การสร้างทางเรขาคณิต

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์

1.ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี

--------------->

การสรา้ งทางเรขาคณิต

Geometric Construction

โรงเรยี นบ้านมอเจริญ อาเภอปางศิลาทอง จังหวดั กาแพงเพชร

สานกั งานเขตพืน้ ทก่ี ารศกึ ษาประถมศึกษากาแพงเพชร เขต 2

กระทรวงศึกษาธกิ าร

1

การสรา้ งทางเรขาคณิต

( Geometric constructio )

ในบทการสร้างทางเรขาคณิต น้ี ประกอบด้วยหัวข้อย่อย ดงั ตอ่ ไปน้ี

2.1 รปู เรขาคณติ พน้ื ฐาน 1 ช่ัวโมง

2.2 การสรา้ งพ้นื ฐานทางเรขาคณิต 6 ช่ัวโมง

2.3 การสร้างรปู เรขาคณิต 4 ช่ัวโมง

สาระและมาตรฐานการเรียนรู้

สาระที่ การวัดและเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.1 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณติ สมบตั ิของรปู เรขาคณติ ความสัมพันธ์
ระหว่างรูปเรขาคณติ และทฤษฎบี ททางเรขาคณิต และนำไปใช

ตวั ช้ีวัด

ใช้ความรทู้ างเรขาคณิตและเคร่ืองมือ เชน่ วงเวียนและสนั ตรง รวมท้ังโปรแกรม The
Geometer’s Sketchpad หรือโปรแกรมเรขาคณติ พลวัตอ่ืน ๆ เพ่อื สรา้ งรูปเรขาคณติ ตลอดจนนำ
ความรู้เกยี่ วกับการสร้างนไี้ ปประยุกต์ใชใ้ นการแกป้ ัญหาในชีวติ จรงิ

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

นกั เรยี นสามารถ
1. ใช้วงเวยี นและสันตรง หรอื ซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวตั ในการสร้างพ้นื ฐานทางเรขาคณิต
2. ใช้วงเวยี นและสันตรง หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั ในการสร้างรูปเรขาคณิตและ
นำไปใชแ้ กป้ ัญหาในชวี ิตจริง

*******************************************

2

2.1 รูปเรขาคณิตพ้ืนฐาน ( 1 ช่ัวโมง )

สาระสำคัญ

รปู เรขาคณติ พน้ื ฐาน ได้แก่ จุด เสน้ ตรง สว่ นของเส้นตรง รงั สีและมมุ เปน็ พื้นฐาน
สว่ นประกอบของรปู ของส่ิงต่าง ๆ

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

นกั เรยี นสามารถ
1. อธิบายลักษณะและสมบัติของจดุ เสน้ ตรง สว่ นของเสน้ ตรง รงั สี และมมุ
2. เปรียบเทยี บความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง และขนาดของมมุ โดยใช้วงเวียน

แหล่งเรียนรเู้ พิม่ เตมิ

https://www.youtube.com/watch?v=1lLCINhwdTk
https://www.youtube.com/watch?v=c_-XQuiC49E
https://www.youtube.com/watch?v=yYlPCzP0vZw
https://www.youtube.com/watch?v=1YXp5RpuQKI
https://www.youtube.com/watch?v=5OJlxktjNA4
https://www.youtube.com/watch?v=H4vx2s1PYb8
https://www.youtube.com/watch?v=buCRN-lLyEQ

3

กิจกรรมความรู้

ความเป็นมาของเรขาคณิต
จากหลกั ฐานที่พบบอกเราวา่ เรขาคณติ เกิดข้ึนในอยี ปิ ตโ์ บราณเม่ือประมาณ 1,700 ปีก่อน

ครสิ ตศ์ กั ราช ชาวอียปิ ต์และชาวบาบิโลนต่างกส็ นใจเรขาคณติ ในแง่การนำไปใชใ้ ห้เป็นประโยชน์แก่
การดำรงชวี ิต เช่น การหาพ้ืนที่ เป็นต้น จงึ ทำให้ความรเู้ ก่ียวกบั เรขาคณติ สมยั อียิปตแ์ ละบาบโิ ลน
จำกัดวงแคบ เป็นความรทู้ ่ไี ด้เฉพาะจากการใช้สญั ชาตญาณ การทดลองและการคาดคะเนเท่านนั้

ต่อมาราว 600 ถึง 200 ปีก่อนครสิ ตศ์ กั ราช ชาวกรีกให้ความสนใจเรขาคณิตแตกต่างไปจาก
ชาวอียปิ ต์และชาวบาบโิ ลนโดยสน้ิ เชงิ ชาวกรีกสนใจศึกษาเรื่องราวและปรากฏการณ์ของธรรมชาติ
นกั คณติ ศาสตร์ชาวกรีกในขณะเดยี วกันกเ็ ปน็ นักปรัชญาดว้ ย มคี วามต้องการที่จะคน้ หารูปแบบต่าง
ๆ ของธรรมชาติ เพราะเชอ่ื ว่าเรขาคณิตเป็นแกนกลางของรปู แบบของธรรมชาติ และในฐานะทีเ่ ปน็
นกั ปรัชญาดว้ ย วิธีการแสวงหาความจรงิ เหล่าน้ันจงึ อยู่ในรูปของการใช้เหตุผล

นักคณติ ศาสตร์ชาวกรกี ผู้มีชอ่ื เสียงและมบี ทบาทสำคญั ในการพัฒนาเรขาคณติ ท่านหนึ่งคือ
"ยคู ลดิ ( Euclid )" ท่านได้รวบรวมเขยี นตำราคณิตศาสตรข์ น้ั ตน้ ข้ึนมา 13 เลม่ รู้จกั กันในช่อื
"เอลเลเมนท์ ( Elements )" ในจำนวนนี้มีถงึ 7 เลม่ ท่วี า่ ดว้ ยเรื่องเรขาคณิต เปน็ ตำราทีว่ าง
พ้นื ฐานการเรียนเรขาคณิตทีใ่ ชก้ ารพสิ ูจน์อย่างมีเหตผุ ลจากสจั พจน์ ( axiom หรอื postulate )

ยุคลดิ ( Euclid ) หรือ ยคุ ลิดแหง่ อเล็กซานเดรยี นักคณติ ศาสตรช์ าวกรีก
ที่มาของภาพ : http://th.wikipedia.org/wiki/ยุคลิด

4

เรขาคณิตมีววิ ัฒนาการต่อมาเร่ือย ๆ เร่ิมจากการกำเนิดของเรขาคณติ โพรเจคทฟี
( projective geometry ) และเรขาคณติ วเิ คราะห์ ( analytic geometry ) จนถึงทกุ วนั นี้มี
เรขาคณติ เกิดข้นึ หลายแขนง เช่น โทโพโลยี ( topology ) ซ่ึงเปน็ เรขาคณิตทีเ่ อื้อให้รูปเรขาคณติ
สามารถเปลี่ยนแปลงรปู รา่ งไดเ้ มื่อไดร้ ับการกระทำ เชน่ การบดิ การบีบ หรือการยดื ได้มกี าร
จำแนกเรขาคณติ ออกเป็น 2 ระบบ คือ เรขาคณิตระบบยคู ลิด ( Euclidean geometry ) และ
เรขาคณติ นอกระบบยูคลดิ ( non-Euclidean geometry ) เรขาคณติ ทัง้ 2 ระบบนี้ เปน็ ผลงาน
ท่แี สดงถงึ ความพยายามของนักคณติ ศาสตร์ที่จะอธบิ ายเรื่องราวของธรรมชาติ

ความร้เู ก่ยี วกับเรขาคณิต มสี ่วนเกี่ยวขอ้ งสัมพนั ธ์กับชีวิตประจำวนั ของมนุษย์เราอย่างมาก
เราใช้เรขาคณิตในชวี ติ จรงิ เพ่ือทำความเขา้ ใจ หรืออธิบายสง่ิ ตา่ งๆ รอบตวั เชน่ ใช้เรขาคณิตในการ
สำรวจพน้ื ท่ี สรา้ งผังเมอื ง สร้างถนนหนทาง สำรวจโลกและอวกาศ หรือบางครั้งเราอาจแทน
ความคิดหรือสงิ่ ต่างๆ ด้วยรูปเรขาคณติ เรขาคณิตชว่ ยพฒั นาทักษะทสี่ ำคัญหลายประการ เช่น
ทกั ษะเชงิ มิตสิ ัมพันธ์ หรอื ความรู้สกึ เชงิ ปริภูมิ ( spatial sense ) การคิด การให้เหตุผล และการ
คิดสร้างสรรค์ ซึ่งทักษะเหลา่ นเ้ี ป็นพนื้ ฐานการเรียนรู้คณิตศาสตรเ์ รือ่ งอ่นื ๆ เช่น จำนวน การวัด
ตลอดจนเนือ้ หาคณิตศาสตรข์ ั้นสงู ต่อไป นอกจากนีเ้ รขาคณิตยังเปน็ พนื้ ฐานในการเชื่อมโยงความรู้
ทางคณิตศาสตร์กบั ความร้แู ขนงอ่นื ๆ อีกด้วย

เรขาคณิตเบอี้ งต้น
จดุ ( point ) เราใชจ้ ดุ แสดงตำแหน่งของสิง่ ตา่ งๆ เช่น ตำแหนง่ ของสถานท่ใี นแผนที่

ตำแหน่งของดวงดาว ในทางเรขาคณิต "จุด" เปน็ คำอนยิ าม ( undefined term ) ไม่ต้องอธบิ าย
ความหมายว่าคืออะไร ในอดีตยูคลิดเคยพยายามให้ความหมายของจดุ ไว้วา่ หมายถึง ส่ิงท่ีไม่มี
ความกวา้ งและความยาว ซ่งึ เปน็ การให้นิยามที่ยังไม่สมบรู ณ์ เพราะต้องใชค้ ำที่ไม่สามารถใหน้ ยิ าม
ไดอ้ ีก ได้แก่ คำว่า "ความกว้างและความยาว" เพื่อชว่ ยใหเ้ ข้าใจตรงกัน จงึ ต้ังชอื่ จุดโดยใช้
ตวั อักษรภาษาไทย หรือตัวอักษรภาษาองั กฤษตัวพมิ พใ์ หญ่ เช่น ก ข หรอื A เช่น

· ก อ่านว่า จดุ ก
· ข อา่ นว่า จดุ ข
· A อ่านว่า จุด A
ระนาบ ( plane ) หมายถึง พน้ื ทีผ่ ิวแบนและเรียบที่แผ่ขยายออกไปอย่างไมม่ ที ่ีสิ้นสุด
สว่ นของพืน้ ทีผ่ ิวทเี่ ราเห็นขอบเขตไดจ้ ึงเป็น "ส่วนของระนาบ" เทา่ น้ัน การกำหนดระนาบจะต้องใช้
จุดอยา่ งน้อย 3 จดุ และทัง้ 3 จุดนน้ั จะตอ้ งไมอ่ ยู่ร่วมเส้นตรงเดยี วกัน

ท่มี าของภาพ : http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=5105

5

เส้นตรง ( line ) เส้นตรงเป็นคำอนยิ าม
ส่วนของเส้นตรง ( line segment ) กำหนดจดุ ขึ้นมา 2 จดุ เช่น จดุ A และจดุ B แลว้
นำไมบ้ รรทดั หรือสนั ตรงมาวางทาบใหผ้ ่านจดุ ท้ังสอง และใช้ดนิ สอจรดท่ีจดุ A แล้วลากดินสอไปตาม
สนั ของไม้บรรทดั หรือสนั ตรงจนถงึ จุด B เส้นทเ่ี กดิ ขึน้ เรยี กว่า " ส่วนของเส้นตรง AB " ( line
segment AB ) โดยมีจุด A และ จุด B เปน็ " จดุ ปลาย " ( end points )

ท่มี าของภาพ : http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=59758

เสน้ โคง้ ( curve ) ถา้ จรดดินสอบนกระดาษแลว้ ลากไปในลักษณะใดกไ็ ด้ เส้นทเี่ กดิ ข้ึน
เรยี กวา่ "curve" ซ่ึงแปลเป็นภาษาไทยตามหนังสอื ศัพท์คณติ ศาสตร์ฉบบั ราชบัณฑิตยสถานว่า "เสน้
โคง้ " แต่ curve ในความหมายของนักคณิตศาสตร์ ไมจ่ ำเป็นทีจ่ ะต้องมลี ักษณะโคง้ งอสมดังช่ือเสมอ
ไป สว่ นของเส้นตรง รูปสามเหล่ียม รปู สีเ่ หล่ยี ม ฯลฯ ลว้ นเป็น curve ด้วยกนั ท้ังสิ้น

รังสี ( ray ) ถ้าใช้ดนิ สอจรดทจี่ ุด A แล้วลากเสน้ ตามขอบของสันตรงไปเร่ือย ๆ เสน้ ท่ี
เกดิ ขน้ึ เรยี กว่า "รงั ส"ี เรียกจดุ A ว่า "จดุ ปลายของรังส"ี ถา้ ลากเส้นจากจุด A ให้ผ่านจดุ B แล้ว
ตอ่ เส้นออกไปเรื่อย ๆ เสน้ ที่เกิดขนึ้ เรียกว่า "รงั สี AB"

มุม ( angle ) มมุ เกิดจากรังสสี องเส้นทม่ี ีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน จุดนีเ้ รยี กว่า "จดุ ยอด
มมุ " รังสแี ตล่ ะเสน้ เรยี กวา่ "แขนของมุม"

ชนดิ ของมุม
มมุ ฉาก เปน็ มมุ ที่มีขนาด 90 องศา
มุมแหลม เป็นมมุ ทมี่ ขี นาดเล็กกว่ามมุ ฉาก
มุมปา้ น เป็นมมุ ที่มีขนาดใหญก่ ว่ามมุ ฉากแต่ไม่ถึงสองมุมฉาก
มุมตรง เป็นมุมที่มีขนาดเป็นสองเท่าของมมุ ฉาก
มมุ กลับ เป็นมมุ ท่ีมีขนาดใหญก่ ว่าสองมุมฉาก แต่ไม่ถึงสี่มุมฉาก

โดยท่ัวไปเราเขียน " ๐ " แทนคำวา่ " องศา " เชน่ 90๐ อ่านวา่ เก้าสบิ องศา และ 35๐
อา่ นวา่ สามสิบหา้ องศา

6

รปู เรขาคณิตสองมิติ

รปู เรขาคณติ สองมิติ ( two - dimensional geometric figure ) แบ่งออกเป็น 2 กล่มุ
ใหญๆ่ ตามลักษณะของขอบหรือดา้ นของรปู ได้แก่ กลุ่มทีม่ ขี อบหรือดา้ นของรูปเป็นส่วนของ
เส้นตรง กลุม่ นี้คือ "รูปหลายเหลี่ยม ( polygon )" และกลุ่มท่ีมขี อบหรือด้านเปน็ เสน้ โค้งงอ เช่น
รปู วงกลม และรปู วงรี เปน็ ต้น กลุ่มน้ไี มม่ ีชื่อเรียกโดยเฉพาะ

รูปหลายเหลี่ยม ( Polygon ) เป็นรปู ปิดทเี่ กิดจากสว่ นของเส้นตรงต้ังแต่ 3 เส้นขึ้นไป
โดยทจ่ี ดุ A, B, C, … , P, Q,... เป็นจุดท่แี ตกต่างกนั บนระนาบ และไม่มี 3 จุดใดอย่รู ่วมส่วนของ
เสน้ ตรงเดยี วกนั เรียกว่า "ดา้ นของรปู หลายเหลย่ี ม" จดุ A, B, C, … , P, Q,... เรยี กวา่ "จดุ ยอด"
จำนวนมมุ ในรูปหลายเหลีย่ มจะเทา่ กบั จำนวนด้านของรปู หลายเหล่ียม สว่ นของเสน้ ตรงที่ลากเชื่อม
จุดยอดที่ไมใ่ ช่ปลายของส่วนของเสน้ ตรงเดยี วกนั เรียกว่า "เส้นทแยงมุม ( diagonal )"

รูปหลายเหลย่ี มด้านเทา่ มุมเทา่ ( regular polygon ) คือ รูปหลายเหล่ยี มทม่ี ดี ้านทุก
ด้านยาวเทา่ กนั และมุมทกุ มุมมขี นาดเท่ากัน

รปู สามเหล่ยี ม (Triangle) เปน็ รูปหลายเหล่ยี มชนิดหนึ่ง ประกอบดว้ ยดา้ นทเ่ี ป็นสว่ นของ
เส้นตรง 3 เสน้ สว่ นของเส้นตรงทัง้ สามนี้ต้องอย่บู นระนาบเดียวกนั ซงึ่ ทำใหเ้ กิดมมุ 3 มุม

ทมี่ าของภาพ : http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/930-00/

ข้อสังเกต
1. ความสูงของรูปสามเหลีย่ มเป็นเท่าใด ข้ึนอยกู่ ับวา่ ให้ด้านใดเปน็ ฐานของรปู สามเหลี่ยม
ความสงู มไี ด้ 3 คา่ ซ่งึ อาจจะมคี ่าตา่ งกนั
2. ส่วนสงู ของรูปสามเหลยี่ ม อาจจะอยู่ในหรือนอกรปู สามเหล่ยี มก็ได้

ชนดิ ของรูปสามเหล่ียม การจำแนกรปู สามเหล่ยี ม มเี กณฑใ์ นการพจิ ารณาดังน้ี
1. พิจารณาจากความยาวของดา้ นจำแนกไดด้ ังนี้

1.1 รปู สามเหลีย่ มด้านเทา่ ( equilateral triangle ) คือ รูปสามเหล่ยี มที่มี
ดา้ นทั้งสามยาวเท่ากนั

1.2 รูปสามเหล่ยี มหนา้ จ่ัว ( isosceles triangle ) คือ รูปสามเหล่ียมท่มี ีดา้ น
สองด้านยาวเท่ากัน

7

1.3 รูปสามเหลีย่ มด้านไมเ่ ท่า ( scalene triangle) คือ รปู สามเหล่ียมท่ีไม่มี
ดา้ น 2 ดา้ นใดยาวเท่ากัน

2. พจิ ารณาจากขนาดของมุม จำแนกได้ดงั นี้
2.1 รูปสามเหลีย่ มมมุ แหลม ( acute triangle ) คือ รูปสามเหล่ียมท่ีมีมุมทง้ั

สามมขี นาดเล็กกว่า มมุ ฉาก
2.2 รูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ( right triangle ) คือ รปู สามเหลี่ยมทม่ี มี ุมมุมหน่ึงมี

ขนาดเท่ากับ มมุ ฉาก
2.3 รูปสามเหล่ียมมมุ ป้าน ( obtuse triangle ) คือ รูปสามเหลีย่ มที่มีมมุ มุม

หน่ึงมีขนาดใหญ่กว่ามุมฉาก
หมายเหตุ รูปสามเหลีย่ มมุมแหลมนอกระบบยูคลิด คือ รูปสามเหลีย่ มทมี่ ุมทัง้ สามมขี นาดเล็กกว่า
มุมฉาก ซึง่ เป็นรปู สามเหลีย่ มทไี่ ม่ไดเ้ กิดจากสว่ นของเส้นตรงสามเส้น และมมุ ภายในทั้งสามรวมกัน
ได้น้อยกว่า 180๐

รปู ส่เี หล่ียม ( Quadrilateral ) เป็นเสน้ โค้งปดิ เชิงเดยี ว ประกอบดว้ ยสว่ นของเสน้ ตรง
4 เส้นที่อยบู่ นระนาบเดยี วกนั สว่ นของเสน้ ตรงแตล่ ะเสน้ เรยี กวา่ ดา้ นของรปู สเ่ี หลี่ยม รปู
ส่เี หล่ียมใดๆ ประกอบดว้ ยด้าน 4 ดา้ น และมุม 4 มุม

ทมี่ าของภาพ : http://www.myfirstbrain.com/teacher_view.aspx?ID=45982

สว่ นประกอบของรูปส่ีเหล่ียม
1. ดา้ นประชิด ( adjacent sides ) คอื ดา้ นสองด้านของรปู สี่เหลี่ยมที่มจี ุดปลายรว่ มกัน

1 จดุ
2. ด้านตรงขา้ ม ( opposite sides ) คือ ดา้ นสองดา้ นของรูปสเี่ หลยี่ มท่ีไม่มจี ุดปลาย

ร่วมกนั
3. มมุ ประชิด ( adjacent angles ) คือ มมุ สองมมุ ของรูปส่ีเหล่ยี มที่มแี ขนของมมุ

รว่ มกนั อยู่แขนหนงึ่

8

4. มุมตรงข้าม ( opposite angles ) คือ มุมสองมุมของรูปส่ีเหลีย่ มท่ีไม่มีแขนของมุม
รว่ มกัน

5. มุมภายในของรูปส่ีเหลี่ยม ขนาดของมุมภายในทั้งสรี่ วมกนั ได้ 360o
6. เสน้ ทแยงมุม ( diagonal ) คือ ส่วนของเส้นตรงท่ีมีจดุ ปลายทง้ั สองอยทู่ จ่ี ุดยอดของ
มุมตรงข้าม

ชนิดของรูปสเ่ี หล่ียม
1. รปู สี่เหลย่ี มดา้ นขนาน ( parallelogram ) คือ รูปส่เี หล่ยี มทีด่ า้ นตรงขา้ มขนานกันท้ัง
2 คู่ ซง่ึ ทำใหด้ า้ นตรงข้ามยาวเทา่ กันด้วย เส้นทแยงมุมทงั้ สองแบง่ ครึ่งซึง่ กันและกนั แตย่ าวไม่
เทา่ กนั
2. รูปสี่เหล่ียมคางหมู( trapezoid ) คอื รูปสเ่ี หล่ยี มท่มี ีด้านตรงข้ามขนานกนั เพยี งคู่
เดยี ว
3. รูปสเี่ หล่ยี มผืนผ้า ( rectangle ) คอื รูปสีเ่ หล่ียมด้านขนานทมี่ ีมุมเป็นมุมฉาก ด้าน
ประชิดยาวไม่เท่ากัน มผี ลทำให้ด้านตรงข้ามขนานกันและยาวเท่ากัน เสน้ ทแยงมุมยาวเทา่ กนั และ
แบ่งคร่ึงซงึ่ กนั และกนั
4. รูปสเ่ี หลย่ี มจัตรุ ัส ( square ) คือ รปู สเ่ี หลีย่ มผนื ผา้ ที่มดี า้ นทง้ั สย่ี าวเท่ากัน มผี ลทำให้
เสน้ ทแยงมมุ ยาวเท่ากันแบ่งครงึ่ ซ่งึ กันและกนั และตดั กันเปน็ มมุ ฉาก
5. รูปส่เี หลย่ี มขนมเปียกปูน ( rhombus ) คือ รูปสีเ่ หลยี่ มดา้ นขนานทม่ี ีด้านทั้งสี่ยาว
เทา่ กนั เส้นทแยงมุมยาวไม่เทา่ กัน แต่แบง่ คร่ึงซึง่ กันและกัน และตดั กันเป็นมมุ ฉาก
6. รปู สเ่ี หลี่ยมรูปว่าว ( kite ) คือ รปู ส่ีเหล่ียมที่มีดา้ นประชิดยาวเทา่ กนั เพยี ง 2 คเู่ ท่านนั้
เส้นทแยงมมุ ยาวไมเ่ ท่ากนั ไมแ่ บง่ ครงึ่ ซง่ึ กันและกนั แต่ตัดกันเปน็ มุมฉาก

ภาพ ช่อื จำนวนดา้ น จำนวนมุม

รูปสามเหลย่ี มด้านเท่า 3 3

รูปส่ีเหลยี่ มจตั รุ ัส 44

รูปห้าเหล่ยี มด้านเทา่ มุมเท่า 5 5

รปู แปดเหล่ียมดา้ นเท่ามุมเท่า 8 8
ทม่ี าของภาพ : nilubon120.wordpress.com

9
รปู เรขาคณติ สามมติ ิ

รปู เรขาคณิตสามมิติ ( three - dimensional geometric figure ) คือ ส่ิงตา่ งๆ
รอบตัวเราทมี่ ลี ักษณะสำคัญคือ มคี วามกวา้ ง ความยาว และความหนาหรือความสงู การจำแนก
รปู เรขาคณิตสามมติ ิ พจิ ารณาจากรปู รา่ งลกั ษณะของรปู เรขาคณิตท่ีประกอบกนั เป็นทรง

1. ปริซมึ ( Prism ) คือ รปู เรขาคณิตสามมติ ิทม่ี หี นา้ ตดั ( ฐาน ) ท้ังสองเป็นรปู หลาย
เหล่ียมทีเ่ ท่ากันทกุ ประการ และอยู่ในระนาบทข่ี นานกนั มีหน้าขา้ งเป็นรปู สเี่ หล่ียมด้านขนาน

ท่ีมาของภาพ : http://www.thaigoodview.com/node/132600?page=0,10
2. ทรงกระบอก ( cylinder ) คอื รปู เรขาคณติ สามมติ ิที่มีหนา้ ตัด ( ฐาน ) ท้งั สองเป็นรูป
วงกลมทีเ่ ท่ากนั ทุกประการ และอยู่ในระนาบที่ขนานกนั มีผิวโคง้ เม่อื คลห่ี นา้ ข้างของทรงกระบอก
ตามแนวความสงู จะได้รปู สีเ่ หลยี่ มมมุ ฉาก

ท่มี าของภาพ : http://ganitasastra.wordpress.com/2013/06/15/circle-sphere-cylinder/
3. พีระมดิ ( Pyramid ) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติทีม่ ฐี านเปน็ รูปหลายเหลย่ี ม มยี อด

แหลม ซึง่ ไม่อยู่บนระนาบเดียวกนั กบั ฐาน และมีหนา้ ข้างเปน็ รูปสามเหลี่ยม การเรียกช่ือพรี ะมิด
เรียกตามลักษณะของรปู หลายเหลี่ยมท่เี ปน็ ฐาน เชน่ พีระมิดฐานสามเหล่ยี ม หมายถึง พีระมดิ ทมี่ ี
ฐานเปน็ รปู สามเหลยี่ ม

ท่มี าของภาพ : http://ganitasastra.wordpress.com/2013/04/02/pyramid/

10
4. กรวย ( Cone ) คือ รปู เรขาคณิตสามมิติที่มฐี านเปน็ รูปวงกลม มียอดแหลมซง่ึ ไมอ่ ยู่
บนระนาบเดยี วกับฐาน และมผี วิ โค้ง เมื่อคลหี่ น้าข้างของกรวยออก จะได้รูปสามเหล่ียมฐานโค้ง

ท่ีมาของภาพ : http://www.thaigoodview.com/node/46868?page=0%2C12
5. ทรงกลม คือ รูปเรขาคณิตสามมิตทิ ี่มดี า้ นข้างเป็นผิวโคง้ เรียบ และจดุ ทกุ จุดบนผวิ โคง้
อยู่ห่างจากจดุ คงทจ่ี ุดหนง่ึ เป็นระยะเท่ากนั เรียกจุดคงทว่ี ่า "จุดศูนย์กลางของทรงกลม" เรยี กระยะ
ท่เี ทา่ กนั ว่า "รัศมีของทรงกลม"

ทมี่ าของภาพ : http://ganitasastra.wordpress.com/2013/06/15/circle-sphere-cylinder/

11

กจิ กรรมฝึกทักษะ

คำช้ีแจง : ให้นักเรยี นใสเ่ ครื่องหมาย “ ✓ “ หน้าข้อความทีถ่ ูกต้อง และใสเ่ ครอ่ื งหมาย “  ”
หนา้ ข้อความทีผ่ ดิ

__________ (1.) จุด ใชส้ ำหรบั บอกตำแหน่ง ไมม่ คี วามกวา้ งและความยาว
__________ (2.) เสน้ ตรง ใชแ้ สดงทศิ ทางและมีความยาวไม่จำกัด
__________ (3.) สว่ นของเส้นตรง คือ ส่วนหนง่ึ ของเส้นตรงทม่ี ีจุดปลายสองจุด
__________ (4.) รังสี คอื ส่วนหนง่ึ ของเส้นตรง ซง่ึ มีจดุ ปลายเพียงจุดเดยี ว
__________ (5.) มุม คือ รังสีสองเสน้ ทีม่ จี ดุ ปลายเปน็ จุดเดยี วกัน เรยี กรังสีสองเสน้ นี้วา่ แขนของมมุ และ

เรียกจดุ ปลายท่ีเปน็ จดุ เดยี วกันน้วี ่า จุดยอดมุม
__________ (6.) มีเส้นตรงเพยี งเส้นเดยี วเทา่ นั้น ท่ีลากผ่านจุดสองจุดท่กี ำหนดใหไ้ ด้
__________ (7.) เสน้ ตรงสองเสน้ ตดั กนั ไดม้ ากกวา่ 1 จุด
__________ (8.) AB เป็นเสน้ ตรงเดียวกับ BA
__________ (9.) CD = DC
_________ (10.) เมอ่ื กำหนดจุดให้ 1 จดุ จะสามารถลากเสน้ ตรงผา่ นจุดที่กำหนดใหเ้ พียงเสน้ เดยี ว
_________ (11.) เมื่อกำหนดจุดให้สองจดุ สว่ นของเส้นที่ส้ันทต่ี ่อระหวา่ งจุดสองจุดน้ี คอื สว่ นของเส้นตรงท่ี

มจี ดุ ทัง้ สองเปน็ จุดปลาย
_________ (12.) XY กับ YX เปน็ รงั สเี ดยี วกัน เพราะมีจดุ ปลายเปน็ จดุ เดยี วกัน
_________ (13.) ส่วนของเส้นตรง รงั สี และเส้นตรง มีความยาวไม่จำกดั
_________ (14.) AOˆB = BOˆA
_________ (15.) การตอ่ แขนของมุมออกไปในทศิ ทางของหัวลูกศร ยง่ิ ต่อออกไปมากเท่าไร ขนาดของมุมก็

จะเพิ่มมากขึ้น

12

กจิ กรรมฝกึ ทักษะ

คำชแ้ี จง : ให้นักเรียนลากเส้นตรงผา่ นจุดครงั้ ละสองจดุ แล้วบนั ทกึ จำนวนเสน้ ตรง พรอ้ มทงั้ เขยี น
จำนวนเส้นตรงในรูปผลบวกของจำนวนนับ

ขอ้ จำนวน รูปท่สี ร้าง จำนวนเส้นตรง จำนวนเสน้ ตรงในรปู
จุด ผลบวกของจำนวนนบั

ก2 11

ข3 3 1+2

ค4

ง5
จ6

จากตารางข้างตน้ จงตอบคำถามต่อไปน้ี

1) ในแต่ละข้อ จำนวนเส้นตรงทีไ่ ด้ สมั พันธก์ ับจำนวนจุดในข้อนั้นอย่างไร
…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2) ถา้ กำหนดจำนวนจุดเป็น 7 , 8 และ 9 จุด โดยไมม่ สี ามจุดใดอยบู่ นเส้นตรงเดียวกัน
จำนวนเส้นตรงทล่ี ากผา่ นจุดเหลา่ นี้ คร้งั ละสองจดุ มกี เ่ี สน้

…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

13

กิจกรรมฝึกทักษะ

คำชแี้ จง : ให้นักเรยี นเขยี นเส้นตรงโดยใหเ้ ส้นตรงสองเส้นใด ๆ ตอ้ งตดั กันเสมอ แลว้ บนั ทึกจำนวน
จุดตัด พรอ้ มท้งั เขียนจำนวนจดุ ตัดในรูปของผลบวกของจำนวนนับ

ขอ้ จำนวนเส้นตรง รปู ท่ีสรา้ ง จำนวนจุดตดั จำนวนจุดตัดในรูป
ผลบวกของจำนวนนบั

ก2 11

ข3 3 1+2

ค4

ง5

จากตารางข้างต้น จงตอบคำ ถามต่อไปน้ี

1. ในแต่ละข้อ จำนวนจดุ ตัดทไี่ ด้ สมั พนั ธ์กับจำ นวนเสน้ ตรงในขอ้ นั้นอย่างไร
…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2. ถา้ กำหนดจำนวนเสน้ ตรงเป็น 6 , 7 และ 8 เส้น โดยทไี่ ม่มเี ส้นตรงคูใ่ ดขนานกนั และไม่มี
เส้นตรงสามเสน้ ใด ๆ ตดั กันที่จดุ จุดเดียวกนั จุดตัดทเี่ กิดขนึ้ ทั้งหมดมีกี่จดุ

…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

14

2.2 การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณติ ( 6 ชั่วโมง )

สาระสำคญั

การเขียนรูปเรขาคณิตโดยใช้เคร่ืองมือทส่ี ำคัญเพยี งสองชนิด ไดแ้ ก่ วงเวยี นและสนั ตรง
เรยี กว่า การสรา้ ง การสร้างรูปเรขาคณิตต้องอาศัยความรูใ้ นการสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ 6 ข้อ
ได้แก่ การสร้างสว่ นของเสน้ ตรงใหย้ าวเท่ากบั ความยาวของสว่ นของเส้นตรงท่ีกำหนดให้ การแบ่งครึ่ง
ส่วนของเส้นตรง การสร้างมุมให้มขี นาดเท่ากับขนาดของมุมทกี่ ำหนดให้ การแบ่งคร่งึ มุมท่กี ำหนดให้
การสร้างเสน้ ต้งั ฉากจากจุดภายนอกมายงั เส้นตรงท่ีกำหนดให้ และการสรา้ งเสน้ ตง้ั ฉากทจี่ ุดจดุ หน่ึงท่ี
อยู่บนเส้นตรงที่กำหนดให้

จุดประสงค์การเรยี นรู้

นักเรยี นสามารถสร้างและบอกขัน้ ตอนการสรา้ งพ้ืนฐานทางเรขาคณิตเกยี่ วกับส่วนของ
เส้นตรง มมุ และเส้นต้งั ฉากที่กำ หนดให้ โดยใช้วงเวียนและสนั ตรง หรือโปรแกรม The
Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวัตอน่ื ๆ

