อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์
ชดุ ท่ี 1

อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว

แบบฝกึ ทกั ษะ

ชุดท่ี 1 อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว

สาระสำคญั
ประโยคสญั ลกั ษณค์ วามไม่เท่ากันของจำนวนสองจำนวนถูกเรียกว่า อสมการ ( inequation ) โดยมี

สัญลกั ษณ์ < หรือ > หรอื ≤ หรือ ≥ หรือ ≠ บอกความสมั พนั ธ์ระหวา่ งจำนวน

จุดประสงค์การเรยี นรู้
นกั เรียนสามารถ

1. เขยี นประโยคเกี่ยวกบั จำนวนให้เปน็ ประโยคที่ใชส้ ัญลกั ษณ์ < , > , ≤ , ≥ หรือ ≠ ได้

2. ระบุว่าประโยคที่กำหนดให้ ประโยคใดเป็นอสมการ
3. หาคำตอบและเขยี นกราฟคำตอบของอสมการทก่ี ำหนดให้ได้

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1

เรอื่ ง ความหมายของอสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

วชิ า คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน รหสั ค 23102 ชว่ งช้ันที่ 2 ช้นั ปีที่ 3

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

เราเคยได้เรยี นเร่ืองการเขียนประโยคเกีย่ วกับจำนวนให้เป็นประโยคที่ใช้สัญลักษณท์ างคณิตศาสตร์

มาแล้ว เชน่ ประโยค สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึง่ เท่ากับหก เขยี นได้เป็น 3x = 6 และประโยค สองเท่า

ของจำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่าสี่อยู่เจ็ด เขยี นไดเ้ ป็น 2x – 4 = 7 นอกจากนย้ี ังเคยรจู้ กั สัญลักษณ์ต่อไปนี้

< แทนความสัมพันธ์ น้อยกวา่ หรอื ไมถ่ ึง

> แทนความสัมพนั ธ์ มากกว่า หรอื เกิน

≠ แทนความสมั พนั ธ์ ไมเ่ ท่ากบั หรอื ไมเ่ ทา่ กนั

นอกจากสัญลกั ษณด์ ังกล่าวแลว้ เรายังใช้สัญลักษณ์ ≤ แทนความสัมพันธ์น้อยกว่าหรือเทา่ กบั

สญั ลกั ษณ์ ≥ แทนความสัมพนั ธท์ ่มี ากกวา่ หรือเทา่ กับ เช่น

x ≤ 2 อา่ นว่า x นอ้ ยกวา่ หรือเทา่ กับ 2

หมายถึง x < 2 หรือ x = 2

อีกนัยหนง่ึ คือ x ไม่เกนิ 2

และ a ≥ b อา่ นว่า a มากกวา่ หรือเท่ากบั b

หมายถึง a > b หรือ a = b

อกี นัยหนึ่งคอื a ไม่น้อยกว่า b

จงเขยี นประโยคเกย่ี วกับจำนวนตอ่ ไปน้ีเปน็ ประโยคสัญลักษณ์ทางคณติ ศาสตร์

1. ผลบวกของสามกบั เจด็ น้อยกวา่ สิบหา้

2. ห้าเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งน้อยกวา่ เก้า

3. ผลบวกของจำนวนจำนวนหนง่ึ กับห้ามากกวา่ สิบสอง

4. เศษส่ีส่วนห้าของผลบวกของจำนวนจำนวนหนงึ่ กบั แปดไม่เท่ากับสิบห้า

5. เศษสองส่วนสามของจำนวนจำนวนหนึ่งไม่เกินหก

6. สองเท่าของผลตา่ งของจำนวนจำนวนหน่งึ กบั ส่ีไมน่ ้อยกวา่ สาม

ประโยคเกีย่ วกับจำนวนขา้ งต้น เม่ือให้ x แทนจำนวนจำนวนหน่ึง นอ้ งๆ จะเขยี นเป็นประโยค

