Modul 1-1

MODUL 1

SISTEM BILANGAN, PERTAKSAMAAN
dan fungsi

A. DISKRIPSI MATERI

Modul 1 ini terdiri atas tiga kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1: sistem
bilangan real. Kegitan belajar 2: pertaksamaan rasional dan nilai mutlak.
Kegiatan Belajar 3: fungsi.

B. PRASYARAT

Modul ini memerlukan prasyarat bagi mahasiswa. Adapun prasyarat
yang harus dilalui oleh mahasiswa adalah menguasai materi bilangan
dan aljabar yang ada pada mata pelajaran di SMA.

C. TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari secara keseluruhan materi kegiatan belajar dalam modul ini, Anda
diharapkan :
1. Mendeskripsikan himpunan bilangan real dan himpunan bagiannya.
2. Menyelesaikan berbagai jenis operasi himpunan bilangan real, dan sifat-sifatnya.
3. Menyelesaikan pertaksamaan polinomial dan rasional.
4. Menyelesaikan pertaksamaan nilai mutlak.
5. Menjelasakan konsep fungsi dan jenisnya.
6. Menyelesaiakan masalah yang terkait dengan konsep fungsi.

1

PENGANTAR

Sejarah tentang konsep bilangan dimulai bersamaan dengan lahirnya peradaban
manusia, ketika mereka ingin mengetahui berapa banyak hewan peliharaannya, mereka
tampaknya sudah mempunyai pengertian tentang bilangan (number sense). Ide peretama
yang muncul adalah mencoba melakukan perbandingan dengan menggunakan istilah “lebih
sedikit daripada…., sama dengan …, dan lebih banyak dari….”, demikian juga untuk
mengetahui posisi suatu obyek dari kelompok tertentu mereka membandingkan dengan
posisi obyek dari kelompok tetentu, mereka membandingkan dengan posisi objek pada
kelompok lainnya. Ide melakukan perbandingan pada dua kelompok/kumpulan mengilhami
lahirnya “konsep bilangan „ yang dikenal dan bertolak dari pemikiran tersebut, maka dapat
dikembangkan definisi bilangan sebagai berikut.

Definisi 1.1 : Bilangan

Bilangan (Number) adalah suatu “sifat abstrak” (abstrackt property) dari suatu
himpunan yang menunjukkan suatu “kuantitatif atau posisi”.

Dari definisi 1.1 di atas terlihat bahwa bilangan adalah suatu pemikiran yang abstrak yang
hanya ada di alam pemikiran (angan-angan), karena bilangan tidak dapat dilihat secara fisik.
Hati-hati dengan istilah antara bilangan dengan angka , sebab angka hanya sebuah simbol
untuk mempresentasikan sebuah bilangan, sekali lagi itu hanya representative fisik dari ide
tersebut.

Definisi 1.2 : Angka

Angka (numeral) :adalah sebuah simbol untuk mempresentasikan sebuah bilangan.

2

Sampai sekarang sudah banyak sistem/cara yang telah dikembangkan orang untuk
merepresentasikan bilangan, diantaranya adalah sebagai berikut.

Hindu- Arab 4 Romawi IV

Mesir IIII Yunani 

Babilonia China

Tampak jelas bahwa bilangan empat direpresentasikan secara berbeda-beda oleh masing-
masing negara menurut kebudayaannya. Tetapi meskipun simbol-simbol tersebut di atas
berbeda-beda, namun mereka semuanya merepresentasikan sebuah ide atau bilangan yang
sama yaitu bilangan empat. Jelaslah bahwa angka empat “4” (hindu-arab) hanyalah sebuah
simbol yang secara fisik merepresentasikan “bilangan empat”, sedangkan “bilangan empat”
itu sendiri tidak dapat dilihat secara fisik karena hanya ada dalam benak pemikiran (Roethel
& Weinstein, Logic, Set and Numbers)

Dasar utama pengembangan matematika adalah teori bilangan dan geometri. Teori
bilangan terus berkembang dan mendasari berbagai cabang matematika lanjut. Pentingnya
bilangan untuk memahami alam semesta telah dirasakan oleh Phytagoras sejak 2500 tahun
yang lalu dengan ungkapan “the number rule the universe”, demikian pula Kronecker (1823
-1891) dengan ungkapannya “God made integers, all the rest is the work of man”. Pada
pertengahan abad ke-19, pentingnya bilangan sebagai suatu pengertian bebas diwujudkan,
sehingga studi tentang bilangan tidak bergantung lagi pada intuisi geometri. Sekarang akan
dibahas tentang sistem bilangan real. Untuk praktisnya dalam pembahasan ini, istilah
“bilangan” bebas diwujudkan.

3

SISTEM BILANGAN REAL

A. TUJUAN KEGIATAN BELAJAR 1.1

Setelah mempelajari semua materi pada kegiatan belajar 1 ini, Anda diharapkan dapat:
1. Mendeskripsikan bilangan real dan bagian-bagiannya.
2. Menjelaskan operasi bilangan real dan sifat-sifatnya.
3. Menerapkan operasi bilangan real pada masalah-masalah yang terkait.

B. URAIAN MATERI

Untuk mempelajari mata kuliah kalkulus 1 perlu memahami bahasan tentang sistem

bilangan real, karena kalkulus1didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya.

Bilangan real merupakan komponen utama dalam kalkulus. Definisi bilangan real

adalah sekumpulan bilangan (rasional dan tak rasional) yang dapat mengukur panjang,

bersama-sama dengan negatifnya dan nol (Purcell, 1995). Sedangkan pengertian Sistem

Bilangan Real adalah himpunan bil real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan

perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu (Martono, 1999). Bilangan real memiliki

beberapa sifat, diantaranya : komutatif, distributif, asosiatif, elemen-elemen identitas dan

balikan (invers).

