E-book

น . ส . ข วั ญ ช น ก อ ภิ วั ฒ น์ ตั้ ง ส กุ ล ม . 5 / 2 เ ล ข ที่ 1 3

เ รื่ อ ง

จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น

จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น

ในระบบจำนวนจริง ถ้ า xER แล้ ว x > 0เสมอ ดังนั้นสมการ เช่น x +
1=0 หรือ X = -1 จึงไม่สามารถหาคำตอบได้ จึงต้ องสร้างจำนวนที่ ไม่ใช่
จำนวนจริงขึ้ นมา ซึ่ งเรียกว่า จำนวนจินตภาพ (Imaginary Number)
(จำนวนที่ ไม่มีในระบบจำนวนจริง) โดยให้มีตั วแปร i เพิ่มขึ้ นมา และ i
=-1 และ เรียกจำนวนที่ อยู่ในรูปแบบ a+bi เมื่ อ a,bER ว่า
จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น
รูปแบบของจำนวนเชิงซ้อน ถ้ า z เป็น จำนวนเชิงซ้อน (Complex
Number) จะเขียน Z เขียนได้ 2 แบบ คื อ Z = a +bi หรือ (a,b)
โดยที่ i = -1 ( 1 =-1 ) เรียก a ว่า ส่วนจริง (RealPart) และ b ว่า
ส่วนจินตภาพ (Imaginary Part) ซึ่ งอาจแทนตั วย Re(z) และ
Im(z) ตามลำดับ
ถ้ า a,b=0 เรียกว่า จำนวนจินตภาพ
ถ้ า a=0,b=0 เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้
ถ้ าa=0, b=0 เรียกว่า จำนวนจริง

ก า ร บ ว ก แ ล ะ ก า ร คู ณ จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น
การบวก : a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i หรือ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
การคูณ : (a +bi)(c +di) = (ac -bd) + (ad +bc)i หรือ (a,b)(c,d)
=(ac -bd, ad+bc)
ห ม า ย เ ห ตุ * *
(a +b)i(c +di) = ac +adi+bci+bdi
เป็นการคูณแบบกระจายในระบบจำนวนจริงนั่นเอง โดยที่ i = -1

01

ส ม บั ติ ต่ า ง ๆ

สมบัติ ของการบวกจำนวนเชิงซ้อน
ให้ Z1 Z2 และ Z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ และ 2, b เป็นจำนวนจริงใด
ๆ
สมบัติ ปิด : Z + Z E C
สมบัติ การเปลี่ ยนกลุ่ ม : (Z1 +Z2)+Z3 =Z1 +(Z2+Z3)
สมบัติ การสลั บที่ : Z1+Z2=Z2+Z1
สมบัติ การมีเอกลั กษณ์ : มี (0,0) หรือ 0 เป็นเอกลั กษณ์ โดยที่ (0,0)+
(a,b)=(a,b)+(0,0)=(a,b)

หรือ 0+a+bi=a+bi+0 =a+b
สมบัติ การมีอิ นเวอร์ส : สำหรับทุก (a,b) จะมี (-a,-b) เป็นอิ นเวอร์ส
โดยที่ (-a,-b)+(a,b)=(a,b)+
(-a,-b)=(0,0) หรือ -a-bi+a+bi=a+bi-a-bi=0

สมบัติ ของการคูณจำนวนเชิงซ้อน

ให้ Z1 Z2และ Z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ และ 3,6 เป็นจำนวนจริงใด ๆ

สมบัติ ปิด

สมบัติ การเปลี่ ยนกลุ่ ม :(Z1Z2)Z3 =Z1(Z2Z3)

สมบัติ การสลั บที่

สมบัติ การมีเอกลั กษณ์ : มี (1,0) หรือ 1 เป็นเอกลั กษณ์ โดยที่ (1,0)

(a,b)=(a,b)(1,0)=(a,b) หรือ

(1)(a+bi)=(a+bi)(1) =a+bi

สมบัติ การมีอิ นเวอร์ส : สำ ห รั บ ทุ ก (a,b) จ ะ มีa2( a ,- bi) เ ป็ น อิ น เ ว อ ร์ ส โ ด ย ที่
+ b2 a2 + b2

( a , b )a2(+ab2, - b) = ( a , b )a2(+ab2, - b) =(1,0)
a2 + b2 a2 + b2

( a , b i ) ( a , - bi) = ( a , b i )( a , - b) = 1
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

02

สมบัติ การแจกแจง :Z1(Z2+z3)=Z1Z2+Z1Z3 -3

-1
หมายเหตุ** เขียนอิ นเวอร์สการคูณของ Z ด้วย Zหรือ 1 และ Z= 1
Z Z-3
เป็นต้ น

สังยุ คของจำนวนเชิงซ้อน

ถ้ า Z =a +bi เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ แล้ ว Z = a -bi จะแทน สังยุ ค

(Conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อน Z

การคูณที่ น่าสนใจ

ก. จำนวนจิตนภาพแท้ คูณกั บจำนวนจินตภาพแท้ ได้จำนวนจริง เช่น

(5i)(2i) = 10i = -10

ข. จำนวนที่ เป็นสังยุ ดกั นคุณกั นจะได้จำนวนจริง
เ ช่น ( 3 + 4 i ) ( 3 - 4 i ) = 9 - 1 2 i + 1 2 i - 1 62i = 9 + 1 6 = 2 5
ห ม า ย เ ห ตุที่ ใ ช้บ่อ ย ๆ ก็ คื อ ( a + b ) ( a - b i ) =2a + 2b นั่น เ อ ง

การหารจำนวนเชิงซ้อน ให้นำสั่งยุ คของตั วส่วนมาคูณทั้งเศษและส่วน
เช่น 3 + 41 +5 -12i =?

