Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI
MUTLAK

A. PERSAMAAN NILAI MUTLAK
Definisi Nilai mutlak

Nilai mutlak adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real.
Misalkan adalah bilangan real maka nilai mutlak dinotasikan dengan | |,

didefinisikan sebagai berikut | | {

Contoh | | memiliki dua buah penyelesaian dikarenakan ada dua buah bilangan

yang jaraknya 4 titik dari 0 yaitu dan seperti bisa kalian lihat pada gambar

di bawah ini:

Terdapat 4 satuan dari 0 Terdapat 4 satuan dari 0

••••••• •••••
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 23456
Grafik Nilai Mutlak

Sebuah fungsi nilai mutlak, yaitu | |, dimana | | {

Tabel nilai fungsinya adalah sebagai berikut.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5 4 3 2 10 12 3 4 5

Grafik fungsinya adalah sebagai berikut
4Y
3
2
1

-5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5 X
Contoh soal
1. Gambarlah Grafik dari | |.

Penyelesaian :
Langkah 1
Gambar terlebih dahulu
grafik fungsi | |

5
4
3
2
1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Langkah 2
Geser 2 satuan kekanan
Grafik fungsi y = | |

5
4
3
2

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

B. Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

1. Persamaan linear satu variabel

Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat hubungan sama dengan .

Persamaan linear satu variabel adalah bentuk persamaan yang mempunyai satu

variabel dengan pangkat tertinggi satu.

Contoh dan merupakan kalimat terbuka yang memuat hubungan

sama dengan dan variabelnya berangkat satu. Jadi kesimpulannya, kalimat terbuka

diatas merupakan persamaan linear satu variabel.

2. Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah peramaan dengan dua variabel berpangkat

satu dan terpisah satu sama lain.

Contoh:

1. 3.

2.

3. Nilai Mutlak dalam Persamaan Linear Satu Variabel
 Definisi: Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari bilangan real dituliskan | | dengan:

(i) | |

(ii) | |

 Sifat-sifat nilai mutlak. |
a. dan | | |
b. | | | | | | atau
c. | | | |

||

d. | | √ | |
e. | | | |
f. | |

Contoh Penyelesaian Persamaan Nilai mutlak
Penyelesaian persamaan nilai mutlak dapat dilakukan dengan beberapa cara,
diantaranya dengan menggunakan definisi nilai mutlak dan cara grafik.
Perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh 1
Hitunglah:

a. || | | b. | | | || |||

Penyelesaian || | | b. | | | | || | || | ||
a. || | | || | ||
|| | | ||
| |
|
|| | | | | | | ||

Contoh 2 |
Tunjukkan bahwa
a. | | |

Penyelesaian:

a. | || |

| || |

||

| || |

Contoh 3

Tentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak | | dengan dua alternatif
, maka
Penyelesaian.

Alternatif 1 (dengan definisi nilai mutlak)

Kita harus ingat bahwa:

(i) | | jika dan

(ii) | | jika

Proses selanjutnya kita lihat

(i) dan (ii)

jika , maka jika

Jadi nilai yang memenuhi persamaan | | adalah atau

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { }

Alternatif 2 (dengan grafik)

Misalkan persamaan | | terdiri dari 2 fungsi, yaitu | | dan

Lukislah kedua fungsi tersebut pada koordinat Cartesius yang sama.

… -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

| | …3 2 1 0 1 2 3 4 567

Grafik fungsinya adalah sebagai berikut.

7 Y Gambar disamping terlihat bahwa titik A

6 || dan B merupakan titik potong kedua kurva

5 | | dan dimana

4 dan Penyelesaian persamaan

|| 3 | | adalah dan .

2 Jadi, himpunan penyelesaian { }

BA 1

X

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari setiap persamaan berikut.

a. | | b. | |

Penyelesaian:

a. Lukislah kurva | | pada bidang Cartesius yang sama.

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ...

|| 5 4 3 2 1 0 1 2 345

7 kedua kurva berpotongan di titik

6 | | dan maka penyelesaian persamaan

5 | | adalah atau

4 Jadi, himpunan penyelesaian{ }

3
2

1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

b. Tidak ada nilai yang memenuhi | | . Jadi himpunan

penyelesaiannya

Contoh 3 |
Tentukan penyelesaian dari |

Penyelesaian:

√

atau

Contoh 4

Himpunan penyelesaian dari| || | adalah……

Penyelesaian: | adalah sebagai berikut.
•
Himpunan penyelesaian dari| ||

• dan

Himpunan penyelesaiannya adalah { }

C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

1. Ketidaksamaan

Dalam ketidaksamaan kita mengenal notasi (lambang) berikut.

