Module & More Matematik Tambahan Tingkatan 5

TINGKATAN KSSM MoRE MoRE ModulE ModulE && Bonus Digital Lembaran PBD dengan Jawapan Terkini SPM Format Eksklusif Eksklusif PELANGI ONLINE TEST https://qr.pelangibooks.com/?u=POTMT5 PELANGI BESTSELLER Pembelajaran BERPANDU dan SISTEMATIK MATEMATIK TAMBAHAN Additional Mathematics DWIBAHASA Dr. Pauline Wong Mee Kiong (Penulis Buku Teks) Praktis Ekstra SPM Kod QR Lembaran PBD Kod QR Jawapan Kod QR i-THINK/KBAT Klu Soalan Praktis SPM Studi 1 Minit Latihan modular

iii Bab 1 Sukatan Membulat 1 Circular Measure 1.1 Radian ............................................................................... 1 Radian 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan .................................... 3 Arc Length of a Circle 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan ............................................ 10 Area of Sector of a Circle 1.4 Aplikasi Sukatan Membulat .......................................... 16 Application of Circular Measures Praktis SPM 1 .......................................................................... 18 Praktis Ekstra SPM 1 Kod QR .......................................... 18 Sudut KBAT ............................................................................ 21 ........................................................................................ 21 Bab 2 Pembezaan 22 Differentiation 2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan ...............22 Limit and its Relation to Differentiation 2.2 Pembezaan Peringkat Pertama ..................................... 25 The First Derivative 2.3 Pembezaan Peringkat Kedua ........................................ 33 The Second Derivative 2.4 Aplikasi Pembezaan ....................................................... 36 Application of Differentiation Praktis SPM 2 .......................................................................... 52 Praktis Ekstra SPM 2 Kod QR ...........................................52 Sudut KBAT ............................................................................ 54 ......................................................................................... 54 Bab 3 Pengamiran 55 Integration 3.1 Pengamiran Sebagai Songsangan Pembezaan ............ 55 Integration as the Inverse of Differentiation 3.2 Kamiran Tak Tentu ........................................................ 57 Indefinite Integral 3.3 Kamiran Tentu ............................................................... 61 Definite Integral 3.4 Aplikasi Pengamiran ..................................................... 75 Application of Integration Praktis SPM 3 .......................................................................... 77 Praktis Ekstra SPM 3 Kod QR .......................................... 77 Sudut KBAT ............................................................................ 81 ......................................................................................... 81 Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan 82 Permutation and Combination 4.1 Pilih Atur ......................................................................... 82 Permutation 4.2 Gabungan ........................................................................ 91 Combination Praktis SPM 4 .......................................................................... 96 Praktis Ekstra SPM 4 Kod QR .......................................... 96 Sudut KBAT ............................................................................ 96 ........................................................................................ 96 Kandungan Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

iv Bab 5 Taburan Kebarangkalian 97 Probability Distribution 5.1 Pemboleh Ubah Rawak ................................................. 97 Random Variable 5.2 Taburan Binomial ........................................................ 104 Binomial Distribution 5.3 Taburan Normal ........................................................... 110 Normal Distribution Praktis SPM 5 ........................................................................ 117 Praktis Ekstra SPM 5 Kod QR ........................................ 117 Sudut KBAT .......................................................................... 120 ...................................................................................... 120 Bab 6 Fungsi Trigonometri 121 Trigonometric Functions 6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif ................................. 121 Positive Angles and Negative Angles 6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut .............. 124 Trigonometric Ratios of any Angle 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen .....................131 Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions 6.4 Identiti Asas .................................................................. 139 Basic Identities 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda ...... ..........................................................................................142 Addition Formulae and Double Angle Formulae 6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri .................................... 