Bilangan yang sering dipergunakan sehari-hari adalah bilangan yang berbasis
“sepuluh” yang dikenal dengan bilangan “decimal” (dikelompokkan sepuluh-sepuluh). Pada

bilangan berbasis sepuluh angka yang digunakan adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9 yang

disebut digit atau angka.

Sebuah bilangan merupakan susunan sekelompok angka yang memenuhi aturan

tertentu, misalnya 25, -30, 3 ; 0,5; 3; 3 8, 3log5 dan sebagainya.
4

4

CONTOH 1

Perhatikan contoh berikut :

1. 2375 (dua ribu tiga ratus tujuh puluh lima ), dapat diurai menjadi :

2375 = 2. (1000) + 3. (100) + 7. (10) + 5 . (1)
2375 = 2. 103 + 3 . 102 + 7 .101 + 5. 100

(dua ribuan + 3 ratusan + 7 puluhan + 5 satuan).

2. 432,069 (Empat ratus tiga puluh dua dan enampuluh sembilan perseribu)

432,069 = 4.(100) + 3.(10) + 2.(1) + 0.(1/10) + 6.(1/100) + 9 (1/1000)
432,069 = 4.102 + 3.101 + 2.100 + 0.10-1 + 6.10-2 + 9. 10-3

( 4 ratusan + 3 puluhan + 2 satuan + 0 persepuluhan + 6 perseratusan + 9 perseribuan).

_._._._ __|__ __|__ __|__ __|__ . __|__ __|__ __|__ _._._._

103 102 101 100 10-1 10-2 10-3

(1000) (100) (10) (1) (1/10) (1/100) (1/1000)

Ribuan ratusan puluhan satuan persepuluhan perseratusan Perseribuan

Titik desimal

B.1 KOMPONEN BILANGAN REAL

Bilangan real dikelompokkan sebagai berikut.
1. Bilangan Asli (N) : 1, 2, 3, …, berfungsi sebagai bilangan kardinal. Bilangan kardinal

adalah sebuah bilangan yang menunjukkan sebuah kuantitas. Himpunan bilangan asli
dilambangkan dengan N (Natural) dengan N ={ 1, 2, 3, …}. Pada bilangan asli : 1, 2,
3, … digunakan untuk menghitung objek suatu himpunan. Pada himpunan hingga,

banyaknya anggota himpunan terhingga, misalnya { }, Sedangkan pada

himpunan tak hingga, banyaknya anggota himpunan tak hingga, misalnya { }

Bilangan asli atau bilangan bulat positif terdiri atas :
 Bilangan 1 adalah bilangan asli yang mempunyai tepat satu faktor.

5

 Bilangan prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, adalah bilangan asli yang mempunyai tepat
dua faktor.

 Bilangan komposisi : 4, 6, 8, 10, 12, 15 …, adalah bilangan asli yang mempunyai
lebih dari dua faktor.

2. Bilangan Cacah : 0, 1, 2, 3, … adalah bilangan asli beserta unsur nol, biasanya
digunakan dalam kegiatan sensus. Bilangan cacah biasanya juga disebut “ bilangan bulat
non negatif”.

3. Bilangan Bulat Negatif (lawan bilangan asli ) : -1, -2, -3, …
4. Bilangan Bulat (Z) : ….-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … adalah bilangan bulat terdiri atas

bilangan genap dan bilangan ganjil. Bilangan bulat dilambangkan Z (Zahlen: dari
bahasa Jerman).
 Bilangan genap : …-4, -2, 0, 2, 4, 6 … adalah bilangan bulat kelipatan dua yang

dinotasikan 2n , n bilangan bulat.
 Bilangan ganjil : …-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9 …adaah bilangan bulat bukan kelipatan dua,

yang dinotasikan 2n+1 atau 2n-1 dengan n bilangan bulat.
Sedangkan Bilangan bulat bila dikaitkan dengan bilangan cacah dan bilangan bulat
negatif, maka bilangan bulat merupakan gabungan dari bilangan cacah dan bilangan
bulat negatif.

5. Bilangan Pecahan : bilangan berbentuk bilangan asli

atau bilangan bulat dan , dengan m tidak habis dibagi n. Bilangan pecahan

di antara 0 dan 1 disebut pecahan sejati, misalnya Bilangan pecahan selain di

antara 0 dan 1 disebut pecahan tidak sejati atau pecahan campuran, misalnya

6. Bilangan Rasional (Q) : bilangan berbentuk bilangan

asl atau kedua bilangan bilangan bulat dan . Bilangan rasional dilambangkan

dengan Q (Quotient ). Disini jelas bahwa bilangan dengan a habis dibagi b,

maka bilangan disebut bilangan bulat. Dan dengan a tidak habis dibagi b,

maka bilangan disebut bilangan pecahan. Bilangan rasional bersifat selalu
mempunyai bentuk decimal berakhir atau berulang

6

CONTOH 2

Perhatikan contoh berikut terkait bilangan rasional merupakan desimal berakhir atau

berulang.

a) 13 = 13, 0 (berakhir)

b) - 2 1 = - 2,5 (berakhir)
2

c) 11 2 = 11, 6666……. = 11, 6 (berulang)
3

d) 0, 49999 …….. = 0,4 9 (berulang)

e)  103  3,121212 .........  3,12 (berulang)
33

f) 1  0,1428571428 57142857 .........  0,142857 (berulang)
7

g) 3  8  2,000.......  2, 0  2

Catatan: tanda bar yang dibubuhkan di atas angka pada contoh menunjukkan bagian
desimal yang berulang.

CONTOH 3

3. Tunjukkan bahwa a) 1,09090909… b) -2,03333…, adalah bilangan rasional.
Jawab:

a
Ilustrasi bahwa bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk x  dengan a bilangan

b

bulat dan b bilangan asli atau a,b bilangan bulat dengan

a). Misalkan bilangan x 1,090909... 1,09, maka

100x 109,090909... 109,09 (dikalikan 100 karena ada dua digit yang berulang)

x 1,090909... 1,09

= (109, 09 - 1, 09 )  99x =108

 x  108  12 Jadi x  12 adalah bilangan rasional.
99 11 11

7

b) Misal ̅̅̅̅
̅ (dikalikan 10 karena ada satu digit yang berulang)

̅

10x - x = -20, 3 - (-2,0 3 )  9x = -18,3

 x = 18,3  183 adalah bilangan rasional.
9 90

7. Bilangan Irrasional : bilangan yang bukan rasional. Bilangan irrasional ini bukan hasil

a

bagi bilangan bulat dan bilangan asli, sehingga tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

b

dan juga tidak mempunyai bentuk decimal berulang.

CONTOH 4

a) Perhatikan contoh berikut merupakan bilangan irrasional.
2  1,414213562(tidak berakhir dan tidak berulang)
3  1,732050807(tidak berakhir dan tidak berulang)
1  0,7071086(tidak berakhir dan tidak berulang)
2

  3,14159265358(tidak berakhir dan tidak berulang)
e  2,71828182845 (tidak berakhir dan tidak berulang)

b) Tunjukkan bahwa 2 bukan bilangan rasional.
Jawab:

Andaikan 2 bilangan rasional. Dengan demikian 2 dapat dinyatakan dalam bentuk

x  a dengan a bilangan bulat dan b bilangan asli atau a,b bilangan bulat dengan ,
b

yaitu 2 = a , dengan a dan b bilangan bulat yang relatif prima yaitu mempunyai faktor
b

8

persekutuan terbesar (FPB)= 1. Jika kedua ruas dikuadratkan diperoleh

2  a2  a2  2b 2  a 2 adalah bilangan genap  a adalah bilangan genap .
b2

Berarti dapat dinyatakan sebagai a  2k  a2  4k 2  2b2  4k 2  b2  2k 2  b2

genap  b genap  a dan b mempunyai faktor persekutuan 2. Padahal a dan b prima

relatif mempunyai FPB =1. Jadi pengandaian 2 bilangan rasional adalah salah.

Jadi 2 tidak dapat dinyatakan sebagai a , berarti 2 adalah bilangan irasional.
b

8. Bilangan Real adalah gabungan bilangan rasional dan irrasional. Himpunan bilangan real

dilambangkan dengan R (Real). Sehingga lambang/notasi dari bilangan asli, bilangan

bulat, bilangan rasional, dan bilangan real berturut-turut ditulis dengan N, Z, Q, dan R.

Bila semua himpunan bagian dari R digambarkan dalam bentuk diagram Venn
seperti diperlihatkan pada Gambar 1 berikut ini.

Bilangan ganjil Bilangan genap

Bilangan irrasional

1 N Z QR
0 Bilangan pecahan
Bilangan prima
Bilangan komposit Bilangan Cacah

Gambar 1: Diagram Venn Himpunan Bilangan Real

9

Bila semua himpunan bagian dari R digambarkan dalam bentuk pohon bilangan
seperti diperlihatkan pada Gambar 2 berikut ini.

Bilangan Real

Bilangan Rasional Bilangan Irrasional
Bilangan Genap
Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Ganjil

Bilangan Bulat Negatif Bilangan Cacah

Bilangan Asli Bilangan Nol

Bilangan Prima Bilangan Komposit Bilangan Satu

Gambar 2: Pohon Bilangan Real

Himpunan Notasi Representasi/Contoh
Bilangan asli (Natural) N
Bilangan Prima( Prime numbers) - 1,2,3,
Bilangan Komposisi (Composite numbers) - 2,3,5,7,11,
Bilangan Bulat (integer) Z 4,6,8,9,10,12,15,
Nol (Zero) ,3,2,1,0,1,2,
Bilangan genap (even numbers) O
Bilangan Ganjil ( Odd numbers) 2n 0
2n 1
Bilangan Cacah - x x  2n;n Z
x x  2n  1;n  Z

0,1,2,

10

Negatif Bilangan asli (Bil. Bulat negatif) - N  3,2,1
Bilangan Pecahan (Praction)
Bilangan Rasional (Rational number)  - , 32 , 12 , 73 , 14

Bilangan Irrasional (Irrational number) Q   p , p  B, q  N 
x x q 
Bilangan Real (Real number)  

- 2, 1 , , e, ln 2, 1
3

R x    x  

Berdasarkan Gambar 1 dan Gambar 2 jelas bahwa : N  Z  Q  R . Dengan

catatan bahwa  , bukan bilangan real.

Beberapa catatan bilangan asli

1. Setiap bilangan genap yang lebih besar 2, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua

bilangan prima.

Contoh : 4 = 2 + 2 10 = 3 + 7

6=3+3 12 = 5 + 7

8=3+5 24 = 11 + 13 dst

2. Setiap bilangan komposit selalu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan

prima secara tunggal, yaitu :

K  P n1 .P2n 2 . P nk .
1 k

K = Bilangan komposit ; Pi = bilangan prima ; ni = Bilangan asli

Contoh :

4 = 22 15 = 3 . 5

6 = 2.3 16 = 24

8 = 23 18 = 2 . 32

9 = 32 72 = 23 . 32

10 = 2 . 5 540 = 22 .33. 5

11

Sifat- Sifat Bilangan Nol
Bilangan 0 dalam bentuk pecahan muncul dalam 3 kasus, sebagai berikut.

