วงกลม

~2~

~2~

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระที่ 2 การวดั และเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รปู เรขาคณิต สมบัติของรปู เรขาคณิต ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งรปู
เรขาคณติ และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำาไปใช้

ตวั ชีว้ ัด

เขา้ ใจและใชท้ ฤษฎีบทเกยี่ วกับวงกลมในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นักเรียนสามารถ
1. บอกทฤษฎบี ทเก่ียวกบั มุมทีจ่ ุดศนู ยก์ ลางและมุมในส่วนโคง้ ของวงกลม คอร์ดของวงกลม และเสน้
สัมผสั วงกลม
2. นำทฤษฎีบทเก่ยี วกับวงกลมไปใชใ้ นการให้เหตุผลและการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

ทกั ษะและ มมุ ทจ่ี ดุ ศูนยก์ ลางและ หวั ข้อ กจิ กรรมทา้ ยบท/
กระบวนการ มมุ ในสว่ นโคง้ ของ คอรด์ ของวงกลม เสน้ สัมผสั วงกลม แบบฝกึ หดั ทา้ ยบท
ทางคณิตศาสตร์ วงกลม
✓✓ ✓
การแก้ปัญหา ✓
การส่อื สารและการ ✓ ✓
สื่อความหมายทาง ✓ ✓✓
คณติ ศาสตร์ ✓
การเชื่อมโยง
การใหเ้ หตุผล
การคดิ สรา้ งสรรค์

~3~

1. วงกลม ( Circle )

วงกลม เป็นรปู เรขาคณิตบนระนาบซง่ึ แตล่ ะจุดบนรปู เรขาคณติ น้ี อยหู่ ่างจากจดุ ที่จดุ หนึ่งบนระนาบ
เดยี วกันเป็นระยะห่างเทา่ กัน

เรยี กจดุ คงท่วี า่ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม
เรียกระยะท่ีเท่ากันว่า รัศมีของวงกลม

สว่ นต่าง ๆ เกย่ี วกับวงกลมท่ีนกั เรยี นเคยรู้จกั มาแล้วดังน้ี

จากรปู จดุ O เป็นจุดคงท่ี เรียกจุด O วา่ จดุ ศูนย์กลาง ของวงกลมจดุ A อยบู่ นเส้นรอบวงของวงกลม
หรอื กลา่ ววา่ จุด A อย่บู นวงกลม เรียก OA ว่า “รัศมขี องวงกลม”

จดุ B และ จดุ C อยูบ่ นวงกลม และ BC ผ่านจดุ ศูนย์กลาง O เรยี ก BC วา่ เส้นผ่าศูนยก์ ลางของ
วงกลม

การเรียกชื่อวงกลมวงหนึ่งท่มี ีจุดศูนย์กลางตามที่กำหนดให้ เรียกชือ่ ของจดุ ศูนย์กลางของวงกลมนั้น
เช่น วงกลมท่ีมจี ดุ O เปน็ ศนู ยก์ ลาง อาจเรียกว่า “วงกลม O”

รศั มขี องวงกลม หมายถงึ ระยะระหว่างจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมและจุดบนวงกลมหรือหมายถงึ สว่ น
ของเส้นตรงทีม่ ีจุดศูนย์กลางและจดุ บนวงกลมเป็นจุดปลาย

วงกลมหน่ึงมีรัศมีเป็นจำนวนมากมายนบั ไม่ถว้ นและรศั มขี องวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากันทุกเสน้
วงกลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากันสามารถเลื่อนวงกลมสองวงนัน้ ทับกันได้สนิท จึงกลา่ วได้ว่า วงกลม
สองวงมีรศั มยี าวเทา่ กัน จะเท่ากันทุกประการ
นอกจากสว่ นตา่ งๆ ของวงกลมท่กี ลา่ วมาข้างต้นยงั มีส่วนอื่นๆ ที่เกีย่ วข้องกับวงกลมทส่ี าคญั ได้แก่ คอร์ด เส้น
ตดั วงกลม และเส้นสัมผสั วงกลม

~4~

คอรด์ คอื ส่วนของเส้นตรงท่ีมจี ดุ ปลายทงั้ สองวงอยู่บนวงกลมเดียวกัน 2 สว่ น

จากรปู AB เปน็ คอร์ดของวงกลม O
เรียกส่วนโค้ง ADB วา่ .................................................. AB เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ ........................................
เรียกส่วนโค้ง ACB วา่ ....................................... AB เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ ..................... หรอื ....................
ความยาว .......................... เขียนแทนดว้ ย ...............................................................
ความยาว .......................... เขยี นแทนด้วย ...................... หรอื ความยาว ............... เขยี นแทนด้วย .................

เส้นผา่ นศนู ย์กลางของวงกลมเป็นคอรด์ ทีย่ าวทสี่ ุดซึง่ แบ่งวงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนที่เทา่ กันทุก
ประการ เรียก สว่ นโค้งแตล่ ะสว่ นว่า “คร่งึ วงกลม”

~5~

เส้นตัดวงกลม คือ เส้นตรงที่ตดั วงกลมสองจุด
เส้นสมั ผสั วงกลม คือ เส้นตรงที่ตดั วงกลมเพียงจุดเดียวเท่านน้ั และเรียกจุดตัดนัน้ วา่ จดุ สัมผัส

มมุ ทจี่ ุดศูนย์กลาง คือ มุมทม่ี ีจุดศนู ย์กลางของวงกลมเปน็ จุดยอดมุมและแขทง้ั สองของมุมตดั วงกลม

จากรูป AOˆ B และมุมกับ AOB ในแต่ละมมุ เปน็ มมุ ท่จี ุดศนู ย์กลางของวงกลม O ท่ี AOˆ B รองรบั
ด้วยส่วนโคง้ ABและมมุ กับ AOB รองรับด้วยสว่ นโคง้ AXB

มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ มมุ ท่ีมจี ุดยอดมมุ อยู่บนวงกลมและแขนท้งั สองของมุมตัด

จากรูป ABˆ C เป็นมมุ ในสว่ นโค้งของวงกลม O ทรี่ องรับดว้ ยส่วนโค้ง AXB

~6~

มุมในครงึ่ วงกลม คือ มุมท่ีมีจดุ ยอดมุมอยบู่ นวงกลม และแขนทงั้ สองของมุมผ่านจดุ ปลายทง้ั สองของ
เส้นผา่ นศูนยก์ ลางเสน้ หนึง่

จากรูป BC เป็นเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางของวงกลม O
BAˆ C เป็นมุมในคร่งึ วงกลม ที่รองรับด้วยสว่ นโค้ง BXC
ตัวอยา่ งที่ 1 จากรูปให้ O เป็นจุดศนู ย์กลางของวงกลม จุด A , B , C , D และ E อย่บู นวงกลม จงตอบ
คำถามตอ่ ไปนี้

1. เรยี ก AB และ DE ว่าอยา่ งไร
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
................................................................................................................................. ............................
2. คอรด์ ทีย่ าวที่สดุ ของวงกลมหนึ่งมชี ื่อเรียกเฉพาะวา่ อยา่ งไร
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
............................................................................................................................. ................................
3. คอรด์ ที่แบ่งสว่ นโคง้ ของวงกลมออกเปน็ สองส่วนเทา่ ๆ กันคือเส้นใด
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
............................................................................................................................. ................................
4. เรียกสว่ นโคง้ ของวงกลมที่ถูกแบ่งดว้ ยคอรด์ ทีไ่ ม่ใชเ่ สน้ ผา่ ศนู ย์กลางว่าอยา่ งไร
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
............................................................................................................................. ................................

~7~

ตวั อยา่ งที่ 2 ในรูปตอ่ ไปนี้ ให้ O เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลม จดุ A , B , C และ D อยู่บนวงกลม ใหบ้ อก
ชื่อของมุมตามลักษณะของมุมในสว่ นตา่ ง ๆ ของวงกลม โดยเขียนคำตอบในช่องวา่ ง

แบบฝกึ หดั ที่ 1

1. ใหน้ กั เรียนตอบถามต่อไปน้ี
1.) ในวงกลมวงหนึ่งมีคอร์ดไดก้ ีเ่ ส้น

ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
2.) รศั มีของวงกลมเปน็ เส้นตัดวงกลมหรอื ไม่ เพราะเหตุใด

ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
3.) ในวงกลมวงหน่งึ มเี ส้นตัดวงกลมก่เี ส้น

ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
4.) เส้นตัดวงกลมผ่านจุดศนู ย์กลางไดห้ รือไม่

ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
5.) ในวงกลมวงหนง่ึ มีเสน้ สัมผสั ได้กีเ่ ส้น

ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………
6.) เส้นสัมผัสวงกลมผ่านจดุ ศูนยก์ ลางได้หรือไม

ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………

~8~

2. จากรปู จงชอ่ื สว่ นตา่ ง ๆ ทเี่ กยี่ วข้องกบั วงกลม O ดงั นี้
1.) เส้นผ่าศนู ยก์ ลาง
คอื …..............................……………......……………………
2.) รัศมี
คือ…..............................……………......……………………
3.) คอร์ด
คือ…..............................……………......……………………
4.) คอรด์ ทีย่ าวทส่ี ดุ
คอื …..............................……………......……………………
5.) เส้นสัมผัสวงกลม
คือ…..............................……………......……………………
6.) เสน้ ตัดวงกลม
คือ…..............................……………......……………………
7.) ส่วนโคง้ ท่เี ปน็ ครง่ึ วงกลม
คือ…..............................……………......……………………

3. จากรปู จงบอกชือ่ มมุ แตล่ ะมมุ และสว่ นโค้งแต่ละสว่ นที่เก่ยี วขอ้ งกับวงกลม O ดังน้ี

1.) มุมท่จี ดุ ศนู ย์กลาง คือ ...........................................................................................................................
2.) มุมในครง่ึ วงกลม คือ .............................................................................................................................
3.) มุมในสว่ นโคง้ ของวงกลม คือ ................................................................................................................
4.) ส่วนโค้งท่รี องรับมุมท่จี ุดศนู ย์กลาง คือ .................................................................................................
5.) สว่ นโคง้ ทีร่ องรบั มมุ ในคร่ึงวงกลม คือ ...................................................................................................
6.) ส่วนโคง้ ท่ีรองรบั มมุ ในส่วนโค้งของวงกลม คือ .....................................................................................

~9~

2. มุมในครงึ่ วงกลม มุมที่จดุ ศนู ย์กลางและมุมในสว่ นโค้งของวงกลม

มมุ ในคร่งึ วงกลม
ทฤษฎีบท มุมในครงึ่ วงกลมมีขนาด 90 องศา หรือ หนึ่งมุมฉาก

ตวั อย่างท่ี 3 กำหนดให้ O เปน็ จุดศูนย์กลางของวงกลม ABˆ Cเปน็ มุมในครง่ึ วงกลมต้องพิสจู น์วา่ ABˆ C เป็น
มมุ ฉาก

ข้อความ เหตุผล

~ 10 ~

ตัวอยา่ งที่ 4 ACˆ Bเป็นมุมในคร่ึงวงกลมและ BAˆ Cมีขนาดเปน็ ครึง่ หนึ่งของ ABˆ C จงพสิ จู นว์ ่า BAC = 30°

ข้อความ เหตผุ ล

~ 11 ~

ตัวอยา่ งท่ี 5 AC และ BD เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ย์กลางของวงกลม จงพสิ จู น์วา่ สีเ่ หลี่ยม ABCD เปน็ รปู ส่เี หลี่ยม
มมุ ฉาก

ขอ้ ความ เหตุผล

~ 12 ~

ตัวอยา่ งที่ 6 จากรปู ที่กำหนดให้ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี จงหาคา่ x และ y โดยกำหนดให้ O เปน็ จดุ ศนู ย์กลางของ
วงกลม

1.)

ขอ้ ความ เหตุผล

2.) เหตผุ ล
ข้อความ

~ 13 ~

ตัวอยา่ งที่ 7 จากรปู จุด O เปน็ จุดศูนยก์ ลางของวงกลม ACˆ B เปน็ มมุ ในครึ่งวงกลมและ AOˆ D = 70°
จงหาขนาดของ BCˆ O พร้อมท้งั แสดงเหตผุ ล

ข้อความ เหตุผล

~ 14 ~

แบบฝึกหดั ที่ 2

จากรปู ทีก่ ำหนดใหใ้ นแต่ละข้อต่อไปน้ี จงหาคา่ x , y , q , r , s , u , t และ v โดยกำหนดให้ O
เป็นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม

1.) x = …………………………
y = …………………………

2.) x = …………………………
y = …………………………

3.) q = …………………………
r = …………………………
s = …………………………

4.) u = …………………………
v = …………………………
t = …………………………

5.) x = …………………………
y = …………………………

~ 15 ~

มมุ ท่ีจดุ ศูนย์กลาง
ทฤษฎบี ท ในวงกลมเดียวกัน มุมทจี่ ดุ ศนู ย์กลาง จะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในสว่ นโคง้

ของวงกลมทีร่ องรบั ดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกัน

ตวั อย่างที่ 8 กำหนดให้ O เปน็ จุดศนู ย์กลางของวงกลมมี AOˆ B เปน็ มุมท่จี ุดศนู ย์กลางของวงกลมและ
ACˆ B เป็นมุมในสว่ นโค้ง รองรบั ดว้ ยส่วนโคง้ AB ตอ้ งการพสิ ูจน์ว่า AOˆ B = 2( ACˆ B)

ขอ้ ความ เหตุผล

~ 16 ~

ตัวอยา่ งท่ี 9 จากรูป จุด O เปน็ จุดศูนยก์ ลางของวงกลม ACˆ B เป็นมมุ ในสว่ นโค้งของวงกลมและมขี นาด
เท่ากับ 50° จงพสิ ูจนว์ า่ OAˆ B = 40°

ข้อความ เหตผุ ล

~ 17 ~

มุมในสว่ นโค้งของวงกลม

ทฤษฎบี ท ในวงกลมเดียวกัน มุมในสว่ นโค้งของวงกลมทีร่ องรบั ดว้ ยสว่ นโค้งของวงกลมที่รองรบั ด้วย
สว่ นโค้งเดียวกนั จะมีขนาดเท่ากัน

ตัวอยา่ งที่ 9 จากรูป AB// CD ABˆ C = 500 และ CAˆ D = 260 จงหาขนาดของ BAˆ C พร้อมแสดง
เหตผุ ล

ขอ้ ความ เหตุผล

~ 18 ~

ตัวอย่างที่ 10 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนยก์ ลางของวงกลม O และ BAˆ C = 280 จงหาขนาดของ

ADˆ C

………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………...

มุมและส่วนโค้งทร่ี องรบั มมุ

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรอื ในวงกลมวงเดยี วกนั ถา้ สว่ นโค้งยาวเทา่ กนั แลว้ มมุ ใน
สว่ นโคง้ ของวงกลมท่ีรองรับด้วยสว่ นโค้งน้นั จะมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบท ถ้ารปู สี่เหลยี่ มใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงขา้ มเท่ากบั สองมมุ ฉากแล้วรูปส่ีเหลี่ยม
นนั้ แนบในวงกลมได
1ˆ + 3ˆ = 1800 และ 2ˆ + 4ˆ = 1800

~ 19 ~

ตวั อยา่ งที่ 11 จากรูปทก่ี ำหนดใหต้ ่อไปนี้จงหาค่า x และ y

ข้อความ เหตผุ ล

~ 20 ~

3. คอรด์

คอร์ดและส่วนโคง้ ของวงกลม

ทฤษฎีบท ในวงกลมท่เี ทา่ กันทกุ ประการหรือในวงกลมเดียวกนั ถา้ คอร์ดสอง
คอรด์ ยาวเท่ากนั แลว้ คอร์ดทั้งสองจะตัดวงกลมทำให้ส่วนโค้งนอ้ ยยาวเท่ากัน
และส่วนโคง้ ใหญย่ าวเทา่ กนั

ทฤษฎีบท ในวงกลมทีเ่ ทา่ กันทกุ ประการหรือในวงกลมเดยี วกนั ถา้ คอร์ดสอง
คอรด์ ตดั วงกลมทำใหส้ ว่ นโค้งนอ้ ยยาวเท่ากนั แล้วคอร์ดท้ังสองนนั้ จะยาว
เทา่ กัน

คอรด์ กับจุดศนู ย์กลางของวงกลม

ทฤษฎบี ท สว่ นของเส้นตรงซ่ึงผา่ นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลมและตดั คอร์ดท่ีไม่ใช่เส้นผา่ นศูนย์กลาง จะ
มสี มบตั ดิ ังนี้

1. ถา้ ส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกบั คอร์ด แลว้ ส่วนของเสน้ ตรงน้ันจะแบง่ ครงึ่ คอร์ด
2. ถ้าส่วนของเสน้ ตรงคอร์ดแบง่ ครึง่ คอร์ด แล้วสว่ นของเส้นตรงนั้นจะต้ังฉากกบั คอรด์

~ 21 ~

คอร์ดทีย่ าวเทา่ กนั
ทฤษฎบี ท

1. ในวงกลมเดียวกนั ถา้ คอร์ดสองเส้นยาวเทา่ กัน แล้ว คอรด์ ท้ังสองนน้ั จะอยหู่ า่ งจากจุดศูนย์กลาง
ของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน

2. ในวงกลมเดียวกนั ถ้าคอร์ดสองเส้นอยู่หา่ งจากจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมเปน็ ระยะเทา่ กัน แลว้ คอร์ด
ทง้ั สองนั้นจะยาวเทา่ กนั

ตวั อยา่ งที่ 12 จากรูป จดุ O เป็นจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม AC =18 เซนตเิ มตร BC = 6 เซนติเมตร และ
OC =13 เซนติเมตร จงหาว่า AB อยู่ห่างจากจุด O ก่เี ซนตเิ มตร

……………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………….....
…………………………………………………………………………….....
…………………………………………………………………………….....
…………………………………………………………………………….....
…………………………………………………………………………….....
…………………………………………………………………………….....
…………………………………………………………………………….....
…………………………………………………………………………….....
…………………………………………………………………………….....
…………………………………………………………………………….....

4. เสน้ สัมผัสวงกลม

เสน้ สัมผสั วงกลมและรัศมี

ทฤษฎบี ท เสน้ สัมผสั วงกลม จะตงั้ ฉากกับรัศมีของวงกลมท่ีจุดสัมผสั

ทฤษฎีบท เสน้ ตรงที่ตัง้ ฉากกับรัศมีของวงกลมทจี่ ดุ จุดหนง่ึ บนวงกลม
จะเปน็ เสน้ สัมผสั วงกลมที่จดุ นั้น

~ 22 ~

ทฤษฎีบท สว่ นของเสน้ ตรงที่ลากจากจดุ ๆ หน่ึงภายนอกวงกลม
มาสัมผสั วงกลมเดียวกัน จะยาวเท่ากันและมไี ดส้ องเส้น

ตวั อยา่ งที่ 13 จากรปู AB สัมผัสวงกลม O ท่จี ดุ A และ BAˆ C = 52° จงหาขนาด AOˆ C

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
ตัวอย่างท่ี 13 กำหนดให้ จดุ O เป็นจุดศนู ย์กลางของวงกลมทมี่ รี ัศมี 8 เซนติเมตร AB สัมผสั วงกลม O ที่
จุด A และยาว 15 เซนติเมตร จดุ B อยหู่ ่างจากจดุ O กี่เซนตเิ มตร
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

~ 23 ~

เส้นสมั ผัสและคอรด์

กำหนดให้จุด O เปน็ จดุ ศนู ย์กลางของวงกลม xy สมั ผสั วงกลม O ที่จุด A

AB เปน็ คอรด์ และ ACˆ B เปน็ มุมในส่วนโคง้ ของวงกลม
จากรูป เรียก BAˆ Y ว่า ………………………............................

เรยี ก ACˆ B วา่ ………………………............................

ทฤษฎีบท มมุ ทเ่ี กิดจากคอร์ดและเสน้ สัมผสั ของวงกลมทจ่ี ุดสัมผัสจะมขี นาดเทา่ กับขนาดมุมในส่วน
โค้งของวงกลมท่ีอยูต่ รงข้ามกับคอร์ดน้นั

ตัวอย่างท่ี 13 จากรปู DE เปน็ เสน้ สมั ผสั วงกลมท่ีจุด B CBˆ E = 65° และ ABˆ D = 80° จงหาขนาด
ของ BAˆ C และขนาด ACˆ B

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

~2~