E-Modul SPLTV

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkah dan limpahan rahmat-Nya penyusun dapat
menyelesaikan modul sistem persamaan linear tiga variabel ini dengan baik. Modul sistem
persamaan linier tiga variabel ini berisi 6 sub materi utama di antaranya

1. Konsep Sistem Persamaaan Linear Tiga Variabel;
2. Ciri-Ciri Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
3. Hal-hal yang berhubungan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
4. Penyelesaian Sistem Persamaaan Linier Tiga Variabel Pada Masalah Kontekstual

Dengan Metode Substitusi;
5. Penyelesaian Sistem Persamaaan Linier Tiga Variabel Pada Masalah Kontekstual

Dengan Metode Eliminasi;
6. Penyelesaian Sistem Persamaaan Linier Tiga Variabel Pada Masalah Kontekstual

Dengan Metode Gabungan (Substitusi dan Eliminasi).
Tujuan dibuatnya modul sistem persamaaan linier tiga variabel adalah untuk membantu peserta
didik agar menguasai konsep dan mengasah kemampuan komunikasi matematis secara mudah,
menarik dan komprehensif. Pendekatan yang digunakan pada modul ini menggunakan
pendekatan berbasis masalah kontekstual yang dapat mengasah kemampuan komunikasi
matematis peserta didik.
Penyusun menyadari bahwa terlaksananya penyusunan modul ini berkat bantuan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, mengucapkan terima kasih kepada Bapak/Ibu yang telah membantu dan
membimbing dalam pembuatan modul sistem persamaaan linier tiga variabel. Semoga modul
ini dapat bermanfaat bagi peserta didik, guru, dan siapa saja yang menggunakannya untuk
kemajuan pendidikan di SMA/MA dan kemajuan pendidikan di Indonesia.

Penyusun

Citra Anggraeni

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR…………………………………………………………………………………i
DAFTAR ISI…………………………………………………………………………………………..ii

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL……………………...5

A. LEARNING EXERIENCE……………………………………………………………………………………………………….6
B. PETA KONSEP……………………………………………………………………………………………………………………7
C. APA ITU SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL………………………………………………………8
D. CIRI-CIRI SPLTV………………………………………………………………………………………………………………15
E. HAL-HAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN SPLTV……………………………………………………………..15
F. METODE PENYELESAIAN (SUBSTITUSI)……………………………………………………………………………18
G. METODE PENYELESAIAN (ELIMINASI)………………………………………………………………………………25
H. METODE PENYELESAIAN (GABUNGAN)……………………………………………………………………………30
I. METODE DERTERMINAN………………………………………………………………………………………………….35
LATIHAN SOAL…………………………………………………………………...........................................................40
KUNCI JAWABAN………………………..………………………………………………………………………………………….. 41
PENUTUP…………………………………………………………………………………………….42
DAFTAR ISI ………………………………………………………………………………………………………………………………43

ii

SISTEM PERSAMAAN
LINEAR
TIGA VARIABEL

Ibu sedang berbelanja di pasar tradisional. Ibu membeli 4 kg kol, 2 kg cabai dan 3 kg kangkung
dengan total harga Rp 36.000,-. Di penjual yang lainnya, ibu membeli 3 kg kol, 2 kg cabai, dan 1
kg kangkung dengan total harga Rp 28.000,-. Dan ibu juga membeli lagi sayuran di penjual lain
dengan buah yang dibeli yaitu 2 kg kol, 2 kg cabai dan 2 kg kangkung dengan total harga Rp
32.000,-. Berdasarkan ilustrasi di atas, dapatkah kamu menentukan harga per kg masing-masing
dari kol, cabai, dan kangkung?

1

LEARNING EXPERIENCE

Melalui modul sistem persamaan linear tiga variabel berdasarkan komunikasi matematis,
peserta didik memperoleh pengalaman belajar sebagai berikut:

1. Menjelaskan konsep sistem persamaan linear tiga variabel pada masalah kontekstual.
2. Menjelaskan ciri-ciri Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.
3. Menjelaskan hal-hal yang berhubungan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga

Variabel.
4. Menentukan model matematika suatu masalah kontekstual yang berkaitan dengan

sistem persamaan linear tiga variabel.
5. Menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga

variabel pada suatu masalah kontekstual menggunakan metode substitusi, eliminasi,
substitusi dan eliminasi.
6. Menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga
variabel pada suatu masalah kontekstual menggunakan metode determinan.