สญั ลักษณ์ไดด้ งั นี้

คำชแ้ี จง
1. จงเขยี นประโยคเกย่ี วกับจำนวนต่อไปนีเ้ ปน็ ประโยคสญั ลักษณ์ เมื่อให้ x แทนจำนวนจำนวนหนึ่ง
1) ผลบวกของห้ากบั สามน้อยกว่าเกา้
..................................................................................................................................................
2) หา้ เทา่ ของจำนวนจำนวนหน่งึ ห้านอ้ ยกว่าหรอื เท่ากับแปด
.................................................................................................................... ..............................
3) ผลบวกของจำนวนจำนวนหน่งึ กับสี่มากกว่าสบิ ส่ี
............................................................................................................................. .....................
4) เศษหนึ่งส่วนส่ีของผลบวกของจำนวนจำนวนหนึง่ กับแปดไม่เทา่ กบั สิบหก
............................................................................................................................. .....................
5) เศษสามสว่ นสองของจำนวนจำนวนหนึ่งไม่เกินสบิ
..................................................................................................................................................
6) สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งมคี ่าไม่มากกวา่ ผลบวกของสองเทา่ ของจำนวนนัน้ กบั สาม
..................................................................................................................................................
7) สี่เทา่ ของผลตา่ งของจำนวนจำนวนหนงึ่ กับสิบห้าไมเ่ กนิ ยี่สิบห้า
........................................................................................................................... .......................
8) ผลบวกของสี่ส่วนห้าของจำนวนจำนวนหนึ่งกบั สิบไมน่ ้อยกวา่ เกา้
............................................................................................................................. .....................
9) ผลบวกของสามในสิบของจำนวนจำนวนหนึง่ กบั สองในห้าของจำนวนนนั้ มีค่ามากกว่าสี่สบิ สอง
............................................................................................................................. .....................
10) จำนวนจำนวนหนึง่ รวมกบั สใ่ี นหา้ ของจำนวนน้ันยังน้อยกว่าสิบห้า
............................................................................................................................. .....................
11) สามเทา่ ของจำนวนจำนวนหน่งึ นอ้ ยกวา่ แปดเทา่ ของจำนวนน้นั อยู่ไม่เกินสามสิบหา้
..................................................................................................................................................
12) ผลบวกของจำนวนจำนวนหน่ึงกบั เจด็ ในเก้าของจำนวนน้ันมีค่านอ้ ยกว่าส่ี
..................................................................................................................................................
13) แปดเท่าของจำนวนจำนวนหน่งึ มากกวา่ สามเทา่ ของจำนวนน้นั ไมน่ ้อยกว่าสบิ หก
....................................................................................................................... ...........................
14) ห้าเทา่ ของผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกับสม่ี คี ่ามากกว่ายส่ี บิ
............................................................................................................................. .....................
15) เจ็ดในสิบหา้ ของสองเทา่ ของจำนวนจำนวนหน่ึงมีค่ามากกว่าสบิ หา้
............................................................................................................................. .....................

2. จงเปลีย่ นประโยคตอ่ ไปนใี้ หเ้ ป็นประโยคภาษา โดยให้ตวั แปรแทนจำนวนจำนวนหนึ่ง

1) x + 21 ≤ 2

............................................................................................................................. .....................
.................................................................................................. ................................................

2) y – 1 > 3
............................................................................................................................. .....................
..................................................................................................................................................

3) 5a ≥ 20

............................................................................................................................. .....................
........................................................................................................ ..........................................

4) 2x + x < 6
............................................................................................................................. .....................
..................................................................................................................................................

5) 3 x ≠ 7

2

............................................................................................................................. .....................
......................................................................................................... .........................................

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2

เรือ่ ง คำตอบของอสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว

วิชา คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน รหัส ค 23102 ชว่ งชั้นท่ี 2 ชน้ั ปีท่ี 3

จากกจิ กรรมแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 จะพบว่า ในแต่ละอสมการอาจมีตัวแปรหรือไม่มตี ัวแปรก็ได้ ถา้
อสมการมตี ัวแปร ตวั แปรน้นั จะแทนจำนวน ในกรณที ี่ไม่ได้ระบเุ งือ่ นไขของตัวแปร ให้ถือวา่ ตวั แปรน้ันแทน
จำนวนจรงิ ใด ๆ นอกจากนย้ี งั สามารถสรปุ ได้ดังน้ี

ประโยคสัญลักษณ์ท่ีกล่าวถึงความสัมพันธข์ องจานวนโดยมีสัญลกั ษณ์

<, >, ≤, ≥ , ≠ บอกความสมั พนั ธ์ระหว่างจานวน เรยี กวา่ อสมการ

อสมการซึ่งพหนุ ามในอสมการเปน็ พหุนามท่ีมีตัวแปรเพียงตัวเดยี วและดีกรีพหนุ ามเท่ากับ 1
เรียกวา่ อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว ตัวอย่างของอสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว เช่น

1.) 2x < 6
2.) 3a + 2 > 7
3.) 1.2m – 5 ≠ 7

4.) 5x ≥ 4x + 9

อสมการทีม่ ีตวั แปรอาจเป็นจริงหรอื ไม่จริงขน้ึ อยกู่ บั คา่ ของตวั แปร เชน่
อสมการ 2x < 6 เปน็ จรงิ เม่ือแทน x ด้วย 2 นนั่ คือ

2(2) < 6
4 < 6 เป็นจรงิ
อสมการ 2x < 6 ไมเ่ ป็นจริง เมือ่ แทน x ดว้ ย 4 นน่ั คอื
2(4) < 6
8 < 6 ไมเ่ ปน็ จรงิ
เรยี กจำนวนทแ่ี ทน x ในอสมการ 2x < 6 แล้วทำให้ 2x < 6 เปน็ จรงิ ว่า คาตอบของอสมการ
2x < 6

คำตอบของอสมการ คือ จำนวนทแ่ี ทนตัวแปรในอสมการ แล้วทำให้อสมการเปน็ จรงิ

อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว อาจมีคำตอบได้หลายลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปน้ี

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคำตอบของอสมการ a ≠ 30
วิธที ำ เนอ่ื งจาก เมื่อแทน a ดว้ ยจำนวนจริงใดๆ ท่ีไม่เทา่ กับ 30 ใน a ≠ 30 จะได้อสมการเปน็ จริง
ดังน้ัน คำตอบของสมการ a ≠ 30 คือจำนวนจริงทุกจำนวนยกเวน้ 30
ตอบ จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนยกเว้น 30

ตวั อย่างที่ 2 จงหาคำตอบของอสมการ x ≥ 7
วธิ ีทำ เน่อื งจาก เมื่อแทน x ด้วยจำนวนจริงใดๆ ท่ีมากกวา่ หรอื เท่ากับ 7 ใน x ≥ 7

ตอบ จะได้อสมการเป็นจริง

ดังนั้น คำตอบของสมการ x ≥ 7 คอื จำนวนจริงทุกจำนวนทม่ี ากกว่าหรอื เท่ากบั 7

จำนวนจริงทกุ จำนวนที่มากกวา่ หรอื เท่ากับ 7

ตวั อย่างที่ 3 จงหาคำตอบของอสมการ m + 1 < m + 2
วธิ ีทำ เนอ่ื งจากเม่อื แทน m ด้วยจำนวนจริงใดๆ ใน m + 1 < m + 2 แลว้
จะได้อสมการทเ่ี ปน็ จรงิ เสมอ
ตอบ ดังน้นั คำตอบของอสมการ m + 1 < m + 2 คือจำนวนจรงิ ทุกจำนวน
จำนวนจรงิ ทุกจำนวน

ตัวอย่างที่ 4 จงหาคำตอบของอสมการ z - 2 > z
วธิ ีทำ เนอ่ื งจากไม่มีจำนวนจริงใดแทน z ใน z - 2 > z แลว้ ทำใหอ้ สมการเป็นจริง
ดังนัน้ ไม่มีจำนวนจริงใดเปน็ คำตอบของอสมการ z - 2 > z
ตอบ ไมม่ ีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

คำช้แี จง จงคำตอบของอสมการเชิงเสน้ ตอ่ ไปน้ี

1. จงหาคำตอบของอสมการ x ≥ 5

วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังน้ัน …………………………………………………………………………………………………………….

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาคำตอบของอสมการ a ≠ 10
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….

……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดงั นน้ั …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………
3. จงหาคำตอบของอสมการ x < x + 1
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดงั นน้ั …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………
4. จงหาคำตอบของอสมการ m – 3 > m
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังนน้ั …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………
5. จงหาคำตอบของอสมการ x + 3 < 7
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดงั นนั้ …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

6. จงหาคำตอบของอสมการ 2x - 6 ≤ 4

วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังน้ัน …………………………………………………………………………………………………………….

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3

เร่ือง กราฟของคำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว

วิชา คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รหัส ค 23102 ชว่ งชน้ั ที่ 2 ชน้ั ปีที่ 3

ตวั อย่างข้างตน้ แสดงให้เห็นถึงอสมการ 3 แบบ ตามลกั ษณะคำตอบดังนี้
1. อสมการทมี่ ีจำนวนจรงิ บางจำนวนเปน็ คำตอบ เชน่ อสมการในตวั อยา่ งที่ 1 และตัวอยา่ งท่ี 2
2. อสมการท่ีมจี ำนวนจรงิ ทุกจำนวนเปน็ คำตอบ เช่น อสมการในตวั อยา่ งท่ี 3
3. อสมการที่ไม่มีจำนวนจริงใดเปน็ คำตอบ เชน่ อสมการในตัวอยา่ งที่ 4
คำตอบของอสมการ อาจเขียนแสดงคำตอบโดยใชก้ ราฟบนเสน้ จำนวนได้ ซง่ึ สญั ลักษณ์ท่ีใช้แสดง

คำตอบของกราฟจะใช้ดังนี้ คือ
จดุ (จดุ ทึบ) หมายความว่า ตวั เลข ณ จุดนัน้ คือคำตอบของอสมการน้ัน
จดุ (จดุ โปร่ง) หมายความว่า ตัวเลข ณ จดุ นั้น ไม่ใช่คำตอบของอสมการ
(ลกู ศร) หมายความวา่ ถา้ ช้ไี ปทางขวามือจะแสดงจำนวนที่มคี า่ มากข้นึ ถ้าช้ีไปทางซ้ายมือ

จะแสดงจำนวนทม่ี ีคา่ น้อยลง
1. กราฟแสดงคำตอบของอสมการ m > 2 เปน็ ดังน้ี

กราฟข้างตน้ แสดงจำนวนจริงทกุ จำนวนทมี่ ากกวา่ 2 ซ่ึงเป็นคำตอบของ m < 2 เนอื่ งจาก 2
ไมใ่ ชค่ ำตอบ จะเขยี นวงกลมเล็กๆ ล้อมรอบจุดท่ีแทน 2 ไว้ เพ่ือแสดงใหเ้ ห็นว่ากราฟไมร่ วมจดุ ท่ีแทน 2

2. กราฟแสดงคำตอบของสมการ w ≤ 3 เป็นดังน้ี

กราฟข้างตน้ แสดงจำนวนจรงิ ทุกจำนวนท่ีนอ้ ยกว่าหรอื เทา่ กับ 3 ซง่ึ เป็นคำตอบของ w ≤ 3

เน่ืองจาก 3 เป็นคำตอบ จะเขียนรูปวงกลมทึบเลก็ ๆ ทับบนจุดทแ่ี ทน 3 ไว้ เพือ่ แสดงใหเ้ หน็ ว่ากราฟรวมจดุ ท่ี
แทน 3

3. กราฟแสดงคำตอบของอสมการ -2 < x ≤ 5 เป็นดังน้ี

กราฟข้างตน้ แสดงจำนวนจรงิ ทุกจำนวนท่มี ีคา่ มากกวา่ -2 แตน่ อ้ ยกวา่ หรือเทา่ กบั 5 ซ่งึ เปน็ คำตอบ

ของ -2 < x ≤ 5 เนื่องจาก -2 ไมใ่ ช่คำตอบ จะเขยี นวงกลมเลก็ ๆ ลอ้ มรอบจุดที่แทน -2 ไว้ เพือ่ แสดงว่ากราฟ

ไมร่ วมจุดที่แทน -2 และเน่ืองจาก -5 เป็นคำตอบจงึ เขียนรูปวงกลมทึบเล็กๆ ทับจุดท่แี ทน 5 ไว้ เพือ่ แสกงว่า
กราฟรวมจดุ ที่แทน 5

4. กราฟแสดงคำตอบของอสมการ y ≠ -1

กราฟข้างต้นแสดงจำนวนจรงิ ทุกจำนวนยกเวน้ -1 ซึง่ เปน็ คำตอบของ y ≠ -1 เนอื่ งจาก -1
ไมใ่ ช่คำตอบ จะเขียนวงกลมเลก็ ๆ ลอ้ มรอบจดุ ท่แี ทน -1 ไว้ เพอื่ แสดงว่ากราฟไม่รวมจุดท่แี ทน -1
คำชแ้ี จง

1. จงเขียนกราฟแสดงคำตอบของอสมการในแตล่ ะข้อต่อไปนี้

1.1) x ≤ 0

1.2) x > -4

1.3) x ≠ -3

1.4) -4 < x < 3

1.5) -6 ≤ x ≤ 2

2. กราฟแสดงคำตอบในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี แสดงจำนวนใดบ้าง
2.1)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.5)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.6)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.7)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.8)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.9)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2.10)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์
ชดุ ที่ 2

การแก้อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว

แบบฝึกทักษะ

ชุดท่ี 2 การแก้อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว

สาระสำคัญ
การแก้อสมการ คอื การหาคำตอบของอสมการ ซ่งึ การหาคำตอบของอสมการท่ีมตี ัวแปร คอื

จำนวนท่แี ทนตวั แปรในอสมการหรอื โดยใชส้ มบัตขิ องการไม่เทา่ กนั แล้วทำใหอ้ สมการเปน็ จริง

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
นักเรียนสามารถแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวทก่ี ำหนดให้ โดยใช้สมบัตขิ องการไมเ่ ท่ากันได้

แบบฝกึ ทักษะที่ 4

เรอ่ื ง การแก้อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว

วิชา คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน รหสั ค 23101 ช่วงชนั้ ที่ 2 ช้ันปที ี่ 3

การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การแก้อสมการ คอื การหาคำตอบของสมการ ท่ผี ่านมาเราแกอ้ สมการโดยลองแทนค่าตัวแปรใน

อสมการ แต่อาจจะไม่สะดวกเม่ืออสมการมคี วามซับซอ้ น เช่น เมอ่ื ต้องการแก้อสมการ x + 3 < 7 เราจะ

2

พบวา่ เปน็ การยากทจ่ี ะหาคำตอบของอสมการน้โี ดยการลองแทนคา่ ตัวแปร
เพ่อื ความรวดเรว็ ในการแก้อสมการ เราจะใช้สมบตั ิการไม่เท่ากนั ในการหาคำตอบ ไดแ้ ก่ สมบตั ิการ

บวกของการไมเ่ ทา่ กันและสมบัตกิ ารคูณของการไมเ่ ท่ากนั

สมบัตขิ องการไม่เทา่ กนั เม่ือ a , b , c และ d แทนจำนวนใด ๆ
1. ถ้า a < b แลว้ a + c < b + c

2. ถ้า a ≤ b แล้ว a + c ≤ b + c

3. ถา้ a > b แล้ว a + c > b + c

4. ถ้า a ≥ b แล้ว a + c ≥ b + c

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแกอ้ สมการ x - 3 < 6
วธิ ีทำ
x - 3 < 6 เนื่องจาก x ลบกับ 3 อยู่
ตอบ
ดังนน้ั นำ 3 บวกท้งั สองข้างของอสมการ

จะไดว้ ่า x-3+3 < 6+3

นั่นคือ x < 9

x<9

ตวั อยา่ งที่ 2 จงแก้อสมการ a + 3 < 8
วธิ ีทำ
a + 3 < 8 เน่ืองจาก a บวกกบั 3 อยู่
ตอบ
ดงั นั้น นำ (-3) บวกทง้ั สองข้างของอสมการ

จะได้ว่า a + 3 + (-3) < 8 + (-3)

นน่ั คือ a < 5

a<5

ตัวอยา่ งที่ 3 จงแก้อสมการ a + 3 > 10
วธิ ที ำ
a + 3 > 10 เน่ืองจาก a บวกกับ 3 อยู่
ตอบ
ดงั นนั้ นำ (-3) บวกทั้งสองข้างของอสมการ

จะไดว้ ่า a + 3 + (-3) > 10 + (-3)

นั่นคอื a > 7

a >7

ตัวอย่างท่ี 4 จงแก้อสมการ x -7 > -9
วิธีทำ x -7 > -9 เน่อื งจาก x ลบกบั 7 อยู่

ตอบ ดังนั้น นำ 7 บวกทั้งสองข้างของอสมการ
จะไดว้ า่ x -7 + 7 > -9 + 7
นนั่ คอื x > -2
x > -2

ตวั อย่างที่ 5 จงแก้อสมการ m + 5 ≤ 8
วธิ ที ำ
m + 5 ≤ 8 เนอื่ งจาก m บวกกับ 5 อยู่
ตอบ
ดังนัน้ นำ (-5) บวกทง้ั สองข้างของอสมการ

จะได้ว่า m + 5 + (-5) ≤ 8 + (-5)

นั่นคือ m ≤ 3

m≤3

ตวั อยา่ งที่ 6 จงแก้อสมการ b - 9 ≤ -13
วธิ ีทำ
b - 9 ≤ -13 เนื่องจาก b ลบกับ 9 อยู่
ตอบ
ดงั นน้ั นำ 9 บวกทงั้ สองข้างของอสมการ

จะไดว้ า่ b - 9 + 9 ≤ -13 + 9

นัน่ คอื b ≤ -4

b ≤ -4

ตัวอยา่ งท่ี 7 จงแก้อสมการ x - 5 ≥ 20

วิธีทำ x - 5 ≥ 20 เนื่องจาก x ลบกับ 5 อยู่

ดงั นั้น นำ 5 บวกท้งั สองข้างของอสมการ

จะไดว้ ่า x - 5 + 5 ≥ 20 + 5

นั่นคือ x ≥ 25

ตอบ x ≥ 25

ตวั อยา่ งท่ี 8 จงแกอ้ สมการ x - 5 ≥ 20

วธิ ีทำ x - 5 ≥ 20 เน่อื งจาก x ลบกับ 5 อยู่

ดงั นัน้ นำ 5 บวกทั้งสองข้างของอสมการ

จะได้วา่ x - 5 + 5 ≥ 20 + 5

นัน่ คือ x ≥ 25

ตอบ x ≥ 25

ตัวอยา่ งท่ี 9 จงแก้อสมการ 2 < x - 4 < 6

วธิ ที ำ 2 < x - 4 < 6 เนือ่ งจาก x ลบกบั 4 อยู่

ดงั นน้ั นำ 4 บวกทง้ั สองข้างของอสมการ

จะไดว้ า่ 2 + 4 < x – 4 + 4 < 6 + 4

น่นั คือ 6 < x < 10

ตอบ 6 < x < 10

กรณเี ปน็ เคร่ืองหมายไม่เท่ากับ ให้ดำเนินการโดยเปลย่ี นเครื่องหมายไม่เท่ากับเป็นเครือ่ งหมาย

เทา่ กบั แล้วใชก้ ะบวนการหาคำตอบของสมการ โดยใช้สมบตั ิของการเท่ากนั และเมอ่ื ได้คำตอบของสมการ

แลว้ กเ็ ปลี่ยนเครือ่ งหมายสมการเปน็ เครื่องหมายอสมการตามลำดับ ดังตัวอย่างตอ่ ไปนี้

ตวั อย่างที่ 10 จงแก้อสมการ a + 10 ≠ -7

วธิ ที ำ a + 10 ≠ -7 เปลย่ี นเครื่องหมายจาก ≠ เป็น =

จะได้ a + 10 = -7 เนือ่ งจาก a บวกกับ 10 อยู่

ดังนั้น นำ (-10) บวกทั้งสองข้างของอสมการ

จะได้วา่ a + 10 + (-10) = (-7) + (-10)

นน่ั คือ a = -17

ดังนนั้ จะไดว้ า่ a ≠ -17

ตอบ a ≠ -17

คำช้แี จง จงหาคำตอบของอสมการต่อไปนี้
16) x – 4 < 20
............................................................................................................................. .....................
..................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .....................
..................................................................................................................................................
....................................................................................................... ...........................................
17) x + 15 > 10
.................................................................................................................................... ..............
..................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .....................
..................................................................................................................................................
............................................................................................................................ ......................

18) 30 + x ≤ 12

..................................................................................................................................................
........................................................................................................ ..........................................
............................................................................................................................. .....................
..................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .....................

19) x – 12 ≥ -4

..................................................................................................................................................
........................................................................................................ ..........................................
........................................................................................................................................ ..........
..................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .....................
20) x + 14 > 22
..................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .....................
..................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .....................
............................................................................................................. .....................................

21) 36 < 20 + x
.......................................................................................... ........................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .
................................................................................................................................. .................

22) 56 ≥ x + 6

................................................................................................................ ..................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................

23) 16 ≥ x – 6 > 2

............................................................................................................................. .....................
.................................................................................................. ................................................
............................................................................................ ......................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
24) x + 3 ≠ 6
......................................................................................................................................... .........
......................................................................................................................... .........................
................................................................................................................... ...............................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................

แบบฝึกทักษะที่ 5

เรื่อง การแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว

วิชา คณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน รหัส ค 23101 ช่วงชน้ั ท่ี 2 ชน้ั ปีท่ี 3

จากกิจกรรมแบบฝึกทกั ษะที่ 1 จะพบวา่ ในแตล่ ะอสมการอาจมีตวั แปรหรือไม่มตี ัวแปรก็ได้ ถ้า
อสมการท่ีมีตัวแปรอาจเปน็ จริงหรือไม่จริงขน้ึ อยู่กับค่าของตัวแปร เชน่

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาคำตอบของอสมการ a ≠ 30
วิธีทำ เนือ่ งจาก เม่อื แทน a ด้วยจำนวนจรงิ ใดๆ ท่ไี มเ่ ท่ากบั 30 ใน a ≠ 30 จะไดอ้ สมการเป็นจรงิ
ดงั นั้น คำตอบของสมการ a ≠ 30 คือจำนวนจรงิ ทุกจำนวนยกเว้น 30
ตอบ จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนยกเวน้ 30

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคำตอบของอสมการ 7x + 2  4x −1 จงหาคา่ x
วิธที ำ
52
ตอบ
สามารถคูณไขว้ไดเ้ ลย เพราะในแต่ละข้างเปน็ สว่ นตัวเดยี วกนั แลว้

ดังนั้นจะไดว้ ่า 2(7x + 2)  5(4x −1)

14 + 4  20x − 5)

4 + 5  20x −14x

9  6x
9  6x
66
3x
2

3x
2

ตวั อย่างที่ 3 จงหาคำตอบของอสมการ 2 (2x −1) + 2 (x − 1)  0 จงหาค่า x
วิธีทำ
3 52

จาก 2 (2x −1) + 2 (x − 1)  0

3 52

(4x − 2) + (2 x − 2 )  0
3 3 5 10

4x − 2 + 2 x − 2  0
3 3 5 10

ค.ร.น. คอื 30 40x − 20 +12x − 6  0
30

40x − 20 +12x − 6  0

40x +12x − 20 − 6  0

52x − 26  0

52x  26
x  26
52
x1
2

ตอบ x  1

2

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาคำตอบของอสมการ 5(4x + 3)  17(x − 2) + 4 จงหาค่า x
วธิ ีทำ
5
ตอบ
จาก 5(4x + 3)  17(x − 2) + 4

5

(20x + 3)  (17x − 34) + 4

20x + 3 17x − 34 + 4

20x + 3  17x − 30

20x −17x  −30 − 3

3x  −33
x  − 33

3
x  −11

x  −11

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาคำตอบของอสมการ − 7  3x − 2  5

วธิ ีทำ จาก − 7  3x − 2  5

− 7 + 2  3x − 2 + 2  5 + 2

− 5  3x  7
− 5  3x  7

333
−5x7

33

ดงั นน้ั − 5  x  7

33

ตอบ − 5  x  7

33

คำช้แี จง จงคำตอบของอสมการเชิงเส้นตอ่ ไปนี้
7. จงหาคำตอบของอสมการ 7(x −3) − 5  4x +8
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังน้ัน …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

8. จงหาคำตอบของอสมการ 2 (2x −1) + 2 (x − 1)  0

3 52

วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดงั นั้น …………………………………………………………………………………………………………….

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

9. จงหาคำตอบของอสมการ 3 −1  x + x

x2

วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดงั นั้น …………………………………………………………………………………………………………….

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

10. จงหาคำตอบของอสมการ 5(x − 4)  2(x +1) + 3
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….

……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังนั้น …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

11. จงหาคำตอบของอสมการ x −1 − 2 + 3x  1

3 42

วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังนน้ั …………………………………………………………………………………………………………….

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

12. จงหาคำตอบของอสมการ 3(x + 4) − 2(1− x) 15
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….

……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดงั น้นั …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

13. จงหาคำตอบของอสมการ 1− x  3x − 2  x −1
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….

……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังนั้น …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 6

เร่อื ง การแก้อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว

วิชา คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน รหสั ค 23101 ชว่ งช้ันท่ี 2 ชน้ั ปที ่ี 3

การแกอ้ สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียวทเ่ี คร่อื งหมาย 
คำตอบของอสมการ A  B คือ จำนวนทุกจำนวนทีไ่ มใ่ ชค่ ำตอบของสมการ A = B

ดงั นนั้ การแกอ้ สมการ A  B มขี น้ั ตอนดังนี้
1.) หาคำตอบของสมการ A = B โดยการแก้สมการ

2.) จะไดค้ ำตอบของอสมการ A  B คอื จำนวนทกุ จำนวนท่ไี ม่เท่ากบั จำนวนจรงิ ที่ไดใ้ นขอ้ 1.)

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของอสมการ 3x − 5  4x + 2
วิธีทำ
55

จาก 3x − 5  4x + 2

55

จะไดส้ มการ คือ 3x − 5 = 4x + 2
55

3x − 4x = 2 + 5
55

−x =7
5

x = (7)(−5)

x = −35

ดงั นน้ั x  −35

ตอบ x  −35
ตวั อยา่ งท่ี 2
จงหาคำตอบของอสมการ 4(2x − 5)  3(4x + 5)
วธิ ที ำ
จาก 4(2x − 5)  3(4x + 5)

จะได้สมการ คือ 4(2x − 5) = 3(4x + 5)

8x − 20 =12x +15

8x −12x = 15 + 20

− 4x = 35
x = 35
−4

ดังนั้น x  35

−4

ตอบ x  35

−4

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาคำตอบของอสมการ 2x − 3  4x − 5
วิธีทำ
46

จาก 2x − 3  4x − 5

46

จะได้สมการ คือ 2x − 3 = 4x − 5
46

6(2x − 3) = 4(4x − 5)

12x −18 = 16x − 20

12x −16x = −20 +18

− 4x = −2
x= −2
−4

x=1
2

ดงั นน้ั x  1

2

ตอบ x  1

2

คำช้ีแจง จงคำตอบของอสมการเชงิ เสน้ ตอ่ ไปนี้
1. จงหาคำตอบของอสมการ 2x 12
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดงั นั้น …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาคำตอบของอสมการ 11(x − 4)  7(x − 7)
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังนน้ั …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาคำตอบของอสมการ 2(x −3)  −(2x + 5)
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….

……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดงั น้นั …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………
4. จงหาคำตอบของอสมการ 4(2x − 3) 12
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดงั นั้น …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงหาคำตอบของอสมการ x −1  − x

34

วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดงั น้นั …………………………………………………………………………………………………………….

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

6. จงหาคำตอบของอสมการ 1 x  −1

2

วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังนั้น …………………………………………………………………………………………………………….

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

7. จงหาคำตอบของอสมการ 2(x +1)  2

3

วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังนน้ั …………………………………………………………………………………………………………….

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………
8. จงหาคำตอบของอสมการ 3x −3  x +1
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….

……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังนั้น …………………………………………………………………………………………………………….
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

9. จงหาคำตอบของอสมการ 2x −1  2x

2

วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังนนั้ …………………………………………………………………………………………………………….

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………

10. จงหาคำตอบของอสมการ 3(x + 2) + 1  2(x + 6)

2

วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………..……………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
……………………………………..……………………………………………………………………………….
ดังนั้น …………………………………………………………………………………………………………….

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………