การแปลงทางเรขาคณิต

1

1

แบบทดสอบก่อนเรยี น

เร่อื ง การแปลงทางเรขาคณิต

วชิ า คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน รหสั ค 22101 ชว่ งชน้ั ที่ 2 ช้นั ปีท่ี 2

คำสงั่ ให้นักเรียนเลอื กคำตอบที่ถกู ต้องท่สี ุดเพยี งคำตอบเดยี ว

1. ข้อใดต่อไปนี้เปน็ การเลือ่ นขนาน ข.
ก.

ค. ง.

2. หาพกิ ัดของจุด A ( 4 , -2 ) ทเี่ กดิ จากการเลอ่ื นขนานเดยี วกบั การส่งจดุ B ( -1 , 5 ) ไปยังจดุ B(5,1)

ก. ( 2 , -2 ) ข. ( 0 , -8 )

ค. ( 8 , 4 ) ง. ( 10 , -6 )

3. กำหนดให้  ABCเป็นภาพที่ไดจ้ ากการเลอื่ นขนาน ABC ข้อใดเปน็ เวกเตอร์ของการเล่อื นขนาน
ABC
ก.

ข.

ค.
ง.

2

4. ถา้ รปู หน่งึ เกิดจากการแปลงอีกรปู หนึ่ง โดยท่ีจดุ P แปลงไปเป็นจุด Y จดุ Q แปลงไปเปน็ จดุ X และจุด R
แปลงไปเป็นจดุ Z ดงั รปู

การแปลงดังกล่าวเป็นการแปลงขอ้ ใด ข. การเลอื่ นขนาน
ก. การสะท้อน ง. การสะท้อนและการหมนุ
ค. การหมนุ

5. ถ้ารูปต้นแบบคือ แล้วภาพท่เี กดิ จากการสะท้อนโดยมแี กน X เปน็ เสน้ สะท้อน คอื ข้อใด

ก. ข.

ค. ง.

6. กำหนด AB โดยมแี กน X เป็นเสน้ สะทอ้ น จดุ A มีพิกัดเปน็ (-3,4) และจุด B มีพิกัดเปน็ (4,-2) จงหา

พกิ ดั ของจุด A และ B

ก. A ( 3 , 4 ) B( -4 , -2 ) ข. A ( 3 , -4 ) B( -4 , 2 )

ค. A ( -3 , -4 ) B( 4 , 2 ) ง. A ( -3 , 4 ) B( -4 , 2 )

7. ข้อใดคือ จดุ S และ T ซึง่ เป็นภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อน ST โดยมี L เปน็ เส้นสะทอ้ น

ก. S( 1 , 2 ) , T ( 5 , 1 )
ข. S( 0 , 2 ) , T ( -4 , 1 )
ค. S( 0 , 1 ) , T ( -4 , 2 )
ง. S( 2 , 3 ) , T ( 6 , 2 )

3

8. รูปสามเหลย่ี ม ABC จดุ A มีพกิ ัดเป็น ( 3 , 0 ) จุด B มีพกิ ัดเปน็ ( 5 , 1 ) และจุด C มีพิกดั เปน็ ( 2 , 3 )

จงหาพกิ ดั ของจดุ C บนภาพจากการหมุนรูปสามเหลยี่ ม ABC โดยหมุนรอบจดุ กำเนดิ ดว้ ยมมุ 180 องศา

ก. ( -2 , -3 ) ข. ( 2 , -3 )

ค. ( 2 , 3 ) ง. ( -2 , 3 )

9. ขอ้ ใดเป็นการหมุน ABC โดยหมุนทวนเข็มนาฬกิ า และมีจุด P เปน็ จุดหมุนเป็นมมุ 90 องศา
ก. ข.

ค. ง.

10. รปู สี่เหลย่ี ม ABCD เปน็ ภาพท่ไี ด้จากการหมุน รูปสี่เหลย่ี ม ABCD รอบจดุ กำเนดิ O หมุนทวนเข็ม
นาฬิกา ดว้ ยมุมท่ีมีขนาด 90 องศา ข้อใดต่อไปน้ถี ูกต้อง
ก. A(6,-2)
ข. B(-4,1)
ค. C(-4,-2)
ง. D (-2,-3)
***********************************************

4

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์
ตอนท่ี 1

การเล่อื นขนาน ( Translation )

5

แบบฝกึ ทักษะ

ตอนท่ี 1 การเล่อื นขนาน

สาระสำคัญ
การเลอ่ื นขนาน ( Translation ) คอื การเปล่ยี นทจ่ี ุดทุดจดุ ของรูปต้นแบบเคลื่อนที่ไปในทศิ ทาง

เดยี วกนั เป็นระยะทางเท่า ๆ กัน
สมบตั ขิ องการเลอ่ื นขนาน
1. รูปที่ได้จากการเล่ือนขนานจะเท่ากันทุกประการกับรูปต้นแบบ
2. จุดแต่ละจดุ ทีส่ มนยั กนั กบั รูปที่ไดจ้ ากการเล่ือนขนานกบั รปู ตน้ แบบจะมรี ะยะห่างเทา่ กัน
3. ไม่มีการเปลย่ี นแปลงรปู รา่ งและขนาดของรูปต้นแบบ

มาตรฐาน / ตัวชี้วัด
สาระ การวดั และเรขาคณติ
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบตั ิของรูปเรขาคณติ ความสมั พันธ์ระหวา่ งรปู เรขาคณิต

และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำไปใช้
ตวั ช้วี ัด เข้าใจและใชค้ วามร้เู กย่ี วกับการแปลงทางเรขาคณิตในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตรแ์ ละปัญหาในชวี ิต
จริง

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
นกั เรยี นสามารถ
1. บอกความหมายและสมบัติของการเล่อื นขนานบนระนาบ
2. หาภาพทไ่ี ด้จากการเลื่อนขนานรปู ต้นแบบ
3. หาเวกเตอร์ของการเลื่อนขนานเม่ือกำหนดรปู ต้นแบบและภาพท่ีไดจ้ ากการเล่ือนขนาน
4. บอกพิกดั ของจดุ บนภาพที่ได้จากการเล่ือนขนานรูปต้นแบบทีก่ ำ หนดให้
5. บอกได้วา่ รูปคูใ่ ดเปน็ รปู ตน้ แบบและภาพทไ่ี ด้จากการเล่อื นขนาน เมื่อกำหนดรูปเรขาคณติ ที่เทา่ กัน

ทกุ ประการให้
6. ใช้ความรูเ้ ก่ียวกับการเลื่อนขนานในการแกป้ ญั หา

6

กิจกรรมทกั ษะท่ี 1

เร่ือง การเล่ือนขนาน

วชิ า คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน รหสั ค 22101 ชว่ งชัน้ ท่ี 2 ชัน้ ปที ี่ 2

การเลื่อนขนาน (Translation)

