Vectori

Vectori

Realizat de: Maravela Vlad Prof:Pavel Elena
Popescu Mihai

Vectori în plan

Ce este un vector și cum se definește
Termenul de vector cu siguranta l-am mai intalnit la fizica. Acolo il foloseam pentru a arata directia si marimea
unei forte de exemplu.
In matematica, un vector este folosit pentru a arata directia, sensul si marimea unei drepte.
Ne putem gandi la un vector, drept la un nou tip de marime. De exemplu, cand folosim un numar pentru a
preciza viteza unui obiect, atunci folosim o marime scalara. Nu folosim decat de un numar.
Dar daca pentru acel obiect precizam si directia in care merge, atunci avem o marime vectoriala.
Putem reprezenta un vector astfel:

Vectori în plan

Cand vorbim de vectori in matematica nu vom folosi obiecte, viteze si forte. Vom discuta intr-un mod mai abstract
folosind in primul rand un plan bidimensional (sistem xOy de exemplu) si o dreapta.

Daca pe acea dreapta din plan ne imaginam doua puncte A si B, atunci aceste doua puncte marcheaza un

segment al dreptei:

Acest segment poate avea doua sensuri: de la stanga la dreapta sau de la dreapta la stanga.

Daca pentru u→n segment AB pe o dreapta alegem un sens, tocmai am definit un vector. Un vector se
noteaza cu AB si poate fi reprezentat astfel:

Pentru vectorul de mai sus A se numeste originea si B extremitatea .

Modulul unui vector

Mnuomdaurlusliusneuni ovetecatozraecsute∣→dAeBf∣a.pt lungimea sa, sau distanta dintrepunctele A si B. Acesta este un

Reprezentarea unui vector in plan
De cele mai multe ori vom folosi un vector in interiorul unui sitem cartezian:

Asa ca pentru a reprezenta un vector, vom porni din originea sistemului (dar nu este obligatoriu) si vom respecta
directia, sensul si marimea vectorului.
Acum bineinteles ca exista si o metoda matematica de a reprezenta un vector (folosita pentru a face operatii cu ei).

De exemplu vectorul de mai sus, se poate scrie drept A→B=[4-3]

Primul numar 4 arata cat se deplaseaza vectorul pe orizontala, in acest caz este mai mare ca 0 asa ca se
deplaseaza la dreapta, iar al doilea numar 3 arata cat se deplaseaza vectorul pe verticala (in acest caz in sus).

Vedem ca atunci cand scriem un vector matematic nu indicam punctul de unde incepe sau unde se termina, ci
doar numarul de unitati pe care il parcurge in sistemul de axe. Noi putem sa il asezam oriunde atata timp cat
respectam cele doua numare. De cele mai multe ori vom incepe un vector din origine pentru ca e mai usor de
vizualizat.

Si folosind acele doua numere putem chiar afla marimea vectorului (sau modulului lui), folosind teorema lui
Pitagora:

Adunarea a doi vectori

Cum se pot aduna doi vectori

Am vorbit despre ce este un vector si cum se reprezinta dar ce se intampla de fapt cand vrem sa adunam doi
vectori?

Daca ne avem dsouni vt epcetoarci,eslaassi praunnde:m→a=[42] si vectorul→b=[-32]atunci suma celor doi ar insemna sa adunam
numerele care

Ne aducem aminte ca numarul de sus arata cat de mult un vector se duce la dreapta, pe axa Ox(sau daca
este negativ, la stanga) iar numarul de jos, cat de mult de duce in sus, pe axa Oy.



Metoda grafica

Chiar daca nu stim dimensiunile unui vector ne putem folosi doar de grafic si de sistemul de axe pentru a aduna
doi vectori.

O metoda simpla este sa pornim cu un vector, sa spunem →b si apoi la finalul lui (in punctul lui extrem)
sa continuam cu→a. Apoi daca unim originea cu punctul final ne va da rezultatul sumei:



Aceasta metoda se numeste metoda triunghiului pentru ca in final vedem ca ne rezulta un triunghi.

O alta metoda de a reprezenta o suma este metoda paralelogramului. Cu aceasta vom adauga doua linii paralele
cu vectorii initiali din care ne va rezulta un paralelogram:

Diferenta dintre doi vectori va fi vectorul

Cum putem calcula diferenta dintre doi vectori

Diferenta dintre doi vectori se poate afla destul de simplu folosind sistemul de axe.
De exemplu daca avem urmatorii doi vectori

Atunci diferenta dintre cei doi, si mai exact



Care vedem ca este opusul lui
Deci vectorul care va rezulta, va uni al doilea vector cu primul.
De ce?
Un mod de a intelege acest rezultat este sa ne gandim la diferenta dintre doi vectori drept o suma:

Daca este sa privim drept rezultatul dintre atunci ne e simplu sa gasim care sa completeze
acea suma:



Calculul matematic

Inmultirea unui vector cu un scalar

Cum procedam cand inmultim un numar cu un vector

Atunci cand vrem sa in multim un numar x cu un vector nu vom face altceva decat sa marim vectorul de x ori.

Si anume, daca avem vectorul atunci va fi de doua ori mai lung: