สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

บทท่ี 1สมการเชิงอนุพนั ธ์สามญั

สมการเชิงอนพุ ันธ์อนั ดับหน่งึ

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ : ดร.ภาขวญั ริยาพนั ธ์

1.1 บทนาํ

สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation) เป็นวิชาท่ีถือได้ว่าสําคัญแขนงหนึ่งของ
คณิตศาสตร์ยุคใหม่ ในยุคแรก ๆ วชิ าแคลคลู สั มบี ทบาทสาํ คัญในดา้ นการทาํ วจิ ัยทางทฤษฎี
และการประยุกต์ และยงั คงแสดงบทบาทสาํ คัญตอ่ วงการคณติ ศาสตร์จนถงึ ทุกวันนี้

ปัจจุบันน้ีสมการเชิงอนุพันธ์เป็นเคร่ืองมือที่สําคัญทางด้านวิศวกรรม ฟิสิกส์
วิทยาศาสตร์เพื่อชีวิต หรือตัวแบบทางคณิตศาสตร์ เป็นต้น มีหลายคําถามเกิดขึ้น ได้แก่
สมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร มีความสําคัญอย่างไร สามารถนําสมการเชิงอนุพันธ์ไปใช้
อย่างไร โดยท่ีคําถามเหล่านี้ได้แสดงมุมมองใน 3 ด้าน คือ ทฤษฎี (theory) วิธีการ
(method) และการประยกุ ต์ (application)

นอกจากนี้สมการเชิงอนุพันธ์เป็นวิชาท่ีมีส่วนสําคัญของหลักสูตรแกนกลางในสาขา
ต่าง ๆ ของวิทยาศาสตร์กายภาพและวิศวกรรมท่ัวโลก นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรมัก
ศึกษาระบบท่ีได้มีการเปลี่ยนแปลงและสมการเชิงอนุพันธ์ช่วยให้นักวิทยาศาสตร์และ
วิศวกรสามารถศึกษาการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรสําคัญของระบบและเพ่ือให้เข้าใจถึง
ปรากฏการณ์ทางกายภาพท่ีอยู่ลึกข้ึน สมการเชิงอนุพันธ์แตกต่างจากสมการพีชคณิตโดยท่ี
สมการเชิงอนุพันธ์เก่ยี วขอ้ งกบั อนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน การศกึ ษาสมการเชงิ อนุพนั ธต์ ้องมคี วาม
เข้าใจเกี่ยวกับแคลคูลัส ดังนั้นเราขอให้ผู้อ่านทบทวนหัวข้อท่ีสําคัญ ๆ ที่เก่ียวข้อง (เช่น ตัว
แปรอิสระและตัวแปรตาม ฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่ต่อเน่ือง อนุพันธ์สามัญและอนุพันธ์ย่อย
ผลต่างเชิงอนุพนั ธ์และส่วนเพม่ิ และการหาปริพนั ธ์ เป็นต้น)

ใ น บ ท นี้ ไ ด้ นํ า ผู้ อ่ า น เข้ า สู่ แ ง่ มุ ม เบ้ื อ ง ต้ น ข อ ง วิ ช า ส ม ก า ร เชิ ง อ นุ พั น ธ์ แ ล ะ ใ น
ขณะเดียวกันก็จะหาคําตอบอย่างสรุปของคําถามที่ได้เกริ่นไปแล้วข้างต้น และรายละเอียด
ของคําตอบสาํ หรบั คําถามข้างต้น

1.1.1 สมการเชิงอนุพันธแ์ ละการจําแนกของสมการเชิงอนุพันธ์

บทนิยาม 1.1.1 สมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation) คือสมการที่มีความสัมพันธ์กับ
อนุพันธ์ของตัวแปรตาม (dependent variable) หน่ึงตัวหรอื มากกว่าหนึ่งตัวเทียบกับตัวแปร
2 อิสระ (independent variable) หน่งึ ตัวหรือมากกว่าหนงึ่ ตัว

สมการเชิงอนุพนั ธ์อนั ดับหน่ึง ดร.ภาขวัญ ริยาพันธ์

ตวั อย่างที่ 1.1.1 ตวั อยา่ งต่อไปนีเ้ ป็นตวั อย่างของสมการเชิงอนุพันธ์

d 2y + xy æçèççddxy öø÷÷÷÷2 = 0 (1.1.1)
dx 2

d 4w + 5 d2w + 3w = sin t (1.1.2)
dt 4 dt2

¶u + ¶u = u (1.1.3)
¶s ¶t

¶2v + ¶2v + ¶2v = 0 (1.1.4)
¶x 2 ¶y 2 ¶z 2



ต่อไปเราจะจําแนกประเภทสมการเชิงอนุพันธ์ตามจํานวนตัวแปรอิสระที่ปรากฏอยู่

ในสมการดงั กล่าว

บทนิยาม 1.1.2 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ordinary differential equation) คือสมการเชิง

อนพุ ันธท์ ี่เก่ียวขอ้ งกับอนุพันธส์ ามัญของตัวแปรตามหนึ่งตัวหรอื มากกว่าหนึง่ ตวั เทียบกบั ตัว
แปรอสิ ระเพยี งหนง่ึ ตัว

ตัวอย่างท่ี 1.1.2 จากตัวอย่าง 1.1.1 จะเห็นได้ว่า สมการ (1.1.1) และ (1.1.2) เป็นสมการ

เชิงอนพุ ันธ์สามัญ โดยท่ีสมการ (1.1.1) มีตัวแปร x เป็นตวั แปรอสิ ระ และ ตวั แปร y เป็น
ตัวแปรตาม ส่วนสมการ (1.1.2) มีตัวแปร t เปน็ ตวั แปรอิสระ และ ตัวแปร w เป็นตวั แปร
ตาม 

บทนิยาม 1.1.3 สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (partial differential equation) คือสมการเชิง
อนุพันธ์ท่ีเก่ียวข้องกับอนุพันธ์ย่อย (partial derivative) ของตัวแปรตามหน่ึงตัวหรือ
มากกวา่ หนึ่งตัวเทยี บกับตวั แปรอสิ ระมากกว่าหนึ่งตวั

ตัวอย่างท่ี 1.1.3 จากตัวอย่าง 1.1.1 จะเห็นได้ว่า สมการ (1.1.3) และ (1.1.4) เป็นสมการ

เชงิ อนพุ ันธ์ยอ่ ย โดยที่สมการ (1.1.3) มีตัวแปร s และ t เปน็ ตวั แปรอิสระ และ ตัวแปร u

เป็นตวั แปรตาม สว่ นสมการ (1.1.4) มีตัวแปร x, y และ z เป็นตวั แปรอสิ ระ และ ตัวแปร 3

v เปน็ ตัวแปรตาม 

ต่อไปเราจะจําแนกสมการเชิงอนุพันธ์ซ่ึงประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและ
สมการเชิงอนุพนั ธ์ยอ่ ย ด้วยเงื่อนไขของอันดับ (order) ของอนุพันธอ์ ันดับสงู สุดท่ีปรากฏใน

สมการดงั บทนยิ ามต่อไป

สมการเชิงอนพุ ันธส์ ามัญ : ดร.ภาขวญั รยิ าพันธ์

บทนิยาม 1.1.4 อันดับของสมการเชิงอนุพันธ์ (order of a differential equation) คือ
อนั ดับของอนุพนั ธอ์ ันดับสงู สุดทปี่ รากฏในสมการเชงิ อนพุ ันธ์

ตัวอย่างที่ 1.1.4 จากตัวอย่าง 1.1.1 จะเหน็ ได้ว่า

สมการ (1.1.1) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง เนื่องจากอันดับสูงสุดของ

อนุพันธ์ทป่ี รากฏอย่ใู นสมการเป็นอนพุ ันธอ์ นั ดบั สอง

สมการ (1.1.2) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับส่ี เน่ืองจากอันดับสูงสุดของ

อนพุ ันธ์ทีป่ รากฏอยใู่ นสมการเปน็ อนพุ นั ธ์อันดับสี่

สมการ (1.1.3) และ (1.1.4) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหน่ึงและอันดับสอง

ตามลาํ ดบั 

ดําเนินการดว้ ยการศึกษาของสมการเชิงอนุพนั ธ์สามัญ เราจะนําเข้าสแู่ นวคดิ ที่สาํ คัญ
ของความเป็นเชิงเสน้ (linearity) เพ่ือประยุกตใ์ ช้กบั สมการดังกล่าว แนวคิดน้จี ะชว่ ยให้เรา

สามารถจําแนกสมการเหล่านไี้ ดต้ ่อไป

บทนิยาม 1.1.5 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับ n (linear ordinary differential

equation of ordern ) โดยมีตัวแปรy เป็นตัวแปรตามและตัวแปร x เป็นตัวแปรอิสระ คือ

สมการท่มี รี ปู แบบดงั นี้

a0 (x ) dn y + a1(x ) dn -1y +  + an -1(x ) dy + an (x)y = b(x)
dx dx dx
n n-1

เม่ือ a0 ไม่เทา่ กบั ศนู ย์

นอกจากนีเ้ รายงั มีขอ้ สงั เกตเก่ยี วกับสมการเชิงอนุพนั ธส์ ามญั เชงิ เสน้ ดงั น้ี
 ตัวแปรตาม y และอนพุ นั ธ์อันดับตา่ ง ๆ ของตวั แปรตาม y ต้องอยใู่ นรปู แบบของ