การ เลอื่ นขนานต้องมรี ปู ต้นแบบ ทศิ ทางและระยะทางทีต่ ้องการเล่ือนรปู การ เลอ่ื นขนานเปน็ การ
แปลงทีจ่ บั คู่จดุ แตล่ ะจุดของรูปทีไ่ ดจ้ ากการเล่ือนรปู ต้น แบบไปในทางทศิ ทางใดทศิ ทางหน่งึ ด้วยระยะทางที่
กำหนด จดุ แตล่ ะจดุ บนรปู ท่ไี ด้จากการเลื่อนขนานระยะห่างจากจุดท่สี มนัยกันบนรปู ต้น แบบเปน็ ระยะทาง
เทา่ กนั การเล่ือนในลักษณะน้ีเรียกอีกอย่างหน่ึงวา่ “สไลด์ (slide)” ดังตัวย่าง

การเลอื่ นขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตท่ีมีการเลอ่ื นจดุ ทุกจดุ ไปบนระนาบตามแนว
เสน้ ตรงในทศิ ทางเดียวกนั และเปน็ ระยะทางท่ีเทา่ กนั ตามที่กำหนดในการบอกทศิ ทางและระยะทางของการ
เลอื่ นขนาน จะใช้เวกเตอร์เป็นตวั กำหนด เช่นเวกเตอร์ OP เขยี นแทนด้วย ซึ่ง จะมีทศิ ทางจากจุดเร่ิมตน้ O ไป
ยงั จดุ สน้ิ สุด P และมขี นาดเท่ากบั ความยาวของ ดังรูป

จากรูป จะได้ว่า

AA' , BB' , CC' และ PP' จะขนานกบั OP และ AA' = BB' = CC' = PP' = OP
การกำหนดเวกเตอร์ของการเลอ่ื นขนานอาจให้จดุ เรมิ่ ตน้ อยบู่ นรูปตน้ แบบหรืออยนู่ อกรูปต้นแบบได้จาก
ตวั อยา่ งขา้ งตน้ สรุปการเล่อื นขนานได้ดังนี้
1. รูปต้นแบบกับภาพที่เกิดจากการเล่อื นขนานเท่ากันทุกประการ
2. ระยะห่างระหวา่ งจุดท่ีสมนัยกันของรูปต้นแบบกับภาพท่เี กิดจากการเล่ือนขนานหรอื ขนาดของ

การเลอ่ื นขนานเท่ากนั
3. ส่วนของเสน้ ตรงทสี่ มนัยกันของรูปต้นแบบกบั ภาพทเี่ กิดจากการเลื่อนขนานจะเท่ากันหรือขนานกนั
4. การเลอื่ นขนานจะต้องมที ิศทาง

7

ตวั อย่าง จงหาภาพที่ได้จากการเล่ือนขนาน ABCD ด้วย CC'

ในการหาภาพทไี่ ด้จากการเล่ือนขนาน ABCD ใหห้ าจุด A’ , B’ และ D’ ซง่ึ เปน็ ภาพที่ไดจ้ ากการ
เล่ือนขนานของจดุ A, B และ D ตามลำดับ สามารถทำไดด้ ังน้ี

1. ลาก AA' = BB' = DD' ให้มขี นาดและทิศทางเช่นเดยี วกับ CC'
2. ลาก A'B' , A'D' , D'C' และ C'B' จะได้ A B C D เปน็ ภาพทไ่ี ด้จากการเลื่อนขนาน ABCD
ด้วย CC'
ในกรณที ่เี วกเตอร์ของการเล่ือนขนานที่กำหนดให้ขนานกับแกน X หรอื แกน Y การเล่ือนขนานรูป
ตน้ แบบก็จะกระทำไดง้ ่าย แต่ถ้าเวกเตอรท์ ่ีกำหนดให้น้นั ไม่ขนานกับแกน X และแกน Y แลว้ เราอาจใชว้ ธิ ดี ัง
ตัวอย่างตอ่ ไปนีช้ ่วยในการหาภาพทีไ่ ดจ้ ากการเลือ่ นขนาน

ตวั อยา่ ง ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาการเล่ือนขนานจดุ Q ด้าน OP ตอ่ ไปนี้

วิธที ่ี 1 เลือ่ นจดุ Q ไปทางขวาตามแกน X 2 หน่วย และเลือ่ นขึน้ ไปตามแกน Y 4 หนว่ ย จะได้
ตำแหน่ง Q ? ดงั รปู

8

วธิ ที ี่ 2 เลอ่ื นจดุ Q ขึน้ ไปตามแกน Y 4 หน่วย แล้วเลอ่ื นไปทางขวาตามแกน X 2 หนว่ ย จะได้
ตำแหน่ง Q ดงั รูป
ตัวอย่าง กำหนด  ABC มีจดุ A (3,0) จุด B (5,4) และจุด C (-1,6) เป็นจดุ ยอดมมุ จงเลอ่ื น  ABC
ดว้ ย MN ที่กำหนดให้ และหาพิกัดของจดุ ยอดมุม  ABC ซ่ึงเป็นภาพท่ีไดจ้ ากการเล่ือนขนาน  ABC

จากภาพเม่ือพจิ ารณาทิศทางและระยะทางการเล่ือนขนานดว้ ย MN จะไดว้ า่ จะต้องเลื่อนขนานจดุ
A , B และ C แตล่ ะจุดไปทางขวาตามแนวแกน X 4 หนว่ ย และเล่อื นข้ึนตามแนวแกน Y 3 หนว่ ย

9

ดงั นั้น
- จากจดุ A ( 3 , 0 ) เลื่อนจุด A ไปทางขวาตามแนวแกน X 4 หนว่ ย และเลือ่ นข้ึนตาม

แนวแกน Y 3 หน่วย จะไดจ้ ุด A ? เป็นภาพท่ไี ด้จากการเลอ่ื นขนานจุด A และมพี ิกดั เป็น ( 7 , 3 )
- จากจุด B ( 5 , 4 ) เล่ือนจุด B ไปทางขวาตามแนวแกน X 4 หนว่ ย และเลือ่ นขน้ึ ตาม

แนวแกน Y 3 หน่วย จะได้จุด B ? เปน็ ภาพทไ่ี ดจ้ ากการเลื่อนขนานจดุ B และมีพกิ ัดเป็น ( 9 , 7 )
- จากจดุ C ( -1 , 6 ) เล่ือนจดุ C ไปทางขวาตามแนวแกน X 4 หน่วย และเล่ือนข้ึนตาม

แนวแกน Y 3 หน่วย จะได้จุด C ? เปน็ ภาพท่ไี ดจ้ ากการเลอื่ นขนานจุด C และมพี ิกดั เปน็ ( 3 , 9 )
นัน่ คือ  ABC เป็นภาพทีไ่ ด้จากการเล่ือนขนาน  ABC ดว้ ย มจี ดุ ยอดมมุ เป็น A ( 7 , 3 )