146 Application of Trigonometric Functions Praktis SPM 6 ........................................................................ 154 Praktis Ekstra SPM 6 Kod QR ........................................ 154 Sudut KBAT .......................................................................... 156 ....................................................................................... 156 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 157 Linear Programming 7.1 Model Pengaturcaraan Linear .................................... 157 Linear Programming Model 7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear ................................. 161 Application of Linear Programming Praktis SPM 7 ........................................................................ 168 Praktis Ekstra SPM 7 Kod QR ......................................... 168 Sudut KBAT .......................................................................... 171 ....................................................................................... 171 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 172 Kinematics of Linear Motion 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa .... 172 Displacement, Velocity and Acceleration as a Function of Time 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear ............... ..........................................................................................180 Differentiation in Kinematics of Linear Motion 8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear .............. ......................................................................................... 183 Integration in Kinematics of Linear Motion 8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear .......................... 188 Applications of Kinematics of Linear Motion Praktis SPM 8......................................................................... 191 Praktis Ekstra SPM 8 Kod QR ........................................ 191 Sudut KBAT .......................................................................... 193 ....................................................................................... 193 Kertas Pra-SPM..................................................................... 194 Jawapan http://www.epelangi.com/Module&More2021/ MatematikTambahan/T5/JawapanKeseluruhan.pdf Lembaran PBD dan Jawapan http://www.epelangi.com/Module&More2021/ MatematikTambahan/T5/LembaranPBD.pdf Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

BAB 1 1 1. Sudut boleh diukur dalam darjah dan minit atau radian (rad). Angle can be measured in degrees and minutes or in radians (rad). 2. Sudut yang dicangkum pada pusat bulatan oleh lengkok yang sama panjang dengan jejarinya ditakrifkan sebagai 1 radian. Lihat contoh dalam rajah. The angle subtended at the centre of the circle by the arc length which is the same length as the radius is defined as 1 radian. 1 rad j j O j 2 rad 2j j j O 3. Apabila panjang lilitan ialah 2πj, maka sudut yang tercangkum ialah 2π radian. When the circumference is 2pj, then the subtended angle is 2p radian. 4. Diketahui bahawa sudut bulatan ialah 360°, maka 2π radian adalah setara dengan 360°. It is known that the angle of a circle is 360° , then 2π radian is equivalent to 360°. 5. Secara am, kita boleh menulis q 360° = q rad 2π rad atau q° = q rad × 180° π rad dan q rad = π × q° 180° . In general, we can write q 360° = q rad 2π rad or q° = q rad × 180° π rad and q rad = π × q° 180° . 1. Padankan setiap yang berikut kepada radian. TP1 Map each of the following to radians. Sudut dalam darjah dan minit Angles in degrees and minutes Sudut dalam radian Angles in radians 319° 14’ Penyelesaian Gunakan/ Use q° 360° = q rad 2π rad 319°14’ 360° = q rad 2π rad q = 319°14’ × 2π 360° = 5.5717 rad 5.5717 rad (a) 143°22’ 4.4872 rad (b) 257°6’ 2.5022 rad (c) 27°54’ 2.6791 rad (d) 103.58° 0.4869 rad (e) 153.5° 1.8078 rad CONTOH Bab 1 Sukatan Membulat Circular Measure Tip Penting Boleh diringkaskan kepada Can be simplified to q = q°π 180° Radian Radian 1.1 STUDI 1 Minit Buku Teks: 2 – 4 Analisis Soalan SPM 2021 Kertas 1 Kertas 2 S2 S5(a) Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 2 2. Tukarkan setiap yang berikut kepada darjah dan minit. TP1 Convert each of the following into degree and minutes. (a) 5 3π rad θ° 360° = 5 3π rad 2π rad θ° = 360° × 5 3π 2π = 300° (b) 2 9 rad θ° 360° = 2 9 rad 2π rad θ° = 360° × 2 9 2π = 12.73° atau/or 12°44’ (c) 2.15 rad θ° 360° = 2.15 rad 2π rad θ° = 360° × 2.15 2π = 123.19° atau/or 123°11’ (d) 0.7π rad θ° 360° = 0.7π rad 2π rad θ° = 360° × 0.7π 2π = 126° (e) 5 4 π rad θ° 360° = 5p 4 rad 2π rad θ° = 360° × 5p 4 2π = 225° CONTOH 2.2 rad Penyelesaian: Gunakan/Use θ° 360° = θ rad 2π rad θ° 360° = 2.2 rad 2π rad θ = 2.2 × 360° 2π = 126°3’ atau/or 126.05° Tip Penting Boleh diringkaskan kepada Can be simplified to q° = 180° π Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 3 CONTOH Panjang Lengkok Suatu Bulatan Arc Length of a Circle 1.2 Buku Teks: 5 – 11 STUDI 1 Minit 1. Panjang lengkok, s, suatu bulatan berkadaran dengan sudut yang tercangkum di pusat bulatan. Maka, semakin besar sudut yang dicangkum, semakin besar panjang lengkok. The arc length, s, of a circle is directly proportional to the size of the angle subtended at the centre of the circle. Hence, the bigger the angle, the longer the arc length. 2. Secara am, kita boleh tulis seperti yang berikut. In general, we can write as follows. q° 360° = q rad 2π rad = panjang lengkok (arc length) panjang lilitan (circumference) dengan panjang lilitan = 2πj dan jejari ialah j. where the circumference = 2πj and the radius is j. 3. Pasangan yang digunakan untuk menyelesaikan masalah bergantung kepada sudut yang diberi dalam darjah atau radian. The pair to solve a problem will depend on whether the angle given is in degrees or radians. 4. Jika sudut θ ialah dalam radian, panjang lengkok boleh diberi oleh s = jθ. If the angle θ is in radians, the arc length can be given by s = jθ. 5. Panjang lengkok major adalah lebih panjang daripada panjang lengkok minor. The major arc length is longer than the minor arc length. 6. Kawasan berlorek yang dibatasi oleh lengkok AB dan perentas AB dinamakan tembereng bulatan. The region bounded by the arc length AB and the chord AB is called a segment. O j θ A B 7. Perentas AB dapat diperolehi dengan petua kosinus, AB = j 2 + j2 − 2j 2 kosθ dengan θ dalam darjah atau AB = 2j sin θ 2 The chord AB can be obtained by using cosine rule, AB = j 2 + j2 − 2j2 cosθ with the angle θ is in degrees or AB = 2j sin θ 2 . 3. Tentukan panjang lengkok, s bagi setiap bulatan yang diberi. TP1 Determine the arc length, s for each of the following given circles. Penyelesaian: Oleh kerana sudut ialah dalam radian, kita pilih Since the angle is in radian, we choose θ rad 2π rad = panjang lengkok, s/ arc length, s 2πj 1.2 rad 2π rad = panjang lengkok, s/ arc length, s 2π(3.2 cm) Panjang lengkok, s Arc length, s = 1.2 rad × 2π(3.2 cm) 2π rad = 3.84 cm (a) 0.8 rad 2π rad = s 2π(7.4 cm) Panjang lengkok, s Arc length, s = 0.8 rad × 2π(7.4 cm) 2π rad = 5.92 cm s O A B 1.2 rad 3.2 cm O A B s 0.8 rad 7.4 cm Kaedah Alternatif Guna/Use AB = jθ = 3.2(1.2) = 3.84 cm Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 4 (b) 0.5π rad 2π rad = s 2π(4.5 cm) Panjang lengkok, s Arc length, s = 0.5π rad × 2π(4.5 cm) 2π rad = 7.07 cm (c) Sudut yang dicangkum = 360° – 125° = 235° Angle subtended 235° 360° = s 2π(10.2 cm) Panjang lengkok, s Arc length, s = 235° × 2π(10.2 cm) 360° = 41.84 cm (d) Sudut yang dicangkum = (2π − 1.3) rad Angle subtended (2π – 1.3) rad 2π rad = s 2π(20.5 cm) Panjang lengkok, s Arc length, s = (2π – 1.3) rad × 2π(20.5 cm) 2π rad = 102.16 cm (e) Sudut yang dicangkum = (2π − 4.5) rad Angle subtended (2π – 4.5) rad 2π rad = s 2π(8.4 cm) Panjang lengkok, s Arc length, s = (2π – 4.5) rad × 2π(8.4 cm) 2π rad = 15 cm O s 4.5 cm 0.5fi rad B A O A B s 125fi 10.2 cm 1.3 rad 20.5 cm O A B s 4.5 rad 8.4 cm O A B s Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 5 CONTOH 4. Tentukan jejari bulatan, j dengan diberikan panjang lengkok, s dan sudut bagi setiap bulatan yang berikut. Determine the radius, j of the circle given the arc length, s and the angle of each of the following circles. TP2 Penyelesaian: Oleh kerana sudut ialah dalam radian, kita pilih Since the angle is in radian, we choose θ rad 2π rad = panjang lengkok, s / arc length, s 2πj Apabila diringkaskan, kita dapat When simplified, we get j = s θ = 8.4 1.4 = 6 cm (a) 204° 360° = s 2πj j = 20.3 × 360° 204° × 2π = 5.7 cm (b) j = 14.5 2π – 1.6 = 3.1 cm (c) j = 11.5 2π – 0.8π = 3.05 cm (d) 360° – 105° 360° = s 2πj j = 14.2 × 360° 255° × 2π = 3.19 cm (e) j = 3 2π – 3 4 π = 0.76 cm 1.4 rad 8.4 cm O j A B O j 204fi 20.3 cm 1.6 rad 14.5 cm O j 0.8fi rad 11.5 cm O j 105fi 14.2 cm O j 3 cm fi rad 3 4 O j Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 6 CONTOH 5. Tentukan sudut tercangkum, θ dalam radian, di pusat bulatan dengan diberikan jejari bulatan, j dan panjang lengkok, s bagi setiap bulatan yang berikut. TP3 Determine the angle subtended, θ in radians, at the centre of the circle given the radius, j and the arc length, s for each of the following circles. Penyelesaian: θ rad 2π rad = panjang lengkok, s / arc length, s 2πj Ini boleh dringkaskan kepada This can be simplified into θ = s j (2π – θ)= 9.8 4.4 θ = 4.06 rad (a) (2π – θ) = 7.2 6.1 θ = 5.1 rad (b) (2π – θ) = 4.8 3.2 θ = 4.78 rad (c) (2π – 2θ) = 2.8 1.8 θ = 2.36 rad (d) (2π – θ) 3 = 3.2 2.5 θ = 2.44 rad (e) 2πj = 6.3 + 8.2 + 11.4 j = 4.12 cm θ = 11.4 4.12 = 2.77 rad Q O fi 4.4 cm 9.8 cm P fi 6.1 cm 7.2 cm O 4.8 cm O 3.2 cm fi = = fi 1.8 cm 2.8 cm O = = = O 2.5 cm 3.2 cm fi fi 8.2 cm 11.4 cm 6.3 cm O Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 7 CONTOH 6. Tentukan perimeter tembereng bagi setiap bulatan berpusat O yang berikut. TP4 Determine the perimeter of the segment of each of the following circles with centre O. Penyelesaian: Perentas PQ dapat diperoleh dengan petua kosinus, iaitu PQ = j 2 + j 2 − 2j 2 kos θ , dengan θ dalam darjah. The length of the chord PQ can be obtained by using the cosine rule, that is PQ = j2 + j2 − 2j2 cos θ , such that θ is in degrees. 2 rad = 2 × 360° 2π = 114.59° Maka/Hence, PQ = 6.22 + 6.22 − 2(6.2)2 kos 114.59° = 10.43 cm Panjang lengkok PQ = jθ = 6.2(2) Arc length PQ = 12.4 cm Perimeter = (12.4 + 10.43) cm = 22.83 cm (a) 0.4π rad = 0.4π × 360° 2π = 72° Maka/Hence, PQ = 9.62 + 9.62 − 2(9.6)2 kos72° = 11.28 cm Panjang lengkok PQ = jθ Arc length PQ = 9.6(0.4π) = 12.06 cm Perimeter = (12.06 + 11.28) cm = 23.34 cm (b) Panjang lengkok minor PQ = 2π(8) – 30 Minor arc length PQ = 20.27 cm ∠POQ = 20.27 8 = 2.53 rad = 145.14° Maka, PQ = 82 + 82 −2(8)2 kos145.14° = 15.27 cm Perimeter = 15.27 + 20.27 Hence = 35.54 cm (c) Panjang lengkok minor PQ = 2π(3) – 4.5(3) Minor arc length PQ = 5.35 cm ∠POQ = 2π − 4.5 = 1.78 rad = 102.17° Maka, PQ = 32 + 32 − 2(3)2 kos102.17° Hence = 4.67 cm Perimeter = 5.35 cm + 4.67 cm = 10.02 cm 2 rad O Q P 6.2 cm Q P O 0.4fi rad 9.6 cm O P Q 8 cm 30 cm 4.5 rad P 3 cm Q O Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 8 CONTOH (d) ∠POQ = 150° Panjang jejari/Arc length, j = (7.3 × 360°) (210 × 2π) = 1.99 cm Maka/Hence, PQ = 1.992 + 1.992 − 2(1.99)2 kos150° = 3.84 cm Panjang lengkok = 150° 360° × 2π(1.99) Arc length = 5.2 cm Perimeter = 5.2 cm + 3.84 cm = 9.04 cm (e) Panjang lengkok PQR = 2π(5.3) − 5.3(1.4π) Arc length PQR = 10 cm ∠POQ = (2π − 1.4π) ÷ 2 = 0.3π = 54° Panjang perentas PQ Length of chord PQ = 5.32 + 5.32 − 2(5.3)2 kos 54° = 4.81 cm Perimeter = (4.81 × 2 + 10) cm = 19.62 cm 7. Selesaikan masalah yang melibatkan panjang lengkok. TP4 Solve the problems involving the arc lengths. Rajah di atas menunjukkan dua bulatan berpusat O dan masing-masing mempunyai jejari 8 cm dan 14 cm. Cari perimeter rantau berlorek itu. The diagram above shows two circles with centre O and with radii 8 cm and 14 cm respectively. Find the perimeter of the shaded region. Penyelesaian: ∠POQ = s j = 4.7 14 = 0.336 rad Panjang lengkok AB Arc length AB = 8(0.336) = 2.69 cm Perimeter = 2.69 + 6(2) + 4.7 = 19.39 cm (a) Rajah di atas menunjukkan sebuah sektor AOB berpusat O dan mempunyai jejari 9.2 cm. Cari perimeter rantau berlorek itu. The diagram above shows a sector AOB with centre O and radius 9.2 cm. Find the perimeter of the shaded region. 0.7 rad = 0.7 × 360° 2π = 40.1° sin 40.1° = AD 9.2 AD = 5.93 cm OD = 9.22 − 5.932 = 7.03cm Panjang lengkok = 9.2 × 0.7 Arc length = 6.44 cm Perimeter = 5.93 + 6.44 + (9.2 – 7.03) = 14.54 cm O P Q fi 12 rad 7.3 cm P O R Q = = 5.3 cm 1.4fi rad P Q O A B 4.7 cm O 0.7 rad D B A 9.2 cm Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 9 (b) Rajah di atas menunjukkan dua sektor, POQ dan MON. M ialah titik tengah OP. Ungkapkan α dalam sebutan θ jika perimeter MPQR dan ORN adalah sama. The diagram above shows two sectors, POQ and MON. M is the midpoint of OP. Express α in terms of θ if the perimeters of MPQR and ORN are the same. Katakan OM = j cm Let Maka, jθ + 2j + 2jθ = 2j + jα Hence, α = 3θ (c) Rajah di atas menunjukkan dua sektor, AOB dan APB. Diberi nisbah jejari OA kepada PA ialah 3 : 1, AP = 2 cm dan perimeter rantau berlorek ialah 10 cm. The diagram above shows two sectors, AOB and APB. Given that the ratio of radius OA to PA is 3 : 1, AP = 2 cm and the perimeter of the shaded region is 10 cm. (i) Tunjukkan bahawa θ = (5 − 3a) rad. Show that θ = (5 − 3a) rad. (ii) Jika a = 30°, cari nilai θ, dalam radian. If a = 30°, find the value of θ, in radians. (i) Diberi AP = 2 cm, maka OA = 6 cm Given hence 6a + 2θ = 10 θ = 5 − 3a (ii) a = 30° = π 6 rad θ = 5 − 3 π 6  = 3.43 rad (d) Rajah di atas menunjukkan satu semibulatan berpusat O dan satu sektor berpusat P dan ∠APB = π 3 . Cari jejari PA jika perimeter rantau berlorek ialah 35π 6 cm. The diagram above shows a semicircle with centre O and a sector with centre P and ∠APB = π 3. Find the radius PA if the perimeter of the shaded region is 35π 6 cm. π 3 = 60° Maka, AP = AB = j. Hence (e) Rajah di atas menunjukkan sektor KOL berpusat O dan MLN berpusat L. Diberi bahawa OM = ML = 5 cm, dan ∠MON = π 4 rad, cari perimeter rantau berlorek itu. The diagram above shows sector KOL with centre O and sector MLN with centre L. Given that OM = ML = 5 cm, and ∠MON = π 4 rad, find the perimeter of the shaded region. Perimeter = OM + ON + panjang lengkok/arc length MN + MK + panjang lengkok/ arc length KL + ML = 5 + (5 2 − 5) + 5 π 4  + (5 2 − 5) + 5 2 π 4  + 5 = 23.62 cm fi ff R Q O M P N P A B O fi ff - fi 3 O A B P C O N L K M fi 4 = = OA = j 2 = 35π 6 = πj 3 + πj 2 j = 7 cm Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 10 CONTOH Luas Sektor Suatu Bulatan Area of Sector of a Circle 1.3 Buku Teks: 12 – 19 STUDI 1 Minit 1. Didapati bahawa luas sektor AOB bagi suatu bulatan adalah berkadaran dengan saiz sudut, θ rad yang tercangkum di pusat. It is known that the area of the sector AOB of a circle is proportional to the size of the angle, θ rad which is subtended at the centre. Maka, luas