ระดบั ขั้น (degree) หน่งึ เท่าน้ัน

 ไมม่ พี จนข์ องผลคูณของตัวแปรตาม y และอนุพันธ์อนั ดบั ต่าง ๆ ของตัวแปรตาม y
ปรากฏอยใู่ นสมการดังกล่าว
4  ไมม่ ีฟังก์ชันอดิศัย (transcendental function) ของตัวแปรตาม y และอนพุ นั ธ์

ของตัวแปรตาม y ปรากฏอยูใ่ นสมการดังกลา่ ว

สมการเชิงอนพุ ันธ์อนั ดับหน่งึ ดร.ภาขวญั ริยาพันธ์

ตัวอยา่ งที่ 1.1.5 สมการเชงิ อนพุ นั ธส์ ามัญตอ่ ไปนเ้ี ป็นสมการเชงิ เสน้

d2y + 5 dy + 6y = 0 (1.1.5)
dx 2 dx

d 4y + x 2 d2y + x 3 dy = xex (1.1.6)
dx 4 dx 2 dx

โดยทแ่ี ตล่ ะสมการมตี ัวแปร y เปน็ ตัวแปรตาม จะเห็นไดว้ า่ ตวั แปร y และ อนพุ ันธ์ของตัว

แปร y ที่ปรากฏในสมการทั้งสองสมการอยู่ในรูประดับขั้นหนึ่งเท่าน้ัน และไม่มีพจน์ของ

ผลคณู ของตัวแปร y และ อนพุ นั ธ์ของตัวแปร y ที่ปรากฏอยู่ 

บทนิยาม 1.1.6 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่เชิงเส้น (nonlinear ordinary differential
equation) คอื สมการเชิงอนพุ ันธ์สามญั ทีไ่ ม่เป็นสมการเชิงเส้น

ตัวอยา่ งท่ี 1.1.6 สมการเชงิ อนพุ ันธ์สามญั ต่อไปน้ีเป็นสมการไมเ่ ชงิ เสน้

d2y + 5 dy + 6y2 = 0 (1.1.7)
dx 2 dx (1.1.8)

d 2y + 5èçæççddxy ÷ö÷ø÷÷2 + 6y = 0
dx 2

d2y + 5y dy + 6y = 0 (1.1.9)
dx 2 dx

สมการ (1.1.7) เป็นสมการไม่เชิงเส้นเพราะตัวแปรตาม y ปรากฏอยู่ในรูประดับข้ัน

สองในพจน์ 6y2

สมการ (1.1.8) เป็นสมการไม่เชิงเส้นเพราะมีพจน์ 5èçæççddxy ÷÷ø÷ö÷2 ปรากฏอยู่ซึ่งพจน์

ดงั กล่าวไม่สอดคล้องกับความเป็นเชิงเส้น

ส่วนสมการ (1.1.9) เป็นสมการไม่เชิงเส้นเพราะมีพจน์ 5y ççèæçddxy ÷øö÷÷÷ ปรากฏอยู่ ซึ่งอยู่ใน

รูปของผลคูณของตวั แปรตามและอนพุ นั ธอ์ นั ดับหน่ึงของตัวแปรตาม 

นอกจากน้ีสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นยังสามารถจําแนกตามลักษณะของ 5
สัมประสิทธ์ิของตัวแปรตามและอนุพันธ์ของตัวแปรตาม เช่น สมการ (1.1.5) เป็นสมการ

เชิงเส้นท่ีมีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว ในขณะที่สมการ (1.1.6) เป็นสมการเชิงเส้นที่มี

สมั ประสทิ ธเิ์ ป็นตัวแปร

สมการเชิงอนพุ นั ธ์สามัญ : ดร.ภาขวญั ริยาพันธ์

แบบฝึ กหดั หวั ขอ้ 1.1

สําหรับโจทยข์ อ้ 1-10

1. dy + x 2y = xex
dx

2. d 3y + 4 d2y - 5 dy + 3y = sin x
dx 3 dx 2 dx

3. ¶2u + ¶2u =0
¶x 2 ¶y 2

4. x 2dy + y2dx = 0

5. d 4y + 3èæçççddx2y2 ÷÷÷÷øö5 + 5y =0
dx 4

6. ¶4u + ¶2u + ¶2u + u = 0
¶x 2¶y2 ¶x 2 ¶y2

7. d2y + y sin x = 0
dx 2

8. d2y + x sin y = 0
dx 2

9. d 6x + ççèæçddt4x4 ÷÷÷ö÷øèçççæddt3x3 ÷ø÷÷ö÷ + x =t
dt 6

10. çæçèçddrs ÷÷÷ö÷ø3 = d2r + 1
ds2

จงตอบคาํ ถามต่อไปนี้

ก. จําแนกว่าสมการในข้อ 1-10 เป็นสมการเชงิ อนุพนั ธส์ ามญั หรอื สมการเชงิ อนุพันธย์ ่อย

ข. หาอันดบั ของแต่ละสมการในข้อ 1-10

ค. จําแนกว่าสมการในขอ้ 1-10 เปน็ สมการเชงิ เส้นหรือสมการไมเ่ ชิงเส้น

6

สมการเชิงอนุพนั ธอ์ นั ดับหน่งึ ดร.ภาขวญั ริยาพนั ธ์

1.2 สมการเชิ งอนุพันธ์แบบแม่นตรงและตัวประกอบปริพันธ์ (Exact
Differential Equations and Integrating Factors)

1.2.1 รูปแบบมาตรฐานของสมการเชิงอนุพนั ธ์อนั ดบั หน่ึง

สมการเชิงอนุพนั ธอ์ ันดบั หนง่ึ ทุกสมการสามารถแสดงดว้ ยนพิ จนไ์ ด้ 2 รปู แบบดงั น้ี
 รปู แบบอนุพนั ธ์ (derivative form)

dy = f (x,y) (1.2.1)
dx (1.2.2)

 รูปแบบเชงิ อนุพันธ์ (differential form)

M(x,y)dx + N (x,y)dy = 0

ในรูปแบบ (1.2.1) จะเห็นไดว้ า่ ตัวแปร y เปน็ ตวั แปรตามและตัวแปร x เปน็ ตวั แปรอสิ ระ

ในขณะทรี่ ูปแบบ (1.2.2) เราอาจจะมองตัวแปรใดเปน็ ตวั แปรตามและอกี ตัวแปรเป็นตัว

แปรอสิ ระ ในท่นี ี้สําหรบั สมการเชงิ อนพุ นั ธท์ ุกสมการท่ีอยใู่ นรปู แบบ (1.2.2) โดยมตี วั แปร

x และ y ปรากฏอยู่ในสมการนนั้ ให้มองตัวแปร y เป็นตัวแปรตามและตวั แปร x เปน็
ตัวแปรอสิ ระ

1.2.2 สมการเชิงอนพุ ันธ์แบบแม่นตรง

บทนิยาม 1.2.1 กาํ หนดให้ F(x,y) เป็นฟงั ก์ชนั คา่ จรงิ ซึง่ F มอี นพุ ันธ์ย่อยอันดับหนง่ึ ที่

ต่อเนอ่ื งบนโดเมนD ผลต่างเชงิ อนพุ ันธร์ วม (total differential)dF ของฟังก์ชนั F

นยิ ามโดย dF (x, y ) = ¶F(x, y) dx + ¶F(x, y) dy สําหรบั ทกุ (x,y) Î D
¶x ¶y

ตัวอยา่ งที่ 1.2.1 กาํ หนดให้ F(x,y) = xy2 + 2x3y สําหรบั ทุก (x,y) Î 

วิธีทาํ จะเหน็ ไดว้ า่ ¶F (x, y) = y2 + 6x 2y และ ¶F(x, y) = 2xy + 2x 3
¶x ¶y

จะได้ ผลตา่ งเชิงอนุพันธ์ dF(x,y) = (y2 + 6x2y)dx + (2xy + 2x 3)dy ทกุ (x,y) Î  

7

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ : ดร.ภาขวญั รยิ าพนั ธ์

บทนยิ าม 1.2.2 ถา้ มฟี งั ก์ชนั คา่ จรงิ F(x,y)ซึ่งทาํ ให้ ¶F (x, y ) = M (x, y) และ
¶x

¶F (x, y) = N (x, y) สําหรับทกุ (x, y ) Î D แล้ว เราจะกลา่ วไดว้ ่านิพจน์
¶y

M(x,y)dx + N(x,y)dy เปน็ ผลตา่ งเชงิ อนุพนั ธแ์ บบแม่นตรงบนโดเมนD

นอกจากนี้ ถา้ นิพจน์ M(x,y)dx + N(x,y)dy เปน็ ผลตา่ งเชงิ อนุพันธ์แบบแมน่ ตรงบน

โดเมนD แลว้ สมการเชงิ อนุพนั ธ์ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 เปน็ สมการเชิงอนพุ นั ธ์

แบบแม่นตรง(exact differential equation)

ตวั อยา่ งท่ี 1.2.2 ให้ตรวจสอบสมการเชงิ อนพุ นั ธ์ทกี่ ําหนดใหว้ ่าเป็นสมการเชิงอนพุ ันธแ์ บบ

แม่นตรงหรือไม่

กําหนดให้ y2dx + 2xydy = 0 (1.2.3)

วิธีทาํ เมื่อเราพจิ ารณาฟงั ก์ชัน F(x,y) = xy2

จะได้วา่ ¶F (x, y) = y2 และ ¶F (x, y ) = 2xy
¶x ¶y

จาก (1.2.3) จะเหน็ ได้ว่า M(x,y) = y2 = ¶F(x,y) และ N(x,y) = 2xy = ¶F(x,y)
¶x ¶y

ทําให้ได้วา่ นพิ จน์ดา้ นซา้ ยมือของ (1.2.3) เป็นผลต่างเชิงอนุพนั ธแ์ บบแมน่ ตรง

จากบทนยิ าม 1.2.2 จะได้วา่ (1.2.3) เปน็ สมการเชิงอนุพนั ธ์แบบแม่นตรง 

จากตัวอยา่ งที่ 1.2.2 ในทางกลบั กนั ถา้ นํา y ไปหารตลอดสมการ (1.2.3)

ทาํ ใหไ้ ด้สมการใหม่เป็น ydx + 2xdy = 0 (1.2.4)

ผู้อ่านสามารถทดสอบได้ดว้ ยตนเองตามวิธีการของตัวอย่างที่ 1.2.2

จะได้ว่า (1.2.4) ไมเ่ ป็นสมการเชงิ อนุพันธ์แบบแมน่ ตรง

ต่อไปจะได้นาํ เสนอวธิ กี ารตรวจสอบสมการเชิงอนุพันธ์ที่กําหนดใหเ้ ป็นสมการแมน่ ตรง

หรือไมด่ ว้ ยทฤษฎบี ททจี่ ะกลา่ วตอ่ ไปนี้

8 ทฤษฎีบท 1.2.3 กําหนดให้ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1.2.5)
เมือ่ M และN มีอนพุ ันธ์ย่อยอันดับหน่งึ สําหรบั ทกุ จดุ (x,y) Î D จะได้วา่

1. ถา้ สมการเชิงอนุพันธ์ (1.2.5) เปน็ สมการแมน่ ตรง แลว้ ¶M (x, y ) = ¶N (x, y) สาํ หรบั
¶y ¶x

ทกุ (x,y) Î D

สมการเชิงอนพุ ันธอ์ นั ดบั หน่ึง ดร.ภาขวัญ รยิ าพันธ์

2. ในทางกลับกนั ถ้า ¶M (x, y) = ¶N (x, y) สาํ หรบั ทกุ (x,y) Î D แล้ว สมการเชงิ อนุพันธ์
¶y ¶x

(1.2.5) เป็นสมการแมน่ ตรง

พสิ จู น์ พจิ ารณาส่วนท่ี1

ถ้าสมการเชงิ อนุพันธ์ (1.2.5) เปน็ สมการแม่นตรงบนโดเมน D ทําใหไ้ ดว้ ่า

M(x,y)dx + N(x,y)dy เป็นผลต่างเชงิ อนุพนั ธ์แบบแมน่ ตรงบนโดเมน D ด้วย

ดงั น้ันโดยบทนิยามของผลตา่ งเชิงอนุพันธ์แบบแม่นตรง เราจะได้วา่ มฟี ังกช์ ันF(x,y)ซงึ่

¶F (x, y) = M (x, y ) และ ¶F(x, y) = N (x, y) สาํ หรับทกุ (x,y) Î D
¶x ¶y

ยิง่ ไปกวา่ นนั้ เมื่อเราพจิ ารณา ¶2F(x,y) = ¶M(x,y) และ ¶2F(x,y) = ¶N(x,y)
¶y¶x ¶y ¶x ¶y ¶x

สาํ หรบั ทกุ (x,y) Î D

เนื่องจาก M และN มีอนุพันธย์ ่อยอนั ดับหน่งึ สาํ หรบั ทกุ จุด (x,y) Î D

ดังน้ันฟงั กช์ ัน M และN เปน็ ฟงั ก์ชันทมี่ คี วามต่อเนอ่ื ง สาํ หรบั ทุก (x,y) Î D

ส่งผลให้ ¶2F(x,y) = ¶2F(x,y) ดังนัน้ ¶M (x, y ) = ¶N (x, y) สําหรบั ทกุ (x, y) ÎD
¶y¶x ¶x ¶y ¶y ¶x

พจิ ารณาส่วนท่ี 2 ส่วนนี้เปน็ ส่วนกลับของสว่ นท่ี 1 ดงั นั้นเราเรมิ่ ตน้ จากสมมุติฐาทว่ี ่า

¶M(x,y) = ¶N(x,y) สําหรับทุก (x,y) Î D
¶y ¶x

จากสมมตุ ิฐานข้างตน้ เราสามารถพจิ ารณาสมการขา้ งตน้ ในรปู แบบ (1.2.5)

M(x,y)dx + N (x,y)dy = 0

ต่อไปจะตอ้ งแสดงว่า สมการเชิงอนุพันธ์ (1.2.5) เป็นสมการแบบแม่นตรง โดยการแสดงวา่
มฟี งั กช์ นั F(x,y)ซ่งึ

¶F (x, y) = M (x, y ) (1.2.6)
¶x

และ

¶F (x, y) = N (x,y) (1.2.7)
¶y

สาํ หรับทุก (x,y) Î D 9

เราอาจจะเรม่ิ หาฟงั กช์ นั จาก (1.2.6) หรือ (1.2.7)

ในท่นี ี้เราจะพิจารณา(1.2.6) โดยการอนิ ทิเกรตเทียบกับ x ทงั้ สองข้างของสมการ

ทําให้ไดว้ า่ F(x,y) = ò M(x,y)¶x + f(y) (1.2.8)

เมอ่ื ò M(x,y)¶x แทนการหาปริพนั ธ์ย่อยเทียบกบั ตวั แปรx ในขณะที่พจิ ารณาตวั แปร y

สมการเชิงอนุพันธส์ ามญั : ดร.ภาขวญั ริยาพนั ธ์

เป็นคา่ คงที่ และf เปน็ ฟังก์ชันคงคา่ ของตัวแปรy เท่านั้น
ต่อไปนําสมการ (1.2.8) มาหาอนุพนั ธย์ ่อยเทียบกบั ตวั แปร y จะได้วา่

¶F (x, y) = ¶ ò M (x, y ) ¶x + df(y)
¶y ¶y dy

นาํ มาเปรยี บเทยี บกบั (1.2.7) จงึ ได้ว่า

N (x, y) = ¶ ò M (x, y ) ¶x + df(y) (1.2.9)
¶y dy (1.2.10)

จาก (1.2.9) จะได้ df(y) = N (x,y) - ¶ ò M (x, y) ¶x
dy ¶y

เนอื่ งจากf เป็นฟังกช์ ันคงคา่ ของตวั แปรy เทา่ น้นั
เมอื่ นาํ สมการ (1.2.10) มาหาอนพุ นั ธ์ย่อยเทยี บกบั ตัวแปร x ทําใหไ้ ด้วา่

¶ ççèçæN (x, y ) - ¶ ò M(x,y)¶x øö÷÷÷÷ = 0
¶x ¶y

¶N (x, y) - ¶2 ò M (x, y) ¶x = 0
¶x ¶x ¶y

จาก (1.2.6) และ (1.2.7) และสมมตุ ฐิ าน จะได้

¶2F (x, y) ¶2F (x, y ) ¶2
¶x ¶y ¶y¶x ¶y¶x
ò ò¶2

¶x ¶y
M (x, y) ¶x = = = M (x, y ) ¶x

ดังน้นั

¶ çèæççN (x,y) - ¶ ò M(x,y)¶x øö÷÷÷÷ = ¶N (x, y ) - ¶2 ò M (x, y) ¶x
¶x ¶y ¶x ¶y¶x

= ¶N(x,y) - ¶M(x,y)
¶x ¶y

=0

นอกจากนี้ สมการ (1.2.10) สามารถจัดรูปแบบใหม่ไดด้ ังตอ่ ไปน้ี

f(y) = ò æçççèN (x,y) - ¶ ò M(x,y)¶x ÷÷ø÷ö÷dy (1.2.11)
¶y

10 แทนค่า f(y) จาก (1.2.11) ในสมการ (1.2.8) จะได้วา่

F (x, y ) = ò M (x, y )¶x + ò éëêêN(x,y) - ò ¶M (x, y) ¶x úúùû dy (1.2.12)
¶y

ฟงั ก์ชัน F(x,y)ท่ไี ดจ้ าก (1.2.12) สอดคลอ้ งกับสมการ (1.2.6) และ (1.2.7)

