รุจาภา ม.5|2 เลขที่ 15

Complex number
(จำนวนเชิงซ้อน]

by
น.ส.รุจาภา ชวนชม
ม.5|2 เลขที่ 15

ขอบเขตเนื้อหา

การสร้างจำนวนเชิงซ้อน
สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน
กราฟเเละค่าสมบูรณ์ของ
จำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
รากที่ n ในจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่ม
จำนวน ซึ่งทำให้สมการ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไป
จนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน
ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป โดยที่ และ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก และ
ว่าส่วนจริง(real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ จากนิยาม
ข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดัง
นั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหาร
สมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือ
ศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์

เราจึงกล่าวว่าเซ
ตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของ

จำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็น
จำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจา
กนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า “เชิงซ้อน” ถูกใช้เป็นคำ

คุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของ
จำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แม
ทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

นิยามจำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = (a, b) เมื่อ a และ b
เป็นจำนวนจริงเรียก a ว่าส่วนจริง(real part)

ของ z และแทนด้วย Re(z)เรียก b ว่าส่วน
จินตภาพ (imaginary part) ของ z และแทน

ด้วย Im(z) จะเห็นได้ว่าจำนวนจริงคือ
จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเท่ากับ 0 ซึ่ง
หมายความว่า เซตของจำนวนจริงเป็นสับเซต
ของจำนว
นเชิงซ้อน และจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วน
จริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่เป็นศูนย์เรียก
ว่าจำนวนจินตภาพแท้ (purely imaginary
number
)จำนวนเชิงซ้อน (0, 1) เขียนแทนด้ว

สัญลักษณ์ 1 หรือ i ซึ่งเรียก i ว่าหน่วย
จินตภาพ(imaginary unit)

นิยามจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม
ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว a = a i
บทนิยาม
การบวกจำนวนเชิงซ้อน

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (bi + di) = (a + c) + (b + d)i

การคูนจำนวนเชิงซ้อน

(a +bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i

บทนิยาม
ดังนั้น จะได้ตัวผกผัน(อินเวอร์ส)

การบวกของ (
a, b) คือ (–a, –b)

หรือ ตัวผกผัน(อินเวอร์ส) การบวกของ a + bi คือ –a – bi
ดังนั้น จะได้(1, 0) เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจำนวนเชิงซ้อน
หรือ 1 + 0i เป็นเป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม (a,
b) – (c, d) = (a, b) + (–c, –d)

บทนิยาม ให้ z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะเรียก
จำนวนเชิงซ้อน a – bi ว่าเป็นสังยุค (conjugate)
ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ z นั่นคือ z = a bi = a – bi

ตัวอย่างของการสร้างจำนวนเชิงซ้อน

1. จงหาผลคูณของ 1 + i , 3 + i เเละ -1 + 2i
วิธีทำ
(1 + i)(3 + i)(-1 + 2i) = [(1 + i)(3 + i)](-1 + 2i)

= [ (3 - 1) + (1 + 3)i ] (-1 + 2i)
= (2 + 4i)(-1 + 2i)
= (-2 - 8) + (4 - 4)i
= - 10
คำตอบของข้อนี้คือ - 10

2. จงหาจำน
วนจริงของ a , b ที่ทำให้ (a + 3i) + (-2 + 3bi) = 4 + 9i

วิธีทำ
(a + 3i) + (-2 + 3bi) = 4 + 9i
(a - 2) + (3 + 3b)i = 4 + 9i

จับเเยก
หาค่าของ a

a-2=4;a=6
จับเเยกหาค่าของ b

3 + 3b = 9 ; b = 2
คำตอบของข้อนี้คือ a = 6 เเละ b = 2

สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

บทเอกลักษณ์เเละตัวผกผันของการบวก

พิจารณาการบวกจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้
(a, b) + (0 , 0) = (a+0, b+0) = (a, b)

ทำนองเดียวกัน (0 , 0) + (a, b) = (a, b)
ดังนั้น (0 , 0) เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบ
จำนวนเชิงซ้อน
หากลองพิสูจน์อีกรูปเเบบนั่นคือ

(a, b) + ( - a, - b) = (a - a, b - b) = (0, 0)
และ ( - a, - b) + (a , b) = (0 , 0)

ดังนั้น
( - a, - b) เป็นตัวผกผันการบวกของ (a , b)

หรือ - a - bi เป็นตัวผกผันการบวกของ a + bi
ตัวผกผันการบวกของจำนวนเชิงซ้อน z เขียนแทนด้วย - z

