ตรรกศาสตร์

ภูวิ ภู ศ วิ รัง รั ษีวงศ์

ตรรกศาสตร์ ตรรกศาสตร์คื ร์ คืออะไร : “ตรรกศาสตร์”ร์คือระบบวิชวิาความรู้ที่รู้ที่ เกี่ยวข้อข้งกับความคิดและการให้เห้หตุผตุล ใช้เช้ป็นป็เครื่อรื่งมือมื ในการเข้าข้ถึงหลักปรัชรัญาต่างๆ และเป็นป็พื้นพื้ฐานในหลายๆ สาขาวิชวิา และสำ หรับรัวิชวิาคณิตณิศาสตร์ จะได้เด้รียรีนตรรกศาสตร์ใร์นเป็นป็ รูปรูแบบและกฎเกณฑ์ีการให้เห้หตุผตุลทางคณิตณิศาสตร์ (Mathematical Logic) ไม่ว่ม่าว่จะเป็นป็ “และ” “หรือรื” “ถ้า..แล้ว” “ก็ต่อเมื่อมื่ ” และนิเนิสธ นอกจากนี้ หลัก ตรรกศาสตร์จร์ะใช้สำช้สำหรับรัการพิสูพิจสูน์ทน์ฤษฎีต่างๆ และนำ ไปใช้ต่ช้ ต่อยอดในการ เขียขีนโปรแกรมคอมพิวพิเตอร์ สร้าร้งเป็นป็พีชพีคณิตณิ ในทางดิจิดิตจิอล ฯลฯ ในวิชวิาคณิตณิศาสตร์ เราจะได้เด้ริ่มริ่ทำ ความรู้จัรู้กจักับ “ตรรกศาสตร์”ร์ ในชั้นชั้ม. 4 ตั้งตั้แต่เทอมแรกกันเลย เนื้อนื้หาที่เรียรีนจะเกี่ยวกับประพจน์ การเชื่อชื่มประพจน์ รวมไปถึงการหาค่าความจริงริของประพจน์ สมมูลและนิเนิสธของประพจน์ สัจสันิรันินรัดร์แร์ละการอ้างเหตุผตุล สุดสุท้ายเราจะได้เด้รียรีนเรื่อรื่งตัวบ่งบ่ ปริมริาณและ ประโยคเปิดปิว่าว่มีรูมีปรูแบบและลักษณะเป็นป็อย่าย่งไรด้วด้ย

ตรรกศาสตร์กับคอมพิวเตอร์ (COMPUTER AND LOGICAL) ตรรกศาสตร์ (LOGIC) ตรรกศาสตร์ (LOGIC) เป็นศาสตร์ที่มีความสำ คัญมากในหลักการที่ว่าด้วย การหาเหตุและผล ซึ่งจะมีค่าความจริงที่เป็นจริง (TRUTH) หรือ ค่าความจริงที่เป็นเท็จ (FALSE) อย่างใดอย่างหนึ่ง และตรรกศาสตร์ยังมีบทบาทมากในการใช้ชีวิตประจำ วันของมนุษย์เราเป็นอย่าง มาก ทั้งทางด้านการการศึกษาในเรื่องของคอมพิวเตอร์ ซึ่งตรรกศาสตร์เป็นส่วนสำ คัญในการสร้าง คอมพิวเตอร์และส่วนสำ คัญของชีวิตคนจริงๆ แล้วในการสร้างเครื่องคอมพิวเตอร์ สร้างโปรแกรม คอมพิวเตอร์ หรือออกแบบระบบคอมพิวเตอร์ใดๆ มีการใช้ตรรกศาสตร์เข้าด้วย ตรรกศาสตร์กับคอมพิวเตอร์ (COMPUTER AND LOGICAL) ตรรกศาสตร์ ถือ เป็นหลักการคิด อย่างหนึ่งซึ่งเป็นเหตุเป็นผลของมนุษย์ ในการนำ หลักการคิดนี้มาใช้ในระบบคอมพิวเตอร์ รวมถึง การแก้ปัญหา และการปฏิบัติงานร่วมกับคอมพิวเตอร์ เนื่องจากทั้งระบบซอฟต์แวร์และฮาร์ดแวร์จะ ทำ งานสัมพันธ์กับความรู้ทางด้านตรรกศาสตร์ ดังนั้น ผู้ที่จะทำ การเขียนโปรแกรมหรือทำ งานร่วมกับ ระบบคอมพิวเตอร์จึงต้องทำ ความเข้าใจกับความรู้ทางด้านตรรกศาสตร์ เช่น : 1. ตัวดำ เนินการ (Operator) คือ เครื่องหมายการกระทำ ที่ใช้สำ หรับบอกการกระทำ ระหว่างตัวถูก ดำ เนินการ ตัวดำ เนินการ Operator อาจเป็นการกระทำ ระหว่างตัวถูกดำ เนินการ 2 ตัว หรือ 1 ตัว ขึ้นอยู่กับตัวดำ เนินการ ตัวดำ เนินการในระบบคอมพิวเตอร์คือ ตัวดำ เนินการทางคณิตศาสตร์ ตัว ดำ เนินการหรือเครื่องหมายการกระทำ ทางคณิตศาสตร์ในระบบคอมพิวเตอร์ มีตัวดำ เนินการหรือ เครื่องหมายการกระทำ ดังต่อไปนี้ + การบวก – การลบ * การคูณ / การหาร DIV การหารโดยคิดเฉพาะจำ นวนเต็มที่ได้จากการหาร MOD การหารโดยคิดเฉพาะเศษที่ได้จากการหาร

