –4)
(c) 60 unit
2
(d) x + y – 14y – 15 = 0
2
2
245
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
7. (a) –r (b) 2r 7
~ ~ 5. —v; 17.5 unit
2 ~
5 3
(c) – —r (d) —r
2~ 2~ 6. (a)
→ → → a
8. RS, UT, VW ~
b
9. (a) Ya (b) Ya ~
~ ~
→ → → → → → a + b
10. ST dan RQ; PS dan SR; PT dan TQ
12. (a) 6u (b) –8u (b)
~ ~
4
5
13. m = – —; n = — 2a ~
3 3 b
5 11 ~
14. u = – —; v = —–
3 4 2a + b
~ ~
1
15. k = – —; h = 2
3 (c) 2
1 5 2a ~ – ~ b
16. k = – —, h = — 3
2 2
2a + 2 – b
Cuba ini! 8.2 ~ 3 ~
1. (a) →
p + q 7. (a) PQ (b) –5m + 3n
~ ~ ~ ~
8. (a)
b a + b
~ ~ ~
a
~
(b)
(b)
b
p + q ~
~ ~ a + b
~ ~
a
~
(c)
b
~
(c) a + b
~ ~
a
~
p + q
~ ~
→ → 1
9. PR = 2a + 3b; PT = —(2a + 3b)
~ ~ 2 ~ ~
→ →
10. (a) PS (b) PS
35 →
2. (a) 13x (b) —–m (c) PU
~ 3 ~
11. (a) (b)
3. (a) 37v (b) 185 unit c
~ a ~
4. (a) 2a ~ b ~
~
a
R S b ~
~
A B P Q ~ d
c
12. (a) (i) 5b (ii) 4a – 5b ~
(b) –a → ~ ~ ~
~
(b) 2RQ
4
R S 13. (a) 3m – n ~ (b) —(3m – n)
~
~
~
7
1
(c) —(9m + 4n)
A B M P → 7 ~ ~ →
14. PQ = a + b RS = 2a + 3b
~
~
~
~
→
→
VW = a – b TU = a – 2b
~ ~ ~ ~
246
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
15. U 9. (a) 31i + j (b) ABBB
793 unit
~ ~
80° 3 cm (c) ———(19i + 4j)
1
ABBB ~ ~
377
20°
5 cm 2 cm 10. (a) 1 2 (b) 16 unit
35
2
17
1
40° Vektor paduan kapal (c) ——— 1 2
ABBB 22
773
4
1 cm mewakili 20 km j –1 11. (a) i + 5j (b) – —i – 4j
~ ~ 5~ ~
3 4
34
1
16. (a) (i) 5p + 10mq (ii) —p + —q (c) —–i + 3j (d) ——–( i + 5j)
~ ~ n ~ n ~ 5 ~ ~ ABB ~ ~
2 3 26
(b) m = —; n = —
8
3 5 12. (a) –10i – 4j (b) –4i – — j
–1
17. (a) 801.56 km j pada bearing 003°359 ~ ~ ~ 5~
7
13
(b) 2 405 km (c) –12i – —–j (d) –2i + — j
~ 5 ~ ~ 5~
Cuba ini! 8.3 1
(e) ——–(–5i – 2j)
~
29
1. a = 3i + 2j b = –6i – 2j ABB ~
~ ~ ~ ~ ~ ~
c = –i – 5j d = 4i + 2j 13. –14
~ ~ ~ ~ ~ ~
e = i – 2j f = –2i + 3j 14. 3
~ ~ ~ ~ ~ ~
113
g = –4i + j h = 3i + 3j 15. (a) m = —––, n = –30 (b) 12i – 9j
~ ~ ~ ~ ~ ~ 5 ~ ~
2. (a) (i) 5i + 6j (ii) 3i + 5j
~ ~ ~ ~ 16. 9
(b) (i) –i + 4j (ii) 4i – 13j
~ ~ ~ ~ 17. (a) (22, –10) (b) 25 m
(c) (i) 2i – 4j (ii) –10i – 9j
~ ~ ~ ~ 18. (a) P(14, –22), Q(35, 1)
(d) (i) –4i – 2j (ii) i – 7j
1
~ ~ ~ ~ (b) (21i + 23j) m s –1
~
~
–5
1
3. a = 1 2 b = 1 2 970
~ 3 ~ –2
Praktis SPM 8
–2
4