ดังนั้น (a +b
i) = - a - bi หรือเป็นการกระจายการลบนั่นเอง

ตัวอย่าง
ตัวผกผันการบวกของ ( - 8 , 2) คือ (8, - 2)
ตัวผกผันการบวกของ -4+3i คือ 4 - 3i
ตัวผกผันการบวกของ 2 - 3i คือ - 2+ 3i

เอกลักษณ์และตัวผกผันการคูณ

ตัวผกผันการคูณของ z เขียนแทนด้วย Z-1
เมื่อเขียน z = a+bi จะได้ว่า Z-1 =

การหารจำนวนเชิงซ้อน

เมื่อกำหนดจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับ(0, 0) มาให้ จะหาตัวผกผันการ
คูณของจำนวนเชิงซ้อนนี้ได้เสมอ ดังนั้นอาจนิยามการหาร
จำนวนเชิงซ้อนz ด้วย w เมื่อ W (0,0) โดยอาศัยตัวผกผันการคูณของ
จำนวนเชิงซ้อนที่เป็นตัวหารได้ดังนี้

จากบทนิยาม ถ้า z = a+bi และ w = c+di

อีกทฤษฏีหนึ่งกล่าวว่า

z = a+bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะเรียก
จำนวนเชิงซ้อน a - bi ว่าเป็นสังยุค
(conjugate) ของ z และเขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ นั่นคือ







ตัวอย่าง


จงใช้สังยุคของตัวหารช่วยในการหาผลหารของการหาร 2 - i ด้วย 3 + 2i

รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ รากที่สองของ z คือ
จำนวนเชิงซ้อน w ซึ่ง ถ้า w เป็นรากที่สองของ z แล้ว - w จะ
เป็นรากที่สองของ z ด้วย และรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนที่
ไม่ใช่ศูนย์จะมีเพียงสองจำนวนเท่านั้น

สูตรของรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่า

เเต่บางครั้งค
่า y นั้นสามารถเเบ่งได้ออกเป็น 2 กรณีนั่น

คือ กรณีที่ค่าของ y มากกว่าหรือเท่ากับ 0 หรือค่าของ y
น้อยกว่า 0 เราจึงได้ทฤษฏีบทว่า
กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z = x+ yi และให้

กราฟเเละค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนเขียนอยู่ในรูปของคู่อันดับ (a , b) หรือในรูป a + bi
โดยที่ a เป็นส่วนจริง และ b เป็นส่วนจินตภาพ ดังนั้นอาจเขียนแทน
จำนวนเชิงซ้อน (a , b) ใด ๆ ด้วยจุดบนระนาบได้เช่นเดียวกับการแทนคู่อันดับ
ด้วยความสัมพันธ์ใดๆ ด้วยจุดบนระนาบในระบบมุมฉากและเรียกแกนนอนว่า
แกนจริง (real axis) เรียกแกนตั้งว่า แกนจินตภาพ (imaginary axis) แลเรียก
ระนาบที่เกิดจากแกนทั้งสองว่าระนาบเชิงซ้อน (Complex plane) เพื่อความ
สะดวกจะใช้แกน X แทนแกนจริง และแกน Y แทนแกนจินตภาพ

จำนวนเชิงซ้อน 3+ 2i แทนได้ด้วยจุด (3, 2) หรือแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีจุด (0,
0) เป็นจุดเริ่มต้น และจุด (3, 2) เป็นจุดสิ้นสุด ส่วนจำนวนเชิงซ้อนอื่นๆ เช่น -

3, 2i, 4 - I, - 2+3
i, แทนได้ด้วยจุดและเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนดังรูปที่ 1




ดังนั้นเราจึงได้นิยามว่า ค่าสัมบูรณ์ (absolute value หรือ modulus)
ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi คือ จำนวนจริง

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ |a + bi| จากบทนิยาม จะเห็นว่า
ค่าสัมบูรณ์ของ a + bi คือระยะทางระหว่างจุดกำเนิด (0, 0) กับจุด (a, b)
นั่นเอง

สมบัติของค่าสัมบูรณ์

ถ้า z1
= a + bi และ z2 = c + di เป็น

จำนวนเชิงซ้อน แล้ว โดยบทนิยามค่าสัมบูรณ์ หมายถึง ระยะ
ทางระหว่างจุด (0, 0) และจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน z1 – z2
ในระนาบเชิงซ้อน


z1 – z2 = (a - c) + (b - d)i

ฉะนั้น

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

ถ้า เป็นจำนวนเชิงซ้อน

≠จะสามารถเขียนแทน z=x+yi 0 ด้วย เวกเตอร์ระนาบได้ดังนี้



ตัวอย่างการหารากที่n

ทวนเนื้อหาตั้งเเต่พื้นฐาน

Scan here

โจทย์เริ่มต้น - โจทย์เเข่งขัน