• (lebih dari) • (kurang dari)

• (lebih dari atau sama dengan) • (kurang dari atau sama dengan)

Contoh-contoh berikut adalah sebuah ketidaksamaan.
••

••

Ingat bahwa untuk sembarang bilangan berlaku salah satu hubungan berikut ini.

(dibaca kurang dari ) ( dibaca lebih dari )

(dibaca sama dengan )

2. Pertidaksamaan Linear Satu ariabel

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan.

Sementara itu pertidsamaan dengan satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya

mempunyai satu variabel berpangkat tertinggi satu.

Perhatikan contoh berikut.

1). 3).

2). 4).

Contoh 1) dan 3) merupkan pertidaksamaan linear satu variabel sedangkan contoh 2)

dan 4) bukan pertidaksamaan linear satu variabel. Untuk contoh 2) variabel berpangkat

tertinggi 2, yaitu , sedangkan contoh 4) merupakan pertidaksamaan dua variabel,

dengan variabel dan .

3. Nilai Mutlak dalam Pertidaksamaan Linear Satu Variabel.

Contoh nilai mutlak dalam pertidaksamaan linear adalah sebagai berikut.

• || | | •| |

Secara umum, pertidaksamaan nilai mutlak memenuhi sifat berikut

a. | | maka

b. | |

c. | | , maka atau

d. | |

e. Jika , dan | | atau | | maka tidak ada bilangan real yang memenuhi

pertidaksamaan

f. Jika | | | | maka

Secara umum penyelesaian bentuk umum pertidaksamaan linear | | adalah

a. Jika | |, maka ,

atau | | maka

b. Jika | |, maka atau ,

atau Jika | |, maka atau

Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak.

Contoh 1

Tentukan nilai yang memenuhi pertidaksamaan | |

Penyelesaian:

Pertidaksamaan | | dapat diselesaikan dengan beberapa cara sebagai berikut:

Dengan definisi nilai mutlak

Jika | | maka

||

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { | }

Dengan metode grafik

Gambarlah grafik | | pada diagram Cartesius yang sama.

Y

7

6 | | Berdasarkan gambar disamping, bagian kurva | |

5 yang berada dibawah garis terjadi pada

4 interval , yaitu oleh karena itu,

3 penyelesaian dari | | adalah

2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

1 {| }

X

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Contoh 2 | adalah …..
1) Himpunan penyelesaian dari |

Penyelesaian :
||

-11 (lihat bentuk| |

-11-7 (kurangi kedua ruas dgn 7)

-18 (bagilah kedua ruas dgn 2)

-9

Contoh 3

Selesaikan pertidaksamaan berikut | |

Penyelesaian:

|| •
| |{
•

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { | }

Contoh 4

Tentukan nilai yang memenuhi pertidaksamaan | || |

Penyelesaian: 34 ...
23 4
Lukislah kurva dan 34 ...
01 ...
Tabel untuk kurva | |

... -4 -3 -2 -1 0 1 2

| | ... 5 4 3 2 1 0 1

Tabel untuk kurva | |

... -3 -2 -1 0 1 2

| | ... 6 5 4 3 2 1

| | 6Y

5 ||

4 ||

| |3

2P Q y=2

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

Untuk pembuat nol, | | | | terjadi dititik P dan Q untuk atau

Akibatnya, nilai yang memenuhi | | | | yaitu kedua kurva berada

dibawah garis terjadi pada interval

Jadi, himpunan penyelesaian adalah { | }

Sementara itu, untuk | | | | , maka himpunan penyelesaiannya adalah

{ | }.

D. Masalah kontektual yang melibatkan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak
Contoh soal:
1. Mayang membeli buku dengan harga diskon sebesar 40% dari harga regular (harga
tanpa diskon) di sebuah tokoh buku. Untuk itu Mayang harus membayar sebesar
Rp 46.800,00. Berapa hargareguler buku tersebut?
Penyelesaian:
Misalkan harga buku adalah rupiah.

Besarnya diskon 40% =

Karena Mayang harus membayar sebesar Rp 46.800,00.
Maka diperoleh hubungan matematik

Penyelesaian model matematika

Jadi, harga buku reguler (tanpa diskon) adalah Rp 78.000,00

2. Sebuah perusahaan mainan memberikan batasan toleransi perbedaan diameter

sebesar 4 cm untuk setiap bola karet yang akan mereka jual dengan diameter 20 cm.