2

Definisi Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)

Ciri-Ciri SPLTV Memiliki tiga variabel

Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu
(berpangkat satu)

Suku

Sistem Persamaan Hal-hal yang Variabel
Linear Tiga Variabel berhubungan Koefisien
dengan SPLTV
(SPLTV)

Konstanta

Metode Substitusi

Model Metode Eliminasi
Penyelesaian Metode Gabungan

SPLTV

Metode Determinan

3

Kegiatan 1

APERCEPTION

1. Perhatikan pernyataan-pernyataan di bawah ini!
a) Sofy dan Citra membeli jajanan pasar Kue Donat dan Kue Cucur.

Sofy membayar Rp 14.000,00 untuk 7 kue donat dan 4 kue cucur.
Sedangkan Citra membayar Rp 9.000,00 untuk 4 kue donat dan 2
kue cucur.
b) Pada suatu pagi di jalanan Kota Surabaya, Irpan melakukan
joging dengan kecepatan 12 km/jam pada bagian pertama
jogingnya, kemudian dilanjutkan dengan kecepatan 20 km/jam
pada bagian kedua. Selama joging, Irpani telah menempuh jarak
34 km selama 2 jam.
Berdasarkan pernyataan-pernyataan di atas, termasuk dalam sistem
persamaan linear dua? Jelaskan alasanmu dan diskusikan dengan teman
sebangku.

4

2. Tentukan sistem persamaan variabel dua variabel dari
grafik berikut

5

A

Jika sistem persamaan linear dua adalah kumpulan persamaan linear yang
memiliki solusi (atau tidak memiliki solusi) dan memiliki dua variabel maka, sistem
persamaan linear tiga variabel merupakan perluasan dari sistem persamaan linear dua
variabel. Sistem persamaan linear tiga variabel adalah kumpulan persamaan linear
yang memiliki tiga variabel yang sama untuk semua persamaan linear yang memiliki
tiga variabel. Selain memiliki tiga variabel, SPLTV juga memuat koefisien, konstanta,
menggunakan relasional sama dengan, variabel berpangkat satu serta menyelesaikan
satu penyelesaian untuk , , yaitu ( , , ).

Sama halnya dengan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), sistem
persamaan linear tiga variabel atau yang biasa disingkat SPLTV juga memiliki solusi
jika pada masalah kontekstual. Solusi tersebut dapat diperoleh dari model matematika
dengan metode-metode seperti metode substitusi, eliminasi, gabungan (substitusi dan
eliminasi) dan determinan.

6

B

Model matematika dalam Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel sangat
penting. Karena dengan adanya model matematika, permasalahan kontekstual dapat terdefinisi
secara matematis dan akan mudah diselesaikan dengan metode substitusi, eliminasi, gabungan
dan determinan. Sistem persamaan linear dua variabel memiliki bentuk umum atau persamaan
yang juga terdapat pada sistem persamaan linear tiga variabel yang dapat dicermati pada contoh
berikut

Salma, Abyam dam Sandy berencana untuk membeli buah di toko buah baru di
dekat rumah mereka. Salma membeli 2 kg salak, 1 kg jeruk, dan 2 kg alpukat dengan harga Rp
70.000,-.Abyan membeli 2 kg salak, 2 kg jeruk, dan 1 kg alpukat dengan total harga Rp
90.000,-. Sandy membeli 2 kg Salak, 3 kg jeruk, dan 2 kg alpukat dengan total harga Rp
130.000,-. Tentukan persamaan yang dapat dibuat dari pernyataan tersebut!

Pernyataan tersebut dapat dibuat pemisalan dan diubah dalam bentuk variabel yang dapat
disusun pada tabel sebagai berikut

Pembeli Salak Jenis Buah Alpukat Harga Barang
2 kg Jeruk 2 kg
Salma 2 kg 1 kg 1 kg Rp 70.000
Abyan 2 kg 2 kg 2 kg Rp 90.000
Sandy 3 kg Rp 130.000

7

Salak dapat dimisalkan sebagai variabel x.
Jeruk dapat dimisalkan sebagai variabel y.
Alpukat dapat dimisalkan sebagai variabel z.

Banyaknya masing-masing buah yang dibeli oleh Salma, Abyan dan Sandy menunjukkan
koefisien dan dapat diuraikan sebagai berikut.

 Buah yang dibeli Salma dapat diuraikan sebagai berikut
a. Salak yang dibeli Salma sebanyak 2 kg maka koefisiennya adalah 2.
b. Jeruk yang dibeli Salma sebanyak 1 kg maka koefisiennya adalah 1.
c. Alpukat yang dibeli Salma sebanyak 2 kg maka koefisiennya adalah 2.

 Buah yang dibeli Abyan dapat diuraikan sebagai berikut
a. Salak yang dibeli Abyan sebanyak 2 kg maka koefisiennya adalah 2.
b. Jeruk yang dibeli Abyan sebanyak 2 kg maka koefisiennya adalah 2.
c. Alpukat yang dibeli Abyan sebanyak 1 kg maka koefisiennya adalah 1.

 Buah yang dibeli Sandy dapat diuraikan sebagai berikut
a. Salak yang dibeli Sandy sebanyak 2 kg maka koefisiennya adalah 2.
b. Jeruk yang dibeli Sandy sebanyak 3 kg maka koefisiennya adalah 3.
c. Alpukat yang dibeli Sandy sebanyak 2 kg maka koefisiennya adalah 2.

8

Sedangkan total harga yang diketahui menunjukkan konstanta. Karena total
harga pembelian buah punya Salma sebesar 70.000, − maka konstantanya menjadi 70.000.
Total harga pembelian buah punya Abyan sebesar 90.000, − maka konstantanya menjadi
90.000. Dan total harga pembelian buah punya Sandy sebesar 130.000, − maka
konstantanya menjadi 130.000. Sehingga diperoleh variabel, koefisien, dan konstanta yang jika
digabung menjadi sebuah persamaan yaitu

2 + + 2 = 70. 000
2 + 2 + = 90.000
2 + 3 + 2 = 130.000

Dengan demikian, dapat dikatakan jika koefisien-koefisien tersebut diubah dalam bentuk
, , , , , , , ℎ, , , , maka akan diperoleh bentuk umum sistem persamaan linear
tiga variabelnya adalah

+ + =
+ + = ℎ
+ + =

, , , , , , , ℎ, , , l adalah bilangan real

9

1. Kerjakan soal 1 dan 2 secara mandiri.
2. Tulis penyelesaian di buku latihanmu dengan rapi.
3. Alokasi waktu : 30 menit.

Jumlah tiga bilangan adalah 75. Bilangan pertama lima lebihnya
dari jumlah dua bilangan lain. Bilangan kedua sama dengan jumlah
dua bilangan lain. lokasi model matematika yang dapat terbentuk?

Jumlah umur ayah, ibu dan Sigma adalah 80 tahun. Umur ayah
1 ibu. Selisih umur Ibu dan Sigma adalah 20 tahun. persamaan
yang dapat dibuat dari permasalahan tersebut?

10

C

Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear tiga variabel apabila
memiliki karakteristik sebagai berikut.

 Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)
 Memiliki tiga variabel
 Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)

D

Terdapat komponen atau unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan
linear tiga variabel, yakni: suku, variabel, koefisien dan konstanta. Berikut ini adalah
penjelasan masing-masing komponen SPLTV tersebut.

Suku adalah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel,
koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan tanda baca penjumlahan
ataupun pengurangan.

11

Contoh:
6 – + 4 + 7 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut adalah 6 , − , 4
dan 7.

Variabel adalah peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya
dilambangkan dengan huruf seperti x, y dan z.
Contoh :
Anggit memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika dituliskan dalam
bentuk persamaan maka:
Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2 + 5 +
6 .

Koefisien adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu
jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan
variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefisien berada di depan variabel.
Contoh :
Anggit memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika ditulis dalam bentuk
persamaan maka: misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya
adalah 2 + 5 + 6 . Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 2, 5 dan 6 adalah
koefisien di mana 2 adalah koefisien x , 5 adalah koefisien y dan 6 adalah koefisien z.

12

Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap
atau konstan untuk berapapun nilai variabel atau peubahnya.
Contoh :
2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstanta adalah 7, karena 7 nilainya
tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.

13

Kegiatan 2

APERCEPTION

Miftah, Salsa, dan Ira berbelanja di sebuah toko alat tulis dekat rumah mereka.
Miftah membeli :

Salsa membeli :

Sandy membeli :

Total harga pembelian Miftah, Salsa dan Sandy berturut-turut adalah 83.000,
86.000, dan 158.000. Bisakah kamu menentukan persamaan/model matematika dari
permasalahan tersebut?

14

Setelah mempelajari, bentuk umum, ciri-ciri, hal-hal yang berkaitan
dengan spltv dan model dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, maka sub bab
selanjutnya akan dipelajari metode penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel
dengan substitusi pada masalah kontekstual. Penyelesaian sistem persamaan linear tiga
variabel pada masalah kontekstual dapat menggunakan metode substitusi.

Metode substitusi adalah suatu cara atau metode untuk menentukan

himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel dengan cara
mengganti salah satu variabel agar dapat diketahui dan dimasukkan ke dalam sistem
persamaan lainnya.
Langkah-langkah substitusi adalah sebagai berikut :

1. Pilih salah satu persamaan yang sederhana. Nyatakan x sebagai fungsi y dan z.
Atau y sebagai fungsi x dan z. Atau z sebagai fungsi x dan y.

2. Substitusikan x, y, atau z yang diperoleh pada variabel Langkah 1 ke dua
persamaan lainnya sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel.

3. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang diperoleh pada Langkah
2.

4. Substitusikan dua variabel yang diperoleh pada Langkah 3 ini ke salah satu
persamaan semula untuk memperoleh variabel yang ketiga.

16

Agar pehamanmu lebih mantap, yuk cermati contoh berikut ini!

Sebuah bilangan terdiri atas tiga angka yang disatukan 9. Angka satuannya tiga lebihnya
dari angka puluhan. Jika angka ratusan dan angka yang dicapai, maka diperoleh
bilangan yang sama. Tentukan bilangan tersebut menggunakan metode substitusi

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyusun persamaan dari permasalahan
di atas.

1. Diketahui tiga angka jika dijumlahkan hasilnya 9. Maka secara matematis dapat
ditulis + + = 9

2. Angka satuannya tiga lebihnya dari angka puluhan. Maka secara matematis dapat
ditulis = + 3

3. Jika angka ratusan dan angka yang dapat ditemukan, maka diperoleh bilangan
yang sama. Artinya = . Sehingga,
+ + = 9
+ + = 9
2 + = 9

Sehingga diperoleh persamaan-persamaan yang terbentuk yaitu :
1. + + =
2. = +
3. + =

Substitusi = + pada persamaan + = , maka

17

2 + = 9
2 + ( + 3) = 9

3 + 3 = 9
3 = 9– 3

3 = 6
6

= 3
= 2
Karena nilai = maka, nilai = = 2.
Setelah diperoleh nilai = 2, maka nilai = 2 dapat disubstitusikan ke persamaan
= + 3 sehingga menjadi
= + 3
= 2 + 3
= 5
dengan demikian, diperoleh bilangan 225.

18

Diketahui Sofy 4 tahun lebih tua dari Ama.Diketahui
juga bahwa Ama 3 tahun lebih tua dari Citra. Jika
jumlah umur Sofy, Ama dan Citra adalah 58 tahun.
Tentukan jumlah umur Sofy dan Citra!

Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan model matematika dari
permasalahan tersebut sebagai berikut :

1. Sofy, Ama, dan Citra dapat dimisalkan dengan S, A, C.
Sofy = S, Ama = A, dan Citra = C

2. Sofy 4 tahun lebih tua dari Ama. Maka, secara matematis dapat ditulis S = A+4
3. Ama 3 tahun lebih tua dari Citra. Maka, secara matematis dapat ditulis A = C +3
4. Jumlah umur Sofy, Ama, dan Citra adalah 58 tahun. Maka secara matematis

dapat ditulis S + A + C = 58 .Sehingga diperoleh tiga bentuk persamaan yaitu :
= +
= +

+ + =

19

Substitusi = + pada persamaan = +
= + 4
= ( + 3 ) + 4 = + 7 … (4)
Substitusi persamaan (2) dan (4) pada persamaan (3)
+ + = 58
( + 7) + ( + 3) + = 58
3 + 10 = 58
3 = 58 – 10
3 = 48
= 48

3

= 16
Substitusi C = 16 pada persamaan (4)
= +
= +
=
Dengan demikian, umur Sofy adalah 23 tahun dan umur Citra adalah 16 tahun. Sehingga
jumlah umur Sofy dan Citra adalah 39 tahun.

20

Agar keahlianmu semakin mantap. Yuk diskusikan permasalahan berikut!

1. Diskusikan masalah 3 dengan teman sebangku.
2. Tulis penyelesaian di buku latihanmu dengan rapi.
3. Alokasi waktu : 20 menit.

