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Published by plopesilva2014, 2019-12-24 11:18:33

samplebookdesign-memoir

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Aplicações Técnicas da Álgebra Vetorial

Introdução à Linguagem
Técnica-Científica
da Física para Engenharia

A revisão matemática necessária guiando os conceitos físicos.

Paulo Lopes da Silva



Sumário

1 Sistemas de Coordenadas: Referenciais 1
1.1 O Sistema de Coordenadas Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Representação Gráfica de Funções Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Álgebra Vetorial em 2D 7

2.1 Definição Elementar de um Vetor em Duas Dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Propriedades Geométricas de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Notação Versorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Adição e Subtração de Vetores (Teorema do Paralelograma) . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Álgebra Vetorial em 3D 14

iii



SCiasptíetumloa1s de Coordenadas: Referenciais

Uma introdução ao Sistema de Coordenadas Cartesiano e Representação Gráfica de Funções Algébricas
e Equações Paramétricas são apresentados e discutidos com aplicações e ilustrações.

1.1 O Sistema de Coordenadas Cartesiano

O sistema de coordenadas cartesiano em duas dimensões é definido a partir de dois eixos que se
interceptam, geralmente, na sua origem e se cruzam perpendicularmente. A figura 1 abaixo fornece
uma visualização desse sistema.

1

Capítulo 1. Sistemas de Coordenadas: Referenciais
vertical

horizontal

Figura 1.1: O Sistema de Coordenadas Cartesiano.

As setas (ou eixos, como são denominados) na horizontal → e, na vertical ↑ , com suas respectivas
orientações para direita e para cima, respectivamente, é a forma padrão e define sua direção (para cima
ou para baixo) e seu sentido (para direita ou para esquerda).

Nesta forma padrão, o eixo da horizontal é definido como o eixo das abscissas, ou, eixo x, e o eixo da
vertical é o eixo das ordenadas, ou eixo y. Como discutiremos posteriormente, nessa nomenclatura, será
fácil visualizarmos uma expressão da forma y = y(x).

Os eixos adquirem escalas e subdivisões, que podem ser iguais ou proporcionais ou ainda escalas
independentes. Na figura 2 abaixo, por exemplo, podemos definir para o eixo das abscissas uma escala
baseada nos números inteiros e medido em segundos,s.

x(s)
0 10 20 30 40
Figura 1.2: Uma escala do eixo das do Sistema de Coordenadas Cartesiano.
Ou, de forma semelhante, um eixo das ordenadas, em uma outra escala e medido em metros,m. Veja
figura 3 abaixo.
Seguindo os critérios adotados acima, a localização , ou, as coordenadas cartesianas de um ponto,
podem ser visualizadas no gráfico 1 abaixo. Estas coordenadas são chamadas de um par ordenado e
um ponto, P, por exemplo, pode ser informado através da notação P = (x; y). Observe a representação
gráfica da tabela 1, onde, tanto a tabela como o gráfico contém as mesmas informações das coordenadas
dos pontos A, B, C, D, E, F e G.

2

1.2. Representação Gráfica de Funções Algébricas

20 y(m)
10
0
−10

Figura 1.3: Uma escala do eixo das ordenadas do Sistema de Coordenadas Cartesiano.

Pontos → A B C D E FG

(x; y) (0; 0) (−7; 5) (0; 6) (5; 0) (2; −6) (−5; −5) (4; 3)

Tabela 1.1: Coordenadas Cartesianas de pontos no espaço em duas dimensões.

y

x

Figura 1.4: Representação gráfica de pares ordenados em duas dimensões.

1.2 Representação Gráfica de Funções Algébricas

Os pares ordenados (x; y) e suas representações gráficas descritas acima podem obedecer uma rela-
ção dada por uma expressão na forma y = y(x). Onde, a coordenada, x, é a incógnita (ou variável
independente), e a ordenada, y, depende de x ou, uma função de x.

Na Matemática essas relações sã chamadas de funções. Por exemplo, as Funções Polinomiais, as
Funções Exponenciais, as Funções Trigonométricas, ou, uma função composta de cada uma dessas funções
elementares.

3

Capítulo 1. Sistemas de Coordenadas: Referenciais

y

10 x

(C)
(B)

5

(A) (D)

−10 −5 (G)5 10

(F)
−5 (E)

−10

Figura 1.5: Representação gráfica de pares ordenados em duas dimensões.

A tabela 1.2 apresenta uma dessas relações e a representação gráfica da tabela 1.2 é dada pelo gráfico
1.2 abaixo.

x y(x)
−4 16
−2 4
39
00
5 25
7 49
10 100
12 144

Tabela 1.2: Pares ordenados gerados por uma função polinomial de grau 2 (uma parábola).

O que o aplicativo gráfico faz, é, para um número grande de geração de pares ordenados, representá-los
através de uma linha contínua, ou seja, para valores tanto da variável como da função no conjunto dos
números reais. Veja o 1.2 abaixo onde a relação dada é y = y(x) = x2.

4

1.3. Coordenadas Polares e Equações Paramétricas

150 150
yy

100 100

50 50

xx

−5 5 10 −5 5 10

Figura 1.6: A representação gráfica de uma função polinomial

Assim, dado o domínio da função os pares ordenados, ou seja, a tabela de dados pode ser substitída
pela própia funçãoN˙ este caso acima a função é dada por f (x) = x2. Veja ?? abaixo.

1.3 Coordenadas Polares e Equações Paramétricas

As coordenadas de um ponto, P , como ilustrado na seção acima também pode ser representado a partir
de um outro par ordenado e definididocomo as coordenadas polares de um ponto. Nesse novo sistema
de coordenadas, a distância do ponto á origem do sistema de coordenadas e o ângulo que este segmento
de reta faz com o eixo positivo das abscissas definen o novo par ordenado. Usando a nomenclatura
P = (R; θ), temos para a transformação entre ambos os sistemas as seguintes equações: (veja 1.3 abaixo).

y

1

1 sin α
2 tan α =
cos α
sin α

cos α 1 x

−1 − 1
2

− 1
2

−1

Figura 1.7: O Sistema de Coordenadas Polares.

Assim, dois pontos, P e Q com coordenadas polares dadas por P = (RP ; θP ) = (1; 30o) e P =
(RQ; θQ) = (0.5; 90o).

5

Capítulo 1. Sistemas de Coordenadas: Referenciais

120 90
150 60

180 30

0 0.5 1
0

210 330

240 300
270
y
1

0.5 x
0.5 1
−1 −0.5
−0.5

−1
Figura 1.8: As Coordenadas Polares de pontos em duas dimesões.

6

Capítulo 2 Álgebra Vetorial em 2D

Uma introdução à Álgebra Vetorial é revisada com ênfase à soma e subtração de vetores e notação
versorial, Lei dos Cossenos, Lei dos Senos e aplicações da Regra do Paralelograma. O produto vetorial e
escalar entre vetores e suas decomposições são aplicados e analisados através da resoluções de exercícios
na Mecânica Newtoniana.

2.1 Definição Elementar de um Vetor em Duas Dimensões

Como vimos nas seções anteriores, adotaremos aqui o Sistema de Coordenadas Cartesiano em duas
dimensões como ilustrado na figura 2.1. O quadriculado adotado tem dimensões de 1,0 cm e estas são as
unidades de medidas dos eixos nesta figura. Adicionamos os pontos P = (2; −3) e Q = (−4; 6), e, nesta
mesma figura, setas com início no (0; 0) do sistema de coordenadas e témino nas próprias coordenadas
de cada ponto.

Assim, temos a definição elemetar dos vetores −→A = (4; 3), −→B = (−7; −6) e −→C = (0; −6). Esta
é a notação matricial de um vetor que obedece à mesma nomenclatura de um ponto, exceto pela sua
simbologia que adquire uma seta →, sobre a mesma. Desta forma, as coordenadas cartesianas de um
vetor pode, de forma mais geral, ser escrita em termo do seu símbolo e um índice que diferencia os seus
componentes horizontal e vertical:

−→
A = (Ax; Ay)

−→
Ou seja, o componente horizontal (eixo das abscissas) do vetor A é Ax = 4 e, o componente verticall
(eixo das ordenadas) é Ay = 3

7

Capítulo 2. Álgebra Vetorial em 2D

Esta nomenclatura pode ser extendida de tal maneira que se tornam desnecessários símbolos diferen−→tes
−p→ara u−→m conjunto de vetores. Por exemplo, poderí−→amos ter, simplesmente, nomeado os vetores acima, A ,
B , e C , com apenas um caractere, por exemplo, V . E, para diferenciamos os três vetores, reescrevemos
seus componentes com dois índices subescritos:

−→ −→
A = V1 = (V1x; V1y) = (4; 3) ;

−→B = −→ = (V2x; V2y ) = (−7; −6);
V2

−→ = −→ = (V3x; V3y ) = (0; −6) ;
C V3

y

Q
−→
B

−→
A

x

P
−→C

Figura 2.1: Definção de um Vetor em duas dimensões.

2.2 Propriedades Geométricas de um Vetor

Na figura 2.2 a área sombreada sobre o vetor −→V = (4; 3) facilita a leitua das suas coordenadas cartesi-
anas. Mantendo estas escalas de leitura para um vetor específico é possível realizarmos duas translações
(arrastar) e representar este este mesmo vetor em uma outra posição do sistema de coordenadas sem,
entretanto, modificar suas propriedades. Estas propriedades geométricas e suas aplicações são descritas
abaixo. Nesta mesma figura a linha tracejada é uma continuação da direção original do vetor.

8

2.2. Propriedades Geométricas de um Vetor

y

−→V

x

Figura 2.2: Projeções de um vetor nos eixos coordenados.

Linha de Ação de um Vetor

Observe que a projeção do vetor original, −→ ao longo dos eixos x e y, continuam as mesmas se o
V,

vetor for transladado ao longo da sua linha de ação, mantendo, assim, assim, suas coordenadas originais.

Veja figura 2.2 abaixo. −→

Como veremos adiante, na Física, uma força, F , que é uma Grandeza Vetorial, quando aplicada sobre

um corpo puntiforme, como ilustrado na figura ?? abaixo, acelera o corpo (de acordo com a Segunda

Lei de Newton) no mesmo sentido e direçã, ou seja, na horizontal e da esquerda para direita, quer a

força seja aplicada no ponto A, quer a força seja aplicada no ponto B. Ou seja, empurrando o bloco ou

puxando-o, respectivamente. Veja ilustração da figura 2.3 abaixo.

Translação Paralela

De forma semelhante, as coordenadas de um vetor, ou seja, sua direção e seu sentido originais,
permanecem inalterados se o mesmo for transladado para uma outra linha de ação paralela à sua linha
de ação original. Observe a figura ?? abaixo. Uma vez que suas projeções, ou seja, suas coordenadas
horizontal e vertical não são modificadas este vetor pode ser arrastado para uma outra posição do sistema
de coordenadas.

Na figura ?? mostra 4 forças atuando sobre um corpo sólido e puntiforme. Uma aplicação combinando
esta propriedade de translação paralela com a da linha de ação é vista na figura 2.2. Assim, soma das 4

9

Capítulo 2. Álgebra Vetorial em 2D

y

−→
V

x

−→
V

Figura 2.3: Propriedades de uma Linha de Ação de um vetor.

y

−→ −→
F A BF

x

Figura 2.4: Aplicação da linha de ação de um vetor.

−→
forças tem como resultante uma força, FR. Observe que é na direção da força resultante que o bloco se
movimentaria (sua linha de ação).

O arranjo das forças nesta figura é denominado um Diagrama Vetorial e pode ser visto como:
−→ −→ −→ −→ −→
FR = F1 + F2 + F3 + F4

Assim, uma regra para adicionarmos vetores geometricamente, é através de um diagrama vetorial
onde o alinhamento início → término → início → término dos vetores representa sua soma vetorial.

2.3 Notação Versorial

−→
A notação matricial de um vetor, A = (Ax; Ay), como discutido anteriormente, pode ser extendido
usando outra nomenclatura que é mais comumente usada na Física e outras áreas correlatas: A notação
Versorial.
Nesta notação, o sentido e direção dos três eixos coordenados são indicados a partir dos seguintes
vetores que, para indicar que os mesmos possuem módulo uma unidade de medida, ou, estão normalizados,
recebem um símbolo superescrito da seguinte maneira: (veja figura 3)

10

2.4. Adição e Subtração de Vetores (Teorema do Paralelograma)

eixo x −→ i
eixo y −→ j
eixo z −→ k

2.4 Adição e Subtração de Vetores (Teorema do Paralelograma)

A figura 2.4 mostra dois vetores −→A e −→B cujas coordenadas no sistema de coordenadas dado são:
−→
A =5 i+9 j

−→B = 13 i + 5 j

−→ −→
+U−→sBan=do−→Bas+d−→uAas=pr−→Rop. rCieodmadoesamgeboomséotsrivcaetsodreestrpaanrstleamçãdoataonrtigoepmardaoAsisctoemmoa para B , ou seja, as somas
−→A de coordenadas adotado,

o vetor resultante, obtido da soma desses dois vetores é dado na própria figura. Assim,

A notação versorial então, adotada, estabelece a regra para a soma ou subtração de dois ou mais

vetores:

−→
R = 18 i + 14 j

Para os dois vetores dados acima:

−→
A =5 i+9 j

−→ i + 5j
B = 13 i + (9 +
−→R = (5 + 13) 5) j

11

Capítulo 2. Álgebra Vetorial em 2D

y

−→V
−→
V

x

Figura 2.5: Translação para uma linha de ação paralela de um vetor.

y

−→ −→ x
F2 F1
−→
F4 −→
F3

Figura 2.6: Aplicação da linha de ação paralela de um vetor.
12

2.4. Adição e Subtração de Vetores (Teorema do Paralelograma)

y

−→ −→
F2 FR
−→
F3

x

−→
F1 −→

F4

Figura 2.7: Diagrama vetorial para aplicação da linha de ação paralela de um vetor.

y

−→
B

−→ −→
−→ R A
A

−→
B

x

Figura 2.8: Definção de um Vetor em duas dimensões.

13

Álgebra Vetorial em 3D Capítulo 3

y

j x
ki

z

Figura 3.1: Versores diretores de um Sistema de Coordenadas Cartesiano em 3-Dimensões.

14



‘So Calming.’

ISBN 978-80-85955-35-4
9 788085 955354
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Cover Illustration by Dusan Bicanski • http://www.public-domain-image.com


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