LKPD Polinomial

LEMBAR KERJA
PESERTA DIDIK

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XI
SEMESTER GENAP BAB II
“POLINOMIAL/SUKU BANYAK”

SMA NEGERI 1 GEBOG

JL. PR SUKUN KECAMATAN GEBOG KABUPATEN KUDUS

Pertemuan 1 dan 2

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK

Mata Pelajaran : Matematika Minat Nama Anggota
1……………………………………………
Topik/Sub topic: Polinomial/ Pengertian Suku Banyak, 2…………………………………………..
3…………………………………………..
Operasi suku Banyak, dan Kesamaan 4…………………………………………..
5…………………………………………..
Suku banyak

Kelompok : …………………………………………………………

Kelas : …………………………………………………………

PETUNJUK
1. Bacalah baik-baik petunjuk kegiatan yang diberikan
2. Kerjakan langkah-langkah kegiatan sesuai petunjuk kerja
3. Jika mengalami kesulitan, dapat bertanya kepada Guru
4. Selamat mengerjakan dengan rasa senang dan gembira
5. Presentasikan hasil diskusi di depan kelas

Tujuan :

Setelah selesai diharapkan peserta didik dapat mengetahui dan memahami tentang

polynomial, dapat menentukan koefisien polynomial, dapat melakukan operasi aljabar

polynomial, memahami kesamaan polynomial, serta dapat menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan operasi polynomial, dan kesamaan polynomial.

A. Pengertian Suku Banyak/Polinomial
Polynomial (dalam variable x) secara umum dapat dituliskan:
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . + a1x + a0
dengan n merupakan bilangan cacah
an tidak boleh 0
dan hanya dengan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian
nb: variable polynomial bebas ( boleh x, y, z, xy, xz, yz, zyz, dan lain-lain)
keterangan:
an koefisien dari xn
an-1 koefisien dari xn-1
.
.
a1 koefisien dari x
a0 merupakan suku tetap/konstanta

B. Operasi Suku Banyak/Polinomial
Pada kesempatan ini yang akan dipelajari adalah operasi penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian.
Jika diketahui dua polynomial f(x) dan g(x) maka:
a. Penjumlahan = f(x) + g(x)
b. Pengurangan = f(x) – g(x)
c. Perkalian = f(x) . g(x)
Operasi aljabar dilakukan seperti pada saat kalian masih di SMP/Mts,
Untuk pembagian akan dipelajari sendiri dalam sub bab/topik pembagian suku banyak.

C. Kesamaan Suku Banyak/polynomial
Jika diketahui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dan g(x) = px3 + qx2 + rx + s, dimana f(x) = g(x)

maka berlaku:

Nilai a = p, b = q, c = r, dan d = s.

Untuk memahami dari materi tersebut, silakan diskusikan dengan kelompokmu soal-soal
berikut ini, kemudian jelaskan hasil diskusi kalian di depan kelas. (Silakan cari informasi dari
berbagai sumber yang kalian miliki)

1. Dari pengertian polynomial di atas, silakan tentukan mana yang termasuk polynomial dan
jika bukan berikan alasan!

No Bentuk-bentuk Polinomial Bukan Alasan
polinomial

1 3 20 − 3 2 + √3 − 2

2 3 5 + 5 − 2
2

3 sin − 2

4 2 5 − (cos ) 3 + (tan 45°) − 1
5

5 1200

6 2 − √ + 5

2. Berdasarkan soal nomor 1, tentukan koefisien pangkat tertinggi, koefisien pangkat
terendah dari yang termasuk polynomial.

Jawab:

3. Diketahui

Tentukan:
a.

Jawab:

b.
Jawab:

c.
Jawab:

4. Catatan:
Tentukan nilai dari p dan q! Ubah dalam bentuk penyebut yang
sama
Jawab:

Selamat Mengerjakan!

Pertemuan 3 dan 4

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK

Mata Pelajaran : Matematika Minat Nama Anggota
1……………………………………………
Topik/Sub topic: Polinomial/Nilai Suku Banyak 2…………………………………………..
3…………………………………………..
Kelompok : ………………………………………………………… 4…………………………………………..
5…………………………………………..
Kelas : …………………………………………………………

PETUNJUK
1. Bacalah baik-baik petunjuk kegiatan yang diberikan
2. Kerjakan langkah-langkah kegiatan sesuai petunjuk kerja
3. Jika mengalami kesulitan, dapat bertanya kepada Guru
4. Selamat mengerjakan dengan rasa senang dan gembira
5. Presentasikan hasil diskusi di depan kelas

Tujuan :

Setelah selesai diharapkan peserta didik dapat menentukan nilai dari suatu polynomial

dan dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai polynomial.

Menentukan Nilai Polinomial
Untuk menentukan nilai suku polynomial/suku banyak dapat menggunakan 2 cara yaitu:

1. Substitusi
2. Skema Horner

1. Substitusi
Jika diketahui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dan x = h, maka untuk mencari nilai polynomial
f(x) untuk x = h adalah cukup mensubstitusi/mengganti variable x dengan nilai dari h.
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, menjadi

f(h) = ah3 + bh2 + ch + d

2. Skema horner
Jika diketahui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dan x = h, maka dapat disusun dalam skema

Horner sebagai berikut.

ab c d

h ah ah2 + bh ah3 + bh2 + ch +

a ah + b ah2 + bh + c ah3 + bh2 + ch + d = f(h)

Tanda berarti kalikan dengan h

Untuk lebih memahami materi di atas, silakan diskusikan dengan kelompokmu soal-saol
berikut ini, kemudian jika sudah selesai jelaskan hasil diskusi kalian di depan kelas.

1. Tentukan nilai suku banyak ( ) = − + − + − untuk = − .

a. Cara substitusi

Jawab:

b. Skema Horner
Jawab:

2. Tentukan nilai suku banyak ( ) = − − + untuk = .
a. Cara substitusi
Jawab:

b. Skema Horner
Jawab:

3. Nilai suku banyak ( ) = + − − + − untuk = − adalah -30,
tentukan nilai dari p.
Jawab:

4. Polinomial ( ) = + − + + mempunyai nilai 11 untuk x = 1 dan
mempunyai nilai –1 untuk x = -1. Tentukan nilai dari 2a + b.
Jawab:

Pertemuan 5 dan 6

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK

Mata Pelajaran : Matematika Minat Nama Anggota
1……………………………………………
Topik/Sub topic: Polinomial/Pembagian Suku banyak 2…………………………………………..
3…………………………………………..
Kelompok : ………………………………………………………… 4…………………………………………..
5…………………………………………..
Kelas : …………………………………………………………

PETUNJUK
1. Bacalah baik-baik petunjuk kegiatan yang diberikan
2. Kerjakan langkah-langkah kegiatan sesuai petunjuk kerja
3. Jika mengalami kesulitan, dapat bertanya kepada Guru
4. Selamat mengerjakan dengan rasa senang dan gembira
5. Presentasikan hasil diskusi di depan kelas

Tujuan :

Setelah selesai diharapkan peserta didik dapat menentukan hasil bagi dan sisa dari

pembagian suku banyak dan dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pembagian

suku banyak.

1. Definisi Pembagian Suku Banyak
Jika P(x) adalah suku banyak yang dibagi, Q(x) adalah pembagi, H(x) adalah hasil

bagi, dan S(x) adalah sisa pembagian, maka:

P(x) = Q(x).H (x) + S(x)

2. Pembagian Suku Banyak oleh (x – k)
Secara umum jika suku banyak P(x) dibagi (x-k) dpat dituliskan:
P(x) = (x − k)H (x) + S(x)

P(x) adalah suku banyak yang dibagi
(x-k) adalah pembagi
H(x) adalah hasil bagi
S(x) adalah sisa
a. Pembagian Secara Bersusun

Pembagian suku banyak P(x) = ax2 + bx + c oleh (x − k) secara bersusun:

Hasil bagi

Yang dibagi

sisa

b. Pembagian Skematik/Cara Horner
Pembagian suku banyak P(x) = ax2 + bx + c oleh (x − k) dengan cara horner:

1. Susun koefisien suku banyak dari yang terbesar

2. Nyatakan (x − k) menjadi x = k

ab c
X=k

a sisa

Koefisien hasil bagi

3. Pembagian Suku Banyak oleh (ax – k)
Secara umum jika suku banyak P(x) dibagi (ax-b) dpat dituliskan:
P(x) = (ax − b)H (x) + S(x)

P(x) adalah suku banyak yang dibagi

(ax-b) adalah pembagi

H(x) adalah hasil bagi

S(x) adalah sisa

a. Pembagian Secara Bersusun

Pembagian suku banyak P(x) oleh (ax − b) secara bersusun dilakukan seperti

halnya pembagian dengan (x − k)

b. Pembagian Skematik/Cara Horner

Bentuk umum pembagian suku banyak dengan (x-k) dengan hasil H(x) dan sisa

S(x) adalah P(x) = (x − k)H (x) + S(x)

Dimisalkan k = b maka diperoleh
a

P(x) = (x − b )H (x) + S(x)
a

= (ax − b)H (x) + S(x) = (ax − b) H (x) + S(x)
aa

Berdasarkan uraian di atas dapat diperoleh hal-hal sebagi berikut.

1) Suku banyak P(x) dibagi oleh (ax-b) menghasilkan H ( x) , dengan H(x) adalah
a

hasil bagi P(x) oleh (x − b )
a

2) Sisa pembagian P(x) oleh (ax-b) sama dengan sisa pembagian oleh (x − b
)
a

Untuk lebih memahami materi di atas, silakan diskusikan dengan kelompokmu soal-saol
berikut ini, kemudian jika sudah selesai jelaskan hasil diskusi kalian di depan kelas. (Silakan
cari informasi dari berbagai sumber yang kalian miliki)

1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian (2 7 + 3 4 − 4 2 − 2 + 1): ( + 1)

Jawab:

2. Tentukan nilai a, jika 3 + 2 2 − + 1 dibagi oleh ( −1) bersisa 5.
Jawab:

3. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian (2 3 − 2 + 3 − 9): (2 + 1)
Jawab:

4. Tentukan nilai a jika jika 3 3 − 4 2 − + 2 habis dibagi oleh ( 3 + 2)
Jawab:

Selamat Mengerjakan! Pertemuan 7 dan 8
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK

Mata Pelajaran : Matematika Minat Nama Anggota
1……………………………………………
Topik/Sub topic: Polinomial/Pembagian Suku banyak 2…………………………………………..
3…………………………………………..
Kelompok : ………………………………………………………… 4…………………………………………..
5…………………………………………..
Kelas : …………………………………………………………

PETUNJUK
1. Bacalah baik-baik petunjuk kegiatan yang diberikan
2. Kerjakan langkah-langkah kegiatan sesuai petunjuk kerja
3. Jika mengalami kesulitan, dapat bertanya kepada Guru
4. Selamat mengerjakan dengan rasa senang dan gembira
5. Presentasikan hasil diskusi di depan kelas

Tujuan :

Setelah selesai diharapkan peserta didik dapat menentukan hasil bagi dan sisa dari

pembagian suku banyak dan dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pembagian

suku banyak.

Ingat!
Definisi Pembagian Suku Banyak

Jika P(x) adalah suku banyak yang dibagi, Q(x) adalah pembagi, H(x) adalah hasil
bagi, dan S(x) adalah sisa pembagian, maka:

P(x) = Q(x).H (x) + S(x)

Serta ingat kembali materi pembagian oleh (x-k) dan pembagian (ax-b). materi tersebut
merupakan dasar yang akan kita gunakan dalam pembagian (ax2 + bx + c)

Pembagian oleh (ax2 + bx + c)
Secara umum jika suku banyak P(x) dibagi (ax2 + bx + c) dpat dituliskan:

P(x) = (ax2 + bx + c)H (x) + S(x)