สมบัติ ของสังยุ ค
ถ้ า Z,Z1 และ Z2เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ และ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ

03

ก ร า ฟ แ ล ะ ค่ า สั ม บู ร ณ์ ต่ า ง ๆ ข อ ง จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น

ก ร า ฟ แ ล ะ ค่ า สั ม บู ร ณ์ ข อ ง จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น
ให้ Z = (A,B) = A + BI เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ถ้าสร้างระนาบแกน
มุมฉากขึ้ นมาใหม่ โดยที่แกน
ราบให้เรียกว่า แกนจริง (REAL AXIS) ส่วนแกนตั้งเรียกว่า แกน
จินตภาพ (IMAGINARY AXIS) แล้ว
Z = (A,B) จะสามารถแทนได้ด้วย จุด (A, B) หรือ เวกเตอร์ที่มีจุด
(0,0) เป็นจุดเริ่มตันและจุด
ปลายอยู่ที่ (A,B) และ เรียกระนาบดังกล่าวว่า ระนาบเชิงซ้อน
(COMPLEX PLANE)
ขนาดของเวกเตอร์ของ 2 ดังกล่ าวเรียกว่า ค่ าสัมบู รณ์ (Absolute)
ของ 2 จะเขียนแทนด้วย |z|
ซึ่ งแทนความยาวของส่วนของเส้นตรงจากจุ ด (0,0) ถึ ง (a,b) จึงได้ว่า

สมบัติ ของค่ าสัมบู รณ์
ถ้ า Z,Z1และ Z2เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็ มใด ๆ

04

หลั กการเขียนกราฟของสมการจำนวนเชิงช้อนบนระนาบเชิงซ้อน

ให้แทน Z=x+yi ลงไปในสมการ เ ช่ น . จ ะ ไ ด้ ว่ า l x+y i+11 l =2 ห+ร1ือ)2 y2=
l(x + 1)+yi|=2 ดั ง นั้ น ถ้ า ยกกำลั ง ส องจ ะ ไ ด้ ว่ า (X
+

2 ซึ่ งเป็นกราฟรูปวงกลม มีจุ ดศู นย์กลางที่ ( -1,0) และ รัศมี 2 หน่วย

บ น ร ะ น า บ เ ชิ ง ซ้ อ น

รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน

จากรูป z = (a,b) =a+bi จะเห็นว่า a=I z I cos และ b =I z | sin
z=(I z|cos,|z|sin)=|z|cos+i|z|sin=|Z|(cos+isin)

เรียก Z =I Z| (cos e +isine) ว่าเป็น รูปเชิงขั้ว(Polar Form) หรือ
บางที่ ก็ เขียนเป็น z=r(cos+isin) เมื่ อให้ r =|z|
เรียก ว่า อาร์กิ วเมนต์ ของ z (Argument of z) หรือ แทนด้ วย
Arg(z)โดยที่ tan =

(ต้ องพิจารณาเครื่ องหมายให้ถูกควอดรันต์ ด้วย เพราะ จะมีได้หลาย
ค่ า)
การเขียน z ในรูปเชิงขั้วทำได้หลายแบบแล้ วแต่ ความถนัด เช่น

หมายเหตุ ในอดีตเดิมใช้แบบที่ 1 ต่ อมาเปลี่ ยนไปใช้แบบที่ 2 โดย
อั ตโนมัติ หลั งจากผ่านการสอนมาหลายปี

05

การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรู ปเชิงขั้ว

หมายเหตุ บางตำราเรียก z ในรูปเชิงขั้วแบบสั้น ๆ ว่า จึ ง อ า จ เ ขี ย น
สูตร ก. และ ข. เป็น

การยกกำลั ง m และ รากที่ ก ของจำนวนเชิงซ้อนในรู ปเชิงขั้ว

รากที่ สองของ a+bi
ถ้ า แล้ วรากที่ สองของ a +bi อาจเขียนแทนด้วย

ซึ่ งจะมีสองค่ าคื อ

สมการพหุนาม คื อ สมการที่ อยู่ในรูปแบบ
เรียกว่า สมการพหุนามกำลั งn

an, an-1..... a1,a เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของพหุนาม ถ้ าสัมประสิทธิ์อยู่ในเซต
ของจำนวนเต็ ม ก็ จะเรียกว่า พหุนามบนเซตของจำนวนเต็ ม , ถ้ าสัมประสิทธิ์
อยู่ในเซตของจำนวนจริง ก็ จะเรียกว่าพหุนามบนเซตจำนวนจริง และ ทำนอง
เดียวกั น ก็ จะมี พหุ่นามบนเซตของจำนวนเชิงซ้อน ตั วอย่างพหุนามต่ าง ๆ
ตามลำดับที่ กล่ าวมา เช่น

06