Kasus (i) 0 , a  0 . Misal x  0  x.a  0, karena a  0 , maka haruslah x  0.
aa
Jadi a  0 a  R, a  0
0

Kasus (ii) a , a  0. Misal x  a  0.x  a , berarti 0  a . Hal ini bertentangan dengan
00

pengandaian semula a  0. Jadi a adalah “tak terdefenisi”, a  R, a  0
0

Kasus (iii) 0 . Misalkan x  0  0.x  0 , berarti ruas kanan bernilai nol untuk semua x.
00

Jadi 0 adalah “tidak tentu”
0

Catatan :
Bilangan nol tidak termasuk bilangan positif maupun negatif.

Definisi 1.3 : Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real (R) adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi
penjumlahan dan perkalian, sehingga memnuhi aksioma tertentu. Dinotasikan dengan :
“ ( R , + , x )”

Ada dua cara yang dapat digunakan untuk mengenali sistem bilangan real ini, yaitu
secara konstruksi dan secara aksiomatik. Akan tetapi dalam buku ini sistem bilangan real
akan dikenali secara aksiomatik, yaitu dengan menganggap sistem bilangan real memenuhi
sifat-sifat tertentu yang dirumuskan dalam tiga aksioma, yaitu : Aksioma Lapangan,
Aksioma Urutan dan Aksioma Kelengkapan.

1. Aksioma Lapangan
Pada aksioma ini mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian, sifat komutatif, asosiatif, dan distributif, unsur identitas terhadap operasi
12

penjumlahan dan perkalian (bilangan 0 dan 1), dan adanya unsur invers terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian. Berdasarkan operasi dasar ini dapat didefinisikan operasi
pengurangan dan pembagian. Sedangkan berdasarkan aksioma ini dapat dibuktikan
berbagai sifat yang mendasari operasi aljabar yang ada pada objek kalkulus, yaitu
variabel (peubah), konstanta, dan parameter.

Perhatikan bahwa (R ,, x ) adalah sistem bilangan real, dan misalkan a,b.c  R ,
maka berlaku sifat-sifat berikut :
1. a  b  R (Sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan) dan

a..b  R (Sifat ketertutupan terhadap operasi perkalian)
2. a  b  b  a (Sifat komutatif terhadap penjumlahan) dan

a.b  b.a (Sifat komutatif terhadap perkalian)

3. a  b  c  a  b  c (Sifat assosiatif terhadap penjumlahan) dan
abc  abc (Sifat assosiatif terhadap perkalian).

4. ab  c  ab  ac (Sifat distributif)

5. Terdapat unsur 0  R , sehingga a  0  a,a  R dan
Terdapat unsur 1 R , sehingga a.1  a,a  R .
Bilangan 0 disebut unsur kesatuan (identitas) terhadap penjumlahan dan
Bilangan 1 disebut unsur kesatuan (identitas) terhadap perkalian

6. Terdapat unsur kebalikan (invers)  a  R sehingga a  (a)  0,a  R. dan
Terdapat unsur invers 1  R, a  0 , sehingga a. 1  1,a  R, a  0 .
aa
Bilangan real  a dinamakan “lawan” atau “negatif” dari a , dan
Bilangan real 1 dinamakan “kebalikkan “ dari a .
a

Adapun operasi pengurangan dan pembagian pada himpunan bilangan real didefinisikan
sebagai berikut.

13

CONTOH 5

a. Bila diketahui himpunan { }, apakah memenuhi sifat tertutup terhadap operasi

.

Jawab:

Himpunan { } tidak memenuhi sifat tertutup terhadap operasi , karena

b. Bila diketahui himpunan bilangan asli ( { } akan memenuhi sifat tertutup

terhadap operasi perjumlahan, dan operasi perkalian.

Jawab: } memenuhi sifat tertutup terhadap operasi +,
 Himpunan bilangan asli ( {

karena setiap dua bilangan asli yang dijumlahkan hasilnya juga anggota . Misal:

ambil ⟹ , demikian seterusnya.

 Himpunan bilangan asli ( { } memenuhi sifat tertutup terhadap operasi ,

karena setiap dua bilangan asli yang dikalikan hasilnya juga anggota . Misal: ambil

⟹ , demikian seterusnya.

Definisi 1.4 : Operasi Pengurangan dan Pembagian

Misalkan dan , ditulis ,
1. Pengurangan dari dan disebut “selisih” dari dan , ditulis dan

didefinisikan sebagai bilangan real

2. Pembagian dari dan disebut “hasil bagi” dari

didefinisikan sebagai bilangan real .

Berdasarkan aksioma lapangan di atas, dapat dibuktikan berbagai sifat-sifat aljabar
bilangan real berikut, yang sering digunakan sebagai operasi aljabar dalam menyelesaikan
soal matematika, sebagaimana dalam teorema berikut.

14

TEOREMA 1.1:

Misalkan , maka berlaku:

(1) Jika dan
(2) Jika (Hukum pencoretan untuk penjumlahan)
(3) Jika
(Hukum pencoretan untuk perkalian)
(4)

(5)

(6)

(7) Jika maka

(8) Jika atau (salah satunya sama dengan 0 atau dua-duanya
sama dengan 0)

(9)

(10)

(11) dan

(12) dan

(13) dan =

(14)

2. Aksioma Urutan
Pada aksioma ini mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan negatif. Pada setiap
bilangan real dapat diurutkan dari yang bilangan terkecil sampai terbesar. Dari aksioma
ini dapat diturunkan berbagai sifat yang mendasari penyelesaian suatu pertaksamaan dan
juga konsep nilai mutlak.
Pada suatu bilangan real belum dapat dinyatakan apakah bilangan tersebut lebih

besar atau lebih kecil dari bilangan lainnya, sebab belum didefinisikan istilah “lebih besar”
atau “lebih kecil”. Pada aksioma lapangan yang sudah dibahas di atas belum dapat
mengurutkan bilangan-bilangan real tersebut.

15

Pada himpunan bilangan real R terdapat suatu himpunan bagian yang unsur-unsurnya
dinamakan “bilangan positif” yang memenuhi aksioma urutan berikut.
(i). Jika a bilangan real, maka hanya satu dari pernyataan- pernyataan di bawah ini yang

benar a positif a  P ; a  0a P ;  a positif  a  P

(ii). Jumlah dua bilangan positif adalah positif dan hasil kali dua bilangan positif adalah
positif.
Sekarang pada himpunan bilangan real, telah dapat didefinisikan istilah “lebih besar”

dan “lebih kecil” dengan menggunakan istilah “bilangan positif” yang telah dideskripsikan
pada aksioma urutan.

Definisi 1.5: Bilangan Positif dan Negatif

Misalkan dan bilangan real, maka :

1. lebih kecil dari , ditulis Jika dan hanya jika adalah bil. positif.

2. lebih besar dari , ditulis Jika dan hanya jika adalah bil. negatif.

3. Lambang (lebih kecil atau sama dengan) dan (lebih besar atau sama

dengan) menyatakan relasi :

jika atau

jika atau dinamakan “tanda pertidaksamaan” dan
4. Lambang-lambang < , > ,

pernyataan yang dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan disebut
“pertidaksamaan”
5. Bilangan real dikatakan “negatif” bila adalah bilangan positif

CONTOH 6

1). 3 < 5 oleh karena 5 -3 = 2 adalah bilangan positif
-7 < -3 oleh karena -3 – (-7) = 4 adalah bilangan positif

2). 8 > -2 oleh karena -2 – 8 = -10 adalah bilangan negatif

2  1 oleh karena 1  2   1 adalah bilangan negatif
32 23 6

3). -0,35 adalah negatif, oleh karena – (– 0,35) = 0,35 adalah bilangan positif.

16

Jelaslah bahwa a  b jika dan hanya jika b  a. Untuk mempersingkat penulisan,
maka kalimat panjang tentang bilangan positif atau bilangan negatif sebagai berikut.
“ a bilangan positif “ dinotasikan dengan “ a  o ” dan
“ a bilangan negatif‟ dinotasikan dengan “ a  0 ”.

Keterkaitan antara bilangan real positif dengan tanda pertidaksamaan dan berbagai

sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan diberikan dalam teorema berikut.

TEOREMA 1.2:

(a). bilangan positif. (c).

(b). bilangan negatif (d).

Catatan Lambang “  ” dibaca “ jika dan hanya jika” atau “ekivalen”
Bukti:
(a) a  0  0  a . Akan tetapi 0  a  a  0  a adalah bilangan positif.

Jadi a  0  a bilangan positif.
(b) a  0  0  a  a adalah bilangan positif. Jadi a  0  a bilangan negatif
(c) a  0  a bilangan positif  (a) bilangan positif  a bilangan negatif

 a  0. Jadi a  0  a  0
(d) a  0  a bilangan negatif  (a) bilangan negatif  a bilangan positif

 a  0 Jadi a  0  a  0

TEOREMA 1.3:

Andaikan bilangan real, maka berlaku :

1. jika dan maka (sifat transitif).
2. jika dan maka
3. jika dan bilangan real sembarang, maka
4. jika dan , maka
5. jika dan , maka
6. jika
dan , maka

17

Catatan : Sifat-sifat diatas juga berlaku apabila tanda < diganti dengan  atau tanda >
diganti dengan 

Bukti:

1. Diketahui a  b dan b  c , a, b, c R. Karena a  b , maka P (P = bilangan

positif). Karena b  c , maka P. Menurut sifat urutan, maka a + b P,

sehingga diperoleh:

(b – a) + ( c – b)  b – a + c – b P
 ( c – a) + ( - b + b) P
 (c – a) + 0 P
 c–a P

 ac

2. Diketahui a  b maka P, dan c  d maka P. Sehingga

P, maka ( ( ( (

Jadi

3. Diketahui a  b maka P dan c bilangan real sembarang

Sehingga P⟹( ( (( ⟹

Jadi

4. Diketahui a  b dan c  0 , maka

Sehingga ( ⟹ ⟹

5. Diketahui a  b dan , maka

Sehingga ( ⟹

⟹

6. Diketahui 0  a  b maka

dan 0  c  d , maka

Sehingga ( ⟹ ⟹

Berdasarkan pembahasan aksioma lapangan dan aksioma urutan, belum cukup untuk

menggambarkan secara lengkap tentang sistem bilangan real. Misalnya himpunan bagian

bilangan real R yang terdiri atas bilangan rasional adalah lapangan yang terurut yang tidak

18

memuat bilangan real seperti 2, , e , dsb. Oleh karena itu masih diperlukan satu aksioma

lagi yaitu aksioma kelengkapan untuk dibahas.