Berdasarkan ilustrasi 2, tentukan umur Ama serta jumlah
umur Ama dan Sofy. Jika umur mereka diurutkan mulai dari
yang paling muda sampai yang paling tua, yang paling muda
dia antara mereka?

“
”

–

21

Kegiatan 3

APERCEPTION

Jumlah tiga buah bilangan adalah 12. Bilangan kedua nilainya tiga kali
bilangan pertama. Jika bilangan ketiga ditambah bilangan pertama
hasilnya sama dengan bilangan kedua. Tentukan hasil bagi bilangan
kedua dengan bilangan pertama dengan metode substitusi.

Metode eliminasi adalah suatu cara atau metode yang digunakan
untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel
dengan cara menghilangkan salah satu variabel agar nilai variabel dapat diketahui.
Langkah-langkah metode eliminasi adalah sebagai berikut :

1. Pilih bentuk peubah yang paling sederhana
2. Eliminasi salah satu variabel x, y, atau z sehingga diperoleh sistem persamaan

linear dua variabel.
3. Selesaikan sistem persamaan linear nilai variabel pada Langkah 1 sehingga

diperoleh nili dua variabel, x dan y atau x dan z atau y dan z.
4. Substitusikan variabel nilai yang diperoleh pada Langkah 2 ke salah satu

persamaan semula untuk mendapatkan variabel nilai yang ketiga.

22

Agar pemahamanmu lebih mantap, yuk cermati contoh berikut !

Diketahui harga 4 kg , 1 kg . , 2 kg adalah
, 2 kg adalah
. 54.000,00. . , 1 kg adalah

Diketahui harga 1 kg , 2 kg = jambu = kelengkeng

. 43.000,00. .

Diketahui harga 3 kg , 1 kg

. 37.750,00.

Tentukan harga 1 kg jambu !

Ket :

= salak

Langkah pertama yang dapat dilakukan adalah menentukan model matematika atau
persamaan dari permasalahan tersebut sebagai berikut :

1. Salak, jambu dan kelengkeng dapat dimisalkan sebagai variabel x, y, dan z.
dimana salak = s, jambu = j, kelengkeng = k.

2. Diketahui harga 4 kg salak, 1 kg jambu, dan 2 kg kelengkeng adalah
54.000, −. Maka, secara matematis dapat ditulis 4 + + 2 = 54.000

23

3. Diketahui harga 1 kg salak, 2 kg jambu, dan 2 kg kelengkeng adalah

43.000, −. Maka, secara matematis dapat ditulis + 2 + 2 = 43.000

4. Diketahui harga jambu salak 3 kg, 1 kg kelengkeng, dan 1 kg kelengkeng adalah

37.750, −. Maka secara matematis dapat ditulis 3 + + = 37.750

Sehingga diperoleh persamaan-persamaan yang terbentuk yaitu :

1. 4 + + 2 = 54.000

2. + 2 + 2 = 43.000

3. 3 + + = 37.750

Eliminasi k dari persamaan (1) dan (2)

4 + + 2 = 54.000

+ 2 + 2 = 43.000

3 – = 11.000 … (4)

Eliminasi k dari persamaan (1) dan (3)

4 + + 2 = 54.000 | (× ) 4 + + 2 = 54.000

3 + + = 37.750| (× 2) 6 + 2 + 2 = 75.500

− 2 – = −21.500 … (5)

Eliminasi persamaan (4) dan (5)

3 – = 11.000 | (× ) 6 – 2 = 22.000

−2s – j = −21.500 | (× ) −6 – 3 = −64. 500

−5 = −42.500

= − 42.500

−5

24

= 8.500
Dengan demikian, diperoleh harga 1 kg jambu adalah 8.500

Perhatikan gambar-gambar di bawah ini !

= . 33.000,00, −

= . 23.500,00, −

a

= . 36.500,00, −

Keterangan : buah-buah di atas dibeli dengan masing-masing buah per 1 kg.
Buatlah sebuah masalah kontekstual dari proyek di atas dan tuliskan model
matematika yang dapat dibuat serta diskusikan masing-masing harga buah per
kg bersama teman sebangkumu.

25

Ilmu itu lebih baik dari harta. Ilmu menjaga engkau dan engkau
menjaga harta. Ilmu itu penghukum (hakim) dan harta terhukum.
Harta itu kurang apabila dibelanjakan tapi ilmu bertambah bila

dibelanjakan”
-Ali bin Abi Thalib

26

Kegiatan4

APERCEPTION

Bianca, Davina dan Haikal mengukur berat badan secara
berpasangan. Berat badan Bianca dan Davina 118 kg. Berat badan
Davina dan Haikal adalah 108 kg serta berat badan Bianca dan
Haikal 92 kg. Tentukan berat badan Davina dengan metode
eliminasi!

Metode gabungan adalah penggabungan metode substitusi dengan metode
eliminasi. Maka, dapat dikatakan bahwa metode gabungan adalah suatu atau cara
yang digunakan untuk menemukan himpunan penyelesaian dengan cara
mengganti salah satu variabel agar nilai variabel lainnya dapat diketahui dan
menghilangkan salah satu variabel agar nilai variabel lainnya dapat diketahui
serta memasukkanya ke dalam sistem persamaan lainnya.
Langkah-langkah gabungan gabungan (substitusi dan eliminasi) adalah sebagai
berikut :
1. Pilih persamaan dengan bentuk yang sederhana.
2. Eliminasi salah satu peubah (x, y, atau z) dalam SPLTV sehingga diperoleh

SPLDV.

27

3. Eliminasi peubah (x, y, atau z) sehingga diperoleh SPLDV dengan variabel
(x, y, atau z)

4. Eliminasi SPLDV yang telah diperoleh.
5. Substitusi salah satu variabel nilai yang telah didapat (x, y, atau z) pada salah

satu SPLTV.
Agar pehamanmu lebih mantap, yuk cermati contoh berikut ini !

Diketahui bilangan tiga angka xyz. Nilai x ditambah y hasilnya 10. Nilai x dikurangi z
hasilnya 5. Nilai y dikurangi z hasilnya 3. Tentukan bilangan xyz!

Langkah pertama yang dapat dilakukan adalah menentukan persamaan atau model
matematika dari permasalahan tersebut yaitu:

1. Nilai x ditambah y hasilnya 10. Secara matematis dapat ditulis + = 10
2. Nilai x dikurangi z hasilnya 5. Maka, secara matematis dapat ditulis – = 5 3.
3. Nilai y dikurangi z hasilnya 3. Maka, secara matematis dapat ditulis – = 3
Sehingga, diperoleh tiga persamaan yang terbentuk yaitu :

+ =
– =
– =

28

Eliminasi persamaan (1) dan (2).
x + y = 10
– = 5
+ = 5 … (4)
Eliminasi persamaan (3) dan (4)
+ = 5
– = 3
2 = 2
= 2

2

= 1
Substitusi z = 1 pada persamaan (2)
– = 5
– (1) = 5
= 5 + 1
= 6
Substitusi x = 6 pada persamaan (1)
+ = 10
6 + = 10

29

= 10 – 6
= 4
Dengan demikian, diperoleh tiga bilangan xyz yaitu (6, 4, 1).

Eliminasi persamaan (2) dan (3)
– = 5
– = 3
x – y = 2 … (4)
Eliminasi persamaan (1) dan (4)
+ = 10
– = 2
2 = 8
= 8

2

= 4

30

Substitusi y = 4 persamaan (1) dan (3)
+ = 10 ( 1)
+ 4 = 10
= 10 – 4
= 6
– = 3 ( 3)
4– = 3
= 4– 3
= 1
Dengan demikian, diperoleh tiga bilangan xyz yaitu (6, 4, 1).

31

1. Bentuklah sebuah kelompok dengan masing-masing
kelompok yang menyatukan 6 orang anggota.

2. Diskusikan masalah 4 dan 5 dengan anggota kelompokmu.
3. Tulis penyelesaian di lembar jawaban dengan rapi dan

menarik.
4. Presentasikan hasil diskusi di depan kelas bersama anggota

kelompokmu.
5. Jika ada hal yang kurang jelas, cinta kepada guru.
6. Alokasi waktu : 60 menit.

4

Farid memiliki motif kelereng marmer merah, motif marmer biru,
dan motif marmer hijau. Perbandingan antara banyak kelereng
motif marmer merah dan motif marmer biru adalah 3 : 4. Jumlah
kelereng motif marmer merah dan motif marmer hijau adalah 27.
Jika dua kali banyak kelereng motif marmer biru ditambah banyak
kelereng motif marmer hijau sama dengan 37. Tentukan banyaknya
motif marmer merah, motif marmer biru, dan motif marmer hijau
berturut-turut yang dimiliki Farid!

5

Buatlah sebuah variabel kontekstual sistem persamaan
linear tiga dalam kehidupan sehari-hari!

32

Kegiatan 5

APERCEPTION

Tiga tahun lalu, jumlah usia Santi, Mirna, dan Vina adalah 33 tahun.
Sekarang, usia Santi 2 tahun kekurangan dari usia Mirna, sedangkan
jumlah usia Mirna dan Vina adalah 30 tahun. Jika sekarang tahun
2020, dapatkah kamu menentukan tahun lahir Santi?

Setelah mempelajari sistem persamaan linear tiga variabel pada masalah
kontekstual menggunakan metode substitusi, eliminasi, dan gabungan maka,
dalam sub materi selanjutnya akan dipelajari metode penyelesaian sistem
persamaan tiga variabel menggunakan metode determinan pada masalah
kontekstual.

Metode determinan adalah suatu cara atau metode untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel yang menggunakan matriks
bujur sangkar (persegi). Metode determinan sering juga disebut dengan metode
cramer. Agar lebih memahaminya yuk simak langkah-langkah dalam
menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel pada masalah kontekstual
dengan metode penentuan berikut :

33

1. Ubahlah sistem persamaan linear tiga ke dalam bentuk matriks.

Misalkan terdapat sistem persamaan berikut:

1 + 1 + 1 = 1
2 + 2 + 2 = 2
3 + 3 + 3 = 3
Persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut:

. = Pers (1)

Dengan :

1 1 1 1
= | 2|
= | 2 2 2| = | |
3
3 3 3

Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut :

1 1 1 1
| 2 2 2| | | = | 2|
3 3 3 3

2. Tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x ( ),

determinan y dan determinan z dengan persamaan berikut:

1 1 1 1 1
= | 2 2 2| 2 2

3 3 3 3 3

= ( 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3) − ( 3 2 1 + 3 2 1) + ( 3 2 1)

D adalah determinan dari matriks A.

34

1 1 1 1 1
= | 2 2 2| 2 2

3 3 3 3 3

= ( 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3) − ( 3 2 1 + 3 2 1) + ( 3 2 1)

adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan

elemen-elemen matriks B.

1 1 1 1 1
= | 2 2 2| 2 2

3 3 3 3 3

= ( 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3) − ( 3 2 1 + 3 2 1) + ( 3 2 1)

adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan

elemen-elemen matriks B.

1 1 1 1 1
= | 2 2 2| 2 2

3 3 3 3 3

= ( 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3) − ( 3 2 1 + 3 2 1) + ( 3 2 1)

adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan

elemen-elemen matriks B.

3. Tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut :

=


=


=


35

Koperasi sekolah suatu SMA menawarkan tiga macam paket.
Paket A terdiri dari 3 kemeja putih, 2 celana/rok, dan 2 dasi. Paket B
terdiri dari 4 baju putih, 1 celana/rok dan 2 dasi. Paket C terdiri dari 2 baju
putih, 1 celana/rok dan 3 dasi. Harga paket A, B, dan C dalam Baris-turut
adalah 256, 218, 173. Jika x, y, dan z masing-masing menyatakan harga
satu baju, celana/rok, dan dasi tentukan nilai x + y + z.

 Kemeja putih dapat dimisalkan sebagai variabel x
 Celana/rok dapat dimisalkan sebagai variabel y
 Dasi dapat dimisalkan sebagai variabel z
Jika diubah dalam bentuk determinan menjadi:

3 2 2 256
= |4 1 2| | | = |218|

2 1 3 173
3 2 23 2
= |4 1 2| 4 1
2 1 32 1
= [(3.1.3) + (2.2.2) + (2.4.1)] − [(2.1.2)(1.2.3)(3.4.2)]
= [9 + 8 + 8] − [4 + 6 + 24]
= 25 − 34

36

= −11
256 2 2 256 2

= |218 1 2| 218 1
173 1 3 173 1

= [(256.1.3) + (2.2.173) + (2.218.1)] − [(173.1.2) + (1.2.256) + (3.218.2)]

= [768 + 692 + 436] − [346 + 512 + 1308]
= [1896] − [2166]
= −270

3 256 2 3 256
= |4 218 2| 4 218

2 173 3 2 173
= [(3.218.3) + (256.2.2) + (2.4.173)] − [(2.218.2)(173.2.3)(3.4.256)]
= [1.962 + 1024 + 1384] − [872 + 1038 + 3072]
= [4370] − [4982]
= −612