ดงั นั้น M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 เปน็ สมการเชิงอนพุ ันธ์แบบแมน่ ตรง 

สมการเชิงอนพุ ันธอ์ นั ดับหน่ึง ดร.ภาขวญั รยิ าพันธ์

ตวั อย่างที่ 1.2.3 ใหใ้ ชเ้ กณฑจ์ ากทฤษฎบี ท 1.2.3 เพื่อตรวจสอบวา่ สมการ (1.2.3) จาก

ตัวอย่างท่ี 1.2.2 เป็นสมการแบบแม่นตรง

วธิ ท๊ ํา จาก (1.2.3) y2dx + 2xydy = 0

ทาํ ใหไ้ ด้ว่า และM(x,y) = y2 N(x,y) = 2xy

จะเหน็ วา่ ¶M (x, y) = 2y = ¶N (x, y) สําหรบั ทกุ (x,y) Î D
¶y ¶x

ดังนน้ั สมการ (1.2.3) เปน็ สมการเชงิ อนุพันธ์แบบแมน่ ตรง 

ในทางกลับกนั เมื่อพิจารณาสมการ (1.2.4) ydx + 2xdy = 0

จะได้ M(x,y) = y และ N(x,y) = 2x

จะเหน็ วา่ ¶M (x, y ) = 1 ¹ 2 = ¶N (x,y) สําหรับทกุ (x,y) Î D
¶y ¶x

ดงั นน้ั สมการ (1.2.4) ไม่เปน็ สมการเชิงอนพุ นั ธแ์ บบแม่นตรง

1.2.3 ผลเฉลยของสมการเชิงอนพุ ันธแ์ มน่ ตรง
ก่อนหนา้ นี้เราได้ตรวจสอบความเปน็ แม่นตรงจนมน่ั ใจแลว้ วา่ เป็นสมการเชงิ อนุพันธ์

แบบแม่นตรงแลว้ ตอ่ ไปเราจะหาผลเฉลยของสมการดังกล่าว

ถ้า M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 เป็นสมการแมน่ ตรงในโดเมนเชิงตัง้ ฉาก D แลว้ มี

ฟงั กช์ ันF ซงึ่ ¶F (x, y ) = M (x, y ) และ ¶F (x, y) = N (x,y) สําหรับทกุ (x,y) Î D
¶x ¶y

นอกจากนีเ้ ราอาจจะเขยี นสมการข้างต้นในรปู

หรอื¶F(x,y)dx + ¶F(x, y) dy = 0 dF(x,y) = 0
¶x ¶y

โดยมี F(x,y) = c เป็นผลเฉลยของสมการแมน่ ตรง เมอ่ื c เป็นตวั คงคา่

ทฤษฎบี ท 1.2.4 กําหนดให้สมการเชงิ อนุพันธ์ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 เปน็ สมการแม่น

ตรงในโดเมนเชิงตงั้ ฉากD และสอดคล้องกบั เง่อื นไขทีต่ อ้ งการของทฤษฎีบท 1.2.3 แลว้

วงศท์ ี่มีพารามิเตอร์หนง่ึ ตัวของผลเฉลยของสมการเชิงอนพุ นั ธ์น้ีจะอย่ใู นรูปแบบ

F(x,y) = c เมือ่ F เปน็ ฟงั ก์ชนั ซึ่ง ¶F (x, y) = M (x, y ) และ ¶F (x, y) = N (x, y) สาํ หรบั 11
¶x ¶y

ทุก (x,y) Î D และ c เปน็ ตัวคงค่า

สมการเชิงอนพุ นั ธ์สามัญ : ดร.ภาขวญั ริยาพันธ์

ตัวอย่างท่ี 1.2.5 ใหห้ าผลเฉลยของ (3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0 (1.2.13)

วิธที ํา กอ่ นอน่ื เราตอ้ งตรวจสอบสมการเชงิ อนพุ ันธท์ ่ีกาํ หนดใหเ้ ป็นสมการแมน่ ตรงหรือไม่

ในทน่ี ี้ และM(x,y) = 3x2 + 4xy N (x,y) = 2x 2 + 2y

จะได้วา่ ¶M (x, y ) = 4x และ ¶N (x,y) = 4x สาํ หรับทกุ จํานวนจรงิ (x, y )
¶y ¶x

จะเหน็ ว่า ¶M (x, y ) = ¶N (x, y) = 4x
¶y ¶x

ดงั นัน้ สมการท่กี าํ หนดให้เปน็ สมการแม่นตรงในทกุ โดเมนเชงิ ต้ังฉาก D
ตอ่ ไปเราจะหาฟงั ก์ชนั ค่าจริง F ซ่งึ

¶F (x, y) = M (x, y) = 3x 2 + 4xy (1.2.14)
¶x

และ

¶F (x, y) = N (x,y) = 2x 2 + 2y (1.2.15)
¶y

จาก (1.2.14) จะได้

ò òF(x,y) = M(x,y)¶x + f(y) = (3x 2 + 4xy)¶x + f(y) = x 3 + 2x 2y + f(y) (1.2.16)

แลว้ นาํ (1.2.16) มาหาอนุพันธ์ยอ่ ยเทยี บกับตวั แปร y ทงั้ สองขา้ งของสมการ

จะทําใหไ้ ด้ว่า ¶F (x, y ) = 2x 2 + df(y)
¶y dy

แตจ่ าก (1.2.15) เราทราบวา่ ¶F(x,y) = N(x,y) = 2x2 + 2y
¶y

ดังน้ัน 2x2 + df(y) = 2x2 + 2y  df(y) = 2y  f(y) = y2 +c0 เม่อื c0 เปน็ ตวั คงค่า
dy dy

จะไดว้ า่ F(x,y) = x 3 + 2x2y + y2 + c0
ดงั นั้น วงศท์ ่มี ีพารามิเตอรห์ นงึ่ ตวั ของผลเฉลย คือ F(x,y) = c1 เมือ่ c1 เป็นตวั คงค่า
หรอื x 3 + 2x2y + y2 + c0 = c1 หรือ x 3 + 2x2y + y2 = c เม่อื c = c1 -c0 เป็นตัวคงคา่
โดยไม่เสียนัยทั่วไป c0 = 0  f(y) = y2

นอกจากนต้ี ัวอย่างน้ีสามารถหาผลเฉลยได้โดยวธิ ขี องการจดั กลุม่ (Method of grouping)
12 ดว้ ยการพิจารณาพจน์ทางซา้ ยในรปู แบบของผลรวมของผลต่างเชิงอนพุ ันธ์แบบแม่นตรง

จากโจทย์ (3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0 จดั สมการในรูปแบบใหม่

3x 2dx + (4xydx + 2x 2dy) + 2ydy = 0

จะไดว้ ่า  d(x 3) + d(2x 2y) + d(y2) = d(c)

 d(x 3 + 2x 2y + y2 ) = d(c)

สมการเชิงอนพุ นั ธอ์ นั ดับหน่ึง ดร.ภาขวญั ริยาพันธ์

เมื่อ c เป็นตัวคงค่า 
หาปริพนั ธท์ ั้งสองขา้ งของสมการจะไดว้ ่า x3 + 2x2y + y2 = c

ตวั อยา่ งที่ 1.2.6 จงหาผลเฉลยของปญั หาคา่ เริ่มต้น

(2x cos y + 3x 2y)dx + (x 3 - x 2 sin y - y)dy = 0, y(0) = 2 (1.2.17)

วธิ ีทํา กอ่ นอน่ื เราต้องตรวจสอบสมการเชงิ อนุพันธท์ ี่กาํ หนดใหเ้ ป็นสมการแมน่ ตรงหรอื ไม่

เน่อื งจาก ¶M (x, y ) = -2x sin y + 3x 2 = ¶N (x, y) สาํ หรบั ทุกจาํ นวนจริง (x,y)
¶y ¶x

ในที่นีจ้ ะไดน้ ําเสนอวธิ กี ารหาผลเฉลยของปญั หาดงั กล่าวด้วยกัน 2 วิธี ดงั นี้

วธิ มี าตรฐาน เราสามารถหาฟงั กช์ ัน F(x,y) ได้จาก

¶F(x, y) = M (x, y) = 2x cos y + 3x 2y (1.2.18)
¶x

และ

¶F (x, y ) = N (x,y) = x3 -x2 sin y -y (1.2.19)
¶y

จาก (1.2.18) จะได้

F(x,y) = ò M(x,y)¶x + f(y)

= ò (2x cos y + 3x 2y)¶x + f(y)

= x 2 cos y + x 3y + f(y) (1.2.20)