3. Aksioma Kelengkapan
Aksioma kelengkapan pada sistem bilangan real menyatakan bahwa setiap

himpunan bagian dari R yang terbatas selalu mempunyai batas atas terkecil. Akibatnya

setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas dibawah selalu mempunyai batas

bawah terbesar. Sifat ini tidak dimiliki oleh himpunan bilangan rasional, dan inilah yang

membedakan antara himpunan bilangan rasional dan bilangan real.

Hal-hal mengenai bilangan real yang telah dibicarakan di atas dapat diberikan

interpretasi geometri, dengan mengkaitkan bilangan real dengan titik-titik pada sebuah

garis. Setiap bilangan real dapat digambarkan sebagai titik pada garis, dan setiap titik pada

garis dapat dinyatakan sebagai representasi bilangan real. Hal ini berarti terdapat
“korespondensi satu-satu” diantara bilangan real dan titik pada garis. Diantara dua bilangan

real terdapat tak hingga banyaknya bilangan rasional dan irrasional. Akibatnya, dapat

digambarkan bilangan real R sebagai himpunan titik sepanjang suatu garis lurus, yang

dikenal sebagai “garis bilangan real”, perhatikan gambar berikut :

 Mula-mula diletakkan | Gambar 1.a
titik 0 sebagai titik asal (origin), 0
lihat Gambar 1.a titik asal
(titik nol)
 Selanjutnya dapat memilih suatu
| || | | |
titik sembarang di sebelah kiri atau kanan -2 -1 0 1 2 3

titik asal yang mempunyai jarak tertentu Gambar 1.b
dari titik asal, lihat Gambar 1.b

 Akhirnya dapat digambarkan setiap bilangan real (rasional maupun irrasional) yang

dikehendaki pada garis bilangan, lihat Gambar 1.c

19

| | | | | | | || | | |

-3 -2 -1½ -1 0 1 2  3 4 4½ 5

Gambar 1.c: Garis Bilangan

Catatan:

Perhatikan bahwa bilangan real positif terletak di sebelah kanan titik 0, dan bilangan

real negatif terletak di sebelah kiri titik 0.

Selanjutnya dapat didefinisikan himpunan bilangan real yang memenuhi suatu
pertaksamaan tertentu, yang dikenal sebagai “selang hingga” dan “selang tak hingga”.

 Selang hingga adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas diatas dan

dibawah.
 Selang tak hingga adalah himpunan bagian dari R yang tidak terbatas diatas atau

tidak dibawah.

Berikut ini diberikan defenisi selang (interval) sebagai himpunan titik dan

representasinya pada garis bilangan.

Tabel 1: Selang Hingga

SELANG (INTERVAL) HINGGA

No Pertaksamaan Selang sebagai himpunan Representasi selang pada garis
yang dipenuhi titik bilangan.
bilangan real x

1 axb (a,b)  x  R : a  x  b ( )
b
a

2 axb a,b  x  R;a  x  b  
3 axb a,b  x  R, a  x  b a b
b
)
 b
a

4 axb a,b  x  R;a  x  b ( 
a b

20

Catatan :

 Selang a,b yang tidak memuat kedua titikujungnya dinamakan “selang terbuka”
 Selang a,b yang memuat sekaligus kedua titik ujungnya dinamakan “selang

tertutup”
 Selang yang hanya memuat salah satu ujungnya dinamakan “selang setengah

tertutup/terbuka”.
Sedangkan untuk selang tak hingga digunakan lambang  dan -  yang memenuhi
relasi urutan    x   untuk setiap x  R . Berdasarkan hal tersebut, lambang 
digunakan untuk suatu yang lebih besar dari setiap bilangan real (membesar tanpa batas)
dan lambing   digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan real
(mengecil tanpa batas). Kedua lambang ini ( dan - ) bukan bilangan real.

Tabel 2: Selang Tak Hingga

SELANG TAK HINGGA

NO Pertaksamaan yang Selang sebagai Himpunan Representasi Selang pada garis
dipenuhi bilangan real Titik bilangan
x

1 xb (,b)  x  R, x  b )

b

2 xb  ,b  x  R, x  b 
3 xa
4 xa b

a,  x  R, x  a (

a,  x  R, x  a a



a

5  x  ,  R I

0

Catatan : Selang  ,b dan a, adalah selang terbuka

Selang  ,b dan a,  adalah selang setengah tertutup

Selang a,b adalah selang tertutup

21

CONTOH 7

Sebagai latihan, pembaca diharapkan melengkapi tabel berikut (diberikan contoh

pada baris ketiga).

No Pertaksamaan yg Notasi Representasi selang pada garis Himpunan Titik
dipenuhi bil. real x bilangan
Selang
1 1 x  4 … ...
1,4

2 ... 1,3 (     ...
3 x2 2, 
4 2 x4 -1 0 1 2 3 4 x  R : x  2
...
    x  R : 2  x  4

-1 0 1 2 3 4

.....

5 ... (-1, 5) ..... ....
6 x  1 ..... ....
 ,1

7 x0x 2 ... ]( ....
8 ...
1,1 2,3 02 x  R : 1  x  1

..... atau 2  x  3 }

GABUNGAN DAN IRISAN DUA BUAH SELANG

 Perhatikan soal 2 dan 3 pada tabel 3 di atas. Misalkan I2  1,3 dan I3  2,  , maka
gabungan I2 dan I3 adalah I 2  I3  1,3 2,   1, 
Irisan I2 dan I3 adalah I 2  I3  1,3 2,   2,3 .

