ความเท่ากันทุกประการ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์

ความเท่ากนั ทุกประการ

Equality in all respects

โรงเรยี นมอเจรญิ

สานักงานเขตพนื้ ที่การศกึ ษาประถมศึกษากาแพงเพชร เขต 2
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร

~1~

ความเท่ากันทุกประการ ( equality in all respects )

ในบทความเท่ากันทุกประการนี้ ประกอบด้วยหัวข้อย่อย ดงั ตอ่ ไปนี้ 1 ชว่ั โมง
2.1 ความเท่ากนั ทกุ ประการของรูปเรขาคณติ 1 ชัว่ โมง
2.2 ความเท่ากนั ทุกประการของรปู สามเหล่ยี ม 2 ชว่ั โมง
2.3 รูปสามเหลย่ี มสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน – มุม – ด้าน 2 ช่วั โมง
2.4 รปู สามเหล่ียมสองรปู ทสี่ ัมพันธ์กนั แบบ มุม – ดา้ น – มุม 2 ชวั่ โมง
2.5 รปู สามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธก์ ันแบบ ดา้ น – ดา้ น – ดา้ น 1 ชั่วโมง
2.6 รูปสามเหลย่ี มสองรปู ทส่ี ัมพันธ์กันแบบ มุม – มุม – ด้าน 2 ชั่วโมง
2.7 รปู สามเหล่ียมสองรูปท่ีสัมพันธ์กนั แบบ ฉาก – ด้าน – ดา้ น 3 ช่วั โมง
2.8 การนำไปใช้

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระท่ี 2 การวัดและเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวเิ คราะหร์ ปู เรขาคณติ สมบัติของรปู เรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหวา่ งรูป
เรขาคณติ และทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนำไปใช้

ตัวชีว้ ัด

เขา้ ใจและใชส้ มบตั ขิ องรูปสามเหลย่ี มทเี่ ท่ากนั ทุกประการในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตรแ์ ละปญั หาใน
ชวี ิตจริง

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

นักเรยี นสามารถ
1. บอกสมบัติของความเท่ากันทกุ ประการของรปู เรขาคณิต
2. บอกไดว้ ่ารูปสามเหล่ียมสองรูปท่สี มั พันธ์กนั แบบ ดา้ น – มมุ – ด้าน , มุม – ด้าน – มุม ,
ดา้ น – ด้าน – ด้าน , มมุ – มุม – ด้าน และ ฉาก – ด้าน – ด้าน เท่ากนั ทกุ ประการ
3. นำสมบตั ิของความเท่ากันทกุ ประการของรปู สามเหลีย่ มสองรปู ท่สี ัมพนั ธ์กันแบบต่าง ๆ ไปใช้
อ้างองิ ในการใหเ้ หตุผล และการแกป้ ัญหา

~2~

ความเทา่ กันทกุ ประการของรูปเรขาคณิต ( 1 ชว่ั โมง )

สาระสำคัญ

 รปู เรขาคณิตสองรปู เท่ากนั ทุกประการ ก็ต่อเม่ือ เคล่ือนท่รี ูปหน่งึ ไปทับอีกรูปหน่งึ ได้สนทิ
 สว่ นของเสน้ ตรงสองเส้นเท่ากนั ทุกประการ กต็ ่อเม่ือ ส่วนของเส้นตรงท้ังเสน้ นั้นยาวเท่ากนั
 มุมสองมุมเทา่ กันทกุ ประการ กต็ อ่ เม่ือ มุมทง้ั สองน้ันมีขนาดเท่ากัน
 รูปสามเหล่ียมสองรูปเทา่ กันทกุ ประการ กต็ ่อเม่ือ ด้านคู่ท่ีสมนัยกันและมมุ คูท่ ี่สมนยั กันของรปู
สามเหลย่ี มทงั้ สองรูปนั้น มขี นาดเทา่ กันเปน็ คู่ ๆ

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

นกั เรียนสามารถ
1. บอกเงอื่ นไขทีท่ ำให้รูปเรขาคณติ สองรูปเท่ากันทุกประการ
2. บอกสมบตั ิของความเท่ากันทุกประการ

แหล่งสืบค้น / ส่ือ
https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21094
https://www.youtube.com/watch?time_continue=8&v=c1YzVVt2BJI&feature=emb_logo

~3~
ความเทา่ กนั ทกุ ประการของรูปเรขาคณิต เกิดจาก การสะท้อน การเลื่อนขนาน และการหมนุ ซึ่งเป็น
ตวั อยา่ งของการเคล่ือนทร่ี ูปเรขาคณิตซ่ึงเป็นการแปลงตำแหน่งของรูปเรขาคณติ บนระนาบโดยทรี่ ะยะระหวา่ ง
จดุ สองจดุ ใด ๆของรปู นน้ั ไมเ่ ปล่ยี นแปลง หมายความถงึ ว่า รปู รา่ งและขนาดของรูปเรขาคณติ ทีเ่ คล่อื นทีน่ น้ั ไม่
เปลย่ี นแปลง
ความเทา่ กันทกุ ประการของรปู เรขาคณติ พิจารณารปู ต่อไปนี้

ถา้ เรากำหนดให้ A เป็นรูปต้นแบบ และ A เกดิ การแปลงไปเป็นรูป B C และ D ซ่ึงเกดิ จากการ
“เคล่ือนท่”ี รูป A ดังน้ี

รปู B เกิดจากการสะท้อนท่ีแกน Y
รูป D เกดิ จากการเลอื่ นขนานไปตามแกน Y
รูป C เกิดจากการหมุนรปู A ไป 180° รอบจดุ O
การเคล่ือนที่รปู เรขาคณติ จากการแปลงดังกล่าวข้างตน้ เปน็ ตวั อย่างหนง่ึ ของการเปลย่ี นตำแหน่งของ
รปู เรขาคณติ บนระนาบ โดยที่ระยะระหวา่ งจุดสองจุดใด ๆ ของรปู น้ันไมเ่ ปล่ยี นแปลง
แสดงว่ารปู ร่างและขนาดของรูปเรขาคณติ ทเ่ี คล่ือนท่ีนน้ั ไม่เปล่ียนแปลง และถา้ เราเคล่อื นรูป A B C
และ D มาทบั กนั รูปท้งั หมดก็สามารถทับกันไดส้ นิท เราถอื วา่ รปู ทง้ั หมดน้ันเทา่ กันทุกประการ
บทนยิ าม
“รปู เรขาคณติ สองรปู เทา่ กันทุกประการก็ต่อเมื่อเคลื่อนทร่ี ปู หน่งึ ไปทบั อีกรูปหนงึ่ ได้สนทิ ”

เม่ือรูปเรขาคณติ A และรปู เรขาคณติ B เท่ากันทุกประการ จะเขียนวา่ รูป A  รปู B

~4~

ซ่ีงอ่านว่า รูป A เท่ากนั ทกุ ประการกบั รูป B หรือ รูป A และรูป B เท่ากันทกุ ประการ
การตรวจสอบวา่ รปู เรขาคณิตสองรปู ใดเท่ากนั ทุกประการหรอื ไม่อาจทำไดโ้ ดยใช้กระดาษลอกลาย
ลอกรปู หนึ่งแล้วยกไปทับอกี รูปหน่ึงถา้ ทบั กันไดส้ นทิ แสดงว่ารปู เรขาคณิตเท่ากนั ทกุ ประการ

ความเท่ากันทุกประการของสว่ นของเสน้ ตรง
สว่ นของเส้นตรงสองเสน้ เทา่ กันทกุ ประการก็ตอ่ เมื่อสว่ นของเส้นตรงทัง้ สองน้นั ยาวเท่ากัน

จากรปู AB เท่ากนั ทุกประการกบั CD แตเ่ วลาเขียนเปน็ สัญลกั ษณ์ไมน่ ยิ มเขยี นว่า AB = CD จะเขยี น
เพียง AB = CD เทา่ น้นั

ความเท่ากันทกุ ประการของมุม
มมุ สองมุมเทา่ กันทุกประการก็ตอ่ เมื่อมุมทั้งสองมุมนน้ั มขี นาดเท่ากัน

จากรูป ถ้า   แลว้   และการเขียนสญั ลักษณ์แทนการเท่ากนั ทกุ

ABC = DEF ABC = DEF

ประการของมุมจะเขยี นเพียง   เท่านัน้

ABC = DEF

ขอ้ สังเกต

1. เสน้ ตรงสองเส้นตดั กันจะเกดิ มุมท่เี ท่ากันทกุ ประการ 2 คเู่ รยี กวา่ “มุมตรงขา้ ม”

~5~

2. ถา้ กำหนดใหร้ ูป A = B และรูป B = C แลว้ จะไดว้ ่ารูป A = รปู C
3. รูปสเ่ี หล่ยี มผนื ผ้าทม่ี พี นื้ ท่ีเทา่ กัน อาจจะไมเ่ ทา่ กันทุกประการ เชน่ รูปทั้งสองมี พน้ื ท่ี 18 ตาราง
หน่วย รูปแรกอาจจะมขี นาด 2×9 ตารางหนว่ ยและรูปที่ 2 อาจจะมขี นาด 3 X 6 ตารางหนว่ ยเป็นต้น
4. รปู สามเหล่ียมสองรูปทม่ี ีมุมเท่ากัน 3 คูอ่ าจจะไมเ่ ทา่ กนั ทุกประการ เชน่

5. วงกลม 2 วงท่ีมรี ศั มยี าวเท่ากนั จะเท่ากันทุกประการ
6. รังสี 2 เส้นใด ๆ จะเทา่ กันทกุ ประการ
7. รปู สีเ่ หล่ียมจตั ุรัส 2 รปู ทมี่ พี ้นื ทเี่ ท่ากันจะเท่ากันทุกประการ

~6~

แบบฝกึ ทักษะ

จุดประสงค์ บอกไดว้ ่ารูปเรขาคณติ สองรูปเท่ากันทุกประการ
1. จงหาว่ารูปเรขาคณติ ใดบ้างที่เท่ากนั ทุกประการ ( ใช้กระดาษลอกลายลอกรูปแล้วนำไปวางซ้อนกนั )

1.1)

ตอบ ............................................................................................................................. ..................
............................................................................................................................. ..................

1.2)

ตอบ ...............................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..................

1.3)

ตอบ ............................................................................................................................. ..................
......................................................................................... ......................................................

~7~
1.4)

ตอบ ............................................................................................................................. ..................
............................................................................................................................................ ...

1.5)

ตอบ ...............................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..................

~8~

ความเท่ากันทุกประการของรปู สามเหลีย่ ม ( 1 ช่วั โมง )

สาระสำคัญ

 รปู เรขาคณิตสองรปู เท่ากันทุกประการ กต็ ่อเมื่อ เคล่ือนทรี่ ปู หน่งึ ไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนทิ
 ส่วนของเสน้ ตรงสองเสน้ เท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเสน้ ตรงท้ังเสน้ นั้นยาวเท่ากัน
 มมุ สองมมุ เทา่ กนั ทุกประการ กต็ ่อเมื่อ มุมทงั้ สองน้ันมขี นาดเทา่ กัน
 รูปสามเหลีย่ มสองรปู เท่ากันทกุ ประการ ก็ต่อเม่ือ ดา้ นคู่ท่สี มนยั กันและมมุ คทู่ สี่ มนัยกันของรปู
สามเหลีย่ มท้ังสองรูปนนั้ มขี นาดเท่ากนั เปน็ คู่ ๆ

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

นักเรยี นสามารถ
1. บอกไดว้ า่ รปู สามเหลีย่ มสองรปู เทา่ กันทุกประการ ก็ต่อเม่ือ ด้านคู่ทส่ี มนัยกันและมุมคูท่ ี่สมนยั กัน
ของรปู สามเหลี่ยมท้ังสองรปู น้ัน มขี นาดเท่ากันเปน็ คู่ ๆ
2. บอกดา้ นคู่ท่ียาวเทา่ กนั และมุมคทู่ ่ีมีขนาดเท่ากันของรปู สามเหลี่ยมสองรปู ท่เี ท่ากนั ทุกประการ

แหลง่ สบื คน้ / ส่ือ
https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21096
https://www.youtube.com/watch?v=oFEdjzQiZEg

~9~

ความเท่ากันทกุ ประการของรูปสามเหล่ียม
รปู สามเหลยี่ มสองรูปเท่ากันทุกประการ กต็ อ่ เมื่อ ดา้ นคู่ท่ีสมนยั กนั และมุมคทู่ ีส่ มนยั กนั ของรปู

สามเหลย่ี มทง้ั สองรปู นัน้ มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ
รูป  ABC  รปู  DEF ดงั รปู

ดงั นั้นจะกล่าวไดว้ ่า AB สมนยั กับ DE

BC สมนัยกับ EF

CA สมนัยกับ FD

และทำนองเดยี วกนั ดังนัน้ จะกล่าวไดว้ ่า  สมนยั กับ 

A D

 สมนยั กับ 

B E

 สมนยั กับ 

B F

ในการเขียนสญั ลักษณ์แทนรูปสามเหล่ียมสองรปู ท่ีเท่ากนั ทุกประการ มักนยิ มเขยี นตวั อักษรเรียน

ตามลำดบั ของมุมและด้านทส่ี มนยั กนั เช่น  ABC   DEF หรือ  CAB   FDE

ตัวอย่าง

จะกล่าวไดว้ ่า MO สมนัยกับ NO
ดา้ นคู่ทส่ี มนยั กนั
PO สมนัยกับ PO
มุมคทู่ สี่ มนับกัน
PM สมนยั กบั PN

 สมนัยกบั 

PMO PNO

 สมนัยกบั 

POM PON

 สมนัยกบั 

MPO NPO

~ 10 ~

แบบฝึกทกั ษะ

จงเติมขอความลงในชองวางใหถกู ตอง กาํ หนด  ABC ≅  EDC
1.
จดุ A สมนัยกบั _______________
2.
จุด B สมนัยกบั _______________

AC สมนัยกบั _______________

 สมนยั กบั _______________

ABC

กาํ หนด  PQR ≅  PSR

จุด Q สมนยั กบั _______________

PQ สมนัยกับ _______________

QR สมนยั กับ _______________

 สมนยั กับ _______________

RPQ

 สมนยั กับ _______________

PQR

3. DO = _______________

AD = _______________
OA = _______________

 = _______________

ADO

 = _______________

DOA

กําหนด  OAD ≅  OBC  = _______________

OAD

4. กาํ หนด  ก ≅  ข

 = _______________ องศา

a

 = _______________ องศา

b

x = _______________ ซม.

5.  = _______________ องศา

a

 = _______________ องศา

b

x = _______________ ซม.

กาํ หนด  ก ≅  ข y = _______________ ซม.
z = _______________ ซม.

~ 11 ~

รปู สามเหล่ยี มสองรูปทสี่ ัมพนั ธ์กันแบบ ดา้ น – มมุ – ด้าน ( 2 ชว่ั โมง )

สาระสำคัญ

ถา้ รปู สามเหล่ยี มสองรปู มคี วามสมั พนั ธแ์ บบ ดา้ น – มุม – ดา้ น ( ด.ม.ด. ) กล่าวคอื มีดา้ นยาวเท่ากนั
สองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเทา่ กนั มีขนาดเทา่ กนั แล้วรปู สามเหล่ียมสองรปู นนั้ เท่ากนั ทุกประการ

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

นกั เรียนสามารถ
1. บอกไดว้ า่ รูปสามเหล่ยี มสองรปู ท่สี มั พันธก์ ันแบบ ด้าน – มมุ – ดา้ น เทา่ กนั ทกุ ประการ
2. นำสมบัติของความเทา่ กันทกุ ประการของรูปสามเหลยี่ มสองรูปทส่ี ัมพนั ธ์กนั แบบ ด้าน – มมุ –
ดา้ น ไปใช้อ้างองิ ในการให้เหตผุ ล

แหล่งสืบคน้ / สื่อ
https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21097

~ 12 ~

รปู สามเหลยี่ มทสี่ มั พันธกนั แบบ ดาน – มมุ – ดาน ( ด.ม.ด. )

“มุมอยูระหวางดานสองคูทย่ี าวเทากัน แลว รปู สามเหล่ยี มสองรูปน้นั จะยาวเทากันทุกประการ”

จากรปู AB = DE ( ดาน )

 =  ( มมุ )

BAC EDF

AC = DF ( ดาน )

ดังนน้ั  ABC ≅  DEF เพราะมคี วามสัมพันธกันแบบ ด.ม.ด.

ตัวอยางที่ 1. กาํ หนดให  =  และ BC = BD จงใหเหตผุ ลวาเพราะเหตใุ ด AC และ AD

ABC ABD

จงึ ยาวเทากัน

พิจารณารูปสามเหล่ยี ม ABC และรูปสามเหล่ยี ม ABD

ข้อความ เหตผุ ล

1. CB = BD ( โจทยกําหนดให )

2.  =  ( โจทยกาํ หนดให )

ABC ABD

3. AB = AB ( AB เปนดานรวม )

4.  ABC ≅  ABD ( ความสัมพันธดาน – มุม –ดาน )

5. AC = AD ( คุณสมบตั ิการเทากันทุกประการ )

~ 13 ~

ตวั อยางท่ี 2. กําหนดให AO = BO และ CO = DO จงอธบิ ายวา เพราะเหตุใดรูปสามเหลยี่ ม AOC
และรปู สามเหลย่ี ม BOD จึงเทากนั ทุกประการ

ข้อความ เหตุผล
( โจทยกําหนดให )
1. AO = BO ( เสนตรงสองเสนตัดกนั ขนาดของมุมตรงขามเทากนั )

2.  =  ( โจทยกําหนดให )
( ความสัมพันธดาน – มุม –ดาน )
AOC BOD

3. CO = DO

4.  AOC ≅  BOD

~ 14 ~

แบบฝึกทกั ษะ

จดุ ประสงค์ ระบุได้วา่ รูปสามเหล่ียมสองรูปทส่ี ัมพนั ธ์กนั แบบ ดา้ น – มมุ – ดา้ น เท่ากันทุกประการ
คำช้ีแจง ให้นกั เรียนพจิ ารณา ว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปในข้อใดที่สมั พันธ์กันแบบ ด้าน – มมุ – ดา้ น
1.)

ตอบ ..................................................................
2.)

ตอบ ..................................................................
3.)

ตอบ ..................................................................
4.)

ตอบ ..................................................................
5.)

ตอบ ..................................................................
6.

ตอบ ..................................................................

~ 15 ~
7.

ตอบ ..................................................................
8.

ตอบ ..................................................................
9.

ตอบ ..................................................................
10.

ตอบ ..................................................................
11.

ตอบ ..................................................................

~ 16 ~

แบบฝกึ ทกั ษะ

จดุ ประสงค์ นำสมบัติของความเทา่ กันทกุ ประการของรูปสามเหลีย่ มสองรปู ท่ีสมั พนั ธ์กนั แบบ
ด้าน – มุม – ด้าน ไปใชอ้ ้างอิงในการพิสจู น์

1. จากรปู จงพิสูจนว์ ่า AOB  DOC

วิธีทำ จากรปู กำหนดให้ 1. AO = DO

2. AOB = …………………………………..…..

3. BO = …………………………………..…………

ต้องการพสิ จู นว์ ่า AOB  …………………….………

พสิ ูจน์ 1. AO = DO ( กำหนดให้ )

2. AOB = …………………………………..….. ( ....................................................................... )

3. BO = …………………………………..………… ( ....................................................................... )

4 . AOB  ………………………….….……… ( มคี วามสมั พันธ์แบบ

…………………………………. )

2. ABCD เปน็ รปู ส่ีเหล่ียม มี AB = CD และ ABD = CDB จงพิสูจนว์ ่า ABD  CDB

วิธที ำ จากรูป กำหนดให้ 1. AB = ...................................................
2. .............................. = .............................

ต้องการพสิ จู น์วา่ .
พิสูจน์ 1. AB = ...................................................... ( กำหนดให้ )

2. ............................. = ............................. ( .......................................................... )
3. ............................. = ............................. ( เป็นด้านร่วม )
4. .................................................................. ( มีความสัมพนั ธ์แบบ .......................... )

~ 17 ~

3. จากรปู กำหนดให้ AD = BC และ BAD = ABC จงพสิ ูจนว์ า่ ABD = BAC

วธิ ที ำ จากรปู กำหนดให้ 1. ................................................... = ....................................................
2. ................................................... = ...................................................

ต้องการพสิ จู นว์ ่า
พิสจู น์ 1. ............................. = ............................. ( .......................................................... )

2. ............................. = ............................. ( .......................................................... )
3. ............................. = ............................. ( .......................................................... )
4 . .................................................................. ( มคี วามสัมพันธ์แบบ .......................... )
5. .................................................................... ( .......................................................... )

~ 18 ~

แบบฝึกทกั ษะ

จุดประสงค์ นำสมบตั ขิ องความเท่ากนั ทกุ ประการของรปู สามเหล่ียมสองรูปทสี่ มั พันธ์กนั แบบ
ด้าน – มุม – ดา้ น ไปใชอ้ ้างอิงในการพิสจู น์

1. กําหนดให AD = CB และ  =  จงพสิ ูจนวาเพราะเหตุใด สามเหล่ยี ม ADB จงึ เทากนั ทุก

ADB CBD

ประการกบั สามเหลยี่ ม CBD

ข้อความ เหตผุ ล

2. กาํ หนดให AB = BC และ  =  จงพิสจู นวา DC = DA

ABD CBD

ขอ้ ความ เหตผุ ล

~ 19 ~

3. กําหนดให AC = DE , CB = EB ,  =  จงพสิ ูจนวา  = 

ACB DEB BAC BDE

ข้อความ เหตุผล

4. กําหนดใหเสนทแยงมุม MO และ NP ของรูปส่เี หลี่ยม MNOP แบงคร่งึ ซ่ึงกนั และกันท่จี ุด Q จงพสิ ูจนวา
รปู ส่ีเหล่ยี ม MNOP เปนรปู สีเ่ หลย่ี มดานขนาน

ข้อความ เหตุผล

~ 20 ~

รูปสามเหลยี่ มสองรูปท่สี ัมพันธ์กันแบบ มมุ – ด้าน – มุม ( 2 ชวั่ โมง )

สาระสำคัญ

ถา้ รปู สามเหล่ียมสองรูปมคี วามสมั พันธ์แบบ มุม – ดา้ น – มมุ ( ม.ด.ม .) กลา่ วคือ มีมมุ ทีม่ ีขนาด
เทา่ กันสองคู่ และด้านซ่ึงเป็นแขนร่วมของมมุ ทง้ั สองยาวเท่ากัน แล้วรูปสามเหลยี่ มสองรูปนัน้ เทา่ กันทุก
ประการ

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นกั เรียนสามารถ
1. บอกได้วา่ รูปสามเหล่ยี มสองรูปท่ีสัมพันธก์ ันแบบ มุม – ด้าน – มมุ เท่ากันทกุ ประการ
2. นำสมบัติของความเทา่ กันทุกประการของรปู สามเหลี่ยมสองรปู ท่สี ัมพนั ธก์ ันแบบ มุม – ด้าน – มุม
ไปใชอ้ า้ งองิ ในการให้เหตุผล

แหลง่ สบื คน้ / สื่อ
https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21099
https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21100

~ 21 ~

รูปสามเหล่ยี มท่สี มั พันธกันแบบ มุม – ดาน – มมุ ( ม.ด.ม. )

“ ดานอยตู รงกลางระหวางสองมุมคูท่ีเทากนั แลว สามเหล่ยี มสองรูปเทากันทุกประการ ”

จากรูป  =  ( มมุ )

ABC PQR

MO = QR ( ดาน )

 =  ( มุม )

BCA QRP

ดังนน้ั  ABC ≅  PQR ( ความสมั พันธ มุม – ดาน – มุม )

ตัวอยางที่ 1. กาํ หนดให BC = DC ,  =  และ  = 

ABC EDC BCA DCE

จงอธบิ ายวาเพราะเหตใุ ด CA = CE

1.  =  ( โจทยกาํ หนดให )
( โจทยกาํ หนดให )
ABC EDC
( โจทยกาํ หนดให )
2. BC = DC ( ความสมั พนั ธ มุม – ดาน – มมุ )
( สามเหลย่ี มสองรปู เทากันทุกประการ )
3.  = 

BCA DCE

4.  ABC ≅  EDC

5. ∴ CA = CE

~ 22 ~

ตัวอยางที่ 2. กาํ หนดให AB = AC และ  = 

ABE ACD

จงอธบิ ายวาเพราะเหตุใด BE = CD และ  = 

BEA CDA

พิจารณารปู สามเหล่ยี ม ABE และรปู สามเหลย่ี ม ACD

1.  =  ( โจทยกาํ หนดให )
( โจทยกาํ หนดให )
ABE ACD

2. AB = AC

3.  =  ( เปนมมุ รวม )

BAE CAD

4.  ABE ≅  ACD ( ความสัมพนั ธ มุม–ดาน-มุม )

5. ∴ BE = CD ( สามเหล่ียมสองรูปเทากนั ทกุ ประการ )

6.  =  ( สามเหลี่ยมสองรปู เทากนั ทกุ ประการ )

BEA CDA

~ 23 ~

แบบฝึกทกั ษะ

1. ขอ้ ใดท่ีรปู สามเหลี่ยมสองรปู มคี วามสัมพันธแบบ มมุ – ดาน – มุม ( ม.ด.ม. )
1.1
ตอบ ...............................................

1.2
ตอบ ...............................................

1.3
ตอบ ...............................................

1.4
ตอบ ...............................................

1.5
ตอบ ...............................................

1.6
ตอบ ...............................................

~ 24 ~

แบบฝกึ ทักษะ

จดุ ประสงค์ นำสมบตั ิของความเท่ากนั ทุกประการของรปู สามเหล่ียมสองรูปทสี่ มั พนั ธก์ ันแบบ มุม – ด้าน –
มุม ไปใช้อา้ งองิ ในการพิสูจน์
1. จากรูป กำหนดให้ BAC = DCA และ BCA = DAC จงพิสูจนว์ า่ ABC  CDA

วธิ ีทำ จากรูป กำหนดให้ 1. BAC = DCA

2. BCA = ............................

ตอ้ งการพสิ จู น์วา่ ABC  ............................

พิสจู น์ 1. BAC = DCA ( กำหนดให้ )

2. ....................... = ......................... ( เป็นด้านรว่ ม )

3. BCA = ............................ ( …………………………………………………. )

4. ABC  ............................ ( มคี วามสัมพันธ์แบบ ……………………. )

2. จากรูปกำหนดให้ PQR มี PQ = PR และ PQT = PRS จงพสิ ูจนว์ ่า PQT = PRS

วิธีทำ จากรูป กำหนดให้ 1. ....................... = .........................
2. ....................... = .........................

ต้องการพสิ จู นว์ า่ ..........................................................
พิสจู น์ 1. ....................... = ......................... ( .................................................................... )

2. ....................... = ......................... ( .................................................................... )
3. ....................... = ......................... ( .................................................................... )
4. .......................................................... ( มคี วามสมั พันธแ์ บบ ................................... )

~ 25 ~
3. จากรูป กำหนดให้ AD ตดั กับ CB ทจ่ี ุด O จงพิสูจนว์ า่ ABO = CDO

วิธที ำ จากรูป กำหนดให้ 1. ....................... = .........................

2. ....................... = .........................

ต้องการพิสจู นว์ ่า

พสิ ูจน์ 1. ....................... = ......................... ( .................................................................... )

2. ....................... = ......................... ( .................................................................... )

3. ....................... = ......................... ( .................................................................... )

4. .......................................................... ( มคี วามสัมพนั ธแ์ บบ ................................... )

5. ....................... = ......................... ( .................................................................... )

4. กําหนดให  =  และ  =  จงอธิบายวาเพราะเหตุใด สามเหลยี่ ม ABD เทากนั ทุก

CAB DAB ABC ABD

ประการกับสามเหล่ยี ม CBD

พสิ จู น์ เหตผุ ล

~ 26 ~

5. กําหนดให AO = BO และ  =  จงอธิบายวา เพราะเหตุใด DA = CB

DAO CBO

พสิ ูจน์ เหตุผล

6. กาํ หนดให  =  ,  =  และ BD= AC จงอธิบายวา เพราะเหตุใด DA = CB

BAD BAC BDA ACB

พสิ ูจน์ เหตุผล

~ 27 ~

7. กาํ หนดใหรูปสเี่ หลยี่ ม ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผนื ผา และ  =  จงอธบิ ายวาเพราะเหตุใด

DAE BCF

สามเหล่ยี ม EDA จึงเทากันทุกประการกับสามเหลีย่ ม FBC

พิสูจน์ เหตุผล

8. กําหนดให OP แบงครงึ่  และ  =  จงอธบิ ายวาเพราะเหตใุ ด PR = PQ

ROQ OPR OPQ

พิสจู น์ เหตผุ ล

~ 28 ~

รูปสามเหลยี่ มสองรูปทส่ี ัมพนั ธ์กนั แบบ ดา้ น – ด้าน – ด้าน ( 2 ชวั่ โมง )

สาระสำคญั

ถา้ รูปสามเหล่ียมสองรปู มคี วามสัมพนั ธแ์ บบ ดา้ น – ด้าน – ดา้ น (ด. ด. ด.) กล่าวคือ มดี ้านยาวเท่ากัน
สามคู่ แลว้ รูปสามเหล่ียมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

จุดประสงค์การเรียนรู้

นกั เรียนสามารถ
1. บอกได้วา่ รปู สามเหลยี่ มสองรปู ที่สัมพันธก์ ันแบบ ด้าน – ดา้ น – ดา้ น เท่ากันทุกประการ
2. นำสมบัติของความเท่ากันทกุ ประการของรูปสามเหล่ียมสองรูปทส่ี มั พนั ธก์ นั แบบ ด้าน – ดา้ น –
ด้าน ไปใช้อา้ งอิงในการให้เหตุผล

แหล่งสืบคน้ / สื่อ
https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21101

~ 29 ~

รูปสามเหลีย่ มทสี่ มั พนั ธกนั แบบ ดาน – ดาน - ดาน ( ด.ด.ด. )

“ดานยาวเทากันสามคู ดานตอดานแลวรูปสามเหล่ียมสอง รปู น้เี ทากนั ทุกประการ”

จากรูป AB = DE ; BC = EF ; CA = FD
∴  ABC ≅  DEF เพราะ มคี วามสมั พันธกนั แบบ ดาน – ดาน - ดาน ( ด.ด.ด. )
ตัวอยางที่ 1. กําหนดให MO = MP และ NO = NP จงอธิบายวาเพราะเหตุใด รูปสามเหล่ยี ม MNO
และ รปู สามเหล่ียม MNP จึงเทากันทุกประการ

วิธที ำ 1. MO = MP ( โจทยกาํ หนดให )

2. NO = NP ( โจทยกาํ หนดให )

3. MN = MN ( ดานรวม )

4.  MNO ≅  MNP ( ความสมั พนั ธ ดาน – ดาน - ดาน )

~ 30 ~

ตัวอยางท่ี 2. กําหนดให DF = EG และ EF = DG จงอธิบายวา เพราะเหตุใด  = 

DFE EGD

วิธที ำ 1. DF = EG ( โจทยกําหนดให )
2. EF = DG ( โจทยกําหนดให )
3. DE = DE ( ดานรวม )
( ความสมั พนั ธ ดาน – ดาน - ดาน )
4.  MNO ≅  MNP
( สามเหล่ียมสองรูปเทากันทุกประการ )
5.  = 

DFE EGD

แบบฝกึ ทักษะ

จดุ ประสงค์ นำสมบตั ิของความเทา่ กันทุกประการของรูปสามเหลย่ี มสองรปู ท่สี มั พันธ์กนั แบบ ด้าน – ด้าน –
ด้าน ไปใช้อ้างองิ ในการพสิ ูจน์
1. ขอใดท่ีรปู สามเหลย่ี มสองรปู มีความสมั พนั ธแบบ ดาน - ดาน - ดาน

1.1

ตอบ ................................................................

1.2
ตอบ ................................................................

1.3
ตอบ ................................................................

~ 31 ~
1.4

ตอบ ................................................................
1.5

ตอบ ................................................................

1.6
ตอบ ................................................................

2. กําหนดให MO = NO และ MP = NP จงอธิบายวาเพราะเหตุใด

(1.)  MOP ≅  NOP (2.) OP ⊥ MN ทจ่ี ดุ P

~ 32 ~

3. กําหนดให ABCD เปนรปู ส่เี หล่ียมผนื ผา จงอธิบายวาเพราะเหตุใด  = 

ADB CBD

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

4 กําหนดให ABC เปนสามเหลี่ยมหนาจัว และ AD = AE , BD = CE

จงใหเหตุผลวา เพราะอะไร  = 

ADB AEC

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

~ 33 ~

5. กําหนดให DB = CA และ AD = BC จงอธบิ ายวา เพราะเหตุใด  = 

BAD ABC

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

~ 34 ~

แบบฝกึ ทักษะ

1. ส่เี หล่ียม ABCD มี AB = CD , BC = DA จงพิสูจนว์ ่า  DAC   BCA

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

2. สีเ่ หลีย่ ม PQRS มี PQ = PS และ QR = SR จงพิสูจน์วา่ PQR = SPR
.……………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………

~ 35 ~

รปู สามเหลยี่ มสองรูปที่สัมพนั ธ์กนั แบบ มมุ – มุม – ดา้ น ( 1 ชว่ั โมง )

สาระสำคัญ

ถา้ รปู สามเหล่ียมสองรูปมีความสมั พนั ธแ์ บบ มุม - มมุ - ด้าน ( ม. ม. ด. ) กล่าวคอื มีมุมท่ีมขี นาด
เทา่ กนั สองคแู่ ละดา้ นคู่ทอ่ี ย่ตู รงขา้ มกับมมุ คทู่ ี่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหนึง่ คู่ แลว้ รปู สามเหลยี่ มสองรูปน้ัน
เท่ากันทุกประการ

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

นกั เรยี นสามารถ
1. บอกไดว้ ่ารปู สามเหล่ยี มสองรูปท่ีสัมพนั ธ์กนั แบบ มมุ – มุม – ดา้ น เทา่ กันทกุ ประการ
2. นำสมบตั ขิ องความเทา่ กนั ทกุ ประการของรปู สามเหล่ยี มสองรปู ที่สมั พนั ธ์กนั แบบ มุม – มุม – ด้าน
ไปใช้อ้างองิ ในการให้เหตุผล

แหล่งสืบค้น / สื่อ
https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21102

~ 36 ~

แบบฝึกทกั ษะ

จุดประสงค์ นำสมบัตขิ องความเท่ากันทกุ ประการของรปู สามเหลีย่ มสองรูปทีส่ ัมพนั ธก์ นั แบบ มุม – มมุ –
ดา้ น ไปใชอ้ า้ งอิงในการพสิ จู น์
1. จากรูป จงพสิ ูจนว์ ่า AB = DE

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

2. รปู สีเ่ หล่ียม ABCD รูปส่ีเหลี่ยมใดๆ จงพสิ ูจน์ว่า ACD = ACB
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

~ 37 ~

รูปสามเหลย่ี มสองรูปทีส่ ัมพันธ์กันแบบ ฉาก – ด้าน – ด้าน ( 2 ชั่วโมง )

สาระสำคัญ

ถา้ รปู สามเหล่ยี มท่ีสัมพนั ธ์กนั แบบ ฉาก – ด้าน – ดา้ น ( เขียนแทนด้วย ฉ.ด.ด. ) กลา่ วคอื สามเหลย่ี ม
ท้ังสองเป็นสามเหลีย่ มมุมฉากซง่ึ มีดา้ นประกอบมมุ ฉากยาวเทา่ กนั และด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเทา่ กนั หน่ึงคู่
แลว้ รูปสามเหล่ียมสองรูปนั้นเทา่ กนั ทุกประการ

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

นกั เรียนสามารถ
1. บอกได้ว่ารปู สามเหลี่ยมสองรูปทส่ี มั พันธก์ นั แบบ ฉาก – ด้าน – ด้าน เทา่ กันทุกประการ
2. นำสมบัตขิ องความเทา่ กันทกุ ประการของรูปสามเหลีย่ มสองรปู ที่สมั พนั ธ์กนั แบบ ฉาก – ดา้ น –
ดา้ น ไปใชอ้ า้ งอิงในการใหเ้ หตุผล

แหล่งสบื คน้ / สื่อ
https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21103

~ 38 ~

รูปสามเหลีย่ มท่สี มั พันธกนั แบบ ฉาก - ดาน – ดาน ( ฉ.ด.ด )

“มดี านตรงขามมุมฉากยาวเทากันและมดี านประกอบมุมฉากยาวเทากนั หนง่ึ คู รูปสามเหลี่ยมทั้งสอง
จะเทากนั ทุกประการ”

รูปสามเหลี่ยมหนาจ่วั
คือ รปู สามเหลีย่ มท่ีมดี านประกอบมมุ ยอดยาวเทากันและมมุ ท่ีฐานกางเทากนั

รปู สามเหลีย่ ม ABC เปนรูปสามเหล่ียมหนาจวั่ มี AC= BC เรียก ดาน AC และ ดาน BC วา

ดานประกอบมุมยอดเรียก ดาน AB วาฐาน เรียก  และ  วามุมทฐ่ี าน และเรยี ก  วา มุมยอด

ABC BAC ACB

ขอสรุปเกี่ยวกับสามเหล่ยี มหนาจว่ั

1. เสนแบงคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจว่ั แบงรปู สามเหล่ยี มหนาจั่วออกเปนรูปสามเหล่ียม
สองรปู ทเ่ี ทากนั ทุกประการ

2. มมุ ที่ฐานของรปู สามเหลย่ี มหนาจ่ัวมีขนาดเทากนั
3. เสนแบงครงึ่ มมุ ยอดของรูปสามเหล่ียมหนาจว่ั แบงครง่ึ ฐานของรปู สามเหลี่ยมหนาจว่ั
4. เสนแบงครงึ่ มุมยอดของรูปสามเหลยี่ มหนาจว่ั ตั้งฉากกับฐานของรูปสามเหล่ียมหนาจ่วั

~ 39 ~

ตวั อยางที่ 1. กาํ หนดให  =  และ  =  = 900

ABD CBD ADB CDB

รูปสามเหลยี่ ม ABC เปนรปู สามเหลี่ยมหนาจั่วหรอื ไมเพราะเหตใุ ด

วธิ ที ํา พิจารณารปู สามเหลีย่ ม ABD และรูปสามเหล่ียม CBD

1.  =  ( โจทยกําหนดให )
( BD เปนดานรวม )
ABD CBD

2. BD = BD

3.  =  ( โจทยกําหนดให )

ADB CDB

4.  ABD ≅  CBD ( ความสมั พันธ มุม–ดาน–มุม )

5. AB = BC ( คุณสมบัติการเทากันทุกประการ )

6.  =  ( คณุ สมบัติการเทากนั ทุกประการ )

BAD BCD

7.  ABC เปนรูปสามเหลย่ี มหนาจั่ว ( ดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน )

ตวั อยางท่ี 2. กาํ หนดให DB = EC , AB = AC และ  = 

ABD ACE

รปู สามเหล่ียม ADE เปนรปู สามเหลีย่ มหนาจวั่ หรอื ไม

1. DB = EC ( โจทยกําหนดให )

2.  =  ( โจทยกาํ หนดให )

ABD ACE

3. AB = AC ( โจทยกาํ หนดให )

4.  ABD ≅  ACE ( ความสัมพันธ ดาน–มมุ -ดาน )

5. AD = AE ( ความเทากันทกุ ประการของสามเหล่ียม )

6.  =  ( ความเทากันทกุ ประการของสามเหลีย่ ม )

ADE AED

7. รปู สามเหลย่ี ม ADE เปนรูปสามเหลีย่ มหนาจ่ัว

~ 40 ~

แบบฝึกทักษะ

1. จากรปู ทีก่ ําหนดให จงหาคาตัวแปรในแตละขอ โดยใชคุณสมบัตขิ องรปู สามเหล่ียมหนาจว่ั

1.
a = _________________ องศา
b = _________________ องศา

2.
a = _________________ องศา
b = _________________ องศา
c = _________________ องศา

3.
a = _________________ องศา
x = _________________ ซม.

4.
a = _________________ องศา
b = _________________ องศา

5.
a = _________________ องศา
b = _________________ องศา

~ 41 ~

2. กําหนดให ABCD เปนรปู ส่เี หลี่ยมผืนผา E เปนจดุ กึง่ กลางของดาน DC
สามเหล่ยี ม ABE เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจ่วั หรือไมเพราะเหตใุ ด

…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
3. กําหนดให ADE เปนรูปสามเหล่ยี มหนาจัว่ มี AD = AE และ DB= EC รูปสามเหล่ยี ม ABC
เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วหรอื ไม เพราะเหตุใด

…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………

~ 42 ~

4. กาํ หนดให  =  และ  =  รปู สามเหล่ยี ม AEC เปนรปู สามเหลย่ี มหนาจวั่ หรอื ไม

BAE BAC ABE ABC

เพราะเหตุใด

…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………….………………………………

~ 43 ~

รูปสามเหลีย่ มท่ีสมั พนั ธกนั แบบ ฉาก - ดาน – ดาน ( ฉ.ด.ด )

“มดี านตรงขามมุมฉากยาวเทากนั และมดี านประกอบมมุ ฉากยาวเทากันหนง่ึ คู รปู สามเหลย่ี มท้ังสอง
จะเทากันทุกประการ”

ตวั อยางท่ี 1. กาํ หนดรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ ABC โดย  เปนมมุ ยอด ถา AD ตง้ั ฉากกับ BC ท่ีจุด D

A

จงพิสจู นวาสามเหล่ยี ม ABD เทากนั ทุกประการกบั สามเหลี่ยม ACD

พจิ ารณารปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABD และ ACD จะไดวา

1.  =  ( โจทยกําหนดให )
( ABC เปนสามเหล่ียมหนาจั่ว )
ADB ADC ( ดานรวม )

2. AB = AC

3. AD = AD

4.  ABD ≅  ACE ( ความสัมพันธ ดาน – มมุ - ดาน )

~ 44 ~

แบบฝึกทักษะ

จุดประสงค์ นำสมบัติของความเท่ากนั ทุกประการของรปู สามเหลย่ี มสองรปู ที่สมั พันธก์ นั แบบ ฉาก – ดา้ น –
ด้าน ไปใชอ้ ้างอิงในการพิสจู น์
1. กำหนดให้ AE = DC , BE = BC และ DBC เปน็ มุมฉาก ดงั รูป จงพสิ จู น์วา่ AB = DB

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
2. กำหนดให้ ACG และ  DBE เป็นรปู สามเหล่ียมมุมฉากโดยมีมุม A และ มุม D เปน็ มุมฉาก ,
AG = DE และ GC = EB จงพิสจู นว์ า่ AGC = DEB

………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………

~ 45 ~

การนำไปใช้ ( 3 ช่ัวโมง )

สาระสำคัญ

 เส้นแบ่งคร่ึงมุมยอดของรปู สามเหลย่ี มหน้าจว่ั จะแบง่ รปู สามเหล่ยี มหนา้ จวั่ ออกเป็นรูปสามเหล่ียม
สองรปู ทเี่ ทา่ กนั ทุกประการ

 มุมที่ฐานของรูปสามเหล่ยี มหน้าจวั่ มขี นาดเทา่ กัน
 เส้นทล่ี ากจากมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหน้าจ่วั มาแบ่งครึ่งฐาน จะแบ่งครงึ่ มมุ ยอดของรูป
สามเหลี่ยมหน้าจั่ว
 เสน้ ทล่ี ากจากมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหน้าจวั่ มาแบง่ คร่งึ ฐาน จะตั้งฉากกบั ฐานของรูปสามเหล่ยี ม
หนา้ จว่ั
 การเทา่ กนั ทุกประการ ท่ีมีความสัมพนั ธก์ ันแบบต่าง ๆ ( สมั พันธก์ ันแบบ ด้าน – มมุ – ดา้ น,
สัมพันธ์กนั แบบ มุม – ดา้ น – มุม, สมั พันธ์กันแบบ ดา้ น – ด้าน – ดา้ น, สมั พนั ธก์ ันแบบ มุม – มุม – ดา้ น
และ สัมพนั ธ์กนั แบบ ฉาก – ด้าน – ดา้ น )
 สามเหล่ยี มหนา้ จ่วั และสมบัติของรปู สามเหล่ยี มหน้าจ่ัว

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

นกั เรยี นสามารถ
1. บอกสมบัติของรปู สามเหล่ยี มหนา้ จวั่
2. นำสมบัติของรูปสามเหลีย่ มหน้าจ่วั ไปใชอ้ า้ งองิ ในการให้เหตผุ ลและแกป้ ญั หา
3. นำสมบตั ิของความเท่ากนั ทกุ ประการของรูปสามเหล่ยี มสองรปู ท่ีสมั พันธ์กนั แบบใดแบบหนง่ึ คอื
ดา้ น – มมุ – ดา้ น , มุม – ดา้ น – มมุ , ดา้ น – ด้าน – ดา้ น , มุม – มมุ – ด้าน และ ฉาก – ดา้ น – ดา้ น ไปใช้
อา้ งอิงในการใหเ้ หตผุ ลและแกป้ ัญหา

แหลง่ สบื ค้น / สื่อ
https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21104
https://dltv.ac.th/teachplan/episode/22214

~ 46 ~

แบบฝกึ ทกั ษะ

จุดประสงค์
1. บอกสมบัตขิ องรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว
2. ใชส้ มบัติของการเทา่ กันทุกประการของรปู สามเหลี่ยมในการใหเ้ หตุผลและแก้ปญั หาได้

โจทย์ ให้นกั เรยี นแสดงวธิ ีทำโดยละเอยี ด

1. รูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั มีความยาวรอบรปู 18 นิว้ มดี ้านหน่ึงยาว 8 นว้ิ จงหาความยาวของดา้ น

ที่เหลือ

วธิ ีทำ จากสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัว มดี ้านเท่ากัน 2 ดา้ น

กรณที ่ี 1 ถา้ x = 8 จะไดว้ ่า x + x + y = 18

………………….=……………..

xx y = …………….
ดงั นน้ั ด้านท่เี หลือยาว......................................................................

กรณที ่ี 2 ถ้า y = 8 จะได้วา่ x + x + y = 18

y ………………….=……………..
x = ……………

ดังนน้ั ดา้ นทีเ่ หลือยาว......................................................................

2. จากรปู  ABD เป็นสามเหลีย่ มหน้าจัว่ และ จดุ C แบง่ ครึง่ BD
จงพสิ ูจน์วา่ BOC = DOC

จากโจทย์ กำหนดให้ 1. ABO = ADO 2. AB = AD

ตอ้ งการพิสูจนว์ า่ BOC = DOC

พิสูจน์ 1. …………………. = …………………. ( กำหนดให้ )

2. …………………. = …………………. ( กำหนดให้ )

3. BAO = DAO ( จากสมบัตสิ ามเหลย่ี มหน้าจว่ั )

4. …………………………………………… ( มคี วามสมั พันธแ์ บบ ……………………………….. )

5. ……………. = ……………. = 900 ( จากสมบตั สิ ามเหลีย่ มหน้าจัว่ )

6. ……………. = DO ( ……………………………………………………………. )

7. …………………. = …………………. ( เป็นดา้ นร่วม )

8. …………………………………………… ( มคี วามสัมพนั ธแ์ บบ ………………………………. )

9. BOC = DOC ( …………………………………………………..……….. )

~ 47 ~

3. จากรปู ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจ่วั

จงพิสูจนว์ ่า  =  และ CDE CDF

ADE BDF

………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

~ 48 ~

แบบฝึกทักษะ

จดุ ประสงค์
1. ใช้สมบตั ิของการเทา่ กนั ทุกประการของรปู สามเหล่ยี มในการให้เหตุผลและแก้ปัญหาได้
2. ใชส้ มบัติของสามเหล่ยี มหน้าจ่วั ในการใหเ้ หตุผลและแก้ปัญหาได้

โจทย์ ใหน้ ักเรียนแสดงวธิ ีทำโดยละเอยี ด

1. จากรปู ท่ีกำหนดให้ จงหาขนาดของ 

ABC

วิธีทำ จากโจทย์ กำหนดให้ ..........................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
ต้องการหา …..………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……

~ 49 ~

2. จากรูปกำหนดให้ AC = BD ,  =  = 30 และ  = 65 จงหาขนาดของ 

ABD BAC ABC BCA

วิธที ำ จากโจทย์ กำหนดให้ ..........................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
ต้องการหา …..………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……
……………………………………………………………………………………………………………….…………..……

สราวุธ จักรงาม

โชคดีนะ