สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

1

1

สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

ในบทสมการกำลังสองตัวแปรเดียวนี้ ประกอบด้วยหัวข้อย่อยดังต่อไปน้ี 1 ช่ัวโมง
3.1 แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดยี ว 5 ชว่ั โมง
3.2 การแก้สมการกำลงั สองตัวแปรเดยี ว 6 ชั่วโมง
3.3 โจทยป์ ัญหาเกีย่ วกับสมการกำลงั สองตัวแปรเดยี ว

สาระการเรียนรู้และมาตรฐาน
สาระที่ 1 จำานวนและพชี คณิต
มาตรฐาน ค 1.3 ใชน้ ิพจน์ สมการ และอสมการ อธบิ ายความสัมพนั ธห์ รอื ชว่ ยแกป้ ัญหาที่กำาหนดให้

ตัวชี้วัด
ประยกุ ต์ใช้สมการกำลังสองตัวแปรเดยี วในการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์

จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น
นกั เรยี นสามารถ
1. แกส้ มการกำลังสองตัวแปรเดยี ว
2. นำความรเู้ กย่ี วกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียวไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา

ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์

หัวข้อ

ทักษะและ 3.1 3.2 3.3 กิจกรรม
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ แนะนำ การแก้สมการ โจทย์ปญั หา ทา้ ยบท/
สมการกำลังสอง เกยี่ วกับ แบบฝกึ หัด
การแก้ปญั หา ตัวแปรเดียว กำลงั สอง สมการกำลงั สอง ทา้ ยบท
การสื่อสารและการสอ่ื ความหมาย ตัวแปรเดียว ตวั แปรเดยี ว
ทางคณิตศาสตร์ - 
การเชอ่ื มโยง 
การให้เหตผุ ล - -
การคดิ สรา้ งสรรค์ --
- 
- - 
- -- -
-

2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
ชดุ ที่ 1

แนะนำสมการกำลังสองตวั แปรเดยี ว

3

แบบฝกึ ทักษะ

ชดุ ท่ี 1 แนะนำสมการกำลงั สองตัวแปรเดียว

สาระสำคญั

สมการกาลงั สอง หมายถึง สมการท่เี ขยี นในรปู ท่วั ไปไดเ้ ป็ น ax2 + bx + c = 0. เม่อื a, b,
c เปน็ คา่ คงตัว และ a ไมเ่ ท่ากบั 0 การแก้สมการกำลงั สอง มีข้ันตอนดังน้ี 2. ใช้สมบัตขิ องจาํ นวนจรงิ
ทวี า่ ถ้า ab = 0 จะได้ว่า a = 0 หรอื b = 0 ในการหาคําตอบ ของสมการ

จุดประสงค์การเรียนรู้

นักเรยี นสามารถ
1. อธบิ ายรปู ทั่วไปของสมการกำลังสองตวั แปรเดียว
2. เขยี นสมการกำลงั สองตวั แปรเดียวใหอ้ ยูใ่ นรูปท่วั ไป

4

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1

เรอื่ ง ทบทวนสมการกำลงั สองตวั แปรเดียว

วชิ า คณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัส ค 23101 ชว่ งช้ันท่ี 2 ชั้นปีท่ี 3

เราเคยทราบมาแล้วว่าพหุนาม เช่น 4x2, x2, x2 - 5, 3x2 + x และ x2 - 4x + 1 เปน็ พหุนามดีกรีสอง
ทมี่ ีตัวแปรเดียวคือ x พหนุ ามดังกล่าวมรี ปู ทัว่ ไปเป็น เมื่อ a, b และ c เป็นคา่ คงตัว และ a ≠ 0 เราจะได้เห็น
การนำมาใช้ในสมการกำลงั สองตัวแปรเดียวดงั น้ี

สมการซงึ่ มี x เปน็ ตัวแปรและมรี ปู ท่วั ไปเป็น ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปน็ คา่ คงตวั และ
a ≠ 0 เรยี กวา่ สมการกำลงั สองตัวแปรเดยี ว

สมการกาลังสอง หมายถงึ สมการท่ีเขยี นในรปู ท่วั ไปได้เป็ น ax2 + bx + c = 0. เม่อื a, b, c เปน็ ค่า

คงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 การแกส้ มการกำลงั สอง มีขัน้ ตอนดังน้ี 2. ใชส้ มบัตขิ องจํานวนจรงิ ทวี ่า ถา้ ab = 0

จะไดว้ า่ a = 0 หรอื b = 0 ในการหาคําตอบ ของสมการ

ตัวอย่างของสมการกาลังสองตวั แปรเดียว

1. 4x2 = 0 5. x2 + 3x − 4 = 0

2. x2 − 3 = 0 6. − 3x2 + 5x = 0

3. x2 + 4x = 0 7. y 2 − y − 2 = 0

6

4. 2x2 − 3x +1 = 0 8. 1.5m2 + 0.5m − 2 = 0

ในบางครัง้ เราอาจพบสมการกำลังสองตวั แปรเดยี วทีไ่ ม่ได้เขยี นอยใู่ นรปู ทั่วไป แตเ่ ราสามารถเขยี น

สมการเหลา่ นัน้ ให้อยู่ในรปู ท่ัวไปได้โดยใชส้ มบตั ิของการเท่ากัน ดงั ตัวอยา่ ง

1. x2 −1 = 3x -> ( บวกดว้ ย − 3x ทงั้ สองข้าง )
= 3x + (−3x)
x2 −1+ (−3x) =0
=0
จะได้ x2 + (−3x) −1
หรือ x2 − 3x −1

2. 2x(x + 5) =7 -> ( สมบัติการแจกแจง )
=7 -> (บวกด้วย -7 ทงั้ สองขา้ งของสมการ )
2x2 +10x = 7 + (−7)
=0
2x2 +10x + (−7)

จะได้ 2x2 +10x − 7

5

3. x2 + 6 = −2x2 − 5
x2 +6+2x2 = −2x2 − 5 + 2x2-> ( บวกด้วย 2x2 ท้ังสองขา้ งของสมการ )

3x2 +6 = −5
3x2 +6+5 = −5 + 5 - > ( บวกดว้ ย 5 ทง้ั สองข้างของสมการ )

3x2 +6+5 =0
จะได้ 3x2 +11 =0

จากตวั อยา่ งข้างต้นจะเห็นวา่ สมการ x2 - 1 = 3x, 2x(x + 5) = 7 และ x2 + 6 = -2x2 - 5 สามารถเขยี น

เป็นสมการ x2 - 3x - 1 = 0, 2x2 + 10x – 7 = 0 และ 3x2 + 11 = 0 ได้ตามลำดับ ดังนั้นแตล่ ะสมการ

ดังกล่าวจึงเปน็ สมการกำลังสองตวั แปรเดียว

เพ่ิมเติม่
https://www.dektalent.com/vdo/707-quadratic-equation/
https://www.dektalent.com/quiz/1106-quadratic-equation/
https://www.dektalent.com/quiz/1107-quadratic-equation/

คำชี้แจง จงแสดงการจดั สมการกาํ ลังสองต่อไปน้ีให้อยู่ในรูปท่ัวไป พร้อมท้ังบอกคา่ ของ a , b และ c

1.) x2 + 4x + 5 = 0
รูปทั่วไป คือ ............................................................................................................................. .............
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

2.) 2x2 − 2x − 7 = 0
รูปทั่วไป คือ ..........................................................................................................................................
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

3.) 7x2 + 8x + 9 = x2 − 5x −12
รปู ทวั่ ไป คอื ..........................................................................................................................................
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

4.) x2 = 25
รปู ท่ัวไป คอื ..........................................................................................................................................
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

6

5.) 4x2 − 9 = 0
รปู ทวั่ ไป คือ ............................................................................................................................. .............
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

6.) x2 + 3x = 18
รูปทวั่ ไป คือ ..........................................................................................................................................
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

7.) 2x2 − 5 = 12x2 − 6
รปู ท่ัวไป คอื ............................................................................................................................. .............
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

8.) x2 − 7x = 28
รปู ทวั่ ไป คอื ..........................................................................................................................................
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

9.) 2x − 8 = x − 2

5x − 2 x + 5

รปู ทวั่ ไป คือ ............................................................................................................................. .............
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

10.) 2x2 = 21−11x
รูปทัว่ ไป คอื ..........................................................................................................................................
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

11.) x2 + 6 = x

3

รูปทว่ั ไป คอื ..........................................................................................................................................
A = ……………………………… B = ……………………………… C = ………………………………

7 สมการกำลงั สอง
เปน็ ไมเ่ ปน็
จงพิจารณาสมการต่อไปนี้ เป็นสมการกำลงั สองตัวแปรเดยี วหรือไม่
AB C
ขอ้ สมการ

1. − z2 +15 − 4z = 0
2. 0 = 6t 2 − 5
3. 4 + 3x = 0
4. − 1 u + 7 − 3 u 2 = 0

24

5. 0 = s(s − 9)
6. m2 + 2n −1 = 0
7. 0 = x + 2x
8. 12y2 = 0
9. 3w2 + 8w − 5 − 3w2 = 0
10. 0 = 11v −12v2 +13

จงทำสมการกำลงั สองตอ่ ไปนี้ในรูปท่วั ไป พร้อมทง้ั บอกคา่ A , B และ C

ข้อ สมการกำลังสองตัวแปรเดียว รปู ท่ัวไป

1. x2 − 3x = 8
2. 2m2 − 7 = m
3. z 2 = −4
4. 0.8x −1 = 1.5x2

5. (k −1)2 = 0
6. 3z(1.2 − z) = 2.4

7. y2 + 6y = 2 − 3y2
8. (n + 4)2 = 1 + 8n
9. (m − 9)(m + 9) = 9 − m2
10. 2 − 5k = k 2

3

8

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์
ชุดที่ 2

การแกส้ มการกำลังสองตวั แปรเดยี ว

9

แบบฝกึ ทักษะ

ชดุ ท่ี 2 การแกส้ มการกำลังสองตวั แปรเดียว

สาระสำคัญ

การแกส้ มการกำลังสอง หมายถงึ การคำนวณเพื่อหาคา่ ของตวั แปร ซึ่งจะได้คา่ ตวั แปร 2 คา่ โดยค่าทั้ง
สองอาจเท่ากนั หรือไมเ่ ทา่ กนั กไ็ ด้ ค่าของตัวแปรท่ีไดบ้ างครัง้ เรียกว่า รากของสมการ หรือ คำตอบของสมการ

วิธแี ก้สมการกำลงั สอง ก่อนที่จะทำการคำนวณหาคา่ ตวั แปรของสมการกำลงั สอง ให้จดั ขวามือของ
เครอื่ งหมายเท่ากบั ให้เปน็ 0 แล้วการคำนวณจะมีได้ 3 วิธี คอื โดยวธิ ีแยกตวั ประกอบ โดยวธิ ีทำใหเ้ ปน็ กำลัง
สองสมบูรณ์ และโดยวธิ ีใชส้ ตู ร

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

นักเรียนสามารถ
1. หาคำตอบของสมการกำลังสองตัวแปรเดยี ว โดยวิธีลองแทนคา่ ตวั แปร
2. แก้สมการกำลังสองตวั แปรเดียว โดยวิธแี ยกตัวประกอบ
3. แกส้ มการกำลังสองตัวแปรเดียว โดยการใช้สูตร

10

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2

เรอ่ื ง การแก้สมการกำลงั สองตวั แปรเดียว

วิชา คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน รหสั ค 23101 ชว่ งช้นั ที่ 2 ชนั้ ปีที่ 3

หาคำตอบของสมการกำลงั สองตัวแปรเดียว โดยวธิ ลี องแทนคา่ ตวั แปร

ตัวอยา่ ง จงตรวจสอบวา่ -3 เปน็ คำตอบของสมการ x2 + 9 = 0 หรือไม่

วธิ ีทำ x2 +9 =0

(−3)2 + 9 =0

9+9 =0 ไมเ่ ปน็ จริง
18 =0

 -3 ไมเ่ ป็นคำตอบของสมการ x2 + 9 = 0

ตัวอย่าง จงตรวจสอบวา่ 1 และ -3 เป็นคำตอบของสมการ x2 − 4x + 3 = 0 หรือไม่

วธิ ีทำ x2 − 4x + 3 = 0

12 − 4(1) + 3 =0 เป็นจริง
1−4+3 =0
0 =0

(−3)2 − 4(−3) + 3 = 0
9 +12 + 3 =0
24 = 0 ไมเ่ ปน็ จรงิ

 1 เป็นคำตอบของสมการ x2 − 4x + 3 = 0 และ

-3 ไมเ่ ป็นคำตอบของสมการ x2 − 4x + 3 = 0

เพิม่ เติม
https://www.dektalent.com/vdo/708-solving-quadratic-equation/

11

ข้อที่ สมการกำลังสอง แทนคา่ (1) แทนค่า (2) คำตอบ
1. 2x2 + 6x − 20 = 0
………………………………….... …………………………………....
2. x2 +16x + 55 = 0
………………………………….... …………………………………....
3. x2 + 5x + 6 = 0
………………………………….... …………………………………....
4. x2 −14x + 45 = 0
………………………………….... …………………………………....
5. x2 − 20x + 64 = 0
………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

12

ขอ้ ท่ี สมการกำลังสอง แทนค่า (1) แทนคา่ (2) คำตอบ
6. 400 − x2 = 0
………………………………….... …………………………………....
7. x2 − 3x − 4 = 0
………………………………….... …………………………………....
8. x2 −1 = 0
………………………………….... …………………………………....
9. x2 − 400 = 0
………………………………….... …………………………………....
10. x2 − 64 = 0
………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

13

ข้อท่ี สมการกำลังสอง แทนค่า (1) แทนค่า (2) คำตอบ
11. 100 − x2 = 0
………………………………….... …………………………………....
12. 14x − x2 = 0
………………………………….... …………………………………....
13. 9 − x2 = 0
………………………………….... …………………………………....
14. x2 − 4 = 0
………………………………….... …………………………………....
15. x2 − 36 = 0
………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

14

ข้อท่ี สมการกำลังสอง แทนค่า (1) แทนคา่ (2) คำตอบ
16. x2 −12x + 20 = 0
………………………………….... …………………………………....
17. 2x2 −1 = 0
………………………………….... …………………………………....
18. 2x2 − 6 = 0
………………………………….... …………………………………....
19. − 3x2 + 39 = 0
………………………………….... …………………………………....
20. − 2x2 +100 = 0
………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

………………………………….... …………………………………....

15

แบบฝึกทกั ษะที่ 3

เรอื่ ง การแกส้ มการกำลงั สองตวั แปรเดียว

วิชา คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รหสั ค 23101 ช่วงช้ันท่ี 2 ช้นั ปีที่ 3

การแกส้ มการกำลงั สอง โดยวธิ แี ยกตวั ประกอบ

ทำไดโ้ ดยการแยกตัวประกอบ (factors) แล้วใชห้ ลกั วา่ เม่อื ผลคูณของตวั ประกอบเป็น 0 (ขวามอื ขอ

เคร่ืองหมายเท่ากับ) แสดงวา่ ตัวประกอบบางตัวเปน็ 0 หรือทกุ ตวั ประกอบเป็น 0

จงแก้สมการกำลังสองต่อไปนี้

ตวั อยา่ งท่ี 1 x2 − 4x + 3 = 0

วธิ ีทำ x2 − 4x + 3 = 0

(x − 3)(x −1) =0

x =1 และ x = 3

ตวั อยา่ งที่ 2 8x2 −2x =3
วิธีทำ
8x2 −2x −3 =0

(4x − 3)(2x +1) = 0

x = 3 และ x = − 1
4 2

ตวั อยา่ งที่ 3 12x2 + 9 = 56x
วธิ ที ำ
12x2 − 56x + 9 = 0

(6x −1)(2x − 9) = 0

x = 1 และ x = − 1
6 2

16

ตวั อยา่ งท่ี 4 y2 = 1 y +2
วธิ ีทำ 6

y2 − 1 y −2 =0 ( นำ 6 คูณทั้งสองขา้ งของสมการ )
6

6y2 − y − 12 =0

(3x + 4)(2y − 3) = 0

x = − 4 และ x = 3
32

ตัวอย่างท่ี 5 x2 + 1 x − 1 =0
วิธที ำ 12 2

12( x2 + 1 x − 1 ) = 0x12 ( นำ 12 คณู ท้ังสองขา้ งของสมการ )
12 2

12 x2 + x − 6 =0
(3x − 2)(4x + 3) = 0
2 3
x = 3 และ x = − 4

ตวั อยา่ งท่ี 6 − 6x2 +12x − 6 = 0 =0 ( นำ -6 หารท้ังสองขา้ งของสมการ )
วธิ ที ำ =0
−6(x2 − 2x +1) =0
x2 −2x +1
(x −1)(x −1)
x =1

ตวั อย่างที่ 7 1.5y2 − 7.7y + 1
วิธที ำ
1.5y2 − 7.7y + 1 = 0 ( นำ 10 คณู ทง้ั สองขา้ งของสมการ )

15y2 − 77y + 10 = 0
(15y − 2)(y − 5) = 0

y = 2 และ y =5
15

17

คำชแี้ จง จงแกสมการกำลังสองตวั แปรเดยี ว โดยการแยกตัวประกอบ

1. x2 − x − 2 = 0 2. 2x3 + 3x − 9 = 0
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………

3. x2 − 4x = 5 4. 2x2 +13x = 7
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………

5. x2 = 5x − 6 6. x(x − 3) = 4
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………

7. 6x2 + 3x = 0 8. x2 − 2x − 8 = 0
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………

9. x2 +10x + 25 = 0 10. 3 − 5x − 2x2 = 0
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………

11. x −13x + 42 = 0 12. 3x2 −14x +11 = 0
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………

13. 4x2 −11x − 3 = 0 14. 5x2 − 4x − 9 = 0
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………

18

15. 81− 9x2 = 0 16. 16x2 =169
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………

17. 25x2 − 400 = 0 18. (7x − 3)2 = 9
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………

19. 5x2 +14x − 3 = 0 20. 2x2 − 5x − 63 = 0
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………

21. x2 = x + 8 22. x2 − 8 = 14 x
3 3

= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
23. 6x2 − 29x + 28 = 0 24. 9x2 + 39x + 40 = 0
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
25. 0.9x2 + 6x +10 = 0 26. 16x2 − 8x +1 =100
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
27. 120 − x 2 = 17 x 28. 6x2 = 5.5x −1
= ………………………………………………………
2 = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ………………………………………………………
= ……………………………………………………… 30. 48 + 24x + 3x2 = 0
29. 12.1+ 2.5x2 =11x = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ……………………………………………………… = ………………………………………………………
= ………………………………………………………

19

แบบฝึกทกั ษะท่ี 4

เรื่อง การแก้สมการกำลังสองตวั แปรเดยี ว

วิชา คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน รหัส ค 23101 ช่วงช้ันที่ 2 ช้นั ปีที่ 3

แก้สมการกำลงั สองตัวแปรเดียว โดยการใช้สูตร

ในบางครั้งเพอื่ ความรวดเรว็ และสะดวก อาจจะใช้ สูตรสำเรจ็ (formula) เขา้ ช่วย ซึ่งได้มาจากการ

ใชค้ วามรเู้ กี่ยวกับกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างของกำลังสอง ซึง่ สามารถพิสจู น์ได้ ดังน้ี

หารดว้ ย a ax2 + bx + c = 0 = − c
x2 + b x a
a b2
= − c + 4a2
x2 + b x + ( b )2 a
a 2a b2
(x + b )2 = − 4ac
2a 4a2

x + b =  b2 − 4ac
2a 2a

…… . x = −b  b2 − 4ac
2a
คำตอบทไี่ ด้มี 2 คำตอบ เมื่อ b2 − 4ac  0

มี 1 คำตอบ เม่อื b2 − 4ac = 0

ไมม่ ีคำตอบ เม่อื b2 − 4ac  0

ถา้ กำหนด −b + b2 − 4ac และ −b − b2 − 4ac เทา่ กบั  และ  ตามลำดับ และ
2a 2a
เรียก  และ  เป็น รากของสมการ ( roots of equations ) จะไดว้ า่

ผลบวกของราก  +  = − b
a
c
ผลคูณของราก  = a

20

ตวั อย่างที่ 1 จงหาคา่ x จากสมการ 2x2 − 3x − 4 = 0
วิธที ำ 2x2 − 3x − 4 = 0 จะได้ a = 2,b = −3,c = −4

สูตร x = −b  b2 − 4ac
2a

x = −(−3)  (−3)2 − 4(2)(−4)
2(2)

x = 3 9 + 32 x = 3  41
4 4

ดังนน้ั x = 3 + 41 และ x = 3 − 41
44

ตวั อย่างที่ 2 จงแกส้ มการ 9x2 − 30x + 25 = 0
วิธที ำ 9x2 − 30x + 25 = 0 จะได้ a = 9,b = −30,c = 25

สตู ร x = −b  b2 − 4ac
2a

x = −(−30)  (−30)2 − 4(9)(25)
2(9)

x = 30  900 − 900 x = 30 = 5
18 18 3
ดงั นนั้ x = 5
3

ตัวอย่างท่ี 3 จงแก้สมการ x2 + 4x +13 = 0

วธิ ที ำ x2 + 4x +13 = 0 จะได้ a =1,b = 4,c =13

สตู ร x = −b  b2 − 4ac
2a

x = −(4)  (4)2 − 4(1)(13)
2(1)

x = −4  16 − 52 x = −4  −36
2 2

21

เนอื่ งจาก b2 − 4ac  0 ดงั นั้น ไม่มีจำนวนจรงิ ใดเปน็ คำตอบของสมการ

ตัวอย่างท่ี 4 จงแกส้ มการ 2x2 − 7x + 4 = 0 จงหาผลบวกและผลคณู ของคา่ x
วิธีทำ 2x2 − 7x + 4 = 0 จะได้ a = 2,b = −7,c = 4

สูตร x = −b  b2 − 4ac
2a

x = −(4)  (4)2 − 4(1)(13)
2(1)

ผลบวกของค่า x = − b = 7 ผลคณู ของค่า x = c = 4 =2
a 2 a 2

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาค่า k จากสมการ 2x2 − 7x + 3k = 0 มรี ากท่ีสองมคี า่ เทา่ กนั

วธิ ที ำ ax2 + bx + c = 0 มีรากท่ีสองเทา่ กนั เม่ือ b2 − 4ac = 0

 2x2 − 7x + 3k = 0 มรี ากท่ีสองเท่ากนั

จะได้ (−7)2 − 4(2)(3k) = 0

49 − 24k = 0

k = 49
24

ตวั อยา่ งที่ 6 ถ้า  และ  เป็นรากของสมการ 2x2 + 5x +1 = 0 จงหาคา่ ของ ( − 2)( − 2)

วธิ ที ำ 2x2 + 5x +1 = 0 มีรากเทา่ กบั  และ 

ดงั นน้ั  +  = − 5 และ  = 1
2 2

( − 2)( − 2) =  − 2 − 2 + 4

( − 2)( − 2) = 1 − 2(− 5) + 4
22
1
( − 2)( − 2) = 2 + 5 + 4

( − 2)( − 2) = 9 1
2

22

ตัวอยา่ งที่ 7 ถา้ r1 และ r2 เป็นรากของสมการ 6x2 −7x −3 =0 แลว้ คา่ k ท่ที าให้ 1 และ 1 เป็นราก
r1 r2

ของสมการ x2 + kx − 2 = 0 เป็นเทา่ ใด

วิธที ำ จากสมการ 6x2 − 7x − 3 = 0

จะได้ (3x +1)(2x − 3) = 0

x = 3 , − 1
2 3
2
ดงั นน้ั r1 และ r2 คอื 3 และ −3 เป็นรากของ x2 + kx − 2 = 0

จะได้ (3x − 2)( x + 3) = 0

3x2 +7x −6=0 นา 1 ไปคณู ทง้ั สองขา้ ง
3

x2 + 7 x −2 =0
3
7
ดงั นน้ั k = 3

เพม่ิ เติม
https://www.dektalent.com/vdo/709-solving-quadratic-equation/
https://www.dektalent.com/quiz/1108-solving-quadratic-equation/

คำช้ีแจง จงพิจารณาตอ่ ไปน้มี คี ำตอบหรอื ไม่ ถา้ มี มกี ีค่ ำตอบ

1. 2x2 −8x + 3 = 0 2. 3x2 + 7x −1 = 0

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

23

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

3. 2x2 + 2x + 7 = 0 4. 3x2 − 2x + 1 = 0
3
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

5. 1 x2 + x = 5 6. 5x2 = 2x −1

2

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

7. 4x2 − 4x − 35 = 0 8. 16x2 −8x +1= 0

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

24

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

9. 21x2 + 9x +100 = 0 10. 4x2 + 68x + 289 = 0

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

คำชแี้ จง จงแกส้ มการกำลังสองตัวแปรเดียวต่อไปน้ี

1. x2 −12x +11= 0 2. x2 − 3x −10 = 0

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

3. x2 + 4x +1 = 0 4. 3p2 + 2 = 2 p

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

25

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

5. 2m2 = 3m +14 6. 10x2 =17x − 3

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

7. 14t =1+ 49t 2 8. 3y2 = 7y −1

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

9. 7x = 2x2 + 4 10. 4 − 4y − 5y2 = 0

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

26 = …………………………………………………………..
= …………………………………………………………..
= …………………………………………………………..
= …………………………………………………………..

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์
ชดุ ที่ 3

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดยี ว

27

แบบฝึกทักษะ

ชดุ ท่ี 3 โจทยป์ ัญหาเกย่ี วกบั สมการกำลงั สองตัวแปรเดยี ว

สาระสำคัญ

โจทย์ปญั หาบางข้อ ถา้ กำหนดตวั แปรแทนสิง่ ทโ่ี จทย์กล่าวหรอื ถาม แลว้ แทนตามเง่ือนไขของโจทยจ์ ะได้
รูปสมการเม่ือทำสมการให้อยู่ในรูปงา่ ย ๆ จะไดเ้ ปน็ สมการกำลงั สอง จากนน้ั แก้สมการตามหลักการ

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นกั เรยี นสามารถ
1. เขยี นสมการกำลังสองตวั แปรเดยี วแทนโจทยป์ ัญหา
2. แกโ้ จทย์ปัญหาเกยี่ วกับสมการกำลงั สองตวั แปรเดียว พรอ้ มทัง้ ตรวจสอบคำตอบและความ
สมเหตสุ มผลของคำตอบท่ีได้

28

แบบฝกึ ทักษะที่ 5

เร่อื ง โจทย์ปัญหาเก่ยี วกบั สมการกำลังสองตัวแปรเดยี ว

วิชา คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รหสั ค 23101 ชว่ งช้ันที่ 2 ชน้ั ปที ่ี 3

โจทยป์ ัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตวั แปรเดยี ว
การแก้โจทยป์ ัญหาเก่ียวกับสมการกำลงั สองตัวแปรเดยี ว เริ่มจาก
 อ่านและวเิ คราะห์โจทย์
 กำหนดตวั แปร
 วเิ คราะห์เงื่อนไขในโจทย์และเขยี นสมการ
 แก้สมการ
 ตรวจสอบคำตอบของสมการตามเง่ือนไขในโจทย์
 แสดงคำตอบ

โจทยป์ ัญหาบางข้อ ถา้ กำหนดตัวแปรแทนสงิ่ ทโี่ จทย์กล่าวหรอื ถาม แลว้ แทนตามเงื่อนไขของโจทยจ์ ะ
ได้รปู สมการเมือ่ ทำสมการให้อยู่ในรูปงา่ ย ๆ จะไดเ้ ปน็ สมการกำลังสอง จากน้นั แก้สมการตามหลักที่ได้กลา่ ว
มาแล้ว ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตวั อย่างที่ 1 ในชว่ งเทศกาลขนึ้ ปใี หม่ นักเรยี นช้นั ม.2 ห้องหน่ึงต่างสง่ บตั รอวยพรใหแ้ ก่กันและกนั ครบทุกคน
ในห้องเรียน ปรากฏวา่ ต้องใช้บัตรอวยพรทั้งหมด 1,260 แผ่น นักเรียนในหอ้ งนี้มีทงั้ หมดกีค่ น
วธิ ีทำ ให้จำนวนนกั เรยี นในหอ้ งนี้มที ้ังหมด x คน

นกั เรียนแตล่ ะคนใช้บตั รอวยพร x −1 แผน่
จำนวนบัตรอวยพร = x(x −1) =1,260 แผ่น

x2 − x −1260 = 0
(x − 36)(x + 35) = 0

x = 36,−35
 นักเรยี นมีทั้งหมด 36 คน

29

ตวั อยา่ งที่ 2 ครใู นกลมุ่ สาระคณิตศาสตร์ของโรงเรียนแหง่ หนงึ่ ตกลงบรจิ าคเงนิ คนละเท่า ๆ กนั เพ่อื จัดตง้ั เป็น

กองทนุ การศึกษาให้ได้เงนิ จำนวน 5,160 บาท ปจั จบุ ันมคี รเู พ่ิมเข้ามาในกลุ่มสาระนี้อีก 2 คน ทำใหท้ ุกคน

บรจิ าคเงนิ ลดลงจากอัตราเดิมคนละ 215 บาท ปัจจบุ นั มคี รูในกลุ่มสาระน้ีก่คี น

วิธที ำ ให้ปัจจบุ นั มคี รู x คน

ดังนั้นเดมิ มีครู x − 2 คน

เดิมครบู ริจาคเงนิ คนละ 5160 บาท
x −2
5160
ปัจจบุ ันบรจิ าคเงนิ คนละ x บาท

ดงั นน้ั 5160 − 5160 = 215 บาท
x −2 x
5160x − 5160(x − 2) = 215x2 − 430x
x2 − 2 x − 48 =0
(x − 8)(x + 6) = 0
x = 8,−6

 ปัจจบุ นั มีครู 8 คน

ตวั อย่างที่ 3 ให้ผลคูณของจำนวนคู่จำนวนหนึ่งกับจำนวนคู่อีกจำนวนหน่ึงที่อยู่ถัดไปเป็น 168 จงหาจำนวน

คทู่ งั้ สองจำนวนนั้น

วิธีทำ ให้ x แทน จำนวนคู่ทีเ่ ป็นจำนวนท่ีนอ้ ยกว่า

ให้ x + 2 แทน จำนวนค่ทู ี่ถดั ขนึ้ ไป

เนือ่ งจากผลคูณของสองจำนวนคือ 168

จะได้สมการ x(x + 2) = 168

x2 + 2x −168 = 0
(x +14)(x −12) = 0
ดงั นน้ั x +14 = 0 หรอื x −12 = 0

จะได้ x = −14 หรอื x =12

ตรวจสอบ 1) ถา้ ให้ 12 เป็นจำนวนคูบ่ วกท่นี ้อยกวา่ จะไดจ้ ำนวนคูบ่ วกที่ถัดขนึ้ ไปเปน็

12 + 2 = 14

ผลคูณของ 12 และ 14 เปน็ 12 × 14 = 168 เปน็ จริง

2) ถ้าให้ -14 เป็นจำนวนคู่บวกทน่ี ้อยกวา่ จะได้จำนวนคูบ่ วกท่ีถัดขน้ึ ไปเป็น

(-14) + 2 = -12 ผลคณู ของ -14 และ -12 เปน็ (-14)(-12) = 168 เปน็ จรงิ

30

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาจำนวนคบ่ี วกสองจำนวนทผี่ ลบวกของกำลงั สองของแตล่ ะจำนวนมีคา่ เท่ากบั 130

วธิ ที ำ กำหนดให้จำนวนแรกเป็น x อกี จำนวนเปน็ x + 2

จะได้ x2 + ( x + 2)2 = 130

x2 + x2 + 2(2)x + 22 = 130
2x2 + 4x + 4 −130 =0
2x2 + 4x −126 =0
(x − 7)(x + 9) =0
ดังน้นั x = 7 หรอื x = −9

ตรวจสอบ 1) ถา้ x = 7 อกี จำนวนคือ 7 + 2 = 9

ผลบวกของ 72 + 92 = 49 + 81

=130 เปน็ จริง

2) x = −9 ไมใ่ ช่คำตอบทตี่ ้องการเพราะเป็นจำนวนลบ

ดงั นน้ั จำนวนคี่บวกท่ีเป็นคำตอบคือ 7 และ 9

ตัวอย่างที่ 5 ชายคนหนึ่งมอี ายุปัจจบุ ันเป็น 5 เท่าของบุตรชาย เมื่อสี่ปีทีแ่ ลว้ ผลคูณของอายุของคนทัง้ สอง

เท่ากับ 52 จงหาอายปุ ัจจบุ ันของคนทง้ั สอง

วธิ ที ำ สมมติให้ปัจจบุ นั บตุ รชายมีอายุ x ปี

จะไดว้ า่ ชายคนน้ีมีอายุ 5x ปี

เมือ่ 4 ปที ี่แลว้ บตุ รชายมอี ายุ x − 4 ปี

ชายคนนีอ้ ายุ (x − 4)(5x − 4) ปี

จะได้ (x − 4)(5x − 4) = 52

5x2 − 24x +16 = 52
5x2 − 24x +16 − 52 =0
5x2 − 24x + 36 =0
(5x + 6)(x − 6) =0
6
นนั่ คอื x = − 5 หรือ x = 6

เนื่องจากคา่ − 6 เปน็ เศษส่วนจงึ ใชไ้ ม่ได้
5
ดังนน้ั บตุ รชายต้องมีอายุ 6 ปี ชายคนน้อี ายุ 30 ปี

ตรวจสอบ เมื่อ 4 ปที ่ีแล้วบตุ รมีอายุ 2 ปี บิดามอี ายุ 26 ปี

ผลคูณ 2 × 26 = 52 เป็นจรงิ

31

ตัวอยา่ งท่ี 6 รูปสีเ่ หล่ยี มจัตรุ สั รปู หน่ึงเมอื่ เพ่มิ ความยาวของด้าน ด้านละ 4 ซ.ม. รูปส่ีเหลีย่ มจตั ุรัสรปู ใหมแ่ ละ

รปู เดิมจะมีพ้ืนทีร่ วมกนั เท่ากับ 346 ตร.ซ.ม. จงหาความยาวดา้ นของรปู เดิม

วิธที ำ สมมตใิ ห้ รปู สีเ่ หล่ยี มจตั รุ สั เดิม กวา้ ง x ซ.ม.

พนื้ ทท่ี ง้ั หมดของรปู เดิม คอื x2

พืน้ ทที่ ้ังหมดของรปู ใหม่ คือ ( x + 4)2

แต่ รูปส่ีเหลีย่ มจตั ุรัสรูปใหม่และรูปเดิมจะมพี น้ื ทรี่ วมกนั เท่ากบั 346 ตร.ซ.ม

ดังนั้นสมการ คือ x2 + ( x + 4)2 = 346

จากกำลังสมั บูรณจ์ ะได้วา่ x2 + x2 + 8x + 42 = 346

x2 + x2 + 8x +16 = 346

2x2 + 8x +16 = 346

จะได้ว่า x2 + 4x + 8 = 173 ( เอา 2 มาหาร ทั้งสองข้างสมการ )

x2 + 4x −165 = 0
(x +15)(x −11) = 0
ดงั น้ัน x = −15 หรอื x =11

ดงั น้ัน รปู ส่เี หลยี่ มจตั รุ ัสเดมิ กวา้ ง 11 ซ.ม.

เพิ่มเติม
https://www.dektalent.com/vdo/711-quadratic-equation-problems/
https://www.dektalent.com/quiz/1109-quadratic-equation-m3/
https://www.dektalent.com/quiz/1110-quadratic-equation-m3/
https://www.dektalent.com/quiz/1111-quadratic-equation-m3/
https://www.dektalent.com/quiz/1112-quadratic-equation-m3/
http://www.trueplookpanya.com/learning/detail/13183-025453

32

คำชแี้ จง จงแก้โจทย์ปัญหาเกยี่ วกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียวตอ่ ไปนี้
1. ใหผ้ ลคณู ของจำนวนคจู่ ำนวนหนงึ่ กบั จำนวนคอู่ ีกจำนวนหนึ่งทอ่ี ยู่ถดั ไปเปน็ 168 จงหาจำนวนคทู่ ้งั
สองจำนวนนน้ั
= …………………………………….................................................................…………………………………….

............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
...................................................................................... ...................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................... ..........................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
................................................................................................................................. ........................................
.......................................................................................... ...............................................................................
............................................................................................................................. ............................................
................................................................................................................................... ......................................

2. ผลบวกของสองเท่าของจำนวนจำนวนหนง่ึ กบั ครึ่งหน่ึงของจำนวนนั้น เม่ือคณู ดว้ ยจำนวนนน้ั แลว้ จะ
ได้จำนวนเทา่ เดิมจงหาจำนวนน้นั
= …………………………………….................................................................…………………………………….

............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
...................................................................................... ...................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................... ..........................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................

33

3. จำนวนจำนวนหนึง่ มากกว่า 5 ถ้ากำลงั สองของผลตา่ งของจำนวนนั้นกบั 5 เทา่ กบั สิบเท่าของผลต่าง
ของจำนวนจำนวนนน้ั กบั 5 จงหาจำนวนจำนวนน้ัน
= …………………………………….................................................................…………………………………….

............................................................................................................................. ............................................
...................................................................................... ...................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................... ..........................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
................................................................................................................................. ........................................
.......................................................................................... ...............................................................................
............................................................................................................................. ............................................
................................................................................................................................... ......................................
............................................................................................ .............................................................................

4. รปู สีเ่ หลีย่ มมมุ ฉากรูปหนง่ึ มีความยาวรอบรปู 20 เซนติเมตร มีพื้นท่ี 24 ตารางเซนตเิ มตร จงหาความ
ยาวของแต่ละดา้ นของรปู สเี่ หลยี่ มมมุ ฉาก
= …………………………………….................................................................…………………………………….

............................................................................................................................. ............................................
................................................................................................................................................................ .........
......................................................................................................................... ................................................
............................................................................................................................. ............................................
.................................................................................................................................................................. .......
............................................................................................................................. ............................................
...................................................................................... ...................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................... ..........................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
................................................................................................................................. ........................................

34

5. รูปสามเหล่ียมมมุ ฉากรปู หนึ่ง มดี า้ นตรงข้ามมุมฉากยาว 13 เซนติเมตร ความยาวของดา้ นประกอบ
มุมฉากต่างกนั 7 เซนติเมตร จงหาพืน้ ท่ีของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากรปู นี้
= …………………………………….................................................................…………………………………….

............................................................................................................................. ............................................
...................................................................................... ...................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................... ..........................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
................................................................................................................................. ........................................
.......................................................................................... ...............................................................................
............................................................................................................................. ............................................
................................................................................................................................... ......................................
............................................................................................ .............................................................................
............................................................................................................................. ............................................

1