กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระท่ี 1 จำนวนและพชี คณิต
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรปู ความสมั พันธ์ ฟังกช์ ัน ลำดบั และอนกุ รม และนำไปใช้

ตวั ชว้ี ดั

เขา้ ใจและใช้การแยกตวั ประกอบของพหุนามท่ีมีดีกรีสงู กว่าสองในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

นักเรยี นสามารถ
1. ระบุลักษณะพรอ้ มทงั้ เขียนกราฟของฟงั กช์ ันกำลังสองท่ีอยู่ในรปู y = ax2 , y = ax2 + k ,
y = a(x – h)2 , y = a(x – h)2 + k และ y = ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c , h และ k เป็นค่าคงตวั ที่ a ≠ 0
2. นำความรูเ้ กี่ยวกบั กราฟของฟงั ก์ชนั กำลงั สองไปใช้ในการแกป้ ญั หา

ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

ทกั ษะและกระบวนการ แนะนำฟังก์ชนั หัวข้อ กจิ กรรมท้ายบท/
ทางคณิตศาสตร์ กราฟของฟงั ก์ชันกำลงั สอง แบบฝกึ หัดทา้ ยบท
✓
การแก้ปัญหา ✓ ✓ ✓
การสอื่ สารและการสอื่ ✓
ความหมายทางคณิตศาสตร์ ✓ ✓
การเชื่อมโยง
การให้เหตุผล ✓
การคิดสรา้ งสรรค์

แนะนำฟังกช์ ัน ( 2 ชม. )

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นกั เรียนสามารถ
1. อธบิ ายความหมายของฟังก์ชนั
2. หาคา่ ของฟังกช์ นั f ที่ x หรอื f(x) เม่ือกำหนดค่า x มาให้

กำหนดให้สังเกตวา่ ค่า x แต่ละคา่ ท่ีใสล่ งในเคร่ืองจักรและผา่ นกระบวนการตามท่ีกำหนดไว้,
จะไดผ้ ลลัพธ์ y เพียงคา่ เดียว ดงั ตาราง

xy
-8 -4
-2 -1
00
63
10 5
xx

2

ความสมั พันธ์ระหว่างคา่ x และ y ของเครอื่ งจักรฟังกช์ นั น้ี สามารถเขียนให้อยใู่ นรูปสมการ
ไดเ้ ป็น y = x

2

xy
-6
-3
0
2
5
x

ความสมั พันธร์ ะหวา่ งคา่ x และ y ของเครื่องจักรฟังกช์ ันน้ี สามารถเขยี นให้อยใู่ นรปู สมการ
ได้เปน็ ………………………………….

xy
-2
-1
0
1
2
x

ความสมั พันธร์ ะหวา่ งค่า x และ y ของเครื่องจักรฟังกช์ ันน้ี สามารถเขียนให้อยู่ในรปู สมการ
ได้เป็น ………………………………….

กราฟของฟังกช์ ันกำลงั สอง ( 8 ชม. )

จุดประสงค์การเรยี นรู้

นกั เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของฟังกช์ นั กาาลงั สอง
2. ระบุไดว้ า่ สมการใดเป็นสมการของพาราโบลา
3. อธิบายลกั ษณะของพาราโบลาจากสมการ และเขยี นกราฟ
4. แกป้ ัญหาโดยใชค้ วามรู้เรื่องกราฟของฟังกช์ นั กาาลงั สอง

ฟงั กช์ นั กำลงั สอง
ฟังกช์ นั กำลังสอง คอื ฟงั กช์ นั ท่ีอย่ใู นรูป y = ax2 + bx + c เม่ือ a , b , c เปน็ จำนวน

จรงิ ใดๆ และ a ≠ 0 ลกั ษณะของกราฟของฟงั กช์ ันนี้ขน้ึ อยกู่ บั คา่ ของ a , b และ c และเมือ่ คา่ ของ a เป็น
บวกหรือลบ จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโคง้ หงายหรือควำ่

จากรปู จะเห็นว่า ถ้า a > 0 กราฟเปน็ เส้นโค้งหงายขน้ึ
a < 0 กราฟเปน็ เส้นโคง้ คว่ำลง

เชน่ y = 5x2 + 4x + 3 จะเห็นวา่ คา่ a = 5 พาราโบลานี้จะเป็นพาราโบลาหงาย
Y = −5x2 + 4x + 3 จะเห็นวา่ คา่ a=−5 พาราโบลาน้ีจะเปน็ พาราโบลาควำ่ ดูรูปประกอบ

อีกอนั หนง่ึ ที่ควรร้เู กยี่ วกับการเรียนฟงั ก์ชันกำลงั สองคอื จดุ ยอดพาราโบลา หรือ เรยี กอีกอย่างวา่ จดุ
วกกลับ หรอื มีชอ่ื เรยี กอกี อยา่ งวา่ จุดตำ่ สุด ( ถา้ เป็นพาราโบลาหงาย ) จดุ สูงสดุ ( ถา้ เป็นพาราโบลาคว่ำ )
นนั่ เอง

ตัวอยา่ งพาราโบลา

การหาจุดยอดพาราโบลา

การหาจุดยอดพาราโบลา หรือ วา่ การหาจุดวกกลบั สมการพาราโบลา จะมี 2 แบบดังนี้
แบบที่ 1 คือ จะอยู่ในรูป

y = a(x−h)2 + k

แบบที่ 2 คือจะอยู่ในรูป
y = ax2 + bx + c

แบบที่ 1 คอื จะอยูใ่ นรปู y = a(x − h)2 + k

ถ้าเราไปเจอสมการพาราโบลาที่อยู่ในรปู แบบน้ี จุดวกกลับ หรอื วา่ จุดยอดของกราฟ ตอบได้เลยวา่ คือ
จดุ ( h , k ) สว่ นจะเปน็ พาราโบลาหงายหรอื ควำ่ ดทู ค่ี ่า a เหมือนเดิมครับ ยกตัวอย่างเชน่

1.) y = 2(x − 3)2 + 4
y = 2(x − 3)2 + 4
y = a(x − h)2 + k

เป็นพาราโบลาหงาย เพราะ a = 2 จดุ วกกลับคอื ( 3 , 4 )

2.) y = −2(x + 3)2 – 4
y = −2(x – (–3))2 + (–4)
y = a(x − h)2 + k
เปน็ พาราโบลาควำ่ เพราะ a = −2 จดุ วกกลับคือ ( −3 , −4 )

***ขอ้ สงั เกตจะเห็นว่า
y = −2(x + 3)2 − 4
y =−2(x − (−3))2 + (−4)
y = a(x − h)2 + k

ถา้ เทยี บกนั ดีๆจะเหน็ ว่า h = −3 , k = −4 นนั่ เองดังนัน้ จดุ วกกลับคือ (−3 , −4)
หรือถา้ จะพูดกันงา่ ยๆก็คือ ตรงตวั h ใหเ้ ปลี่ยนเครื่องหมายเปน็ เครอ่ื งหมายตรงกนั ข้าม

3.) y = x2
ข้อนถี้ ้าลองจดั รปู ให้อยูใ่ นรปู ของ y = a(x − h)2 + k มันกค็ ือ
Y = x2
y = 1(x − 0)2 + 0
y = a(x − h)2 + k

ดงั นน้ั เป็นพาราโบลาหงายเพราะ a = 1 จะเห็นวา่ ถา้ เทยี บกันดูจะได้ h = 0 , k = 0
นัน่ กค็ ือจุดวกกลบั คือ ( 0 , 0 )

4.) y = −15x2
จดั สมการเหมือนข้อข้างบน จะได้
y = −15x2
y = −15(x − 0)2 + 0
y = a(x − h)2 + k

ดงั นน้ั พาราโบลาน้เี ป็นพาราโบลาหงายเพราะ a = −15 จะเหน็ ว่า h = 0 , k = 0
นัน่ คอื จุดกกกลับคือ ( 0 , 0 )

5.) y = x2 + 1
จัดสมการ จะได้
y = x2 + 1
y = 1(x − 0)2 + 1
y = a(x − h)2 + k

ดงั น้นั พาราโบลานเ้ี ปน็ พาราโบลาหงาย เพราะ a = 1 จุดวกกลบั คือ ( 0 , 1 )

6.) y = −x2 − 1
จดั สมการ
y = -x2 – 1
y = −1(x − 0)2 – 1
y = a(x − h)2 + k

ดังนั้นเป็นพาราโบลาควำ่ เพราะ a = −1 จดุ วกกลับคือ ( 0 , −1 )

7.) y = (x − 2)2
จัดสมการ
y = (x − 2)2
y = 1(x − 2)2 + 0
y = a(x − h)2 + k

ดังนั้นเปน็ พาราโบลาหงาย เพราะ a = 1 จดุ วกกลับคอื ( 2 , 0 )

8.) y = −(x + 3)2
จัดสมการ
y = (x + 3)2
y = −1(x + 3)2 + 0
y = −1(x – (−3))2 + 0
y = a(x − h)2 + k

ดังนนั้ เป็นพาราโบลาคว่ำ เพราะ a = −1 จดุ วกกลับคอื ( −3 , 0 )
ท้งั หมดที่ยกตวั อย่างมาลองเอามาวาดกราฟดูจะไดด้ งั นี้

แบบที่ 2 คือจะอยใู่ นรปู y = ax2 + bx + c

ถา้ เจอพาราโบลาที่มีสมการในรูปแบบนี้ การหาจุดวกกลับ หรือ จดุ ยอด หรอื จดุ สงู สดุ จุดต่ำสดุ ให้

ใช้สูตรในการหาไปเลย สว่ นท่ีมาทีไ่ ปของสตู รใหไ้ ปศกึ ษาเอง จากหนังสอื สสวท.

การหาจุดตำ่ สุดหรือจดุ สงู สุดพาราโบลาโดยใช้สตู ร

การหาจดุ ต่ำสุดหรือจดุ สูงสุดของพาราโบลาโดยใช้สูตร

ถา้ โจทยก์ ำหนดสมการพาราโบลาให้ในรปู แบบของสมการ y = ax2 + bx + c เราสามารถหาจดุ

ต่ำสดุ หรอื จดุ สงู สุดของพาราโบลาท่กี ำหนดโดยสมการแบบนี้ ดังนี้

จุดตำ่ สุดหรอื จุดสงู สดุ จะอยทู่ ่ี

( − b , 4ac − b2 )
2a 4a

ตวั อย่างการใชส้ ูตร

1. จากสมการพาราโบลาทกี่ ำหนดให้ในแต่ละข้อให้นกั เรียนหาคำตอบต่อไปนี้

 เปน็ าพาราโบลาควำ่ หรอื หงาย

 จุดต่ำสดุ หรอื จุดสูงสุดอยทู่ ี่จุดใด

 แกนสมมาตรคอื เส้นตรงอะไร
 ค่าต่ำสุด หรอื ค่าสงู สดุ คือ

1.1) กำหนดสมการพาราโบลา y = x2 + 6x + 8
วิธีทำ จากโจทย์ y = x2 + 6x + 8

จะเห็นวา่ สมการพาราโบลาอยใู่ นรปู แบบของ สมการ y = ax2 + bx + c
เมอื่ ลองเทยี่ บกันดจู ะเห็นว่า
คา่ a = 1 , b = 6 , c = 8
ค่าของ a = 1 เป็นบวก
ดงั นัน้ เป็น พาราโบลาหงาย

มจี ุดต่ำสุดอยู่ท่ี ใชส้ ูตร − b 4ac − b2 แทนคา่ a = 1 , b = 6 , c = 8 ลงไปในสตู ร
(, )
2a 4a

จะได้ ( − 6 , 4(1)(8) − 62 ) = ( − 6 , 32 − 36)
24
2(1) 4(1)

= (−6,−4)

24

= (−3,−1)

ดังนั้น จุดตำ่ สุดอย่ทู ่จี ุด ( -3 , -1 )

แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = -3

คา่ ตำ่ สุด คือ y = -1

1.2 กำหนดสมการพาราโบลา y = x2 + 12x + 36
วิธที ำ จากโจทย์จะเห็นว่าสมการพาราโบลาอยูใ่ นรูปแบบสมการ y = x2 + 12x + 36

เม่อื ลองเทยี่ บกนั ดูจะเหน็ ว่า ค่า a = 1 , b = 12 , c = 36
คา่ a = 1 เป็นบวกแสดงวา่ เปน็ พาราโบลาหงาย

มคี ่าต่ำสุดอยู่ที่ ใชส้ ตู รในการหา (− b , 4ac − b2 )

2a 4a

แทนค่า a = 1 , b = 12 , c = 36 ลงไปในสูตร

จะได้ ( −12 , 4(1)(36) −122 ) = ( −12 ,144 −144)
= 24
2(1) 4(1)
( −12 , 0)
= 24
ดงั น้นั จดุ ตำ่ สดุ อยู่ทีจ่ ดุ ( -6 , 0 )
(−6,0)
แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = -6
คา่ ต่ำสดุ คือ y = 0
ตอ่ ไปเราลองไปทำแบบฝึกหดั

1. จงร่างกราฟของฟงั กช์ นั กำลังสองต่อไปนี้อยา่ งคร่าว
1.) y = 2x2
2.) y = −2x2
3.) y = 2x2 + 1
4.) y = (x − 1)2
5.) y = (x + 1)2 + 1

วธิ ีทำ การวาดกราฟ แค่ร้จู ดุ ยอดและร้วู า่ เป็นพาราโบลาควำ่ หรือหงาย ก็วาดได้แล้ว เช่น
ข้อ 1) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดหรือจุดวกกลบั อยู่ทจ่ี ุด ( 0 , 0 )
ข้อ 2) เปน็ พาราโบลาคว่ำ จดุ ยอดคือ จดุ ( 0 , 0 )
ข้อ 3) เปน็ พาราโบลาหงาย จุดยอดคือ จดุ ( 0 , 1 )
ข้อ 4) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ จุด ( 1 , 0 )
ข้อ 5) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ จุด ( −1 , 1 )

วาดกราฟลงโดยใชร้ ะนาบเดยี วกนั

2. จงร่างกราฟอย่างคร่าวๆ ของฟังก์ชนั ท่ีกำหนดให้ต่อไปน้ีโดยใชร้ ะนาบเดยี วกนั

2.1) y1 = x2 y2 = 2x2

y3 = 5x2 y4 = 11x2

วิธที ำ สงั เกตดูกราฟดี ๆ จะเหน็ วา่ แตล่ ะฟังกช์ ันมีค่า a ทแ่ี ตกต่างกัน เชน่

y1 = x2 มีคา่ a = 1 y2 = 2x2 มคี ่า a = 2

y3 = 5x2 มีค่า a = 5 y4 = 11x2 มีค่า a = 11

ซง่ึ ค่า a จะมีผลต่อลักษณะของพาราโบลา กล่าวคอื ย่ิง a มีคา่ มาก หรือ a ติดลบมากๆ พาราโบลา

จะแคบ สังเกตจากรูป

2.2) y1 = −(x + 1)2
y2 = −(x + 2)2
y3 = −(x + 3)2

วธิ ที ำ ดูจากสมการคร่าว ๆ ท่ีโจทย์ใหม้ า แน่นอนกราฟต้องเป็นพาราโบลาควำ่ ไปดูรูป ความกว้าง
หรือแคบจะเทา่ กันเพราะทุกสมการมีค่า a = −1

3. จงรา่ งกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี พร้อมท้ังบอกจดุ วกกลบั
3.1) y = x2 − 2x − 3
วธิ ีทำ จะเหน็ วา่ สมการของพาราโบลาข้อน้ีอยู่ในรปู แบบของ y = ax2 + bx + c
ซง่ึ จะเหน็ วา่ a = 1 , b = −2 , c = −3 เปน็ พาราโบลาหงายเพราะคา่ a เป็นบวก

สว่ นจดุ วกกลับกใ็ ชส้ ตู รในการหา

3.2) y = 3x2 + 12x + 3
วธิ ที ำ จะเห็นว่า a = 3 , b = 12 , c = 3 หาจุดวกใช้สูตรในการหา การหาจุดตำ่ สดุ หรือจดุ สูงสุด

พาราโบลาโดยใช้สูตร

แหลง่ เรยี นรู้
การเขียนกราฟพาราโบลา
https://www.youtube.com/watch?v=i2cbwMSinag&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=NdG6gTOT6UE
https://www.youtube.com/watch?v=sgLvl5HGpf0

ตวั อย่างเพ่มิ เติม

ตวั อย่างท่ี 1 จงเขยี นกราฟของสมการตอ่ ไปน้ี y = -3x2

พจิ ารณา สมการ y = -3x2

y = ax2

เพราะฉะนนั้ a = -3

จะได้วา่ a < 0 เป็นพาราโบลา คว่ำ

จดุ สูงสดุ อยูท่ ่ีจุด ( 0 , 0 )

แกนสมมาตรอยู่ที่ x = 0

ตวั อย่างท่ี 2 จงเขยี นกราฟของสมการตอ่ ไปนี้ y = 5x2 + 4
พจิ ารณา สมการ y = 5x2 + 4

y = ax2 + k
เพราะฉะนนั้ a = 5 , k = 4
จะไดว้ า่ a > 0 เปน็ พาราโบลา หงาย

จุดตำ่ สุด อยู่ทีจ่ ุด (0,4)
แกนสมมาตรอยู่ท่ี x = 0

ตวั อย่างท่ี 3 จงเขียนกราฟของสมการตอ่ ไปนี้ y = -5(x + 2)2
พิจารณา สมการ y = -5(x + 2)2

y = a(x - h)2
เพราะฉะนนั้ a = -4 , h = -2
จะไดว้ ่า a < 0 เป็นพาราโบลา คว่ำ

จุดสงู สุด อย่ทู ีจ่ ดุ ( -2 , 0 )
แกนสมมาตรอย่ทู ี่ x = -2

ตวั อย่างท่ี 4 จงเขยี นกราฟของสมการต่อไปน้ี y = 1 (x −1)2 − 2

3

พจิ ารณา สมการ y = 1 (x −1)2 − 2

3

y = a(x - h)2

เพราะฉะนัน้ a = 1 , h = 1 , k = -2

3

จะไดว้ ่า a > 0 เป็นพาราโบลา หงาย
จุดตำ่ สุด อยู่ท่ีจดุ ( 1 , -2 )

แกนสมมาตรอยทู่ ่ี x = 1

ตวั อย่างท่ี 5 จงเขยี นกราฟของสมการต่อไปนี้ y = x2 + 6x + 8
จากสมการ y = x2 + 6x + 8 เขียนสมการให้อยู่ใน รปู สมการพาราโบลา
ได้ดังน้ี y = x2 + 6x + 8

y = (x2 + 6x + 32 – 32) + 8
y = (x2 + 6x + 32) – 32 + 8
y = (x + 3)2 – 9 + 8
y = (x + 3)2 - 1
จะไดว้ ่า แปลงจากสมการ y = x2 + 6x + 8 = (x + 3)2 – 1
พจิ ารณา สมการ y = (x + 3)2 – 1
y = ax2 + k
เพราะฉะน้นั a = 1 , h = -3 , k = -1
จะไดว้ า่ a > 0 เป็นพาราโบลา หงาย
จุดตำ่ สดุ อยู่ทจ่ี ดุ ( -3 , -1 )
แกนสมมาตรอยู่ท่ี x = -3

แหลง่ เรยี นรู้
https://www.youtube.com/watch?v=0doYfK31Dp0
https://www.youtube.com/watch?v=GiOGZAMuyYQ
https://www.youtube.com/watch?v=EQU-Q40dq3Y
https://www.youtube.com/watch?v=Vv04dyNRYm4
https://www.youtube.com/watch?v=YtfOtbQ-Nxk
https://mathpaper.net/index.php/en/4548trifpodsai43t584309t5i/304-2013-09-08-03-

48-36
https://www.youtube.com/watch?time_continue=11&v=Vv04dyNRYm4&feature=emb_

title
https://www.youtube.com/watch?v=ClQRokiiQds
https://www.youtube.com/watch?v=iAajc8yEFCY
https://www.youtube.com/watch?v=ybgWiMI3orY

คำชีแ้ จง จากสมการพาราโบลาที่กำหนดใหใ้ นแต่ละข้อ จงตอบคำถามต่อไปน้ี
เราเรียกสมการทีอ่ ยู่ในรูป y = ax2 + bx + c เมอื่ a , b , c เปน็ คา่ คงตวั และ a ≠ 0 ว่าสมการของ

พาราโบลา
1. จงพิจารณาวา่ สมการต่อไปน้เี ป็นสมการของพาราโบลาหรอื ไมเ่ พราะเหตใุ ด

1) y = 3x2 + 7x + 9 ………………………………………….………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2) y = -x2 + 2x – 3 ………………………………………….………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3) y = x2 + 6x + 3 2 ……………………………..………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จงพิจารณาว่าสมการต่อไปนเ้ี ปน็ สมการของพาราโบลาหรอื ไมเ่ พราะเหตใุ ด

1) y = x2 + 45 …………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) y = (x + 5)2 …………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3) y = x + 6 …………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4) y = 9 …………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จงเปรียบเทยี บสมการพาราโบลาในแต่ละข้อต่อไปน้ีกบั สมการรปู ทั่วไป y = ax2 + bx + c เมือ่ a , b , c

เป็นคา่ คงตวั แล้วคา่ ของ a , b , c ในแตล่ ะสมการมคี า่ เท่ากบั เทา่ ไร

1.) y = x2 + x - 6 2.) y = -2x2

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

3.) y = 9 + x2 4.) 2y = 4x – x2

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

5.) y = (x + 3)2 6.) y = − (x + 1)2
…………………………………………………………
2

…………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

4. สมการในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนเี้ ป็นสมการพาราโบลาหรอื ไม่ เพราะเหตุใด

1.) y = x2 2.) y = 3x - 5

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

3.) y = x2 + 2x - 1 4.) y = (x + 1)2

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

5.) y = -6 – 2x - x2 6.) y = 6

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

………………………………………………………… …………………………………………………………

5.จงตอบคำถามต่อไปน้ี

5.1 สมการในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนเี้ ป็นสมการของพาราโบลาหรอื ไม่ เพราะเหตุใด

สมการ สมการของพาราโบลา เหตผุ ล
เป็น ไมเ่ ป็น

1) y = x2 − 2x − 5
2) y = x ( x + 3)
3) y = x + 4
4) y = x3 − 1
5) y = 3 − 4x2
6) y = − 3x2
7) y = 7 + 2x − 5x2
8) y = 2 − x
9) y = − x2 − x

10) y = 1 ( x + 1)2 − 4

2

11) y = ( x + 2)( x − 9)

12) y = x2 + 1

5

5.2 จงหาคา่ ของ a , b , c จากสมการต่อไปนี้ เม่ือเปรียบเทยี บกับสมการของพาราโบลาที่อยู่ใน

รูปท่ัวไป y = ax2 + bx + c เม่อื a , b , c เป็นค่าคงตวั

สมการของพาราโบลา ab c
1) y = 1 + 8x − 6x2

2) y = 2 x2 + 1

3

3) y = 5x2 − x + 6

4) y = x2 − 4

5) ( )y = − 3 x2 − 2x + 1

6) y = 2x ( x − 5)

7) y = 5x − 2x2 − 7

8) y = 2( x − 3)2

9) y = ( x − 3)( x − 4)

10) y = 7x2

6. พาราโบลาทีก่ ำหนดด้วยสมการ y = ax2 เมอื่ a ≠ 0
6.1 จงเขยี นกราฟของสมการ y = x2 พรอ้ มทัง้ ตอบคำถามตอ่ ไปนี้

X -2 -1 0 1 2
y
1) แกนสมมาตรของกราฟคอื เส้นตรงใด
ตอบ ……………………………….……………….
2) ลักษณะของกราฟเปน็ พาราโบลาควำ่
หรือพาราโบลาหงาย
ตอบ ……………………………....……………….
3) กราฟมจี ุดต่ำสดุ หรือไม่ ถ้ามคี ือจดุ ใด
และมีค่าตำ่ สดุ เป็นเท่าใด
ตอบ …………………………..…..……………….

6.2 จงเขยี นกราฟของสมการ y = 2 x2 พรอ้ มทงั้ ตอบคำถามตอ่ ไปน้ี

3

X -3 -2 -1 0 1 2 3
y

1) แกนสมมาตรของกราฟคือเส้นตรงใด
ตอบ …………………………..…..……………….

2) ลกั ษณะของกราฟเป็นพาราโบลาคว่ำหรอื
พาราโบลาหงาย

ตอบ …………………………..…..……………….
3) กราฟมจี ุดต่ำสดุ หรือไม่ ถา้ มคี ือจุดใด
และมคี ่าตำ่ สุดเปน็ เทา่ ใด

ตอบ …………………………..…..……………….
4) กราฟมีจุดสูงสดุ หรือไม่ ถา้ มคี ือจดุ ใด

และมีค่าสงู สุดเป็นเทา่ ใด
ตอบ …………………………..…..……………….

6.3 จงเขยี นกราฟของสมการ y = -x2 พร้อมทัง้ ตอบคำถามทา้ ยข้อ
X
y
1) แกนสมมาตรของกราฟคือเสน้ ตรงใด
ตอบ ……………………………….……………….
2) ลักษณะของกราฟเป็นพาราโบลาควำ่

หรือพาราโบลาหงาย
ตอบ ……………………………….……………….
3) กราฟมจี ดุ ต่ำสดุ หรือไม่ ถา้ มีคอื จุดใด

และมีค่าตำ่ สดุ เป็นเท่าใด
ตอบ ……………………………….……………….
4) กราฟมีจดุ ต่ำสดุ หรือไม่ ถา้ มีคือจุดใด

และมคี ่าต่ำสดุ เปน็ เท่าใด
ตอบ ……………………………….……………….

6.4 จงเขียนกราฟของสมการ y = − 2 x2 พรอ้ มท้งั ตอบคำถามทา้ ยข้อ

3

X
y
1) แกนสมมาตรของกราฟคอื เสน้ ตรงใด
ตอบ ……………………………….……………….
2) ลักษณะของกราฟเป็นพาราโบลาควำ่
หรอื พาราโบลาหงาย
ตอบ ……………………………….……………….
3) กราฟมีจุดต่ำสดุ หรือไม่ ถา้ มคี อื จุดใด
และมีค่าตำ่ สุดเปน็ เทา่ ใด
ตอบ ……………………………….……………….
4) กราฟมีจุดต่ำสดุ หรือไม่ ถ้ามีคอื จดุ ใด
และมคี ่าตำ่ สุดเป็นเทา่ ใด
ตอบ ……………………………….……………….

7. พาราโบลาท่กี ำหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c เม่ือ a , b , c เป็นคา่ คงตวั และ a ≠ 0
7.1) จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x2 – 6x + 1
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7.2) จงเขยี นกราฟของสมการ y = -2x2 – 12x – 17
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7.3) จงเขียนกราฟของสมการ y = x2 + 6x + 8
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7.4) จงเขียนกราฟของสมการ y = -x2 -4x - 2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

คำชี้แจง จงตอบคำถามแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี

พาราโบลาทีก่ ำหนดด้วยสมการ y = ax2

1. จงเติมคำตอบลงในตารางเพ่อื บอกลักษณะกราฟของสมการพาราโบลาตอ่ ไปนี้

สมการ ลักษณะ จุด จดุ คา่ y คา่ y สมการ
รปู กราฟ ตำ่ สุด สงู สุด ต่ำสุด สูงสุด แกนสมมาตร

y = 1 x2
5

y = − 7x2

y = 8x2

y = −10x2

y = 0.2x2

2. จงเขยี นกราฟของสมการตอ่ ไปนี้บนแกนคูเ่ ดยี วกัน

x -6 -4 -2 0 2 4 6

y = 1 x2
4

x -4 -3 -1 0 1 3 4

y = −1 x2
3

พาราโบลาทกี่ ำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k

1. จงเติมคำตอบลงในตารางเพอื่ บอกลกั ษณะกราฟของสมการพาราโบลาต่อไปนี้

สมการ ลกั ษณะ จุด จดุ คา่ y ค่า y สมการ
แกนสมมาตร
รปู กราฟ ต่ำสดุ สูงสดุ ต่ำสดุ สงู สดุ

y = 3x2 − 4

y = 2 − 5x2

y = 8x2 + 1

y = − 4x2 − 5
y = 1 x2 − 1

32

2. จงเขียนกราฟของสมการตอ่ ไปน้ีบนแกนค่เู ดยี วกัน

x -4 -2 -1 0 1 2 4

y = 1 x2 − 3
2

x -4 -2 -1 0 1 2 4

y = 4 − 1 x2
2

พาราโบลาทก่ี ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x − h)2

1. จงเติมคำตอบลงในตารางเพอ่ื บอกลกั ษณะกราฟของสมการพาราโบลาตอ่ ไปนี้

สมการ ลักษณะ จดุ จุด คา่ y ค่า y สมการ
รูปกราฟ ตำ่ สดุ สงู สดุ ต่ำสดุ สงู สุด แกนสมมาตร

y = − ( x + 5)2

y = 3( x + 4)2

y = 7( x − 2)2

y = − 4( x − 1)2

y =  x + 3 2
 4 

2. จงเขียนกราฟของสมการต่อไปน้บี นแกนคเู่ ดยี วกัน

x -4 -3 -2 -1 0 1 2

y = ( x + 1)2

x 0234568
y = 1 ( x − 4)2

2

พาราโบลาทก่ี ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x − h)2 + k

1. จงเติมคำตอบลงในตารางเพื่อบอกลักษณะกราฟของสมการพาราโบลาตอ่ ไปน้ี

สมการ ลกั ษณะ จดุ จดุ คา่ y ค่า y สมการ
รูปกราฟ ต่ำสุด สูงสดุ ตำ่ สุด สงู สุด แกนสมมาตร

y = − ( x − 3)2 + 7

y = 5( x + 2)2 − 8

y = 2( x − 9)2 + 1

y = − 3( x − 4)2 − 2

y =  x − 1 2 −3
 4 

2. จงเขียนกราฟของสมการตอ่ ไปนบ้ี นแกนคเู่ ดยี วกนั

x -2 -1 0 1 2 3 4
y = − ( x − 1)2 + 3

x -7 -6 -5 -3 -1 0 1
y = 1 ( x + 3)2 − 2

2

พาราโบลาทีก่ ำหนดด้วยสมการ y = ax2 + k

1. จงเตมิ คำตอบลงในตารางเพื่อบอกลักษณะกราฟของสมการพาราโบลาต่อไปน้ี

สมการ ลกั ษณะ จุด จดุ ค่า y คา่ y สมการ
แกนสมมาตร
รปู กราฟ ต่ำสุด สงู สดุ ต่ำสุด สูงสุด

y = 3x2 − 4
y = 2 − 5x2

y = 8x2 + 1

y = − 4x2 − 5
y = 1 x2 − 1

32

2. จงเขียนกราฟของสมการตอ่ ไปน้บี นแกนคเู่ ดียวกนั

x -4 -2 -1 0 1 2 4
-4 -2 -1 0 1 2 4
y = 1 x2 − 3
2

x

y = 4 − 1 x2
2

พาราโบลาทีก่ ำหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c

จงหาจดุ ทกี่ ราฟของพาราโบลาตดั แกน x ในกรณีที่กราฟไม่ตดั แกน x ให้ทำเครื่องหมาย ✓ลงในชอ่ ง

“ ไมต่ ัดแกน x ”

สมการ ไม่ตัดแกน x จุดที่กราฟตดั แกน x

1) y = 2x2 − 4

2) y = − x2 − 5

3) y = 2x − 4 − x2

4) y = 2( x + 1)2 − 8

5) y = − ( x − 3)2 − 4

6) y = − 1 ( x − 1)2 + 2

2

7) y = x2 − 2x − 15

8) y = 4x2 − 4x
9) y = − x2 + x + 2

--------------------------------------------------------------------
โปรแกรม เขียนกราฟ

https://www.desmos.com/calculator

คำช้แี จง จงตอบคำถามแต่ละข้อตอ่ ไปนี้
1. จากสมการพาราโบลาที่กำหนดให้ในแตล่ ะข้อ จงตอบคำถามต่อไปนี้

- เป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย
- จดุ สูงสุดหรอื จดุ ตำ่ สุดอยู่ท่จี ุดใด
- แกนสมมาตรคอื เส้นตรงอะไร

1. y = 2x2 − 4x + 5 2. y = 2(x − 1)2 + 3
- เป็นพาราโบลา ..…………………….………………. - เปน็ พาราโบลา ..………………….………………….
- จุดสงู สุดหรือจดุ ต่ำสดุ อย่ทู ี่จดุ - จุดสงู สุดหรอื จดุ ตำ่ สดุ อยทู่ ่ีจดุ
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
- แกนสมมาตรคือเส้นตรง x = ………………… - แกนสมมาตรคือเสน้ ตรง x = …………………

3. y = −3(x − 4)2 + 8 4. y = −9(x + 3)2 – 4
- เป็นพาราโบลา ..…………………….………………. - เปน็ พาราโบลา ..………………….………………….
- จดุ สูงสุดหรอื จุดต่ำสุดอยู่ท่ีจดุ - จดุ สงู สุดหรือจุดต่ำสุดอยทู่ ่ีจดุ
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
- แกนสมมาตรคือเส้นตรง x = ………………… - แกนสมมาตรคือเสน้ ตรง x = …………………

5. y = 3x2 6. y = − 2 x2

- เปน็ พาราโบลา ..…………………….………………. 3
- จดุ สงู สดุ หรือจุดต่ำสดุ อยทู่ ี่จุด
…………………………………………….…………………. - เป็นพาราโบลา ..………………….………………….
…………………………………………….…………………. - จดุ สูงสุดหรอื จดุ ตำ่ สดุ อยู่ท่ีจดุ
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
- แกนสมมาตรคือเส้นตรง x = ………………… …………………………………………………………………
…………………………………………………………………
7. y = (x − 3)2 - แกนสมมาตรคือเสน้ ตรง x = …………………
- เปน็ พาราโบลา ..…………………….……………….
- จดุ สงู สุดหรือจดุ ต่ำสุดอยูท่ ี่จุด 8. y = −6(x − 3)2
…………………………………………….…………………. - เป็นพาราโบลา ..………………….………………….
…………………………………………….…………………. - จุดสูงสุดหรือจุดตำ่ สุดอยู่ท่ีจดุ
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
- แกนสมมาตรคือเส้นตรง x = ………………… …………………………………………………………………
…………………………………………………………………
9. y=12(x + 5)2 - แกนสมมาตรคือเส้นตรง x = …………………
- เปน็ พาราโบลา ..…………………….……………….
- จุดสูงสุดหรอื จุดตำ่ สุดอยทู่ ี่จดุ 10. Y = x2 + 6x + 8
…………………………………………….…………………. - เป็นพาราโบลา ..………………….………………….
…………………………………………….…………………. - จุดสงู สดุ หรือจดุ ตำ่ สุดอย่ทู ่ีจดุ
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
…………………………………………….…………………. …………………………………………………………………
- แกนสมมาตรคือเส้นตรง x = ………………… …………………………………………………………………
…………………………………………………………………
- แกนสมมาตรคือเสน้ ตรง x = …………………

Youtube.com เสรมิ การเรียนรู้

4.1 สมการของพาราโบลา 4.1 สมการของพาราโบลา : 4.1 สมการของพาราโบลา :
กิจกรรมลองคิดดู กิจกรรมบอกไดห้ รือไม่

4.2 พาราโบลา y= ax เมื่อ ไม่ 4.2 พาราโบลา y=ax² เม่ือ ไม่ พาราโบลา : กิจกรรมภาพ
เทา่ กับ 0 : กรณี a มากกวา่ 0 เท่ากบั 0 : กรณี a นอ้ ยกว่า 0 สะท้อน

พาราโบลา : แบบฝกึ หดั 4.2 สรุป พาราโบลา y=ax² เมอื่ 4.3 พาราโบลา y=ax² +k เมอื่

ไมเ่ ทา่ กับ 0 ไม่เทา่ กบั 0 : กรณี a มากกว่า 0

4.3 พาราโบลา y=ax² +k เมอื่ สรุป พาราโบลา y=ax² +k เมอื่ พาราโบลา : แบบฝกึ หัด 4.3

ไม่เทา่ กับ 0 : กรณี a นอ้ ยกว่า 0 ไมเ่ ท่ากบั 0

4.4 พาราโบลา y = a(x-h)² +k พาราโบลา : แบบฝกึ หัด 4.4 ก 4.4 พาราโบลา y = a(x-h)² +k เมื่อ

เมอื่ ไม่เทา่ กับ 0 : กรณี k = 0 ไม่เท่ากับ 0 : กรณี k ไม่เท่ากับ 0

พาราโบลา : แบบฝกึ หดั 4.4 ข 4.5 พาราโบลา y = ax²+bx+c พาราโบลา : แบบฝกึ หัด 4.5
เมือ่ ไม่เท่ากบั 0

พาราโบลา : กจิ กรรม จานพารา พาราโบลา : กจิ กรรม สงู แค่ไหน พาราโบลา : กจิ กรรม หาได้
โบลpา อย่างไร

แบบฝึกหดั ท้ายบท พาราโบลา โจทย์เสรมิ พาราโบลา ข้อ 01 โจทยเ์ สรมิ พาราโบลา ข้อ 02

โจทยเ์ สริม พาราโบลา ข้อ 03 โจทยเ์ สรมิ พาราโบลา ข้อ 04 โจทยเ์ สริม พาราโบลา ข้อ 05

โจทยเ์ สริม พาราโบลา ข้อ 06 โจทย์เสริม พาราโบลา ข้อ 07 โจทย์เสรมิ พาราโบลา ข้อ 08

โจทยเ์ สรมิ พาราโบลา ข้อ 09 โจทยเ์ สริม พาราโบลา ข้อ 10 โจทย์เสรมิ พาราโบลา ข้อ 11

โจทย์เสรมิ พาราโบลา ข้อ 12 โจทย์เสริม พาราโบลา ข้อ 13 โจทยเ์ สริม พาราโบลา ข้อ 14

โจทย์เสริม พาราโบลา ข้อ 15 โจทย์เสริม พาราโบลา ข้อ 16 โจทยเ์ สริม พาราโบลา ข้อ 17
โจทยเ์ สริม พาราโบลา ข้อ 18 โจทย์เสริม พาราโบลา ข้อ 19 โจทยเ์ สรมิ พาราโบลา ข้อ 20

โจทยเ์ สรมิ พาราโบลา ข้อ 21