SM015 2021 Scheme (edited)

SECTION A

1(a) Given f  x is continuous at x 1 , 2(a) 1
x  t 1  3t 2
lim f  x  lim f  x  f 1 dx  t2  6t y  t 2  4t 2
x1 x1 dt
dx  1 6t3
lim x 1  lim x2  x  a  12 1 a dt t2 dy  2t  1

dt 2t 2

x1 x1 x  a 1 a

11  12 1 a 33
1 a
dy  2t 2  2  2(t 2 1)
dt
21 a  a 1 1

t2 t2

a2 dy  dy  dt
dx dt dx
x2  x  2
lim 3
x2 x  2
 2(t 2 1)  t2
 x  2 x 1 6t3 1
1
 lim
x2 x  2 t2

 lim x 1  3 33 3
x2
 2t 2 (t 2 1)  2t3  2t 2
6t3 1 6t3 1
1

(b) lim  2x  5  3
 3x  4 
x d2y d  dy  dt
dx2 dt  dx  dx
 lim 3 2x  5  
x 3x  4
  1   3  
   
 3t 2  2t 2
   6t 3 2 3
1 6t  2t 18t 2 
2x  5  t2
       3

xx 6t3 1 2
 lim 3 3x  4    6t 1
x

xx  

 3 2  0  3 2  0.874  3t2 6t 3 1  2t 2 1   36t 4  t 3 3 
30 3    
t2 t2

  
6t3 1 3
 

When t  1,

d 2 y  36 12 1  3611  3
dx2 6 13 25

2(b) 3
y
y  ln  sin 2x  x
 1 cos 2x  x

dy  1 1 cos 2x2cos 2x  sin 2x2sin 2x  river
dx sin 2x  
 1 cos 2x2 
2x  y  100  y  100  2x
1 cos 2x
Area  xy  x 100  2x  100x  2x2
dy  1 cos 2x   2 cos 2x  2 cos2 2x  2 sin 2 2x 
dx sin 2x  
 1 cos 2x2 

 dy 
1  2 cos 2x  2 cos2 2x  sin2 2x  dA  100  4x  0  x  25
  dx
dx sin 2x  1 cos 2x 

dy  1   21 cos 2x  d2A  4  0  max
dx sin 2x   dx2
 1 cos 2x 

dy  2 when x  25, y  100  225  50
dx sin 2x

dy  2cos ec2x
dx

Alternative:

y  ln  sin 2x   ln sin 2x  ln 1  cos 2x 
 1 cos 2x 

dy  1  2cos 2x  1  2sin 2x
dx sin 2x 1 cos 2x

dy  2 cos 2x  2 cos2 2x  2sin2 2x
dx
sin 2x1 cos 2x

 dy

dx
 2 cos 2x  2 cos2 2x  sin2 2x  21 cos 2x
sin 2x1 cos 2
sin 2x1 cos 2x x

dy  2  2cos ec2x
dx sin 2x

SECTION B 2(a)
1(a) 4x  6
4x
ln 24x1  ln 8x5  log2 1612x
4x  64 x  0
4x 1ln 2  3x 15ln 2  4  8x
4x 4x
4x ln 2  ln 2  3x ln 2 15ln 2  4 8x
x ln 2  8x 16ln 2  4 5x 12  0  , 12  12 , 4  4, 
4x  5   5 
x ln 2  8  16ln 2  4 
5x 12   
x  44ln 2 1 4x
5x 12   
ln 2  8 4x

 

1(b)

z1 2  3i  4  2i Solution set :  x : 12  x  4
z2 4  2i 4  2i  5 
z3   

2(b)

x6 3 x2

 8  4i 12i  6i2  x  62  32  x  22
16  4i2

 8  8i  61  x2 12x  36  9 x2  4x  4
16  41

 14  8i  7  2 i 8x2  24x  0
20 10 5
8x x  3  0

z3   7 2   2 2  65 By using graphical method, the solution set is x : x  0  x  3
 10   5  10

3(a) Rf  1,11 4(a) f g  x  g2 3 4  x 3 , x  5
5
(b) x

9  1 11 1 x 5  g2 x4

m1  2  3  2 m2  5  3  6 g2 x  x 1

3, 1 3, 1 Since g  x  0, g  x  x 1

y  2x  c y  6x  c Dg  1,  \ 5

1  23  c  c  5 1  63  c  c  19 (b)

g  x1   g  x2  Alternative : Horizontal Line Test

f x  2x  5, 2  x  3 x1 1  x2 1
6x 19, 3 x5
x1 1  x2 1
(c) f 0  20  5  5 x1  x2

 g  x is 11  g1  x exists

f  f 0  f 5  65 19 11 g g1  x  x
g1  x 1  x

g 1  x  x2 1
Dg1  0, \2

(c) h g1  x  a x2 1  b  5x2 12

ax2  a  b  5x2 12

By comparing,

a  5, a  b 12  5  b 12  b  7

5(a) f x  2x2  2
x2  4

lim 2x2  2 lim 2x2  2

x x2  4 x x2  4

2x2  2 2x2  2
x2 x2 x2 x2
 lim x2  4  lim x2  4
x x

x2 x2 x2 x2

2 2 2 2
x2 x2
 lim  lim
x 4 x 4
1 x2 1 x2

 20 2  20 2
1 0 1 0

 y  2 is horizontal asymptote.

lim 2x2  2   lim 2x2  2  
x2  4 x2  4
x2 x2

x  2 & x  2 are vertical asymptotes.

6(a) y tan    x  6(c) 2x2  3y2  k
 4  y2  x3 4x  6y dy  0

dy  sec2   x  2 y dy  3x2 dx
dx  4  dx dy   2x
dx 3y
d2y  2 sec    x  sec    x  tan    x  dy  3x2
dx2  4   4   4  dx 2 y

d2y  2 sec2   x  tan    x  At 1,1 At 1, 1
dx2  4   4 
312 3 12
dy  2 1  3 dy  2  1   3
dx 2 dx 2

d2y  2y dy  2 sec2   x  tan    x   2 tan    x  sec 2   x   0
dx2 dx  4   4   4   4 
dy   2 1   2 dy   21  2
dx 31 3 dx 31 3
ex
6(b) g  x  ex  2 The tangents of the two curves at these two points are perpendicular to
each other.
       gx 
ex  2 ex  ex ex  2ex  2
ex  2 2 ex  2
2

 ex  ex  2 2

e2x  5ex  4  0

ex  4ex 1  0

ex  4, ex  1
x  ln 4, x  ln1  0

7.
dV  5cm3 / s
dt

tan 30  r  r  3 h
h3

V  1  r2h  1  h3
39

dV   h2
dh 3

When V  3000 , 1  h3  3000  h  30
9

dh  dh  dV
dt dV dt

  3  5   1 cm / s
60
302