BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 1

KEGIATAN 3 ( BARISAN DAN DERET GEOMETRI )

Kompetensi Dasar
3.5 Menganalisis barisan dan deret Geometri
4.5 Menyelesaikan masalah Kontekstual yang berkaitan dengan barisan dan deret

Geometri

Indikator
1. Peserta didik menganalisis Barisan Geometri
2. Peserta didik menganalisis Deret Geometri
3. Peserta didik memecahkan masalah Barisan dan Deret Geometri

Tujuan Pemrelajaran
1. Peserta didik dapat memecahkan masalah menggunakan rumus suku- n

suatu barisan Geometri
2. Peserta didik dapat menentukan rumus umum jumlah suku ke- n suatu

barisan dan deret Geometri
3. Peserta didik dapat memecahkan masalah menggunakan rumus umum

jumlah suku ke- n suatu barisan dan deret Geometri

BARISAN DAN DERET GEOMETRI
1. Pengertian barisan dan deret Geometri

Barisan geometri (sering juga diserut barisan ukur) adalah suatu barisan
bilangan yang diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan suatu
bilangan tetap yang tidak sama dengan nol . bilangan tetap tersebut dinamakan
pembanding (rasio) dan dinotasikan r. Pembanding suatu barisan geometri dapat
kamu tentukan dengan cara mencari pembanding dua suku yang berurutan.

Misalnya, diberikan barisan geometri 9, 27, 81, 243, ....

Suku pertama dan suku kedua pada barisan tersebut berturut-turut adalah U1 = 9 dan

U2 = 27. Dengan demikian, pembanding barisan geometri adalah r = 2 = 27 = 3

1 9

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 2

Sekarang coba kamu lakukan hal yang sama pada suku-suku yang lain. Samakah nilai
pembanding yang kamu peroleh?

Pada barisan geometri U1, U2, U3, U4, ..., Un – 1 , Un

berlaku = 2 = 3 = 4 = ⋯ =
1 2 3 −1

r adalah rasio dan n rilangan asli.

Untuk mencari rasio dalam suatu barisan geometri, coba kamu perhatikan

uraian berikut.

U2 = U1 x r maka r = 2
1

U3 = U2 x r maka r = 3
2

U4 = U3 x r maka r = 4
3
.

.

.

Un = Un − 1 x r maka r =

−1

Jadi, rasio suatu barisan geometri dinyatakan sebagai berikut.

r =

−

Dengan: n = banyaknya suku, n ∈ bilangan asli
a = suku pertama
r = rasio atau pembanding

Contoh 1:
Tentukan suku pertama dan rasio dari
a. barisan Geometri : 3, 6, 12, 24, .....
b. barisan Geometri : 4, 12, 36, 108 , .....
c. barisan geometri : 81, 27, 9, 3, .....
Jawab:
a. barisan Geometri : 3, 6, 12, 24, .....

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 3

suku pertama = a = 3 dan rasio = r = 6 = 12 = 24 = 2 4

3 6 12

b. barisan Geometri : 4, 12, 36, 108 , .....

suku pertama = a = 4 dan rasio = r = 12 = 36 = 108 = 3

4 12 36

c. barisan geometri : 81, 27, 9, 3, .....

suku pertama = a = 81 dan rasio = r = 27 = 9 = 3 = 1

81 27 9 3

Contoh 2:
Tentukan lima suku yang pertama barisan Geometri berikut, jika diketahui:
a) suku pertama = a = 3 dan rasio = r = 4
b) suku pertama = a = 5 dan rasio = r = 2
Jawab :
a) a = 3 dan r = 4

U1 = a = 3
U2 = U1 x r = 3 x 4 = 12
U3 = U2 x r = 12 x 4 = 48
U4 = U3 x r = 48 x 4 = 192
U5 = U4 x r = 192 x 4 = 768
Jadi lima suku yang pertama barisan itu adalah : 12, 48, 192, 768

b) a = 5 dan r = 2
U1 = a = 5
U2 = 5 x 2 = 10
U3 = 10 x 2 = 20
U4 = 20 x 2 = 40
U5 = 40 x 2 = 80
Jadi lima suku yang pertama barisan itu adalah : 5, 10, 20, 40, 80

LATIHAN 1 :
1. Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan Geometri dibawah ini :

a. 4, 8, 16, 32, 64, ...
b. 25, 50, 100, 200, 400, ...