นําสมการ (1.2.20) มาหาอนุพันธ์ยอ่ ยเทียบกบั ตัวแปร y ท้ังสองข้างของสมการ

จะได้ ¶F (x, y) = -x 2 sin y +x3 + df(y)
¶y dy

แตจ่ าก (1.2.19) ¶F(x,y) = N(x,y) = x 3 - x2 sin y - y
¶y

ทําให้ได้วา่ df(y) = -y  f(y) = - y2 + c0
dy 2

ดังนั้น F(x,y) = x2 cos y + x 3y - y2 + c0
2

จากทฤษฎีบท 1.2.4 วงศ์ทีม่ ีพารามิเตอรห์ นึง่ ตัวของผลเฉลยของสมการเชงิ อนพุ นั ธ์นจ้ี ะอยู่ 13

ในรปู แบบ F(x,y) = c1

ดังนนั้ ผลเลยทวั่ ไปของสมการนค้ี อื x2 cosy + x3y - y2 = c (1.2.21)
2

เมอ่ื c = c1 -c0
ต่อไปแทนคา่ y = 2 และ x = 0 ลงใน (1.2.21) จะได้ c = -2

สมการเชิงอนพุ นั ธส์ ามญั : ดร.ภาขวญั รยิ าพันธ์

ดังนัน้ ผลเฉลยท่ีสอดคลอ้ งกับปญั หาคา่ เรม่ิ ต้นคือ x2 cosy + x3y - y2 = -2
2

วธิ กี ารจดั กลุ่ม เราสามารถจดั รูปแบบใหม่ของ (1.2.17) โดยการรวมพจน์ท่สี ามารถจัดเป็น

กล่มุ ใหมท่ ่ีทําใหร้ ปู ดิฟเฟอเรนเชยี ลได้
จะได้ (2x cos y dx - x 2 sin y dy) + (3x 2ydx + x 3dy) - ydy = 0

d(x2 cos y ) + d(yx 3) -d ççæèçy22 ÷÷ø÷ö÷ = d(c)

ò d(x2 cos y ) + ò d(yx 3) - ò d çèæççy22 ÷÷÷ø÷ö = ò d(c)

x 2 cos y + x 3y - y2 = c
2

เปน็ ผลเฉลยของทวั่ ไปของสมการเชิงอนุพันธท์ ่ีกาํ หนดให้
ในทํานองเดยี วกัน แทนค่าเรม่ิ ตน้ ของปัญหาด้วย y = 2 และ x = 0

จะได้ x2 cosy + x 3y - y2 = -2 เชน่ กนั 
2

1.2.4 ตวั ประกอบปรพิ นั ธ์

กาํ หนดให้สมการเชงิ อนพุ นั ธ์ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

ถ้า ¶M(x,y) = ¶N(x,y) แลว้ สมการขา้ งต้นเป็นสมการแบบแมน่ ตรง และผลเฉลย
¶y ¶x

สอดคลอ้ งกับ (1.2.12)

แตถ่ ้า ¶M (x, y ) ¹ ¶N (x, y) แลว้ ทาํ ใหไ้ ดว้ ่าสมการข้างตน้ ไมเ่ ป็นสมการแบบแมน่ ตรง
¶y ¶x

เราสามารถทําให้สมการท่ีไมเ่ ปน็ สมการแบบแมน่ ตรงเป็นสมการแบบแมน่ ตรงโดยการหา

ตวั ประกอบปริพันธ์มาคณู สมการท้งั สองขา้ งของสมการท่ีไม่เป็นสมการแบบแมน่ ตรง ดงั บท

นิยามต่อไปนี้

บทนยิ าม 1.2.5 ถ้าสมการเชิงอนพุ ันธ์ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 ไมเ่ ป็นสมการแบบแมน่

14 ตรง แต่สมการเชงิ อนพุ ันธ์ m(x,y)M(x,y)dx + m(x,y)N(x,y)dy = 0 เปน็ สมการแบบแมน่
ตรง แล้ว m(x,y) เป็นตวั ประกอบปริพันธ์ของสมการเชงิ อนุพันธ์ที่กําหนดให้

ทฤษฎีบท 1.2.6 กําหนดให้สมการเชิงอนุพันธ์ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 และ
M(x,y),N(x,y),My(x,y),Nx (x,y) เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนือ่ งบนโดเมน D แลว้

สมการเชิงอนพุ ันธอ์ นั ดับหน่งึ ดร.ภาขวญั ริยาพนั ธ์

(ก) ถา้ My -Nx เปน็ ฟงั ก์ชันทขี่ น้ึ อยกู่ บั ตวั แปรx เพยี งตัวแปรเดียวเท่านนั้ และให้
N

p(x) = My - Nx แลว้ m(x) = eò p(x)dx เป็นตัวประกอบปรพิ นั ธ์ของสมการเชงิ
N

อนพุ นั ธ์ขา้ งตน้
(ข) ถ้า Nx -My เป็นฟงั กช์ ันที่ขน้ึ อยกู่ บั ตัวแปร y เพยี งตัวแปรเดยี วเท่าน้ัน และ

M

ให้ q(y) = Nx - My แล้ว m(y) = eò q(y)dy เปน็ ตวั ประกอบปริพันธข์ องสมการ
M

เชงิ อนพุ ันธข์ ้างตน้

ตวั อยา่ งที่ 1.2.7 ใหห้ าตวั ประกอบปริพันธ์ (1.2.17)

(2xy3 - 2x 3y3 - 4xy2 + 2x)dx + (3x 2y2 + 4y)dy = 0

และหาผลเฉลยของสมการ (1.2.17)
วิธที ํา จาก (1.2.17) จะเหน็ วา่
และM(x,y) = 2xy3 - 2x 3y3 - 4xy2 + 2x, N(x,y) = 3x 2y2 + 4y

My - Nx = (6xy2 - 6x 3y2 - 8xy) - 6xy2 = -6x 3y2 - 8xy

จะเหน็ วา่ My - Nx ¹ 0 ดงั นัน้ (1.2.17) ไมเ่ ป็นสมการแบบแมน่ ตรง
เมอ่ื พิจารณา My - Nx = - 6x3y2 + 8xy = -2x เป็นฟงั ก์ชนั ของตัวแปร x เท่านนั้

N 3x 2y2 + 4y

ดงั นัน้ p(x) = My - Nx = -2x และ ò p(x )dx = -ò 2x dx = -x 2
N

ในท่นี ้ี ตวั ประกอบปรพิ ันธ์ คอื m(x) = eò p(x)dx = e-x2

นําตัวประกอบปรพิ นั ธ์ ไปคูณตลอดสมการ (1.2.17) ทาํ ใหไ้ ด้ว่า

e-x2 (2xy 3 - 2x 3y3 - 4xy2 + 2x)dx + e-x2 (3x 2y2 + 4y)dy = 0 (1.2.18)

หาผลเฉลย F(x,y) จาก (1.2.18)

จะเหน็ ว่า Fx (x, y) = e-x2 (2xy 3 - 2x 3y 3 - 4xy2 + 2x) (1.2.19)
(1.2.20)
และ Fy (x,y) = e-x2 (3x 2y2 + 4y) 15

จาก (1.2.20) หาปริพนั ธ์เทยี บกับตัวแปร y ทาํ ใหไ้ ด้ว่า

F(x,y) = e-x2 (x 2y 3 + 2y2 ) + y(x) (1.2.21)

หลังจากน้นั นาํ (1.2.21) มาหาอนพุ ันธย์ อ่ ยเทียบกับตวั แปร x

Fx (x,y) = e-x2 (2xy 3 - 2x 3y 3 - 4xy2 ) + y¢(x) (1.2.22)

นํา (1.2.22) มาเปรยี บเทยี บกับ (1.2.19)

สมการเชิงอนพุ ันธ์สามัญ : ดร.ภาขวญั ริยาพนั ธ์

จะได้ y¢(x) = 2xe-x2  y(x) = -e-x2 
นาํ y(x) = -e-x2 ไปแทนใน (1.2.21)
ทําให้ไดผ้ ลเฉลยของสมการเชงิ อนุพนั ธ์ e-x2 (x2y3 + 2y2) -e-x2 = c

แบบฝึ กหดั หวั ขอ้ 1.2

สําหรบั โจทยข์ อ้ 1-10 จงตรวจสอบว่าสมการที่กําหนดใหเ้ ป็นสมการแมน่ ตรงหรือไม่ ถา้ เปน็
สมการแมน่ ตรงให้หาผลเฉลยของสมการดงั กลา่ วด้วย

1. (3x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0

2. (y2 + 3)dx + (2xy - 4)dy = 0

3. (2xy + 1)dx + (x 2 + 4y)dy = 0

4. (3x 2y + 2)dx - (x 3 + y)dy = 0

5. (6xy + 2y2 - 5)dx + (3x 2 + 4xy - 6)dy = 0

6. (q2 + 1) cos r dr + 2q sin r dq = 0

7. (y sec2 x + sec x tan x)dx + (tan x + 2y)dy = 0

8. çæèççyx2 + x÷ø÷÷ö÷dx + çæççè x 2 + y÷÷ö÷ø÷dy = 0
y 3

9. çèççæ2s - 1öø÷÷÷÷ds + èçççæs -s 2 öø÷÷÷÷dt = 0
t t2

10. çæçèç 2y 3/2 + 1öø÷÷÷÷dx + (3x 1/2y1/2 - 1)dy = 0
x 1/2

สสาํ หรบั โจทย์ขอ้ 11-14 จงหาผลเฉลยของปญั หาค่าเริ่มต้นตอ่ ไปนี้
11. (2xy - 3)dx + (x 2 + 4y)dy = 0, y(1) = 2

