Relasi dan Fungsi

Relasi dan Fungsi
1. Relasi

A. Pengertian Relasi
Relasi adalah suatu aturan yang menghubungkan antara himpunan yang satu
dengan yang lain, sehingga setiap anggota pada himpunan pertama mempunyai
pasangan dengan anggota pada himpunan yang kedua.
Contoh :
Empat anak yaitu Dany, Ratih, Apri, dan Andra ditanya tentang olah raga yang
digemari, dan hasilnya sebagai berikut :
Dany dan Apri gemar bermain sepak bola
Dany dan Ratih gemar bermain bulu tangkis
Apri dan Andra gemar bermain Tenis meja
Jika A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olah raga, maka dapat
dibuat suatu hubungan antara anggota kedua himpunan itu ( Gb. 1 )
A = {Dany, Ratih, Apri, Andra}
B = {sepak bola, bulu tangkis, tenis meja}

Hubungan (relasi) yang diperlihatkan oleh anggota kedua himpunan itu adalah
″ gemar bermain ″

B. Menyatakan Relasi
Cara menyatakan Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan berikut
ini :
1. Dengan diagram panah

2. Diagram Cartesius, dan
3. Himpunan Pasangan Berurutan

1). Diagram Panah
Pada Gb. 1 ditunjukkan diagram panah antara anggota himpunan A dengan
anggota himpunan B dengan relasi ″ gemar bermain ″.

2). Diagram Cartesius
Pada Gambar 2 ditunjukkan diagram Cartesius antara anggota himpunan A
dengan anggota himpunan B dengan relasi ″ gemar bermain ″.

3). Himpunan Pasangan Berurutan
Apabila kita perhatikan hubungan anggota-anggota himpunan A dengan
anggota-anggota himpunan B dengan relasi ″ gemar bermain ″, maka Dany
gemar bermain sepak bola dan Dany gemar Bulu tangkis, dapat ditulis dengan
himpunan pasangan berurutan (Dany, sepak bola), (Dany, Bulu tangkis). Maka,
data pada bagian 1 apabila ditulis dengan himpunan pasangan berurutan adalah
{(Dany, sepak bola), (Dany, bulu tangkis), (Ratih, bulu tangkis), (Apri, sepak
bola), (Apri, tenis meja), (Andra, tenis meja)}

Contoh 1:
Diketahui himpunan A = {2, 4, 6, 8} dan himpunan B = {1, 3, 5, 7}
Buatlah relasi “ satu lebihnya dari “ dengan 3 cara !

Jawab :
Diketahui : A = {2, 4, 6, 8} dan B = {1, 3, 5, 7}
a) Dengan diagram panah

b) Dengan Diagram Cartesius

c) Dengan Himpunan pasangan berurutan
{(2, 1), (4, 3), (6, 5), (8, 7)}

Latihan 1

1. Gambarlah diagram panah yang menunjukkan relasi “ lebih dari “ dari anggota
himpunan A ke himpunan B, jika diketahui :
A = {2, 3, 4, 5, 6} dan B = {1, 2, 3, 4}

2. A = {2, 3, 4, 5} dan B = {5, 6, 7, 8, 9}
a. Gambarlah diagram panah untuk menunjukkan relasi “ tiga kurangnya
dari “ dari himpunan A ke himpunan B
b. Tunjukkan relasi di atas dengan diagram Cartesius
c. Tunjukkan relasi di atas dengan himpunan pasangan berurutan

3. Dari gambar di bawah ini, relasi apakah dari himpunan A ke himpunan B ?

4. A = {3, 6, 9, 12, 15} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}
a. Jika x  A dan y  B, tulislah himpunan pasangan berurutan yang
menyatakan relasi “ x tiga kali y “ !
b. Nyatakan pasangan berurutan pada soal a dengan diagram panah !
c. Gunakan diagram Cartesius untuk menunjukkan hubungan di atas !

2. Fungsi atau pemetaan

A. Pengertian Fungsi
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi
khusus sedemikian hingga setiap anggota himpunan A dihubungkan tepat
dengan satu anggota himpunan B.
A disebut dengan daerah asal atau domain
B disebut dengan daerah kawan atau kodomain
Anggota daerah kawan yang merupakan pasangan dari anggota domain disebut
bayangan atau peta. Himpunan bayangan disebut range atau daerah hasil.