,B(9,7),C(3,9)
ตวั อยา่ ง กำหนด PQRS เป็นภาพทีไ่ ดจ้ ากการเลอ่ื นขนาน PQRS

(1) จงหาพกิ ัดของจุดยอดมมุ PQRS
(2) จงหาเวกเตอร์ของการเลื่อนขนาน PQRS

10

ในการหาเวกเตอรข์ องการเลอ่ื นขนาน PQRS อาจใช้ PP' หรอื QQ' หรือ RR' หรือ SS'
เวกเตอร์ใดเวกเตอรห์ นึง่ ท่ีรู้จุดเรมิ่ ต้นและจุดสน้ิ สุด

1) จากรูป หาพิกัดของจดุ P , Q , R และ S ไดเ้ ปน็ P ( -3 , -2) , Q ( 1 , -1 ) , R ( 1 , 3 ) และ
S(3,0)

2) จากรูป หาพิกดั ของจุด P ได้เป็น ( 3 , 2 ) และจากข้อ 1) พิกัดของจดุ Q ? คือ ( 1 , -1 )
ดังนัน้ เวกเตอร์ของการเลอื่ นขนาน  ABC คือ QQ' ท่ีมจี ดุ เร่ิมตน้ เป็น Q ( 7 , 3 ) และจุดสิ้นสดุ
เป็น Q ? ( 1 , -1 ) เราสามารถนำความรู้เก่ยี วกับการเลื่อนขนานมาช่วยคำนวณทางคณติ ศาสตร์ เชน่ การหา
พื้นท่โี ดยประมาณของรูปต่าง ๆ

ตัวอย่าง จงหาพ้นื ทโี่ ดยประมาณของรปู ท่ีกำหนดให้ เม่ือ PQ ขนานกับ ST และยาวเทา่ กบั

จะเห็นวา่ ถา้ เราเลอื่ นขนาน  QRS ลงมาเปน็ ระยะ 6 หน่วย แล้ว  QRS จะทบั  UTP ไดส้ นิท
และไดร้ ปู ส่เี หลีย่ ม PQST ดังรูป

11

เลือ่ นขนาน  QRS ดว้ ย PQ จะได้ PQST
จากรูป PQST มีความกวา้ ง 4 หน่วย และความยาว 6 หน่วย
ดงั นนั้ พ้ืนที่ของ PQST = 4 x 6 ตารางหนว่ ย

= 24 ตารางหน่วย
นั่นคือ พ้นื ทโี่ ดยประมาณของรปู ทกี่ ำหนดให้ ประมาณ 24 ตารางหน่วย

12

คำชี้แจง จงแสดงรูปท่ไี ดจ้ ากการเล่อื นขนาน แตล่ ะข้อต่อไปนี้

1.  ABC มีจดุ ยอด A ( -2 , -3 ) , B ( 4 , 1 ) และ C ( -1 , 2 ) จงเขยี น  ABC และรูปสามเหล่ียม
ท่เี กดิ จากการเล่ือนขนานไปทางซา้ ย 2 หนว่ ย และข้นึ บน 3 หน่วย
จุด A ( -2 , -3 ) เลอ่ื นไปทางซ้าย 2 หน่วย และขนึ้ บน 3 หน่วย จะได้จดุ A' (…… , ….. )
จดุ B ( 4 , 1 ) เล่อื นไปทางซ้าย 2 หนว่ ย และขนึ้ บน 3 หน่วย จะไดจ้ ดุ B' (…… , ….. )
จดุ C ( -1 , 2 ) เลื่อนไปทางซ้าย 2 หน่วย และข้นึ บน 3 หนว่ ย จะไดจ้ ดุ C' (…… , ….. )

13

2. ส่เี หลย่ี มจัตุรัส PQRS มีจุดยอด P( 0 , 3 ) , Q( 2 , 1 ) , R( 4 , 3 ) และ S( 2 , 5 ) จงเขียนรปู
สีเ่ หลีย่ มจัตุรสั PQRS และรูปส่ีเหลี่ยม PQRS ทีเ่ ลอื่ นขนานดว้ ย ( -3 , -5 )
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................... .................................................................
............................................................................................................................. ...................................
.......................................................................................................................................................... ......
............................................................................................................................ ....................................
............................................................................................................................. ...................................
................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................... .................................................................

14

3. รูปหา้ เหลีย่ ม ABCDE มจี ุดยอด A( -3 , -4 ) , B( 2 , -4 ) , C( 3 , 0 ) , D( 0 , 3 ) และ E( -5 , -2 )
จงเขียนรปู หา้ เหล่ยี ม ABCDE และรูปห้าเหล่ยี ม ABCDE ซง่ึ เกิดจากการเลอ่ื นขนาน ถา้ คิดพิกดั
ของ D คือ ( 4 , 5 )
............................................................................................................................. ...................................
................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................................
................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................... .................................................................
............................................................................................................................. ...................................

15

4. รูปสีเ่ หล่ียมผนื ผา้ KLMN มจี ดุ ยอด K( -3 , -2 ) , L( 1 , -2 ) , M( 1 , 4 ) จงเขยี นรปู สี่เหลี่ยมผืนผา้
KLMN และรปู ส่เี หลยี่ มผืนผ้า K L M N  ทเ่ี ลือ่ นขนานด้วย ( 5 , -2 )
4.1) บอกคา่ พิกัดของจุดยอด N
4.2) ถา้ ตอ้ งการใหร้ ปู สี่เหลยี่ มผืนผ้า K L M N  อยูใ่ นตำแหนง่ เดิม จะต้องเล่ือนขนานด้วยคู่อันดับใด
............................................................................................................................. ...................................
................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................... .................................................................
............................................................................................................................. ...................................
.......................................................................................................................................................... ......
............................................................................................................................ ....................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................... .................................................................
............................................................................................................................. ...................................
.......................................................................................................................................................... ......
............................................................................................................................ ....................................
............................................................................................................................. ...................................
................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................................
............................................................................................................................. ...................................
....................................................................................... .........................................................................
............................................................................................................................. ...................................
.................................................................................................................................................. ..............
.................................................................................................................... ............................................
............................................................................................................................. ...................................
................................................................................................................................................................

