การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

ชอ่ื – นามสกุล…………………………………………………….ชนั้ ม.2/…………เลขท…่ี ……….
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี อง

1. การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ Practice Now
สมบัติการแจกแจง 1. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามในแตล่ ะข้อต่อไปนี้
โดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง
นกั เรยี นพจิ ารณาพหนุ ามต่อไปน้ี 1) 5x2 −10x
1. 3x + 9=……………………………………………….…………….. =………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………..……………………
2. 4 x + 12 =…………………………………………..………………… 2) 4a2 − 8a
3. 6x − 12 =…………………………………………………………… =………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………..……………………
4. 5x +10y =………………………………………………………… 3) 6ab −15ab2
5. 2x3 + 3xy =………………………………………………………………………………..
=……………………………………………………………………………….. =…………………………………………………………..……………………
=…………………………………………………………..…………………… 4) x3y + xy3
6. 10xy2 + 15x2 y =………………………………………………………………………………..
=……………………………………………………………………………….. =…………………………………………………………..……………………
=……………………………………………………………………….………. 5) 3x4 y3 − 5x2 y5
7. a2b − a2b2 =………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………............................. =…………………………………………………………..……………………
=……………………………………………………………………………….. 6) 3a2b2 −12ab2
=………………………………………………………………………………..
ขา้ งตน้ เป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใช้ =…………………………………………………………..……………………
สมบัติการแจกแจง ทำไดโ้ ดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง 7) 49a3 − 7a2 + 35a
=………………………………………………………………………………..
ถา้ a, b และ c เป็นพหนุ าม แล้ว =…………………………………………………………..……………………
a(b + c ) = ab + ac หรอื (b + c )a = ba + ca 8) −8x2 y − 6x2 y2 + 10xy2
ซึง่ อาจเขียนไดเ้ ป็น =………………………………………………………………………………..
ab + ac = a(b + c ) หรอื ba + ca = (b + c )a =…………………………………………………………..……………………

7) −4 x2 yz + 12xyz2 − 20xy2z3 2.การแยกตวั ประกอบของพหุนาม
=……………………………………………………………………………….. ดกี รีสองตัวแปรเดียว
=…………………………………………………………..……………………
8) 25x + 15x2 y − 75x3 พหนุ ามดีกรสี องตวั แปรเดียว เป็นพหุนามท่ีเขียน
=………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………..…………………… ไดใ้ นรปู ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เป็นค่าคงที่
9) a2 − 2a3 + 2a4
=……………………………………………………………………………….. a  0 และ x เปน็ ตัวแปร เรยี กวา่ พหุนามดกี รสี องตัว
=…………………………………………………………..…………………… แปรเดียว
10) 3a4b − 6a3b2 − 9a2b3
=……………………………………………………………………………….. ตัวอยา่ งที่ 1 จงบอกค่า a, b, c ของพหนุ ามดกี รสี องตวั
=…………………………………………………………..…………………… แปรเดยี วในแต่ละข้อต่อไปนี้ ซึ่งอยใู่ นรูป ax2 + bx + c
2. แยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี เม่ือ a, b, c เปน็ คา่ คงท่ี a  0 และ x เป็นตวั แปร

( ) ( )1) 2y2 − 3 y + 4 2y2 − 3 1) 4x2 + 5x + 6
วิธที ำ………………………………………………………………………....
=……………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………....
=…………………………………………………………..……………………
2) a(b + 4c ) + x (b + 4c ) 2) 2x2 − 7x − 9
=……………………………………………………………………………….. วิธที ำ………………………………………………………………………....
=…………………………………………………………..…………………… ………………………………………………………………………………....
3) ( x −1) + y2 ( x −1)
=……………………………………………………………………………….. 3) 3x2 −12
=…………………………………………………………..…………………… วิธที ำ………………………………………………………………………....
4) x2 ( x + 4) − 7( x + 4) ………………………………………………………………………………....
=………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………..…………………… 4) 5x2 −15x
5) xy − 2xz + yz − 2z2 วธิ ที ำ………………………………………………………………………....
=……………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………....
=…………………………………………………………..……………………
6) x2 + ax + bx + ab 2.1 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องที่อยู่ในรปู
=……………………………………………………………………………….. ax2 + bx + c เมอื่ a, b เป็นจำนวนเตม็ และ c = 0
=…………………………………………………………..……………………
ตัวอย่างที่ 1
จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้

1) x2 − 3x =…………………………………………………...
2) 2x2 + 4x =………………………………………………….
3) 3x2 +18x =………………………………………………..