sektor Hence, the area of a sector = θ 2π × πj 2 = θ 2 j 2 2. Jika diungkapkan dalam nisbah, kita dapat luas sektor luas bulatan = θ 2π = q° 360° If expressed in the ratio form, we get area of sector area of circle = θ 2π = θ° 360° 3. Luas tembereng/Area of a segment = luas sektor – luas segi tiga area of sector − area of triangle = θ 2 j 2 – 1 2 j 2 sin θ 4. Dari apa yang telah dipelajari, hubungan secara am antara sudut, panjang lengkok dan luas sektor adalah seperti berikut. From the earlier studies, the general relationship between the angles, arc length and the area of sector are as follows. q° 360° = q rad 2π rad = panjang lengkok, s 2πj = luas sektor luas bulatan θ° 360° = θ rad 2π rad = arc length, s 2πj = area of sector area of circle 8. Tentukan luas sektor bagi setiap bulatan yang berikut. Berikan jawapan anda kepada dua tempat perpuluhan. Determine the area of the sector for each of the following circles. Give your answer to two decimal places. TP3 Penyelesaian: Sudut yang tercangkum = (2π – 2.3) rad Angle subtended Maka, luas =  2π – 2.3 2 (6)2 = 71.70 cm2 Hence, the area (a) Sudut yang tercangkum = 5 6 π rad Angle subtended Maka, luas = 5 6 π 2 (3.5)2 = 16.04 cm2 Hence, the area O A j θ B O A B j θ O Q P 2.3 rad 6 cm O P Q 3.5 cm 5 6 fi rad Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 11 (b) AOB ialah diameter dan panjangnya ialah 10.4 cm, ∠AOC = 2∠BOC. AOB is the diameter and the length is 10.4 cm, ∠AOC = 2∠BOC. Sudut yang tercangkum = 2 3 π rad Angle subtended Maka, luas =  2 3 π 2 ( 5.2)2 Hence, the area = 28.32 cm2 (c) Sudut yang tercangkum = (360 – 215)° Angle subtended = 145° Maka, luas = 145° 360° × π × ( 7.8)2 Hence, the area = 76.98 cm2 (d) Sudut yang tercangkum = 6 2.5 = 2.4 rad Angle subtended Maka, luas = 2.4 2 × (2.5)2 = 7.50 cm2 Hence, the area (e) Jejari sektor = 10 3π 5 Radius of the sector = 50 3π cm Maka, luas =  3 5 π 2  50 3π  2 Hence, the area = 26.53 cm2 O A B C P Q O 7.8 cm 215fi O B A 2.5 cm 6 cm 10 cm 3 5 fi rad B O A Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 12 CONTOH 9. Tentukan jejari bagi sektor bulatan yang berikut. Beri jawapan kepada dua tempat perpuluhan. TP4 Determine the radius of the following sectors of circles. Give the answers to two decimal places. Diberi luas sektor ialah 20.5 cm2 . Given the area of the sector is 20.5 cm2. Penyelesaian: Gunakan luas sektor luas bulatan = θ 2π Use area of sector area of circle = θ 2p 20.5 πj 2 = 1.6 2π j 2 = 20.5 × 2 1.6 j = 5.06 cm (a) Diberi luas sektor ialah 10.21 cm2 . Given the area of the sector is 10.21 cm2. Gunakan /Use luas sektor luas bulatan = θ 2p area of sector area of circle = θ 2p 10.21 πj 2 = 2π – 3.5 2π j 2 = 10.21 × 2 2p – 3.5 j = 2.71 cm (b) Diberi luas sektor ialah 42 cm2 dan panjang lengkok PQ ialah 12 cm. Given that the area of the sector is 42 cm2 and the arc length of PQ is 12 cm. Gunakan/Use panjang lengkok 2πj = luas sektor luas bulatan arc length 2πj = area of sector area of circle 12 2πj = 42 πj 2 j = 42 × 2 12 = 7 cm (c) Diberi luas sektor ialah 85 cm2 dan panjang lengkok PQ ialah 38 cm. Given that the area of the sector is 85 cm2 and the arc length of PQ is 38 cm. Gunakan/Use 38 2πj = πj2 – 85 πj 2 j = 2(πj2 – 85) 38 2(πj2 – 85) = 38j πj2 – 19j – 85 = 0 j = 19 ± (–19)2 – 4π(–85) 2π j = 9.04 cm 1.6 rad 3.5 rad 12 cm P Q O 38 cm O P Q Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 13 CONTOH (d) Diberi luas sektor ialah 7.5 cm2 . Given the area of the sector is 7.5 cm2. Gunakan/ Use luas sektor/area of sector luas bulatan/area of circle = θ 360° 7.5 πj 2 = 88 360° j 2 = 7.5 × 360° 88π j = 3.13 cm (e) Diberi luas sektor ialah 30 cm2 . Given the area of the sector is 30 cm2. Gunakan/ Use 30 πj 2 = 12.5 2πj j = 30 × 2 12.5 = 4.8 cm 10. Tentukan sudut tercangkum, θ, dalam radian di pusat bulatan bagi yang berikut. Berikan jawapan anda kepada dua tempat perpuluhan. TP4 Determine the angle subtended, θ, in radian at the centre of the circle for each of the following. Give your answer to two decimal places. Diberi luas sektor ialah 18 cm2 Given the area of the sector is 18 cm2. Penyelesaian: Gunakan luas sektor luas bulatan = θ 2π Use area of sector area of circle = θ 2p 18 π(9.3)2 = θ 2π θ = 18 × 2 (9.3)2 = 0.42 radian (a) Diberi luas sektor ialah 33 cm2 . Given the area of the sector is 33 cm2. Gunakan/ Use luas sektor luas bulatan = θ 2p area of sector area of circle = θ 2p 33 π(4.8)2 = 2π – θ 2π 66π 23.04π = 2π – θ 2.865 = 2π – θ θ = 2p − 2.865 = 3.42 radian 88fi 12.5 cm O 9.3 cm fi O fi 4.8 cm O Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 14 (b) 12 cm Diberi luas sektor ialah 46 cm2 . Given the area of the sector is 46 cm2. Gunakan/Use luas sektor luas bulatan = panjang lengkok 2πj area of sector area of circle = arc length 2πj 46 πj 2 = 12 2πj j = 46 × 2 12 = 7.67 cm s = jθ θ = 12 7.67 = 1.56 radian (c) j fi Diberi perimeter sektor ialah 15 cm dan luas ialah 9 cm2 . Ungkapkan θ dalam sebutan jejari, j. Kemudian, cari nilai yang mungkin bagi j. Given the perimeter of the sector is 15 cm and the area is 9 cm2. Express θ in terms of the radius, j. Hence, find the possible values of j. 2j + jθ = 15 θ = 15 − 2j j …… ➀ 1 2 j 2 θ = 30 …… ➁ Gantikan ➀ ke dalam ➁ Substitute ➀ into ➁ j 2 1 15 − 2j j 2 2 = 9 j(15 − 2j) 2 = 9 j(15 − 2j) = 18 15j – 2j 2 = 18 2j 2 – 15j + 18 = 0 (j – 6)(2j – 3) = 0 j = 6 atau/ or j = 3 2 (d) 8 cm fi Diberi luas sektor ialah 43 cm2 . Given the area of the sector is 43 cm2. 