Matrix

MATRIX

เมทริกซ์

CHAYANIN MUANGSAMPAO
M.4/1 NO.10

Presented to Ajarn Keng

นิยาม

เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของ ริง ใดๆ เขียน
เรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถว
ในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็น
ตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียน วงเล็บ คร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะ
เป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวใน
แนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเใน
เมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเม
ทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

เราเรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว และ n หลัก เรียกว่า เมทริกซ์
mxn เราเรียกจำนวน m และ n ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเม
ทริกซ์
เราใช้สัญญลักษณ์ A = (a i,j)mxn เพื่ อหมายถึง เมทริกซ์ A
ซึ่งมี m แถว และ n หลัก โดยที่ a i,j (หรือ a ij) หมายถึง
สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว i และ j หลัก ของเมทริกซ์

การกระทำระหว่างเมทริกซ์

การบวก

ให้ A = (a i,j) และ B = (b i,j) เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน
สองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก A+B ว่า
เป็นเมทริกซ์ขนาด mxn ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มี
ตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก C = (c i,j)mxn = A+B แล้ว
ci,j = a i,j + b i,j ยกตัวอย่างเช่น

การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือ การ
บวกตรง

การคูณด้วยสเกลาร์

กำหนดเมทริกซ์ A = (a i,j) และจำนวน c เราสามารถนิยาม
ผลคูณสเกลาร์ cA ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด mxn ที่คำนวณโดย
การนำ c ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ A กล่าวคือ หาก
B = (b i,j) mxn = cA แล้ว b i,j = ca i,j ยกตัวอย่างเช่น

จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณ
ด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด mxn ว่าเป็น
เวกเตอร์ที่มีมิติ Mn ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับ
จึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

การกระทำระหว่างเมทริกซ์ (2)

การคูณ

ถ้า A = (a i,j) และ B = (b i,j)nxp เป็นเมทริกซ์สองเม
ทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B แล้ว
เราสามารถนิยาม ผลคูณ AB ว่าเป็นเมทริกซ์ C = (C i,j)mxp
โดยที่

กล่าวคือสมาชิกในแถว i หลัก j ของผลคูณ AB คำนวณได้
จากการนำสมาชิกของหลัก i ของ A และสมาชิกของคอลัมน์ B
ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง n ผลคูณ
นั้นมาบวกกัน

การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวก
เตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ ai = (ai,1,ai,2,…,ai,n) เป็นเวก
เตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว i ของ A และให้ bj = (b1,j
b2,j,…,Bn,j) เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก j ของ
แล้ว B เราจะได้ว่า ci,j = ai • bj เมื่อ คือผลคูณจุดของ ai และ
b3 เช่น

การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
สมบัติการเปลี่ยนหมู่: สำหรับเมทริกซ์ ขนาด,ขนาด,และ

ขนาดใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
สมบัติการแจกแจงทางขวา: สำหรับเมทริกซ์และขนาดและ

ขนาดใดๆ
สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: สำหรับเมทริกซ์และขนาดและ

ขนาดใดๆ

การกระทำระหว่างเมทริกซ์ (2)

การสลับเปลี่ยน

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก
จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เม
ทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m × n คือ A
T ขนาด n × m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ A tr , หรือ t A ,
หรือ A' ) ซึ่ง A T [ i , j ] = A [ j , i ] ยกตัวอย่างเช่น

เมทริกซ์จัตุรัส

เมทริกซ์จัตุรัส

เมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเม
ทริกซ์ขนาด n × n ยกเว้น n= 1

เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย In ขนาด n คือเม
ทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้
เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง
(เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด มีคุณสมบัติMIn =
M และ InN = N สำหรับทุกๆเมทริกซ์M ขนาด m × n และเม
ทริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:

เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิ เศษ

เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน
(transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ
หรือ สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j

เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน
(transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมี
เครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ หรือ สำหรับทุกดัชนีที่ i
และ j

เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็น
จำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate
transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่า
สมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้อง
เป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้ หรือเขียนแทนด้วยการสลับ
เปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า

เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้น
ทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลัก
เป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ

สรุปสูตรเมทริกซ์

สรุปสูตรเมทริกซ์