4) 3y2 − 9y =…………………………………………………. ข้อ ผลบวก ผลคูณ จำนวนสองจำนวน
5) −4x2 − 8x =……………………………………………… 9 -7 -120
6) −10x2 + 5x =…………………………………………… 10 -10 24
7) −7y2 + 49y =…………………………………………… 11 -8 -128
12 -15 44
2.2 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองท่ีอยใู่ นรูป 13 -24 108
ax2 + bx + c เม่อื a = 1, b และ c เปน็ จำนวนเต็ม 14 -2 -24
และ c  0 15 -2 -399
16 10 9
เพือ่ ความสะดวกในการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 17 -11 -312
ax2 + bx + c และจะเรยี ก ax2 ว่า พจน์หนา้ 18 -12 20
19 -7 12
เรียก bx ว่า พจนก์ ลาง และเรยี ก c วา่ พจนห์ ลัง 20 -13 40

ขน้ั ตอนการแยกตวั ประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c ตัวอยา่ งที่ 2 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้
เมือ่ a = 1, b และ c เป็นจำนวนเตม็ และ c  0 1) x2 − 7x + 12=…………………………………………
ขน้ั ที่ 1 ax2 + bx + c = ( x + ...)( x + ...) 2) x2 + 6x −16=…………………………………………
ขน้ั ที่ 2 หาจำนวนเตม็ สองจำนวนทค่ี ณู กนั ได้เท่ากบั 3) x2 − 3x −18 =…………………………………………
พจนห์ ลงั (c) และบวกกนั 4) x2 +15x + 56=…………………………………………
ไดเ้ ทา่ กบั สัมประสิทธ์ิพจนก์ ลาง (b) 5) x2 + 7x −18=…………………………………………
ขัน้ ที่ 3 นำจำนวนเตม็ ทหี่ าได้จากขนั้ ท่ี 2 ไปเตมิ ในขัน้ ท่ี 1 6) x2 −10x + 24=…………………………………………
7) x2 +11x +18 =…………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 1 หาจำนวนเต็มสองจำนวนทมี่ ีผลบวกและผล 8) x2 − 14 x + 24 =………………………………………
คูณเทา่ กบั จำนวนทก่ี ำหนดให้ตามลำดบั ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 9) x2 + 12x + 11=…………………………………………
10) x2 − 8x − 20 =………………………………………...
ข้อ ผลบวก ผลคูณ จำนวนสองจำนวน 11) x2 − 5x − 24 =…………………………………………
1 19 84 12) x2 − 23x +132=………………………………………
2 -5 -104 13) x2 − 24x +143 =………………………………………
32 -143 14) 81 +18x + x2=…………………………………………
4 12 11 15) x2 − 9x + 20 =…………………………………………..
5 -23 126 16) 6 − 5x − x2=……………………………………………
6 -6 8
7 21 90
8 -7 10

17) x2 + 32x + 207 =……………………………………… 5) 3x2 −13x +12 =……………………………………….
18) x2 −13x − 48 =……………………………………….. ตรวจสอบ……………………………………………………………………
19) x2 +16x + 55=…………………………………………
20) x2 + 11x + 24 =………………………………………… …………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่อี ยใู่ นรปู
ax2 + bx + c เม่อื a, b และ c เปน็ จำนวนเต็ม โดยท่ี …………………………………………………………………………………
a  0, a  1 และ c  0 …………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งท่ี 1 แยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้ 6) 3x2 − x −10 =…………………………………………
1) 5x2 + 7x − 6 =………………………………………… ตรวจสอบ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
ตรวจสอบ……………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
7) 4x2 +19x − 30 =………………………………………..
2) 8x2 −19x −15=……………………………….………
ตรวจสอบ…………………………………………………………………… ตรวจสอบ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

3) −12y2 − 20y − 7 =…………………………….…….. …………………………………………………………………………………
ตรวจสอบ…………………………………………………………………… 8) 5x2 + 23x +12 =………………………………………..
………………………………………………………………………………… 9) 6x 2 +19x +15=………………………………………
………………………………………………………………………………… 10) 2x2 − 5x − 3 =…………………………………………
………………………………………………………………………………… 11) 2x2 − 7x −15 =………………………………………….
12) 3x2 −17x − 6 =………………………………………….
4) 2x2 + 5x + 2=………………………………………… 13) 6x2 − x − 40 =……………………………………......
ตรวจสอบ…………………………………………………………………… 14) 7x2 − 5x − 2 =………………………………………...
………………………………………………………………………………… 15) 8x2 − 6x − 9 =…………………………………………
………………………………………………………………………………… 16) 18x2 − 9x − 20 =………………………………………
………………………………………………………………………………… 17) 14x2 − 31x +15 =……………………………………..
18) 28x2 − 31x − 5=………………………………………
19) 7x2 − 78x +11=………………………………………
20) −12x2 − 5x + 3 =………………………………………

3. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ถ้าให้พจนห์ น้าแทนด้วย a และพจน์หลังแทนด้วย
ทอี่ ยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ b จะไดส้ ูตรการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองทเ่ี ป็น
กำลงั สองสมบูรณ์
พจิ ารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง
ตัวแปรต่อไปนี้ a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

1. x2 +10x + 25 นกั เรียนอาจจดจำง่ายๆว่า
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… หน้า2 + 2(หนา้ )(หลัง) + หลงั 2 = (หน้า + หลัง)2

