BAB IV, PERSAMAAN GARIS LURUS - KE 2 - GRADIEN

1

PERSAMAAN GARIS LURUS, KE-2
Kompetensi Dasar
3.4 Menganalisis fungsi linear (sebagai persamaan garis lurus) dan

menginterpretasikan grafiknya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual
4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi linear sebagai

persamaan garis lurus

B. GRADIEN
1. Pengertian gradien

Gradien suatu garis pada bidang Cartesius yang biasanya dinotasikan dengan m
adalah besarnya perubahan nilai perbandingan antara perubahan ordinat dengan
perubahan absis dari suatu titik ke titik lain yang terletak pada garis tersebut.
Perhatikan gambar di bawah ini !
a.

Gradien garis AB pada bidang Cartesius dirumuskan :

mAB =


gradien garis pada gambar di atas adalah :

gradien garis AB = mAB = 2 = 1
4 2

Untuk mempermudah : mAB = ke atas 2 satuan dan ke kanan 4 satuan = 2
4

2

b. Perhatikan arah anak panah pada garis putus-putus.

MPQ = −4 ( mPQ = ke bawah 4 satuan, ke kanan 5 satuan = −4 )
5 5

Untuk selanjutnya, dalam mencari gradien suatu garis tidak harus memproyeksikan

garis itu ke sumbu Y dan ke sumbu X.

Perhatikan contoh-contoh berikut ini :

Tentukan gradien garis AB, garis CD, garis EF, garis GH, garis IJ dan garis KL di

bawah ini :

Gradien AB = mAB = 3  1 (mAB = ke atas 3 satuan, ke kanan 3 satuan)
3

Gradien CD = mCD = 2 = tak terdefinisi (mCD = ke bawah 2 satuan, tetap)
0

Gradien EF = mEF = 0 = 0 (mEF = tetap, ke kanan 5 satuan )
5

Gradien GH = mGH =  4  4 (mGH = ke bawah 4 satuan, ke kiri 1 satuan)
 1

3

Gradien IJ = mIJ = −4 = −1 (mIJ = ke bawah 4 satuan, ke kanan 4 satuan )

4

Gradien KL = mKL = 4= −2 (mKL = ke atas 4 satuan, ke kiri 2 satuan )

−2

Ternyata gradien, menentukan kemiringan suatu garis. Dari contoh di atas dapat

kita ambil kesimpulan :

1. garis yang mendatar atau sejajar sumbu x mempunyai gradien nol.

2. garis yang vertikal atau sejajar dengan sumbu y gradiennya tidak

didefinisikan

3. Setiap garis yang condong ke kanan mempunyai gradien positif.

4. Setiap garis yang condong ke kiri mempunyai gradien negatif.

2. Menentukan gradien garis

a) Gradien garis yang melalui pusat O(0, 0) dan titik (x, y)

Mencari gradien garis yang melalui titik pusat O(0, 0) dan titik (x, y) sama artinya

dengan mencari gradien dari sebuah garis yang sudah dikemukakan di atas.

Contoh : .

Carilah gradien garis gambar di bawah, yang melalui titik O(0, 0) dan titik A(3, 4).

Penyelesaian :

Garis a melalui titik O(0, 0) dan titik A(3, 4).

mOA = ma = 4 ( bertolak dari O, mOA = ke
3

atas 4 satuan dan ke kanan 3 satuan ).

Jadi gradien garis OA yaitu ma = 4
3

Persamaan garis yang melalui titik pusat O(0, 0) dan titik (x, y) adalah y = mx + c
Dari gambar di atas persamaan garis melalui titik (0, 0) dan (3, 4) adalah y = 4 x

3
sehingga gradiennya adalah 4 . Jadi persamaan garis y = mx memiliki gradien m

3
dengan m = y

x

4

. b) Gradien garis yang persamaannya ax + by + c = 0

Pada pembahasan bab sebelumnya, kamu pernah menyelesaikan persamaan

dengan cara menambah, mengurangi, mengalikan atau membagi kedua ruas

dengan bilangan yang sama, sehingga ekivalen dengan persamaan y = mx + c.

Untuk mencari gradien garis dengan persamaan ax + by + c = 0, langkah-

langkahnya adalah :

ax + by + c = 0

by = – ax – c

y =  ax  c
b b

Bandingkan y =  ax  c dengan y = mx + c
b b

Maka, gradien garis ax + by + c = 0 adalah  a , ( m =  a )
b b

 Gradien dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m

 Gradien garis dengan persamaan ax + by + c = 0 adalah m=  a
b

Contoh :

Tentukan gradien garis-garis dengan persamaan.

1. 4x + 3y + 6 = 0

2. 3x – 5y + 8 = 0

Jawab :

1. 4x + 3y + 6 = 0 atau 4x + 3y + 6 = 0

3y = – 4x – 6 a = 4, b = 3, dan c = 6

y =  4x  6   4 x  2 m= a  4   4
3 3 3 b 3 3

Jadi gradiennya adalah  4
3

2. 3x – 5y + 8 = 0 atau 3x – 5y + 8 = 0

– 5y = 3x – 8 a = 3, b = – 5, dan c = 8

y = 3 − 8 m= a  3  3
b 5 5
−5 (−5)

y = − 3 + 8
5 5

Jadi gradiennya adalah  3
5

5

Latihan 1

1. Ubah persamaan-persamaan garis berikut menjadi bentuk y = mx + c, dan

tentukan gradiennya !

a. 4x + 6y – 12 = 0 c. 3x – 4y + 8 = 0

b. 3x + 5y + 10 = 0 d. 5x – 2y – 4 = 0

2. Tentukan gradien garis dengan persamaan :

a. y = 1 x  5 d. 12y – 4x = 8
3

b. y =  4 x 6 e. 1 y  4x   2
5 3

c. 10x + 15y = 30

c) Gradien garis yang melalui dua titik.

Suatu garis p melalui titik A(x1, y1) dan titik B(x2, y2) mempunyai gradien

mp = y2  y1
x2  x1

Komponen y garis AB = y2 – y1

Komponen x garis AB = x2 – x1

Gradien garis AB = y2  y1
x2  x1

Gradien garis BA = y1  y2
x1  x2

Contoh 1 :

Perhatikan gambar di samping!

A(1, 2), maka x1 = 1 dan y1 = 2

B(4, 6), maka x2 = 4 dan y2 = 6

mAB = y2  y1 = 62 = 4
x2  x1 4 1 3

mBA = y1  y2 = 2  6   4 = 4
x1  x2 1  4  3 3

Ternyata mAB = mBA. Untuk itu pilih salah satu cara saja

6

Contoh 2 :

Tanpa menggambar, tentukan gradien garis yang menghubungkan setiap

pasangan berikut ini !

a. A(2, 5) dan B(3, – 4)

b. C(3, 2) dan D(– 2, 5)

c. E(4, – 2) dan F(1, 2)

d. P(– 3, 4) dan Q(2, 4)

Jawab :

a. mAB = y2  y1 =  45 = 9  9
x2  x1 32 1

b. mCD = y2  y1 = 52  3   3
x2  x1 2  3 5 5

c. mEF = y2  y1 = 2  (2)  22  4   4
x2  x1 1 4 3 3 3

d. mPQ = y2  y1 = 44 = 44 = 2 0  0  tak terdefinisikan.
x2  x1 2  (3) 2  (3) 3 5

d) Gradien garis-garis yang saling sejajar dan saling tegak lurus .
1. Garis-garis yang saling sejajar besarnya sama

Gradien garis AB = mAB = y2  y1 = 4  (2)  42  6  3
x2  x1  2  (4) 24 2

Gradien garis CD = mCD = y2  y1 = 2  (4)  24  6  3
x2  x1 1  (3) 1  3 2

7

Gradien garis PQ = mPQ = y2  y1 = 4  (2)  4  2  6  3
x2  x1 64 2 2

Dari ketiga garis tersebut dapat kita lihat, garis-garis yang saling sejajar

mempunyai gradien yang sama. Dengan demikian,

Jika garis y1 = m1x + c sejajar dengan garis y2 = m2x + c
maka Gradien kedua garis tersebut sama yaitu m1 = m2