12. (3x 2y2 - y3 + 2x)dx + (2x 3y - 3xy2 + 1)dy = 0, y(-2) = 1

16 13. (2y sin x cos x + y2 sin x)dx + (sin2 x - 2y cos x)dy = 0, y(0) = 3

14. (yex + 2ex + y2)dx + (ex + 2xy)dy = 0, y(0) = 6

15. จงหาคา่ คงตัว A ท่ที าํ ใหส้ มการทกี่ าํ หนดให้เปน็ สมการแมน่ ตรง พร้อมทั้งหาผลเฉลย

ของสมการดังกลา่ วด้วย
ก. (x 2 + 3xy)dx + (Ax2 + 4y)dy = 0

สมการเชิงอนุพันธอ์ นั ดับหน่งึ ดร.ภาขวญั รยิ าพันธ์

ข. ççæçè 1 + 1 ÷ø÷ö÷÷dx + èçæçç Ax + 1÷÷÷÷øödy = 0
x2 y2 y
3

16. จงหาฟังก์ชัน N(x,y) ท่ที ําใหส้ มการที่กาํ หนดให้ปน็ สมการแมน่ ตรง

ก. (x 3 + xy2)dx + N(x,y)dy = 0

ข. (x-2y-2 + xy-3)dx + N (x,y)dy = 0

1.3 สมการแบบแยกกันได้และสมการเอกพันธุ์ (Separable Equations
and Homogeneous Equations)

1.3.1 สมการแบบแยกกนั ได้

บทนิยาม 1.3.1 สมการแบบแยกกนั ได้ คือ สมการทมี่ ตี ัวแปรแยกกนั ไดด้ ังรูปแบบตอ่ ไปน้ี

F(x)G(y)dx + f (x)g(y)dy = 0 (1.3.1)

โดยทว่ั ไปแล้วสมการแบบแยกกนั ได้ (1.3.1) จะไมเ่ ปน็ สมการแม่นตรง แตเ่ รา

สามารถทําใหส้ มการ (1.3.1) เปน็ สมการแม่นตรงโดยการคูณสมการดงั กลา่ วด้วยตัว

ประกอบปรพิ ันธ์ 1 ตลอดสมการ เราจะไดว้ ่า
f (x)G(y)

F(x) dx + G(y) dy = 0 (1.3.2)
f (x) g(y)

จาก (1.3.2) จะเหน็ ว่า M(x) = F(x) และ N(y) = G(y)
f (x) g(y)

ทําใหไ้ ด้วา่ ¶ éêëêFf ((xx))ùûúú = 0 = ¶ éêëêGg((yy))úúûù
¶y ¶x

ดังนัน้ สมการ (1.3.2) เปน็ สมการแบบแมน่ ตรง 17

นอกจากนี้ เราสามารถจดั (1.3.2) ใหม่ ในรปู แบบ M(x)dx + N(y)dy = 0 (1.3.3)

และผลเฉลยของ (1.3.3) อยู่ในรูปแบบ ò M(x)dx + ò N(y)dy = c (1.3.4)

ยิ่งไปกว่านนั้ สมการ (1.3.1) เราสามารถเขียนในรูปแบบอนพุ ันธ์ไดด้ งั นี้

f (x)g(y) dy + F(x)G(y) = 0 (1.3.5)
dx

สมการเชิงอนพุ นั ธส์ ามญั : ดร.ภาขวญั ริยาพันธ์

ตัวอยา่ งท่ี 1.3.1 ให้หาผลเฉลยของสมการเชิงอนพุ ันธ์ทีก่ าํ หนดให้

(x - 4)y4dx - x 3(y2 - 3)dy = 0 (1.3.6)

วิธที ํา จาก (1.3.6) จะได้ว่าสมการนเี้ ป็นสมการแบบแยกกนั ได้

ดังน้ันเราสามารถนํา x3y4 หารตลอดสมการ ทําใหไ้ ดว้ า่

(x - 4) dx - (y2 - 3) dy = 0 (1.3.7)
x3 y4

หรือ

(x -2 - 4x -3 )dx - (y-2 - 3y-4 )dy = 0 (1.3.8)

หลงั จากนั้น หาปริพนั ธต์ ลอดสมการ (1.3.8) ทาํ ใหไ้ ดผ้ ลเฉลยของสมการดังนี้

-1 + 2 +1- 1 =c (1.3.9)
x x2 y y3

เมอ่ื c เป็นคา่ คงตัว 

จากตัวอย่างท่ี 1.3.1 ในข้ันตอนการแยกตัวแปร เราสามารถนํา x3y4 หารตลอด

สมการ โดยท่ี x ¹ 0 และ y ¹ 0 แล้วจดั รูปสมการข้างตน้ ในรูปแบบอนุพันธ์ ทําให้ไดว้ ่า

dy = (x - 4)y4 (1.3.10)
dx x 3(y2 - 3)

จะเหน็ ได้ชดั ว่าy = 0 เปน็ ผลเฉลยหนง่ึ ของ (1.3.6) ซงึ่ จะไมป่ รากฏในข้ันตอนการแยกตวั

แปร

1.3.2 สมการเอกพนั ธุ์

เราสามารถพิจารณาคลาสของสมการเชงิ อนพุ นั ธซ์ ่ึงสามารถลดรปู โดยการเปลี่ยนตัวแปร
เพ่ือทําให้ทําสมการทีก่ าํ หนดเปน็ สมการแบบแยกกนั ได้
บทนยิ าม 1.3.2 สมการเชิงอนุพันธ์อนั ดบั หนึ่ง M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 เป็นสมการเอก

พนั ธุ์ โดยเราสามารถเขียนสมการท่ีกําหนดใหใ้ นรูปแบบอนพุ นั ธ์ dy = f(x,y)เมอื่ มฟี งั กช์ นั
dx

g ซ่งึ ฟงั กช์ นั f(x,y)สามารถจดั ใหอ้ ยใู่ นรปู แบบ g(y) ได้

18 x

ตัวอย่างท่ี 1.3.2 ให้แสดงวา่ สมการเชิงอนุพันธ์ท่กี าํ หนดให้ (1.3.11)

(x 2 - 3y2 )dx + 2xydy = 0

เปน็ สมการเอกพันธุ์
วธิ ีทาํ เราสามารถจัด (1.3.11) ใหอ้ ยูใ่ นรปู แบบอนุพันธ์ดงั นี้

สมการเชิงอนพุ นั ธ์อนั ดับหน่งึ ดร.ภาขวัญ ริยาพนั ธ์

dy = 3y2 - x 2 (1.3.12)
dx 2xy 

เมอื่ พจิ ารณาด้านขวาของ (1.3.12)

จะได้ว่า 3y2 - x 2 = 3y -x = 3 æèçççxy ÷öø÷÷÷ - 1 çççèççççæçç 1 ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷öø
2xy 2x 2y 2 2 y
x

ดงั นั้น dy = 3 èçççæxy ÷ö÷ø÷÷ - 1 çççæççèçççç 1 ÷÷÷÷ö÷÷÷÷÷÷ø ซึ่งอยู่ในรปู แบบg(y)
dx 2 2 y x
x

ทาํ ให้ได้วา่ สมการที่กําหนดใหเ้ ปน็ สมการเอกพันธุ์

นอกจากนเ้ี ราสามารถตรวจสอบการเปน็ สมการเอกพันธุโ์ ดยบทนยิ ามดังต่อไปน้ี
บทนิยาม 1.3.3 ถา้ F(tx,ty) = tnF(x,y) แล้ว ฟงั กช์ นั F(x,y) เปน็ ฟังก์ชันเอกพนั ธร์ุ ะดับ

ขัน้ n

ตวั อย่างท่ี 1.3.3 ให้แสดงวา่ ฟังกช์ นั F(x,y) = x2 + y2 เป็นฟงั กช์ ันเอกพนั ธ์รุ ะดบั ขั้น 2

วิธีทํา พิจารณา F(tx,ty) = (tx)2 + (ty)2 = t2(x2 + y2) = t2F(x,y)

จะได้วา่ F(x,y) = x2 + y2 เป็นฟงั กช์ ันเอกพนั ธรุ์ ะดบั ขนั้ 2 

ต่อไปจะแสดงว่าสมการเอกพันธุ์ทุกสมการสามารถลดรูปให้อยู่ในรูปสมการแบบ

แยกกันไดด้ งั ทฤษฎบี ทต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้า M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 เป็นสมการเอกพันธุ์ แล้วเราสามารถ

เปลีย่ นตวั แปร y ในรูป y = vx ลงในสมการที่กาํ หนดเพอ่ื ทาํ ให้สมการดังกลา่ วเป็นสมการ

