ทฤษฎัยทพิทาโกรัส

1

1

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ตอนท่ี 1

สมบัติของรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก

2

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์

ตอนที่ 1 สมบตั ิของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

สาระสำคญั
รูปสามเหล่ียม เปน็ หนึง่ ในรปู รา่ งพ้ืนฐานในเรขาคณิต คอื รูปหลายเหลีย่ มซ่งึ มีมุม 3 มุมหรอื จดุ ยอด

และมดี ้าน 3 ด้านหรือขอบท่ีเป็นสว่ นของเสน้ ตรง รูปสามเหลีย่ มที่มจี ุดยอด A , B , และ C เขยี นแทนด้วย
ABC

รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ( right , right-angled , rectangle ) มีมุมภายในมุมหนึ่งมขี นาด 90° (มุม
ฉาก) ด้านท่อี ยู่ตรงขา้ มกบั มุมฉากเรยี กวา่ ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซง่ึ เปน็ ด้านที่ยาวท่สี ดุ ในรปู สามเหลี่ยม อกี สอง
ด้านเรียกวา่ ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวดา้ นของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากสัมพันธก์ นั ตามทฤษฎีบทพีทาโกรสั
นัน่ คือ กำลังสองของความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลงั สองของด้านประกอบมมุ
ฉาก a, b เขยี นอยา่ งยอ่ เปน็ ( a2 + b2 = c2 )

จุดประสงค์การเรยี นรู้
นกั เรยี นสามารถ
1. นำทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ไปใชใ้ นการแก้ปัญหา
2. นำบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปใชใ้ นการแก้ปญั หา

ลือ่ /แหล่งเรียนรูเ้ พ่ิมเติม
https://www.youtube.com/watch?v=9RhZbGQYd68

3

กิจกรรมทักษะที่ 1

เรือ่ ง สมบตั ิของรปู สามเหล่ียมมุมฉาก

วิชา คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน รหัส ค 22101 ชว่ งชัน้ ท่ี 2 ชัน้ ปที ี่ 2

สมบัตริ ปู สามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม เป็นหน่ึงในรูปรา่ งพ้นื ฐานในเรขาคณิต คือ รูปหลายเหลี่ยมซง่ึ มมี ุม 3 มุมหรอื จุดยอด
และมดี ้าน 3 ดา้ นหรือขอบทเ่ี ป็นส่วนของเสน้ ตรง รูปสามเหลย่ี มทมี่ ีจุดยอด A , B , และ C เขยี นแทนดว้ ย
ABC
คุณสมบตั ิและการแบ่งประเภทของรูปสามเหลย่ี มตามความยาวของด้าน

1. รปู สามเหลี่ยมด้านเท่า ( equilateral ) มีด้านทกุ ด้านยาวเทา่ กนั และมีมมุ ทุกมุมขนาดเท่ากนั
นั่นคอื มุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากนั คือ 60° และเปน็ รูปหลายเหลย่ี มปกติ

รูปสามเหลีย่ มดา้ นเท่า
2. รูปสามเหลี่ยมหนา้ จั่ว ( isosceles ) มีด้านสองดา้ นยาวเทา่ กัน และมีมุมสองมุมขนาดเทา่ กัน
คอื มุมท่ีไม่ไดป้ ระกอบด้วยด้านทเี่ ท่ากันทงั้ สอง

รูปสามเหล่ยี มหน้าจ่วั
3. รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ( scalene ) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกตา่ งกัน มุมภายในกม็ ี
ขนาดแตกต่างกันด้วย

รูปสามเหลีย่ มดา้ นไม่เทา่

4
คุณสมบัตแิ ละการแบง่ ประเภทของรูปสามเหลยี่ มตามมุมภายใน

1. รปู สามเหลยี่ มมุมฉาก ( right , right-angled , rectangle ) มมี ุมภายในมุมหนึง่ มีขนาด 90°
(มุมฉาก) ด้านที่อยตู่ รงขา้ มกับมุมฉากเรียกวา่ ด้านตรงขา้ มมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านท่ยี าวที่สดุ ในรปู สามเหลี่ยม อีก
สองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวด้านของรูปสามเหลีย่ มมุมฉากสมั พันธก์ ันตามทฤษฎีบทพีทา
โกรสั นัน่ คือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเทา่ กับผลบวกของกำลังสองของดา้ น
ประกอบมมุ ฉาก a, b เขยี นอยา่ งย่อเป็น a2 + b2 = c2 ดเู พิ่มเติมที่ รูปสามเหลีย่ มมุมฉากพิเศษ

รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก
2. รปู สามเหลย่ี มมุมเฉยี ง ( oblique ) ไม่มมี ุมใดเป็นมุมฉาก ซ่ึงอาจหมายถึงรปู สามเหลย่ี มมมุ ป้าน
หรอื รปู สามเหลี่ยมมุมแหลม
2.1 รูปสามเหลี่ยมมุมปา้ น ( obtuse ) มมี มุ ภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กวา่ 90° (มุมป้าน)
2.2 รปู สามเหลี่ยมมุมแหลม ( acute ) มุมภายในทกุ มุมมีขนาดเลก็ กวา่ 90° (มุมแหลม) รูป
สามเหล่ียมด้านเทา่ เปน็ รปู สามเหลีย่ มมมุ แหลม แตร่ ูปสามเหลยี่ มมมุ แหลมทุกรปู ไมไ่ ด้เป็นรปู สามเหลี่ยมดา้ น
เทา่

การหาพ้ืนทข่ี องรปู สามเหล่ียม
พน้ื ท่รี ูปสามเหลยี่ ม = 1/2 x ฐาน x สงู

เชน่

5
ตอ่ ไปนนี้ ักเรยี นจะเรียนเกย่ี วกับสมบัติทส่ี ำคญั ของรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก อีกประการหน่ึง
ถ้า สามเหลยี่ ม ABC เป็นสามเหลยี่ มมุมฉาก ที่มี ABC เป็นมุมฉาก ( มุม C มีขนาด 90 องศา ) ดังรูป

จากรปู ABC เปน็ รูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ซ่ึงมี C เปน็ มุมฉาก
- AB เป็นดา้ นตรงข้ามมุมฉาก อย่ตู รงขา้ มกับมุม C แทนด้วยความยาว c
- AC เป็นด้านประกอบมุมฉาก อยู่ตรงขา้ มกับมุม B แทนด้วยความยาว b
- BC เป็นดา้ นประกอบมุมฉาก อยตู่ รงข้ามกบั มมุ A แทนด้วยความยาว a