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

I2  1,3 (   I2
I3  2, -1 0 3 I3
 I2 I3
  2 
-1 0 34

maka (

I 2  I3  (1, ) -1 0

dan  I2 I3
0 23
I 2  I3  [2,3]

22

 Dengan cara yang sama diperoleh:

I2  I6  1,3  ,1   ,1 (1,3] (titik -1 tidak masuk angota gabungan)
Dan I 2  I6  1,3  ,1   (himpunan kosong) lihat gambar

(  I2  (1,3]
I 6  (,1)
-1 0 3
I 2  I6  (,1)  1,3
) 
I2  I6  
-1 0 3

)(    

-1 0 3

 
0

23

C. LATIHAN SOAL

Petunjuk: Jawablah setiap soal berikut dengan benar!

1. Bilangan-bilangan seperti yang merupakan hasil bagi dua bilangan bulat
disebut bilangan …

2. Bilangan-bilangan yang dapat mengukur panjang (bersama dengan negatifnya dan
nol) disebut bilangan …

3. Untuk soal nomor 3 jawablah dengan nilai yang paling sederhana. Hitunglah

nilai berikut.

a. ( (

b. ( )

c. (

d. (√ √
e. ( (

f.

g.
4. Cari nilai dari masing-masing soal berikut (bila memiliki jawaban tidak terdefinisi

katakan demikian)
a.
b.

c.
d.
e.
5. Tentukan pernyataan berikut benar atau salah.
a.
b.

24

c.

d. √
6. Nyatakan setiap bilangan rasional berikut menjadi bilangan desimal dengan

melakukan pembagian.
a.

b.

c.

7. Nyatakan setiap bilangan desimal berikut menjadi suatu hasil bagi dua bilangan

bulat.

a.

b.

c.

8. Nyatakan pernyataan berikut ini benar atau salah, bila diketahui sebarang bilangan

real.

a. ⟹

b.

c. { }, apakah memenuhi sifat tertutup terhadap:
9. Bila diketahui himpunan

a. Operasi pengurangan

b. Operasi perkalian, masing-masing jelaskan.

10. Tentukan nilai dari gabungan atau irisan dari dua himpunan berikut.
a. (

b. (

25

D. RANGKUMAN

1. Bilangan (Number) : Bilangan adalah suatu “sifat abstrak” (abstrackt property) dari
suatu himpunan yang menunjukkan suatu “kuantitatif atau posisi”.

2. Angka (numeral) : Sebuah angka adalah sebuah simbol untuk mempresentasikan

sebuah bilangan.
3. Bilangan Asli (N) : 1, 2, 3, …, berfungsi sebagai bilangan kardinal. Bilangan

kardinal adalah sebuah bilangan yang menunjukkan sebuah kuantitas. Himpunan
bilangan asli dilambangkan dengan N (Natural) dengan N ={ 1, 2, 3, …}.
4. Bilangan Cacah : 0, 1, 2, 3, … adalah bilangan asli beserta unsur nol, biasanya
digunakan dalam kegiatan sensus. Bilangan cacah biasanya juga disebut “ bilangan
bulat non negatif”.
5. Bilangan Bulat Negatif ( lawan bilangan asli ) : -1, -2, -3, …
6. Bilangan Bulat (Z) : ….-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … adalah bilangan bulat terdiri atas

bilangan genap dan bilangan ganjil. Bilangan bulat dilambangkan Z (Zahlen: dari

bahasa Jerman).
 Bilangan genap : …-4, -2, 0, 2, 4, 6 … adalah bilangan bulat kelipatan dua yang

dinotasikan 2n , n bilangan bulat.
 Bilangan ganjil : …-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9 …adaah bilangan bulat bukan kelipatan dua,

yang dinotasikan 2n+1 atau 2n-1 dengan n bilangan bulat.

Sedangkan Bilangan bulat bila dikaitkan dengan bilangan cacah dan bilangan bulat

negatif, maka bilangan bulat merupakan gabungan dari bilangan cacah dan bilangan

bulat negatif.

7. Bilangan Pecahan : bilangan berbentuk bilangan

asli atau bilangan bulat dan , dengan m tidak habis dibagi n. Bilangan

pecahan di antara 0 dan 1 disebut pecahan sejati, misalnya Bilangan

pecahan selain di antara 0 dan 1 disebut pecahan tidak sejati atau pecahan campuran,

misalnya

8. Bilangan Rasional (Q) : bilangan berbentuk

bilangan asl atau kedua bilangan bilangan bulat dan . Bilangan rasional

dilambangkan dengan Q (Quotient ). Disini jelas bahwa bilangan dengan a

habis dibagi b, maka bilangan disebut bilangan bulat. Dan dengan a tidak

habis dibagi b, maka bilangan disebut bilangan pecahan. Bilangan rasional
bersifat selalu mempunyai bentuk decimal berakhir atau berulang

26

9. Bilangan Irrasional : bilangan yang bukan rasional. Bilangan irrasional ini bukan
hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli, sehingga tidak dapat dinyatakan dalam

a

bentuk dan juga tidak mempunyai bentuk decimal berulang.

b

10. Bilangan Real adalah gabungan bilangan rasional dan irrasional. Himpunan bilangan
real dilambangkan dengan R (Real). Sehingga lambang/notasi dari bilangan asli,
bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real berturut-turut ditulis dengan N,
Z, Q, dan R.
Sistem bilangan real R adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan
operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga memnuhi aksioma tertentu.
Dinotasikan dengan: “ ( R , + , x )”

11. Aksioma Lapangan

Pada aksioma ini mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian, sifat komutatif, asosiatif, dan distributif, unsur identitas terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian (bilangan 0 dan 1), dan adanya unsur invers terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian. Berdasarkan operasi dasar ini dapat
didefinisikan operasi pengurangan dan pembagian. Sedangkan berdasarkan aksioma
ini dapat dibuktikan berbagai sifat yang mendasari operasi aljabar yang ada pada
objek kalkulus, yaitu variabel (peubah), konstanta, dan parameter.