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk )

c. 5, 15, 45, 135, 405, ...
d. 8, 24, 72, 216, 648, ...
e. 7, 28, 112, 448, 1.792, ...

2. Tentukan lima suku yang pertama barisan Geometri berikut, jika diketahui:
a. suku pertama = a = 5 dan rasio = r = 4
b. suku pertama = a = 6 dan rasio = r = 3
c. suku pertama = a = 10 dan rasio = r = 5
d. suku pertama = a = 15 dan rasio = r = 2

2. Suku ke- n barisan Geometri

Dari baarisan bilangan geometri U1, U2, U3, U4, U5, U6, ..., Un – 1 , Un, diperoleh
U1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a)
U2 = U1 x r = a x r
U3 = U2 x r = (a x r) x r = a x r2 = ar2
U4 = U3 x r = a x r2 x r = a x r3 = ar3
U5 = U4 x r = a x r3 x r = a x r4
.
.
.
Un = Un − 1 x r = a x rn - 1
Jadi, rumus ke-n barisan geometri dapat ditulis seragai berikut.

Un = arn- 1

Dengan: n = banyaknya suku, n ∈ bilangan asli
a = suku pertama
r = rasio atau pembanding
Un = suku ke- n

Contoh 1:
Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama 6 dan suku keenam 1.458.
a. Tentukan rasio pada barisan terserut.

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 5

b. Tuliskan delapan suku pertama dari barisan tersebut.

Jawab :

Diketahui : suku pertama = a = 6

suku keenam = U6 = 1.458

a. Untuk menentukan rasio:

Un = a rn-1 , maka U6 = 6 x r6 - 1

1.458 = 6 r5

r5 = 1.458 : 6

r5 = 243

r5 = 35

Jadi, rasio pada barisan itu adalah 3.

b. Dengan suku pertama 6 dan rasio 3 diperoleh delapan barisan geometri
sebagai berikut : 6, 18, 54, 162, 486, 1.458, 4.374, 13.122

Contoh 2:
Diketahui suatu barisan geometri : 2, 4, 8, 16, ....
Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut.
Jawar:
Diketahui: a = U1 = 2 dan U2 = 4

Rasio = r = 2 = 4 = 2

1 2

rumus umum suku ke- n yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a rn-1, maka Un = 2 x 2n – 1 = 2 x 2n x 2-1 = 2 x 2n x 1 = 2n

2

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah Un = 2n

Contoh 3:
Diketahui barisan: 3, 6, 12, 24, ....
Tentukan: a. U10

b. suku keberapakah 96?
Jawab:
a. Barisan Geometri : 3, 6, 12, 24, ....

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 6

suku pertama = a = 3, rasio = r = 2 = 6 = 2 7

1 3

Un = a rn-1
U10 = 3 x 210 - 1

= 3 x 29
= 3 x 512
U10 = 1.536
Jadi U10 dari barisan Geometri tersebut adalah 1.536

b. Un = a rn-1
96 = 3 x 2n – 1
96 : 3 = 2n – 1
32 = 2n – 1
25 = 2n – 1
5 =n–1
n =5+1
n =6
Jadi 96 merupakan suku ke- 6

Contoh 4:
Hitunglah soal-soal berikut.
a. Suku ke-10 dari barisan Geometri : 2, 6, 18, 54, ...

b. Suku ke-8 dari barisan Geometri : 1, 1 , 1 , 1 , ...

248

Jawar :
a. barisan Geometri : 2, 6, 18, 54, ...

suku pertama = a = 2 dan rasio = r = 2 = 6 = 3

1 2

Un = a rn-1
U10 = 2 x 310 – 1

= 2 x 39
= 2 x 19.683
= 39.366
Jadi suku ke-10 barisan tersebut adalah 39.366

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk )

b. barisan Geometri : 1, 1 , 1 , 1 , ...

248

suku pertama = a = 1

1

rasio = r = 2 = 2 = 1

1 1 2

U8 = a rn-1

= 1 x (1)8−1

2

= (1)7

2

= 17
27

=1

128

Jadi suku ke-8 barisan tersebut adalah 1

128

Contoh 5:

Suku pertama dari suatu barisan Geometri sama dengan 5, sedangkan suku ke- 5

sama dengan 80

a. Carilah rasio dari barisan Geometri itu

b. Carilah suku ke – 8

c. Suku kererapakah yang nilainya sama dengan 2.560?

Jawar:

a. diketahui: a = 5 dan U5 = 80

Un = a rn-1

U5 = 5 x r5-1

80 = 5 x r4

r4 = 80 : 5

r4 = 16

r4 = 24

r =2

Jadi rasio dari barisan Geometri itu adalah r = 2

b. Un = a rn-1

U8 = 5 x 28 - 1

= 5 x 27

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 8

= 5 x 128
U8 = 640
Jadi suku ke- 8 adalah 640

c. Un = a rn-1
2.560 = 5 x 2n – 1
2n – 1 = 2.560 : 5
2n – 1 = 512
2n – 1 = 29
n – 1= 9
n = 9 + 1 = 10
Jadi yang nilainya 2.560 adalah suku ke- 10

Contoh 6 :
Tentukan pembanding dari suatu barisan geometri apabila diketahui a = 27 dan
U4 = 1.
Jawab :
Diketahui : a = 27 dan U4 = 1.
Un = a rn-1
U4 = 27 x r4 – 1
1 = 27 x r3
r3 = 27 : 1
r3 = 27
r3 = 33
r =3
Jadi pembanding dari barisan geometri tersebut adalah 3

Contoh 7:
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke- 4 adalah 4 dan suku ke- 7 adalah
32. Tentukan:
a. suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut,
b. suku kesembilan barisan geometri tersebut.
Jawab :

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 9

a. Diketahui U4 = 7, dan U7 = 32
Un = a rn-1 , maka U4 = a x r3 = 4 ..... ( 1 )
U7 = a x r6 = 32 ..... ( 2 )

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4, maka a = 4 ..... ( 3 )
3

Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (2)

a = 4 → a x r6 = 32
3

4 x r6 = 32
3

4 r3 = 32

r3 = 32 : 4

r3 = 8

r3 = 23

r =2

substitusikan r = 2 ke persamaan (1), diperoleh

r = 2, maka a x r3 = 4

a x 8= 4

a =4:8

a =1

2

Jadi suku pertama pertamanya adalah 1 dan rasionya adalah 2

2

b. Un = arn-1, maka U9 = 1 x 29 – 1

2

= 1 x 28

2

= 1 x 256

2

= 128

Jadi, suku kesembilan dari barisan geometri tersebut adalah 128

LATIHAN 2 10
1. Tentukan pembanding dan suku ke-5 dari barisan 64, 16, 4 ....
2. Tentukan pembanding dan suku ke-8 dari barisan 2, 6, 18, ....

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk )

3. Suku ke-n dari suatu barisan geometri dinyatakan dengan Un = 2(3)n + 2.

Tentukan n agar Un = 1.458

4. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri berikut ini.

a. 2, 10, 50, 250, ..., U7

b. 16, 8, 4, 2, ..., U8

c. 100, 20, 4, 4, ...., U6

5

d. 1, 5, 25, 125, ..., U8

5. Tentukan rasio dan suku keempat suatu barisan geometri jika diketahui

a. a = 2 dan U5 = 162

b. a = 4 dan U3 = 64

3. Jumlah n suku pertama deret Geometri

Jika barisan Geometri dijumlahkan yaitu : U1 + U2 + U3 + U4 + U5 +.... + Un
maka diserut deret Geometri.