แบบแยกกันไดใ้ นรูปตัวแปรv และx

พสิ ูจน์ เนื่องจาก M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 เปน็ สมการเอกพนั ธ์ุ

ดังน้ัน เราสามารถเขียนสมการดังกลา่ วในรูปแบบ dy = g èæçççyx ÷öø÷÷÷ (1.3.13)
dx
19
โดยกาํ หนดให้ y = vx

ทําใหไ้ ด้ว่า dy = v + x dv (1.3.14)
จาก (1.3.13) และ (1.3.14) dx dx

สมการเชิงอนุพันธ์สามญั : ดร.ภาขวญั ริยาพนั ธ์

จะได้ v + x dv = g(v) (1.3.15)
dx (1.3.16)

หรอื [v - g(v)]dx + xdv = 0 (1.3.17)

จะเหน็ ไดว้ ่า (1.3.16) อย่ใู นรปู แบบสมการแบบแยกกนั ได้

ดงั นัน้ เราสามารถจัดสมการดังกล่าวไดด้ งั น้ี

v dv + dx = 0
- g(v) x

สําหรับการหาผลเฉลยของสมการเอกพันธ์ุ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 โดยเรากําหนดให้

y = vx และเปลยี่ นสมการเอกพันธใ์ุ หอ้ ยู่ในรูปสมการแบบแยกกันได้ดังสมการ (1.3.17)

หลังจากนน้ั จะได้ ò dv + ò dx =c (1.3.18)
v - g(v) x

เมอื่ c เป็นตัวคงค่า

ต่อไปกาํ หนด F(v) = ò dv และนําไปแทนใน (1.3.18) พร้อมทง้ั หาผลเฉลย ò dx
v - g(v) x

จะไดผ้ ลเฉลยของสมการเอกพนั ธใ์ุ นรูป F èæçççyx ö÷÷÷÷ø + ln x = c

ตวั อย่างท่ี 1.3.4 ให้หาผลเฉลยของสมการเอกพันธทุ์ ี่กาํ หนดให้ (x2 - 3y2)dx + 2xydy = 0

วิธีทํา เน่ืองสมการที่กําหนดให้เป็นสมการเอกพันธ์ุ (ผู้อ่านสามารถตรวจสอบด้วยตนเอง

อีกครงั้ ) ดังนนั้ เราสามารถจดั รูปสมการใหม่ไดด้ งั นี้

dy = - x + 3y (1.3.19)
dx 2y 2x

และให้ y = vx

จะได้ v + x dv = - 1 + 3v
dx 2v 2

หรอื x dv = - 1 + v (1.3.20)
dx 2v 2

หรอื x dv = v2 -1

20 dx 2v

จะเห็นว่า (1.3.20) เปน็ สมการแบบแยกกนั ได้

ทําใหไ้ ด้ว่า 2vdv = dx (1.3.21)
v2 -1 x

หาปรพิ ันธ์ตลอดสมการ (1.3.21)

จะได้ ln v2 - 1 = ln x + ln c

สมการเชิงอนพุ นั ธ์อนั ดับหน่ึง ดร.ภาขวัญ ริยาพันธ์ (1.3.22)

หรือ v2 -1 = cx
เมือ่ c เป็นตวั คงค่า
หลงั จากน้นั แทนคา่ v = y จะได้ผลเฉลย y2 - x2 = cx x2

x

ถ้า y ³ x ³ 0 แลว้ ผลเฉลยของสมการที่กําหนดให้คือ y2 - x2 = cx3

แบบฝึ กหดั หวั ข้อ 1.3 21

สาํ หรบั โจทยข์ อ้ 1-10 ใหห้ าผลเฉลยของสมการเชิงอนุพนั ธท์ ีก่ าํ หนดให้

1. 4xydx + (x2 + 1)dy = 0
2. (xy + 2x + y + 2)dx + (x 2 + 2x)dy = 0
3. 2r(s2 + 1)dr + (r 4 + 1)ds = 0
4. tan qdr + 2rdq = 0
5. (ev + 1) cos udu + ev (sin u + 1)dv = 0
6. (x + 4)(y2 + 1)dx + y(x 2 + 3x + 2)dy = 0
7. (y + x)dx - xdy = 0

8. (2xy + 3y2 )dx - (2xy + x 2 )dy = 0

9. v3du + (u3 - uv2 )dv = 0
10. (x tan y + y)dx - xdy = 0

x

สาํ หรับโจทย์ขอ้ 11-14 จงหาผลเฉลยของปัญหาคา่ เร่ิมตน้ ต่อไปน้ี

11. (y + 2)dx + y(x + 4)dy = 0, y(-3) = -1

12. (3x + 8)(y2 + 4)dx - 4y(x 2 + 5x + 6)dy = 0, y(1) = 2

13. (x 2 + 3y2)dx - 2xydy = 0, y(2) = 6

14. (2x - 5y)dx + (4x - y)dy = 0, y(1) = 4

15. ให้แสดงว่าสมการเอกพนั ธุ์(Ax + By)dx + (Cx + Dy)dy = 0 เปน็ สมการแมน่ ตรงก็
ตอ่ เม่อื B = C

สมการเชิงอนุพนั ธ์สามญั : ดร.ภาขวญั รยิ าพนั ธ์

1.4 สมการเชิ งเส้นและสมการแบร์นูลลี (Linear Equations and
Bernoulli Equations)

1.4.1 สมการเชิงเส้น

จากบทนิยาม 1.1.5 เราได้เกร่ินนําบทนิยามของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น

อนั ดับn ไปแลว้ นั้น ตอ่ ไปเราจะเริม่ ต้นพิจารณาของสมการเชิงอนุพนั ธ์สามัญเชิงเส้นอันดับ
หนงึ่

บทนยิ าม 1.4.1 สมการเชิงอนุพนั ธส์ ามญั เชงิ เสน้ อันดบั หน่ึง คือ สมการทีส่ ามารถเขยี นให้

อยใู่ นรปู แบบทว่ั ไปดงั นี้

dy + P(x)y = Q(x) (1.4.1)
dx

เมื่อตัวแปร y เปน็ ตวั แปรตามและตวั แปร x เป็นตัวแปรอิสระ

ตัวอยา่ งที่ 1.4.1 กาํ หนดให้ x dy + (x + 1)y = x3
dx

จงพิจารณาสมการทก่ี าํ หนดใหเ้ ป็นสมการเชงิ อนพุ นั ธ์เชิงเส้นอนั ดับหนึ่งหรอื ไม่

วธิ ีทํา จดั รปู สมการท่กี ําหนดให้ใหม่โดยการนํา x หารตลอดสมการ

จะได้วา่ dy + (1 + 1)y = x 2 (1.4.2)
dx x 

จะเห็นไดว้ ่าสมการ (1.4.2) มีรปู แบบเดียวกับสมการ (1.4.1)

โดยที่ P(x) = 1 + 1 และ Q(x) = x2
x

ดังนน้ั สมการทกี่ ําหนดให้เปน็ สมการเชงิ อนพุ ันธเ์ ชงิ เส้นอันดบั หนึ่ง

นอกจากนีเ้ ราสามารถจดั สมการ (1.4.1) ใหอ้ ยู่ในอกี รปู แบบดังน้ี

[P(x)y -Q(x)]dx + dy = 0 (1.4.3)

จดั สมการ (1.4.3) ใหอ้ ยใู่ นรูปแบบ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

22 จะไดว้ ่า M(x,y) = P(x)y -Q(x) และ N(x,y) = 1
เน่ืองจาก ¶M (x, y) และ ¶N (x, y)
¶y = P(x) ¶x = 0

ถ้าP(x) = 0 แลว้ จะได้สมการ (1.4.1) ลดรปู เปน็ สมการแบบแยกกนั ได้อยา่ งงา่ ย

ส่วน P(x) ¹ 0 จะได้สมการ (1.4.3) ไม่เป็นสมการแม่นตรง อย่างไรก็ตามเราสามารถทําให้

สมการ (1.4.3) เปน็ สมการแมน่ ตรงโดยคูณสมการดว้ ยตัวประกอบปรพิ ันธ์ m(x)

สมการเชิงอนพุ นั ธ์อนั ดับหน่ึง ดร.ภาขวญั ริยาพนั ธ์

จะไดว้ ่า [m(x)P(x)y - m(x)Q(x)]dx + m(x)dy = 0 (1.4.4)

โดยบทนิยาม m(x) เป็นตัวประกอบปริพันธ์ของสมการ (1.4.4) ก็ต่อเม่ือสมการ (1.4.4)

เป็นสมการแมน่ ตรง
ซ่งึ หมายถึง m(x) เปน็ ตวั ประกอบปรพิ ันธ์ของสมการ (1.4.4)

ก็ตอ่ เมื่อ ¶ [m(x )P(x )y - m(x )Q(x )] = ¶ [m(x )]
¶y ¶x

หรอื m(x)P(x) = dm (1.4.5)
dx

โดยที่ ฟงั ก์ชนั P เปน็ ฟังก์ชันทเี่ ราทราบและขน้ึ กบั ตวั แปรอิสระ x ส่วนฟังก์ชัน m เป็น

ฟังก์ชนั ที่เราต้องการหาและขึ้นกบั ตวั แปรอสิ ระ x
จะเหน็ ได้วา่ (1.4.5) เปน็ สมการแบบแยกกนั ได้

จึงได้วา่ dm = P(x )dx (1.4.6)
m

จากนนั้ หาผลเฉลยของสมการ (1.4.6) จะได้ ln m = ò P(x)dx

หรอื m = eò P(x)dx (1.4.7)

เมอ่ื m > 0

นาํ ตวั ประกอบปริพนั ธใ์ น (1.4.7) ไปคณู ตลอดสมการ (1.4.1)

e ò P(x)dx dy + e ò P(x)dx P(x)y = Q(x)e ò P(x)dx (1.4.8)
dx

แล้วจดั รูปสมการใหม่ทาํ ใหไ้ ด้ว่า

( )d eò P(x)dxy = Q(x)eò P(x)dx (1.4.9)
(1.4.10)
dx

แล้วหาผลเฉลยของ (1.4.9) ในรูปแบบ òeò P(x)dxy = eò P(x)dxQ(x)dx + c

หรอื ( )òy = e-ò P(x)dx eò P(x)dxQ(x)dx + c

จากขน้ั ตอนขา้ งต้นเราสามารถสรปุ ไดด้ งั ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี (1.4.11)
ทฤษฎีบท 1.4.2 สมการเชงิ อนพุ ันธเ์ ชงิ เส้น dy + P(x)y = Q(x)
23
dx

มีตวั ประกอบปริพนั ธอ์ ยใู่ นรปู eò P(x)dx

( )จะได้ผลเฉลยของ (1.4.11) คือ y = e-ò P(x)dx ò eò P(x)dxQ(x)dx + c

สมการเชิงอนพุ นั ธส์ ามญั : ดร.ภาขวญั รยิ าพนั ธ์

ตวั อยา่ งท่ี 1.4.2 จงหาผลเฉลยของ dy + èçççæ2xx+ 1÷÷÷÷øöy = e-2x (1.4.12)
dx

วิธีทํา จะเห็นได้ว่าสมการที่กําหนดให้เป็นสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งโดยมี P(x) = 2x +1
x

และ Q(x) = e-2x

ในทน่ี ีเ้ ราสามารถหาตัวประกอบปริพันธ์

m(x ) = e ò P(x )dx = e ò æçèçç2xx+1ö÷ø÷÷÷dx = e2x +ln x = e2x ⋅ eln x = xe2x

นําตัวประกอบปริพนั ธ์ที่ได้ไปคูณตลอดสมการ (1.4.12)

xe2x dy + e2x (2x + 1)y = x

dx

หรือ d(xe2xy) = x (1.4.13)
dx

หรือ d(xe2xy) = xdx

หลงั จากนน้ั หาปริพันธ์ตลอดสมการ (1.4.13) จะไดผ้ ลเฉลยคอื

หรือxe2xy = x2 + c y = xe-2x + c e-2x
2 2x

เม่อื c เป็นตัวคงคา่

นอกจากนีเ้ ราสามารถประยุกตท์ ฤษฎบี ท 1.4.2 หาผลเฉลยของสมการที่กาํ หนดให้

โดยแทนคา่ y (ò )y = e-ò P(x)dx eò P(x)dxQ(x)dx + c

(ò )= 1
xe2x
xe2x ⋅e-2x dx + c

( )ò= 1
xe2x
x dx + c

= 1 èçæçç x2 + c÷÷÷÷øö
xe2x 2

= 1 xe-2x + c e-2x
2x



24

สมการเชิงอนพุ นั ธอ์ นั ดบั หน่งึ ดร.ภาขวญั ริยาพนั ธ์

1.4.2 สมการแบรน์ ลู ลี

บทนิยาม 1.4.3 สมการแบรน์ ลู ลี คือ สมการเชงิ อนุพนั ธ์ทสี่ ามารถเขยี นใหอ้ ยู่ในรปู แบบ
ท่ัวไปดงั น้ี

dy + P(x)y = Q(x)yn (1.4.14)
dx

เมือ่ ตัวแปร y เป็นตวั แปรตามและตัวแปร x เปน็ ตวั แปรอิสระ

จากบทนิยาม 1.4.3 เราสังเกตได้ว่า ถ้า n = 0 หรือ 1 แล้ว สมการแบร์นูลลี (1.4.14) ก็คือ
สมการเชงิ อนพุ นั ธเ์ ชิงเส้นอนั ดับหน่ึง

ทฤษฎีบท 1.4.4 กําหนดให้ n ¹ 0 หรือ n ¹ 1 แล้วสมการแบร์นูลลี (1.4.14) สามารถลด

รูปไปเป็นสมการเชิงเส้นอันดับหน่ึงในรูปของตัวแปร v โดยการแทน v = y1-n ลงใน

(1.4.14)

พสิ ูจน์ เราเรม่ิ ตน้ โดยการคณู ตลอดสมการ (1.4.14) ด้วย y-n จะได้

y-n dy + P(x)y1-n = Q(x) (1.4.15)
dx

กําหนดให้ v = y1-n แลว้

dv = (1 - n)y1-n dy
dx dx

นาํ ไปแทนใน (1.4.15) จะได้

1 dv + P(x)v = Q(x)
1-n dx

หรอื dv + (1 - n)P(x)v = (1 - n)Q(x) (1.4.16)
dx
(1.4.17)
กาํ หนดให้ P1(x) = (1 - n)P(x) และ Q1(x) = (1 - n)Q(x) 

แทนคา่ P1(x) และ Q1(x) ใน (1.4.17)

dv + P1(x)v = Q1(x)
dx

ซึ่งเปน็ สมการเชงิ เส้นอันดบั หนงึ่ ในรปู ของตัวแปร v 25

ตัวอย่างท่ี 1.4.3 จงหาผลเฉลยของ dy + y = xy3 (1.4.18)
dx

วิธีทาํ จะเห็นได้ว่าสมการที่กาํ หนดใหเ้ ป็นสมการแบร์นูลลีโดยมี n = 3
ก่อนอน่ื เราจะนาํ y-3 ไปคูณ (1.4.18) ตลอดสมการ จะได้

สมการเชิงอนพุ นั ธ์สามญั : ดร.ภาขวญั รยิ าพนั ธ์

y-3 dy + y-2 = x
dx

ต่อไปกําหนดให้ v = y1-3 = y-2 แล้ว dv = -2y-3 dy
dx dx

หลงั จากนน้ั แปลงเป็นสมการเชงิ เส้นอันดับหนงึ่ ไดด้ งั น้ี

- 1 dv + v = x (1.4.19)
2 dx (1.4.20)

หรอื dv - 2v = -2x 
dx

หาตัวประกอบปรพิ ันธข์ อง (1.4.19) จะได้ m = eò P(x)dx = e-ò 2dx = e-2x
นาํ ตัวประกอบปรพิ ันธท์ ไ่ี ดไ้ ปครู ตลอดสมการ (1.4.19)

จะได้ e-2x dv - 2e-2xv = -2xe-2x
dx

หรอื d(e-2xv) = -2xe-2x
dx

หาผลเฉลยของ (1.4.20) โดยการหาปรพิ ันธต์ ลอดสมการ ทําใหไ้ ดว้ า่

e-2xv = 1 e-2x (2x + 1) + c
2

v = x + 1 + ce2x
2

เมื่อ c เป็นตัวคงคา่

แต่ v = 1 จะได้ 1 = x + 1 + ce2x
y2 y2 2

26

สมการเชิงอนุพนั ธ์อนั ดบั หน่งึ ดร.ภาขวัญ ริยาพนั ธ์

แบบฝึ กหดั หวั ข้อ 1.4

สําหรับโจทย์ขอ้ 1-10 ให้หาผลเฉลยของสมการเชงิ อนพุ ันธท์ ่ีกาํ หนดให้

1. dy + 3y = 6x 2
dx x

2. x 4 dy + 2x 3y = 1
dx

3. dy + 3y = 3x 2e-3x
dx

4. dy + 4xy = 8x
dx

5. dx + x = 1
dt t2 t2

6. (u2 + 1) dv + 4uv = 3u
du

7. x dy + 2x +1 y =x -1
dx x +1

8. dy - y = - y2
dx x x

9. x dy + y = -2x 6y4
dx

10. dy + (4y - 8y-3 )xdx = 0

สําหรับโจทยข์ อ้ 11-14 จงหาผลเฉลยของปญั หาคา่ เรม่ิ ตน้ ตอ่ ไปน้ี

11. x dy - 2y = 2x 4, y(2) = 8
dx

12. dy + 3x 2y = x 2, y(0) = 2
dx

13. dy + y = x , y(1) = 2
dx 2x y3

14. x dy + y = (xy)3/2, y(1) = 4 27
dx