1 2 × 82 × θ = 43 θ = 1.34 radian (e) fi 21 cm O Diberi luas sektor ialah 54 cm2 . Given the area of the sector is 54 cm2. Gunakan/Use luas sektor luas bulatan = panjang lengkok 2πj = θ 2π area of sector area of circle = arc length 2πj = θ 2π 54 πj 2 = 21 2πj = θ 2π j = 54 × 2 21 = 5.14 cm 2p – θ = 21 5.14 θ = 2.2 radian Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 15 CONTOH 11. Tentukan luas tembereng yang berlorek bagi suatu bulatan yang berikut. Berikan jawapan anda kepada dua tempat perpuluhan. TP4 Determine the area of the shaded segment for each of the following circles. Give your answer to two decimal places. Penyelesaian: Luas berlorek = luas sektor POQ – luas segi tiga POQ Shaded area = area of sector POQ − area of triangle POQ Luas sektor/Area of sector = 1 2 j 2 θ = 1 2 (5.3)2 (2.3) = 32.3 cm2 2.3 rad = 2.3 2π × 360° = 131.78° Luas segi tiga/Area of triangle = 1 2 ×(5.3)2 × sin131.78° = 10.47 cm2 Maka, luas tembereng Hence, the area of the segment = 32.3 − 10.47 = 21.83 cm2 (a) Luas berlorek/Shaded area = luas sektor POQ – luas segi tiga POQ area of sector POQ – area of triangle POQ Luas sektor = 1 2 j 2 2π − 4π 3  Area of sector = 1 2 (8.1)2  2π 3 2 = 68.71 cm2 2π 3 rad = 120° Luas segi tiga = 1 2 × (8.1)2 × sin 120° Area of triangle = 28.41 cm2 Maka, luas tembereng = 68.71 − 28.41 Hence, the area of segment = 40.3 cm2 (b) Diberi POR dan SOQ adalah garis lurus yang melalui pusat O. Given that POR and SOQ are straight lines passing through the centre O. Luas sektor POS = luas sektor QOR area of sector POS = area of sector QOR 1 2 j2 θ = 1 2 (3.5)2 (π − 1.4) = 10.67 cm2 1.4 rad= 1.4 2π × 360° = 80.21° Luas segi tiga = 1 2 × (3.5)2 × sin80.21° Area of triangle = 6.04 cm2 Maka, luas tembereng = 2(10.67 − 6.04) Hence, the area of segment = 9.26 cm2 (c) Perentas AB = 5.52 + 5.52 − 2(5.5)2 kos50° Chord AB = 4.65 cm Kos/ cos ∠AOB = 4.32 + 4.32 − 4.652 2(4.3)2 ∠AOB = 65.46° = 1.14 rad 50° = 0.87 rad Luas tembereng = 1 2 (5.5)2 (0.87) − 1 2 (5.5)2 Area of segment sin50° + 1 2 (4.3)2 (1.14)− 1 2 (4.3)2 sin65.46° = 3.7 cm2 O Q P 5.3 cm 2.3 rad P Q 8.1 cm 4 3 fi rad O P Q S R O 3.5 cm 1.4 rad 4.3 cm 5.5 cm B A P O 50fi Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 16 CONTOH Aplikasi Sukatan Membulat Application of Circular Measures 1.4 Buku Teks: 20 – 22 12. Selesaikan masalah yang melibatkan sukatan membulat yang berikut. TP 5 Solve the following problems involving the circular measures. Rajah di atas menunjukkan sekeping kek yang telah dipotong kepada 8 keping yang bersaiz sama daripada satu kek yang bulat berpusat O dan berjejari 18 cm. Cari The diagram above shows a piece of cake that is cut into 8 pieces of the same size of a round cake at centre O and with a radius of 18 cm. Find (i) sudut θ dalam radian. the angle θ in radian. (ii) panjang lengkok PQ. the arc length PQ. (iii)jumlah luas permukaan kepingan kek itu jika tebal kek ialah 5 cm. the total surface area of the cake if the thickness is 5 cm. Penyelesaian: (i) 8θ = 2p. Maka/Hence, θ = 1 4 p (ii) Panjang lengkok PQ = jθ Arc length PQ = 18 1 4 p = 14.14 cm (iii) Luas sektor/Area of sector = 1 2 × 182 × 1 4 p = 127.23 cm2 Luas permukaan/Total surface area = 2(18 × 5) + 14.14 × 5 + 2(127.23) = 505.16 cm2 (a) Rajah di atas menunjukkan satu corak yang terdiri daripada satu sektor major OPRQ berpusat O dan sebuah semibulatan POQ berpusat S dengan jejari 8 cm. Tunjukkan bahawa luas rantau berlorek ialah 32(π + 2) cm2 . The diagram above shows a pattern which is made up of a major sector OPRQ with centre O and a semicircle POQ of centre S with a radius of 8 cm. Show that the shaded area is 32(π + 2) cm2. OP = 8 2 cm Luas sektor major Area of major sector = 270° 360° × π(8 2)2 = 96π cm2 Luas segi tiga Area of triangle = 1 2 × (8 2)2 = 64 cm2 Jumlah luas = 96π + 64 Total area Luas semibulatan = π(8)2 = 64π Area of semiclrcle Luas rantau berlorek Area of shaded region = 96π + 64 − 64π = 32π + 64 = 32(π + 2) cm2 P O Q fi R P Q O S Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 17 (b) Rajah di atas menunjukkan sebuah kipas yang dibina daripada dua keping kain, P dan Q yang berlainan. Cari beza luas kain P dan Q. The diagram above shows a fan made up of two different pieces of clothes, P and Q. Find the difference of the area of the clothes P and Q. Luas kain Q Area of cloth Q = 1 2 × (20)2 × 1.5 − 1 2 × (15)2 × 1.5 = 300 cm2 – 168.75 cm2 = 131.25 cm2 Luas kain P Area of cloth P = 1 2 × (15)2 × 1.5 − 1 2 × (10)2 × 1.5 = 168.75 cm2 – 75 cm2 = 93.75 cm2 Beza luas Difference of area = 131.25 cm2 − 93.75 cm2 = 37.5 cm2 (c) Rajah di atas menunjukkan dua sayap yang serupa bagi sebuah kipas. OPQ, OTR dan QSR adalah tiga semibulatan