แหล่งเรยี นรเู้ พมิ่ เตมิ

https://www.scimath.org/e-books/9926/flippingbook/index.html#thumb_1
https://www.youtube.com/watch?v=m7IOZHLxBTc

15

การสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณติ
การเขยี นรปู เรขาคณิตโดยใช้เพียงวงเวียนและสันตรง เรียกวา่ การสร้าง

สนั ตรงในทนี่ มี้ ลี ักษณะเหมือนไม้บรรทดั แต่ไม่มีขดี วดั ความยาวกำกับอยู่ ในกรณที ่ตี ้องใช้ไม้
บรรทดั แทนสันตรงจะใชเ้ พ่ือลากเสน้ เท่าน้ัน

การสรา้ งพ้นื ฐานทางเรขาคณติ (basic geometric construction)

การสร้างรปู เรขาคณติ ต้องอาศยั ความรูใ้ นการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อ โดยแบง่ เป็น
3 กลุ่ม ต่อไปน้ี

กลุ่มท่ี 1 การสรา้ ง เกี่ยวกบั ส่วนของเสน้ ตรง
กลุ่มที่ 2 การสร้าง เกย่ี วกับมุม
กลมุ่ ท่ี 3 การสร้าง เกย่ี วกับเสน้ ตั้งฉาก

การสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อ

16

การสรา้ งเก่ียวกบั ส่วนของเส้นตรง

การสร้างเส้นตรงให้ยาวเทา่ กับเสน้ ตรงทก่ี ำหนดให้
กำหนดเส้นตรง MN ให้ ดังรูป จงสรา้ งเสน้ ตรง PQ เท่ากับเส้นตรง MN

วธิ ีสร้าง
1.) ลากเส้นตรง PR ยาวพอประมาณ ( ยาวกว่าเสน้ ตรง MN )
2.) กางวงเวยี นออกยาวเท่ากบั เส้นตรง MN
3.) ใช้จุด P เป็นจดุ ศูนย์กลาง เขียนสว่ นโค้งตดั เสน้ ตรง PR ทจ่ี ุด Q จะไดว้ า่ เสน้ ตรง PQ
ยาวเท่ากับเสน้ ตรง MN

การแบ่งครึง่ เสน้ ตรงทีก่ ำหนดให้
กำหนดเส้นตรง AB ให้ ดังรูป จงแบ่งครง่ึ เสน้ ตรง AB

วิธสี รา้ ง
1.) กางวงเวียนออกพอประมาณ
2.) ใช้จุด A และ B เป็นจดุ ศนู ย์กลาง เขียนสว่ นโคง้ บนและล่างเส้นตรง AB ทจ่ี ุด x และ y
ตามลำดับ
3.) ลากเส้นตรง xy ตดั เส้นตรง AB ทีจ่ ดุ O

( ) ( )จะไดว้ า่ O เปน็ จดุ ก่งึ กลางของเส้นตรง AB และ m AO = m BO

17

การแบ่งเส้นตรงออกเป็นส่วน ๆ ทเ่ี ท่ากัน
กำหนดเส้นตรง AB ให้ ดังรูป จงแบง่ เส้นตรง AB ออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆ กัน

วิธีสร้าง
1.) ใช้จดุ A และ B เปน็ จดุ ศูนย์กลาง กางวงเวียนรัศมียาวกวา่ ครง่ึ หนึง่ ของ เส้นตรง AB
เขียนสว่ นโค้งตดั กนั ที่จุด C และจดุ D ตามลำดับ ลาก เส้นตรง CD ตดั กบั เสน้ ตรง
AB ท่จี ดุ X
2.) แบง่ คร่ึงเส้นตรง AX และเส้นตรง XB ท่ีจดุ Y และจุด Z ตามลำดบั ( ขั้นตอนเห
ทอนข้อ 1 ) จะได้ AY = YX = XZ = ZB

หมายเหตุ : การแบง่ เสน้ ตรงออกเปน็ ส่วน ๆ เท่ากนั จะแบง่ เป็นแบบทวคี ูณ
จาก 1 เป็น 2 เปน็ 4 เป็น 8 เป็น 16 ... ตามลำดับ
= 12 , 22 , 32 , 42 , 52 , ……..

18

กจิ กรรมฝกึ ทกั ษะ

การสร้างเกีย่ วกับเสน้ ตรง

1.) จงสรา้ งเส้นตรง XY ใหเ้ ทา่ กับเส้นตรงท่ีกำหนดให้ รปู ท่ีสร้างใหม่
รูปกำหนดให้

19

รปู กำหนดให้ รปู ท่ีสร้างใหม่

20

2.) จงแบง่ คร่ึงส่วนของเสน้ ตรงที่กำหนดให้ต่อไปนี้ โดยใช้วงเวียนและส้ันตรง

วธิ ีสร้าง
1.) ………………………………………………………………………………………………..
2.) ………………………………………………………………………………………………..
3.) ………………………………………………………………………………………………..
4.) ………………………………………………………………………………………………..
5.) ………………………………………………………………………………………………..
6.) ………………………………………………………………………………………………..
7.) ………………………………………………………………………………………………..
8.) ………………………………………………………………………………………………..
9.) ………………………………………………………………………………………………..
10.)………………………………………………………………………………………………..

21

3.) จงแบง่ สว่ นของเส้นตรง AB ออกเปน็ 4 ส่วนเทา่ ๆ กนั โดยใชว้ งเวยี นและสนั ตรง

A
B

4.) กำหนด a , b และ c แทนความยาวของสว่ นของเสน้ ตรงตามรปู จงสรา้ งรูปสามเหลยี่ ม
ABC โดยมี เส้นตรง AB = c เป็นฐาน เส้นตรง AC = b และ เส้นตรง BC = a บน
เส้นตรง AQ โดยใช้วงเวยี นและสนั ตรง

ab c

AQ

22
5.) จงสรา้ งรปู สามเหลี่ยม ABC ให้มขี นาดเทา่ กับขนาดของรปู สามเหลี่ยมที่กำหนดให้ บน รังสี

AQ โดยใชว้ งเวียนและสันตรง

AQ
*****************************************

23

การสร้างเกี่ยวกบั มุม

มมุ และการแบ่งครงึ่ มุม
การสร้างมุมให้มีขนาดเท่ากบั มุมท่ีกำหนดให้
กำหนดมุม PQˆR ให้ ดงั รูป จงสรา้ ง ABˆC เทา่ กบั PQˆR

วิธีสรา้ ง
1.) ลาก รังสี BC ยาวพอสมควร
2.) กางวงเวียนออกพอสมควร ใชจ้ ดุ Q เปน็ จุดศูนยก์ ลาง เขียนส่วนโคง้ ตัด รงั สี QR และ
รังสี QP ทจ่ี ดุ x และ y
3.) กางวงเวยี นเท่าเดิม ( เท่ากับข้อ 2 ) ใชจ้ ุด B เปน็ จดุ ศนู ย์กลาง เขยี นส่วนโคง้ kl
ตัดเสน้ ตรง BC ที่ l
4.) ใช้ l เป็นจุศูนยก์ ลาง กางวงเวียนรัศมีเทา่ กบั เส้นตรง xy เขียนส่วนโคง้ ตดั ส่วนโค้ง kl
ที่จุด A
5.) ลากเส้นรงั สี BA
จะได้วา่ ABˆC = PQˆR ตามต้องการ และ m( ABˆC ) = m( PQˆR )

หมายเหตุ : ถา้ กำหนดความยาวของด้านดว้ ยจะต้องลากให้ด้านมคี วามยาวเทา่ ท่กี ำหนด

การแบง่ ครึ่งมุมทกี่ ำหนดให้
กำหนด ABˆCให้ ดงั รูป จงแบ่งครึ่ง ABˆC

24
วิธีสร้าง

1.) กางวงเวยี นรศั มีพอสมควร ใช้ B เป็นจุดศูนยก์ ลาง เขยี นสว่ นโคง้ ตดั รังสี BA และ
รงั สี BC ที่จดุ R และ S ตามลำดับ

2.) กางวงเวียนรัศมีพอสมควร ใช้จุด R และ S เปน็ จดุ ศนู ย์กลางเขยี นสว่ นโค้งตัดกนั ท่จี ุด D
3.) จาก รังสี BD จะได้ รงั สี BD แบง่ คร่งึ ABˆC
นั่นคอื m( ABˆD) = m(CBˆD )

กจิ กรรมฝกึ ทักษะ

การสร้างเก่ยี วกับมุม

1.) กำหนด ABˆC ดังรูป จงสรา้ ง XYˆZ ให้มีขนาดเท่ากบั ABˆC บน YZ โดยใชว้ งเวยี นและ
สันตรง