Contoh 1:
Diagram panah gambar di samping menyatakan
relasi “ tinggi badan “.
A = daerah asal = Domain

= {Andra, Handa, Zizie, Rendy, Raka}
B = daerah kawan = Kodomain

= {155, 160, 165, 170, 175}
Daerah hasil = range

= {155, 160, 165, 175}

Contoh 2 :

Gambar (i) : bukan pemetaan, karena ada anggota A, yaitu b yang memiliki lebih
dari satu pasangan di B

Gambar (ii) : adalah pemetaan, karena masing-masing anggota A memiliki tepat
satu pasangan di B

Gambar (iii) : bukan pemetaan, karena ada anggota A, yaitu b yang tidak memiliki
pasangan di B

Dari contoh-contoh di atas, ternyata untuk mengetahui apakah suatu relasi
merupakan pemetaan atau bukan, yang terutama perlu diperhatikan adalah anggota-
anggota himpunan A.

B. Menyatakan pemetaan
Telah dikemukakan pada bahasan pengertian pemetaan adalah relasi khusus.
Oleh karena itu, pemetaan pun dapat dinyatakan dengan tiga cara berikut ini :

1. dengan diagram panah
2. dengan diagram Cartesius, atau
3. dengan himpunan pasangan berurutan
Contoh :
Diketahui P = {1, 2, 3, 4} dan Q = {a, b, c}
1. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan dengan

1  a, 2  c, 3  a, 4  c.
2. Nyatakan f dengan diagram Cartesius
3. Nyatakan f sebagai himpunan pasangan berurutan
Jawab :

1. Diagram panah

2. Diagram Cartesius

3. Himpunan pasangan berurutan = {(1, a), (2, c), (3, a), (4, c)}

Latihan 2

1. Diketahui :
A = {1, 4, 9, 16} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Suatu relasi menyatakan “ kuadrat dari
“ dari A ke B.
a. Gambarlah diagram panahnya !
b. Apakah relasi ini merupakan pemetaan ?
c. Tentukan domain, kodomain, dan rangenya!

2. A = {4, 5, 6, 7} dan B = {1, 2, 3, 4}
Suatu relasi R dari A ke B ditentukan sebagai berikut: a  1, b  1, c  3,
d  4,
a. Tunjukkan R dengan diagram panah !
b. Tunjukkan R dengan diagram Cartesius !
c. Tulislah R sebagai himpunan pasangan berurutan !

3. Korespodensi satu-satu

A. Pengertian korespodensi satu-satu

Gambar ( i ) adalah diagram panah untuk relasi ”kuadrat dari”, dari himpunan A ke
himpunan B, sedangkan Gambar ( ii ) untuk relasi ”akar dari”, dari himpunan B ke
himpunan A.
Pada gambar ( i ) setiap anggota himpunan A dipasangkan tepat satu dengan anggota
himpunan B, dan sebaliknya gambar ( ii ) setiap anggota himpunan B dipasangkan
dengan tepat satu anggota himpunan A. Jadi, antara A dan B terjadi pemetaan timbal
balik, sehingga terdapat korespodensi satu-satu atau perkawanan satu-satu antara
himpunan A dan himpunan B

Himpunan A dikatakan berkorespodensi sat-satu dengan himpunan B
Jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B, dan setiap
anggota himpunan B dipasangkan dengan tepat satu anggota A. Dengan
demikian, banyak anggota himpunan A dan B haruslah sama.
Contoh 1 :
Dari gambar di bawah, manakah yang merupakan korespodensi satu-satu?

Jawab :
Gambar i : merupakan korespodensi satu-satu karena setiap anggota himpunan A
dipasangkan tepat satu dengan anggota himpunan B dan setiap anggota himpunan
B dipasangkan dengan tepat satu anggota A

Gambar ii : bukan merupakan korespodensi satu-satu karena ada anggota himpunan
A dipasangkan lebih dari satu dengan anggota himpunan B dan sebaliknya ada
anggota himpunan B dipasangkan lebih dari satu anggota himpunan A

gambar iii : bukan merupakan korespodensi satu-satu karena ada anggota himpunan
A tidak dipasangkan dengan anggota himpunan B dan sebaliknya ada anggota
himpunan B tidak dipasangkan dengan anggota himpunan A

Latihan 3

1. Diantara pasangan-pasangan berikut ini, manakah yang dapat berkorespodensi
satu-satu ?
a. A = {p, q, r, s}, B = {huruf vokal }
b. P = {m, a, w, a, r}, Q = {i, n, d, a, h}
c. K = {warna-warna pada lampu lalu lintas}
L = {tiga angka prima yang yang pertama}
d. A = {bilangan bulat kurang dari sepuluh}
B = {sembilan bilangan asli yang pertama}

2. Dari himpunan pasangan berurutan berikut ini, manakah yang menunjukkan
korespodensi satu-satu ?
a. {(0, 0), (2, 1), (4, 2), (6, 3), (3, -1)}
b. {(1, b), (2, b), (3, b), (4, b)}
c. {(1, e), (2, f), (3, g), (4, h), (5, i)}
d. {(p, 3), (q, 5), (q, 7), (s, 9), (s, 10)}