หนังสือ-e-book-ดีเทอร์มิแนนท์

หนงั ส่อื สง เสรมิ ประสทิ ธภิ์ าพการเรยี นรู

ดเี ทอรม แิ นนท

Determinants

รายวชิ าพชี คณิตเชิงเส้น 4092304

¤³Ð¼Œ¨Ù Ñ´·Ó
ÈØÀ³°Ñ ¾Ø·¸ªÒµÔ
ÈØÀÅѡɳ ¼¡Ò¡Ãͧ
ÈÔÃÒàÁÉ° 梯 à¨Ã­Ô ¾Å¾Ñµ
¡Ñ­­Ò³Ñ° ·Ç¼Õ Å
¡ÁŪ¹¡ ÀÒÃÒ

ÊÒ¢Ò¤³µÔ ÈÒʵÏ ¤³Ð¤ÃÈØ ÒʵÏ
ÁËÒÇ·Ô ÂÒÅÑÂÃÒªÀѯ¹¤ÃÈÃ¸Õ ÃÃÁÃÒª

คํานํา

หนังสือเลมน้ีเปนเอกสารประกอบการเรียนวิชาพีชคณิตเชิงเสน (4092304) ในระดับชั้นอุดมศึกษาปท่ี 2
โดยมีจุดประสงคเพ่ือการศึกษาความรูท่ีไดจาก เร่ือง เมทริกซ ทั้งน้ีในหนังสือเลมน้ีมเี น้ือหาซ่ึงประกอบดวยความรู
เกี่ยวกับ เมทริกซ ดีเทอรมิแนนท คุณสมบัติของดีเทอรมิแนนท การหาไมเนอร โคแฟกเตอร การทรานสโพสของ
เมทรกิ ซ และการบวกลบคูณเมทรกิ ซ ซ่งึ สามารถนาํ ไปใชประกอบการเรยี นการสอนได

ทั้งนี้เน้ือหาตาง ๆ ทางคณะผูจัดทําไดศึกษา รวบรวมขอมูลมาจากเว็บไซต และหนังสือประกอบการเรียน
วิชาพีชคณิตเชิงเสน ทางคณะผูจัดทําหวังเปนอยางย่ิงวาหนังสือเลมน้ีจะเปนประโยชนกับผูอาน หากมีขอแนะนํา
หรอื ขอผดิ พลาดประการใด ทางคณะผจู ดั ทําขอนอมรบั ไว และขออภยั มา ณ ท่นี ้ดี วย

คณะผจู ัดทํา

Determinants) 1-7
Determinants) 8-13

orsonnscrnnsorzscztttttrtttototenceettetsttntottrtomrsostoootrststttthsttlttnntttstotntetrtsttotsitrssrsesssstrnesssseo1tet

ดเี ทอรมแิ นนท ( Determinants )

บทนิยาม 1 ให A = [aij] เปนเมทรกิ ซจตั ุรัสมิติ n×n ดเี ทอรมิแนนท (Determinants)ของ A ซงึ่ เราจะ ใช
สัญลกั ษณแทนดวย det A ( หรอื |A| ) คอื

det A = ∑(±)a1j1 a2j2 …anjn ........... (2.1)

โดยที่ j1 j2 … j3 คือ การจัดลําดับของสมาชิกในเซต S = {1 , 2 , … , n} สวนเคร่อื งหมาย (±) ขางหนา

a1j1 a2j2 …anjnจะเปนบวกหรอื ลบขั้นอยูกบั j1 j2 … j3 วาจะเปนการจดั ลําดับคูหรือลาํ ดับค่ี ถาเปนการ
จดั ลาํ ดับคู เครื่องหมายจะเปนบวก ถาเปนการจดั ลําดบั คเ่ี ครอื่ งหมายจะเปนลบ สาํ หรับการบวก (ภายใต

เครอ่ื งหมาย ) น้ันจะบวกเทอม n! เปนจํานวน เทอมข้ึนอยูกับการจัดลําดบั j1 j2 … j3 ซ่งึ มอี ยุ n! ชุด

ขอสงั เกต จากนยิ ามจะเหน็ วาแตละเทอมท่ไี ดจากการกระจาย (2.1) ของ det A อยูในรูป a1j1 a2j2 …anjnซงึ่ มี
ตวั ชี้แถวเรยี งตามลาํ ดบั จาก 1 ถงึ n แสดงวาแตละเทอมเหลาน้ัน ประกอบดวยสมาชกิ ท่ีมาจากทุกแถว ๆ ละ

1 ตัว เชน a2j2 มาจากแถวท่ี 2 คอลมั นที่ j2 เปนตน ในการหา det A น้ัน เราจะตองอาศยั สตู ร

det A = ∑(±)a1j1 a2j2 …anjn

ตวั อยาง ให A = a11 a12 เปนเมทริกซจตั ุรสั มิติ 2 × 2 จงหาสตู ร det A
a21 a22

วธิ ที ํา det A = a11 a12 = ∑ (±) a1j1 a2j2
a21 a22

ดงั น้นั det A = a11a22 - a12a21

ขอสังเกต เราจะเหน็ วาแตละเทอมของ det A เกิดจากสมาชกิ ที่อยูในแนวเสนทแยงมุมคณู กนั

a11 a12 = a11a22 - a12a21
a21 a22

หลกั ในการจาํ คือ คูณทแยงขวาเครอื่ งหมายของผลคณู จะเปน + คูณทแยงซาย เคร่ืองหมาย ขางหนาผลคูณ

จะเปน - ดงั นั้น ในการหาดีเทอรมิแนนทของเมทริกซซึ่งมขี นาด 2x2 น้ันแทนทีจ่ ะตองหา การจัดลําดบั เราใช

หลกั ดงั กลาวจะงายกวา ตัวอยางเชน

ตวั อยาง จงหา det A ของเมทรกิ ซจัตุรัสที่กําหนดใหตอไปน้ี

ก. [a11] 000 ค. a11 a12 a13
a21 a22 a23
ข. 0 0 0 a31 a32 a33
000

* ฌื

Tnoeesnororsstotttthhltntsotttrttitrsersesssosrtnnesssseotetวิธที ํา ก.

วธิ ีทาํ ข.
ฒึ- ๊nถณ |. ฒ1ุตัวอยาง 2

det A = |a11| = a11
det A = | 0 | = 0

วธิ ีทํา ค.

ขอสงั เกต เราจะเห็นวาถาเอาคอลมั นท่ี 1 และ 2 ของเมทริกซ A เตมิ ลงไปขางทายตอจากคอลัมนท่ี 3 แลวนาํ
สมาชิกทง้ั หลายมาคูณกัน ในแนวทแยงมุม โดยคูณผานทุกหลัก และพจิ ารณาเครื่องหมายตามลกู ศร โดย
คณู ลงใหเปนบวก และ คณู ขึน้ ใหเปนลบ จะได

a11 a12 a13 -- -
det A = a21 a22 a23 =
a11 a12 a13 a11 a12
a31 a32 a33 a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32

+ ++

det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33
คณุ สมบตั ขิ องดเี ทอรมิแนนท (Properties of Determinants)

ในการหาดีเทอรมิแนนทของเมทรกิ ซโดยอาศัยบทนิยามดังกลาวแลวนั้น จะทาํ ใหมีความยุงยากมาก
โดยเฉพาะถาเมทรกิ ซน้นั มมี ติ ิใหญมาก ๆ คณุ สมบตั ิของดีเทอรมแิ นนททีจ่ ะกลาวถึงในบทนี้ ชวยใหการหาดี
เทอรมิแนนทของเมทริกซงายข้นึ เมทริกซทจี่ ะกลาวถึงในบทน้ีใหหมายถึงเมทริกซจัตรุ ัสมติ ิ n×n

ทฤษฎีบท 1 การทรานสโพสไมทําใหดีเทอรมิแนนทของเมทรกิ จตั ุรสั มิติ n×n เปลีย่ นไป

น่นั คอื det AT = det A

กําหนด A = 4 3 324
2 1
, B = 2 -1 1
123

ก. det AT = det A

ข. det BT = det B

←

ุตุซ๊ืตุสึฉ

TTTTOTSOTSTTTDTTDTTTTTDTESTOEE-TFTTTTTCETIEEETDSFTDETEFTDEETSTDSS + ++ 3

ก. det AT = det A 2noes-rtTD SETDO Ttrse o-nsEeOT=+(3)(-1)(3)+(2)(2)(4)+(1)(2)(1)–(4)(-1)(1)–(1)(2)(3)–(3)(2)(2)

วธิ ที าํ ก. เพราะวา AT = 4 2
3 1

-

จะไดวา AT = 4 2 = (4)(1) – (3)(2) = -2
3 1 = (4)(1) – (2)(3) = -2

+
-

และ det A = 4 3
2 1

+

ดงั น้ัน det AT = det A

ข. det BT = det B

วิธีทาํ ข. 321
เพราะวา BT = 2 -1 2

413

---

3 2 1 3 2 13 2
จะไดวา det BT = 2 -1 2 = 2 -1 2 2 -1

4 1 3 4 1 31 2

= -9+16+2+4-6-12

=-5

324

และ B = 2 -1 1

123 -- -

3 2 4 3 2 43 2

จะไดวา det B = 2 -1 1 = 2 -1 1 2 -1

1 2 3 1 2 31 2

+ ++

←-วอoลnTtลEงลoจาา มาาอร มาางอาEอาง→าลจTCsrpsEอวอล Mแฒ
ุ๊ตุ๊ฬืส๊ืส๋ัฐ้ด

Tnoeesnororsst ot t t thhltnt sot t trt t itrsersesssosrtnnesssseotet= + (3)(-1)(3) + (2)(1)(1) + (4)(2)(2) – (1)(-1)(4) – (1)(2)(3) – (3)(2)(2)
ฒึ- ๊ nถต | ต ฒ1ุ=5 4

= -5

ทฤษฎบี ท 2 การสลบั ที่ระหวาง 2 แถว (คอลมั น) ใด ๆ ของเมทรกิ ซจัตุรสั จะทําใหดเี ทอรมีแนนทของ
เมทรกิ ซน้ัน เปล่ยี นเปนเครอื่ งหมายตรงขาม น่ันคือ ถา B เปนเมทริกซท่ีไดจากการสลบั ท่ี
ระหวาง 2 แถว (คอลมั น) ใด ๆ ของเมทรกิ ซ A แลว

det B = - det A

ตวั อยาง กําหนดให 324

A = 2 -1 1
123

และ B เปนเมทรกิ ซทีไ่ ดจากการสลับทีร่ ะหวางแถว 1 และแถว 3 ของ A

จงแสดงวา det B = - det A

123

วิธีทาํ เพราะวา B = 2 -1 2
324

-- -

จะไดวา 1 2 3 1 2 31 2

det B = 2 -1 2 = 2 -1 2 2 -1
3 2 4 3 2 43 2

+++

= + (1)(-1)(4) + (2)(1)(3) + (3)(2)(2)

– (3)(-1)(3) – (2)(1)(1) – (4)(2)(2)

324

และ A = 2 -1 1

123

-- -

จะไดวา 3 2 4 3 2 43 2

det A = 2 -1 1 = 2 -1 1 2 -1
1 2 3 1 2 31 2

++ +

←←

ุพืตุสุสึฉ

Tnoe-esnororsst ot t t thhltnt sot t trt t itrsersesssosrtnnesssseo5tet

= + (3)(-1)(3) + (2)(1)(1) + (4)(2)(2)

– (1)(-1)(4) – (1)(2)(3) – (3)(2)(2)

=-5
ฑื๊สําหรับเมทรกิ ซAจะเห็นวาสมาชกิ ในแถวที่3ของAเปน0ทงั้ หมดจงึ สรุปไดวาdetA=0
ดงั น้ัน det B = - det A

ทฤษฎีบท 3 ถาสมาชิก 2 แถว (หลัก) ใด ๆ ของเมทริกซ A เหมอื นกนั

ตัวอยาง จะได det A = 0

321
กําหนดให A = 6 5 4

321

จงใหเหตผุ ลวา เพราะเหตุใด det A และ det B จงึ เทากบั ศนู ย

วิธที าํ

จากการพจิ ารณาเมทริกซ A พบวา แถวท่ี 1 กบั แถวท่ี 3 มสี มาชิก 1 เหมือนกัน จะได det A = 0

ทฤษฎีบท 4 ถาสมาชกิ แถว (หลกั ) ใดแถวหน่ึงของ A เปน 0 ทงั้ แถว

ตัวอยาง จะได det A = 0

423
กาํ หนดให A = 1 5 7

000

จงใหเหตุผลวา เพราะเหตุใด det A และ det B จึงเทากับศนู ย

วธิ ที าํ

ทฤษฎบี ท 5 ถา B เปนเมทริกซท่ีไดจากการคูณแถว (หลกั ) ใดแถวหนง่ึ ของเมทรกิ ซ A

ดวยจํานวนจรงิ c ดงั น้ัน det B = c det A

232 111

ตวั อยาง กาํ หนดให A = 8 9 4 , B = 4 3 2

462 221

จงแสดงวา det A = 12 det B

←-วอoลnTtลEงลoจาา มาาอร มาางอาEอาง→าลจTCsrpsEอวอล Mแฒ
ุ๊ตุ๊ฬืส๊ืส๋ัฐ้ด

ฒTnึoe-esnororsst ot t t t๊hhltnt sot t trt t itrsersesssosrtnnesssseo6tet
ngฐ| ฒื๊ตฒ1ุan1an2⋯ann an1 an2 ⋯ ann
วิธที าํ 232 ( ดึงตัวรวม 2 ออกจากหลักที่ 1 )
det A = 894 ( ดึงตัวรวม 3 ออกจากหลักท่ี 2 )
= 462
132
= 24 9 4
262
=
= 112
(2)(3) 4 3 4

222

111

(2)(3)(2) 4 3 2 ( ดึงตวั รวม 2 ออกจากหลักท่ี 3 )
221

12 det B

ทฤษฎีบท 6 ดเี ทอรมิแนนทของเมทรกิ ซจะไมเปล่ียนแปลง ถาเอา c เทาของแถว (หลัก) ท่ี r ไปบวก กับ

แถว (หลกั ) ท่ี s ของเมทริกซน้นั ๆ นนั้ คือ

a11 a12 ⋯ a1n a11 a12 ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ a2n a21 a22 ⋯ a2n
⋮ ⋮⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯⋮

ar1 ar2 ⋯ am = ar1 ar2 ⋯ am
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯⋮

as1 as2 ⋯ asn as1+car1 as2+car2 ⋯ asn+cam
⋮ ⋮⋯ ⋮ ⋮ ⋮⋯ ⋮

abc

ตวั อยาง ให A = d e f
ghi

ให B เปนเมทรกิ ซท่ีไดจากการเอา m เทาของแถวท่ี 1 บวกกบั แถวท่ี 2 ของเมทรกิ ซ A

a bc
B = d+ma e+mb f+mc

ghi

←←

ฬุพุสุ

Tnoeesnororsstot t t thhltnt sot t trt t itrsersesssosrtnnesssseotetจงแสดงวาdetA=detB
TTTTOTSOTSTTTDTTDTTTTTDTESTOEE-TFTTTTTCETIEEETDSFTDETEFTDEETSTDSS
"ดงันัน้ detA=detB 7

วิธที าํ

det B = a b ca b
d+ma e+mb f+mc d+ma e+mb

g h ig h

= + (a)(e+mb)(i) + (b)(f+mc)(g) + (c)(d+ma)(h)

– (c)( e+mb)(g) – (a)( f+mc)(h) – (b)(d+ma)(i)

= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi + m

abc abc

= d e f +m a b c
ghi gh i

= det A + m(0) ( เพราะวา แถวที่ 1 และแถวที่ 2 เหมือนกนั )

= det A

←-วอoลnTtลEงลอจาา ไาาคร มttงอาEอางาอลจTCsrpsEอวอลฒื๊ Mแฒ
ุตุ๋ฬ๋ัส๋ัร้ด

omezonscrsotttcmttteztrtrttthtttttttttroocrnssttsntnttbtttlbtss 8

5roesn-rtsoTD SETDItOrTS-seo!.r-s E-eOTSA.ÊûØàÁ·ÃÔ¡«áÅСÒÃËÒ´àÕ·ÍÃÁáÔ¹¹·

TTTTOTSOTSTTTDTTDTTTTTDTESTOEE-TFTTTTTCETIEEETDSFTDETEFTDEETSTDSS ฿9

←-วอoลnEาลEงลoจTา มานคร มาคงอาEอกงา→ลงจTCsrpsEอวอนต Mแฒ
ุ๊ตุ๊ฬ๊ืส๊ืส๋ัฐ้ด

ฒื☒.tlomezonscrsotttcmttteztrtrttthtttttttttroocrnssttsntnttbtttlbtss10

±

ืณึสืส๊ํณ

ร "111

←-วอoลnEาลEงลoจTา มานคร มาคงอาEอกงา→ลงจTCsrpsEอวอนต Mแฒ
ุ๊ตุ๊ฬ๊ืส๊ืส๋ัฐ้ดุ๋ปึณึฉ

TTTTOTSOTSTTTDTTDTTTTTDTESTOEE-TFTTTTTCETIEEETDSFTDETEFTDEETSTDSS 12

←-วอoลnEาลEงลoจTา มานคร มาคงอาEอกงา→ลงจTCsrpsEอวอนต Mแฒ
ุ๊ตุ๊ฬ๊ืส๊ืส๋ัฐ้ด

* 13

13

←-วอoลnEาลEงลoจTา มานคร มาคงอาEอกงา→ลงจTCsrpsEอวอนต Mแฒ
ุ๊ตุ๊ฬ๊ืส๊ืส๋ัฐ้ดืศืป

บรรณานกุ รม

วชั รากร ทองชวย. เอกสารประกอบการเรยี นวิชาพชี คณิตเชิงเสน. (หนา 4-12)
Tuenong. (2021). สรปุ สูตร เมทริกซ (MATRIX). สืบคนวนั ที่ 22 ตลุ าคม 2564, จาก

https://tuenongfree.xyz.com

¤³Ð¼¨ÙŒ ´Ñ ·Ó

¹ÒÂÈÀØ ³Ñ° ¾·Ø ¸ªÒµÔ ÃËÑÊ»ÃШӵÇÑ ¹¡Ñ È¡Ö ÉÒ 6211103037
¹Ò§ÊÒÇÈØÀÅ¡Ñ É³ ¼¡Ò¡Ãͧ ÃËÑÊ»ÃШӵÑǹѡÈÖ¡ÉÒ 6211103046
¹Ò§ÊÒÇ¡Ñ­­Ò³°Ñ ·Ç¼Õ Å ÃËÑÊ»ÃШӵÇÑ ¹Ñ¡È¡Ö ÉÒ 6211103053
¹ÒÂÈÔÃÒàÁÉ° ÊØ¢à¨ÃÔ­¾Å¾Ñµ ÃËÊÑ »ÃШӵÇÑ ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 6211103054
¹Ò§ÊÒÇ¡ÁŪ¹¡ ÀÒÃÒ ÃËÑÊ»ÃШӵÇÑ ¹¡Ñ ÈÖ¡ÉÒ 6211103065