Contoh : Tentukan kedudukan garis y = –2x + 5 dengan garis berikut.
a. + =



b. 4x + 2y = 5
Jawab :
 garis y = –2x + 5, mempunyai gradien m1 = -2
a. + = diubah dalam bentuk y = mx + c



⟺ = − ( kedua ruas dikalikan 2 )



⟺ y = 4 – 2x
Jadi garis y = 4 – 2x, mempunyai gradien m2 = -2
Karena m1 = m2 = -2, maka kedudukan garis y = –2x + 5 dan
garis + = saling sejajar



b. 4x + 2y = 5 diubah dalam bentuk y = mx + c

⟺ 2y = 5 – 4x

⟺ y = 5 − 4

22

⟺ y = 5 − 2

2

Jadi garis y = 5− 2 , mempunyai gradien m2 = -2

2

Karena m1 = m2 = -2, maka kedudukan garis y = –2x + 5 dan

garis 4x + 2y = 5 saling sejajar

8

2. Gradien dari dua garis yang saling tegak lurus.

Untuk mengukur  KQP gunakan segitiga situ-siku, apakah sudut tersebut

merupakan sudut siku-siku atau bukan. Kalau siku-siku berarti garis PQ dan

KQ saling tegak lurus.

Gradien garis PQ = mPQ = y2  y1 = 1 2  1
x2  x1 51 4

Gradien garis KQ = mKQ = y2  y1 = 1  (3)  1 3  4  4
x2  x1 54 1 1

Misal garis PQ dan garis KQ saling tegak lurus, maka hasil kali gradien garis

PQ dan gradien garis KQ adalah sebagai berikut :

mPQ x mKQ = 4 x 1
1 4

mPQ x mKQ = – 1
Dengan demikian,

Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus = – 1
atau m1 x m2 = – 1

Contoh 1:
Garis k melalui titik (-2, 5) dan (2, 4). Jika garis k tegak lurus garis p,
tentukan gradien garis p !
Jawab :
Misal : titik A(-2, 5) maka x1 = -2 dan y1 = 5

titik B(2, 4) maka x2 = 2 dan y2 = 4

9

Gradien garis k = mAB = y2  y1 = 4−5 = −1 = −1 = −1
x2  x1 2−( −2)
2+2 4 4

Garis k tegak lurus garis p, maka hasil kali gradien garis k dan gradien garis

p adalah : mk x mp = -1

−1 = -1
4
= -1 : −1

4

= -1 x 4

−1

=4

Jadi gradien garis p adalah 4

Contoh 2 :

Persamaan garis p adalah 3y – 6x = 12. Jika garis q tegak lurus garis p,

tentukan gradien garis q !

Jawab :

Garis p : 3y – 6x = 12

⟺ 3y = 12 + 6x

⟺ y = 12 + 6

3

⟺ y = 12 + 6

33

⟺ y = 4 + 2x, → gradien garis p = mp = 2

garis q tegak lurus garis p, maka mp x mq = -1

mq = -1 : mp

mq = -1 : 2

mq = −1

2

Jadi gradien garis q adalah − 1

2

Latihan 2

1. Diketahui garis k1, k2, dan k3, garis k2 dan k3 saling tegak lurus serta garis k1
dan k3 saling sejajar. Bila persamaan garis k3 adalah y = 2x + 3, tentukanlah
gradien garis k1 dan k2.

10

2. Tentukan gradien garis-garis pada gambar berikut ini !

3. Dengan mencari gradien garis, selidikilah garis-garis persamaan berikut jika

diketahui garis dengan persamaan y = 2x + 4

a. 2x – y + 8 = 0

b. 3y – 6x = 10

c. y =  1 x6
2

d. 2y = - x + 10

e. 4x – 2y + 8 = 0

4. Tentukan hubungan setiap pasangan garis berikut !
a. y – 3x = 3 dengan 3y – 9x = -18
b. 2y – 4x = 8 dengan 4y + 2x = 6
c. 4y – x = 5 dengan 8y – 2x = 10
d. 2y – 3x = 6 dan 2x + 3y = 6
e. 3y + x = 9 dan y + 1 = 5

3

11

12