Tentukan peyelesaian dari nilai mutlak pada pertidaksamaan linear yang menyatakan

diameter bola karet 20 cm yang diterima.

Penyelesaian :

Pemodelan masalah diatas adalah

||

Misal

diameter bola karet sesungguhnya

Pemodelan bola karetnya adalah sebagai berikut : | |

Penyelesaiannya adalah

16 24 (setiap ruas ditambah 20)
Jadi HP { }

LEMBAR AKTIFITAS | …
Soal Essai ||
dan . Nilai
1. Nilai dari || | | || || |
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari | | | b).
3. Akar-akar persamaan | | adalah
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari |

5. Gambarlah grafik penyelesaian dari: a).

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari: a). | | b). | |

7. a. Tentukan himpunan penyelesaian dari | |

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari | |

8. Tentukan himpunan penyelesaian dari | |

9. Tentukan himpunan penyelesaian dari | |

10. a. Tentukan himpunan penyelesaian dari | |

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari | | | | ||
b. | |
11. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan : a. | |
|
12. Himpunan penyelesaian dari | | |

13. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan | |

14. a. Tentukan penyelesaian | |

b. Tentukan penyelesaian dari | |

15. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan | | |

16. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan | | |

17. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan | |

18. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan | |

19. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan | |

20. Nilai yang memenuhi | | | |

21. Pertidaksamaan memiliki solusi . Tentkan nilai .

22. Untuk dapat diterima sebagai suster di RS. SEHAT, seorang calon suster akan
menjalani tes sebanyak 4 kali, yaitu tes tertulis, psikotes, tes ketrampilan dan
wawancara dengan perbandingan hasil tes berturut-turut adalah 4: 3 : 2 : 1. Total nilai

tes tidak boleh kurang dari 793. Windy adalah seorangcalon suster yang telah mengikuti
tes dengan hasil sebagai berikut : Tes tertulis= 75, Psikotes = 78, dan Tes wawancara =
85. Tentukan nilai terendah Tes ketrampilannya agar dia dapat diterima sakit tersebut.
23. Pak Bambang membeli sepeda motor bekas pakai seharga Rp. 8.600.000,00. Sepeda
motor itu dijual kembali dan Pak Bambang mengharapkan laba yang tidak kurang dari
20% dari harga pembelian.
a. Tentukan nilai batas harga jual sepeda motor tersebut
b. Tentukan harga jual yang terendah
24. Jumlah dua bilangan ganjil berurutan sama dengan 276. Carilah bilangan-bilangan
tersebut.
25. Ganggang dapat hidup di laut di kedalaman 0 sampai 100 kaki dibawah permukaan air
laut. Tentukan pertidaksamaan nilai mutlak yang memenuhi kondisi tersebut.

Soal Pilihan Ganda D. 10 Y X
1. Grafik fungsi dari | | adalah …… 8
A. 10 Y 6
8 4
6 2
4
2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 X

B. Y E. Y
10 10
8 8
6 6
4 4
2 2

-10-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 X -14-12-10-8-6 -4 -2 0 2 4 6 8 X
2 2

C.
Y

10
8
6
4
2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

2. Himpunan penyelesaian dari | | adalah…
} D. {
A. { } B. { } C. { } E. { }.

3. Himpunan penyelesaian dari | | | | adalah …..

A. { } B. { } C. { } D. { } E. { }

4. Himpunan penyelesaian dari | | || adalah….
C. { }
A. { } B. { } | || | D. { } E. { }.

5. Himpunan penyelesaian dari | | C. Tidak ada adalah …..

A. { } B. { } D. { } E. { }

6. Himpunan penyelesaian dari | | adalah ….

A. { | } D. { | }

B. { | } E. { | } E.
C. { | } adalah …. adalah….
7. Himpunan penyelesaian dari | |

A. D.

B. E.

C. | ||
8. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan |

A. D.

B. E.

C.

9. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan | | adalah ….

A. D.

B. E.

C.

10. Suhu tubuh normal orang dewasa berada dikisaran C hingga C. Misal adalah

suhu tubuh orang dewasa, maka pertidaksamaan nilai mutlak yang menyatakan kondisi
tersebut adalah…

A. | | D. | |

B. | | E. | |

C. | |