3 2 256 3 2
== |4 1 218| 4 1

2 1 173 2 1
= [(3.1.173) + (2.218.2) + (256.4.1)] − [(2.1.256)(1.218.3)(173.4.2)]
= [519 + 872 + 1024] − [512 + 654 + 1384]
= [2415] − [2550]
= −135
Nilai , , , telah diketahui , maka dapat diperoleh nilai , ,
dengan cara berikut :

37

= = −270 = 24,5

−11

= = −612 = 55,6

−11

= = −135 = 12,2

−11

Dengan demikian, diperoleh nilai = 24,5 ; = 55,6 ; = 12,2
Maka, nilai + + = 24,5 + 55,6 + 12,2 = 92,3 (dalam ribuan)

38

1. Kerjakan problem 6 dan 7 secara mandiri.
2. Tulis penyelesaian di buku latihanmu dengan rapi
3. Alokasi waktu : 30 menit

Tiga bersaudara Lia, Ira, dan, Gina berbelanja di toko buah. Mereka
membeli Apel, Jambu, dan Mangga dengan hasil masing-masing sebagai
berikut: Lia membeli dua buah Apel, satu buah Jambu, dan satu buah
Mangga seharga Rp47.000,00. Ira membeli satu buah Apel, dua buah
Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp43.000,00. Gina membeli tiga
buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp71.000,00.
Ibu memberikan uang sebesar Rp 100. 000,00 kepada Lia. Jika Ibu
menyuruh Lia untuk membeli 2 Apel, 3 Jambu, dan 1 Mangga, berapakah
sisa uang kembalian yang akan diberikan Lia kepada Ibu?

1. K

39

LATIHAN SOAL

1. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel.
Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar
Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus
membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel
harus membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per
kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?

2. Nilai x yang memenuhi persamaan
+ 2 − = 7
5 + 3 − 2 = 21
2 + + 3 = 10

3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan
16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lainnya. Bilangan
ketiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurang empat. Carilah bilangan-
bilangan itu.

4. x + 5y + 3z = 16
x – 2y + 9z = 8
2x + y – z = 7

Tentukan nilai dari x + 3y – 5z!

5. Masa kehamilan rata-rata (dalam hari) dari sapi, kuda dan kerbau apabila
dijumlahkan adalah 975 hari. Masa kehamilan kerbau lebih lama 85 hari dari masa
kehamilan sapi. Dua kali masa kehamilan sapi ditambah masa kehamilan kerbau
sama dengan 3 kali masa kehamilan kuda dikurang 65. Berapa hari ratarata masa
kehamilan masing-masing hewan?

40

KUNCI JAWABAN

1. Harga per kg salak = . 4.000,00
Harga per kg jeruk = . 6.000,00
Harga per kg apel = . 7.500,00

2. Nilai = 2
3. = 12, = 14, = 22
4. Nilai dari + 3 − 5 = 4
5. Kerbau 365 hari, sapi 280 hari dan kuda 330 hari

41

PENUTUP
Bagi kalian yang sudah dapat menjawab benar sebanyak 80% atau lebih dari seluruh
soal evaluasi, dapat mengembangkan pemahaman kalian tentang konsep rumus teorema
Pythagoras. Adapun bagi kalian yang belum mencapi belajar tuntas 80%, dapat
mengulangi belajar dengan memilih materi-materi yang masih dianggap sulit secara
lebih teliti atau dengan diskusi bersama teman maupun Bapak/Ibu guru kalian.
Modul ini adalah salah satu bahan ajar mata pelajaran matematika. Namun, harus
dimengerti pula bahwa modul ini bukanlah satu-satunyarujukan bagi kalian. Untuk
melengkapi pengetahuan kalian tentang teorema Pythagoras tersebut, maka sangat
disarankan untuk berlatih mengerjakan soal-soal tentang teorema Pythagoras di buku
yang lainnya.
Semoga modul ini dapat menyajikan materi pemblejaran secara menarik dan
menyenangkan, sehingga proses pembelajaran bisa berlangsung efektif dan efisien.
Atas perhatiannya, saya ucapkan terimakasih.

Penyusun

Citra Anggraeni

42

DAFTAR PUSTAKA
Noormandari, B.k. 2016. Matematika Untuk SMA/ MA Kelas X Kelompok Wajib.
Erlangga: Jakarta.
Sunarti, Hari S.2011. Student Guide to Understanding Mathematics Sma/MA.
Bumi Aksara: Jakarta
Widodo, Untung 2017. Mandiri Matematika Untuk SMA/ MA Kelas X Kelompok
Wajib Erlangga: Jakarta

43