Jika jumlah n suku pertama deret Geometri dilambangkan dengan Sn, maka Sn dapat
ditentukan dengan rumus :

Sn = ( − ) <
−

Atau

Sn = ( − ) >
−

Dengan : n = banyaknya suku, n ∈ rilangan asli 11
a = suku pertama
r = rasio atau pembanding
Sn = Jumlah n suku pertama deret Geometri

Contoh 1:
Diketahui deret geometri : 2 + 4 + 8 + 16 + ... + U12. Tentukan:
a. suku keduabelas (U12) deret tersebut,
b. jumlah duabelas suku pertama (S12).
Jawab :

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk )

Diketahui : a = 2 dan r = 2 = 4 = 2

1 2

a. Un = arn-1

U12 = 2 x 212 – 1

= 2 x 211

= 212

= 4.096

Jadi suku keduabelas (U12) adalah 4.096

b. Sn = ( −1) , ( karena r > 1)

− 1

S12 = 2( 212 −1)

2−1

= 2( 4.096 −1)

2−1

= 2( 4.095)

1

= 2 x 4.095

= 8.190

Jadi, jumlah duabelas suku deret tersebut adalah 8.190

Contoh 2 :

Hitunglah jumlah 6 suku pertama dari deret : 1 + 3 + 9 + 27 + .....

Jawab :

Diketahui : suku pertama = a = 1, Rasio = r = 2 = 3 = 3

1 1

Sn = ( −1) , ( karena r > 1)

− 1

S6 = 1( 36 −1)

3−1

= 729 − 1 = 728 = 364

22

Jadi jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah 364

Contoh 3 :

Diketahui suku kelima dari suatu deret geometri adalah 768. Suku pertamanya

adalah 3.

a. Tentukanlah rasio nya

b Tentukanlah jumlah 5 suku pertama.

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 12

Jawab :

Diketahui : suku pertama = a = 3

Suku kelima (U5) = 768

a. Un = arn-1

U5 = 3 x r5 – 1

768 = 3 x r4

r4 = 768 : 3

r4 = 256

r4 = 44

r =4

Jadi, rasio dari deret tersebut adalah 4

b. Sn = ( −1) , ( karena r > 1)

− 1

S5 = 3( 45 − 1)

4−1

= 3( 1.024 − 1)

3

= 1.024 – 1

S5 = 1.023

Jadi, jumlah 5 suku yang pertama adalah 1.023

Contoh 4 :

Suatu deret geometri memiliki jumlah suku pertama dan kedua adalah 45. Jumlah

suku ketiga dan keempat adalah 20.

a. Tentukanlah rasio dan suku pertama

b. Jumlah 5 suku yang pertama (S5)
Jawab :

Diketahui : a + U2 = 45 → a + ar = 45

U3 + U4 = 20 → ar2 + ar3 = 20

a + ar = 45 ar2 + ar3 = 20
a(1 + r) = 45 ar2(1 + r) = 20 ...... ( 2 )
= 45 ..... ( 1 )
1+r


Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 13

Substitusikan persamaan ( 1 ) ke persamaan ( 2 )

1 + r = 45 → ar2(1 + r) = 20



ar2 x 45 = 20
= 20


r2 x 45

r2 = 20 = 4

45 9

r2 = (2)2

3

r =2

3

Subtitusikan r = 2 ke persamaan ( 1 )

3

r= 2 → 1+r = 45
3


1+2 = 45

3

12 = 45

3

5 x a = 45

3

a = 45 : 5

3

a = 45 x 3

5

a = 9 x 3 = 27

Jadi, rasionya adalah 2 dan suku pertamanya adalah 27

3

b. Sn = ( 1− ) , ( karena r < 1)

1 −

S5 = 27( 1− (23)5 )

1− 2
3

= 27( 1− (23423) )

1

3

= 27 x 3 x 211

1 243

S5 = 211 Jadi jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah 211

3 3

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 14

Contoh 5 :

Tentukan Un jika 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + Un = 510

Jawab:

Suku pertama = a = 2, rasio = r = 2 = 4 = 2 dan Sn = 510
2
1

Sn = ( −1) , ( karena r > 1)

− 1

510 = 2( 2 −1)
2− 1

510 = 2( 2 −1)

1

2 − 1 = 510 : 2

2 − 1 = 255

2n = 255 + 1

2n = 256

2n = 28

n =8

Un = arn-1

U8 = 2 x 28 – 1
= 2 x 27

= 28

= 256

Jadi suku ke n = Un adalah 256

LATIHAN 3:
1. Suatu barisan geometri memiliki suku pertama 3 dan rasio 4.

a. Tuliskan barisan geometri tersebut.
b. Tuliskan deret geometri tersebut.
2. Tentukan jumlah setiap deret geometri berikut.
a. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ... + U7
b. 3 + 15 + 75 + ... + U6
c. 1 + 4 + 16 + 64 + ... + U7
d. 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + ... + U8

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 15

3. Diketahui suatu deret geometri memiliki suku ketiga 18 dan suku kelima 162.
Tentukan:
a. rasio deret geometri tersebut,
b. suku kedelapan deret geometri tersebut,
c. jumlah delapan suku pertama deret geometri tersebut.