16

17

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์
ตอนท่ี 2

การสะทอ้ น ( Reflection )

18

แบบฝึกทกั ษะ

ตอนท่ี 2 เรอื่ ง การสะท้อน

สาระสำคญั
การสะทอ้ น ( Reflection ) คอื การแปลงท่ีจุดทุดจุดของรปู ต้นและเคล่ือนท่ีข้ามเส้นตรงเสน้ หนึง่

ซึ่งเสมอื นกระจก หรือเรียกว่าเส้นสะทอ้ น หรือ เสน้ สมมาตร โดยทีเ่ ส้นสะทอ้ นนจี้ ะแบ่งครึ่งและต้ังฉากกับส่วน
ของเส้นตรงระหว่างจดุ แต่ละจดุ บนรปู ตน้ แบบกับจดุ แต่ละจดุ บนรูปสะท้อนทส่ี มนัยกัน

สมบตั ขิ องการสะท้อน
1. รูปที่เกิดจากการสะท้อนจะเท่ากันทกุ ประการกบั รปู ต้นแบบ
2. รูปที่เกิดจากการสะท้อนกับรูปต้นแบบจะหา่ งจากเสน้ สะท้อนเทา่ กนั
3. จุดบนเสน้ สะท้อนเป็นจดุ คงท่ี ไม่มกี ารสะท้อน

มาตรฐาน / ตัวชี้วดั
สาระ การวดั และเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะหร์ ูปเรขาคณิต สมบัติของรปู เรขาคณิต ความสมั พันธ์ระหว่างรปู

เรขาคณิต
และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำไปใช้

ตัวช้วี ดั เข้าใจและใช้ความรู้เก่ยี วกบั การแปลงทางเรขาคณิตในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตรแ์ ละปญั หา
ในชีวติ จริง

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
นกั เรยี นสามารถ
1. บอกความหมายและสมบตั ิของการสะท้อนบนระนาบ
2. หาภาพทไี่ ด้จากการสะท้อนรูปตน้ แบบ
3. หาเสน้ สะท้อนของการสะทอ้ นเมื่อกำ หนดรูปตน้ แบบและภาพท่ีได้จากการสะท้อน
4. บอกพิกดั ของจดุ บนภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อนรูปต้นแบบทีก่ ำ หนดให้
5. บอกได้วา่ รูปคู่ใดแสดงการสะทอ้ น เมื่อกำ หนดรูปเรขาคณิตท่เี ทา่ กันทกุ ประการให้
6. ใช้ความรู้เกย่ี วกับการสะท้อนในการแก้ปญั หา

19

กิจกรรมทักษะท่ี 2

เรื่อง การสะท้อน

วิชา คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน รหสั ค 22101 ช่วงช้ันท่ี 2 ช้นั ปีที่ 2

การสะท้อน (Reflection)

การสะท้อนเปน็ การแปลงท่ีมีการจับคู่กนั ระหวา่ งจุดแตล่ ะจดุ บนรปู ต้นแบบกบั จุด แตล่ ะจุดบนรูป
สะทอ้ น โดยทร่ี ปู ทเ่ี กดิ จากการสะท้อนมีขนาดและรปู รา่ งเช่นเดิม หรือกลา่ วว่ารปู ท่ีเกิดจากการสะทอ้ นเท่ากนั
ทกุ ประการกบั รูปเดิม

เสน้ สะท้อนจะแบง่ คร่ึงและตั้งฉากกับสว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชื่อมระหว่างจุดแต่ละจุด บนรูปตน้ แบบกับ
จุดแต่ละจดุ บนรูปสะท้อนทีส่ มนยั กัน น่นั คือระยะระหวา่ งจุดต้นแบบและเสน้ สะท้อนเท่ากับระยะระหวา่ งจดุ
สะทอ้ นและ เสน้ สะท้อน

การสะท้อนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตท่ีมีเส้นตรง m ทตี่ รงึ เส้นหนึง่ เปน็ เส้นสะท้อนโดย
แตล่ ะจดุ P บนระนาบจะมีจดุ P’ เป็นภาพทไ่ี ด้จากการสะท้อนจดุ P โดยท่ี

1. ถ้าจุด P ไม่อยู่บนเสน้ ตรง m แล้วเส้นตรง m จะแบ่งครึ่ง และตัง้ ฉากกบั
2. ถา้ จุด P อย่บู นเสน้ ตรง m แล้วจุด P และจุด P’ เป็นจดุ เดยี วกนั

ตัวอย่าง การสะทอ้ นทีม่ ีเส้นตรง m เป็นเส้นสะทอ้ น
กรณีที่ 1 ทกุ จดุ บนรูปต้นแบบไม่อยบู่ นเส้นตรง m

กรณที ่ี 2 มีบางจุดบนรูปต้นแบบอย่บู นเสน้ ตรง m

20
สมบัตขิ องการสะท้อน มดี ังน้ี

1. รปู ต้นแบบและภาพที่ได้จากการสะทอ้ นเท่ากันทุกประการ
2. ส่วนของเสน้ ตรงบนรูปต้นแบบและภาพท่ไี ด้จากการสะทอ้ นของส่วนของเส้นตรงนัน้ ไมจ่ ำเป็นต้อง
ขนานกนั ทุกคู่
3. ส่วนของเส้นตรงท่ีเชื่อมจุดแตล่ ะจุดบนรปู ตน้ แบบกับจดุ ท่ีสมนัยกนั บนภาพทไี ดจ้ ากการสะท้อนจะ
ขนานกันและไมจ่ ำเป็นต้องยาวเท่ากนั
ตัวอยา่ ง

กำหนด  ABC เป็นรปู ตน้ แบบ และ mn เป็นเส้นสะท้อน จงหาภาพท่ีไดจ้ ากการสะท้อน
ของ  ABC
วิธที ำ จะตอ้ งหาจดุ A , B และ C ซึ่งเปน็ ภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ นจดุ A, B และ C ตามลำดบั ด้วยเส้น
สะทอ้ น mn ดงั นี้

1. ลาก AP , BQ และ CR ต้ังฉากกับ mn ทจี่ ดุ P, Q และ R ตามลำดับ
2. หาจดุ A , B และ C บน AP , BQ และ CR ตามลำดับ โดยให้ AP = PA , BQ = QB และ

CR = RC
3. ลาก A B , B C และ C A

จะได้  A B C เป็นภาพสะท้อนท่ีไดจ้ าก  ABC ด้วยเสน้ สะทอ้ น MN

21
ตัวอยา่ ง กำหนดรปู สเ่ี หล่ียม ABCD เปน็ รปู ตน้ แบบ และ A’ B’ C’ D’ เป็นภาพท่ไี ด้จากการ สะทอ้ นจงหา
เส้นสะทอ้ น

วิธที ำ
1. ลาก AA' ซงึ่ เป็นจดุ ทส่ี มนยั กัน
2. สรา้ ง mn ใหแ้ บ่งคร่งึ และตั้งฉากกบั AA'

จะได้ mn เป็นเส้นสะทอ้ น

หมายเหตุ การลากสว่ นของเส้นตรงเช่อื มจุดทสี่ มนยั กัน อาจลากสว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชื่อมระหว่าง
จดุ ทสี่ มนยั กับคู่อืน่ ๆ กจ็ ะได้เส้นสะท้อนเดยี วกบั เสน้ ตรงดงั ภาพต่อไปนี้

จะเหน็ ว่า ลาก mn ผา่ นจุดก่ึงกลางของ AA' , CC' และ DD' ก็จะได้ mn เปน็ เสน้ สะท้อน