dengan diameter yang ditunjukkan. Cari The diagram above shows two similar wings of a fan. OPQ, OTR and QSR are three semicircles with the diameters as shown. Find (i) perimeter keseluruhan dalam sebutan π. the total perimeter of the wings in terms of π. (ii) luas keseluruhan dalam sebutan π. the total area in terms of π. (i) Lilitan/ Circumference OPQ = 9π Lilitan/ Circumference QSR = 5π Lilitan/ Circumference OTR = 4π Perimeter = 2(9π + 5π + 4π) = 36π cm (ii) Luas semibulatan OPQ Area of semicircle OPQ = 1 2 × (9)2 × π Luas semibulatan QSR Area of semicircle QSR = 1 2 × (5)2 × π Luas semibulatan OTR = Area of semicircle OTR = 1 2 × (4)2 × π Luas keseluruhan Total area = 2 × 1 2 π × (81 + 25 – 16) = 90π cm2 1.5 rad 5 cm 10 cm 5 cm Q P O R 8 cm 10 cm T S Q P O Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 18 Kertas 1 1. Rajah di bawah menunjukkan pandangan hadapan sebahagian mural berbentuk segi empat tepat 10 m × 8 m. ABP dan DCP adalah dua sektor serupa berpusat P dan BC adalah selari dengan FE. Bahagian berlorek perlu dicatkan. The diagram below shows a front view of a rectangular mural of 10 m × 8 m. ABP and DCP are two similar sectors with centre P and BC is parallel to FE. The shaded region needs to be painted. A P D B C F E 4 m 10 m 8 m Cari perimeter dan luas bahagian berlorek itu. Find the perimeter and area of the shaded region. 42 = 52 + 52 – 2(5)(5) kos θ kos θ = 52 + 52 – 42 2(5)(5) θ = 47.16° ∠APB= ∠CPD = 180° − 47.16° 2 = 66.42° = 1.159 rad Panjang lengkok AB = CD = 5(1.159) Arc length Perimeter rantau berlorek Perimeter of shaded region = 2(8) + 10 + 4 + 2(5)(1.159) = 41.59 cm Luas sektor APB = 66.42° 360° × π(5)2 = 14.49 cm2 Area of sector APB Luas ∆BCP = 1 2 (5)(5)sin 47.16° = 9.17 cm2 Luas rantau berlorek = 10 × 8 − 9.17 – 2(14.49) Area of shaded region = 41.85 m2 2. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sektor berpusat O. The diagram below shows a sector with centre O. P O Q fi 15 cm Buku Teks ms. 8-18 A P D B C F E 4 m 10 m 8 m 5 m fi Buku Teks ms. 2-18 Diberi bahawa panjang perentas ialah 8 cm, cari Given the length of the chord is 8 cm, find (a) sudut θ, dalam radian, the angle θ, in radians, (b) luas rantau berlorek itu. the area of the shaded region. (a) 82 = 152 + 152 – 2(15)2 kos θ kos θ = 152 + 152 – 82 2(15)(15) θ = 30.93° 30.93° 360° × 2π = 0.54 rad (b) Luas tembereng Area of segments = 1 2 (15)2 (0.54)− 1 2 (15)2 sin30.93° = 2.93 cm2 3. Rajah menunjukkan satu bulatan dengan pusat O dan jejari 7 cm. Diberi bahawa panjang lengkok minor AB ialah 10 cm, cari The diagram shows a circle with centre O and radius 7 cm. Given that the minor arc length AB is 10 cm, find O B A fi (a) sudut θ, dalam radian, the angle θ, in radian, (b) luas sektor minor. the area of the minor sector. (a) 10 = 7(2π − θ) 7θ = 14p − 10 θ = 4.85 rad (b) Luas = 1 2 j 2 θ = 1 2 (7)2 (2p − θ) Area = 1 2 (7)2  10 7  = 35 cm2 Buku Teks ms. 2-18 1 Praktis Ekstra SPM 1 Praktis SPM Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 19 Kertas 2 Klu Soalan (a) OE = EC dan BO adalah jejari. Gunakan kos ∠BOC. OE = EC and BO is the radius. Use cos ∠BOC. (b) ∠BAO = 1 2 ∠BOC. Cari jejari AB terlebih dahulu menggunakan kos ∠BAC. ∠BAO = 1 2 ∠BOC. Find the radius of AB first using cos ∠BAC. (c) Cari perbezaan antara luas sektor BAD dengan luas ∆ABE. Find the difference between the area of sector BAD with the area of ∆ABE. 1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semibulatan ABC berpusat O dan berjejari 12 cm. BAD ialah satu sektor berpusat A dan BE adalah berserenjang dengan AC dengan keadaan E adalah titik tengah OC. The diagram below shows a semicircle with centre O and radius 12 cm. BAD is a sector with centre A and BE is perpendicular to AC such that E is the midpoint of OC. B A O E D C Cari/Find (a) sudut BOD dalam radian, the angle of BOD in radian, (b) panjang lengkok BD, the arc length BD, (c) luas berlorek rantau dalam cm2 . the shaded area in cm2. (a) kos θ = 6 12 = 1 cos θ 2 θ = 60° = π 3 rad (b) kos 30° = 18 AB cos 30° AB = 20.78 cm Panjang lengkok BD = 20.78 π 6  Arc length BD = 10.88 cm (c) Luas sektor BAD = 1 2 (20.78)2  π 6  Area of sector BAD = 113.05 cm2 Luas ∆ABE = 1 2 (18)(20.78) sin30° Area = 93.51 cm2 Luas rantau berlorek = 19.54 cm2 Area of shaded region Buku Teks ms. 20-21 B A 12 cm O E D C 6 cm fi fi 2 Klu Soalan Dari bentangan topi lampu tersebut, lengkok yang kecil merupakan lilitan bagi bulatan kecil topi. Manakala, lengkok yang besar merupakan lilitan bagi bulatan besar topi. Lebar bagi kad adalah jejari bagi lengkok besar. From the net of the cover, the smaller arc is the circumference of the smaller circle of the cover. While, the larger arc is the circumference of the larger circle of the cover. The width of the cardboard is the radius of the larger sector. 2. Rajah I menunjukkan topi lampu dan rajah II menunjukkan bentangannya dalam bentuk dua sektor berpusat O yang dilukis pada sekeping kad berbentuk segi empat tepat. KBAT Menganalisis Diagram I shows the cover of a lamp and diagram II shows the net of the cover drawn on a piece of a rectangular cardboard. 