P(x) adalah suku banyak yang dibagi
(ax2 + bx + c) adalah pembagi
H(x) adalah hasil bagi
S(x) adalah sisa

a. Pembagian Secara Bersusun
Pembagian suku banyak P(x) oleh (ax2 + bx + c) secara bersusun dilakukan seperti

halnya pembagian dengan (x − k) dan (ax − b)

b. Pembagian Skematik/Cara Horner
Pembagian suku banyak P(x) oleh (ax2 + bx + c) dengan cara Horner dapat

dilakukan jika bentuk pembagi (ax2 + bx + c) dapat difaktorkan.
Dimisalkan (ax2 + bx + c) dapat difaktorkan menjadi P1.P2 → (ax2 + bx + c) = P1.P2

maka:
P(x) = (ax2 + bx + c)H (x) + S (x) = P1.P2H (x) + S (x)

Urutan langkah penentuan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak tersebut
adalah:

1) Melakukan pembagian suku banyak P(x) oleh P1 diperoleh H0(x) dengan sisa S1
2) Melakuakn pembagian H0(x) oleh P2 dengan hasil H(x) dan sisanya S2
3) Hasil bagi P(x) oleh (Q(x) = P1.P2) adalah H(x) sedangkan sisanya adalah

S(x) = P1.S2 + S1 . Perhatikan jika P1 atau P2 berbentuk (ax-b), a ≠ 0, kamu perlu
membagi H0(x) atau H(x) dengan a untuk mendapatkan hasil baginya.

Untuk lebih memahami materi di atas, silakan diskusikan dengan kelompokmu soal-saol
berikut ini, kemudian jika sudah selesai jelaskan hasil diskusi kalian di depan kelas. (Silakan
cari informasi dari berbagai sumber yang kalian miliki)
1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian ( 4 − 2 3 − 7 2 + 7 + 5) oleh ( 2 + 2 − 1).

Jawab:

2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian ( 6 − 1) oleh ( 2 − 1).

Jawab:

Selamat Mengerjakan Pertemuan 9 dan 10
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK

Mata Pelajaran : Matematika Minat Nama Anggota
1……………………………………………
Topik/Sub topic: Polinomial/Teorema sisa 2…………………………………………..
3…………………………………………..
Kelompok : ………………………………………………………… 4…………………………………………..
5…………………………………………..
Kelas : …………………………………………………………

PETUNJUK
1. Bacalah baik-baik petunjuk kegiatan yang diberikan
2. Kerjakan langkah-langkah kegiatan sesuai petunjuk kerja
3. Jika mengalami kesulitan, dapat bertanya kepada Guru
4. Selamat mengerjakan dengan rasa senang dan gembira
5. Presentasikan hasil diskusi di depan kelas

Tujuan :

Setelah selesai diharapkan peserta didik dapat memahami teorema sisa dan dapat

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa.

TEOREMA SISA

1. Pembagian oleh (x – k)

Teorema:

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k), maka sisanya S = f(k)

Bukti:

F(x) = (x – k).H(x) + S(x)

Untuk x – k = 0

X=k

F(x) = (x – k). H(x) + S(x)

F(k) = 0. H(k) + S(k)

F(k) = S(k)

2. Pembagian oleh (ax – b)

Teorema:

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax – b), maka sisanya S = f( b )
a

3. Pembagian oleh (x – a)(x – b)

Pembagian suku banyak f(x) oleh (x – a)(x – b) dengan hasil baginya H(x) dan sisanya S(x),

dapat ditulis:

F(x) = (x – a)(x – b).H(x) + S(x)

Karena pembaginya berderajat dua maka S(x) setingi-tingginya berderajat satu. Misalnya

S(x) = px + q. Sehingga pembagiannya menjadi:

F(x) = (x – a)(x – b).H(x) + (px + q)

Maka:

Faktor 1 Faktor 2
x–a=0 x–b=0

x=a x=b
sisa = S(x) = px + q sisa = S(x) = px + q

S(a) = ap + q….. pers 1 S(b) = bp + q……pers 2
S(a) = sisa pembagian oleh (x-a) S(b) = sisa pembagian oleh (x-b)

Dari pers 1 dan 2, silakan substitusi eliminasi cari p dan q setelah diketahui nilai p dan q

maka sisa sudah dapat diketahui S(x) = px + q

Untuk lebih memahami materi di atas, silakan diskusikan dengan kelompokmu soal-saol
berikut ini, kemudian jika sudah selesai jelaskan hasil diskusi kalian di depan kelas. (Silakan
cari informasi dari berbagai sumber yang kalian miliki)

1. Dengan menggunakan eorema sisa, tentukan sisa dari pembagian ( 4 − 2 3 − 7 2 + 7 + 5)
oleh ( + 2).

Jawab:

2. Jika f(x) dibagi (x+2) bersisa 14 dan dibagi (x-4) bersisa -4. Tentukan sisa pembagian
f(x) oleh (x2-2x-8).

Jawab:

3. Suatu suku banyak f(x) dibagi (x2-2x) dan (x2+2x), berturut-turut bersisa 4x-2 dan 3x+4.
Tentukan sisanya apabila f(x) dibagi oleh (x2-4).

Jawab:

Pertemuan 11 dan 12

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK

Mata Pelajaran : Matematika Minat Nama Anggota
1……………………………………………
Topik/Sub topic: Polinomial/Teorema faktor 2…………………………………………..
3…………………………………………..
Kelompok : ………………………………………………………… 4…………………………………………..
5…………………………………………..
Kelas : …………………………………………………………

PETUNJUK
1. Bacalah baik-baik petunjuk kegiatan yang diberikan
2. Kerjakan langkah-langkah kegiatan sesuai petunjuk kerja
3. Jika mengalami kesulitan, dapat bertanya kepada Guru
4. Selamat mengerjakan dengan rasa senang dan gembira
5. Presentasikan hasil diskusi di depan kelas

Tujuan :

Setelah selesai diharapkan peserta didik dapat memahami teorema faktor, dapat

menentukan faktor, akar dari polynomial, dan dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan teorema faktor.

TEOREMA FAKTOR

Teorema:
(x – k) merupakan faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0

Bukti:
Menurut teorema faktor, suku banyak f(x) dibagi (x – k) faktornya f(k) sehingga

persamaan dasarnya menjadi:
f(x) = (x – k). H(x) + f(k)

(i) Dari persamaan di atas bila f(x) = 0 maka f(x) = (x – k). H(x). Ini artinya (x – k) merupakan
faktor dari f(x)

(ii) Bila (x – k) merupakan faktor dari f(x) maka:
f(x) = (x – k). H(x) untuk sembarang H(x) sehingga f(k) = (k – k).H(x) = 0

Dari (i) dan (ii) diperoleh f(k) = 0 jika dan hanya jika (x – k) faktor dari f(x)
Jadi, pembagian suku banyak oleh salah satu faktornya menghasilkan faktor pembagian nol.
Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan saat memfaktorkan suku banyak:

1. Jika jumlah koefisien suku banyak sama dengan nol, maka (x – 1) adalah faktor dari
suku banyak tersebut.

2. Jika jumlah koefisien pangkat genap sama dengan jumlah koefisien pangkat ganjil,
maka (x + 1) adalah faktor dari suku banyak tersebut.

3. Jika (1) dan (2) tidak terpenuhi, maka kita lakukan uji nilai dari faktor2 suku
tetapnya. Yang menghasilkan nilai nol, maka itu adalah faktor dari suku banyak
tersebut. (boleh uji dengan substitusi ataupun skema horner)

Untuk lebih memahami materi di atas, silakan diskusikan dengan kelompokmu soal-saol
berikut ini, kemudian jika sudah selesai jelaskan hasil diskusi kalian di depan kelas. (Silakan
cari informasi dari berbagai sumber yang kalian miliki)
1. Jika ( + 1) dan ( − 2) merupakan faktor dari polynomial ( ) = 2 4 − 3 3 + 2 + +

6. Tentukan nilai dari a dan b.
Jawab:

2. Jika x – 2 merupakan salah satu faktor dari 2 4 + 5 3 − 2 − 20 + 12 = 0. Tentukan
faktor polynomial yang lain.
Jawab:

3. Tentukan faktor dan akar dari x3 − 7x2 + 8x +16 .
Jawab: