Satuan Pendidikan : SMK PGRI 1 JOMBANG Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester : XII / 1 Kompetensi Dasar : 3.25 Menganalisis kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi pada masalah kontekstual : 3.26 Menentukan peluang suatu kejadian Materi Pokok : Kaidah Pencacahan, Permutasi, Kombinasi, Peluang Guru Pengajar : Dra. DWI WAHYUNI, M.Pd
PERMUTASI PERMUTASI ADALAH aturan pencacahan / penyusunan dengan memperhatikan URUTAN OBJEK
Penyusunan dengan memperhatikan URUTAN OBJEK Contoh Struktur Organisasi 1. CEO (Chief Executive officer) 2. Direktur Utama 3. Direktur Keuangan 4. Direktur Personalia 5. Manajer 6. Administrasi dan Gudang 7. Divisi regional Adalah urutan Jabatan yang tidak bisa di bolak balik
FAKTORIAL • Faktorial adalah banyaknya cara untuk membentuk susunan yang berurutan dari n objek. • Faktorial dilambangkan dengan tanda ! • Contoh • 0 ! = 1 • 1 ! = 1 • 2 ! = 2 x 1 = 2 • 3 ! = 3 x 2 x 1 = 6 • 4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 • 5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 • dst • 8 ! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 dibaca 8 faktorial
Contoh 1. Tentukan nilai dari a. 9 ! b. 8 ! – 4 ! c. (9 – 5)! Pembahasan a. 9 ! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880 b. 8 ! – 4 ! = (8x7x6x5x4x3x2x1) – ( 4x3x2x1) = = 40.320 - 24 = 40.296 c. (9 – 5)! = 4 ! = 4 x 3 x 2 x1 = 24
1. PT. Cahaya Perkasa akan mengadakan pemilihan calon Direktur Utama, Direktur Keuangan dan Direktur Personalia dari 8 orang Calon terpilih dari hasil seleksi. Berapa banyak cara pemilihan susunan direktur yang dapat dilaksanakan ? • Pembahasan • Diketahui : 8 orang Calon terpilih maka n = 8 Direktur Utama, Direktur Keuangan, Direktur Personalia = 3 orang, maka r = 3 Di Tanya : banyak cara pemilihan susunan direktur Rumus : P(n,r) = ! − ! P(n,r) = ! − ! = ! ! = = 8 x 7 x 6 = 336 Cara Jadi Banyak Cara Pemilihan Susunan Direktur adalah 336 Cara
2. Perhatikan Kunci Koper Di Samping Berapa banyak PIN Code yang dapat di buat dengan syarat TIDAK boleh terdapat angka yang sama Pembahasan Diketahui : Angka yang tersedia n = 10 Angka PIN Code = 3, maka r = 3 Di Tanya : banyak PIN Code yang di buat Rumus : P(n,r) = ! − ! P(n,r) = ! − ! = ! ! = = 10 x 9 x 8 = 720 PIN Code Jadi dapat di buat PIN Code sebanyak 720
Permutasi Melingkar (Permutasi Siklis) Banyaknya permutasi n unsur berlainan yang disusun melingkar adalah P siklis = (n-1)!
Contoh Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4 orang akan duduk melingkar untuk mengadakan rapat khusus. Berapa cara mereka dapat menempati tempat duduk yang telah di sediakan ? Pembahasan. Keempat mahasiswa tadi dapat diatur duduk melingkar dalam permutasi siklis P siklis = ( n – 1 ) ! = (4-1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 Cara Jadi Mereka dapat menempati tempat duduk dengan 6 Cara
Permutasi dari beberapa Unsur Contoh Armira diberi permainan menyusun huruf “KAKAKKU” . Berapa banyak susunan huruf yang dapat di bentuk oleh Armira ? Pembahasan Diketahui : KAKAKKU Terdiri dari 7 Huruf Dengan rincian K = 4 huruf A = 2 huruf U = 1 huruf Di tanya : Banyak susunan Huruf Jawab : P = ! ! ! ! = 7 ! 4! 2 ! 1 ! = 7 6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 (2 1) 1 ! = 105 Jadi banyak huruf yang di bentuk adalah 105 cara
Kerjakan soal dibawah ini sebagai Tugas 1 1 Pada kegiatan pemilihan pengurus kelas XII Q yang terdapat 9 siswa sebagai calon akan dipilih untuk jabatan Ketua Kelas, Wakil Ketua kelas, Bendahara, dan Sekertaris kelas. Berapa banyak cara susunan pemilihan tersebut? 2. Terdapat calon pemain sebanyak 10 orang yang akan diikutkan lomba, maka diadakan pemilihan pemain sebagai smasher, setupper, Defender. Berapa banyak cara pemilihan pemain tersebut? 3. Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang di bentuk dari hurup MAHABARATA?
COMBINASI Combinasi adalah penyusunan unsur unsur dengan tidak memperhatikan urutan.
Banyaknya cara untuk menyusun r unsur tersebut merupakan masalah kombinasi r dari n di tulis C(n,r) dapat di rumuskan C(n,r) = ! ( − )! !
Apa yang kamu pikirkan pada gambar di bahwa ini ? Tuliskan jawaban pada sebuah kertas !
1. Seorang penguasaha home industry akan membuat bendera mainan terdiri 2 warna dari warna kain yang tersedia merah, kuning, hijau, biru dan putih. Tentukan banyaknya kombinasi 2 warna bendera yang dapat di buat ? Penyelesaian : Warna yang tersedia : merah, kuning, hijau, biru, putih n = 5 Combinasi 2 warna r = 2 C( 5, 2 ) = ! (− )! ! = .... (.. ) . = .x . = 10 Jadi banyaknya kombinasi ada 10 warna
2). UD sekar wangi membuat batik tradisional sehingga memerlukan warna cat hasil dari combinasi 3 warna standart Adapun cat yang tersedia antara lain merah, biru, kuning, putih Berapa warna cat yang dapat di buat hasil perpaduan 3 warna tersebut? Penyelesaian : Warna yang tersedia : merah, biru, kuning, putih, n = 4 Combinasi 3 warna r = 3 C( 5, 2 ) = 4! (4−3 )! 3! = x 3! ! 3! = = 4 Jadi banyaknya kombinasi warna ada 4 warna Catatan : Pada saat mencampur warna proses menuangkan tanpa memperhatikan urutan warna Sehingga di sebut combinasi
3). Banyak pejabat ekselon dari suatu instansi ada sembilan orang. 2 (dua) orang akan dipilih untuk mengikuti rapat koordinasi di kantor pusat. Tentukan banyaknya cara untuk memilih kedua pejabat ekselon tersebut. Penyelesaian Banyak anggota 9 orang n = 9 di pilih 2 orang r = 2 C( 9, 2 ) = ! (− )!! = ........ ! . = .. . = 9 x 4 = 36 Jadi banyaknya cara untuk memilih adalah 36 cara
Kerjakan soal dibawah ini sebagai Tugas 2 1. Ani akan membuat rainbow cookie yang terdiri 4 warna supaya menarik Ani hanya mempunyai pewarna makanan : merah, kuning, hijau, biru, orange dan Coklat Berapa banyak warna yang dapat di combinasikan dalam membuat kue tersebut ? 2. Dari 6 siswa akan di pilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat Bahasa Inggris. Berapa banyaknya susunan peserta yang dapat di bentuk ? 3. Dalam suatu kotak terdapat 8 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Berapa banyak cara untuk mengambil 3 kelereng merah dan 2 kelereng putih dari kotak itu ? 4. Dari 8 siswa akan dibentuk satu tim bola volley, Berapa banyak susunan tim bola volley yang mungkin dapat dibentuk ? 5. Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi?
PELUANG SUATU KEJADIAN Apa yang kalian Pikirkan jika memainkan permainan di samping dengan teman temanmu ?
A. Ruang Sampel Ruang sampel (S) adalah kumpulan dari hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Banyaknya Ruang sampel di simbolkan dengan n(S) B. Titik Sampel adalah anggota angota dari ruang sampel, sedangkan kumpulan dari beberapa titik sampel disebut kejadian. • Contoh Ruang Sampel 1. Sebuah Mata Uang Logam • Terdiri : Angka dan Gambar maka n(S) = 2 2. Dua Buah Mata Uang Logam • Terdiri : AA, AG, GA, GG maka n(S) = 4 : AA = angka, angka : GG = Gambar, Gambar 3. Tiga buah mata Uang Logam Terdiri : AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG maka n(S) = 8 : AAA = angka, angka , angka : GGG = Gambar, gambar, gambar
4. Sebuah Mata Uang Logam dan Dadu Terdiri : (A,1), (A.2) (A,3), (A,4), (A,5),(A,6) : (G,1), (G.2) (G,3), (G,4), (G,5),(G,6) Maka n(S) = 12 5. Satu Set kartu Remi (bridge) Satu Set Remi terdiri 52 : Wajik, kriting, Waru hitam, Hati
6 Sebuah Dadu Terdiri : 1, 2, 3, 4, 5, 6, n(S) = 6
Contoh soal 1. Pada Pelemparan 2 buah uang logam bersama sama, Berapakah peluang muncul muka yang sama ? Pembahasan : • Ditanya : • muka yang sama : AA, GG = n(A) = 2 • Lihat di Ruang Sampel AA, AG, GA, GG maka n(S) = 4 • Maka peluang = = () = = • Jadi peluang munculnya muka yang sama adalah
2. Pada pelemparan 2 buah dadu bersama sama berapakah peluang munculnya jumlah kedua muka 7 Pembahasan • Ditanya : • munculnya jumlah kedua muka 7 = (1,6),(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) = n(A) = 6 • n(S) = 36 • Maka Peluang = P(A) = () () = = • Jadi peluang munculnya jumlah kedua muka 7 adalah
1. Pada Pelemparan sebuah dadu sebanyak 500 kali, Berapakah frekuensi harapan munculnya muka Prima ? Pembahasan • munculnya muka Prima = 2,3,5 = n(A) = 3 • Terdiri : 1, 2, 3, 4, 5, 6, n(S) = 6 • Maka Peluang = P(A) = () () = = Frekuensi harapan • Fh(A) = () () N = 500 = 250 • Jadi frekuensi harapan munculnya muka Prima adalah 250
7. Didalam sebuah Kantong terdapat 6 kelereng merah dan 4 kelereng putih. Diambil 2 kelereng satu demi satu tanpa pengembalian. Tentukan Peluang yang terambil itu secara berturut turut kelereng berwarna merah dan putih • Pembahasan • P(merah dan Putih) = (6,1) (10,1) (4,1) (9,!) = = = • Jadi peluang terambilnya kelereng berwarna merah dan putih adalah
Kerjakan soal di bawah ini dengan benar dan teliti sebagai TUGAS 3 1. Pada pelemparan dua buah dadu bersama sama. Berapakan peluang munculnya muka dadu yang sama? 2. Pada Pelemparan sebuah dadu. Berapakah peluang munculnya muka dadu genap ? 3. Pada pelemparan tiga uang logam bersama sama. Berapakah peluang munculnya paling sedikit dua Gambar ? 4. Pada pelemparan tiga uang logam yang identik secara bersama sama sebanyak 640 kali. Berapakah frekuensi harapan munculnya paling banyak dua angka ? 5. Pada pelemparan dua buah dadu bersama sama. Berapakah peluang munculnya jumlah kedua muka 6 atau 11 ? 6. Dari set kartu bridge tanpa joker. Berapakah peluang terambilnya sebuah kartu King dan As
SEMOGA BERMANFAAT TERIMA KASIH Dra. DWI WAHYUNI, M.Pd.