ใหส้ ังเกตวา่ ดา้ นตรงข้ามมุมฉากเป็นดา้ นที่ยาวท่สี ุด
ถา้ c แทนความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก
a และ b แทนความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก
จะได้ c2 = a2 + b2
ความสัมพันธร์ ะหวา่ งความยาวของดา้ นท้ังสามของรปู สามเหลย่ี มมุมฉากข้างต้น เปน็ ไปตามสมบตั ิ

ของรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากทกี่ ล่าววา่
สำหรบั รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉาก เทา่ กับผลบวกของ

กำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก
สมบัตขิ า้ งต้นนี้เรียกวา่ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และเช่ือกนั ว่า นักคณิตศาสตร์ชาวกรกี ช่ือ พีทาโกรัส

เปน็ ผพู้ สิ ูจน์ไดเ้ ป็นคนแรก

สรุปสมบัติของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก

1. ด้านตรงข้ามมมุ ฉากเป็นเปน็ ท่ยี าวทส่ี ุด
2. สามเหล่ียมมมุ ฉากมมี ุม ๆ หน่งึ ขนาด 90 องศา

6

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1

เร่ือง สมบตั ขิ องรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิชา คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รหัส ค 22101 ชว่ งช้ันท่ี 2 ชน้ั ปีท่ี 2

คำชแี้ จง ใหน้ กั เรยี นระบวุ ่าดา้ นใดเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และดา้ นใดเป็นด้านประกอบมุมฉาก จากรูป
สามเหลีย่ มมุมฉากที่กำหนดให้

1.
BC เรียกวา่ ดา้ น ……………………………………
AC เรียกว่าด้าน ……………………………………
AB เรียกว่าดา้ น ……………………………………

2.
กข เรียกว่าดา้ น ……………………………………
ขค เรยี กวา่ ดา้ น ……………………………………
กค เรียกวา่ ด้าน ……………………………………

3.

XY เรยี กว่าด้าน ……………………………………
YZ เรยี กวา่ ด้าน ……………………………………
XZ เรียกว่าดา้ น ……………………………………

4.
TU เรยี กว่าดา้ น ……………………………………
VU เรียกวา่ ดา้ น ……………………………………
VT เรียกว่าด้าน ……………………………………

5.
คจ เรียกว่าด้าน ……………………………………
งจ เรยี กวา่ ด้าน ……………………………………
คง เรียกว่าดา้ น ……………………………………

7

แบบฝกึ ทักษะที่ 2

เรอ่ื ง สมบัติของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

วชิ า คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน รหสั ค 22101 ชว่ งชั้นท่ี 2 ชนั้ ปที ่ี 2

คำชแี้ จง จงเตมิ ข้อความในชอ่ งว่างใหถ้ ูกต้อง ความยาวดา้ นของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ข้อท่ี รูปสามเหล่ียมมุมฉาก
ตัวอย่าง รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC มีมมุ B เปน็ มมุ ฉาก
1. ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก คอื m .
ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก คือ n , p .
2.
รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก DEF มีมมุ ……. เป็นมุมฉาก
3. ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก คือ ……………….
ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก คือ ………………
4.
รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก STU มีมุม ……. เป็นมุมฉาก
5. ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ ……………….
ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก คือ ………………

รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก กขค มีมุม ……. เป็นมุมฉาก
ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก คือ ……………….
ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก คือ ………………

รปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก DEF มีมุม ……. เป็นมมุ ฉาก
ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก คือ ……………….
ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก คือ ………………

รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก XYZ มีมุม ……. เปน็ มุมฉาก
ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก คือ ……………….
ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก คือ ………………

8

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์
ตอนท่ี 2

ทฤษฎีบทพที าโกรสั

9

แบบฝกึ ทักษะ

ชุดท่ี 2 ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

สาระสำคัญ
ในสามเหล่ยี มมมุ ฉากใด ๆ พื้นท่ขี องสเ่ี หลยี่ มจตั รุ ัสทม่ี ดี ้านเปน็ ดา้ นตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวม

พ้ืนที่ของสเี่ หล่ยี มจัตุรสั ท่ีมดี า้ นเปน็ ด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากน้นั
ทฤษฎบี ทดังกลา่ วสามารถเขียนเป็นสมการสมั พนั ธก์ ับความยาวของด้าน a , b และ c ได้ ซึ่งมกั

เรยี กว่า สมการพีทาโกรสั
c2 = a2 + b2

โดยท่ี c เปน็ ความยาวดา้ นตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เปน็ ความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ

จุดประสงค์การเรียนรู้
นักเรยี นสามารถ
1. เขยี นสมการแสดงความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งความยาวของด้านทัง้ สามของรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก
2. เขยี นความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพื้นที่ของรูปสเ่ี หล่ยี มจัตุรัสบนด้านทงั้ สามของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรสั
3. หาความยาวของด้านใดด้านหนึง่ ของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก เม่ือกำหนดความยาวของดา้ นอีกสอง

ด้านให้
4. นำทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ไปใช้ในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์และปญั หาในชวี ติ จริง

ลือ่ /แหล่งเรียนรู้เพิ่มเติม
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book1/math-m2b1-001/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book1/math-m2b1-002/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book1/math-m2b1-003/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book1/math-m2b1-004/

10

กิจกรรมทกั ษะท่ี 2

เรอ่ื ง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

วิชา คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน รหสั ค 22101 ช่วงชนั้ ที่ 2 ช้นั ปที ่ี 2

ความสัมพันธข์ องความยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้า ABC เป็นสามเหล่ียมมมุ ฉากรูปหนึ่งมี C เปน็ มุมฉาก และ มดี า้ นประกอบมุมฉาก คือ AC และ
BC และดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก คือ AB ดงั รูป

และ a แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A
b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B
c แทนความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม C

จะได้ความสมั พันธ์ระหว่างความยาวของดา้ นทงั้ สามของรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก ABC ดงั น้ี
AB2 = BC2 + AC2

นน่ั คอื
" กำลังสองของความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก เท่ากับ ผลบวกของกำลังสองของความยาว

ด้านประกอบมุมฉาก "

รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ABC ถา้ ตวั เลขท่ีกำกับด้าน
ของรสู ามเหล่ียมมหี น่วยความยาวเป็นหนว่ ย
จะเขียนความสัมพันธ์ของด้านทง้ั สามได้ดงั น้ี

102 = 62 + 82

11

ตวั อย่าง จงเขยี นความสัมพันธร์ ะหวา่ งความยาวของด้านของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากต่อไปน้ี
1. 2.

ความสมั พันธ์ คือ 132 = 122 + 52 ความสมั พนั ธ์ คือ 252 = 242 + 72

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3

เร่อื ง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

วชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน รหสั ค 22101 ช่วงชัน้ ที่ 2 ช้นั ปีท่ี 2

คำช้ีแจง กำหนดให้รปู สามเหลยี่ มมุมฉากในข้อต่อไปน้ี ตัวอักษรหรือตวั เลขที่กำกบั ดา้ นเปน็ ความยาวดา้ น จง
ใชส้ มบตั ิของรูปสามเหล่ยี มมุมฉากเขยี นสมการแสดงความสมั พนั ธ์ความยาวของด้านทงั้ สาม

ตัวอย่าง 1.

ความสัมพันธ์ คือ c2 = a2 + b2 ความสัมพนั ธ์ คือ ……………………………
2. 3.

ความสมั พันธ์ คือ …………………………… ความสัมพนั ธ์ คือ ……………………………
4. 5.

ความสมั พนั ธ์ คือ …………………………… ความสัมพันธ์ คือ ……………………………

12

กิจกรรมทกั ษะท่ี 3

เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

วชิ า คณติ ศาสตร์พื้นฐาน รหัส ค 22101 ชว่ งช้ันที่ 2 ชนั้ ปีที่ 2

รปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากที่กำหนดให้ มี a และ b เป็นความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก และ
c เป็นความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก ใหน้ ักเรียนวดั ความยาวของด้านท่ยี งั ไมท่ ราบคา่

a = 3 เซนติเมตร
b = 4 เซนติเมตร
c = 5 เซนติเมตร ( ได้มาโดยการวัด )
c2 = a2 + b2
52 = 32 + 42
25 = 9 + 16
สามเหล่ียม ABC เป็นสามเหล่ียมมมุ ฉาก ทีม่ ีมมุ ACB เป็นมุมฉาก
โดยที่ c แทนความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉาก

a และ b แทนความยาวของด้านตรงขา้ ม
มมุ ฉากแตล่ ะด้าน จะเห็นวา่ c2 = a2 + b2 สมบัติ
ขา้ งต้นน้ีเรียกว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

รปู สามเหล่ยี มมุมฉากใด ๆ กำลงั สองของความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉากเท่ากบั ผลบวกของกำลัง
สองของความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก

13

เราสามารถใช้ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลยี่ มมุมฉากดังกล่าว หาความ
ยาวของด้านใดดา้ นหนึ่งของรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉากที่ตอ้ งการทราบได้เสมอ เมื่อทราบความยาวของด้านอีกสอง
ด้าน ดังตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่างท่ี 1 ความสมั พนั ธ์ คือ c2 = a2 + b2
c2 = 82 + 62
c2 = 64 + 36
c2 = 100

c = 100

c = 102
c = 10
ตอบ c มีความยาว 10 หนว่ ย

ตัวอยา่ งที่ 2 ความสมั พนั ธ์ คือ 152 = 122 + y2 d

152 = 122 + y2 d

152 - 122 = y2

225 - 144 = y2

81 = y2

81 = y

92 = y
9=y

ตอบ y มีความยาว 9 หน่วย

14

แบบฝึกทักษะท่ี 4

เรื่อง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

วิชา คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน รหสั ค 22101 ช่วงช้ันท่ี 2 ชั้นปีที่ 2

คำชแ้ี จง จงเตมิ ชอ่ งว่างให้ถูกตอ้ ง
กำหนดให้ a และ b เปน็ ความยาวของด้านประกอบมมุ ฉาก และ c เป็นความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ

ฉาก ของรปู สามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ

สตู รที่ 1 ถา้ n เปน็ จำนวนคที่ ี่มากกว่า 1 และให้ a = n จะได้ b = n2 − 1 และ c = n2 + 1
22

a=n b = n2 −1 c = n2 + 1 ชดุ ของจำนวนทไี่ ด้
22
32 −1 = 4 32 +1 = 5
3 22 3,4,5

5

7

9

11

13

.
.

15

สูตรที่ 2 ถ้า n เปน็ จำนวนเตม็ ที่มากกวา่ 1 และให้ a = 2n จะได้ b = n2 – 1 และ c = n2 + 1

n a = 2n b = n2 – 1 c = n2 + 1 ชุดของจำนวนท่ไี ด้ c2 = a2 + b2

2 2(2) = 4 22 – 1 = 3 22 + 1 = 5 3,4,5 52 = 42 + 32

3

4

5

6

7

.. . . . .

16

แบบฝึกทกั ษะที่ 5

เรือ่ ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

วชิ า คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน รหัส ค 22101 ชว่ งชัน้ ที่ 2 ชน้ั ปีท่ี 2

คำชแี้ จง จงหาความยาวของด้านทเี่ หลือของรูปสามเหลีย่ มมุมฉากท่กี ำหนดให้

1. c2 = 122 + 52
c2 = 144 + 25

c = 169
c = …………………………………………………....

2.
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………

3.
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………

4.
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………

5.
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………

17

แบบฝึกทกั ษะที่ 6

เรอื่ ง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

วชิ า คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รหัส ค 22101 ชว่ งชั้นที่ 2 ช้ันปีท่ี 2

คำชแี้ จง จากรปู สามเหล่ยี มมุมฉากทีก่ ำหนดให้ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี จงหาความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม

1. 152 = 122 + c2 ( 152 – 122 = c2 )

c2 = 225 – 144 = 81

c = 81 = 92

c = ………………………………………………………….

ความยาวรอบรูป 15 + 12 + …………………….

= ………………………. หนว่ ย

2. …………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

3. …………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

4. …………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

18
5. …………………………………………………………………

…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

พที าโกรสั นักคณติ ศาสตร์และนกั ปราชญช์ าวกรีกโบราณ

19

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 7

เรอ่ื ง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

วชิ า คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน รหสั ค 22101 ช่วงชน้ั ที่ 2 ชั้นปที ่ี 2

คำชีแ้ จง จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทกี่ ำหนดใหใ้ นแตล่ ะข้อต่อไปน้ี จงหาความยาวของรปู สามเหลยี่ ม

1. กำหนดความยาวของด้านของรปู สามเหลยี่ มมุมฉากให้สองด้าน จงหาความยาวของดา้ นท่เี หลือ เมอ่ื c
เป็นดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก a และ b เป็นดา้ นประกอบมมุ ฉาก

1.1) a = 16 , b = 30 , c =  1.2) a = 20 , c = 52 , b = 

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

1.3) a = 4 , c = 8.5 , b =  1.4) b= 9 , c = 3, a =
5
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

1.5) a = 2 3 , b = 2 , c =  1.6) b = 2 , c = 2 , a = 

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

20

2. จงหาความยาวของด้านทเ่ี หลือของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก เม่ือตัวเลขท่ีกำกบั ด้านเปน็ ความยาวของด้าน
2.1) . 2.2) .

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………..............................................……… ………………................................................…………
.......................................................................... .............................................................................
2.3) .
2.4) .

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………...............................................……………
……................................................................….... .............................................................................
........................................................................... .............................................................................

21
2.5) . 2.6).

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…........................……........................................... ……..................................................................…
............................................................................. ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……..................................................................…
2.7) . 2.8) .

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…....................................................................…… …....................................................................……
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…....................................................................…… ……..................................................................…

22

3. จงหาคา่ x เม่ือ x แทนวามยาวของด้าน 3.3) .
3.1) .

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
……………………………...............................………… ……………………................................…………………

3.2) . 3.4) .

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………..........................…………………................... …………………………................................................
.................................................................………… ..............................................................................

23

3.5) . 3.6) .

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
จงหาพน้ื ท่ีของรปู ต่อไปน้ี
4.1) . ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
………………………………….................…………………
……………………………………………………………………
………………………………….................…………………

24

4.2) ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
………………………………….................…………………

4.3) ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………….................…………………

4.4) ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
………………………………….................…………………

25

4.5) ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
………………………………….................…………………

4.6) ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
………………………………….................…………………

26

แบบฝึกทักษะท่ี 8

เร่ือง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

วิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน รหสั ค 22101 ช่วงชัน้ ท่ี 2 ช้นั ปที ี่ 2

คำชีแ้ จง กำหนดความยาวของด้านท้ังสามของรูปสามเหล่ียมใด ๆ จงตรวจสอบว่าเปน็ รูปสามเหล่ยี มมุมฉาก

หรือไม่

1.) 12 , 15 , 20 2.) 1 , 3 , 2

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

3.) 15 , 36 , 39 4.) 2 , 2 , 2

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

5.) 4 , 7.5 , 8.5 6.) 2 , 2 3 , 4

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

7.) 18 , 24 , 32 ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
…………………………………………………………………… 8.) 2 , 2 ,1
…………………………………………………………………… 2 2
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

27

2. จากรูปทางซ้ายมือ จงแสดงว่า  DEF เป็น
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

28

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์
ตอนท่ี 3

บทกลบั ของทฤษฎีบทพที าโกรัส

29

แบบฝกึ ทกั ษะ

ตอนที่ 3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สาระสำคัญ
ข้อสรุปเปน็ จรงิ ตามบทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรัสที่กลา่ ว่า
สำหรับรูปสามเหล่ียมใด ๆ ถา้ กำลังสองของความยาวของด้านหนึง่ เท่ากบั ผลบวกของกำลังสองของ

ความยาวของด้านอีกสองด้าน แล้วรูปสามเหล่ยี มนัน้ เป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
นกั เรยี นสามารถ
1. บอกไดว้ ่ารปู สามเหล่ยี มที่กำหนดความยาวของด้านท้งั สามมาใหร้ ูปใดเป็นรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก
2. นำบทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรสั มาใชใ้ นการแกป้ ญั หาทางคณิตศาสตรแ์ ละปญั หาในชีวติ จริง

ลอ่ื /แหลง่ เรยี นรู้เพ่ิมเติม
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book1/math-m2b1-005/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book1/math-m2b1-006/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book1/math-m2b1-007/

30

กิจกรรมทักษะที่ 4

เรอ่ื ง บทกลับทฤษฎีบทพที าโกรัส

วิชา คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน รหสั ค 22101 ช่วงช้นั ที่ 2 ชน้ั ปที ่ี 2

ในสมัยอยี ิปตโ์ บราณ เกษตรกรท่ีอาศัยอย่รู มิ ฝงั่ แม่นำ้ ไนลม์ ักประสบปัญหาน้ำท่วมท่ีดินจนไม่สามารถ
ชแ้ี นวเขตทด่ี นิ ของตนได้ จึงต้องรงั วัดท่ีดนิ ใหม่เกือบทุกปี ในสมัยนนั้ เม่อื ต้องการรงั วัดให้เปน็ มุมฉาก ชาวบ้าน
จะใชเ้ ชือกทีม่ ี 13 ปมระยะห่างระหว่างปมเป็น 1 หน่วยเท่ากนั มาขึงเป็นสามเหลย่ี มที่มีด้านยาวเปน็ 3 , 4
และ 5 หนว่ ย ก็จะไดร้ ปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากที่มดี ้านตรงข้ามมมุ ฉากเป็น 5 หนว่ ย

แม้แตใ่ นปจั จบุ นั ถ้าช่างรงั วดั ไมม่ เี คร่ืองมือวดั มุมฉาก เขาจะใช้เชอื ก 13 ปม มาขึงสร้างมุมฉาก วิธี
ดงั กล่าวน้ชี ีใ้ ห้เห็นว่าชา่ งรงั วดั ทราบวา่ รปู สามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านทั้งสามเป็น 3 , 4 และ 5 หน่วย
จะต้องเปน็ รปู สามเหลีย่ มมุมฉาก

นักเรียนคิดว่ามจี ำนวนสามจำนวนชุดอืน่ ๆ ท่ีเป็นความยาวของดา้ นท้ังสามของรูปสามเหล่ียม แลว้ ทำ
ใหไ้ ด้รูปสามเหลย่ี มมุกมฉาก อีกหรือไม่

ข้อสรุปเป็นจริงตามบทกลับของทฤษฎีบทพที าโกรัสที่กล่าว่า

สำหรับรปู สามเหลย่ี มใด ๆ ถ้ากำลงั สองของความยาวของดา้ นหนึง่ เทา่ กบั ผลบวกของกำลงั สอง
ของความยาวของด้านอกี สองดา้ น แลว้ รูปสามเหลย่ี มนน้ั เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

บทกลบั ของทฤษฎบี ทพีทาโกรัสเป็นการนำผลของทฤษฎีบทพีทาโกรสั มาเปน็ เหตุ และนำเหตมุ าเปน็
ผลซึ่งอธบิ ายไดด้ ังน้ี

ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั มเี หตุและผล ดงั นี้
เหตุ : มรี ูปสามเหล่ยี มรูปหน่งึ เป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก
ผล : กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก เท่ากบั ผลบวกของกำลงั สองของความยาวของ
ดา้ นประกอบมุมฉากของรูปสามเหลย่ี ม
เมือ่ นำผลขา้ งตน้ มาเป็นเหตุ และเปน็ ผล กจ็ ะได้บทกลับของทฤษฎบี ทพีทาโกรัสดังกลา่ วข้างตน้
จากบทพสิ ูจน์ของบทกลบั ของทฤษฎบี ทปีทาโกรสั เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลย่ี มใด ๆ เป็นสามเหล่ียม
มุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เม่อื กำหนดให้ c เปน็ ความยาวของด้านท่ยี าวทสี่ ดุ ในรูปสามเหลยี่ ม

31

ถ้า a2 + b2 = c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหล่ียมมุมฉาก

ถา้ a2 + b2 > c2 สามเหลี่ยมน้ันจะเปน็ สามเหลีย่ มมุมแหลม

ถ้า a2 + b2 < c2 สามเหล่ียมนั้นจะเป็นสามเหลีย่ มมุมป้าน การหาความยาวของดา้ นของรูป

สามเหลีย่ มมุมฉาก เม่ือทราบความยาวเพยี งด้านเดียว

เม่ือกำหนดให้ความยาวใด ๆ ของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก เป็นจำนวนเต็มท่มี ากกวา่ 1 แล้ว เราสามารถ

หาความยาว ของอีก 2 ด้านท่ีเหลอื ได้ โดยใชส้ ตู รของปีทาโกรสั ( Pythagoras ) และสตู รของพลสโต (Plato)

ซ่ึงมโี ครงสร้างสตู รท่ีคล้ายกัน ดังน้นั เพื่อใหง้ า่ ยต่อการจดจำ จึงจะนำเสนอสูตรของพลาโต ดงั น้ี

สตู รของพลาโต คือ กำหนดให้ n เปน็ จำนวนเต็มท่ีมากกว่า 1 ( น่นั คอื จำนวนต้ังแต่ 2 ขึน้ ไป ) จะได้

ว่า 2n , n2 – 1 และ n2 + 1 เป็นจำนวนเตม็ ท่สี อดคลอ้ งกับสตู รบทของปที าโกรัส ดังน้ี

n a = 2n b = n2 – 1 c = n2 + 1 c2 = a2 + b2

2 2(2) = 4 22 – 1 = 3 22 + 1 = 5 52 = 42 + 32

3 2(3) = 6 32 – 1 = 8 32 + 1 = 10 102 = 62 + 82

4 2(4) = 8 42 – 1 = 15 42 + 1 = 17 172 = 82 + 152

5 2(5) = 10 52 – 1 = 24 52 + 1 = 26 262 = 102 + 242

.. . . .

.. . . .

ข้อสงั เกต : ความยาวของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากท่ีควรจำ เขยี นในรปู อัตราส่วนอย่างตำ่ ไดด้ ังนี้

3 , 4 , 5 5 , 12 , 13 7 , 24 , 25 8 , 15 , 17

9 , 40 , 41 11 , 60 , 61 12 , 35 , 37 13 , 84 , 85 20 , 21 , 29

ขอ้ สังเกตง่าย ๆ เก่ยี วกบั ตัวเลขท่พี บบ่อยในการคิดคำนวณ ซ่ึงจากการสังเกตพบว่ามีความเกีย่ วโยงสัมพนั ธก์ นั

ซ่ึงน่าจะเปน็ ประโยชนต์ ่อนกั เรียน

นกั เรียนสังเกตดชู ดุ ตัวเลขเหลา่ นีก้ จ็ ะเหน็ ความสมั พันธว์ ่าชดุ ตัวเลขที่ยกมาใหด้ นู ้เี กดิ จากการนำจำนวน

เต็มมาคูณ เช่น

( 3 , 4 , 5 ) x 2 = ( 6 , 8 , 10 ) ( 3 , 4 , 5 ) x 3 = ( 9 , 12 , 15 )

( 3 , 4 , 5 ) x 4 = ( 12 , 16 , 20 ) ( 3 , 4 , 5 ) x 5 = ( 15 , 20 , 25 )

( 3 , 4 , 5 ) x 6 = ( 18 , 24 , 30 )

ตวั เลขทงั้ หมดตา่ งเปน็ ความยาวของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก เม่อื ตดั เป็นอตั ราสว่ นอย่างตำ่ ก็จะได้ 3 , 4

, 5 ส่วนชุดตัวเลขอืน่ ๆก็ล้วนมคี วามสมั พันธ์แบบนเี้ ชน่ กัน

32

ตวั อย่างที่ 1 กำหนดความยาวของดา้ นทัง้ สามของรปู สามเหล่ยี มใด ๆ จงตรวจดูวา่ ขอ้ ใดเปน็ รูปสามเหลยี่ ม

มุมฉาก

1.1.) 12 , 15 , 19

วิธีทำ 192 = 19 x 19 = 361 ( พืน้ ท่ีของรปู สเี่ หล่ยี มจัตุรัสบนดา้ นทย่ี าวท่สี ดุ )

122 + 152 = ( 12 x 12 ) + ( 15 x 15 ) = 144 + 225

= 369 ( ผลบวกของพ้ืนทีร่ ูปสีเ่ หล่ียมจตั รุ ัสบนดา้ นอีกสองดา้ น )

จะไดว้ ่า 192 ไม่เทา่ กับ 122 + 152

ดงั นน้ั 12 , 15 , 19 ไมเ่ ป็นความยาวของดา้ นของรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก

1.2.) 18 , 24 , 30

วธิ ที ำ 302 = 30 x 30 = 900 ( พื้นทขี่ องรูปสเี่ หล่ยี มจตั ุรัสบนดา้ นท่ยี าวทีส่ ดุ )

182 + 242 = ( 18 x 18 ) + ( 24 x 24 ) = 324 + 576

= 900 ( ผลบวกของพ้ืนท่ีรูปสี่เหล่ยี มจัตรุ ัสบนด้านอีกสองดา้ น )

จะได้วา่ 302 = 182 + 242

ดงั นั้น 18 , 24 , 30 เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหล่ียมมมุ ฉากทม่ี ดี ้านตรงขา้ มมมุ ฉากยาว

30 หนว่ ย

1.3.) 8, 15, 17

วิธีทำ 172 = 17 x 17 = 289 ( พนื้ ทีข่ องรูปสเี่ หลยี่ มจตั รุ สั บนด้านทีย่ าวที่สุด )

82 + 152 = ( 8 x 8 ) + ( 25 x 25 ) = 64 + 225

= 289 ( ผลบวกของพน้ื ท่ีรปู ส่เี หล่ียมจตั รุ ัสบนดา้ นอีกสองดา้ น )

จะได้ 172 = 82 + 152

ดังนน้ั 8 , 15 , 17 เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มดี า้ นตรงข้ามมุมฉากยาว

17 หน่วย

1.4.) 16 , 28 , 32

322 = 32 x 32 = 1,024 ( พ้นื ทขี่ องรปู ส่เี หลี่ยมจัตุรัสบนด้านทย่ี าวทส่ี ุด )

162 + 282 = ( 16 x 16 ) + ( 28 x 28 ) = 256 + 784

= 1,040 ( ผลบวกของพนื้ ที่รปู สีเ่ หล่ียมจัตุรัสบนด้านอีกสองดา้ น )

จะได้ 322 ไม่เทา่ กับ 162 + 282

ดังนั้น 16 , 28 , 32 ไมเ่ ป็นความยาวของด้านของรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก

33

ตวั อยา่ งที่ 2.1 จงแสดงว่า รปู สามเหลี่ยม ABC ในแตล่ ะขอ้ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

1. หาความยาวของด้าน AB และ AC
AB2 = 92 + 122
AB2 = 81 + 144
AB2 = 225

และ
AC2 = 122 + 162
AC2 = 144 + 256
AC2= 400

2. ตรวจสอบว่าเป็นรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากหรอื ไม่
BC2 = ( 9 + 16 )2 = ( 25 )2 = 625
AB2 + AC2 = 225 + 400 = 625
ดงั นน้ั BC2 = AB2 + AC2
นนั่ คือ รูปสามเหลย่ี ม ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 2.2 จงแสดงวา่ รูปสามเหล่ียม ABC ในแต่ละข้อเปน็ รปู สามเหลี่ยมมุมฉาก

1. หาความยาวของด้าน AB และ AC
AB2 = 202 + 332
AB2 = 400 + 1,089
AB2 = 1,489

และ
AC2 = 332 + 562
AC2 = 1,089 + 3,136
AC2 = 4,225

2. ตรวจสอบวา่ เปน็ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากหรอื ไม่

BC2 = ( 20 + 56 )2 = ( 76 )2 = 5,776
AB2 + AC2 = 1,489 + 4,225 = 5,714
ดังนนั้ BC2 ไม่เท่ากับ AB2 + AC2

นน่ั คือ รปู สามเหลย่ี ม ABC ไมเ่ ปน็ รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก ตอบ.

34

แบบฝกึ ทักษะท่ี 9

เรอื่ ง บทกลับทฤษฎบี ทพที าโกรัส

วิชา คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน รหสั ค 22101 ช่วงชั้นท่ี 2 ชนั้ ปีที่ 2

คำชแ้ี จง กำหนดความยาวของด้านของรปู สามเหลยี่ ม ให้นักเรยี นหาวา่ ความยาวของด้านของรปู สามเหลี่ยม
ในแต่ละข้อเป็นความยาวของดา้ นของรูปสามเหลีย่ มมุมฉากหรือไม่ ( ข้อ 1 – 5 )

1. 10 , 24 และ 26 เมือ่ กำหนดความยาวเป็นหนว่ ยความยาว ………………………………………

2. 3.5 , 12 และ 12.5 เมื่อกำหนดความยาวเปน็ หนว่ ยความยาว ………………………………………

3. 8 , 15 และ 20 เม่อื กำหนดความยาวเป็นหนว่ ยความยาว ………………………………………

4. 7.5 , 10 และ 12.5 เมือ่ กำหนดความยาวเป็นหนว่ ยความยาว ………………………………………

5. 12 , 34 และ 37 เมื่อกำหนดความยาวเปน็ หนว่ ยความยาว ………………………………………

6. สามเหล่ียม ABC ด้านบน เป็นรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก หรือไม่

เม่ือกำหนดความยาวเปน็ หน่วยความยาว ………………………………

7. สามเหลยี่ ม ABC ด้านบน เป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก หรือไม่
เม่ือกำหนดความยาวเป็นหนว่ ยความยาว ………………………………

8. จากรูปด้านบน จงหา SR

เมอ่ื กำหนดความยาวเปน็ หนว่ ยความยาว ………………………………

35
9. จากรูปสเ่ี หล่ียมด้านขนานดา้ นบน จงหาพื้นท่ีของรูปตอ่ ไปน้ี

เม่ือกำหนดความยาวเป็นหนว่ ยความยาว ……………………… ตารางหน่วย

10. จากรปู สี่เหลี่ยมคางหมดู ้านบน จงหาพื้นที่ของรปู นี้
เมอ่ื กำหนดความยาวเป็นหนว่ ยความยาว ………………… ตารางหนว่ ย

36

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์
ตอนท่ี 4
การนำไปใช่

37

แบบฝกึ ทกั ษะ

ตอนท่ี 4 การนำไปใช้

สาระสำคญั
ทฤษฎีบทพีทาโกรสั เปน็ ทฤษฎบี ททแี่ สดงความสัมพนั ธ์ระหว่างความยาวของด้านท้งั สามของรปู

สามเหลย่ี มมมุ ฉาก หรือความสัมพันธร์ ะหว่างพ้ืนที่ของรปู สี่เหลีย่ มจตั รุ ัสทอี่ ยบู่ นด้านท้งั สามของรปู สามเหลย่ี ม
มุมฉากนนั้

บทกลบั ของทฤษฎบี ทพีทาโกรสั เป็นทฤษฎีบทท่ใี ช้เพื่อบอกว่ารปู สามเหล่ยี มใด ๆ ท่ีกำ ลงั สองของ
ความยาวของด้านด้านหน่ึงเท่ากับผลบวกของกำ ลังสองของความยาวของดา้ นอีกสองดา้ นแล้วรปู สามเหล่ยี ม
นน้ั จะเปน็ รูปสามเหล่ยี มมุมฉาก

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
นักเรียนสามารถ
1. นำทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปใชใ้ นการแก้ปญั หา
2. นำบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรสั ไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

ลอ่ื /แหลง่ เรียนร้เู พิ่มเตมิ
-

38

กิจกรรมทักษะท่ี 5

เรอ่ื ง การนำไปใช้

วิชา คณติ ศาสตร์พื้นฐาน รหสั ค 22101 ช่วงชั้นท่ี 2 ชั้นปที ่ี 2

ประโยชน์ของทฤษฎบี ทปีทาโกรสั และบทกลบั ของทฤษฎีบทปที าโกรัส ได้แก่
1. ใช้หาความยาวของดา้ นของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้
2. ใช้หาความยาว ความกวา้ ง และความสงู ของรูปทรงเรขาคณติ บางรปู ได้
3. ใช้หาพืน้ ที่ และปรมิ าตรของรปู ทรงเรขาคณิตบางรูปได้

ตวั อยา่ งท่ี 1 กานดาเดินไปทางทิศเหนือ 6 ไมล์ และเลย้ี วไปทางตะวนั ออก 8 ไมลก์ านดาอยหู่ า่ งจาก
จดุ เร่มิ ต้นกี่ไมล์

วิธีทำ ให้ กานดาอยู่หา่ งจากจุดเริม่ ต้น AC ไมล์
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 62 + 82
AC2 = 36 + 64
AC2 = 100

AC2 = 102
AC = 10
ตอบ ดงั นน้ั กานดาอย่หู า่ งจากจุดเรมิ่ ตน้ 10 ไมล์

39
ตัวอย่างท่ี 2 กรอบรปู อนั หนง่ึ วดั ความยาวได้ 12 น้ิว วดั เสน้ ทแยงมมุ ได้ 13 น้ิว จงหาว่ากรอบรปู อนั น้ีมี
ความกวา้ งกนี่ ้ิว

วิธที ำ ให้ กรอบรปู อันนีม้ คี วามกว้าง x น้ิว
132 = x2 + 122
x2 = 132 - 122
x2 = 169 - 144
x2 = 25
x2 = 52
x =5

ตอบ ดงั นน้ั กรอบรปู อันน้ีมีความกวา้ ง 5 นิว้
ตวั อย่างท่ี 3 สามเหล่ียมหน้าจวั่ รูปหน่งึ ดา้ นทยี่ าวเทา่ กันน้ันยาว 1.3 ซม. ฐานยาว 2.4 ซม. จงหาความสูง
และพ้นื ที่ของสามเหลีย่ มหนา้ จ่วั รูปนี้

วธิ ีทำ ให้ ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจัว่ เป็น h เซนตเิ มตร
1.32 = h2 + 1.22
h2 = 1.32 - 1.22
h2 = 1.69 - 1.44
h2 = 0.25
h2 = 0.52
h = 0.5

ตอบ ดงั นัน้ ความสงู ของสามเหล่ียมหนา้ จั่วเปน็ 0.5 เซนติเมตร

40

ตัวอยา่ งที่ 4 ชายคนหน่งึ เดินทางไปทศิ ใต้ 30 กโิ ลเมตรจากนัน้ เดินทางไปทางทิศตะวนั ตก 14 กิโลเมตร แลว้
ขน้ึ ไปทางทิศเหนือ 20 กิโลเมตร และเดนิ ตอ่ ไปทางทิศตะวันตก 10 กโิ ลเมตร จงหาว่าเขายนื อย่หู ่างจากจดุ
เดิมเท่าไร

วิธที ำ ให้ ชายคนหน่งึ ยนื อยหู่ ่างจากจดุ เดมิ AE กิโลเมตร
AE2 = 242 + 102
AE2 = 576 + 100
AE2 = 676

AE2 = 262
AE2 = 26
ตอบ ดังนั้น ชายคนหนึง่ ยืนอยู่หา่ งจากจุดเดิม 26 กิโลเมตร

ตัวอย่างท่ี 5 ต้นไม้ต้นหนง่ึ ใชล้ วดผูกท่ีจดุ ซงึ่ หา่ งจากยอด 2 ฟุต แลว้ ดงึ มาผกู ท่ีหลักซงึ่ อยูห่ า่ งจากโคน ต้นไม้
15 ฟตุ ถ้าลวดยาว 25 ฟตุ ตน้ ไม้ต้นน้ีสูงก่ีฟุต
วธิ ที ำ ให้ ความสงู ของต้นไมจ้ ากพ้ืนถงึ จดุ ท่ีผูกลวดยาว x ฟุต

252 = x2 + 152
x2 = 252 – 152
x2 = 625 - 225

x2 = 400 = 202 x = 20

ไดค้ วามสงู ของต้นไมจ้ ากพนื้ ถึงจดุ ท่ผี กู ลวดไว้เท่ากับ 20 ฟตุ

ความสูงของตน้ ไมจ้ ากจุดทผ่ี กู ลวดไปถงึ ยอดเท่ากบั 2 ฟุต

ตอบ ดังนน้ั ความสงู ต้นไม้คือ 20 + 2 = 22 ฟุต

41

ตวั อยา่ งท่ี 6 จากรปู บันไดยาว 15 เมตรพาดทขี่ อบหนา้ ต่างตึกหลังหนึง่ ซ่งึ สูง 12 เมตรเมือ่ พลกิ บนั ไดไปอกี
ขา้ งหน่งึ บนั ไดจะพาดขอบหน้าต่างของตึกอกี ขา้ งหนึ่งซ่ึงสงู 9 เมตรพอดีขอบตึกทง้ั สองอยู่หา่ งกนั กเี่ มตร

วิธที ำ ให้ ขอบตกึ แรกหา่ งจากโคนบันได x เมตร
152 = x2 + 92
x2 = 152 – 92
x2 = 225 - 81

x2 = 144 = 122 x = 12
y =9
ให้ ขอบตกึ ที่สองห่างจากโคนบันได y เมตร

152 = y2 + 122

y2 = 152 – 122

y2 = 225 - 144

y2 = 81 = 92

ตอบ ดังนั้น ขอบตึกทัง้ สองอยูห่ ่างกนั 12 + 9 = 21 เมตร

ตัวอยา่ งที่ 7 เสาธงสงู 24 ฟุต นายแดงโยงเชือกจากยอดเสามายังพื้นตรงจุดทห่ี ่างจากโคนเสา 10 ฟตุ
จงหาความยาวของเชือก
วิธีทำ ให้ เชอื กยาว x ฟตุ

x2 = 242 + 102
x2 = 576 + 100
x2 = 676

x2 = 262
x = 26
ตอบ ดังนั้น นายแดงจะต้องใช้เชอื กผูกเสาธงยาว 26 + 26 = 52 ฟุต

42

แบบฝึกทักษะท่ี 10

เรอ่ื ง การนำไปใช้

วิชา คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน รหสั ค 22101 ช่วงช้นั ท่ี 2 ชัน้ ปีที่ 2

คำชแ้ี จง กำหนดความยาวของดา้ นของรปู สามเหลยี่ ม
1. จงหาพื้นทรี่ ูปส่เี หลย่ี ม ABCD ตามรปู

………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……….................………………………………………………...........
............………………………....................................................
..........................................................................................
.........................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. . กล่องรปู ลูกบาศกย์ าวดา้ นละ 4 เซนติเมตร
จงหาความยาวของ BF กบั BE
………………………….......................……………………….………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………................
............................…………..................................................

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………

43

4. หลังคาหอบังคับการตำรวจจราจรเปน็ รปู พีระมดิ ฐานส่เี หลยี่ มจตั รุ สั ยาวด้านละ 24 เมตร สนั ทง้ั สย่ี าว
ด้านละ 20 เมตร จงหาความสงู เฉพาะหลังคานี้
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………..................................................................
.................................................................................................... .…

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. . จากรูป จงหาคา่ ของ a และ b
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………...........................................................................
.......................................................................................................

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

44

6. จากรปู จงหาความยาวของ AD เมือ่ BD = 9 นิ้ว , CD = 16 น้ิว และ AB ต้ังฉากกับ AC
ท่จี ดุ A , AD ตั้งฉากกับ BC ทีจ่ ุด D
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………...........……
………………………………………………………………………………
………………………………………………………..……………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7. จงหาพืน้ ท่ีสามเหล่ียม ABC เมื่อ AD ตง้ั ฉากกบั BC ที่จดุ D AB = 26 น้ิว ,

AC = 30 น้วิ และ BC = 28 นิว้
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………….....................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

45

8. บันไดอนั หนง่ึ ยาว 35 ฟุต พาดกบั ผนังตึกได้สูง 21 ฟุต แตถ่ า้ กลบั บนั ไดไปพาดกับต้นมะพร้าวที่อยู่
ตรงข้ามกับผนงั ตึก จะพาดกับต้นมะพร้าวได้สงู 28 ฟตุ อยากทราบว่าตน้ มะพร้าวอยู่หา่ งจากผนังตกึ กี่
ฟุต
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..…………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. อ่อนออกเดนิ ทางไปทางทิศเหนือได้ 2 ไมล์ กเ็ ลย้ี วไปทางทิศตะวันตก 1 ไมล์ แลว้ เลยี้ วขน้ึ ไป ทางทิศ
เหนืออีก 2 ไมล์ จากน้ันเลี้ยวไปทางทิศตะวนั ออก 2.5 ไมล์ แลว้ เลี้ยวลงมาทางทศิ ใต้อีก 3.2 ไมล์
ออ่ นจะอยู่ห่างจากท่เี ดมิ ก่ไี มล์
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

46

10. ชายคนหนึง่ ออกเดินทางไปทางทศิ ตะวนั ออกได้ 12 กิโลเมตร ก็เลย้ี วไปทางทิศเหนอื 10 กโิ ลเมตร
แลว้ เลี้ยวไปทางทศิ ตะวันออกอีก 8 กิโลเมตร จากนน้ั เลย้ี วข้ึนไปทางทศิ เหนืออีก 11 กโิ ลเมตร อยาก
ทราบวา่ ชายคนน้ีอยู่หา่ งจากทเี่ ดิมเทา่ ใด
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11. ABCD เปน็ รปู สเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัสแนบในวงกลมยาวดา้ นละ 4 น้ิว จงหาพนื้ ท่ีที่แรเงา
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
….....................................................................................................
........................................................................................... ............

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

47

12. . จากรปู ABCD เป็นรปู สี่เหลี่ยมผืนผ้า
จงหาพนื้ ทสี่ ่วนท่แี รเงา
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………...................
......................………………...................................................
.........................................................................................

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13. . จากรปู ABC เปน็ รูปสามเหล่ียมมุมฉากท่ี C
สร้างรปู ครึง่ วงกลมบนเสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง AB ,
AC และ BC ถ้าพนื้ ทร่ี ปู สามเหล่ียม ABC เทา่
กับ 48 cm2 จงหาพน้ื ท่สี ่วนท่แี รเงา
………………………………………………………………………………
…...............................................…………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

48

14. . จากรปู ACD และ ABE เป็น  มมุ ฉาก มี

BE = CD = 17 นิว้

BD = 1 EC
2

AD = 15 นิ้ว

จงหาความยาวของ AE

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

15. การเดินทางของนายสมประสงคเ์ ป็นดงั น้ี ขึ้นเหนือ 2 กิโลเมตร ตะวนั ออก 2 กิโลเมตร ขึ้นเหนอื 2

กิโลเมตร ตะวนั ออก 2 กิโลเมตร ขึน้ เหนือ 2 กิโลเมตร ตะวันออก 2 กโิ ลเมตร และสุดท้ายขึ้น

เหนืออีก 2 กิโลเมตร นายสมประสงค์อยหู่ า่ งจากจุดเร่ิมต้นกี่กิโลเมตร

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………..........

........................................................................................................

........................................................................................................

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………