c = 1 2 d = 1 2
~ –3 ~ 2 Kertas 1
2 (b) 8 unit
3
5
1. (a) 2— unit
e = 1 2 f = 1 2 3
~ –2 ~ –5
6
2. (a) –3 (b) – —
–3
5
g = 1 2 h = 1 2 5
~ –6 ~ 1 14 5
3. m = – —–, n = —
4. (a) ABB (b) ABBB unit 3 3
116
74 unit
(c) ABB (d) ABBB 4. (a) –5 19 (b) 9
145 unit
65 unit
(e) ABBB (f) ABB 5. (a) – —– (b) 6 : 5
3
101 unit
65 unit
5
1 1 –6 6. m = – 4, n = —
5. (a) —(4i + 3j) (b) ——– 1 2 3
5 ~ ~ ABB 3 7. (a) 12p + 8q (b) 15p + 10q
45
1 –6
1
10 1 2
(c) ———(11i – 5j) (d) —– ~ ~ ~ ~
ABBB ~ ~ –8 8. m = 6, n = 5
146
1
7
1
12
3
(e) ———(–6i + 10j) (f) ——– 1 2 9. (a) b – —a (b) —–a + b
ABBB ~ ~ ABB –4 ~ 5 ~ 5 ~ ~
65
136
10. h = 19
6. (a) 3i + 10j (b) 7i + 2j 2
~ ~ ~ ~
(c) 11i + 5j 11. (a) 9m – 6n (b) 6m + 2n
~ ~ ~ ~ ~ ~
9
18
7. (a) 8i – 21j (b) –5i + 19j 12. —–x + —y
~ ~ ~ ~ 5 5
(c) –3i + 2j →
~ ~ 13. (a) a + b – c + d (b) QS
8. (a) –16i + 40j (b) –6i + 15j ~ ~ ~ ~
3
~ ~ ~ ~ —
10 25 5
(c) – —–i + —–j
3 ~ 3 ~ 14. (a) — (b) 18
4
5
247
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
15. q = 8 – 3p 8 2
(b) m = — , n = —
16. a = 1, b = 3 9 3
1 11. (a) (i) 40v – 16u (ii) 12u + 10v
17. (a) 9i + 12j (b) —(3i + 4j) ~ ~ ~ ~
~ ~ 5 ~ ~ (b) 2 : 1
12
18. (a) 1 11 2 (b) —– 12. (a) (i) 12q – 4p (ii) 4p + 24q
–13 13 (b) — ~ ~ ~ ~
2
–1
19. 1 2 3
–2
1
2 13. (a) (–2, –3) (b) ——– 1 2
21 5 9 ABB –3
13
20. (a) i – 6j (b) i + — j (c) —
~ ~ 4 ~ 2 ~ 2
21. (a) 7i + 7j (b) (b) 5i + 15j 14. (a) (i) –3i + 6j (ii) 9i + 11j
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
(b) 13 unit
22. (a) 5i + (3 + h)j (b) h = –15, 9
~ ~ 15. (a) 3 p + q (b) (0.2, 4.4)
2
23. m = 2, k = 21 5 5
2
16. (a) 1 kali
6
24. (a) 1 2 (b) –6i + 11j 3 5i – j
4 ~ ~ ~ ~
(b) (i) 5i – j (i) ———–
~ ~
ABB
7
7
1
25. (a) 1 2 (b) ——– 1 2 17. (a) 1.970 m s pada bearing 023°58ʹ 26
ABB 5
5
–1
74
(b) 2.154 m s pada bearing 338°12ʹ
–1
→
26. (a) 6.71 unit (b) OA = q – p 18. 107.16
~ ~
19. (a) (i) Kapal P: (62, – 44), kapal Q: (51, 21)
27. 12i + j
~ ~ (ii) 65.92 km
(b) (–11i + 65j) km j –1
28. (a) 8i + 17j (b) 1 –11 2 ~ ~
~ ~ –13
Kertas 2 Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga
1. (a) (i) 4v (ii) 2u – 4v
~ ~ ~
(iii) –2u
~ Cuba ini! 9.1
(b) –2u + 28v
~ ~ 1. Kenyataan Rajan tidak benar. Sepatutnya a = a .
6 3 sin A sin B
2. (a) m = —, n = — (b) 3 : 4
7 7 q r sin Q sin R
2. (a) = atau =
3. (a) (i) 6y – 3x (ii) x + 6y sin Q sin R q r
~ ~ ~ ~ m n sin M sin N
1 (b) = atau =
(b) — sin M sin N m n
3 8 6 sin q sin a
4. (a) 6y – 5x (b) 3.2 unit (c) sin q = sin a atau 8 = 6
~ ~ 24 11 sin 106° sin 37°
1 (d) = atau =
5. (a) (i) –2i – 3j (ii) –—–(–2i – 3j) sin 106° sin 37° 24 11
~ ~ ~ ~
13
16
(b) – —– 3. (a) 4.50 cm (b) 4.79 cm
3
3 4. (a) 13.08 cm (b) 18.24 cm
6. (a) (i) p – 8q (ii) —p + 2q
~ ~ 4 ~ ~ 5. (a) 42.75° (b) 32.91 cm
3
1
(b) m = – —, n = – —
2 2 6. (a) 19.74° (b) 28.26°
(c) 7.008 cm
20 15
7. (a) (i) —–x – 8y (ii) —–x + 2y
3 ~ ~ 2 ~ ~ 7. PR = 20.71 cm
8 9 8. (a) Kes berambiguiti wujud.
(b) m = —–, n = —–
11 11
A
(c) 43.08 unit
8. (a) 10x + 4y 26 cm
~ ~ 14 cm
9
(b) (i) 9x + 4ky (ii) —– 14 cm
~ ~ 10
25°
15
9. (a) (i) 25q – 30p (ii) 36p – —–q
~ ~ ~ 2 ~ B C’ C
(c) 141.5 unit
9 (b) Kes berambiguiti tidak wujud.
10. (a) (i) 8y – 6x (ii) —x + 2y (c) Kes berambiguiti tidak wujud.
~ ~ 2 ~ ~
(d) Kes berambiguiti wujud.
248
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
B 6. (a) 54.90° (b) 18.33 cm 2
7. (a) 7.043 cm
(b) (i) K
32 cm 15 cm
15 cm 13.2 cm 76°
K’
32°
C A’ A L
M
9. 56.13° atau 123.87°
(ii) 33.46 cm 2
10. 10.55 cm atau 4.188 cm
2
8. 120.9 cm
11. 29.12 cm atau 23.19 cm
9. (a) 7.924 cm (b) 49.70 cm 2
12. (a) 8.971 cm (b) 7.722 cm
10. (a) 31.42 cm (b) 7.546 cm
2
13. (a) 117.82° (b) 8.675 cm 11. (a) 15.57 cm (b) 135.01°
14. (a) 4.732 cm (b) 11.20 cm (c) 149.2 cm 2
15. (a) 12.35 cm (b) 5.282 cm
Cuba ini! 9.4
16. 6.375 km
1. 52.34 cm
2
17. 10.07 m
2. (a) 5.779 cm (b) 28.50 cm
18. 230.07 m (c) 19.50°
19. 194.52 m 3. (a) 43.69° (b) 13.14 cm
Cuba ini! 9.2 4. (a) 12 cm (b) 25.92 cm
(c) 25.23°
1. (a) p = q + r – 2qr kos a
2
2
2
(b) AB = AC + BC – 2(AC)(BC) kos C 5. 7.789 cm
2
2
2
(c) a = b + c – 2bc kos 59° 6. (a) 8.89 cm (b) 55.56 cm 2
2
2
2
(d) 11 = 5 + 7 –2(5)(7) kos A 7. (a) (i) 11.87 cm
2
2
2
2. (a) 6.911 cm (ii) 3.21 cm
(b) 15.06 cm (iii) 26.44 cm 2
(c) 15.77 cm (b) (i) R
3. (a) 96.67° 31° T’
(b) 24.72°
(c) 72.59°
4. ∠B = 28.45° 104° T
6.3 cm
5. (a) 114.84° (b) 44.61° S
(ii) 14°
6. (a) 10 cm (b) 53.58°
8. (a) 62.06° (b) 70.65°
7. 28 cm 2
(c) 102.5 cm
8. 10.27 cm 9. (a) 64.76° (b) 71.57°
9. 8.905 cm (c) 50.60 cm 2
10. (a) 7.617 m (b) 27.72 m 10. (a) 9.922 cm (b) 23.26°
(c) 32.54°
11. (a) 53.87° (b) 7.57 cm
12. 110.6 m
Praktis SPM 9
13. 133.26 m
14. 28.96° , 104.48° Kertas 2
1. (a) 15.56° (b) 17.26 cm
15. (a) 109.52 km (b) 19.75°
2. (a) 51.15° (b) 10.29 cm
Cuba ini! 9.3 (c) 11.44 cm
2
1. (a) (i) 32.82 cm (ii) 10.36 cm 3. (a) 71.79° (b) 17.86 cm
2
2
(ii) 21.06 m (iv) 69.84 cm 4. (a) 67.98° (b) 7.029 cm
2
2
(b) 8.052 cm (c) 111.4 cm
2
2. (a) 10.12 cm (b) 67.53 cm 2 5. (a) 11.44 cm (b) 109.2°
2
(c) 44.52 cm (d) 12.77 cm 2 (c) 23.04 cm 2
2
(e) 18.88 cm
2
6. (a) 34.86 cm (b) 290.0 cm 2
3. 25° 7. (a) (i) 14.11 cm
4. 12.47 cm (ii) 10.47 cm
(iii) 73.46°
5. 141.26°
249
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
(b) (i) 9. (a) 57.89
A
(b) Harga kereta telah menyusut sebanyak 42.11% dari
tahun 2015 ke tahun 2018.
10. (a) 64 (b) 32%
A’
11. (a) 142.2 (b) 148.4
12. RM1.35
42°
13. RM1.68
B 15 cm C
14. (a) RM1.65 (b) 2.48
(ii) 40.98 cm 15. (a) 250 (b) 60
2
8. (a) (i) 13.16 cm 16. (a) RM300 (b) RM750
(ii) 128.25° 17. x = 150, y = 0.60, z = 1.80
2
(iii) 95.35 cm
(b) (i) S, S’ Cuba ini! 10.2
1. (a) 101.89 (b) Meningkat 1.89%
8.2 cm 54° R 2. (a) 121 (b) Meningkat 21%
8.2 cm 3. 133
81° 11.5 cm 4. 126.3
P’
P
6.4 cm Q, Q’ 5. 120
(ii) 51.75° 6. (a) 114.5
(b) Harga biskut telah meningkat sebanyak 14.5%.
9. (a) 46.10 cm (b) 42.68°
2
7. 119
10. (a) 112° (b) 9.953 cm
(c) 29.3 cm 2 8. (a) 107
(b) Meningkat sebanyak 7%
11. (a) 79.39° (b) 42.67 cm
2
12. (a) (i) 11.90 cm 9. 2
(ii) 50.83° 10. 4
(b) (i) 21.97 cm
2
(ii) 3.692 cm 11. 5
13. (a) (i) 58.57° 12. 107
(ii) 9.586 cm 13. 125
2
(iii) 9.574 cm
14. 152
(b) (i)
D 15. (a) k = 150, m = 120, n = 300
8.6 cm 108° (b) 146.7
16. (a) 118.75 (b) 103
58.5°
E C’ C 17. (a) 133.5
(b) RM4 672.50
(ii) 121.43° (c) 110.6
18. (a) 106.9
(b) (i) RM3 025
Bab (ii) 116.13
10 Nombor Indeks
19. (a) 122.9
(b) RM1 475
Cuba ini! 10.1 (c) 149.5
1. 120 20. (a) 119.1
(b) RM35.74
2. 200 (c) 136.08
3. 80
4. 2 400 Praktis SPM 10
5. 70
Kertas 2
6. (a) 83 (b) 125
1. (a) x = 125, y = 143, z = 80
7. (a) 140 (b) Meningkat 40% (b) h = 35, 132.75
8. (a) 1 200 (c) RM531
(b) Harga semangkuk mi pada tahun 1998 adalah 12 (d) 159.3
kali harga semangkuk mi pada tahun 1968. Harga 2. (a) 150
semangkuk mi telah meningkat sebanyak 1 200% dari (b) (i) 120
tahun 1968 hingga tahun 1998. (ii) RM9.69
250
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
3. (a) (i) 116
KERTAS MODEL PRA-SPM
(ii) 3 150 KERTAS MODEL PRA-SPM
(iii) 2 500
(b) 2
(c) RM13 800 Kertas 1
(d) 115 1. (a) Banyak kepada satu
4. (a) RM60 (b) 0 , f(x) , 5
(b) 2. h = 4
P 143 k – 2
x
Q 150 3. g(x) = 2 – 7
R 133 4. (a) 0 < x < 10
S 138 5
(b) p = 6, q = 6
(c) (i) 142.1 5. x , – 5 , x . 1
3
(ii) RM80.00 6. (a) k = 5
5. (a) x = 2.50, y = 110 (b) k = 3
(b) 136 2
(c) (i) 163.2 7. (a) h = 3 (b) y = 9
(ii) RM40.80 (c) x , –2, x . 8
8. (a) f(x) = –(x – 5) + n + 25
2
6. (a) x = 20.00, y = 140 (b) n = –18
(b) 131
(c) RM314.40 9. 12 2 – 17
7. (a) 2.00 10. y = 3x – 5
(b) y = 1.10, z = 1.32 11. x = 7
(c) (i) RM5.50 m 3
(ii) 5 12. n – 1
8. (a) x = 8.00, y = 9.00, z = 105 13. p = 5k + 9
(b) (i) 114 14. h = 7 4
(ii) RM45.00 9
(c) 131.1 15. 18 tahun
9. (a) x = 120, y = 2.80, z = 8.00 16. 15.2 cm
(b) 133.50 1 1
(c) RM160.80 17. (a) y = k 1 2 – 6
x
(d) RM146.85 5
(b) (i) k =
10. (a) RM2 050 3
(b) 120.56 (ii) (10, 0)
(c) RM14 467.20 2x
(d) 135.33 18. y = 8 – x
11. (a) (i) RM2.08
(ii) RM1.65 19. Garis lurus AB tidak berserenjang dengan garis lurus CD.
(b) 130 20. h = 2, k = 5
(c) 121.80 21. p = 7
(d) RM30.45
22. x + y + 6x – 4y – 12 = 0
2
2
12. (a) RM13.50
(b) 47% 23. k = h
(c) (i) 124.20 h – 20
(ii) RM74.52 24. (a) –14x
~
13. (a) (i) 110 (b) –14x + 20y ~
~
(ii) RM15.75
6
(b) (i) 5 25. p = 1 2
(ii) RM84.00 –8
14. (a) (i) 110
(ii) 4.00 Kertas 2
(b) 126 1. x = – 4, y = – 4; x = 4.571, y = 1.714
(c) (i) 105 2. (a) h = 6, k = 36
(ii) 45 tin (b) x – 9x + 14 = 0
2
15. (a) RM9.10 (b) RM36 000 3. (a) y = – 1 x + 5
(c) Meningkat 97.6% 2
16. (a) 118.75 (b) 103 (b) (–8, 9)
(c) 25 km 2
17. (a) x = 3.60, y = 120, z = 2.50
2
(b) (i) 124.44 (ii) RM6 830.60 4. (a) (i) f(x) = –(x – 5) + r + 25
(c) 161.77 (ii) (1) p = –5 (2) k = 5, –5
(b) r , –25
251
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Jawapan
5. (a) Janjang aritmetik (b) (i) 1 = 0.14, y = 7.143
5 y
(b)
3 (ii) k = 20
(c) 320 cm (iii) p = –3
6. (a) f (x) = 3x – 15 12. (a) p = 110, q = 60, r = 25
–1
2 (b) 122.9
(b) a = , k = –18
3 (c) RM737 400
(c) gf(x) = 2 x – 8 (d) 132.73
3
13. (a) 12.83 cm 2
7. (a) 5.94 (b) 29.5°
8x + 32 (c) 35.48 cm 2
(b) y = 3
x 3 14. (a) (i) 117.28°
(c) x = 1.511 (ii) 11.4 cm
(b) 80.94°
8. Nasi lemak = RM4.50, mi goreng = RM5.00,
nasi ayam = RM6.00 S
9. (a) y = 1 x – 2
3
1
(b) 0, 4 2
3
2
2
(c) 3x + 3y + 50x + 2y – 18 = 0
10. (a) (i) – 4x + 16y
~ ~
15
(ii) x + 4y P
2 ~ ~ Q R T
8 2
(b) h = , k = 15. (a) RM380
17 17
(b) 150
11. (a) (c) RM43.20
(d) 149.75
1
—
y
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 x
1 2 3 4 5 6 7
–0.1
–0.2
–0.3
–0.4
252
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
FOCUS KSSM TG 4 MATEMATIK TAMBAHAN
- 1 - 49
Pages: