การแจกแจงแบบปกติและค่ามาตร

Normal
Distribution

การแจกแจงแบบปกตแิ ละคา่ มาตรฐาน

คา่ มาตรฐาน 01 02 การแจกแจงแบบปกติ

Standard Scores
ค่ามาตรฐาน

คา่ เฉล่ยี เลขคณติ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เราสามารถแปลงข้อมลู ใหเ้ ปน็ ค่ามาตรฐานได้ โดยการนาข้อมลู แตล่ ะตัวไปลบด้วย ҧ แลว้ หารด้วย S
เรานยิ มใช้สญั ลกั ษณ์ xi แทนขอ้ มลู เดมิ กอ่ นแปลง และใช้สัญลักษณ์ zi แทนค่ามาตรฐานของ xi หลัง
แปลง ดงั นนั้ สตู รสาหรับแปลงเปน็ ค่ามาตรฐานคอื

= − ҧ


EXAMPLE 1

เมือ่ แปลงคะแนนสอบของนกั เรียนกลุม่ หนึ่งให้เปน็ ค่ามาตรฐาน พบว่า นาย ก และนาย ข ซง่ึ มคี ะแนน 99 และ
69 คะแนน แปลงเปน็ คา่ มาตรฐานไดเ้ ป็น 2 และ -0.5 ตามลาดับ จงหาว่านาบ ค ซง่ึ มีคะแนน 93 คะแนน จะแปลง
เป็นคา่ มาตรฐานได้เทา่ ไร

วิธีทา จากขอ้ มลู การแปลงคา่ มาตรฐานของ นาย ก และนาย ข จะสามารถเขียนเป็นระบบสมการไดเ้ ปน็

2 = 99− ҧ 99 − ҧ = 2 (1)



-0.5 = 69− ҧ 69 − ҧ = −0.5 (2)



แก้ระบบสมการ เพอื่ หา ҧ และ S ดังนี้

(1) – (2) : 30 = 2.5

= 30 = 12

2.5

ҧ = 75

ดงั นนั้ นาย ค ซึ่งมคี ะแนน 93 คะแนน จะมคี ่ามาตรฐาน คอื 93−75 = 1.5

2

คะแนนทแี่ ปลงเป็ นคา่ มาตรฐานแลว้ จะมสี มบตั ดิ งั ตอ่ ไปนี้

1. ผลบวกของค่ามาตรฐานของข้อมลู ทุกตวั เปน็ 0 เสมอ
2. ถา้ เอาคา่ มาตรฐานของข้อมลู ทกุ ตัว ไปหาค่าเฉลยี่ จะไดค้ า่ เฉล่ยี เปน็ 0 เสมอ
3. ถา้ เอาค่ามาตรฐานของขอ้ มูลทกุ ตวั มายกกาลงั สอง แลว้ บวกกัน จะได้เทา่ กบั จานวนขอ้ มลู
4. ถ้าเอาค่ามาตรฐานของขอ้ มูลทุกตัว ไปหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน จะได้ 1 เสมอ

Normal Distribution

ข้อมลู ที่สารวจได้จากธรรมชาตมิ ักจะมลี กั ษณะการแจกแจงเฉพาะตัวทีเ่ รียกว่าการแจกแจง “แบบปกต”ิ
การแจกแจงแบบปกติจะมขี ้อมูลส่วนใหญก่ องอยตู่ รงกลางและคอ่ ย ๆ นอ้ ยลงบรเิ วณรมิ ๆ ซ้ายขวาถ้านา
ข้อมูลท่แี จกแจงปกตวิ ่าเขยี นโค้งความถกี่ ็จะได้เปน็ รปู ระฆังควา่ แบบสมมาตรดังรูป

ในเรื่องนี้เราจะพูดถงึ เฉพาะขอ้ มูลทีแ่ จกแจงแบบปกตเิ ท่านั้น
ขอ้ มลู แตล่ ะชดุ จะวาดโค้งความถี่ได้แตกตา่ งกัน ขนึ้ กับ จานวนขอ้ มูล (W) ค่าเฉลี่ย ( ҧ) และการกระจาย (S)

• พน้ื ทีใ่ ตโ้ ค้ง คือ จานวนขอ้ มูล ดงั นน้ั ถา้ มขี ้อมลู หลายตัว โค้งความถ่ีจะสงู
• ҧ คือแกนกลางของโคง้ ความถี่ ดังนนั้ ถค้า้ง ҧ มาก โค้งความถจี่ ะเลอื่ นไปอยทู่ างขวา
• S บอกการกระจายขอ้ มูล ขอ้ มูลท่กี ระจายมาก โคง้ ความถี่จะแผก่ วา้ ง

ถึงขอ้ มลู แต่ละชุด จะวาดความโคง้ ความถ่ไี ดแ้ ตกต่างกัน แตถ่ า้ เราแปลขอ้ มลู เหล่านั้นให้เปน็ ค่ามาตรฐานแลว้ นา
ค่ามาตรฐานทีไ่ ดไ้ ปวาดโคง้ ความถี่ แลว้ ยอ่ ขนาดใหพ้ ้นื ที่ใต้โค้งเหลือ 1 กบั ข้อมลู ทกุ ชดุ จะได้โคง้ รปู เดียวกนั เป๊ะ
ๆ อย่างนา่ ประหลาดใจ

เราจะเรียกโคง้ รูปเดยี วกนั นี้วา่ “โค้งมาตรฐาน”

สิง่ ทเี่ ราจะสนใจในโคง้ มาตรฐาน กค็ อื “พ้นื ทีใ่ ตโ้ ค้ง” ซึ่งเราตอ้ งอา่ น “ตารางพืน้ ท่ใี ตโ้ คง้ ” ให้เป็นพ้นื ท่ีใต้
โค้งมาตรฐานทงั้ หมด จะเทา่ กับ 1 แบง่ เป็นฝงั่ ซ้าย 0.5 และฝ่ังขวา 0.5 โดยตวั เลขในตาราง จะแสดง
พน้ื ทท่ี างซกี ขวาทีว่ ดั เทยี บจากแกนกลางเท่าน้ัน

EXAMPLES

การทาโจทยใ์ นเรื่องนี้ ต้องวาดรปู และใสต่ าแหนง่ ของ z ใหถ้ ูกต้อง
• Z เป็นบวก อยู่ทางขวาแกนกลาง
• Z เปน็ ลบ อยทู่ างซ้ายแกนกลาง
ถ้าเราตอ้ งการพน้ื ที่ จากแกนกลางไปถึง Z ที่เปน็ ลบ ใหด้ ูจากซีกขวาได้ เพราะซกี ซ้ายและซีกขวาสมมมาตรกัน

ตัวเลขในตาราง เปน็ ตัวเลขท่วี ัดจากแกนกลางเท่าน้นั ถา้ เราอยากไดส้ ว่ นอน่ื ตอ้ งหักลบเอาเอง ปกตมิ กั ต้องหกั ลบ
กับ 0.5 เนือ่ งจากพนื้ ท่ใี ต้โคง้ มาตรฐาน จะแบง่ เป็นฝั่งซา้ ย 0.5 และ ฝั่งขวา 0.5

ตัวอยา่ ง จงหาพ้นื ทใ่ี ตโ้ ค้งมาตาฐาน ตงั้ แต่ z = -1.04 ถึง 1.25
วธิ ที า ขอ้ น้ตี ้องเปิดตารางสองครง้ั คือหาพน้ื ท่ีซีกซ้าย (z = -1.04 ถงึ 0) หนึ่งครัง้ และเปิดหาซีกขวา (z = 0 ถงึ 1.25) อกี
หนง่ึ ครัง้ แล้วเอามาบวกกัน ตอนเปดิ หาซกี ซา้ ย ก็ต้องเอาคา่ บวก 1.04 ไปเปิด เพราะในตารางมแี ต่ z ทเ่ี ปน็ บวก

Z = 1.04 ได้ A = 0.3508
Z = 1.25 ได้ A = 0.3944

ดังนัน้ พน้ื ที่ใต้โคง้ ตง้ั แต่ Z = -1.04 ถึง 1.25 เท่ากับ 0.3508 + 0.3944 = 0.7552

ตวั อย่าง จงหาพน้ื ทใี่ ตโ้ คง้ มาตาฐาน ต้งั แต่ z = 1.12 ถึง 1.98
วธิ ีทา ขอ้ น้ีต้องเปิดตารางสองครัง้ แล้วเอามาหกั กัน

Z = 1.12 ได้ A = 0.3686
Z = 1.98 ได้ A = 0.4761

ดงั น้นั พืน้ ท่ใี ตโ้ ค้ง ต้ังแต่ Z = 1.12 ถงึ 1.98 เท่ากบั 0.4761 – 0.3686 = 0.1075

ตัวอย่าง จงหาพน้ื ท่ีใตโ้ ค้งมาตาฐาน ต้งั แต่ z ≥ -1.52
วธิ ีทา ขอ้ น้ี ตอ้ งหาพืน้ ท่ี ดงั ที่แรเงาในรปู ถ้าเอา Z = 1.52 ไปเปดิ ตาราง จะได้ A = 0.4357 แตพ่ นื้ ที่จากตาราง จะเปน็ พน้ื ท่ที ่ี
วัดจากแกนกลาง ดังนน้ั 0.4357 จงึ ไม่ใช่สิ่งที่โจทยถ์ าม เนื่องจาก พนื้ ที่ใตโ้ คง้ มาตาฐานทงั้ หมด จะเทา่ กับ 1 แบ่งเป็นฝัง่ ซา้ ย
0.5 และ ฝั่งขวา 0.5

ดงั นน้ั พ้นื ที่ใต้โค้ง เมอ่ื z ≥ -1.52 จะเทา่ กับ 0.5 – 0.4357 = 0.0643

บทน้ี เรานยิ มใช้พ้ืนทใ่ี ตโ้ คง้ มาตรฐานมาสรุป “จานวนขอ้ มลู ” หรอื “เปอร์เซน็ ตข์ องขอ้ มูล” ซึ่งจะมขี ้ันตอนดงั น้ี

1. เอาข้อมลู จรงิ ( xi ) มาแปลงเป็นคา่ มาตรฐาน (zi) ด้วยสตู ร = − ҧ
2. เอาค่า z ไปเปดิ ตารางหาพน้ื ทท่ี ี่ต้องการ

3. แปลงพืน้ ที่ กลับไปเป็นสง่ิ ที่โจทย์ถามหา

- ถา้ โจทยถ์ ามหาจานวนข้อมูล ใหเ้ อาพน้ื ทที่ ่ไี ด้คณู ดว้ ยจานวนข้อมูลทั้งหมด ( N )

- ถ้าโจทย์ถามหาเปอรเ์ ซ็นตข์ องจานวนข้อมูล ใหเ้ อาพน้ื ทท่ี ่ีไดค้ ูณด้วย 100

ตัวอยา่ ง คะแนนสอบของนักเรียน 80,000 คน มกี ารแจกแจงปกติ พบวา่ ҧ = 58 และ S = 4 คะแนน จงหาวา่ มีนักเรยี นก่ี
เปอร์เซน็ ต์ และ กี่คน ท่สี อบได้คะแนนในชว่ ง 53-66 คะแนน ตารางแสดงพืน้ ที่ใต้เสน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐานระหว่าง 0 ถงึ Z เป็น

ดงั น้ี

วธิ ีทา แปลง 53 กบั 66 เปน็ คา่ มาตรฐานกอ่ น จะได้ 53−58 = -1.25 และ 66−58 = 2 ดังนน้ั เราตอ้ งหาพื้นท่ีใตโ้ ค้ง
มาตรฐาน ตั้งแต่ Z = -1.25 ถึง Z = 2 4 4

Z = 1.25 ได้ A = 0.3944

Z = 2.00 ได้ A = 0.4772

ดงั นั้น พื้นทีแ่ รเงา คอื 0.3944 + 0.4772 = 0.8716

ดังนั้น มีนกั เรยี น 0.8716 x 100 = 87.16% ที่ได้คะแนนในชว่ ง 53 – 66 คะแนน
และมีนักเรียน 0.8716 x 80,000 = 69,728 คน ท่ีไดค้ ะแนนในช่วง 53 – 66 คะแนน