หลักการนับเบื้องต้น (3)

หเรื่อง ลักการนับเบื้องต้น

จัดทำโดย

นางสาวศุภมาส คลุ่ยทอง เลขที่33
นางสาวศิริรัตน์ เขียนนอก เลขที่32

เสนอ

อาจารย์ นงลักษณ์ อ่ำสุพรรณ

รายงานนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชาคณิตศาตร์(เพิ่มเติม) ค30202
ภาคเรียนที่2 ปีการศึกษา2564
โรงเรียนตลุกดู่วิทยาคม

คำนำ

หนังสือเล่มนี้จัดทำขึ้นเพื่อเป็นสื่อการเรียน

การสอนให้กับนักเรียน นักศึกษา ได้ศึกษาหาความรู้

และศึกษาอย่างเข้าใจเเละเป็นประโยชน์กับผู้อ่านทุกคน

ผู้จัดทำหวังว่าหนังสือเล่มนี้เป็นประโยชน์

แก่ผู้อ่าน นักเรียน เเละนักศึกษาที่กำลังค้นคว้าหา

ข้อมูลเรื่องนี้อยู่หากมีข้อเสนอเเนะหรือข้อผิดพลาด

ประการใดผู้จัดทำขอน้อมรับเเละขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย

นน..สส.ศศิุร



ภิรัมตานส์ ผเ้คูขจีัลยดุ่ยนททนำออกง เลขที่33
เลขที่32

สารบัญ หน้า1
หน้า2
การนับ
1.กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับ หน้า3-5

การนับ
2.หลักการบวกเเละการคูณ

3.การเรียนสับเปลี่ยน หน้า6-8
4.การจัดหมู่ของสิ่งของที่แตก หน้า9
ต่างกันทั้งหมด

5.ทฤษฎีบทวินาม หน้า10-12
เอกสารอ้างอิง
ภาคผนวก หน้า13
หน้า14

1

การนับ

" การนับ คือ การกระทำทางคณิตศาสตร์โดยใช้การบวกหรือการลบด้วยหนึ่ง
ซ้ำๆ กัน ซึ่งมักใช้ในการหาคำตอบว่ามีวัตถุอยู่เท่าใด หรือเพื่ อกำหนดจำนวนวัตถุที่
ต้องการ โดยเริ่มจากหนึ่งสำหรับวัตถุชิ้นแรก และกระทำต่อไปบนวัตถุที่เหลือในลักษณะ
ฟั งก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) หรือใช้นับวัตถุในเซตอันดับดี (well-ordered
object) หรือเพื่ อหาจำนวนเชิงอันดับที่ (ordinal number) ของวัตถุ หรือเพื่ อหาวัตถุบน
จำนวนเชิงอันดับที่ การนับมักถูกใช้เป็ นการสอนความรู้เกี่ยวกับชื่อจำนวนและระบบ
จำนวนให้กับเด็ก ในทางคณิตศาสตร์ การนับ และ การคณานับสามารถหมายถึงการหา
จำนวนของสมาชิกในเซตจำกัด (finite set)

ในบางครั้งการนับก็เกี่ยวข้องกับตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่หนึ่ง ตัวอย่างเช่น การนับ
จำนวนเงินหรือเงินทอน เราอาจนับทีละสอง (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) หรือนับทีละห้า (5,
10, 15, 20, 25, ...) ก็ได้ เป็ นต้น
มีหลักฐานทางโบราณคดีว่า มนุษย์เคยใช้การนับมาตั้งแต่เมื่อ 50,000 ปี ก่อนเป็ นอย่าง
น้อย[1] มีการใช้งานเป็ นหลักในอารยธรรมโบราณเพื่ อติดตามและบันทึกข้อมูลทาง
เศรษฐกิจเช่น หนี้สินหรือเงินทุน (การบัญชี) พัฒนาการของการนับก่อให้เกิดสัญกรณ์
ทางคณิตศาสตร์และระบบเลขต่างๆ"

2

1.กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

เเผนภาพต้นไม้


ในการหาวิธีต่างๆในชีวิตประจำวันนั้น เราจะใช้กฏการนับปกติ โดยกฏการนับ


นั้นหากไม่ใช้การคำนวณ จะใช้ "เเผนภาพต้นไม้" ในการค้นหา โดยเเผน ภาพ
ต้นไม้นั้นจะมีลักษณะลากยาวไปเรื่อยๆจนถึ งขั้นสุ ดท้ายเเละนับว่ามีกี่ วิธ

ตัวอย่างของเเผนภาพต้นไม้

จากสนามบิ นเเห่ งหนึ่ งนั้นมีไฟลท์จากประเทศไทยไปยังประเทศสหรัฐอเมริกา
โดยก่อนที่จะไปประเทศสหรัฐอเมริกานั้นจะต้องนั่งจากสนามบินประเทศไทย
ไปยังสนามบินประเทศเเคนาดา โดยหากในประเทศไทยมีเครื่องบินที่พาผู้
โดยสารไปยังประเทศเเคนาดาทั้งหมด 7 ลำ เเละในประเทศเเคนาดามีเครื่อง
บินที่พาผู้โดยสารไปยังประเทศสหรัฐอเมริกาทั้งหมด 5 ลำ สามารถเดินทาง
ได้ทั้งหมดกี่วิธี เเละจงเเสดงได้ด้วยเเผนภาพต้นไม้

วิธีทำ












คำตอบ

สามารถนั่งได้ 35 วิธี

3

2.หลักการบวกเเละการคูณ

1) หลักการบวก

หลักการบวกนั้นสามารถสังเกตการใช้เหตุการณ์ที่สามารถใช้การบวกได้ดัง
ต่อไปนี้
- เป็ นเหตุการณ์ที่ยังเกิดขึ้นไม่เสร็จสิ้น
- เป็ นเหตุการณ์ที่สามารถเเบ่งขั้นตอนทีละขั้นตอนได้ว่า ขั้นตอนนี้ทำได้กี่วิธี

ตัวอย่างของหลักการบวก

นักเรียนจำนวน 2 คนนั้นจะต้องทิ้งขยะในถัง โดยในโรงเรียนมีถังขยะทั้งหมด
4 ถัง หากนักเรียนนั้นมีขยะคนละ 2 ชิ้น ปรากฏว่า นักเรียนคนเเรกนั้นทิ้งขยะ
ในถังเดียวกัน นักเรียนคนที่สองทิ้งขยะต่างถังกัน จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดของ
นักเรียนทั้ง 2 คนในการทิ้งขยะ

คำตอบ

สามารถทิ้งได้ทั้งหมด 10 วิธี

4

2) หลักการคูณ

หลักการคูณนั้นสามารถสังเกตการใช้เหตุการณ์ที่สามรถใช้การคูณได้ดังต่อ
ไปนี้
- เป็ นเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งหมดเเล้ว / เสร็จเรียบร้อยเเล้ว
- เป็ นเหตุการณ์ที่จะต้องหาวิธีในการจับคู่ทั้งหมด หรือกล่าวได้ว่า หากไม่ใช้
เเผนภาพต้นไม้ในการคำนวณ สามารถใช้หลักการคูณได้

ตัวอย่างของหลักการคูณ

1. ในการเเต่งตัวไปทะเลนั้น หากมีเสื้อทั้งหมด 5 ตัว กางเกงทั้งหมด 4 ตัว
ถุงเท้าทั้งหมด 3 คู่เเละรองเท้าทั้งหมด 4 คู่ โดยเเต่ละอย่างในประเภทเดียวกัน
นั้นไม่เหมือนกันเลย จงหาวิธีการเเต่งตัวไปทะเลทั้งหมด

วิธีทำ



คำตอบ


จะมีวิธีการเเต่งตัวทั้งหมด 240 วิธี

5

2. ในโรงเรียนเเห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 จำนวน 100 คน ถ้าต้องการ
เลือกคณะกรรมการชุดหนึ่ง ประกอบไปด้วย ประธานนักเรียน รองประธานนักเรียน
เเละหัวหน้าห้องจำนวน 2 คน โดยที่หากเลือก 1 คนเเล้วไม่สามารถทำหน้าที่อีก
ตำเเหน่งเพิ่มได้อีก จะมีวิธีเลือกคณะกรรมการได้กี่วิธี

วิธีทำ

คำตอบ

ดังนั้นสามารถเลือกคณะกรรมการได้ทั้งหมด 94,109,400 วิธี

3. ให้จำนวนเต็มบวกสี่หลักนั้นเป็ นจำนวนคู่โดยจำนวนเเต่ละหลักใช้เลขโดดที่
ไม่ซ้ำกัน สามารถหาได้กี่จำนวน

วิธีทำ





คำตอบ



จะได้ทั้งหมด 2296 วิธี

6

3.การเรียนสับเปลี่ยน

1) การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียง
คราวละ r สิ่ง (โดย 1 ≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Pn.r วิธีโดย

Pn,r = n!
(n - r)!

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด

1. มีหนังสือที่เเตกต่างกัน 7 เล่ม ต้องการนำหนังสือมา 4 เล่มเพื่ อจัดเรียงเป็ น
เเถวบนชั้นจะจัดได้กี่วิธี

วิธีทำ




คำตอบ

จะจัดได้ทั้งหมด 840 วิธี

7

2) การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียง

คราวละ nk กลุ่ม (โดย 1 ≤ r ≤ n) โดยของในเเต่ละกลุ่มนั้นล้วนเป็ นของ

เหมือนกัน *จำเเนกเป็ นกลุ่มๆ* จำนวนวิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มนั้นกับของ n

สิ่ งนั่นคื อ

วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง = n!

n1!n2!n3!....nk!

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกัน
ทั้งหมด

1. จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของคำว่า "PROBABLY" ที่เเตกต่างกัน
โดยไม่คำนึงถึงความหมาย

วิธีทำ
















คำตอบ





จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด 40320 วิธี

8

3.การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่เเตกต่างทั้งหมด

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งจะเท่ากับ
(n-1)! วิธี

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

กำหนดให้นักเรียน 6 คนนั้นนั่งโต๊ะกลมทั้งหมด 6 ที่นั่งโดยมีชาย 3 คน เเละ
หญิง 3 คน ถ้ากำหนดว่า ชายเเละหญิงต้องนั่งสลับกัน จะนั่งได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ




คำตอบ

จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด 12 วิธี

9

4.การจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

กฎการจัดหมู่

จำนวนวิธีจัดหมู่ของ n สิ่งที่แตกต่างกันโดยนำมาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง ( r < n )
เท่ากับ

หรือเขียนแทนด้วย

การจัดสิ่งของที่แตกต่างกันออกเป็นกลุ่มหรือ หมู่โดยไม่คำนึงถึง
อันดับ

เช่น ในการเลือกตัวแทนนักเรียน 3 คนจากผู้สมัคร 5 คน จะมีวิธีเลือกทั้งหมด
กี่วิธี ปัญหาเช่นนี้เราจะไม่สนใจอันดับที่ของคนที่เราเลือก แต่สนใจว่าจะจัดเป็ น
หมู่ 3 คน ได้ทั้งหมดกี่หมู่
วิธีทำ ถ้าเรียกผู้สมัคร 5 คนนั้นว่า ก,ข,ค,ง,จ การจัดหมู่ทีละ 3 คนเหมือนกับ
การหาสับเซตที่มีสมาชิก 3 ตัวของเซต {ก,ข,ค,ง,จ} ซึ่งมีทั้งหมด 10 สับเซต
ดังนี้ {ก,ข,ค}, {ก,ข,ง}, {ก,ข,จ}, {ข,ค,ง}, {ข,ค,จ}, {ข,ง,จ}, {ค,ง,จ}, {ก,ค,ง},
{ก,ค,จ}, {ก,ง,จ}
ดังนั้นในการเลือกตัวแทนนักเรียน 3 คน จากผู้สมัคร 5 =10 วิธี

10

5.ทฤษฎีบทวินาม

ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงสูตรของการกระจาย ( x + y )2 เมื่อ x, y เป็ น
จำนวนจริงใดๆ และ n เป็ นจำนวนเต็มบวก
พิ จารณาการกระจายต่อไปนี้

( x + y )1 = x + y
(x + y )2 = x2 + 2xy + y2
( x + y )3 = x3 +3x2 y + 3xy2 y3
( x + y )4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4
(x + y )5 = x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 +5xy4 + y5
พิ จารณา (x + y )n = (x + y)(x + y)… ( x + y ) = n วงเล็บ
ในการกระจายเลือก x และ y อย่างใดอย่างหนึ่งของแต่ละวงเล็บนำมา
คูณกันแล้วนำผลคูณ
ที่ได้มาบวกกัน เช่นเลือก y จาก 2 วงเล็บ และเลือก x จาก n – 2 วงเล็บที่
เหลือจะได้พจน์ xn – 2 y2 ดังนั้น แต่ละพจน์ของการกระจาย ( x + y )n
อยู่ในรูป xn – r yr เมื่อ r {0,1,2,..., n}
เนื่องจาก xn – r yr ประกอบด้วย x จำนวน n – r ตัว และ y จำนวน
r ตัว ดังนั้น พจน์ xn – r yr มีทั้งหมด

พจน์ เท่ากับ การกระจาย ( x + y )n
นั่นคือ สัมประสิทธิ์ของ xn – r yr

สรุปเป็ นทฤษฏีบทได้ดังนี้

11

ในการกระจาย ( x + y )n เมื่อ n {0,1,2,...} สัมประสิทธิ์ของแต่ละ
พจน์แสดงได้ดังนี้

12

ดังนั้น การกระจาย (x + y)4 สามารถหาสัมประสิทธิ์ของพจน์ ต่าง ๆ
ได้ โดยกูจากแถวที่ 5
ของรูปสามเหลี่ยมปาสกาล ซึ่งจะได้ว่า
( x + y )4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4

13

เอกสารอ้างอิง

หนังสือเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (เล่ม2)
https://sites.google.com/site/probabilitycom/withi-kar-cad-hmu
https://sites.google.com/site/khnitsastrkhwamnacapen/thvsdibth-
thwi-nam
https://gahaor.wordpress.com/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8
%A3%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%
B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E
0%B8%A3%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%AB
%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88%E0%B8%82%E0%B8%
AD%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B
8%87%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%97%E0
%B8%B5/
https://sites.google.com/a/tupr.ac.th/maths-thai-04/unit3/unit3-1
https://sites.google.com/a/tupr.ac.th/maths-thai-04/unit3/unit3-2
https://www.google.com/search?
q=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%88%E0%B8
%B1%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%
B9%88%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%AA%E
0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B8%82%E0%B8%AD
%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%
80%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B7%E0%B8%AD%E0%B
8%99%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%
B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E
0%B8%94&rlz=1C1CHBD_thTH969TH969&sxsrf=AOaemvJSzHuUL
KGhqJlVj3EpHmpARXhaGA%3A1641090844576&ei=HA_RYY_SIre
WseMPx9GZmAU&oq=&gs_lcp=Cgdnd3Mtd2l6EAEYBzIHCCMQ6gI
QJzIHCCMQ6gIQJzIHCCMQ6gIQJzIHCCMQ6gIQJzIHCCMQ6gIQJzIH
CCMQ6gIQJzIHCCMQ6gIQJzIHCCMQ6gIQJzIHCCMQ6gIQJzIHCCMQ
6gIQJzoHCCMQsAMQJzoHCAAQRxCwAzoFCAAQgARKBAhBGABKB
AhGGABQjgFY6A5g3j9oAnAAeASAAcECiAHXDZIBBzAuNi4zLjGYA
QCgAQGwAQrIAQnAAQE&sclient=gws-wiz

14

ภาคผนวก

n! แฟกทอเรียล

Pn,r จำนวนวิธีการนำสิ่งของ r
จาก สิ่งของ ที่เเตกต่างกัน n ชิ้น มา
( )Cn,rn เรียงสับเปลี่ยน เชิง เส้น
r
จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่ งของที่ เเตกต่ าง
กัน n ชิ้น โดยเลือกคราวละ r ชิ้น