2. พื้นฐานตรรกศาสตร์กับคอมพิวเตอร์ ตรรกศาสตร์ ถือว่าเป็นวิชาพื้นฐานสำ หรับการเรียนวิชาที่ เกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ทั้งทางด้านฮาร์ดแวร์ และการเขียนโปรแกรม วิชานี้เป็นวิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์ และเหตุผล การได้มาของผลลัพธ์ภายใต้กฎเกณฑ์ที่กำ หนด ข้อความหรือการใช้เหตุผลในชีวิต ประจำ วันสามารถสร้างเป็นรูปแบบและกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนได้ ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ สามารถใช้กฎเกณฑ์ต่าง ๆ ที่เขียนขึ้นมาพัฒนาเป็นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ได้ 2.1 ประพจน์ (STATEMENT) ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่เป็นจริงหรือเท็จ เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งประโยคที่เป็นประพจน์ เช่น : 1. 5 + 6 = 11 2. 3 < – 6 3. 10 เป็นคำ ตอบของสมการ X – 1 = 7 2.2 การเชื่อมประพจน์ ตัวเชื่อมในทางตรรกศาสตร์สามารถนำ มาใช้เชื่อมประพจน์ได้ ข้อความที่ใช้ ในชีวิตประจำ วัน จะมีประโยคบางประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลงไปจากเดิมเมื่อประโยคนั้น ๆ ถูกเชื่อม ด้วยตัวเชื่อม การใช้ตัวเชื่อมนี้จะช่วยในการสร้างประโยคใหม่ ๆ ให้มีความหมายกว้างขวางขึ้นกว่าเดิม ได้ เช่น ถ้าเรามีประโยค 2 ประโยคคือ P แทน วันนี้อากาศร้อน Q แทน วันนี้ฝนตก การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ และ ” -> การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ หรือ ” -> การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ ถ้า…แล้ว ”

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ ก็ต่อเมื่อ ” นิเสธของประพจน์ 2.3 ค่าความจริงของประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเชื่อมหลายตัว สามารถ ทำ ได้โดยใช้ตารางความจริง การสร้างตารางค่าความจริงทำ ได้โดยเขียนค่าความจริงที่เป็นไปได้ในทุก กรณีของตัวแปรทุกตัวลงไป ถ้าหากประพจน์ใดมีวงเล็บประพจน์นั้นจะทำ งานก่อน ถ้ามีนิเสธจะต้อง ทำ ประพจน์ที่มีนิเสธเป็นอันดับแรก 2.4 ประโยคเปิด ประโยคเปิดเป็นประโยคหรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้นอยู่ในประโยค และยังไม่ทราบค่าความจริง ถ้าหากทำ การ แทนค่าตัวแปรนั้นจะทำ ให้ได้ค่าความจริงแน่นอน สัญลักษณ์ นิยมใช้ P(X), P(X, Y), Q(X, Y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ วลีบอกปริมาณ คือ คำ บอกกล่าวกำ หนดขีดจำ กัดของปริมาณ หรือขอบเขตของตัวแปรในประโยคเปิด วลีบอกปริมาณ มี 2 แบบ คือ 1) บอกปริมาณที่หมายถึงทั้งหมดของปริมาณหรือสมาชิก 2) บอกปริมาณบางส่วน

ข้อที่1. ข้อใดไม่เป็นประพจน์ 1 กว่าถั่วจะสุกงาก็ไหม้ 2 รำ ไม่ดี โทษปี่โทษกลอง เป็นสุภาษิต 3 กรุงศรีอยุธยาเป็นราชธานีของสยามรวมระยะเวลา 417 ปี 4 ตรหาพื้นที่รูปวงกลม คือ 2PR เมื่อ R คือ รัศมีของวงกลม ข้อที่2. ข้อใดเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง 1 2X – 5 = 8 2 น้ำ น้อยย่อมแพ้ไฟ 3 X = 5 ทำ ให้สมการ X2 – 1 = 4 ไม่เป็นจริง 4 เธอได้รับเหรียญทองโอลิมปิกจากการแข่งขันกีฬาเทควันโด ข้อที่ 3.ประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงต่างจากข้ออื่น 1 2X – 5 = 8 2 น้ำ น้อยย่อมแพ้ไฟ 3 X = 5 ทำ ให้สมการ X2 – 1 = 4 ไม่เป็นจริง 4 เธอได้รับเหรียญทองโอลิมปิกจากการแข่งขันกีฬาเทควันโด ข้อที่ 4. กำ หนดให้ P แทนประพจน์ลำ ดับแรก Q แทนประพจน์ลำ ดับที่สอง และ R แทนประพจน์ลำ ดับที่สาม ข้อความ“ถ้า √625 = 25 และ 25 = 52 แล้ว √625 = 52 ” เขียนในรูปสัญลักษณ์ของตัวเชื่อมประพจน์ได้ตรงกับข้อใด 1 (P → Q) ∨ R 2 (P ∨ Q) → R 3 (P → Q) ∧ R 4 (P ∧ Q) → R ข้อที่ 5. กำ หนดประพจน์เชิงประกอบ “ 0 เป็นจำ นวนคี่ ก็ต่อเมื่อ_______ ” ประพจน์ในข้อใดเมื่อแทนในช่องว่างแล้วทำ ให้ประพจน์เชิงประกอบนี้ มีค่าความจริงเป็นจริง 1 2 เป็นจำ นวนจริง 2 2 เป็นจำ นวนเฉพาะ 3 -2 เป็นจำ นวนนับ 4 -2 เป็นจำ นวนเต็ม ข้อที่ 6. กำ หนด P แทนประพจน์ใดๆ T แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง และ F แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ หาก“ประพจน์เชิงประกอบ (T P) ∨ F มีค่าความจริงเป็นเท็จ” แล้วข้อความข้างต้นจะมีโอกาสกล่าวถูกต้อง เมื่อแทน ด้วยตัวเชื่อมประพจน์ ต่างๆ ยกเว้นตัวเชื่อมประพจน์ในข้อใด 1 ∧ 2 ∨ 3 → 4 ↔ ข้อที่ 7. นิเสธของประพจน์“Y = X +3 เป็นสมการเส้นตรง”ตรงกับข้อใด 1 Y ≠ X + 3 เป็นสมการเส้นตรง 2 Y = X + 3 ไม่เป็นสมการเส้นตรง 3 Y ≠ X + 3 ไม่เป็นสมการเส้นตรง 4 X = Y + 3 ไม่เป็นสมการเส้นตรง ข้อที่ 8. ข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง เสมอ เมื่อ P เป็นประพจน์เชิงเดียวใดๆ 1 P ∧ ~P 2 P ∨ ~P 3 P → ~P 4 P ↔ ~P ข้อที่ 9. กำ หนดประพจน์ P , Q มีค่าความจริงเป็นจริง และประพจน์ R มีค่าความจริงเป็นเท็จ ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ ~R → (Q → P) ตรงกับค่าความจริงในข้อใด 1 ~P ↔ ~Q 2 R ∨ ~P 3 Q → R 4 ~R ↔ ~Q ข้อที่ 10. กำ หนดประพจน์เชิงประกอบ ~Q → (P ∨~ R ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาว่าค่าความจริงของของประพจน์เชิงเดียว P , Q และ R ตามลำ ดับ ตรงกับข้อใด 1 F , T , T 2 F , T , F 3 T , F , F 4 F , F , T