2. x2 − 22x + 121 ตวั อยา่ งท่ี 2 แยกตัวประกอบของ
=……………………………………………………………………………… 1) x2 −10x + 25
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
3. 4x2 + 20x + 25 =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… 2) x2 − 24x +144
=………………………………………………………………………………
4. 16x2 − 80x +100 =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… 3) 9x2 −12x + 4
=………………………………………………………………………………
การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง แลว้ ได้ =………………………………………………………………………………
ตวั ประกอบเปน็ พหุนามดกี รีหนง่ึ ซำ้ กนั จะเรยี กลักษณะ
เช่นนีว้ ่า พหนุ ามดีกรสี องทเ่ี ป็น กำลังสองสมบรู ณ์ ถ้าให้พจน์หนา้ แทนด้วย a และพจนห์ ลงั แทนด้วย
b จะไดส้ ตู รการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องท่เี ป็น
ตวั อยา่ งท่ี 1 แยกตวั ประกอบของ กำลังสองสมบรู ณ์
1) x2 +12x + 36
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… นกั เรียนอาจจดจำงา่ ยๆว่า

2) x2 +14x + 49 หน้า2 - 2(หนา้ )(หลงั ) + หลงั 2 = (หนา้ - หลงั )2
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………

3) 4x2 + 36x + 81
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………

ตัวอย่างท่ี 3 แยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี 2. แยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี
1) ( x + 2)2 + 6( x + 2) + 9 1) 4x2 + 20x + 25

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
2) 9x2 +12x + 4
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
2) ( x + 3)2 + 8( x + 3) + 16 =………………………………………………………………………………
3) 16x2 − 56x + 49
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… 4) 49x2 − 42x + 9

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
3) 9x2 − 6x ( x − 2) + ( x − 2)2
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… 5) 4x2 − 36x + 81

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………… 3. แยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี
1) (2x −1)2 − 20(2x −1) + 100
Practice Now
=………………………………………………………………………………
1. แยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี
1) x2 +12x + 36 =………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
2) x2 + 36x + 324 2) ( x + 5)2 + 16( x + 5) + 64

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
3) x2 + 52x + 676
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
4) x2 −16x + 64 ( )3) ( x + 2)2 −10 x2 + 2x + 25x2

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
5) x2 − 34x + 289
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………

4. การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง ตวั อยา่ งที่ 1
ทอ่ี ยใู่ นรูปผลตา่ งของกำลังสอง
จงแยกตวั ประกอบของพหุนามในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี
พิจารณาการคูณพหนุ ามสองพหุนามต่อไปนี้ 1) x2 − 144
1. ( x + 3)( x − 3)
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… 2) x2 −196

2. ( x + 7)( x − 7) =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… 3) x2 − 324

3. (3x + 5)(3x − 5) =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… 4) x2 − 4 y2

จากตัวอยา่ งของการคูณพหนุ ามสองพหนุ าม =………………………………………………………………………………
ข้างต้น จะเห็นไดว้ ่า การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรี
สองท่มี ีตวั ประกอบเปน็ พหนุ ามดีกรหี น่งึ ที่มีพจนเ์ หมือนกัน =………………………………………………………………………………
แต่มีเคร่ืองหมายระหว่างพจน์ตา่ งกัน เรียกพหนุ ามดีกรีสอง 5) x2 − 25y2
ท่มี ลี ักษณะเชน่ นี้ว่า พหุนามดีกรสี องท่เี ปน็ ผลตา่ งของ
กำลงั สอง =………………………………………………………………………………

ถา้ ใหพ้ จนห์ น้าแทนดว้ ย a และพจน์หลงั แทนดว้ ย b =………………………………………………………………………………
ตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่เป็นผลตา่ งของกำลงั สอง 6) 4 x2 −16
ดงั นี้
=………………………………………………………………………………
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
=………………………………………………………………………………
นักเรียนอาจจดจำงา่ ยๆวา่ 7) 25x2 − 49

หน้า2 – หลัง2 = (หน้า + หลัง)(หน้า - หลงั ) =………………………………………………………………………………

=………………………………………………………………………………
8) 144x2 − 25

=………………………………………………………………………………

=………………………………………………………………………………
9) 36x2 − 49y2

=………………………………………………………………………………

=………………………………………………………………………………
10) 169x2 − 36y2

=………………………………………………………………………………

=………………………………………………………………………………

ตัวอย่างท่ี 2 6) 4x2 − ( x + 6)2
แยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
1) ( x + 3)2 − 9 =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… 7) (4x + 5)2 − 25x2
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
2) ( x + 7)2 −16 =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… 8) ( x + 2)2 − ( x − 5)2
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
3) 36 − ( x − 5)2 =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… 9) ( x + 6)2 − ( x − 4)2
=………………………………………………………………………………
4) 81 − (3x + 2)2 =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
10) 16( x − 5)2 − 25( x + 3)2
5) x2 − (2x + 5)2 =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………… =………………………………………………………………………………