22

ตวั อย่าง กำหนด ABCD และใหแ้ กน Y เป็นเสน้ สะท้อน จงหา
(1) พิกดั ของจุด A B C และ D ซ่งึ เปน็ ภาพท่ไี ด้จากการสะทอ้ นจุด A, B C และ D
(2) A’ B’ C’ D’ ซง่ึ เป็นภาพสะทอ้ น ABCD

จากรูปจดุ D อยูบ่ นแกน Y ที่เปน็ เส้นสะท้อน จะไดจ้ ุด D เป็นจุดเดียวกนั กบั จดุ D’
ส่วนจดุ จุด A , B และ C จะมีจุด A’ B’ และ C’ เปน็ ภาพที่ได้จากการสะทอ้ น ซ่ึงจดุ แต่ละค่สู มนยั กนั
จะมพี ิกดั ท่หี นึ่ง
เป็นจำนวนตรงข้ามกัน เพราะอยู่คนละข้างของแกน Y เปน็ ระยะท่ีเทา่ กัน และจะมพี ิกัดทสี่ องเป็น
จำนวนเดียวกนั
เพราะอย่หู า่ งจากแกน X เป็นระยะท่ีเท่ากัน สามารถแสดงได้ดงั นี้

23
1. หาพกิ ดั ของจุด A’ B’ C’ และ D’ ดังนี้

(1) จากรปู จดุ D มีพิกัดเปน็ ( 0 , 3 ) เนอ่ื งจากจุด D และจดุ D’ เป็นจดุ เดียวกนั
ดงั นั้นจุด D จงึ มีพกิ ดั เป็น ( 0 , 3 )

(2) จากรูป
จุด A มีพิกัดเปน็ ( 2 , 1 ) จะได้จดุ A’ มีพิกัดเปน็ ( -2 , 1 )
จดุ B มพี ิกัดเป็น ( 5 , 1 ) จะไดจ้ ุด B’ มพี ิกัดเปน็ ( -5 , 1 )
และจดุ C มีพิกดั เป็น ( 6 , 5 ) จะไดจ้ ดุ C’ มีพิกดั เป็น ( -6 , 5 )

2. ลาก C'D' , D' A' , C'B' และ B' A' จะได้ A’B’C’D’ ซึง่ เป็นภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อนด้วยเส้น
สะทอ้ นแกน Y กรณีที่กำหนดเส้นสะท้อเปน็ เสน้ ตรงทีไ่ ม่ใช่แกน X หรอื แกน Y อาจหาพกิ ัดของ

จุดท่เี ป็นภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะท้อนจุดท่กี ำหนดใหโ้ ดยพิจารณาดัง นี้
กรณที ี่ 1 ถ้าเส้นสะทอ้ นขนานกับแกน X หรือขนานกับแกน Y ใหน้ บั ชอ่ งตารางหาระยะระหวา่ งจุดท่ี
กำหนดใหก้ ับเสน้ สะท้อน ซึ่งภาพของจดุ นน้ั จะอยู่ห่างจากเส้นสะท้อนเปน็ ระยะท่เี ท่ากันกบั ระยะท่นี ับได้ เมื่อ
ไดภ้ าพของจุดนั้นแล้วจึงหาพิกัด
ตวั อยา่ ง กำหนดจุด A ( 3 , 3 ) และจดุ B ( -2 , -1 ) มเี สน้ ตรง 1 เป็นเส้นสะท้อนทีข่ นานกับแกน X
และอยู่หา่ งจากแกน X ขน้ึ ไป 2 หน่วย ดงั รปู

1.) จากรูป จุด A ( 3 , 3 ) อยู่เหนือเสน้ สะท้อน 1 เปน็ ระยะ 1 หนว่ ย จะไดจ้ ุด A ซ่งึ เปน็ ภาพท่ีไดจ้ าก
การสะท้อน จดุ A อยู่ใต้เส้นสะท้อน 1 เป็นระยะ 1 หนว่ ยเชน่ กนั และหาพิกดั ของจุด A ได้เป็น ( 3 , 1 )

2.) จากรปู จดุ B ( -2 , -1 ) อยู่ใต้เสน้ สะท้อน 1 เปน็ ระยะ 3 หน่วย จะได้จุด B ซง่ึ เป็นภาพที่ไดจ้ าก
การสะท้อน จดุ B อย่เู หนือเส้นสะทอ้ น 1 เป็นระยะ 3 หนว่ ยเชน่ กัน และหาพิกดั ของจุด B ไดเ้ ปน็ ( -2 , 5 )

24
กรณที ี่ 2 ถา้ เส้นสะท้อนไม่ขนานกบั แกน X หรือไม่ขนานกับแกน Y แตเ่ ป็นเส้นในแนวทแยงให้
ลากเส้นตรงผ่านจดุ ทีก่ ำหนดให้และตงั้ ฉากกบั เสน้ สะท้อน ภาพของจดุ ท่ีกำหนดใหจ้ ะอยู่บนเส้นตัง้ ฉากที่สร้าง
ขึ้น และอยหู่ ่างจากเส้นสะท้อนเป็นระยะเทา่ กนั กบั จุดที่กำหนดให้อยู่ห่างจากเสน้ สะท้อน เมอ่ื ได้ภาพของจุด
น้นั แลว้ จึงหาพิกัด ตัวอย่าง กำหนดจุด A ( 4 , -2 ) , B ( -3 , 0 ) และ C ( 1 , 3 ) มเี ส้นตรง 1 ซ่ึงผา่ นจุด
( 5 , 2 ) และ ( -1 , -4 ) ดังรปู

จากรปู หาพิกัดจดุ A , B และ C ซึ่งเป็นภาพทไี่ ดจ้ ากการสะท้อนของจดุ A , B และ C ตามลำดบั ดงั นี้

1. ลากเส้นตรง m ผ่านจุด A และให้ตง้ั ฉากกบั เสน้ สะท้อน 1
2. หาจุด A บนเสน้ ตรง m1 ทที่ ำให้จุด A และ A’ อย่หู า่ งจากเสน้ ตรง l เท่ากัน
3. จากรูปจะได้ A’ เปน็ ( 1 , 1 )
4. ในทำนองเดียวกัน เมอื่ ลากเส้นตรง m2 ผ่านจดุ B และให้ต้ังฉากกบั เส้นสะทอ้ น l แลว้ หาจดุ B’
จะไดพ้ กิ ัดของจุด B’ เป็น ( 3 , -6 )
5. ในทำนองเดยี วกัน เมอื่ ลากเสน้ ตรง m3 ผา่ นจดุ C และให้ตั้งฉากกบั เส้นสะทอ้ น l แล้วหาจุด C’
จะได้พิกัดของจุด C เป็น ( 6 , -2 )

25
ตัวอยา่ ง กำหนด  ABC มีพิกดั A ( 1 , 3 ) , B ( 2 , 1 ) และ C ( 4 , 5 ) และ C ( 4 , 5 ) และให้เส้นตรง
l เปน็ เสน้ สะท้อนท่ีขนานกบั แกน X อยู่ใต้แกน X ระยะห่าง 2 หน่วย จงหา

1) พิกัดของจดุ A’ , B’ และ C’ ซึ่งเปน็ ภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อนของจดุ A , B และ C
2)  A’B’C’ ซง่ึ เป็นภาพทไี่ ด้จากการสะท้อน  ABC

จะต้องหาจุด A’ , B’ และ C’ โดยใชก้ ารนับช่องตารางหาระยะทจ่ี ุด A’ , B’ และ C’ อยู่หา่ งจากเสน้
สะท้อนเท่ากับระยะทจี่ ดุ A , B และ C ดงั น้ี

1) หาพิกัดของจดุ A’ , B’ และ C’ ดังนี้
(1) นบั จุด A, B และ C อยูห่ ่างจากเสน้ สะท้อน l เป็นระยะก่หี น่วย
จดุ A อยู่หา่ งจากเสน้ สะท้อน l = 5 หนว่ ย
จุด B อยูห่ ่างจากเส้นสะท้อน l = 3 หนว่ ย
จุด C อยู่หา่ งจากเสน้ สะท้อน l = 7 หนว่ ย

26

(2) หาจดุ A’ , B’ และ C’ ซึง่ เปน็ ภาพสะท้อนที่ได้จากการสะท้อน จุด A , B และ C โดยที่
จุด A อยหู่ า่ งจากเส้นสะท้อน l = 5 หน่วย จะได้พกิ ดั ของจุด A’ ( 1 , -7 )
จุด B อยหู่ ่างจากเส้นสะทอ้ น l = 3 หนว่ ย จะได้พกิ ัดของจดุ B’ ( 2 , -5 )
จดุ C อยู่หา่ งจากเส้นสะท้อน l = 7 หน่วย จะได้พิกดั ของจุด C’ ( 4 , -9 )

2) ลาก A'B' , A' C' และ B' C' จะได้  A’B’C’ ซึ่งเปน็ ภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อน  ABC
ด้วยเสน้ สะท้อน l

คำชีแ้ จง จงแสดงรปู ท่ีไดจ้ ากการสะท้อนจากรูปต้นแบบในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้
จงสะทอ้ นรูปต่อไปนีข้ ้ามเส้นตรง / ให้ถูกต้อง
1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

27

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3

เร่อื ง การสะท้อน

วิชา คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน รหัส ค 22101 ชว่ งช้นั ท่ี 2 ช้นั ปที ่ี 2

การสะทอ้ นขา้ มแกน 1.3)

1.) จงบอกช่ือเสน้ สมมาตรของรูปแต่ละค่ตู ่อไปนี้
1.1)

เสน้ สมมาตร คอื ………………………. เส้นสมมาตร คอื ……………………….
1.2) 1.4)

เส้นสมมาตร คือ ………………………. เส้นสมมาตร คือ ……………………….

2.) จงเขยี นรปู ที่เกิดจากการสะท้อนรูปตน้ แบบทีก่ ำหนดให้ต่อไปน้ี

2.1) 2.2)

28
2.3) 2.5)

2.4) 2.6)

29

3.) จงสะทอ้ นรปู สามเหล่ยี ม ABC ข้ามแกน Y เมอ่ื จุดยอดคอื A(0 , 4) , B(-5 , 2) และ C(0 , -3)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………...........…

30

4.) จงสะทอ้ นรูปสเี่ หล่ียมคางหมู PQRS ขา้ มแกน X เมื่อขดุ ยอดคือ P(-4 , 3) , Q(-1 , 3) , R(0 , 0) และ
S(-4 , 0)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

31

5.) รูปสามเหลี่ยม DEF มีจดุ ยอด D(0 , 3) , E(-2 , 0) , F(0 , -5) จงใช้การสะท้อนเขียนรปู สามเหลย่ี ม
อกี รูปที่ทำให้เกดิ รูปส่เี หลี่ยมรูปวา่ ว DEFG
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………...........…………………

32
6.) จงสะทอ้ นรูปห้าเหลี่ยม ABCDE ทีก่ ำหนดให้ต่อไปน้ี ขา้ มแกน X และแกน Y เม่อื จุดยอดคือ

A ( -5 , -5) , B ( -1 , -5 ) , C ( -1 , -3 ) , D ( -4 , -1 ) และ E ( -5 , -2 )

*****************************************************

33

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์
ตอนท่ี 3

การหมนุ ( Rotation )

34

แบบฝกึ ทักษะ

ตแนท่ี 3 เรื่อง การหมุน

สาระสำคัญ
การหมุน ( Rotation ) คือ การแปลงท่ีจดุ ทุกจุดของรูปตน้ แบบเคล่อื นท่ีไปเปน็ มมุ เดียวกันรอบจุดตรงึ

ทอ่ี ยู่กับท่ี ซง่ึ เรียกวา่ จุดศนู ยก์ ลางของการหมุน ( Center of Rotation ) หรือ จดุ หมนุ
สมบัติของการหมุน
1. รปู ท่ไี ด้จากการหมุนจะเทา่ กนั ทกุ ประการกบั รปู ต้นแบบ
2. จุดทุกจดุ ของรปู ตน้ แบบเคล่ือนที่ไปด้วยมมุ ขนาดเดียวกนั รอบจุดหมุนซงึ่ เปน็ จดุ คงท่ี

มาตรฐาน / ตัวชี้วดั
สาระ การวดั และเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัตขิ องรูปเรขาคณิต ความสมั พันธ์ระหวา่ งรูป

เรขาคณิต
และทฤษฎบี ททางเรขาคณิต และนำไปใช้

ตัวช้วี ดั เข้าใจและใช้ความร้เู ก่ยี วกบั การแปลงทางเรขาคณิตในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตรแ์ ละปญั หา
ในชวี ติ จริง

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
นักเรยี นสามารถ
1. บอกความหมายและสมบตั ิของการหมนุ บนระนาบ
2. หาภาพทไ่ี ด้จากการหมนุ รูปต้นแบบ
3. หาจุดหมนุ ขนาดของมมุ ที่เกดิ จากการหมุน ทิศทางการหมนุ เมือ่ กำ หนดรปู ต้นแบบ และภาพที่ได้

จากการหมุน
4. บอกพิกัดของจดุ บนภาพท่ีไดจ้ ากการหมุนรปู ต้นแบบทกี่ ำ หนดให้
5. บอกได้ว่ารูปคู่ใดเปน็ รูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุน เม่ือกำ หนดรปู เรขาคณิตที่เท่ากนั ทุก

ประการให้
6. ใชค้ วามรูเ้ กี่ยวกับการหมนุ ในการแก้ปัญหา

35

กิจกรรมทกั ษะที่ 4 ชน้ั ปที ่ี 2

เรอื่ ง การหมนุ
วิชา คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน 3 รหัส ค 22101 ช่วงชัน้ ที่ 2

การหมนุ ( Rotation )

การหมุน ( Rotation ) คือ การแปลงทจ่ี ุดทุกจุดของรูปต้นแบบเคล่ือนท่ีไปเปน็ มุมเดียวกันรอบจุดตรงึ
ท่อี ย่กู ับที่ ซง่ึ เรียกวา่ จุดศูนยก์ ลางของการหมนุ ( Center of Rotation ) หรือ จดุ หมุน

การหมนุ บนระนาบเปน็ การแปลงทางเรขาคณิตท่ีมจี ดุ O ที่ตรึงจุดหนงึ่ เปน็ จดุ หมนุ แตล่ ะจดุ P บน
ระนาบมี P' เปน็ ภาพที่ได้จากการหมนุ จุด P รอบจุด O ตามทิศทางที่กำหนดด้วยมมุ ทม่ี ีขนาด K โดยท่ี

1. ถา้ จุด P ไม่ใชจ่ ุด O แลว้ OP = OP' และขนาดของ มุม POP เทา่ กับ k
2. ถา้ จดุ P เป็นจดุ เดยี วกนั กับจดุ O แลว้ P เป็นจุดหมนุ

ตัวอย่าง การหมนุ ที่มีจุด O เปน็ จุดหมุน

กรณที ี่ 1 จดุ หมุน O อยูบ่ นรูปตน้ แบบ

กรณีที่ 2 จดุ หมนุ O ไม่อยู่บนรปู ต้นแบบ

36
สมบตั ิของการหมุนมีดังน้ี

1. รูปต้นแบบกับภาพที่ได้จากการหมนุ เทา่ กนั ทุกประการ
2. สว่ นของเส้นตรงบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุนส่วนของเส้นตรงนั้นไมจ่ ำเป็นตอ้ งขนาน
กันทกุ คู่
3. จุดบนรปู ตน้ แบบและภาพท่ไี ดจ้ ากการหมนุ แตล่ ะคจู่ ะอยูบ่ นวงกลมที่มีจดุ หมุนเปน็ จดุ ศูนย์กลาง
เดยี วกนั แต่วงกลมเหล่านี้ไม่จำเป็นตอ้ งมีรัศมยี าวเท่ากัน
ตัวอยา่ ง กำหนด  ABC เป็นรูปตน้ แบบ จดุ O เป็นจุดหมุน จงหา A'B'C' ซ่ึงเปน็ ภาพทไี่ ด้จากการหมนุ
 ABC ทวนเขม็ นาฬกิ าด้วยมุมทม่ี ีขนาด k

สรา้ งมมุ AOA , มุม BOB และ มมุ COC ทวนเข็มนาฬิกาให้มขี นาดเท่ากับ k และให้ OA = OA ,
OB = OB , OC = OC ดังน้ี

1. ลากเส้นตรง OA
2. สร้างมมุ AOP ใหม้ ีขนาดเทา่ กับ k
3 . ให้ O เปน็ จุดศูนยก์ ลางรัศมี OA เขยี นสว่ นโคง้ ตัดเส้นตรง OP ท่ีจุด A’
4. ลากเส้นตรง OB
5. สร้างมมุ BOQ ใหม้ ขี นาดเทา่ กับ k
6 . ให้ O เป็นจุดศูนยก์ ลางรัศมี OB เขยี นส่วนโคง้ ตัดเสน้ ตรง OQ ทจี่ ดุ B’
7. ลากเสน้ ตรง OC

37
8. สร้างมมุ COR ใหม้ ีขนาดเทา่ กับ k
9 . ให้ O เป็นจดุ ศูนยก์ ลางรัศมี OR เขยี นส่วนโคง้ ตดั เสน้ ตรง OR ท่ีจุด C’
10. ลากเสน้ ตรง A’B’ , B’C’ และ C’A’ จะได้  A'B'C' เปน็ ภาพทไี่ ดจ้ ากการหมุน  ABC ทวน
เข็มนาฬิการอบจดุ O ด้วยมุมทีม่ ขี นาด k
นอกจากน้เี ราสามารถหาจดุ หมุน ทศิ ทางการหมุน และขนาดของมมุ ท่ีใช้ในการหมนุ ในกรณีทีม่ รี ูป
ต้นแบบและภาพที่ไดจ้ ากการหมนุ กำหนด  A'B'C' เปน็ ภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมนุ  ABC จงหาจดุ หมุน ทิศ
ทางการหมนุ และขนาดของมุมท่ีใชใ้ นการหมุน

เราอาจใช้การสรา้ งหาจุดหมุนได้ โดยสรา้ งเสน้ ตรงสองเสน้ ให้แต่ละเส้นแบง่ ครง่ึ และตัง้ ฉากกับส่วน
ของเส้นตรงท่เี ชื่อมระหว่างจุดทสี่ มนยั กนั บนรปู ตน้ แบบและบนภาพท่ีได้จากการหมุนจุดตดั ของเสน้ ตรงทัง้ สอง
คือ จดุ หมนุ ดังรปู

จากรูปข้างต้นมีการสร้างดงั น้ี
1. ลากเส้นตรง AA
2. สร้างเสน้ ตรง PQ แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับเส้นตรง AA
3. ลากเส้นตรง CC
4. สร้างเส้นตรง XY แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับเส้นตรง CC
5. ให้เสน้ ตรง PQ ตดั กบั เสน้ ตรง XY ที่จดุ R จะได้จุด R เปน็ จุดหมนุ
6. ลากเส้นตรง RC และเสน้ ตรง RC จะไดข้ นาดของมุม CRC เป็นขนาดของมุมท่ีใชใ้ นการหมุน
นน่ั คือ  ABC หมนุ รอบจุด R ทวนเข็มนาฬิกาดว้ ยขนาดของมุมเทา่ กับ

38
ตวั อย่าง กำหนด  A'B'C' เป็นภาพทีไ่ ด้จากการหมนุ  ABC ท่กี ำหนดใหร้ อบจดุ กำเนิด O ทวนเขม็ นาฬิกา
ด้วยมมุ ขนาด 180 องศา จงหา

1) พิกัดจดุ A' , B' และ C' ซึ่งเปน็ ภาพทไ่ี ด้จากการหมนุ จุด A , B และ C ตามลำดับ
2)  A'B'C' ซงึ่ เป็นภาพทีไ่ ด้จากการหมนุ

จะเห็นวา่ โจทยก์ ำหนดให้ O เปน็ จดุ หมุน และหมุน  ABC ทวนเขม็ นาฬิกาดว้ ยมมุ ขนาด 180 องศา
เราสามารถหา จุด A , B และ C ได้โดยการลากเส้นตรงผา่ นจดุ ยอดมุม  ABC กับจดุ หมนุ O เพ่อื ทำให้เกิด
มมุ ตรงท่ีมีขนาด 180 องศา ดังน้ี