2.) กำหนด ABˆC ดังรูป จงสร้าง XYˆZ ใหม้ ีขนาดเป็น 2 เท่าของมมุ ABˆC บน YZ โดยใชว้ ง
เวยี นและสันตรง

25

3.) จงแบง่ ครึง่ มมุ ท่ีกำหนดให้ต่อไปน้ี โดยใช้วงเวียนและสันตรง
3.1) 3.2)

3.3) 3.4)

3.5) 3.6)

26

4.) จงแบ่งมมุ ที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้ออกเป็น 4 สว่ นเท่า ๆ กนั โดยใชว้ งเวยี นและสนั ตรง
4.1)

4.2)

4.3)

4.4)

27
5.) กำหนด PR , xˆ จงสรา้ งรปู สามเหลี่ยม ABC ให้ BC เป็นฐานยาวเท่ากับ PR และให้

ABˆC = ACˆB = xˆ บน BQ โดยใช้วงเวียนและสนั ตรง รูปสามเหลย่ี ม ABC เปน็ รูป
สามเหล่ียมชนดิ ใด

รูปสามเหล่ียม ABC เป็นรปู สามเหลย่ี ม _____________________________
6.) กำหนดสว่ นของเสน้ ตรง x , y , z ใหด้ ังรูป จงสร้างรูปสเี่ หลีย่ มรปู วา่ ว ABCD ให้ AB = x

, AD = y และ DB = z บน BQ โดยใชว้ งเวียนและสนั ตรง

28
การสร้างเก่ียวกบั เสน้ ตั้งฉาก
การสรา้ งเสน้ ตงั้ ฉากจากจดุ ภายนอกมายังเสน้ ตรงทก่ี ำหนด

กำหนดจุด C เปน็ จุดภายนอก AB ดังรปู จงสร้างสว่ นของเสน้ ตรง CF ให้ตัง้ ฉากกับ AB

วธิ ีสร้าง
1. ใช้ C เปน็ จดุ ศนู ย์กลาง กางวงเวยี นรศั มีพอสมควร เขยี นส่วนโคง้ ตัด AB ทจี่ ดุ
D และ E ตามลำดับ
2. ใช้ D และ E เปน็ จุดศูนย์กลาง กางวงเวยี นรัศมเี ทา่ กนั เขียนสว่ นโค้งตดั กันท่ีจุด
F
3. ลาก CF ตัง้ ฉากกับ AB ทจ่ี ุด O
จะได้ CFตง้ั ฉากกับ AB ท่ี O ตามตอ้ งการ

การสร้างเสน้ ต้ังฉากที่จุด ๆ หนง่ึ บนเส้นตรงทก่ี ำหนด
กำหนดมุม P เป็นจดุ ภายนอก MN ดงั รูป จงสรา้ ง XP ให้ตง้ั ฉากกับ MN ทจี่ ุด P

วธิ สี รา้ ง

29

1. ใช้จุด P เป็นจดุ ศนู ย์กลาง กางวงเวียนรศั มพี อประมาณ เขียนสว่ นโคง้ ตดั MN
ท่จี ดุ S และจุด T ตามลำดบั

2. ใช้จดุ S และจดุ T เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง กางวงเวยี นรศั มมี ากกว่าครง่ึ หนึง่ ของ ST
แลว้ เขียนส่วนโคง้ ตัดกันที่จุด X

3. ลาก XP
จะได้ XP ต้งั ฉากกับ MN ทีจ่ ุด X

กิจกรรมฝกึ ทกั ษะ

การสรา้ งเส้นตัง้ ฉาก

1.) กำหนด AB ตามรูป P เป็นจุด ๆ หนง่ึ ภายนอก AB จงสร้างเสน้ ตรงใหผ้ ่านจดุ P และ
ต้ังฉากกับ AB ทีจ่ ุด Q โดยใชว้ งเวยี นและสันตรง
⚫P

⚫A B⚫

2.) กำหนด P เป็นจุด ๆ หน่งึ บน CD ตามรปู จงสร้างสว่ นของเส้นตรงใหต้ งั้ ฉากกับ CD ที่
จดุ P โดยใช้วงเวยี นและสันตรง

⚫C ⚫P ⚫D

30

3.) กำหนดรูปสามเหล่ยี ม ABC ตามรูป จงสร้างส่วนของเส้นตรงท่ีเปน็ สว่ นสงู ของรปู

สามเหลย่ี ม จากจดุ A มายังฐาน BC
3.1) A

A
3.2)
BC

BC
4.) กำหนดรปู สามเหลย่ี ม PQR ตามรปู จงสรา้ งเส้นต้งั ฉากกับด้าน PQ และ PR ท่ีจดุ Q

และ R ตามลำดับ และใหเ้ ส้นตั้งฉากท้ังสองตัดกันที่จุด O
P

QR

31
5.) กำหนดรปู สามเหลี่ยม PQR ดงั รปู จงลากส่วนของเส้นตรงจาดจดุ P , Q และ R ไปต้ัง

ฉากกบั ดา้ น QR , PR และ PQ ตามลำดับ เสน้ ต้งั ฉากทง้ั สามตดั กันได้กี่จุด
P

QR
เส้นต้ังฉากท้ังสามตดั กันได้ ........................... จดุ
6.) จงสร้างรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ABC ให้ AB และ BC เปน็ ดา้ นประกอบมมุ ฉาก มี AB
= m , BC = n บน AQ โดยใช้วงเวียนและสนั ตรง

m
n

AQ

32
7.) กำหนดรปู สามเหลี่ยม ABC โดยมจี ุด x อยบู่ นดา้ น BC จงสร้างเสน้ ตัง้ ฉากจากจุด x

มาตั้งฉากกบั ด้าน AB และดา้ น AC โดยใชว้ งเวียนและสันตรง
A

B ⚫x C
8.) กำหนดรปู สามเหลีย่ ม ABC จงสรา้ งเส้นที่เปน็ สว่ นสงู ของรูปสามเหลย่ี ม ABC ทั้งสามเส้น

โดยใชว้ งเวียนและสนั ตรง
A

BC

33

2.3 การสร้างรูปเรขาคณติ ( 4 ช่ัวโมง )

สาระสำคัญ

การสรา้ งรูปเรขาคณิตอย่างงา่ ย ซง่ึ เราจะกลา่ วถงึ การสร้างรปู เรขาคณติ ที่มีความยาวเทา่ กบั
ความยาวทก่ี ำหนด และมีขนาดของมุมเทา่ กับขนาดของมุมทใ่ี ช้การสร้างมมุ 90 องศา , 45 องศา
และ 60 องศา เป็นพ้นื ฐาน

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นกั เรียนสามารถ
1. อธบิ ายและสร้างรูปเรขาคณิตโดยการใชก้ ารสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ
2. สำรวจ สงั เกต และคาดการณ์เกย่ี วกบั สมบัติทางเรขาคณติ และนำไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

แหล่งเรียนรเู้ พิม่ เตมิ

https://www.youtube.com/watch?v=yYlPCzP0vZw&t=2s
https://www.youtube.com/watch?v=m7IOZHLxBTc&t=212s
https://www.youtube.com/watch?v=BqZIuYeinXw
https://www.youtube.com/watch?v=BqZIuYeinXw&t=1s
https://www.youtube.com/watch?v=aaCiLvByaMU
https://www.youtube.com/watch?v=_2di2b_RUXM
https://www.youtube.com/watch?v=Uue1TzBNPcw
https://www.youtube.com/watch?v=SebU3t3sQCY
https://www.youtube.com/watch?v=tZgU1F84_2s
https://www.youtube.com/watch?v=O5FIj7L97-c
https://www.youtube.com/watch?v=0JfgpBjcpQs&t=25s
https://www.youtube.com/watch?v=1nJCqHeT8sg
https://www.youtube.com/watch?v=SebU3t3sQCY&t=2s

34
การสรา้ งมมุ ฉาก ( มมุ 90 องศา )
การสรา้ งมุมฉาก ( มุมท่มี ีขนาด 90 องศา ) จะอาศัยการแบ่งครึง่ มมุ ตรง ท่ีมีขนาด 180
องศา คือ แบ่งออกเปน็ 2 มุมท่ีมขี นาดเทา่ กัน และมีขนาด 90 องศา จงสร้างมุม ABC ให้มีขนาด
90 องศา

ขน้ั ตอนการสร้างมมุ ABC ให้ขนาด 90 องศา
1. ลากเสน้ ตรง DC ให้ B เป็นจดุ ๆ หน่ึงทอี่ ยู่บนเส้นตรง PQ
2. ใช้ B เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง รัศมยี าวพอสมควร เขยี นสว่ นโคง้ ตดั เสน้ ตรง PQ ที่จุด M และ N
3. ใช้ M และ N เปน็ จุดศูนย์กลางรศั มเี ทา่ กัน เขียนส่วนโค้งตัดกนั ที่จดุ A
4. ลากรงั สี BA จะได้ มมุ ABC ท่มี ขี นาด 90 องศา ตามต้องการ