4. Tentukan Un jika :
a. 1 + 2 + 4 + 8 + ... + Un = 1.023
b. 3 + 6 + 12 + ... + Un = 765
c. 2 + 6 + 18 + ... + Un = 242

4. Penerapan deret Geometri

Contoh 1:
Seorang pembuat tambang dari sabut kelapa sedang membuat tambang yang

diperlukan oleh pelanggannya. Apabila tambang tersebut dibagi menjadi 4 bagian

dengan panjang yang membentuk suatu barisan geometri, dan tali yang paling pendek
sepanjang 2 meter serta yang paling panjang dibuat 16 meter, maka berapakah

panjang tambang semuanya?

Penyelesaian :
U1 = a = 2; n = 4 dan U4 = 16
Un = arn–1
U4 = 2 x r3
16 = 2 x r3

r3 = 16 : 2

r3 = 8

r3 = 23

r =2

Sn = ( −1) , ( karena r > 1)

− 1

S4 = 2( 24 −1)

2− 1

= 2( 16 – 1)

S4 = 2 x 15 = 30
Jadi, panjang tambang keseluruhan adalah 30 meter

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 16

Contoh 2:
Bakteri A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Setelah 15 menit,
banyak bakteri ada 400. Banyak bakteri setelah 30 menit adalah ..
Jawab :
Misalkan U1 menyatakan banyaknya bakteri mula-mula ( 0 menit ), U2 saat 5 menit,
U3 saat 10 menit, U4 saat 15 menit, U5 saat 20 menit, U6 saat 25 menit dan U7 saat
30 menit
Diketahui U4 = 400 ; rasio = r = 2 ;
U4 = a rn – 1 →
400 = a r3
400 = a x 23
400 = a x 8
a = 400 : 8
a = 50
Un = a rn – 1
U7 = 50 x r6

= 50 x 26

= 50 x 64

= 3.200

Jadi banyak bakteri setelah 30 menit adalah 3.200

Contoh 3 :

Hasil produksi kerajinan seorang pengusaha setiap bulannya meningkat mengikuti
aturan barisan geometri. Produksi pada bulan pertama sebanyak 150 unit kerajinan
dan pada bulan keempat sebanyak 4.050 kerajinan. Hasil produksi selama 5 bulan
adalah ⋯ unit kerajinan.
Jawab :
Diketahui: a = 150 dan U4 = 4.050

U4 = 4.050

U1 150

3
= 27

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 17

r3 = 27

r3 = 33

r =3

Sn = ( −1) , ( karena r > 1)

− 1

S5 = 150( 35 −1)

3− 1

= 150( 243 −1)

2

= 150( 242)

2

= 75 x 242

S5 = 18.150
Jadi hasil produksi selama 5 bulan adalah 18.150 unit

LATIHAN 4 :
1. Seutas tali dipotong menjadi 4 bagian, masing-masing membentuk barisan

geometri. Jika potongan tali terpendek adalah 2 cm dan potongan tali
terpanjang adalah 54 cm, panjang tali semula adalah ⋯ cm.
2. Keuntungan sebuah percetakan setiap bulannya bertambah menjadi dua kali
lipat dari keuntungan bulan sebelumnya. Jika keuntungan bulan pertama
Rp600.000,00, maka keuntungan percetakan tersebut pada bulan keenam
adalah ..
3. Seorang anak diminta mengisi kelereng pada 5 kotak yang diberi label A, B, C,
D dan E mengikuti aturan barisan geometri. Jika kotak B diisi dengan kelereng
sebanyak 12 butir dan kotak E sebanyak 96 butir, jumlah seluruh kaleng yang
disikan kedalam 5 kotak tersebut adalah ...

Rarisan dan Deret Geometri, Ry. Dra. Suyatmi, M.Pd ( Mincuk ) 18