39
1) หาพิกดั ของจดุ A' , B' และ C' ดงั นี้

1. ลากเสน้ ตรง OA , OB และ OC
2. ใช้ O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางรัศมี OA เขยี นส่วนโคง้ ตัดเสน้ ตรง OA ทีจ่ ุด A’ จะได้ A’ ( -3 , -3 )
3. ใช้ O เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางรศั มี OB เขียนสว่ นโค้งตดั เสน้ ตรง OB ท่ีจดุ B’ จะได้ B’ ( -5 , -3 )
4. ใช้ O เป็นจดุ ศนู ยก์ ลางรัศมี OC เขียนส่วนโค้งตดั เสน้ ตรง OC ท่จี ุด C’ จะได้ C’ ( -5 , -6 )

นั่นคือ จดุ A' , B' และ C' มพี ิกัดเป็น ( -3 , -3 ) , ( -5 , -3 ) และ ( -5 , -6 ) ตามลำดับ
2) ลากเส้นตรง A’B’ , B’C’ และ C’A’ จะได้  A'B'C' เป็นภาษาท่ไี ด้จากการหมุน  ABC

รอบจดุ กำเนดิ O ทวนเขม็ นาฬิกาด้วยมุมขนาด 180 องศา
นักเรียนพิจารณาการหาพ้นื ที่ของรูปต่อไปนี้

จากรปู สีเ่ หลีย่ มจัตุรสั ขนาด 6 x 6 ตารางหนว่ ย มี O เป็นจุดศูนยก์ ลาง รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก EOF มี CE = 8
หน่วยและ OF = 6 หน่วย จงหาพื้นทีข่ องสว่ นท่แี รเงา

ในการแก้ปัญหานเ้ี ราสามารถทำไดโ้ ดยใชค้ วามรู้เร่ืองการหมนุ โดยจะหมุนบางชนิ้ สว่ นของรปู
สามเหลย่ี มในส่วนที่ไม่ไดแ้ รเงาดังนี้

ใหเ้ สน้ ตรง OF ตดั เส้นตรง DC ทีจ่ ดุ G ลากเส้นตรงจากจุด O มาตงั้ ฉากกบั ดา้ น AD ที่จุด H
หมุนรปู ส่ีเหล่ยี ม HOGD ตามเข็มนาฬิกาทำมุม 90 องศา จะพบว่า พ้ืนที่สว่ นท่ีแรเงา คือ พ้นื ท่ีของรปู
สามเหล่ยี ม EOF ลบพ้ืนที่สี่เหลีย่ มจตั ุรสั ซ่ึงมดี ้านยาว 3 หน่วย ดังนั้นพนื้ ทแี่ รเงาคือ 24 – 9 = 15 ตาราง
หน่วย

40

ตัวอยา่ ง กำหนด O เป็นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม OA ยาว 4 เซนตเิ มตร จงหาพื้นทโ่ี ดยประมาณของส่วนท่แี ร
เงาในรูป

จากรปู ทีก่ ำหนดให้ คาดคะเนว่า เปน็ เสน้ ผ่านศูนย์กลาง ซง่ึ มีรศั มยี าว 2 เซนติเมตร

เพอื่ พิจารณาการหมุนรูปท่ีแรเงารอบจดุ O คาดคะเนไดว้ ่ารูปนี้ทับสว่ นที่ไมแ่ รเงาได้พอดี

แสดงว่าสว่ นท่แี รเงามีพ้ืนทีโ่ ดยประมาณเปน็ ครึ่งหนึง่ ของพื้นทวี่ งกลมท่ีกำหนดให้ ดงั นั้น

พ้ืนทข่ี องรูปวงกลมเทา่ กบั r2 รัศมขี องวงกลมเทา่ กับ 4 เซนติเมตร

พ้ืนท่ขี องรปู วงกลมประมาณ 3.14 x 22 ตารางเซนตเิ มตร

ดังน้ัน พน้ื ที่ของส่วนที่แรเงาประมาณ = 0.5 x 3.14 x 2 x 2 ตารางเซนติเมตร

= 25.14 ตารางเซนติเมตร

41

คำช้ีแจง จงแสดงภาพท่ีไดจ้ ากการหมุนในแต่ละข้อต่อไปนี้

1. ใหน้ ักเรียนเขยี นรูปท่ีเกิดจากการหมุน
1.1) สว่ นของเส้นตรง AB รอบจุด O ทวนเขม็ นาฬิกาเปน็ มุม 90

1.2)  ABC รอบจดุ O เป็นมมุ 45

42

1.3)  PQRS รอบจุด O ตามเข็มนาฬิกาเป็นมุม 120

1.4) จดุ (-5 , 5) รอบจดุ (-3 , 2) เปน็ มุม 180

43

2. รปู สามเหลี่ยม ABC มีจุดยอด A ( -5 , -4 ) , B ( -3 , 0 ) และ C ( 0 , -2 ) จงเขียนรูปสามเหล่ียม ABC
และหมนุ ทวนเข็มนาฬิกาไป 90 รอบจุดกำเนิด แลว้ เขยี นรปู สามเหลี่ยม ABC
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………............……………………………………………………………………………………………

44

3. รปู สามเหลย่ี มจตั ุรัส PQRS มจี ดุ ยอด P(0 , 3) , Q(-3 , 0) , R(0 , -3) และ S(3 , 0) จงเขียนรปู
สามเหลี่ยมจัตุรัส PQRS และหมนุ ไป 180 รอบจดุ กำเนิด แลว้ เขียนรปู สามเหลย่ี มจัตุรัส
PQRS
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………….........................................................................................................................…………

45

4. จงเขียนรปู หกเหลี่ยม ABCDEF ซ่ึงมีจดุ ยอด A ( 1 , 1 ) , B ( 4 , 1 ) , C ( 4 , 2 ) , D ( 2 , 2 ) ,
E ( 2 , 5 ) และ F ( 1 , 5 )
4.1) หมนุ รปู หกเหลยี่ ม ABCDEF ไป 90 รอบจุดกำเนดิ ในทศิ ทวนเข็มนาฬกิ า และเขยี นรปู หกเหลี่ยม
ABCDEF
4.2) หมุนรปู หกเหลี่ยม ABCDEF ไป180 รอบจดุ กำเนิด และเขียนรูปหกเหลี่ยม
ABCDEF
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

46

5. จากรูป  PQR หมนุ รอบจุด O ทวนเขม็ นาฬิกา ครั้งละ 30  PQR จะหมุน ............................ ครั้ง
จงึ จะกลบั มาอยตู่ ำแหน่งเดิม
ดงั นน้ั อันดับของสมมาตรการหมนุ เทา่ กบั ....................................................................................