ความน่าจะเป็น

ตัวชี้วัด • เข้าใจเกี่ยวกับการทดลองสุ่มและน าผลที่ได้ไปหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (ค 3.2 ม.3/1) หน่วยการเรียนรู้ที่ 6 ความน่าจะเป็น

มีสลาก 10 ใบ โดยมีสลาก รางวัลใหญ่ 2 ใบ อยู่ในนั้นด้วย โอกาสที่จะได้สลากรางวัลใหญ่จาก การจับฉลาก 1 ครั้ง เท่ากับเท่าใด

หยิบลูกแก้วจากกล่อง 1 ลูก เหตุการณ์ที่จะหยิบได้ลูกแก้วสีเหลือง อาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ เหตุการณ์ที่จะหยิบได้ลูกแก้ว เกิดขึ้นอย่างแน่นอน เหตุการณ์ที่จะหยิบได้ลูกแก้วสีเขียว อาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ เหตุการณ์ที่จะหยิบได้ลูกแก้วสีด า ไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน เหตุการณ์ที่จะหยิบได้ลูกแก้วสีแดงอาจ เกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ ความรู้ก่อนเรียน

หยิบลูกแก้วจากกล่อง 1 ลูก โอกาสที่จะหยิบแล้วได้ลูกแก้วสีเหลืองและสีเขียว มีเท่ากัน โอกาสที่จะหยิบแล้วได้ลูกแก้วสีแดง มีมากที่สุด โอกาสที่จะหยิบแล้วได้ลูกแก้วสีน้ าเงิน มีน้อยที่สุด ความรู้ก่อนเรียน

การทดลองสุ่ม คือ การกระท าใด ๆ ที่ทราบว่าผลที่เกิดจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่า ในแต่ละครั้งที่กระท า ผลที่เกิดจะเป็นอะไรในบรรดาผลที่เกิดจากการกระท าที่อาจเป็นไปได้เหล่านั้น พิจารณาการกระท าต่อไปนี้ แล้วบอกว่าเป็นหรือไม่เป็นการทดลองสุ่ม เพราะทราบเพียงว่าจะหยิบได้ลูกปิงปอง 1 ลูก แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่าจะหยิบได้ลูกปิงปองสีอะไร • เลือกอนุชาเป็นตัวแทนน าร้องเพลงชาติ จากนักเรียนทั้งหมด 15 คน โดยมีอนุชาเป็นหนึ่งในนั้น เพราะสามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่าจะเลือกได้อนุชา • หยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีขาว 5 ลูก และสีด า 3 ลูก เป็นการทดลองสุ่ม ไม่เป็นการทดลองสุ่ม • หยิบลูกปิงปองสีเหลือง 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีเหลือง 10 ลูก และสีฟ้า 5 ลูก เพราะสามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่าจะหยิบได้ลูกปิงปองสีเหลือง 1 ลูก • เลือกนักเรียน 3 คน จากนักเรียนทั้งหมด 20 คน โดยแบ่งเป็นนักเรียนชาย 7 คน และนักเรียนหญิง 13 คน เป็นการทดลองสุ่ม เพราะทราบเพียงว่าจะเลือกนักเรียนได้ 3 คน แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่าจะเป็นนักเรียนคนใดบ้าง ไม่เป็นการทดลองสุ่ม การทดลองสุ่ม

(1,1), (1,2), (2,1), (2,2) ใช้การแจกนับ 1 2 1 2 ใบที่ 1 ใบที่ 2 (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2) ใช้ตาราง ใช้แผนภาพต้นไม้ 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 การเขียนแสดงผลทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่ม ใช้แผนภาพ ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2

1) การแจงนับ 2) ตาราง 3) แผนภาพ 4) แผนภาพต้นไม้ วิธีท า 1)ผลทั้งหมดที่เกิดจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ จ านวน 2 ครั้ง เมื่อสนใจหน้าของเหรียญ โดยใช้การแจงนับ เป็นดังนี้ HH, HT, TH และ TT ให้ H แทนเหรียญขึ้นหัว T แทนเหรียญขึ้นก้อย เมื่อ ตัวอักษรตัวที่ 1 หมายถึง หน้าของเหรียญที่ได้จากการโยนเหรียญครั้งที่ 1 ตัวอักษรตัวที่ 2 หมายถึง หน้าของเหรียญที่ได้จากการโยนเหรียญครั้งที่ 2 ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนแสดงผลทั้งหมดที่เกิดจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ จ านวน 2 ครั้ง เมื่อสนใจหน้าของเหรียญ โดยใช้วิธีในแต่ละข้อต่อไปนี้

2) ผลทั้งหมดที่เกิดจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ จ านวน 2 ครั้ง เมื่อสนใจหน้าของเหรียญ โดยใช้ตาราง เป็นดังนี้ H T ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 H H H T T H T T ตัวอย่างที่ 1 H T 1) การแจงนับ 2) ตาราง 3) แผนภาพ 4) แผนภาพต้นไม้ วิธีท า ให้ H แทนเหรียญขึ้นหัว T แทนเหรียญขึ้นก้อย จงเขียนแสดงผลทั้งหมดที่เกิดจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ จ านวน 2 ครั้ง เมื่อสนใจหน้าของเหรียญ โดยใช้วิธีในแต่ละข้อต่อไปนี้

3) ผลทั้งหมดที่เกิดจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ จ านวน 2 ครั้ง เมื่อสนใจหน้าของเหรียญ โดยใช้แผนภาพ เป็นดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 1) การแจงนับ 2) ตาราง 3) แผนภาพ 4) แผนภาพต้นไม้ วิธีท า ให้ H แทนเหรียญขึ้นหัว T แทนเหรียญขึ้นก้อย จงเขียนแสดงผลทั้งหมดที่เกิดจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ จ านวน 2 ครั้ง เมื่อสนใจหน้าของเหรียญ โดยใช้วิธีในแต่ละข้อต่อไปนี้ ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 T H H H T T H T T H H T

4)ผลทั้งหมดที่เกิดจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ จ านวน 2 ครั้ง เมื่อสนใจหน้าของเหรียญ โดยใช้แผนภาพต้นไม้ เป็นดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 1) การแจงนับ 2) ตาราง 3) แผนภาพ 4) แผนภาพต้นไม้ วิธีท า ให้ H แทนเหรียญขึ้นหัว T แทนเหรียญขึ้นก้อย จงเขียนแสดงผลทั้งหมดที่เกิดจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ จ านวน 2 ครั้ง เมื่อสนใจหน้าของเหรียญ โดยใช้วิธีในแต่ละข้อต่อไปนี้ H T H T H T H H H T T H T T ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2

ในการทดลองสุ่มใด ๆ เรียกสิ่งที่สนใจว่า เหตุการณ์ • ถ้าสนใจแต้มที่ปรากฏ จะได้ผลทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่มโดยใช้การแจงนับ เป็นดังนี้ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) ทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 1 ลูก จ านวน 2 ครั้ง พิจารณาการทดลองสุ่มต่อไปนี้ เหตุการณ์

ในการทดลองสุ่มใด ๆ เรียกสิ่งที่สนใจว่า เหตุการณ์ • เหตุการณ์ที่แต้มลูกเต๋าปรากฏแต้ม 1 ในการทอดลูกเต๋าครั้งที่ 1 ได้แก่ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)และ(1, 6) • เหตุการณ์ที่แต้มลูกเต๋าปรากฏแต้ม 1 ได้แก่ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1) และ (6, 1) • เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มลูกเต๋าที่ปรากฏเป็น 7 ได้แก่ (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5) และ(1, 6) เหตุการณ์ ทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 1 ลูก จ านวน 2 ครั้ง พิจารณาการทดลองสุ่มต่อไปนี้

• ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 (0 ≤ P(E) ≤ 1) • ถ้าความน่าจะเป็นเท่ากับ 0 (P(E) = 0)แสดงว่าเหตุการณ์นั้นไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย • ถ้าความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 (P(E) = 1)แสดงว่าเหตุการณ์นั้นต้องเกิดขึ้นแน่นอน • ถ้าความน่าจะเป็นมีค่าระหว่าง 0 กับ 1 (0 < P(E) < 1)แสดงว่าเหตุการณ์นั้นมีโอกาสเกิดขึ้น แต่จะมีโอกาสมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับ ว่า ความน่าจะเป็นนั้นเข้าใกล้ 1 เพียงใด ถ้าเข้าใกล้ 1 มาก โอกาสเกิดเหตุการณ์นั้นก็มีมาก แต่ถ้าเข้าใกล้1 น้อย โอกาสเกิด เหตุการณ์นั้นก็มีน้อย ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ หรือ จ านวนผลที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ จ านวนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ = P(E) = n(E) n(S) เมื่อ P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ n(E) แทนจ านวนผลที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ n(S) แทนจ านวนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม

สุ่มหยิบลูกปิงปองครั้งละ 1 ลูก จ านวน 2 ครั้ง โดยไม่ใส่คืนก่อนหยิบครั้งที่ 2 จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีขาว 3 ลูก สีส้ม 2 ลูก และ สีชมพู 1 ลูก จงหา วิธีท า 1) ผลทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่มโดยใช้แผนภาพต้นไม้ 2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกปิงปองสีขาวทั้ง 2 ครั้ง ก าหนดให้ w1 , w2 และ w3 แทนลูกปิงปองสีขาว o1 และ o2 แทนลูกปิงปองสีส้ม p1 แทนลูกปิงปองสีชมพู 1) ผลทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่มโดยใช้แผนภาพต้นไม้ เป็นดังนี้ ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 w1 w2 w3 o1 o2 p1 w1 w2 w1 w3 w1 o1 w1 o2 w1 p1 w2 w1 w3 o1 o2 p1 w2 w1 w2 w3 w2 o1 w2 o2 w2 p1 w3 w1 w2 o1 o2 p1 w3 w1 w3 w2 w3 o1 w3 o2 w3 p1 ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 ตัวอย่างที่ 2

ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 o1 w1 w2 w3 o2 p1 o1 w1 o1 w2 o1 w3 o1 o2 o1 p1 o2 w1 w2 w3 o1 p1 o2 w1 o2 w2 o2 w3 o2 o1 o2 p1 ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 ตัวอย่างที่ 2 สุ่มหยิบลูกปิงปองครั้งละ 1 ลูก จ านวน 2 ครั้ง โดยไม่ใส่คืนก่อนหยิบครั้งที่ 2 จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีขาว 3 ลูก สีส้ม 2 ลูก และ สีชมพู 1 ลูก จงหา วิธีท า 1) ผลทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่มโดยใช้แผนภาพต้นไม้ 2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกปิงปองสีขาวทั้ง 2 ครั้ง 1) ผลทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่มโดยใช้แผนภาพต้นไม้ เป็นดังนี้ ก าหนดให้ w1 , w2 และ w3 แทนลูกปิงปองสีขาว o1 และ o2 แทนลูกปิงปองสีส้ม p1 แทนลูกปิงปองสีชมพู

ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 p1 w1 w2 w3 o1 o2 p1 w1 p1 w2 p1 w3 p1 o1 p1 o2 ถ้า S แทนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม จะได้ n(S) = 6 × 5 = 30 ตัวอย่างที่ 2 สุ่มหยิบลูกปิงปองครั้งละ 1 ลูก จ านวน 2 ครั้ง โดยไม่ใส่คืนก่อนหยิบครั้งที่ 2 จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีขาว 3 ลูก สีส้ม 2 ลูก และ สีชมพู 1 ลูก จงหา วิธีท า 1) ผลทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่มโดยใช้แผนภาพต้นไม้ 2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกปิงปองสีขาวทั้ง 2 ครั้ง 1) ผลทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่มโดยใช้แผนภาพต้นไม้ เป็นดังนี้ ก าหนดให้ w1 , w2 และ w3 แทนลูกปิงปองสีขาว o1 และ o2 แทนลูกปิงปองสีส้ม p1 แทนลูกปิงปองสีชมพู

2) ให้ E แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกปิงปองสีขาว ทั้ง 2 ครั้ง จะได้ n(E) = 6 จาก P(E) = n(E) n(S) จะได้ P(E) = 6 30 = 1 5 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกปิงปองสีขาวทั้ง 2 ครั้ง เท่ากับ 1 5 ตัวอย่างที่ 2 สุ่มหยิบลูกปิงปองครั้งละ 1 ลูก จ านวน 2 ครั้ง โดยไม่ใส่คืนก่อนหยิบครั้งที่ 2 จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีขาว 3 ลูก สีส้ม 2 ลูก และ สีชมพู 1 ลูก จงหา วิธีท า 1) ผลทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่มโดยใช้แผนภาพต้นไม้ 2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกปิงปองสีขาวทั้ง 2 ครั้ง ก าหนดให้ w1 , w2 และ w3 แทนลูกปิงปองสีขาว o1 และ o2 แทนลูกปิงปองสีส้ม p1 แทนลูกปิงปองสีชมพู

ต่อไปนี้ จะเป็นตัวอย่างการใช้ความน่าจะเป็นในการตัดสินใจ

วันนี้กรมอุตุนิยมวิทยารายงานว่า “วันพุธโอกาสที่ฝนจะตกเท่ากับ 90 % และวันเสาร์โอกาสที่ฝนจะตกเท่ากับ 10 %” ถ้านักเรียน ต้องออกจากบ้านในวันพุธและวันเสาร์ นักเรียนควรพกเสื้อกันฝนไปในวันใดมากกว่ากัน พร้อมอธิบายเหตุผลประกอบ วิธีท า เนื่องจาก โอกาสที่ฝนจะตกในวันพุธเท่ากับ 90 % คือ มีความน่าจะเป็น 90 100 ที่ฝนจะตกในวันพุธ โอกาสที่ฝนจะตกในวันเสาร์เท่ากับ 10 % คือ มีความน่าจะเป็น 10 100 ที่ฝนจะตกในวันเสาร์ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ฝนจะตกในวันพุธเท่ากับ 90 100 = 0.9 ความน่าจะเป็นที่ฝนจะตกในวันเสาร์เท่ากับ 10 100 = 0.1 จะเห็นว่า ความน่าจะเป็นที่ฝนจะตกในวันพุธมีค่าเข้าใกล้ 1 มากกว่าความน่าจะเป็นที่ฝนจะตกในวันเสาร์ ดังนั้น มีโอกาสที่ฝนจะตกในวันพุธมีมากกว่าวันเสาร์ นั่นคือ นักเรียนควรพกเสื้อกันฝนไปในวันพุธมากกว่าวันเสาร์ ตัวอย่างที่ 3

จากค าถามตอนต้นที่ถามว่า “โอกาสที่จะได้สลากรางวัลใหญ่จากการจับสลาก 1 ครั้ง เท่ากับเท่าใด” นักเรียนสามารถหาได้โดย หาความน่าจะเป็นที่จะจับได้สลากรางวัลใหญ่จาก การจับสลาก 1 ครั้ง จากสลากทั้งหมด 10 ใบ โดยมีสลากรางวัลใหญ่ 2 ใบ เนื่องจาก ผลทั้งหมดที่เกิดจากการจับสลาก 1 ใบ เท่ากับ 10 และเหตุการณ์ที่จับได้สลากรางวัลใหญ่เท่ากับ 2 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้สลากรางวัลใหญ่เท่ากับ นั่นคือ โอกาสที่จะได้สลากรางวัลใหญ่จากการจับสลาก 1 ครั้ง เท่ากับ 0.2 = 0.2 2 10