การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง

Factorization of second degree polynomials

โรงเรยี นมอเจรญิ

สานักงานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศึกษากาแพงเพชร เขต 2
สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

~1~

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง
( Factorization of second degree Polynomials )

ในบทการใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิตนี้ ประกอบดว้ ยหวั ข้อย่อย ดงั ตอ่ ไปนี้ 1 ชัว่ โมง
5.1 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง 3 ชัว่ โมง
5.2 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว 3 ชั่วโมง
5.3 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่เป็นกำลงั สองสมบูรณ์ 2 ชัว่ โมง
5.4 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องท่ีเป็นผลต่างกำลงั สอง

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระที่ 2 จำนวนและพชี คณิต
มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวิเคราะหแ์ บบรูป ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม และนำ ไปใช้

ตวั ชี้วัด

เขา้ ใจและใชก้ ารแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

นักเรียนสามารถ
1. แยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง
2. แยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว พหุนามดีกรีสองที่เปน็ กำลงั สองสมบูรณ์และ
พหนุ ามดีกรีสองทเ่ี ป็นผลตา่ งของกำลังสอง

~2~

การแยกตวั ประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง ( 1 ชว่ั โมง )

สาระสำคญั

การเขียนพหุนามที่กำ หนดให้ให้อยูใ่ นรูปการคณู กนั ของพหุนามตง้ั แต่สองพหนุ ามขนึ้ ไป โดยทีแ่ ต่ละ
พหุนามหารพหนุ ามที่กำ หนดให้ไดล้ งตัว เรียกวา่ การแยกตัวประกอบของพหุนาม

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง
ถ้า a, b และ c แทนพหุนามใด ๆ แล้ว

ab + ac = a(b + c) หรอื ba + ca = (b + c)a
เรยี ก a วา่ ตวั ประกอบร่วมของ ab และ ac หรือตัวประกอบรว่ มของ ba และ ca

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

นกั เรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง

แหลง่ สบื ค้น / ส่ือ
https://www.youtube.com/watch?v=zTa0I3fvpl4
https://www.youtube.com/watch?v=Rs8wysLXSPQ
https://sites.google.com/site/numnungweb/kar-yaek-tawprakxb-doy-chi-smbati-kar-

caekcaeng
https://krupraiwan.wordpress.com/2012/11/02/factorise_by_commonfactor/

~3~

การแยกตัวประกอบโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง

ถา้ a , b และ c แทนจำนวนเตม็ ใด ๆ แลว้
a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca

เราอาจเขียนสมบัตกิ ารแจกแจงข้างตน้ ใหมเ่ ป็นดังน้ี
ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a

ถ้า a , b และ c เปน็ พหนุ าม เราก็สามารถใชส้ มบัติการแจกแจงขา้ งตน้ ได้ดว้ ย และเรยี ก a วา่
ตวั ประกอบร่วมของ ab และ ac หรือตวั ประกอบร่วมของ ba และ ca
พจิ ารณาวธิ ีการแยกตัวประกอบของ 15x2y – 18xy2 โดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจงดังนี้

15x2y – 18xy2 = 3( 5x2y – 6xy2 ) [ 3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18 ]
= 3x ( 5xy – 6y2 ) [ x เปน็ ตวั ประกอบร่วมของ 5x2y และ 6xy2 ]
= 3xy (5x – 6y) [ y เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy และ 6y2 ]

ดงั นั้น 15x2y – 18xy2 = 3xy (5x – 6y)

ตัวอยา่ งที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 5xy + 6x2

วิธีทำ 5xy + 6x2 = (x)(5y) + (x)(6x)

= x(5y + 6x)

ดังนั้น 5xy + 6x2 = x(5y + 6x)

ขอ้ สังเกต x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy และ 6x2 ดงึ x ทเ่ี ปน็ ตัวประกอบรว่ มออกมา

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 12y2z + 20yz

วิธีทำ 12y2z + 20yz = (4yz)(3y) + (4yz)(5)

= 4yz(3y + 5)

ดงั นัน้ 12y2z + 20yz = 4yz(3y + 5)

ข้อสังเกต 4yz เป็นตวั ประกอบรว่ มของ 12y2z และ 20yz ดึง 4yz ที่เปน็ ตัวประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 16x3y3 – 24x4y

วธิ ที ำ 16x3y3 – 24x4y = (8x3y)(2y2) – (8x3y)(3x)

= 8x3y (2y2 – 3x)

ดงั นั้น 16x3y3 – 24x4y = 8x3y (2y2 – 3x)

ขอ้ สังเกต 8x3y เป็นตัวประกอบรว่ มของ 16x3y3 และ 24x4y ดึง 8x3y ทเี่ ปน็ ตัวประกอบรว่ ม

ออกมา

~4~

ข้อควรระวัง
1. ตัวประกอบรว่ มทีน่ ำออกมานอกวงเล็บ
2. ตอ้ งเปน็ ตัวประกอบร่วมท่ีมากทสี่ ดุ
3. ถ้ายงั มตี วั ประกอบเหลืออย่ตู อ้ งนำออกมาให้หมด
4. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามท่มี หี ลายพจน์อาจต้องใชส้ มบตั ิการสลับท่ี และสมบัติการ

เปล่ียนหม่ปู ระกอบด้วย นอกจากจะใช้สมบัตกิ ารแจกแจงแลว้ ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปน้ี

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ ab -2ac + bc -2c2
วธิ ีทำ ab -2ac + bc -2c2 = (ab – 2ac) + (bc – 2c2)
= a(b – 2c) + c(b – 2c)
= (b – 2c)(a + c)
ดงั น้นั ab -2ac + bc -2c2 = (b – 2c)(a + c)

ข้อสงั เกต 1. a , c เปน็ ตัวประกอบร่วม
2. (b – 2c) เปน็ ตัวประกอบรว่ ม

ตัวอย่างท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2
วิธที ำ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = 5x2z – 3x2+ 5yz – 3y
= (5x2z – 3x2) + (5yz – 3y)
= x2 (5z – 3) + y(5z – 3)
= (5z – 3)( x2 + y)
ดังนั้น 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = (5z – 3) (x2+ y)

ขอ้ สังเกต 1. x2 , y เป็นตัวประกอบร่วม
2. 5z – 3 เปน็ ตัวประกอบร่วม

ตัวอยา่ งที่ 6 จงแยกตวั ประกอบของ mr2 – 3mp + 15np – 5nr2
วิธที ำ mr2 – 3mp + 15np – 5nr2 = mr2– 3mp – 5nr2+ 15np
= (mr2– 3mp) – [(5n)r2– (3)(5n)p]
= m(r2 – 3p) – 5n(r2 – 3p)
= (r2 – 3p)(m – 5n)
ดังนนั้ mr2 – 3mp + 15np – 5nr2 = (r2 – 3p)(m – 5n)

ข้อสังเกต 1. m , 5n เปน็ ตวั ประกอบรว่ ม
2. (r2 – 3p) เป็นตวั ประกอบร่วม

~5~

แบบฝกึ ทกั ษะ

จดุ ประสงค์
สามารถแยกตัวประกอบชองพหนุ ามโดยใชส้ มบัติการแจกแจงได้

คำชีแ้ จง :

1. จงแยกตัวประกอบชองพหนุ ามโดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง

1.) 10x + 4 = ……………….………….…………… = ……………….………….……………
= ……………….………….……………
2.) 7x – 14 = ……………….………….…………… = ……………….………….……………
= ……………….………….……………
3.) -9x + 3 = ……………….………….…………… = ……………….………….……………
= ……………….………….……………
4.) -8 – 12x = ……………….………….…………… = ……………….………….……………
= ……………….………….……………
5.) 14y + 26z = ……………….………….…………… = ……………….………….……………
= ……………….………….……………
6.) x2 + 13x = ……………….………….…………… = ……………….………….……………
= ……………….………….……………
7.) 3z2 – 2z = ……………….………….…………… = ……………….………….……………
= ……………….………….……………
8.) 5y2 – 20y = ……………….………….…………… = ……………….………….……………
= ……………….………….……………
9.) 12xz – 16z = ……………….………….…………… = ……………….………….……………
= ……………….………….……………
10.) 33y2 – 11yz = ……………….………….…………… = ……………….………….……………
= ……………….………….……………
11.) 15x2y + 5x = ……………….………….……………

12.) 6xy – 8xy2 = ……………….………….……………

13.) x3 + x = ……………….………….……………

14.) y3 + 4y = ……………….………….……………

15.) 9y2z2 – 6yz = ……………….………….……………

16.) 21x3y2 – 28x2y3 = ……………….………….……………

17.) -7x2z3 + 63xz5 = ……………….………….……………

18.) 24x4z2 + 18x3z3 = ……………….………….……………

19.) 30x2y3 + 36x3y2 – 6x3y3 = ……………….………….……………

20.) 24xz2 – 27x2z3 + 9x3z4 = ……………….………….……………

~6~

2. จงแยกตวั ประกอบชองพหนุ ามโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง

1.) m(n + 3) + 5(n + 3) = ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

2.) (x + y)z – (x + y) = ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

3.) 4t(a + b) – s(a + b) = ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

4.) (4y2 + 3)y + 6(4y2 + 3) = ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

5.) a(b – 3c) + x(b – 3c) = ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

6.) ax + by + bx + ay = ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

7.) 5a – 10x + ab – 2bx = ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

8.) na + 3b + nb + 3a = ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

9.) xy – st – xt + sy = ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

~7~

10.) n2m + n2p – 8m – 8p = ……………….………….……………………………………
11.) ab2 – cb2 – 6a + 6c = ……………….………….……………………………………
12.) 2x3 – x + 14x2 – 7 = ……………….………….……………………………………
13.) a2– 2b – 5a3 + 10ab
14.) x3 – x3z + y2z – y2 = ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………
= ……………….………….……………………………………

~8~

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว ( 3 ชว่ั โมง )

สาระสำคญั

พหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดยี วคือ พหุนามทเ่ี ขียนได้ในรปู ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นคา่ คงตัว ท่ี
a ≠ 0 และ x เปน็ ตวั แปร

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องในรปู ax2 + bx + c
เมือ่ a, b, c เปน็ จำนวนเตม็ และ a ≠ 0, c ≠ 0 ทำ ได้โดย

1. หาพหุนามดกี รีหนึง่ สองพหนุ ามท่คี ูณกันแล้วได้พจนห์ น้าคอื ax2
2. หาจำ นวนเต็มสองจำ นวนทค่ี ณู กันแล้วได้พจน์หลงั คือ c
3. นำ ผลท่ีไดใ้ นข้อ 1.) และ 2.) มาหาพจนก์ ลางทีละกรณี จนกวา่ จะไดพ้ จน์กลางเปน็ bx
ตามทต่ี ้องการ

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดยี วทมี่ สี ัมประสทิ ธข์ิ องแต่ละพจนเ์ ป็น
จำนวนเตม็ และมสี ัมประสทิ ธิ์ของแตล่ ะพจน์ในพหนุ ามตวั ประกอบเป็นจำนวนเตม็

แหลง่ สบื คน้ / สื่อ
https://www.youtube.com/watch?v=H_yni1HLH1s
https://www.youtube.com/watch?v=v6MZMp6xpQw

~9~

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตัวแปรเดียว ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a = 1 , b และ

c เป็นจำนวนเตม็ c ≠ 0 ในกรณีท่ี a = 1 และ c ≠ 0 พหุนำมดีกรีสองตัวแปรเดยี วจะอยูใ่ นรูป ax2 + bx + c

สามารถแยกตัวประกอบพหุนำมในรปู น้ไี ด้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหนุ าม ดงั ตวั อย่างต่อไปน้ี

จากการหาผลคูณ (x + 2)(x + 3) ดงั กล่าว จะได้ขนั้ ตอนการแยกตัวประกอบของ x2 + 5x + 6

โดยทำข้ันตอนย้อนกลับ ดงั น้ี

x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3) [2 + 3 = 5 และ (2) x (3) = 6]

= x2 + (2x + 3x) + (2)(3)

= (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)]

= (x + 2)x + (x +2)(3)

= (x + 2)(x + 3)

นน่ั คอื x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

x2 - x - 20 = x2 + (-1)x + (-2)

= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)] [4 + (-5) = -1 และ (4) x (-5) = -20]

= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)]

= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

= (x + 4)x + (x + 4)(-5)

= (x + 5) [x + (-5)]

= (x + 4)(x – 5)

นน่ั คอื x2 - x - 20 = (x + 4)(x – 5)

ในกรณีท่ัวไป เราสามารถแยกตวั ประกอบพหนุ ามดกี รีสองในรปู x2 + bx + c เม่อื b , c เปน็ จำนวน
เตม็ และ c ≠ 0 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเตม็ สองจำนวนที่คณู กนั ไดเ้ ท่ากบั พจน์ท่เี ปน็ คา่ คงตัว คือ c
และบวกกนั ได้ เท่ากบั สัมประสิทธขิ์ อง x คือ b ถา้ ให้ m และ n เปน็ จำนวนเต็มสองจำนวน ซ่ึง mn
= c และ m + n = b

จะไดว้ า่ x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

~ 10 ~

แบบฝึกทักษะ

จดุ ประสงค์
นักเรยี นสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดยี วที่มีสมั ประสทิ ธ์ขิ องแต่ละพจนเ์ ปน็

จำนวนเต็ม และมสี มั ประสทิ ธ์ิของแต่ละพจนใ์ นพหุนามตัวประกอบเป็นจำนวนเต็ม

คำชแ้ี จง :

จาก x2 + bx + 16 จงพิจารณา m, n ท่เี ปน็ จำานวนเตม็ โดยท่ี mn = 16 และ m + n = b
ไดด้ งั ตารางตอ่ ไปนี

m n mn = 16 b=m+n

16 1 (16)(1) = 16 17 = 16 + 1

~ 11 ~

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 10x + 21
วธิ ีทำ เนื่องจาก (-3)(-7) = 21
และ (-3) + (-7) = -10
ดังนั้น x2 – 10x + 21 = (x - 3)(x – 7)
ตอบ x2 – 10x + 21 = (x - 3)(x – 7)

ตัวอย่างท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 5x – 6
วธิ ีทำ เนอื่ งจาก (-1)(6) = -6
และ (-1) + (6) = 5
ดังนน้ั x2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)
ตอบ x2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)

ตัวอยา่ งที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 2x - 24
วธิ ีทำ เนื่องจาก (4)(-6) = -24
และ (4) + (-6) = -2
ดังน้ัน x2 – 2x - 24 = (x + 4)(x – 6)
ตอบ x2 – 2x - 24 = (x + 4)(x – 6)

ตวั อย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x + 1
วธิ ีทำ เนอ่ื งจาก (1)(1) = 1
และ (1) + (1) = 2
ดงั นัน้ x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1)
ตอบ x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1)

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 9
วิธีทำ เน่ืองจาก (-3)(3) = -9
และ (-3) + (3) = 0
ดงั น้นั x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
ตอบ x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

~ 12 ~

แบบฝึกทกั ษะ

จดุ ประสงค์
นักเรียนสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดยี วทม่ี ีสัมประสทิ ธขิ์ องแต่ละพจน์เปน็

จำนวนเต็ม และมสี ัมประสิทธ์ิของแต่ละพจน์ในพหนุ ามตัวประกอบเปน็ จำนวนเต็ม

คำช้แี จง : จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปนี้

พิจารณา (x + 3)(x + 4) = ……………………………… พิจารณา x2 + 7x + 12 = ………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

พิจารณา (x + 2)(x – 3) = ……………………………… พิจารณา x2 – x – 6 = ………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

x2 + 10x + 21 = …………..……………………………… x2 – 13x + 22 = …………………………..………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

x2 – 25 = ……………………………………………………… x2 – 4x + 3 = ……………….………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

– 2y + y2 = ………………………………………………….. n2 + 15n + 14 = …………………………………………..
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

~ 13 ~

y2 – 81 = ……………………………………………………… a2 + 11a + 18 = …………………………………………..
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

a2 + 11a + 18 = ………………………………………….. 56 + 15a + a2 = …………………………………………..
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

t2 – 11t + 30 = …………………………………………….. m2 – 22m + 121 = ……………………………………….
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

s2 + 12s – 189 = ………………………………………….. x2 – 28x + 195 = …………………………………………..
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

225 + 34t + t2 = ………………………………………….. y2 – 2y – 323 = …………………………………………..
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

x2 + 37x + 232 = …………………………………………. m2 – 19m – 372 = ………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

~ 14 ~

x2 + 37x + 232 = …………………………………………. m2 – 19m – 372 = ………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

สำหรับพหุนามดีกรีสอง เชน่ x2 + 3x + 1 เนอ่ื งจากไม่มีจำนวนเตม็ สองจำนวนท่คี ูณกันได้ 1 และ
บวกกันได้ 3 ดังน้นั เราจึงไมส่ ามารถเขยี นพหุนาม x2 + 3x + 1 ใหอ้ ยูใ่ นรูปการคณู ของพหนุ ามดีกรหี น่ึงท่ีมี
สัมประสทิ ธเิ์ ป็นจำนวนเตม็ นั่นคือ เราไมส่ ามารถแยกตวั ประกอบของ x2 + 3x + 1 ได้

โดยท่ัวไปแล้ว ในการแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 + bx + c เม่ือ b , c เปน็ จำนวนเต็ม และ c≠0
ถา้ เราไม่สามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกนั ไดเ้ ท่ากับ c และบวกกันได้เท่ากับ b เรากไ็ มส่ ามารถ
แยกตัวประกอบของ x2 + bx + c ออกเป็นตวั ประกอบที่เปน็ พหุนามดีกรีหนึ่งซึ่งมีสมั ประสทิ ธิเ์ ป็นจำนวนเตม็

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดียว
ในรปู ax2 + bx + c เมอื่ a , b และ c เปน็ จำนวนเต็ม และ a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0

เพื่อความสะดวกในการหาข้อสรุปของวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เราจะเรียก
ax2 วา่ พจนห์ น้า เรยี ก bx วา่ พจนก์ ลาง และเรยี ก c ว่า พจนห์ ลัง

พิจารณาการคูณพหนุ ามดกี รีหนง่ึ ตอ่ ไปน้โี ดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง

(2x – 3)(3x + 1) = (2x – 3)(3x) + (2x – 3)(1)
= (6x2 – 9x) + (2x – 3)
= 6x2 + (-9x + 2x) – 3
= 6x2 – 7x – 3

ดังน้ัน ในการแยกตวั ประกอบของ 6x2 – 7x – 3 จะทำดงั น้ี

1. หาพหุนามดกี รีหนึง่ สองพหุนามทค่ี ูณกนั แลว้ ได้พจน์หน้าคือ 6x2 ซง่ึ อำจเปน็ 2x กับ 3x หรอื
x กบั 6x เขยี นสองพหนุ ามนัน้ เป็นพจนห์ น้าของพหุนามในวงเลบ็ สองวงเลบ็ ดังนี้

(2x) (3x) หรือ (x) (6x)

~ 15 ~

2. หาจำนวนสองจำนวนทค่ี ูณกันแล้วได้พจนห์ ลงั คือ -3 ซึ่งอาจเปน็ 3 กับ -1 หรอื -3 กบั 1

แล้วเขยี น จำนวนท้ังสองนเ้ี ป็นพจน์หลังของพหุนามในแตล่ ะวงเลบ็ ทีไ่ ด้ในข้อ 1. ซง่ึ ทำใหเ้ กดิ กรณีทต่ี ้อง

พิจารณา 8 กรณี ดงั น้ี

1.) (2x + 3)(3x – 1) 2.) (2x - 1)(3x + 3)

3.) (2x - 3)(3x + 1) 4.) (2x + 1)(3x – 3)

5.) (x + 3)(6x – 1) 6.) (x - 1)(6x + 3)

7.) (x + 3)(6x + 1) 8.) (x + 1)(6x – 3)

3. นำผลที่ไดใ้ นข้อ 2 มาหาพจน์กลางเป็น -7x ดังนี้ 9x + (-2x) = 7x
3.1 9x [ (3)(3x) ] (-3x) + 6x = 3x
(2x + 3)(3x – 1) ได้พจน์กลางเป็น (-9x) + 2x = -7x
-2x [ (2x)(-1) ]
3.2 -3x [ (-1)(3x) ]
(2x - 1)(3x + 3) ได้พจน์กลางเปน็
6x [ (2x)(3) ]
3.3 -9x [ (-3)(3x) ]
(2x - 3)(3x + 1) ได้พจน์กลางเป็น
2x [ (2x)(1) ]

จะเห็นว่าเมือ่ ถึงกรณที ่ี 3) จะได้พจน์กลางของพหุนามทเี่ ป็นผลคณู เทา่ กบั -7x
ดงั นั้นไมต่ ้องพิจารณากรณีอ่ืน ๆ อีก น่นั คอื แยกตวั ประกอบของพหนุ าม 6x2 – 7x – 3

ไดด้ งั น้ี 6x2– 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1)

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงแยกตัวประกอบของ 8x2 – 26x + 15
วิธที ำ เน่อื งจาก (2x)(4x) = 8x2
และ (-5)(-3) = 15
(2x)(-3) + (-5)(4x) = -6X + (-20x)
= -26x
ดังนั้น 8x2 – 26x + 15 = (2x - 5)(4x - 3)

~ 16 ~

ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 + 13x + 10

วธิ ที ำ เนื่องจาก (4x)(x) = 4x2

และ (5)(2) = 10

(4x)(2) + (5)(x) = 8X + 5x

= 13x

ดงั นนั้ 4x2 + 13x + 10 = (4x + 5)(x + 2)

ตวั อย่างท่ี 8 จงแยกตวั ประกอบของ 12x2 + 5x - 2
วธิ ที ำ เนือ่ งจาก (4x)(3x) = 12x2
และ (2)(-1) = -2
(4x)(2) + (-1)(3x) = 8x + (-3x)
= 5x
ดงั น้ัน 12x2 + 5x - 2 = (4x - 1)(3x + 2)

ตวั อยา่ งที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ 6x2 - 10x - 4

วิธีทำ เนอื่ งจาก 6x2 - 10x - 4 = 2(3x2 – 5x – 2)

พิจารณา 3x2 – 5x – 2

เนอ่ื งจาก (3x)(x) = 3x2

และ (-2)(1) = -2

(3x)(-2) + (1)(x) = -6x + x

= -5x

น่ันคอื 3x2 – 5x – 2 = (3x + 1)(x - 2)

ดังนนั้ 6x2 - 10x - 4 = 2(3x2 – 5x – 2)

= 2(3X + 1)(x – 2)

~ 17 ~

แบบฝึกทกั ษะ

จดุ ประสงค์
นักเรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียวท่ีมีสัมประสิทธิข์ องแต่ละพจนเ์ ปน็

จำนวนเตม็ และมสี ัมประสิทธิ์ของแตล่ ะพจน์ในพหนุ ามตวั ประกอบเปน็ จำนวนเต็ม

คำช้ีแจง : จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี
6x2+ x – 2 = ………………………………………………. 8x2 – 26x + 15 = …………………………………………

= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

12x2 -5x – 2 = …………………………………………….. 8x2 + 26x + 20 = …………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

–3x2 + 6x + 9 = ………………………………………….. 6m2 – 4m = ………...........................…………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

6a2 + 17a + 12 = …………………………................. 4x2 + 16x – 9 = …………………………...................
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

~ 18 ~

10 – 19x – 15x2 = …………………………................. 6b2 – 38b + 56 = ……………………………..............
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

7a2 + 49a + 84 = …………………………................. 4z2 – 28z + 49 = ………………………….................
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

3x2 – 40x + 117 = ……………………………............. –10x2 + 81x – 45 = ……………………...…..............
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

13y2 + 69 y – 54 = …………………………..............
= ……………………………………………………………
= ……………………………………………………………
= ……………………………………………………………
= ……………………………………………………………

~ 19 ~

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองที่เปน็ กำลงั สองสมบูรณ์ ( 3 ชว่ั โมง )

สาระสำคัญ

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องทเ่ี ป็นกำ ลงั สองสมบรู ณท์ ำ ไดโ้ ดยใช้สตู ร ดงั น้ี

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 – 2AB + B2 = (A – B)2

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองทเี่ ปน็ กำลังสองสมบรู ณแ์ ละเขยี นอยใู่ นรูป
A2 + 2AB + B2 หรือ A2 – 2AB + B2 เมื่อ A และ B เป็นพหุนาม

แหล่งสืบคน้ / สื่อ
https://www.youtube.com/watch?v=LX9gG3I4Pjc
https://www.youtube.com/watch?v=8FueZV7UEgU
https://www.youtube.com/watch?v=E6oHW_aaKj0
https://www.youtube.com/watch?v=nMCpotr0vp0
https://www.youtube.com/watch?v=4F-tcSuOPqc
https://www.youtube.com/watch?v=EYA1S1OUA-U

~ 20 ~

พจิ ารณา x2 + 8x + 16 = (x)(x) + (4x + 4x) + (4)(4)
= (x + 4)(x + 4)
= (x + 4)2

x2– 4x + 4 = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………..
= …………………………………………………………..

4x2 + 4x + 1 = …………………………………………………………..
= …………………………………………………………..
= …………………………………………………………..

9x2 – 24x + 16 = …………………………………………………………..
= …………………………………………………………..
= …………………………………………………………..

พหุนามดีกรสี องทเ่ี ปน็ กำลังสองสมบูรณ์ คือพหนุ ามทส่ี ามารถเขยี นได้ ในรปู กำลังสองของพหุนาม

ดีกรหี น่ีงมลี ักษณะพเิ ศษท่สี งั เกตเห็นได้ ดงั นี้

x2 + 8x + 16 = x2 + 2(4)x + 42

= (x + 4)2

x2– 4x + 4 = ……………………………………………………………

= …………………………………………………………..

4x2 + 4x + 1 = …………………………………………………………..

= …………………………………………………………..

9x2 – 24x + 16 = …………………………………………………………..

= …………………………………………………………..

ในกรณีทว่ั ไป ถ้าให้ A แทนพจนห์ นา้ และ B แทนพจน์หลงั จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี
สองท่ีเปน็ กำลังสองสมบรู ณไ์ ด้ตามสตู ร ดังน้ี

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)2

~ 21 ~

แบบฝึกทักษะ

จดุ ประสงค์
นักเรยี นสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณแ์ ละเขยี นอยใู่ นรปู

A2 + 2AB + B2 หรอื A2 – 2AB + B2 เมือ่ A และ B เป็นพหุนาม

คำชี้แจง : จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้

x2 + 28x + 196 = …………………………................. x2 – 30x + 225 = ………………………….................
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

16x2 – 24x + 9 = ……………………………............... x2 + 34x + 289 = ……………………………................
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

x2 – 36x + 324 = ……………………………............... x2 – 52x + 676 = ……………………………...............
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

16x2 + 56x + 49 = ……………………………............. 49x2 + 42x + 9 = ……………………………...............
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

49y2 – 70y + 25 = ………….............………………… 225x2 – 360x + 144 = ……………......………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………
= …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

~ 22 ~ [ A = (x + 3) ]

พจิ ารณา
(x + 3)2 + 18(x + 3) + 81 = A2 + 18A + 81
= A2 + 2(A)(9) + 92
= (A + 9)2 แต่ A = (x + 3)
= ((x + 3) + 9)2
= (x + 3 + 9)2
= (x + 11)2
ดงั นั้น (x + 3)2 + 18(x + 3) + 81 = (x + 11)2

9x2 – 6(x2 – 2x) + (x – 2) 2 = 9x2 – 6x(x – 2) + (x – 2) 2 [ A = (x - 2) ]
= (-3)2x2 + 2(-3x)A + A2
= (-3x)2 + 2(-3x)A + A2
= (-3x + A)2
= (-3x + (x – 2))2
= (-3x + x – 2)2
= (-2x – 2)2

ดังนั้น 9x2 – 6(x2 – 2x) + (x – 2) 2 = (-2x – 2)2

~ 23 ~

แบบฝึกทกั ษะ

จดุ ประสงค์
นักเรยี นสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองทเ่ี ป็นกำลังสองสมบรู ณแ์ ละเขียนอยูใ่ นรปู

A2 + 2AB + B2 หรอื A2 – 2AB + B2 เมือ่ A และ B เป็นพหนุ าม

คำชแี้ จง : จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

(4x – 5)2 – 26(4x – 5) + 169 = ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….

36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81 = ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….

~ 24 ~

49x2 + 14(x2 – x) + (x – 1)2 = ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….

(x + 2)2 – 18(x2 + 2x) + 81x2 = ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….
= ………………………………………………………………….

~ 25 ~

การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องท่เี ป็นผลต่างกำลงั สอง ( 2 ชั่วโมง )

สาระสำคัญ

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องท่ีเป็นผลต่างของกำลังสองทำไดโ้ ดยใช้สูตร

ดังนี้

A2 – B2 = (A + B)(A – B)

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

นักเรียนสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลงั สองซึ่งเขียนอยู่ในรปู
A2 – B2 เมื่อ A และ B เป็นพหุนาม

แหล่งสบื ค้น / ส่ือ
https://www.youtube.com/watch?v=ZSaRXAeZ1fQ
https://www.youtube.com/watch?v=FMi3cwYwp4Q
https://sites.google.com/site/ubol24sites/kar-yaek-tawprakxb-phhu-nam-dikri-sxng-thi-

pen-phl-tang-kalang-sxng

~ 26 ~

พจิ ารณา (x + 4)(x - 4) = (x + 4)x - (x + 4)4
= (x2 + 4x) – (4x + 16)
= x2 + 4x – 4x – 16
= x2 – 16
= x2 – 42

ดังน้นั (x + 4)(x - 4) = x2 – 16 หรอื x2 – 42

(5x + 6)(5x – 6) = (5x + 6)5x – (5x + 6)6
= (25x2 + 30x) – (30x + 36)
= 25x2 + 30x – 30x – 36
= 25x2 – 36
= (5x)2 – 62

ดงั นนั้ (5x + 6)(5x – 6) = 25x2 – 36 หรอื (5x)2 – 62

พหุนามดีกรสี องทเี่ ป็นผลต่างของกำลังสอง คือ พหุนามที่แยกตัวประกอบไดเ้ ปน็ พหนุ ามดกี รหี น่ึงท่มี ี
พจนเ์ หมอื นกนั แต่มีเคร่ืองหมายระหว่างพจน์ตา่ งกนั

ในกรณที ัว่ ไป ถ้า ให้ A แทนพจนห์ น้า และ B แทนพจน์หลงั

A2 – B2 = (A + B)(A – B)

ตวั อย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 121
วิธีทำ x2 – 121 = x2 – 112
ดงั นัน้ x2 – 121 = (x + 11)(x – 11)

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 49x2 – 196
วิธที ำ 49x2 – 196 = (7x)2 – 142
= (7x + 14)(7x – 14)
= [7x + (7)(2)][7x – (7)(2)]
= 7(x + 2)(7)(x – 2)
ดังนัน้ 49x2 – 196 = 49(x + 2)(x – 2)

~ 27 ~

แบบฝกึ ทกั ษะ

จดุ ประสงค์
นักเรียนสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องที่เป็นผลต่างของกำลงั สองซึง่ เขียนอยใู่ นรูป

A2 – B2 เมอ่ื A และ B เปน็ พหุนาม

คำช้แี จง : จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้

x2– 100 = ………………………..............…................. (y + 5) 2 – 49 = ………...………………….................

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

9x2 – 121 = ……………………….............................. 4x2 – (x – 4)2 = ……………………….......................

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

(2x – 7)2 – (x + 4)2 = ……………………….............. 36(x – 1)2 – 9(x + 1)2 = ……………....………….....

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

16 – x2 = ……………....………….............................. 9x2 – 1 = ……………....…………..............................

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

16x2 – 169 = ……………………….........…................. 1 – 289x2 = ………..........………………….................

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

529x2 – 625 = ……………………............................ 25 – (y + 1) 2 = ……….........................................

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

4x2 – (x – 2)2 = ………….........…………….............. (2x + 3)2 – 25x2 = ……..........………....………….....

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

(3x + 2)2 – (x – 1)2 = ……………....…………......... 144x2 – (2x – 3)2 = …………….............................

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

~ 28 ~

พจิ ารณาการแยกตัวประกอบของ (x2 + 6x + 9) – 25x2
วิธที ำ (x2 + 6x + 9) – 25x2 = (x2 + (2)(3)x + 32) – (5x)2

= (x + 3)2 – (5x)2
= [(x + 3) + (5x)][(x + 3) – (5x)]
= [x + 3 + 5x][x + 3 – 5x]
= [ 3 + 6x][3 – 4x]
ตอบ (x2 + 6x + 9) – 25x2 = (3 + 6x)(3 – 4x)

พิจารณาการแยกตวั ประกอบของ 196k2 – (9k2 – 12k + 4)
วธิ ีทำ 196k2 – (9k2 – 12k + 4) = (14k)2 – ((3k)2 – (4)(3k) + 22)

= (14k)2 – ((3k)2 – (4)(3k) + 22)
= (14k)2 – ((3k)2 – (2)(2)(3k) + 22)
= (14k)2 – ((3k) – 2)2
= [(14k) + ((3k) – 2)][(14k) – ((3k) – 2)]
= [14k + 3k – 2][14k – 3k + 2]
= [17k – 2][11k + 2]
ตอบ 196k2 – (9k2 – 12k + 4) = [17k – 2][11k + 2]

~ 29 ~

แบบฝกึ ทกั ษะ

จดุ ประสงค์
นกั เรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเป็นผลต่างของกำลังสองซ่ึงเขยี นอยูใ่ นรูป

A2 – B2 เมอื่ A และ B เป็นพหนุ าม

คำช้แี จง : จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปนี้

4a2 – (a2 +22a + 121) 900a2 – 16(a2 + 40a + 400)
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

(x2 + 36x + 324) – (9x2 – 90x + 225) 16x2 – 81y2
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………
= ……………....…………………………………… = ……………....……………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์
มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2