15 cm 25 cm 15 cm O I II (a) Hitung panjang minimum dan lebar kad yang diperlukan kepada integer yang terdekat. Calculate the minimum length and breadth, of the card required to the nearest integer. (b) Seterusnya, cari luas bagi kad yang tidak digunakan. Hence, find the area of the unused card. (a) PQ2 = 152 + 52 = 250 PQ = 5 10 cm Panjang lengkok AB = 2π(7.5) Arc length AB = 15π Panjang lengkok CD = 2π(12.5) Arc length CD = 25π Maka, 15π = jq ….. ➀ 25π = (j + 5 10 )q ….. ➁ ➁ ÷ ➀ 5 3 = j + 5 10 j 2j = 15 10 j = 15 10 2 cm q = 15π × 2 15 10 = 1.99 rad = 113.84° Buku Teks ms. 20-21 15 cm 12.5 cm 7.5 cm P Q O fi E j B D A C 5 10 √ Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 20 kos ∠EOC = BO OC  15 10 2 + 5 10  kos(180° − 113.84°) = EO EO = 15.98 cm Panjang kad = 15.98 + 15 10 2 + 5 10 Length of card = 55.5 cm ≈ 56 cm Lebar kad / Breadth of card = j + 5 10 = 15 10 2 + 5 10 = 39.53 cm ≈ 40 cm (b) Luas kad tidak digunakan Area of unused card = 56 × 40 −  39.532 2 × 1.99 + 1 2  15 10 2  2 (1.99) = 1244.88 cm2 Klu Soalan Oleh kerana AB = BC = AC, maka ketiga-tiga tembereng adalah sama saiz. Cari jejari AC dengan menggunakan tan 30° = 6 AC . Since AB = BC = AC, then the three segments are of the same size. Find the radius of AC by using tan 30° = 6 AC . 3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah logo syarikat. ABC ialah segi tiga sama sisi dalam satu bulatan yang dilukis dengan keadaan AB, BC dan AC adalah tangen kepada bulatan kecil dengan pusat O. Terdapat tiga tembereng serupa, P, Q dan R yang dilukis dengan keadaan A, B dan C masingmasing adalah pusat sektornya. The diagram below shows a logo of a company. ABC is an equilateral triangle in a circle that is drawn such that AB, BC and AC as tangents to the small circle with centre O. The three similar segments, P, Q and R are drawn such that A, B and C are the centres respectively. A B C O Q R P Buku Teks ms. 20-21 Jika jejari bulatan ialah 3 cm, cari If the radius of the circle is 3 cm, find (a) sudut ABC dalam radian, the angle ABC in radians, (b) panjang AC, the length of AC, (c) luas rantau berlorek itu. the area of the shaded region. (a) 60° = π 3 rad A B C O P Q 60fi 30fi (b) AC = 2 3 tan 30°  = 10.39 cm (c) Luas satu tembereng Area of a segment = 1 2 (10.39)2  π 3  − 1 2 (10.39)2 sin 60° = 9.78 cm2 Luas bulatan Area of circle = π(3)2 Jumlah luas Total area = 9π + 3(9.78) = 57.61 cm2 Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 1 Sukatan Membulat BAB 1 21 Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm. PQ dan SR adalah dua perentas yang selari dengan PQ = 10 cm dan ∠SOR = 120°. The diagram below shows a circle with centre O and radius 10 cm. PQ and SR are two parallel chords such that PQ = 10 cm and ∠SOR = 120°. KBAT Menganalisis P S Q R O (a) Cari sudut SOP dalam radian. Find the angle of SOP in radians. (b) Tentukan luas rantau berlorek itu. Determine the area of the shaded region. (c) Tunjukkan bahawa perimeter rantau berlorek ialah 101 + 3 + π 3  cm. Show that the perimeter of the shaded region is 101 + 3 + π 3  cm. Jawapan Bab 1 Enrolment key M#maTT5#m KBAT Sudut KBAT KBAT EKSTRA (a) PQ2 = 102 + 102 − 2(10)2 kos POQ kos POQ = 102 + 102 − 102 2(100) ∠POQ = 60° ∠SOP = 120°−60° 2 = 30° = π 6 rad P S Q R O 10 cm 120fi 10 cm (b) Luas tembereng PQ /Area of segment PQ = 1 2 (10)2  π 3  − 1 2 (10)2 sin 60° = 9.06 cm2 Luas tembereng SR / Area of segment SR = 1 2 (10)2  2π 3  − 1 2 (10)2 sin 120° = 61.42 cm2 Maka, luas berlorek Hence, the shaded area = 61.42 – 9.06 = 52.36 cm2 (c) Panjang lengkok SP = QR Arc length SP = QR 10 π 6  = 5π 3 SR2 = 102 + 102 − 2(10)2 kos 120° SR = 10 3 Perimeter = 10 + 2 5π 3  + 10 3 = 101+ π 3 + 3 Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

TINGKATAN KSSM ModulE ModulE & MoRE MoRE & RC185133S PELANGI MATEMATIK TAMBAHAN Additional Mathematics Judul dalam Siri Module & More Imbas kod QR atau layari link bagi POT untuk Create new account. 1 2 Semak e-mel untuk mengaktifkan akaun. 3 Log in ke akaun anda. Masukkan Enrolment Key yang boleh dijumpai di halaman akhir setiap bab buku. 4 5 Mulakan ujian! Eksklusif Eksklusif PELANGI ONLINE TEST (Portal Ujian Soalan Objektif) Cara Mengakses POT Subjek/Tingkatan Biologi Biology Fizik Physics Kimia Chemistry Matematik Mathematics Matematik Tambahan Additional Mathematics Sejarah 4 5 Fakta penting bagi setiap bab yang telah diringkaskan untuk mempercepat ulang kaji. STUDI 1 MINIT Penerapan soalan-soalan berformat i-THINK dan berbentuk aras tinggi. i-THINK/KBAT Tip membantu menjawab soalan-soalan Kertas 2 di bahagian Praktis SPM. PRAKTIS SPM & EKSTRA KLU SOALAN Latihan berorientasikan SPM disediakan di akhir setiap bab dan juga di dalam kod QR. QR Kod Meningkatkan pemahaman teks melalui penggunaan bahasa Melayu dan bahasa Inggeris. LEMBARAN PBD DWIBAHASA Lembaran kerja PBD tambahan yang meliputi semua bab disediakan dalam kod QR. QR Kod JAWAPAN LENGKAP Jawapan boleh disemak terus di belakang setiap bab atau di halaman Kandungan melalui kod QR. QR Kod CIRI-CIRI HEBAT