ข้อที่ 11. กำ หนดประพจน์เชิงประกอบ (~Q ↔ ~R ) ∨[ (Q ∧ P) → S ] มีค่าความจริงเป็นเท็จ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) P กับ S มีค่าความจริงเหมือนกัน ข) Q กับ R มีค่าความจริงต่างกัน ข้อใดเป็นจริง 1 ก) ถูก และ ข) ถูก 2 ก) ถูก และ ข) ผิด 3 ก) ผิด และ ข) ถูก 4 ก) ผิด และ ข) ผิด ข้อที่ 12. กำ หนด {[P →(Q ∧ R)] ∧ ( Q ∧ R)} → S มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริงของ (Q ∨ R) → P ตรงกับค่าความจริงในข้อใด 1 P ∧ Q 2 S ∨ R 3 P → R 4 S ↔ Q ข้อที่ 13. กำ หนด P , Q และ R เป็นประพจน์เชิงเดียวที่มีค่าความจริงเป็น เท็จ , จริง และ เท็จ ตามลำ ดับ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข้อใดเป็นจริง 1 ก) ถูก และ ข) ถูก 2 ก) ถูก และ ข) ผิด 3 ก) ผิด และ ข) ถูก 4 ก) ผิด และ ข) ผิด ข้อที่ 14. กำ หนดให้ P , Q และ R มีค่าความจริงเป็น จริง , จริง , เท็จ ตามลำ ดับ และถ้าประพจน์เชิงประกอบ [ ( ~P ∨ Q ) « ( ~R ) ] …….. (~Q ∧ R) มีค่าความจริงเป็นจริงแล้ว ตัวเชื่อมที่แทนใน ..... แล้ว ทำ ให้ประพจน์เชิงประกอบข้างต้นเป็นจริงตรงกับข้อใด 1 ∧ 2 ∨ 3 → 4 ↔ ข้อที่ 15. ประพจน์เชิงประกอบ { [ Q ∧ (~P →Q)] ↔P } ∨ (T→~R) สามารถสร้างตารางหาค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้กี่กรณี 1 4 กรณี 2 8 กรณี 3 16 กรณี 4 32 กรณี ข้อที่ 16. กำ หนดประพจน์เชิงประกอบ (~Q ↔ Q) ∧ (P → P) เมื่อนำ มาสร้างตารางค่าความจริงแล้วจะมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมดกี่กรณี 1 3 กรณี 2 2 กรณี 3 1 กรณี 4 0 กรณี ข้อที่ 17. ประพจน์เชิงประกอบ (~R → Q) → ~P เมื่อนำ มาสร้างตารางค่าความจริงแล้วจะมีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมดกี่กรณี 1 3 กรณี 2 4 กรณี 3 5 กรณี 4 6 กรณี ข้อที่ 18. ประพจน์เชิงประกอบประพจน์หนึ่งสร้างตารางค่าความจริง ดังนี้ ประพจน์ที่แทน ในข้อใดสอดคล้องกับการสร้างตารางค่าความจริงข้างต้น 1 P ∧ ~Q 2 R ∧ ~Q 3 P ∨ ~Q 4 R ∨ ~Q

ข้อที่ 19. การพิจารณาเลื่อนตำ แหน่งของพนักงานบริษัทผลิตรถยนต์แห่งหนึ่ง ในตำ แหน่งผู้จัดการฝ่ายผลิตรถยนต์ ซึ่งมีเงื่อนไขในการคัดเลือก 3 ข้อ ดังนี้ 1) พนักงานมีอายุไม่ต่ำ กว่า 40 ปี 2) พนักงานต้องจบสาขาวิศวกรรมศาสตร์ ระดับปริญญาตรี หรือสาขาอื่นๆ ระดับปริญญาโทขึ้นไป และ 3) พนักงานต้องทำ งานกับบริษัทแห่งนี้ในฝ่ายการผลิตรถยนต์ และมีประสบการณ์การทำ งานอย่างน้อย 10 ปี พิจารณาข้อมูลต่อไปนี้ จงหาว่าพนักงานคนใดมีสิทธิ์ได้เลื่อนตำ แหน่งเป็นผู้จัดการฝ่ายผลิตรถยนต์ 1 ซาร่า 2 จอห์น 3 ริชาร์ด 4 เจสซี่ ข้อที่ 20. กำ หนดให้ , และ เป็นประพจน์โดยที่ ⇒ ( ⇒ ) , ∨ ~ และ มีค่าความจริงเป็นจริง ประพจน์ใน ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ 1. [ ⇒ ( ⇒ ~)] ⇔ ~( ∧ ) 2. [ ⇒ ( ⇒ Q)] ⇔ [( ⇒ ) ⇒ ] 3. [ ⇒ ~( ∧ )] ⇔ [ ⇒ ( ∧ )] 4. [ ∨ ~( ⇒ )] ⇔ [ ⇒ ( ⇒ )] เฉลย 1. ตอบ 1 2. ตอบ 3 3. ตอบ 2 4. ตอบ 4 5. ตอบ 3 6. ตอบ 2 7. ตอบ 2 8. ตอบ 2 9. ตอบ 1 10. ตอบ 4 11. ตอบ 3 12. ตอบ 1 13. ตอบ 1 14. ตอบ 2 15. ตอบ 3 16. ตอบ 4 17. ตอบ 1 18. ตอบ 3 19. ตอบ 4 20. ตอบ 2