BAHAN AJAR SPLTV SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL NURUL IZZAH, S.Pd
BAHAN AJAR SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL (SPLTV) Nama : Nurul Izzah No Peserta : 0911470244039 Bidang Studi : Pendidikan Matematika PENDIDIKAN PROFESI PENDIDIK (PPG) FAKULTAS KEPENDIDIKAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS ISLAM MALANG 2023
A. PENDAHULUAN 1. Deskripsi PETA KONSEP Di toko tanaman hias kita banyak melihat jenis tanaman hias daun seperti lidah mertua, aglonema, pucuk merah, calthea, monstera, gelombang cinta, dan lain-lain. Harga tanaman hias di Toko tersebut bervariasi sesuai dengan jenisnya. Makin bagus tanaman tersebut, makin mahal harganya. Sebagai contoh salah satu Toko menjual tiga jenis tanaman hias daun, yaitu aglonema, lidah mertua, dan monstera dengan memasangkan daftar harga paket sebagai berikut. Paket Harga JenisTanaman Paket 1 Rp 198.000,00 2 aglonema, 2 lidah mertua, dan 1 monstera Paket 2 Rp202.000,00 2 aglonema, 1 lidah mertua, dan 2 monstera Paket 3 Rp190.000,00 1 aglonema, 2 lidah mertua, dan 2 monstera Berdasarkan tabel diatas, dapatkah kalian menentukan harga satuan untuk setiap jenis tanaman hias daun aglonema, lidah mertua, dan monstera? Permasalah di atas merupakan salah satu kasus yang dapat dipecahkan dengan Matematika, terutama jika kita memahami materi tentang SPLTV. Dengan materi tersebut, kita dapat memodelkan permasalah sehari-hari dan memecahkannya. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel Menentukan Himpunan Penyelesaian Eliminasi Subtitusi Eliminasi & Subtitusi Gambar 1. Sumber Google
2. Capaian Pembelajaran Di akhir fase E, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Mereka dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat (termasuk akar imajiner), dan persamaan eksponensial (berbasis sama) dan fungsi eksponensial. 3. Tujuan Pembelajaran Melalui pendekatan Scientific (mengamati, menanya, menalar, mencoba, mengasosiasi, dan mengkomunikasikan), model pembelajaran Problem Based Learning dipadukan dengan metode diskusi, tanya jawab, dan penugasan menggunakan LKPD Etnomatematika serta muatan inovatif TPACK dan HOTS berbatuan google site dan platform wordwall, peserta didik mampu menemukan konsep SPLTV dan memodelkan masalah kontekstual kedalam model matematika (SPLTV) dan menentukan penyelesaian SPLTV dari masalah kontekstual dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, gotong royong, percaya diri, serta dapat mengembangkan kemampuan berpikir tingkat tinggi berbasis 4C (Communication, Collaboration, Critical Thinking and Problem Solving, and Creativity and Innovation) dan berliterasi dengan baik. 4. Indikator Pencapaian Tujuan Pembelajaran 1. Menemukan konsep SPLTV 2. Menyusun model matematika (SPLTV) dari masalah kontekstual 3. Menyelesaikan SPLTV dari masalah kontekstual 4. Mendesain SPLTV pada kehidupan sehari hari beserta penyelesaiannya B. URAIAN MATERI 1. Konsep Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel Sumber : https://manado.tribunnews.com/2019/11/29/menjelang-natal-kue-kue-di-goldensupermarket-diminati-masyarakat-berikut-daftar-harganya Permasalahan 1
Menjelang Hari Raya Idul Fitri Sebuah Swalayan di Kota A, membuat paket kue kering . Paket I berisi 1 tolpes kue nastar, 2 tolpes kue kacang, dan 2 toples kue putri salju yang dijual dengan harga Rp 255.000,00. Sementara paket II berisi 2 tolpes kue nastar, 1 tolpes kue kacang, dan 3 toples kue putri salju serta dijual Rp 314.000,00 . Paket III yang isinya 3 tolpes kue nastar, 1 tolpes kue kacang, dan 3 toples kue putri salju yang dijual dengan harga Rp 369.000,00. Ibu ingin mengetahui mana paket yang lebih murah atau sebenarnya paket tersebut harganya sama saja. Untuk dapat mengetahui hal tersebut, maka Ibu harus dapat mengetahui harga tiap tolpes nastar, kue kacang dan kue putri salju. Bagaimana model matematika yang harus ditulis oleh Ibu dan bagaimana cara ibu menentukan harga tiap harga tiap tolpes nastar, kue kacang dan kue putri salju.? Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel adalah sistem persamaan yang memiliki tiga variabel berpangkat satu serta dihubungkan dengan tanda (=) Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut : 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 3 + 3 + 3 = 3 Untuk Menyelesaiakan sistem persamaan linier tiga variabel, bisa dengan cara eliminasi, subtitusi atau campuran (eliminasi dan subtitusi) 2. Memodelkan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel Identifikasi Konsep Permasalahan 1 Jika kue nastar dimisalkan sebagai variabel , kue kacang sebagai variabel dan kue putri salju sebagai variabel maka Di sana kita menemukan ada sebuah persamaan linear tiga variabel Dari permasalahan di atas, jika kue nastar dimisalkan sebagai variabel , kue kacang sebagai variabel dan kue putri salju sebagai variabel dan paket I seharga Rp 255.000,00 , paket II seharga Rp 314.000,00 dan paket III seharga Rp 369.000,00 maka dapat dibuat tabel sebagai berikut : Solusi Permasalahan 1
Dari tabel diatas dapat dibuat model matematika SPLTV sebagai berikut : + 2 + 2 = 255.000 2 + + 3 = 314.000 3 + + 3 = 369.000 3. Menyelesaikan Masalah Yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Dari Model matematika yang sudah dibuat, ditentukan penyelesaian permasalahan kontekstual diatas dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi (campuran) + 2 + 2 = 255.000 (1) 2 + + 3 = 314.000 (2) 3 + 2 + = 313.000 (3) Hilangkan variabel dengan eliminasi persamaan (1) dan (2) + 2 + 2 = 255.000 2 + + 3 = 314.000 Hilangkan variabel dengan eliminasi persamaan (1) dan (3) + 2 + 2 = 255.000 3 + 2 + = 313.000 Hilangkan variabel dengan eliminasi persamaan (4) dan (5) Subtitusika nilai dari variabel ke dalam persamaan (4) 3 + = 196.000 3 + 52.0000 = 196.000 3 = 196.000 − 52.000 3 = 144.000 = . Nastar Kue Kacang Putri Salju Harga Paket 1 1 2 2 Rp 255.000,00 Paket 2 2 1 3 Rp 314.000,00 Paket 3 3 1 3 Rp 369.000,00 x x 2 2 + 4 + 4 = 510.000 1 2 + + 3 = 314.000 3 + = 196.000 = (4) x x 1 3 3 + 6 + 6 = 765.000 3 + 2 + = 313.000 5 + 3 = 452.000 = (5) x x 3 5 15 + 5 = 980.000 15 + 9 = 1.188.000 −4 = −208.000 = 5 + 3 = 396.000 = 3 + = 196.000 = = . =
Subtitusika nilai dari variabel dan ke dalam persamaan (1) + 2 + 2 = 255.000 + 2(48.000) + 2(52.000) = 255.000 + 96.000 + 104.000 = 255.000 = 255.000 − 200.000 = . Jadi harga setiap 1 toples nastar adalah Rp. 55.0000,00 ,harga 1 toples kue kacang Rp. 48.000,00 dan 1 toples kue putri Salju Rp. 52.000,00 Sumber : https://www.brighton.co.id/about/articles-all/citraland-kedamean Seorang pengembang membangun kompleks perumahan, jumlah rumah yang akan dibangun 100 unit yang terdiri atas rumah tipe 36, tipe 45 dan rumah tipe 60. Rumah tipe 36 sebanyak 5 unit lebih dari jumlah tipe 45. Rumah tipe 60 sebanyak 10 kurang dari tipe 45. Tentukan banyak rumah tipe 36 yang dibangun ! Permasalahan ini bisa diselesaikan dengan sistem persamaan tiga variabel, dengan memisalkan tipe 36 sebagai variabel , tipe 45 sebagai variabel dan tipe 60 sebagai variabel z. Permasalahan 2 Kesimpulan Solusi Permasalahan 1 Identifikasi Konsep Permasalahan 2
Langkah- Langkah menyelesaikan permasalahan 2 adalah sebagai berikut : Diketahui : • Jumlah rumah yang dibangun 100 unit • Rumah tipe 36 sebanyak 5 unit lebih banyak dari jumlah tipe 45 • Rumah tipe 60 sebanyak 10 kurangnya dari jumlah tipe 45 1. Membuat model matematika (SPLTV) dari permasalahan 2 + + = 100 (1) = + 5 (2) = − 10 (3) 2. Menyelesaikan persamaan linier tiga variabel dengan metode subtitusi Subtitusikan persamaan (2) dan (3) ke persamaan (1) + + = 100 ( + 5) + + ( − 10) = 100 3 − 5 = 100 3 = 105 = 35 Subtitusikan nilai ke persamaan (2) = + 5 = 35 + 5 = 40 Jadi banyak rumah tipe 36 yang dibangun adalah 40 unit rumah Solusi Permasalahan 2 Kesimpulan Solusi Permasalahan 2
Sumber : https://flexypack.com/news/kemasan-jamu-menarik Sebuah industri rumah tangga memproduksi jamu dalam kemasan gelas, kotak dan botol. Jumlah produksi industri tersebut disajikan dalam table berikut : Jenis Kemasan Banyak Produksi (Buah) Minggu I Minggu II Minggu III Gelas 150 200 100 Kotak 200 100 300 Botol 180 100 200 Volume Produksi jamu pada minggu I hingga minggu III berturut-turut 233 liter,, 160 liter, dan 270 liter. Pada minggu keempat industri itu memproduksi jamu sebanyak 190 liter. Jika produksi pada minggu keempat telah dikemas dalam 300 kemasan gelas dan 100 kemasan kotak, Berapa banyak kemasan botol yang diperlukan? Permasalahan ini bisa diselesaikan dengan sistem persamaan tiga variabel, dengan memisalkan kemasan gelas sebagai variabel , kemasan kotak sebagai variabel dan kemasan botol sebagai variabel z. Permasalahan 3 Identifikasi Konsep Permasalahan 3
Langkah- Langkah menyelesaikan permasalahan 2 adalah sebagai berikut : Diketahui : • Minggu I Volume jamu yang dibuat 233 liter • Minggu II Volume jamu yang dibuat 160 liter • Minggu III Volume jamu yang dibuat 270 liter 1. Membuat model matematika (SPLTV) dari permasalahan 3 150 + 200 + 180 = 230 (1) 200 + 100 + 100 = 160 (2) 100 + 300 + 200 = 270 (3) 2. Menyelesaikan persamaan linier tiga variabel dengan metode campuran Hilangkan variabel dengan eliminasi persamaan (1) dan (2) 150 + 200 + 180 = 230 200 + 100 + 100 = 160 Hilangkan variabel dengan eliminasi persamaan (1) dan (3) 150 + 200 + 180 = 230 100 + 300 + 200 = 270 Hilangkan variabel dengan eliminasi persamaan (4) dan (5) Subtitusikan nilai dari variabel ke dalam persamaan (4) −250 − 20 = −90 −250 − 20(0,5) = −90 −250 − 10 = −90 −250 = −80 = , Subtitusika nilai dari variabel dan ke dalam persamaan (1) 150 + 200 + 180 = 230 150(0,32) + 200 + 180(0,5) = 230 48 + 200 + 90 = 230 200 = 92 = , Solusi Permasalahan 3 x x 1 150 + 200 + 180 = 230 2 400 + 200 + 200 = 320 = 314.000 −250 − 20 = −90 = (4) x x 2 3 450 + 600 + 540 = 690 200 + 600 +=400765.000 = 540 = 313.000 250 + 140 = 150 = (5) 250 + 140 = 150 = −250 − 20 = −90 = + 120 = 60 =- = 0,5
IV= 300 + 100 + = 190 300(0,32) + 100(0,46) + (0,5) = 190 96 + 46 + 0,5 = 190 = 96 Jadi banyak kemasan botol yang diperlukan adalah 96 botol 1. Anis membeli 2 kg salak, 1 kg jeruk, dan 2 kg alpukat dengan harga Rp70.000,00. Nisa membeli 2 kg salak, 2 kg jeruk, dan 1 kg alpukat dengan harga Rp90.000,00. Sementara itu Sani membeli 2 kg salak, 3 kg jeruk, dan 2 kg alpukat dengan harga Rp130.000,00. Ditoko buah yang sama, jika Sari membeli 3 kg salak dan 1 kg jeruk, maka sari harus membayar dengan harga … 2. Dian, Dini, Dita, dan Diva berbelanja di Swalayan terdekat. Dian membayar Rp20.000,00 untuk membeli 3 susu kotak, 3 bungkus keripik, dan 2 bungkus kacang. Dini membayar Rp13.500,00 untuk membeli 2 susu kotak dan 3 bungkus kacang. Sementara itu Dita membayar Rp19.500,00 untuk membeli 6 bungkus keripik dan 3 Tugas 1. Kesimpulan Solusi Permasalahan 3
bungkus kacang. Jika Diva membeli 3 susu kotak, 2 bungkus keripik, dan 1 bungkus kacang, sedangkan uangnya Rp20.000,00, maka uang kembalian yang diterima adalah … 2. Aziz membeli 4 roti, 3 donat, dan segelas kopi, ia harus membayar Rp14.000,00. Bimo membeli 2 roti, 4 donat, dan segelas kopi, ia harus membayar Rp8.000,00. Jika Cakra hanya membeli sebuah roti dan sebuah donat, ia harus membayar adalah … 3. Lima tahun lalu, jumlah usia Andi, Bobi, dan Citra adalah 34 tahun. Tahun ini, usia Bobi 2 tahun lebihnya dari usia Andi, sedangkan jumlah usia Bobi dan Citra adalah 36 thun. Jika tahun ini adalah 2022, maka Citra lahir pada tahun … 5. FORUM DISKUSI ….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. C. PENUTUP 1. Rangkuman 1. Sistem persamaan linier tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linier dengan tiga variabel. 2. Umumnya persamaan linier tiga variabel dapat diselesaikan dengan cara : 1. Metode Eliminasi 2. Metode Substitusi 3. Campuran Eliminasi dan Substitusi 3. Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, seringkali suatu masalah dapat diterjemahkan ke dalam model matematika yang berbentuk sistem persamaan. Langkah pertama yang diperlukan adalah kita harus mampu mengidentifikasi bahwa karakteristik masalah termasuk ke dalam SPLDV, SPLTV, SPLK atau SPKK. Penyelesaian selanjutnya melalui langkah-langkah berikut: 1. Nyatakan besaran dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf). 2. Rumuskan sistem persamaan yang merupakan model matematika dari masalah. 3. Tentukan penyelesaian dari model matematika yang diperoleh pada langkah 2. 4. Tafsirkan hasil yang diperoleh dan sesuaikan dengan masalah semula. 2. Tes Formatif 1. Agar sistem persamaan linear + – 3 = −3 −2 – + = −1 + 3 – = −3 mempunyai penyelesaian, = 1, = −1, dan = 2, maka nilai + + adalah... 2. Desainlah sebuah permasalahan kontekstual tentang SPLTV , kemudian tentukan penyelesian dari SPLTV tersebu
DAFTAR PUSTAKA Noormandiri. B.K. Matematika untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta : Penerbit Erlangga. 2022. Dicky Susanto dkk. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X. 2021. Buku paket. Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Republik Indonesia, ISBN: 978-602-244-526-5. Kasmina dan Toali. Matematika untuk SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Penerbit Erlangga. 2018.