การสรา้ งมมุ ขนาด 45๐ และ 60๐
มุมตรง คอื มุมท่มี ีขนาดของมมุ กาง 180๐
มุมฉาก คือ มมุ ที่มขี นาดของมมุ กาง 90๐ หรอื คร่งึ หนึง่ ของมุมตรง ซ่ึงใช้วงเวียนและสัน
ตรงสร้างได้จากการแบ่งครึ่งมุม 180๐ และถ้าแบ่งคร่ึงมุมกาง 90๐ จะได้มมุ ทม่ี ีขนาด 45๐
การสร้างมุมฉากและมุมที่มขี นาด 45๐

35

วิธีสร้าง
1. ลากเสน้ ตรง กำหนดมุมตรง PQR ซึง่ กาง 180๐
2. แบง่ คร่ึงมุมตรง PQR ทีจ่ ุด Q โดยใชส้ นั ตรงและวงเวียน จะได้ QS แบง่ มมุ
PQR ทำให้มุม PQS และ SQR มีขนาด 90๐ หรอื 1 มุมฉากตามต้องการ
3. แบง่ ครึ่งมุม PQS และ มุม SQR ซงึ่ มขี นาด 90๐

จะได้ m(PQˆR ) = m(MQˆS ) = m( SQˆN) = m(NQˆR) และมีขนาด

45๐

การสรา้ งมมุ ทีม่ ีขนาด 60๐

เนอื่ งจาดสามเหล่ยี มใด ๆ มีมุมภายในรวมกันได้
180๐ และสามเหลย่ี มด้านเท่าจะมมี ุมภายในเท่ากนั
แตล่ ะมมุ จึงมขี นาด 60๐ ดงั นนั้ จากแนวคิดดังกลา่ ว
ในการสร้างมุมขนาด 60๐ ได้ดงั น้ี

วธิ ีสรา้ ง

1. ลากเส้น MC ยาวพอสมควร กำหนดจุด B บน MC

2. ใช้ B เป็นจุดศนู ย์กลาง กางวงเวยี นรศั มพี อสมควร เขียนส่วนโค้งตัด MC ท่ี
จดุ X และ Y

3. ใช้ Y เป็นจุดศูนยก์ ลางรศั มเี ท่า BY เขียนส่วนโคง้ ตดั สว่ นโคง้ XY ที่จุด A

4. ลาก BA จะได้ ABˆC มีขนาด 60๐ ตามตอ้ งการ ( m( ABˆC ) = 60๐ )

36

กิจกรรมฝึกทักษะ

การสร้างมมุ ขนาด 45๐ และ 60๐

1. กำหนด BC ดงั รูป จงลาก BA ให้ ABˆC มขี นาด 45๐

⚫⚫

BC
2. กำหนด BC ดงั รูป จงลาก BA ให้ ABˆC มขี นาด 60๐

⚫⚫

BC

3. กำหนด BC จงสรา้ งมมุ ทม่ี ีขนาดเท่ากบั มุมที่กำหนดให้ต่อไปน้ี 37

3.1) มมุ ขนาด 45๐ 3.2) มมุ ขนาด 60๐ ⚫

⚫ ⚫⚫ C

B CB ⚫

3.3) มุมขนาด 22.5๐ 3.4) มุมนาด 30๐ C

⚫ ⚫⚫ ⚫

B CB C
3.6) มุมขนาด 75๐
3.5) มมุ ขนาด 15๐

⚫ ⚫⚫

B CB
3.8) มมุ ขนาด 120๐
3.7) มมุ ขนาด 105๐

⚫ ⚫⚫ ⚫

B CB C

38

3.9) มมุ ขนาด 135๐ 3.10) มมุ ขนาด 150๐

⚫ ⚫⚫ ⚫

B CB C
3.11) มุมขนาด 210๐ 3.12) มมุ ขนาด 225๐
⚫
⚫ ⚫⚫
C
B CB
3.13) มมุ ขนาด 315๐ 3.14) มมุ ขนาด 330๐ ⚫

⚫ ⚫⚫ C

B CB ⚫
3.15) มมุ ขนาด 405๐ 3.16) มมุ ขนาด 420๐
C
⚫ ⚫⚫

B CB

39
4. กำหนดสว่ นของเส้นตรง a ตามรูป จงสรา้ งรูปสามเหลย่ี ม ABC ให้ฐาน BC ยาวเท่ากับ a

ABˆC = ACˆB = 60๐ บน BQ โดยใชว้ งเวยี นและสนั ตรง รูปสามเหลยี่ ม ABC เปน็
รูปสามเหลย่ี มชนิดใด

a

⚫⚫

BQ
รปู สามเหล่ยี ม ABC เป็นรปู สามเหลย่ี ม ..............................................
5. กำหนดสว่ นของเสน้ ตรง a ตามรูป จงสร้างรปู สามเหล่ียม ABC ให้ฐาน BC ยาวเท่ากบั a
ABˆC = ACˆB = 45๐ บน BQ โดยใช้วงเวยี นและสนั ตรง รูปสามเหลี่ยม ABC เปน็
รปู สามเหลยี่ มชนดิ ใด

a

⚫⚫

BQ
รูปสามเหลีย่ ม ABC เปน็ รปู สามเหลี่ยม ..............................................

40

การสรา้ งรปู เรขาคณิตอยา่ งงา่ ย

การสร้างรปู สามเหล่ียม

รปู สามเหลีย่ มประกอบด้วยด้าน 3 ดา้ น และมมุ 3 มมุ ถ้ากำหนดส่วนประกอบของรูป
สามเหลย่ี มมาให้ เราสามารถนำข้อมลู เหล่านน้ั ไปสร้างเป็นรูปสามเหล่ียมได้ โดยอาศยั การสรา้ งและ
แบง่ สว่ นของเส้นตรงและมุมต่อไปน้ีเป็นขน้ั ตอนและวธิ กี ารสรา้ งรูปสามเหลยี่ ม เม่อื กำหนด
สว่ นประกอบต่าง ๆ มาให้

1. การสรา้ งรูปสามเหล่ียม เมอื่ กำหนดความยาวของด้านให้สามด้าน
จงสร้างรูปสามเหลีย่ มให้มีความยาวของดา้ นแต่ละดา้ นเปน็ 3 เซนตเิ มตร , 4 เซนติเมตร
และ 5 เซนติเมตร
วธิ สี รา้ ง

1.) ลาก AB ใหย้ าวเท่ากับเส้นใดเส้นหนง่ึ ทกี่ ำหนดให้ ในท่นี ี้ใหค้ วามยาวของ AB
เท่ากับ 3 เซนติเมตร ดังรูป

2.) ใชจ้ ดุ A และจุด B เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง กางวงเวียนรัศมยี าว 4 เซนติเมตร
และ 5 เซนติเมตร ตามลำดับ เขียนสว่ นโคง้ ตัดกันทจ่ี ดุ C

3.) ลาก AC และ BC

จะได้ รูปสามเหลยี่ ม ABC มี AB , AC และ BC เป็นดา้ นทีม่ ีความยาว
3 เซนติเมตร , 4 เซนติเมตร และ 5 เซนตเิ มตร ตามลำดับ

41
2. การสร้างรูปสามเหล่ียม เม่ือกำหนดความยาวของฐานและมุมที่ฐาน ให้สองมุม
จงสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยให้มคี วามยาวฐานเท่ากบั 4 เซนติเมตร และมุมทฐี่ านมีขนาด 45๐
และ 60๐ ตามลำดับ
วธิ ีสร้าง

1.) ลาก AB ใหย้ าวเทา่ กับ 4 เซนติเมตร
2.) ที่จุด A สร้างมุมขนาด 45๐ ( โดยสรา้ งมุม 90๐ ก่อนแลว้ แบ่งคร่ึง จะได้มมุ ท่ีมี

ขนาด 45๐ ) ดว้ ย AX
3.) ที่จุด B สร้างมุมขนาด 60๐ ด้วย BY ให้ BY ตดั กับ AX ท่จี ดุ C

จะได้ รปู สามเหลี่ยม ABC ซ่ึงมจี ดุ C เป็นจุดยอด มมุ ทฐี่ านมขี นาด 45๐ และ
60๐ ตามลำดับ และมี AB เปน็ ฐานเท่ากับ 4 เซนตเิ มตร ตามต้องการ
3. การสร้างรูปสามเหล่ียม เมอ่ื กำหนดความยาวด้านให้สองดา้ น และมุมในระหว่างดา้ น
ท้งั สองอีกหนึ่งมมุ
กำหนด PQ , XY และ MOˆN ดงั รปู

