ความคล้าย

1

1

ความคลา้ ย ( SIMILARITY )

ในบทความคล้ายน้ี ประกอบดว้ ยหัวข้อย่อย ดงั ต่อไปน้ี 3 ช่วั โมง
4.1 รปู เรขาคณิตทีค่ ล้ายกัน 5 ช่วั โมง
4.2 รูปสามเหล่ยี มที่คลา้ ยกนั 5 ช่วั โมง
4.3 โจทยป์ ัญหาเก่ยี วกบั รปู สามเหลย่ี มทคี่ ลา้ ยกัน

สาระการเรยี นรแู้ ละมาตรฐาน
สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณติ
มาตรฐาน ค 2.2 เขา้ ใจและวเิ คราะห์รูปเรขาคณิต สมบตั ิของรูปเรขาคณิต ความสมั พนั ธ์ระหว่างรปู

ตวั ชวี้ ดั
เข้าใจและใช้สมบัตขิ องรปู สามเหลี่ยมท่ีคล้ายกันในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวติ จรงิ

จดุ ประสงค์ของบทเรยี น
นักเรยี นสามารถ
1. ระบเุ ง่อื นไขท่ีทำใหร้ ปู หลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน และบอกสมบตั ขิ องรปู หลายเหล่ียมทคี่ ลา้ ยกนั

2. ระบุเงือ่ นไขที่ทำใหร้ ปู สามเหล่ยี มสองรปู คลา้ ยกนั และบอกสมบตั ิของรปู สามเหล่ยี มทีค่ ล้ายกัน

3. ใชส้ มบตั ิของรูปสามเหลี่ยมทีค่ ลา้ ยกนั ในการให้เหตุผลและแก้ปัญหา

ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์

หวั ข้อ

ทักษะและ 4.1 4.2 4.3 กจิ กรรม
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ รูปเรขาคณติ ที่ ทา้ ยบท/
รูปสามเหลย่ี มท่ี โจทยป์ ัญหา แบบฝกึ หดั
คลา้ ยกนั ทา้ ยบท
คล้ายกนั เกย่ี วกบั

รูปสามเหล่ยี มท่ี
-
คล้ายกนั

การแก้ปญั หา   
การส่อื สารและการสอื่ ความหมาย -
ทางคณิตศาสตร์ - --
การเชอื่ มโยง
การให้เหตผุ ล  
การคิดสรา้ งสรรค์ 
 
--

2

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์
ชุดท่ี 1

รูปเรขาคณติ ทีค่ ลา้ ยกัน

3

แบบฝึกทกั ษะ

4.1 รปู เรขาคณิตทคี่ ล้ายกัน ( 3 ชว่ั โมง )

สาระสำคัญ

รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน กต็ อ่ เม่ือ รูปหลายเหลีย่ มสองรปู นน้ั มขี นาดของมุมเทา่ กัน
เป็นคู่ ๆ ทุกคู่ และมีอัตราสว่ นของความยาวของดา้ นคู่ท่ีสมนยั กันทุกค่เู ปน็ อตั ราส่วนที่เทา่ กัน

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

นักเรียนสามารถ
1. ระบุเงอ่ื นไขที่ทำาให้รปู หลายเหลยี่ มสองรูปคล้ายกนั
2. บอกสมบัติของรปู หลายเหล่ยี มทีค่ ลา้ ยกัน

4

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1

เร่ือง รปู เรขาคณติ ท่คี ลา้ ยกัน

วชิ า คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน รหัส ค 23101 ชว่ งชั้นที่ 2 ชน้ั ปที ่ี 3

สิ่งของตา่ งๆ ท่ีอยรู่ อบตัวเราน้ี มีหลายอยา่ งท่ีมีรูปร่างเหมือนกัน แต่ขนาดตา่ งกนั เรากล่าวไดว้ ่า
ส่งิ ของเหลา่ นนั้ มรี ูปรา่ งคลา้ ยกัน สำหรบั แผนท่ปี ระเทศต่างๆ เช่น แผนท่ปี ระเทศไทยที่มีขนาดไม่เทา่ กนั ก็
เรียกว่าเป็นรปู คล้ายกัน เพราะส่วนตา่ งๆ ทข่ี ยายออกหรือยอ่ ลงจะมีอัตราส่วนเทา่ กนั ตัวอยา่ งรปู คล้ายใน
วชิ าเรขาคณติ ที่เหน็ ง่ายๆ ได้แก่ วงกลมสองวงใดๆ รปู ส่ีเหลี่ยมจัตรุ สั สองรปู ใดๆ และสามเหลีย่ มสองรูปใดๆ
ดังรูป

รูปคลา้ ย [1] คอื รปู ทม่ี ีลกั ษณะแบบเดียวกนั แต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดของรปู เทา่ กัน
สมบตั ิของความคลา้ ย

1. สมบตั สิ ะทอ้ น : รปู A : รูป A
2. สมบตั ิสมมาตร : รูป A : รูป B แลว้ รูป B : รปู A
3. สมบัติถา่ ยทอด : รปู A : รปู B และ รูป B : รปู C แล้ว รปู A : รปู C
การทคี่ วามคลา้ ยมีสมบตั สิ ามประการข้างต้น เรากลา่ วว่า ความคลา้ ยเปน็ ความสมั พนั ธส์ มมูล
รปู หลายเหล่ียมสองรูปคล้ายกัน[2] กต็ ่อเมอ่ื รปู หลายเหลีย่ มสองรูปนน้ั มี
1. ขนาดของมุมเท่ากนั เป็นคู่ๆ ทุกคู่
2. อตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคู่ทีส่ มนยั กนั ทุกค่เู ป็นอตั ราสว่ นทีเ่ ท่ากนั

สัญลกั ษณ์ ~ แทนคำวา่ "คล้ายกบั "

5

ให้นักเรียนจบั คูร่ ูปเรขาคณิตต่อไปนี้ วา่ รปู เรขาคณิตใดทีค่ ล้ายกัน

..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
................................................................................................................................................................... ...........
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................

6

จงตอบคำถาม รปู ในแตล่ ะขอ้ น้คี ลา้ ยกนั หรอื ไม่
1.

2. ตอบ .........................................................
ตอบ .........................................................
3. ตอบ .........................................................
ตอบ .........................................................
4. ตอบ .........................................................
ตอบ .........................................................
5. ตอบ .........................................................
ตอบ .........................................................
6. ตอบ .........................................................
ตอบ .........................................................
7.
8.
9.
10.

7

11.

ตอบ .........................................................
12.

ตอบ .........................................................
13.

ตอบ .........................................................
14.

ตอบ .........................................................
15.

ตอบ .........................................................

8

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2

เรื่อง รูปเรขาคณติ ที่คลา้ ยกัน

วชิ า คณิตศาสตร์พื้นฐาน รหสั ค 23101 ช่วงชน้ั ที่ 2 ชัน้ ปีที่ 3

จากรปู ท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้ ข้อใดกล่าวได้ถูกตอ้ งใหเ้ ตมิ เคร่ืองหมาย ✓ ข้อใดกลา่ วไม่ถูกตอ้ ง ให้เตมิ
เครอ่ื งหมาย  ลงในช่องว่างใหถ้ กู ต้อง

1.__________ รูปเรขาคณิต A ~ รูปเราขาคณิต B
2. __________ รปู เรขาคณิต A ~ รูปเราขาคณติ D
3. __________ รูปเรขาคณติ B ~ รปู เราขาคณติ C
4. __________ รปู เรขาคณติ C ~ รูปเราขาคณิต E
5. __________ รปู เรขาคณติ B ~ รปู เราขาคณิต D
6. __________ รูปเรขาคณติ B ~ รปู เราขาคณิต C แล้วรปู เรขาคณิต C ~ รูปเราขาคณิต B
7. __________ รปู เรขาคณติ B ~ รูปเราขาคณิต C และรปู เรขาคณติ C ~ รปู เราขาคณติ E

แลว้ รูปเรขาคณติ B ~ รปู เรขาคณิต E
8. __________ รูปเรขาคณิต A ~ รปู เราขาคณติ B แลว้ รปู เรขาคณิต B ~ รูปเราขาคณิต A
9. __________ รปู เรขาคณิต A ~ รูปเราขาคณติ D แลว้ รูปเรขาคณติ D ~ รปู เราขาคณิต A
10. _________ รปู เรขาคณิต A ~ รูปเราขาคณติ B และรูปเรขาคณติ B ~ รูปเราขาคณติ C

แลว้ รปู เรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณติ C

9

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3

เรือ่ ง รปู เรขาคณติ ทคี่ ลา้ ยกัน

วิชา คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน รหสั ค 23101 ชว่ งช้นั ที่ 2 ชนั้ ปีที่ 3

บทนยิ าม
รูปหลายเหลีย่ มสองรูปคล้ายกัน ก็ตอ่ เมอ่ื รูปหลายเหล่ียมสองรูปน้นั มี
1. มมุ ท่ีสมนัยกนั มีขนาดเท่ากันและ
2. ด้านที่สมนยั กนั เป็นสัดสว่ นท่ีเทา่ กนั

มุมที่สมนัยกนั ของสามเหลีย่ มคล้าย
ถ้า ABC ~ DEF ดังรูปทกี่ ำหนดให้

จากรปู ABC และ DEF มีขนาดของมมุ เท่ากันสามคู่ คือ

  

CAB =FDE , ABC =DEF , BCA =EFD

เราเรียก  และ  ทเ่ี ท่ากนั วา่ "มมุ ทีส่ มนยั กนั "

CAB FDE

 และ  ทเี่ ทา่ กนั วา่ "มุมท่สี มนยั กนั "

ABC DEF

 และ  ทเ่ี ท่ากนั ว่า "มุมทส่ี มนยั กัน"

BCA EFD

การเขียนสัญลกั ษณ์ของสามเหลี่ยมทคี่ ล้ายกนั จะเรยี งลำดบั มุมทีเ่ ท่ากนั ไว้ในตำแหนง่ เดยี วกนั

ABC ~  DEF

 เขยี นในตำแหนง่ ทีห่ นึง่

CAB =FDE

  เขียนในตำแหนง่ ท่ีสอง

ABC =DEF

 A = E  เขียนในตำแหนง่ ทีส่ าม

BC FD

ด้านทส่ี มนัยกันของสามเหล่ยี มคลา้ ย

รูปสามเหล่ียมสองรปู ทคี่ ลา้ ยกัน ดา้ นท่ีอยู่ตรงข้ามกบั มุมทีเ่ ท่ากนั เรียกวา่ "ดา้ นท่สี มนยั กัน"

10

BC สมนยั กบั EF เพราะอยู่ตรงขา้ มกบั C  B และ F  E ทีม่ ขี นาดมุมเท่ากัน

A D

ACสมนัยกบั DF เพราะอยู่ตรงข้ามกับ A  และ  F ท่มี ขี นาดมุมเทา่ กนั

BC DE

ABสมนยั กับ DE เพราะอย่ตู รงข้ามกับ  และ E  D ทีม่ ขี นาดมุมเท่ากัน

BCA F

1. รปู ส่เี หลีย่ มตอ่ ไปน้ีคลา้ ยกันหรอื ไมเ่ พราะเหตุใด

1.) พิจารณามุมคู่ที่สมนัยกนั เป็นคู่
มุมคู่ท่ีสมนัยกันมีขนาดเทา่ กันเปน็ คๆู่ ตามลำดับ

คือ        ( ตา่ งกเ็ ทา่ กบั 1 มุมฉาก )

S= D, R =C, O = B,P = A

2) พิจารณาอตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคู่ทีส่ มนัยกนั ทุกคู่

อัตราสว่ นของความยาวของดา้ นคู่ท่สี มนยั กันทุกคู่ ไมเ่ ป็นอัตราส่วนท่ีเท่ากัน คือ

PQ = RS = 7 QR = SP = 7
AB CD 8 BC DA 6

ดงั นัน้ รูปสเี่ หล่ยี ม PQRS และรปู สเี่ หลยี่ ม ABCD เป็นรปู ทไี่ ม่คล้ายกนั

2. แสดงว่ารูปส่ีเหลยี่ มทงั้ สองรูปนั้นคล้ายกนั กำหนดให้  =   =   และ  = 

D F, U I ,C =S K H

1.) DU = 15 = 3 UC = 12 = 3
IS 20 5
FI 25 5

CK = 15 = 3 KD = 18 = 3
SH 25 5 HF 30 5

แสดงวา่ อตั ราส่วนของความยาวของด้านคทู่ สี่ มนยั กนั ทุกคู่ เป็นอัตราสว่ นทเ่ี ทา่ กนั

2.   =   และ   ( โจทยก์ ำหนด )

D = F, U I,C =S K =H

ขนาดของมุมคทู่ ่สี มนยั กนั เท่ากันเป็นคๆู่ ทุกคู่

ดังน้นั รูปสี่เหลี่ยม DUCK และ รูปสเี่ หล่ียม FISH เปน็ รปู ที่คลา้ ยกัน

11

1. จงตรวจสอบวา่ รูป ก คล้ายกบั รูป ข หรอื ไม่

1.) พจิ ารณามุมทีส่ มนยั กันเปน็ คู่
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

2.) พิจารณาอัตราส่วนของความยาวของด้านท่สี มนัยกันทุกคู่
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

ดังนัน้ …………………………………………………………………………………………………

12

2. ให้   =  ,  =  จงตรวจสอบว่ารปู ABCคลา้ ยกับรปู XYZ หรือไม่

A = X, B Y C Z

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
2.) พิจารณาอัตราสว่ นของความยาวของด้านทสี่ มนัยกันทุกคู่
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

ดังนน้ั …………………………………………………………………………………………………

13

จากรปู หกเหล่ียมดส้ นเท่ามุมเทา่ ตอ่ ไปนี้ นกั เรียนคดิ ว่า มีรูปเรขาคณิตแบบใบบ้างที่กลา้ ยกนั

14

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์
ชุดท่ี 2

รูปสามเหล่ยี มท่ีคลา้ ยกัน

15

แบบฝกึ ทกั ษะ

ชดุ ที่ 2 รูปสามเหลี่ยมทค่ี ลา้ ยกนั ( 5 ช่วั โมง )

สาระสำคญั

รปู สามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน กต็ อ่ เม่ือ รูปสามเหลยี่ มสองรปู น้นั มีขนาดของมุมเท่ากนั เป็น
คู่ ๆ สามคู่ หรอื อัตราสว่ นของความยาวของดา้ นคู่ท่สี มนยั กนั ทุกคู่เปน็ อัตราส่วนทเ่ี ทา่ กัน

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นักเรียนสามารถ
1. ระบุเงอื่ นไขท่ีทำาให้รูปสามเหลยี่ มสองรปู คลา้ ยกัน
2. ใช้สมบัติของรปู สามเหลยี่ มทีค่ ล้ายกนั ในการให้เหตุผลและการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์

16

แบบฝกึ ทักษะที่ 4

เร่ือง รูปสามเหล่ยี มท่คี ล้ายกัน

วชิ า คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน รหัส ค 23101 ชว่ งช้นั ที่ 2 ชั้นปีที่ 3

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ PQR ~ PMN และมีความยาวแตล่ ะดา้ นดังในรปู จงหาความยาวของ MN
และ PR

พจิ ารณาสิ่งทโี่ จทย์กำหนดให้ และเขียนความสัมพันธ์ด้านที่สมนยั กนั ของรูปสามเหล่ียมคล้าย จะได้

PQR ~ PMN

ดงั นน้ั จะได้ PQ = QR = RP

PM MN NP

นั่นคอื PQ = QR
PM MN

แทนคา่ ความยาวของด้านต่างๆ ทีโ่ จทย์กำหนดในความสมั พันธ์ทไี่ ด้จากขน้ั ที่ 1 แลว้ หาความยาวของ

ดา้ นที่ตอ้ งการทราบ โดยการแกส้ มการหรือการคณู ไขว้ แทนคา่ PQ = 1 นิ้ว , PM = 1.5 นิว้ และ QR = 4

นิ้ว

จะได้ 1 = 4

1.5 MN

MN = 4 x 1.5

MN = 6 นว้ิ

จาก PQ = RP

PM NP

แทนค่า PQ = 1 น้ิว, PM = 1.5 นิ้ว และ NP = 9 นวิ้

17

จะได้ 1 = RP

1.5 9
9 = RP
1.5

หรือ PR = 6 นวิ้
ดงั นน้ั ความยาวของ ยาว 6 นวิ้ และ ยาว 6 นิว้
กจิ กรรม
1. กำหนด ABC ~ XYZ และมคี วามยาวด้านดังรปู จงหาความยาวของ XY และ YZ

.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................

18

2. กำหนดให้ AC// BD และ  =  จงหาคา่ ของ x และ y

BAC BCD

.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................

19

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5

เร่อื ง รูปสามเหล่ียมทีค่ ล้ายกัน

วชิ า คณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัส ค 23101 ช่วงช้ันท่ี 2 ชั้นปที ี่ 3

1. กำหนด ABC มี ACB เป็นมมุ ฉาก CD ⊥ AB มี AC = 7 เซนติเมตร, AB = 25 เซนติเมตร, BC = 24

เซนติเมตร จงแสดงว่า ABC ~ ACD และหาความยาว CD

.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................

2. จากรูป ถ้ารูป ABC คล้ายกับรปู DEF แล้วจงหาคา่ 

ACB + CDE

.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................

20

แบบฝึกทักษะที่ 6

เร่ือง รปู สามเหลย่ี มท่ีคล้ายกัน

วชิ า คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน รหัส ค 23101 ชว่ งช้ันที่ 2 ชนั้ ปีท่ี 3

1. จากรูป ถา้ รปู ส่เี หล่ยี ม DUCK และรูปสเี่ หล่ียม LION คลา้ ยกนั แลว้ จงหาค่า x

.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................

21

2. จากรูป ถา้ รูป ABC คลา้ ยกบั รูป EDF แล้วจงหาค่า x + y

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................

3. จากรูป กำหนดให้ DOG ~ SON จงหาคา่ x - y

............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................. .............................................................................
.............................................................................. .............................................................................
.............................................................................. .............................................................................
.............................................................................. .............................................................................
.............................................................................. .............................................................................
.............................................................................. .............................................................................
.............................................................................. .............................................................................
.............................................................................. .............................................................................
.............................................................................. .............................................................................
.............................................................................. .............................................................................

22

แบบฝึกทักษะท่ี 7

เรือ่ ง รูปสามเหล่ียมทีค่ ลา้ ยกัน

วชิ า คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รหสั ค 23101 ชว่ งช้ันที่ 2 ชั้นปที ่ี 3

จากรปู จงหาค่า x และ y

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

23

แบบฝึกทักษะที่ 8

เรือ่ ง รูปสามเหลีย่ มท่คี ลา้ ยกัน

วิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัส ค 23101 ชว่ งชั้นที่ 2 ชน้ั ปที ี่ 3

จากรูป จงหาขนาดของมุมทีเ่ หลือทกุ มุม
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

24

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์
ชดุ ที่ 3

โจทย์ปญั หาเกยี่ วกบั รปู สามเหลี่ยมที่คลา้ ยกนั

25

แบบฝกึ ทกั ษะ

ชุดท่ี 3 โจทย์ปัญหาเก่ยี วกับรูปสามเหล่ียมท่ีคล้ายกัน ( 5 ชัวโมง )

สาระสำคัญ

ทฤษฎีบท ในรูปสามเหลี่ยมสองรูป ถ้าขนาดของมุมมุมหนึ่งของรปู สามเหลีย่ มรูปหนึ่งเทา่ กับขนาดของมมุ
มมุ หน่งึ ของรปู สามเหลี่ยมอีกรูปหน่งึ และอัตราส่วนของความยาวของดา้ นของรปู สามเหลี่ยมที่เป็นแขนของมมุ
ที่มขี นาดเท่ากันนัน้ เปน็ อตั ราสว่ นท่ีเท่ากัน แลว้ รปู สามเหลี่ยมทั้งสองรปู เป็นรปู สามเหล่ียมทคี่ ล้ายกนั

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

นักเรยี นสามารถใช้สมบัตขิ องรปู สามเหล่ียมทคี่ ลา้ ยกันในการแกโ้ จทย์ปัญหาในชีวติ จริง

26

แบบฝึกทักษะท่ี 9

เรือ่ ง โจทย์ปัญหาเกยี่ วกบั สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

วชิ า คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน รหัส ค 23101 ชว่ งชน้ั ที่ 2 ชน้ั ปที ่ี 3

ตัวอย่างที่ 1 ชายคนหน่งึ มองเห็นเงาของตน้ มะพรา้ วทอดยาวไป 28 เมตร ขณะทีเ่ สาต้นหน่งึ ซ่ึงสูง 5 เมตร
ทอดเงาไปทางเดียวกันยาว 10 เมตร อยากทราบว่าตน้ มะพรา้ วสงู กี่เมตร
วิธที ำ พิจารณาความสัมพันธส์ ิ่งทโ่ี จทยก์ ำหนด และสร้างรูปแสดงความสัมพันธ์ จะได้

จากรปู ให้ AB แทนความสูงของต้นมะพรา้ ว

DE แทนความสงู ของเสา เท่ากบั 5 เมตร

EC แทนความยาวของเงาของเสา เท่ากับ 10 เมตร

BC แทนความยาวของเงาของต้นมะพรา้ ว เทา่ กับ 28 เมตร

พิจารณาความสัมพันธ์ของมมุ ทเี่ ท่ากนั จากรูปสามเหลยี่ มที่คล้ายกัน จะได้

 ( เป็นมมุ ฉากกาง 90๐ เนอ่ื งจากตน้ มะพร้าวและเสาต้งั ฉากกบั พน้ื ดนิ )

CBA = CED

 ( เปน็ มุมรว่ ม )

ACB = DCE

 ( เปน็ มุมท่เี หลือย่อมเท่ากนั เน่อื งจากมมุ ภายในรปู สามเหลยี่ มรวมกนั 180๐ )

CAB = CDE

ดังนนั้ ABC ~ DEC
ใชอ้ ัตราส่วนของด้านท่ีสมนยั กันของรูปสามเหล่ยี มคล้าย ในการหาความสูงของต้นมะพร้าว

จะได้ AB = BC = CA

DE EC CD

จาก AB = BC DE = 5 เมตร , BC = 28 เมตร , และ CE = 10 เมตร

DE EC

จะได้ AB = 28

5 10
AB = ( 28)5

10
AB = 14

ดงั นัน้ ต้นมะพร้าวสูง 14 เมตร

27

ตัวอยา่ งที่ 2 ก้องมองเหน็ เงาของเสาไฟฟ้าทอดยาวไป 25 เมตร และมีเสาต้นเล็กๆ ทอดเงาไปทางเดียวกนั
ยาว 5 เมตร จงหาความสูงของเสาไฟฟ้า ดงั รปู

วธิ ที ำ ให้ AB แทน ความสงู ของเสาไฟฟ้า

CD แทน ความสงู ของเสา 3 เมตร

DE แทน ความยาวของเงาของเสา 5 เมตร

BE แทน ความยาวของเงาของเสาไฟฟา้ 25 เมตร

พจิ ารณา ABE และ CDE

ABE = CDE มีขนาด 90๐ เพราะต้ังฉากกับพน้ื

 เปน็ มมุ ร่วม

E

180๐ − A  E − A  B = 180๐  มมุ ทเ่ี หลอื ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากนั

B E − CDE − CED

ดงั น้ัน ABE ~ CDE มมี ุมเท่ากันทุกมุม มมุ ต่อมุม

แสดงว่า AB = BE = EA
CD DE EC

AB = BE
CD DE

แทนคา่ AB = 25
35

AB = ( 25)3
5

ดังนั้น เสาไฟฟ้าสูง 15 เมตร

28

กิจกรรม
1. พอลลา่ ตอ้ งการหาความสูงของหนา้ ผาแห่งหน่งึ จงึ นำไม้สามเหลย่ี มมุมฉาก ABC ที่มีดา้ นประกอบมุมฉาก
AB = 40 เซนตเิ มตร และ BC = 30 เซนตเิ มตร โดยใหด้ า้ น AB ขนานกับพ้นื ดนิ และนำรูปสามเหลยี่ ม ABC
มาเล็งยอดหนา้ ผา ณ จดุ ท่หี ่างจากหนา้ ผา 600 เมตร ถ้าระดับสายตาของพอลลา่ อยสู่ ูงจากพนื้ ดิน 1.5 เมตร
จงหาวา่ หนา้ ผาสูงเท่าไร
วิธีทำ

............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
....................................................................................................................................................................... .......
........................................................................................................................... ...................................................
............................................................................................................................. .................................................
.......................................................................................................................................................... ....................
.............................................................................................................. ................................................................
............................................................................................................................. .................................................

29

2. เจมส์คดิ วิธีหาความสูงของเสาธงโดยใช้กระจกเงา เจมส์วางกระจกเงาหงายในแนวราบบนสนามหญ้าแล้ว
เดนิ ไปยืนทจี่ ุดๆ หนึง่ ซ่ึงมองเหน็ ยอดเสาธงในกระจกเงา ถ้าเจมสส์ งู 1.8 เมตร กระจกเงาวางห่างจากเจมส์
1.2 เมตร และกระจกเงาวางห่างจากโคนเสาธง 6 เมตร แลว้ เสาธงสูงประมาณกเี่ มตร
วิธที ำ

............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
....................................................................................................................................................................... .......
........................................................................................................................... ...................................................
............................................................................................................................. .................................................
.......................................................................................................................................................... ....................
.............................................................................................................. ................................................................

30

แบบฝกึ ทักษะท่ี 10

เรอื่ ง โจทยป์ ัญหาเกยี่ วกบั สมการกำลงั สองตัวแปรเดียว

วชิ า คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน รหสั ค 23101 ชว่ งช้ันท่ี 2 ชัน้ ปีที่ 3

1. ชา่ งทาสีต้องการทาสีตกึ แห่งหน่ึง เขาจึงใชบ้ นั ไดยาว 12 เมตร พาดกับผนังตึกแลว้ ปีนบนั ไดข้ึนไปทาสี

ขณะขนึ้ บันไดไปได้ระยะทาง 3 ของความยาวบนั ได เขาท าแปรงตกลงมาท่ีพ้นื จุดที่แปรงตกอยู่ห่างจากฝา

5

ผนังตกึ 2 เมตร จงหาวา่ ตีนบันไดอยูห่ า่ งจากผนงั ตึกก่ีเมตร
วิธที ำ

............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................

31

2. มานัสสงู 1.7 5 เตร เขาวัดความยาวของเงาของเขาท่ีทอดตามพนื้ ได้ 1.4 เมตร ในขณะท่ีความสูงของ
อาคารเรียนเปน็ 8.75 เมตร จงหาวา่ เงาของอาคารหลังน้ียาวเทา่ ไหร่
วิธีทำ

............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................................................ ..................
................................................................................................................ ..............................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................................... ...............................
................................................................................................... ...........................................................................
............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................................................................. ............................................
...................................................................................... ........................................................................................
3. โทนี่ต้องการประมาณความสงู ของต้นไม้โดยใชเ้ งา เขาวัดเงาของตน้ ไม้ได้ยาว 8 เมตร วดั เงาของตนเองได้
ยาว 2 เมตร ถา้ โทน้ีสูง 1.5 เมตร ต้นไม้จะสูงเท่าไร
วธิ ีทำ

............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................

32

แบบฝึกทักษะที่ 11

เรื่อง โจทยป์ ัญหาเกีย่ วกบั สมการกำลังสองตัวแปรเดยี ว

วิชา คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน รหัส ค 23101 ชว่ งชั้นท่ี 2 ช้ันปที ี่ 3

1. นายหน่ึงมองปลายเสาไฟฟ้าตน้ หน่งึ และมองผ่านไปเห็นยอดตึกหลงั หนึ่งพอดี ถ้าเสาไฟฟา้ สงู 6 เมตร

ระยะระหวา่ งเสาไฟฟ้ากบั ตึกเป็น 28 เมตร และระยะระหว่างเสาไฟฟา้ กบั จุดทน่ี ายหน่ึงยืนอย่เู ปน็ 4 เมตร

ตกึ นีส้ ูงเท่าไร

ก. 42 เมตร ข. 48 เมตร

ค. 64 เมตร ง. 70 เมตร

2. ต้นไมเ้ ล็กต้นหน่ึงสูง 3.5 เมตร อยูห่ ่างจากต้นไมใ่ หญต่ ้นหน่ึง 6 เมตร ชายคนหนึง่ สงู 1.5 เมตร ยนื อยู่

ห่างจากจ้นไมเ้ ล็ก 3 เมตร ทำใหม้ องเหน็ ยอดต้นไม้เล็กและยอดต้นไมใ้ หญ่อยใู่ นแนวเดียวกัน ตน้ ไม้ใหญส่ ูง

กเ่ี มตร

ก. 9 เมตร ข. 10.5 เมตร

ค. 11.5 เมตร ง. 12 เมตร

3. จากรปู กำหนดให้ COLD ~ WARM

อัตราสว่ นของความยาวรอบรูปของรปู สเี่ หลีย่ มท้ังสองรูปมีค่าเทา่ ใด

ก. 1 ข. 3

2 2

ค. 4 ง. 5

5 7

33

4. จากรปู กำหนดให้ BC// DE AB = 42 เซนติเมตร , BD = 30 เซนติเมตร และ AC = 49
เซนตเิ มตร ความยาวของด้าน CE ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 35 เซนติเมตร ข. 37 เซนตเิ มตร

ค. 39 เซนตเิ มตร ง. 40 เซนตเิ มตร

5. จากรูป กำหนดให้ AED ~ ACB , AD = 6 เมตร , DB = 3 เมตร และ CB = 12 เมตร จงหาความ

ยาวของ DE

ก. 7 เมตร ข. 8 เมตร

ค. 9 เมตร ง. 10 เมตร

6. จากรูป กำหนดให้ ADB ~ BDC , AD = 5 เซนติเมตร และ BD = 10 เซนติเมตร จงหาความยาวของ

DC

ก. 18 เซนตเิ มตร ข. 19 เซนตเิ มตร
ค. 20 เซนตเิ มตร ง. 21 เซนติเมตร

34

7. บนั ไดยาว 8 เมตร พาดอยูก่ บั กำแพงสงู 4 เมตร ช่างทาสเี ดินขน้ี ไปได้ 6 เมตร ชา่ งทาสอี ยูส่ งู จาก

พ้ืนดินกเ่ี มตร

ก. 1 เมตร ข. 2 เมตร

ค. 3 เมตร ง. 4 เมตร

8. เงาของเสาไฟฟ้าต้นหน่งึ ทอดยาว 2.5 เมตร ขณะที่เงาของตู้ไปรษณีย์ซ่งึ สงู 1.2 เมตร ทอดยาว 0.5

เมตร เสาไฟฟา้ สูงก่ีเมตร

ก. 6 เมตร ข. 7 เมตร

ค. 8 เมตร ง. 9 เมตร

9. พระปฐมเจดยี ์ใหญ่ท่ีจังหวดั นครปฐมมีเงาทอดยาวไปทางทศิ ตะวันตก 62 เมตร และเจดียจ์ ำลองสงู 8

เมตร มีเงาทอดยาวไปทางทิศตะวันตก 16 เมตร องค์พระปฐมเจดยี ์ใหญส่ งู กีเ่ มตร

ก. 30 เมตร ข. 31 เมตร

ค. 32 เมตร ง. 33 เมตร

10. จากรูป กำหนดให้ ACB ~ ADC มุม CAD มีขนาดกี่องศา

ก. 28° ข. 32°
ค. 35° ง. 40°

11. จากรปู กำหนดให้ AB//CD , AB = a + 1 , AO = 1 , OD = a และ CD = a + 4 ความ
ยาวของด้าน AB ตรงกบั ข้อใด

ก. 2 ข. 3
ค. 5 ง. 6

35

12. จากรูป กำหนดให้ A  D = A  B ,  =  = 90  , AE = 1.7 เซนตเิ มตร , ED = 1.02 เซนตเิ มตร

E C D B

และ BC = 5.25 เซนตเิ มตร ความยาวของดา้ น AC ตรงกบั ข้อใด

ก. 8.25 เซนตเิ มตร ข. 8.50 เซนตเิ มตร

ค. 8.75 เซนติเมตร ง. 9.00 เซนตเิ มตร

13. จากรปู รูปส่เี หลี่ยมคางหมู ABCD มีพื้นที่ก่ตี ารางหนว่ ย

ก. 325 ตารางหนว่ ย ข. 348 ตารางหนว่ ย

ค. 364 ตารางหนว่ ย ง. 375 ตารางหนว่ ย

14. จากรปู กำหนดให้ AB//CD, BC// DE , AB = 2.5 ฟุต , BC = 4 ฟุต และ CD = 2 ฟุต

จงหาความยางของ DE

ก. 3.2 ฟุต ข. 3.3 ฟตุ
ค. 3.4 ฟตุ ง. 3.5 ฟุต

36

15. กำหนดให้ ACE และ BCD เป็นสว่ นของเส้นตรงตัดกนั ทจ่ี ุด C สว่ นของเสน้ ตรง AB และ DE ขนานกนั
ถ้า AB = 2 เซนตเิ มตร , AC = 1.5 เซนติเมตร , DC = AB , BC = X เซนตเิ มตร และ EC = Y เซนติเมตร
จงหาค่าของ X + Y

ก. 3 ข. 3.5
ค. 4 ง. 4.5

เพมิ่ เติม่
http://119.46.166.126/self_all/selfaccess9/m3/691/lesson4/index.php
https://www.kroobannok.com/news_file/p20426171257.pdf
https://www.trueplookpanya.com/learning/detail/12961/024650
https://sites.google.com/a/mail.pbru.ac.th/khanitsast-m-3/home/lem-1/-4/baeb-

thdsxb

1