Perhatikan bahwa (R ,, x ) adalah sistem bilangan real, dan misalkan a,b.c  R ,

maka berlaku sifat-sifat berikut :
1. a  b  R (Sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan) dan

a..b  R (Sifat ketertutupan terhadap operasi perkalian)
2. a  b  b  a (Sifat komutatif terhadap penjumlahan) dan

a.b  b.a (Sifat komutatif terhadap perkalian)

3. a  b  c  a  b  c (Sifat assosiatif terhadap penjumlahan) dan
abc  abc (Sifat assosiatif terhadap perkalian).

4. ab  c  ab  ac (Sifat distributif)

5. Terdapat unsur 0  R , sehingga a  0  a,a  R dan

Terdapat unsur 1 R , sehingga a.1  a,a  R .

Bilangan 0 disebut unsur kesatuan (identitas) terhadap penjumlahan dan
Bilangan 1 disebut unsur kesatuan (identitas) terhadap perkalian
6. Terdapat unsur kebalikan (invers)  a  R sehingga a  (a)  0,a  R. dan

Terdapat unsur invers 1  R, a  0 , sehingga 1  1,a  R, a  0.
a.
aa

Bilangan real  a dinamakan “lawan” atau “negatif” dari a , dan

27

Bilangan real 1 dinamakan “kebalikkan “ dari a .
a

12. Aksioma Urutan
Pada aksioma ini mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan negatif. Pada
setiap bilangan real dapat diurutkan dari yang bilangan terkecil sampai terbesar. Dari
aksioma ini dapat diturunkan berbagai sifat yang mendasari penyelesaian suatu
pertaksamaan dan juga konsep nilai mutlak.

13. Aksioma Kelengkapan
Aksioma kelengkapan pada sistem bilangan real menyatakan bahwa setiap himpunan
bagian dari R yang terbatas selalu mempunyai batas atas terkecil. Akibatnya setiap
himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas dibawah selalu mempunyai batas
bawah terbesar. Sifat ini tidak dimiliki oleh himpunan bilangan rasional, dan inilah
yang membedakan antara himpunan bilangan rasional dan bilangan real.

28

E. UJI KOMPTENSI 1.1

Petunjuk: Jawablah setiap soal berikut dengan benar!

1. Bilangan-bilangan seperti √ merupakan langan …

2. Di antara dua bilangan real sebarang, selalu dapat dicari bilangan … maupun

bilangan … (yang banyaknya tak hingga).

3. Untuk soal nomor 3 jawablah dengan nilai yang paling sederhana. Hitunglah

nilai berikut.

a.

b. (√ √ (√ √
c.

d.
4. Cari nilai dari masing-masing soal berikut (bila memiliki jawaban tidak terdefinisi

katakan demikian)
a. (
b.

c.
d.
e.
5. Tentukan pernyataan berikut benar atau salah.
a.
b.

c.

d. √
6. Nyatakan setiap bilangan rasional berikut menjadi bilangan desimal dengan

melakukan pembagian.
29

a.

b.

7. Nyatakan setiap bilangan desimal berikut menjadi suatu hasil bagi dua bilangan

bulat.

a.

b.

8. Nyatakan pernyataan berikut ini benar atau salah, bila diketahui sebarang bilangan

real.

a. ⟹

b.

c. { }, apakah memenuhi sifat tertutup
9. Bila diketahui himpunan

terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian, berikan penjelasan.

10. Tentukan nilai dari gabungan atau irisan dari dua himpunan berikut.

a. (

b. (

30

F. UMPAN BALIK

Cocokanlah hasil jawaban Uji Komptensi 1.1 dengan kunci jawaban yang ada pada
bagian belakang kegiatan belajar 1.1 ini, Hitunglah jawaban yang benar, kemudian
gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan terhadap materi
kegiatan belajar 1.1.

Kriteria Tingkat Penguasaan, sebagai berikut:
90 % - 100 % = Baik Sekali
80 % - 89 % = Baik
70 % - 79 % = Cukup

- 69 % = Kurang
Jika mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, maka dapat meneruskan dengan
kegiatan belajar 1.2, Bagus! Namun bila tingkat penguasaan masih di bawah 80 % harus
mengulang kegiatan belajar 1.1, terutama mempelajari dengan teliti lagi bagian yang
belum dikuasai. Kemudian mengerjakan soal uji kompetensi lagi dan menghitung kembali
tingkat penguasaan. Selamat Mencoba.

31

G G. KUNCI JAWABAN

Kunci Jawaban Latihan Soal

1. Bilangan rasional
2. Bilangan Real
3. a.

b.

c.

d. √
e.
f.
g.
4. a. 0.
b. 0
c. tidak terdefinisi
d. 1
e. 0
5. a Salah
b. Salah
c. Benar
d. Benar
6. a. ̅
b. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
c. ̅
7. a.

b.

c.

32

8. a. Benar { } tidak memenuhi sifat tertutup terhadap operasi . Karena
b. Salah { (
c. Benar
} memenuhi sifat tertutup terhadap operasi . Karena
9. a. Himpunan
(

b. Himpunan

10. a. (
b. [-3,0)

Kunci Jawaban Uji Kompetensi

1. Bilangan irrasional
2. Bilangan rasional dan irrasional

3. a.

b. 2 (
c. ( (

d.

4. a. 0.
b. 0
c. tidak terdefinisi
d. 1
e. 0

5. a Salah
b. Benar
c. Benar
d. Benar

6. a. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
b. ̅

33