จงสรา้ งรูปสามเหลี่ยมใหม้ ีความยาวของดา้ นเท่ากบั PQ และ XY และมมี มุ ใน

ระหวา่ ง PQ และ XY เท่ากบั m(MOˆN)

42

วิธีสร้าง

1.) ลาก AB ให้ยาวเทา่ กบั PQ

2.) ทีจ่ ดุ A สร้าง RAˆB ทท่ี ำให้ m(RAˆB) = m(MOˆN) ดงั รูป

3.) ใชจ้ ุด A เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลาง กางวงเวยี นรัศมเี ทา่ กบั XY เขียนสว่ นโค้งตัด AR ทจ่ี ดุ C
4.) ลาก CB

จะได้ รปู สามเหลยี่ ม ABC ท่ีมี AB = PQ , AC = XY และ CAˆB = MOˆN ตามต้องการ

กจิ กรรมทักษะ

การสรา้ งรปู สามเหล่ียม

1. จงสรา้ งรปู สามเหล่ยี ม MFA ใหม้ ีความยางของดานท้งั สามเทา่ กับ 3 เซนติเมตร ,
3.5 เซนติเมตร และ 4 เซนติเมตร ตามลำดับ โดยใชว้ งเวยี นและสนั ตรง

2. จงสรา้ งรปู สามเหลี่ยมให้มีความยาวของด้านท้ังสามเท่ากบั ด้านท่ีกำหนดให้

43

3. จงสรา้ งรปู สามเหลี่ยมดา้ นเท่า KFC ให้มีความยาวด้านละ 3.5 เซนตเิ มตร

4. จงสรา้ งรูปสามเหลี่ยมหน้าจวั่ SML ให้มฐี าน BC ยาว 4 เซนติเมตร และดา้ น
ประกอบมมุ ยอด AB และ AC ยาวดา้ นละ 3 เซนติเมตร

5. จงสร้างรูปสามเหลี่ยม CIP ให้ IP = 4 เซนตเิ มตร , m(CIˆP ) = 60๐ และ
m(IPˆC ) = 30๐

6. จงสร้างรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัว RST ให้ฐาน SR ยาว 4 เซนตเิ มตร และมมุ ยอด
SRˆT มขี นาด 90๐

44
7. จงสร้างรูปสามเหลีย่ ม ABC ให้ AB = 3 เซนตเิ มตร , BC = 4 เซนติเมตร และ มี

ขนาดของ ABˆC = 75๐

8. จงสร้างรูปสามเหลยี่ ม DEF ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั รูปสามเหลย่ี มที่กำหนดให้

9. จงสร้างรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก MOP ให้ MO = 3 เซนติเมตร , OP = 3.5

เซนตเิ มตร และ m(MOˆP) = 90๐ พร้อมทัง้ อธบิ ายวธิ กี ารสรา้ ง

45

การสรา้ งรปู สี่เหลยี่ ม

การสรา้ งรูปสี่เหลี่ยมมหี ลกั การสร้างทว่ั ๆ ไป เหมอื นกับการสรา้ งรปู สามเหลีย่ ม กล่าวคือใช้
หลักการสรา้ งและการแบ่งคร่ึงสว่ นของเสน้ ตรงและมุม ดังน้ี

1. การสรา้ งรปู ส่เี หลีย่ มมมุ ฉาก
จงสร้างรปู ส่เี หลี่ยม ABCD โดยใหแ้ ตล่ ะด้านมีความยาวดา้ นละ 4 เซนตเิ มตร

วธิ ีสร้าง

1.) ลาก AB ให้ยาว 4 เซนตเิ มตร
2.) ทจ่ี ุด A สรา้ ง XAˆB ให้มขี นาด 90๐ และสร้าง AD มีความยาวเท่ากับ AB โดย

ใชว้ งเวียน
3.) ใชจ้ ุด D และจุด B เปน็ จุดศนู ย์กลาง กางวงเวียนรศั มเี ทา่ กับ AB เขียนส่วนโค้ง

ตัดกนั ทจ่ี ดุ C
4.) ลาก DC และ BC

จะไดร้ ูปส่เี หลีย่ ม ABCD เป็นรูปสเี่ หล่ยี มจัตุรสั ทีม่ ีความยาวของดา้ นแตล่ ะดา้ น
เท่ากับ 4 เซนติเมตร ตามต้องการ

46

2. การสร้างรูปส่ีเหล่ียมดา้ นขนาน
จงสร้างรูปสีเ่ หล่ยี มด้านขนาน PQRS ให้ PQ = 4 เซนตเิ มตร , RS = 3 เซนติเมตร
และเสน้ ทแยงมมุ SQ = 6 เซนตเิ มตร

วธิ สี ร้าง

1. ลาก PQ ให้ยาว 4 เซนติเมตร
2. ใช้จุด P และจุด Q เปน็ จุดศูนยก์ ลาง กางวงเวยี นรศั มี 3 เซนติเมตร และ
6 เซนตเิ มตร ตามลำดับ เขียนส่วนโค้งตดั กนั ทจี่ ุด S
3. ลาก PS และ QS
4. ใชจ้ ดุ S และจดุ Q เป็นจุดศนู ย์กลาง กางวงเวียนรศั มี 4 เซนติเมตร และ
3 เซนตเิ มตร ตามลำดบั เขียนสว่ นโคง้ ตดั กันท่ีจุด R
5. ลาก RS และ QR
จะได้ รูปส่เี หลีย่ มด้านขนาน PQRS ท่มี ี PQ = 4 เซนติเมตร SP = 3 เซนติเมตร และ
เสน้ ทแยงมมุ SQ = 6 เซนติเมตร ตามตอ้ งการ

จงสรา้ งรปู สี่เหลีย่ มด้านขนาน ABCD ให้ AB = 4 เซนตเิ มตร , DA = 3.5 เซนตเิ มตร และ

m(DAˆB)= 60๐

วิธีสรา้ ง

1. ลาก PQ ใหย้ าว 4 เซนติเมตร
2. ท่จี ุด A สร้าง XAˆB ให้มีขนาด 60๐ และให้ AD ยาว 3.5 เซนตเิ มตร
3. ใชจ้ ดุ D และจุด B เปน็ จุดศนู ยก์ ลาง กางวงเวียนรัศมี 4 เซนตเิ มตร และ

3.5 เซนติเมตร ตามลำดบั แล้วเขียนส่วนโคง้ ตดั กนั ทีจ่ ุด C
4. ลาก DC และ BC ดังรูป

จะได้ รูปสีเ่ หลีย่ มด้านขนาน ABCD ที่มี AB = 4 เซนตเิ มตร

DA = 3.5 เซนติเมตร และ m(DAˆB) = 60๐ ตามตอ้ งการ

47

กิจกรรมฝกึ ทักษะ

การสร้างรูปสี่เหลย่ี ม

1.) จงสร้างรปู สเ่ี หลี่ยม SMLO ให้มีความยาวด้านละ 3.5 เซนติเมตร

2.) จงสรา้ งรูปสเ่ี หลีย่ มผนื ผ้า ABCD ให้มีด้านกว้างและดา้ นยาวตามท่ีกำหนด
a
b

3.) จงสร้างรปู สีเ่ หล่ยี มดา้ นขนาน กขคง มี กง = 3 เซนตเิ มตร , กข = 3.5 เซนตเิ มตร และ
เส้นทแยงมุม งข = 2.5 เซนตเิ มตร ตามลำดบั

48
4.) จงสร้างรปู สเี่ หลยี่ มด้านขนาน ABCD ให้ AD = 3 เซนตเิ มตร , AB = 3.5 เซนตเิ มตร

และ m(DAˆB) = 45๐

5.) จงสรา้ งรปู ส่เี หลย่ี มขนมเปยี กปนู MONP ใหม้ ีความยาวดา้ นละ 3.5 เซนตเิ มตร และเสน้
ทแยงมมุ เสน้ หน่ึงยาว 3 เซนตเิ มตร

6.) จงสร้างสเี่ หลี่ยมขนมเปยี กปนู DEFG ใหม้ คี วามยาวด้านละ 4 เซนติเมตร และมมุ ท่ีอยู่ใน
ระหวา่ งดา้ นประชดิ คหู่ นึ่งมขี นาด 60๐

49
7.) จงสรา้ งรปู ส่ีเหลย่ี มคางหมู ABCD มีฐาน AB = 4 เซนตเิ มตร มมุ ที่ฐาน DAˆB และ ABˆC

มขี นาด 60๐ และ 90๐ ตามลำดับ และ AD = 3 เซนติเมตร พรอ้ มทงั้ อธิบายวิธีการสรา้ ง

.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................